【名师名校典型题】2014高考数学二轮复习名师知识点总结：直线与圆
2014高考数学理(真题讲练 规律总结 名师押题)热点专题突破：第十五讲 直线与圆
第十五讲直线与圆1．(直线方程)(2013·福建高考)设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x ＋y－1＝0上”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当x＝2且y＝－1时，满足方程x＋y－1＝0, 即点P(2，－1)在直线l上．点P′(0,1)在直线l上，但不满足x＝2且y＝－1，∴“x＝2且y＝－1”是“点P(x，y)在直线l上”的充分而不必要条件．【答案】 A2．(直线与圆的位置关系)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则() A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能【解析】圆的方程可化为(x－2)2＋y2＝4，易知圆心为(2,0)，半径为2，圆心到点P 的距离为1，所以点P在圆内．所以直线与圆相交．故选A.【答案】 A3．(弦长计算)(2013·安徽高考)直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为( )A ．1B ．2C ．4D ．4 6【解析】 圆的方程可化为C ：(x －1)2＋(y －2)2＝5，其圆心为C (1,2)，半径R ＝ 5.如图所示，取弦AB 的中点P ，连接CP ，则CP ⊥AB ，圆心C 到直线AB 的距离d ＝|CP |＝|1＋4－5＋5|12＋22＝1.在Rt △ACP 中，|AP |＝R 2－d 2＝2，故直线被圆截得的弦长|AB |＝4.【答案】 C4．(两直线的位置关系)已知直线l 1：x －2my ＋3＝0，直线l 2的方向向量为a ＝(1,2)，若l 1⊥l 2，则m 的值为________．【解析】 由直线l 2的方向向量为a ＝(1,2)，知直线l 2的斜率k 2＝2，∵l 1⊥l 2，∴直线l 1的斜率存在，且k 1＝12m，由k 1·k 2＝－1，即12m ·2＝－1，得m ＝－1.【答案】 －15．(圆的方程)(2013·江西高考)若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________．【解析】 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m )．又因为圆与直线y ＝1相切，所以(4－2)2＋(0－m )2＝|1－m |，所以m 2＋4＝m 2－2m ＋1，解得m ＝－32，所以圆的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254. 【答案】 (x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254(1)(2013·济南调研)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y ＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)距离为2的直线方程为________．【思路点拨】 (1)先求出两条直线平行的充要条件，再判断；(2)联立l 1，l 2的方程，求交点坐标，利用待定系数法求直线方程．【自主解答】 (1)若直线l 1与l 2平行，则a (a ＋1)－2×1＝0，即a ＝－2或a ＝1， ∴a ＝1是直线l 1与直线l 2平行的充分不必要条件．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴l 1与l 2交点为(1,2)， 直线x ＝1显然不适合．设所求直线为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0， ∵P (0,4)到直线距离为2，∴2＝|－2－k |1＋k 2，∴k ＝0或k ＝43.∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0. 【答案】 (1)A (2)y ＝2或4x －3y ＋2＝01．第(1)题利用两直线平行的充要条件，避免了分类讨论．第(2)题利用点斜式求直线方程，要注意判定直线的斜率是否存在．2．直线与直线的位置关系的判定方法(1)给定两条直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1和l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则有下列结论： l 1∥l 2⇔k 1＝k 2且b 1≠b 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.(2)若给定的方程是一般式，即l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则有下列结论：l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0或A 1C 2－A 2C 1≠0； l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.变式训练1 (1)(2013·天津高考)已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－12B ．1C ．2 D.12(2)(2013·四川高考)在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．【解】 (1)由题意知圆心为(1,0)，由圆的切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，可设圆的切线方程为x ＋ay ＋c ＝0，由切线x ＋ay ＋c ＝0过点P (2,2)，∴c ＝－2－2a ，∴|1－2－2a |1＋a 2＝5，解得a ＝2. (2)设平面上任一点M ，因为|MA |＋|MC |≥|AC |，当且仅当A ，M ，C 共线时取等号，同理|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，若|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 为所求．又k AC ＝6－23－1＝2，∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.①又k BD ＝5－(－1)1－7＝－1，∴直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)， 即x ＋y －6＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，∴M (2,4)．【答案】 (1)C (2)(2,4)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴相切，则圆C 的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －1)2＋(y －2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －1)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1【思路点拨】 设圆心坐标，利用直线与圆相切的条件，得圆心坐标的方程，进而求待定系数，得圆C 的方程．【自主解答】 因为圆C 与x 轴相切，半径r ＝1，且圆心在第一象限， ∴圆心的纵坐标为1，设圆心为C (a,1)(a ＞0)． 又直线4x －3y ＝0与圆C 相切，∴d ＝|4a －3×1|5＝1，解之得a ＝2或a ＝－12(舍)．故点C (2,1)，则圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1. 【答案】 A1．本题抓住圆C 与x 轴相切，确定圆心纵坐标为1，减少待定参数，优化了解题过程． 2．求解圆的方程，一般利用待定系数法，即确定待定方程中的参数取值，但一定要注意圆的几何性质的灵活应用，要熟练掌握平面几何中确定圆心和半径的基本方法，如圆心在弦的中垂线上、直线和圆相切、其切点在圆上且圆心到直线的距离等于圆的半径等．变式训练2 已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被该圆所截得的弦长为22，则圆C 的标准方程为________．【解析】 设圆心坐标为(a,0)(a >0)，由于圆过点(1,0)，则半径r ＝|a －1|，圆心到直线x －y －1＝0的距离为d ＝|a －1|2.由弦长为22可知⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －1|22＝(a －1)2－2，解得(a －1)2＝4，∴a ＝3或a ＝－1(舍去)． 故圆心为(3,0)，半径为2，所求圆的方程为(x －3)2＋y 2＝4. 【答案】 (x －3)2＋y 2＝4在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为圆心的圆与直线：x －3y ＝4相切．(1)求圆O 的方程；(2)若圆O 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，且|MN |＝23，求直线MN 的方程；(3)圆O 与x 轴相交于A ，B 两点，圆内的动点P 使|P A |，|PO |，|PB |成等比数列，求P A →·PB →的取值范围．【思路点拨】 (1)直线与圆相切→求半径→求圆方程 (2)设MN 的方程2x －y ＋m ＝0→利用|MN |＝23，求m →写MN的方程(3)利用|PO |2＝|P A ||PB |建立动点P (x ，y )中变量x ，y 的等量关系，利用点与圆的位置关系求P A →·PB →的范围．【自主解答】 (1)依题意，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离， 即r ＝41＋3＝2. 所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)由题意，可设直线MN 的方程为2x －y ＋m ＝0. 则圆心O 到直线MN 的距离d ＝|m |5. 由垂径分弦定理得：m 25＋(3)2＝22，即m ＝±5.所以直线MN 的方程为：2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0. (3)不妨设A (x 1,0)，B (x 2,0)，x 1<x 2.由x 2＝4得A (－2，0)，B (2,0)． 设P (x ，y )，由|P A |，|PO |，|PB |成等比数列，得 (x ＋2)2＋y 2·(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2，即x 2－y 2＝2. 因为P A →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝2(y 2－1)．由于点P 在圆O 内，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2<4，x 2－y 2＝2.由此得y 2<1.所以P A →·PB →的取值范围为[－2,0)．1．本题(3)在求解过程中常因忽视条件x 2－y 2＝2的限制作用使所求P A →·PB →的范围变大．2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，及半弦长l2构成直角三角形的关系来处理． 3．讨论点与圆、直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．变式训练3 (1)(2013·重庆高考)设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2(2)(2013·课标全国卷Ⅱ)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.①求圆心P 的轨迹方程； ②若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．【解析】 (1)如图，圆心M (3，－1)与定直线x ＝－3的最短距离为|MQ |＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.【答案】 B【解】 (2)①设P (x ，y )，圆P 的半径为r . 由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3. 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. ②设P (x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22.又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，此时，圆P 的半径r ＝ 3. 故圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3或x 2＋(y －1)2＝3.从近两年高考看，直线与圆是高考的热点，主要涉及直线方程、圆的方程、直线与圆相切(交)的切线方程(或弦长计算)．预计2014年高考仍以直线和圆的位置关系为核心，以客观题的形式进行命题．求解时应注意几何图形的性质的应用，重视数形结合的数学思想．以形助数巧求最小值已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为________．【解析】 设P (x,0)，C 1(2,3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C ′1C 2|＝(2－3)2＋(－3－4)2＝5 2. 而|PM |＝|PC 1|－1，|PN |＝|PC 2|－3， ∴|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4. 【答案】 52－4 【阅卷心语】易错提示 (1)弄不清圆C 外一点A 到圆上一点距离的最小值为|AC |－r ，最大值为|AC |＋r ，难以将所求问题转化为求|PC 1|＋|PC 2|的最小值．(2)数形结合思想意识差，难以作出C 1关于x 轴的对称点C ′1，求不出|PC 1|＋|PC 2|的最小值．防范措施 (1)涉及圆的几何最值，要充分考虑圆的几何性质由形思数；(2)若两点P 1，P 2在直线l 的同侧，直线l 上的点P 到P 1与P 2的距离和最小，宜作P 1关于l 的对称点P 1′，则|P 1′P 2|为所求的最小值．1．已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是________． 【解析】 由题意知点在圆外，则a 2＋b 2>1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b 2<1，故直线与圆相交．【答案】 相交2．已知直线l 经过坐标原点，且与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0相切，切点在第四象限，则直线l 的方程为________．【解析】 由题易知，圆的方程为(x －2)2＋y 2＝1，圆心为(2,0)，半径为1，如图，经过原点的圆的切线的倾斜角为150°，切线的斜率为tan 150°＝－33，故直线l 的方程为y ＝－33x .【答案】 y ＝－33x。
2014高三数学知识点精要13：解析几何-直线与圆
2014高三数学知识点精要131、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围[)π,0。
如（1）直线023cos =-+y x θ的倾斜角的范围是____（答：5[0][)66，，πππ）；（2）过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],32,3[ππα∈值的范围是______（答：42≥-≤m m 或）2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=；（3）直线的方向向量(1,)a k =，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？ （4）应用：证明三点共线：AB BC k k =。
提醒：（1）直线的倾斜角α一定存在，但斜率不一定存在。
（2）直线的倾斜角与斜率的变化关系：若直线存在斜率k ，而倾斜角为α，则k=tan α.当倾斜角是锐角是，斜率k 随着倾斜角α的增大而增大。
当α是钝角时，k 与α同增减. （3）斜率的求法： 依据倾斜角：k牢记图像依据两点的坐标：)211212x x x x k≠-=依据直线方程：化为斜截式 当已知k ，求倾斜角α时：k ≥0时，α=arctank ；k<0时，α=π+arctank 。
（4）()k al ，的方向向量之一：直线1=→（你知道如何由直线的方向向量来求斜率吗？）如(1) 两条直线斜率相等是这两条直线平行的____________条件（答：既不充分也不必要）；（2）实数,x y 满足3250x y --= (31≤≤x )，则xy的最大值、最小值分别为______（答：2,13-） 3、直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x轴的直线。
2014高考数学二轮复习名师知识点总结：直线与圆
直线与圆考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题．直线与圆的位置关系（特别是弦长问题），此类问题难度属于中等，一般以选择题、填空题的形式出现，有时也会出现解答题,多考查其几何图形的性质或方程知识．1．直线方程的五种形式（1）点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1（x1，y1)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．（2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k,不包括y轴和平行于y轴的直线）．（3）两点式:错误!＝错误!（直线过点P1(x1,y1）,P2(x2，y2），且x1≠x2,y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．（4）截距式：错误!＋错误!＝1（a、b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线）．（5）一般式：Ax＋By＋C＝0（其中A，B不同时为0）．2．直线的两种位置关系当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时：(1）两直线平行l1∥l2⇔k1＝k2。
(2)两直线垂直l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.提醒当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略．3．三种距离公式(1）A（x1，y1),B(x2，y2）两点间的距离：|AB｜＝错误!。
(2)点到直线的距离:d＝错误!(其中点P（x0，y0），直线方程为：Ax＋By＋C＝0)．(3）两平行线间的距离：d＝错误!(其中两平行线方程分别为l1：Ax ＋By＋C1＝0.l2：Ax＋By＋C2＝0)．提醒应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x，y 的系数应对应相等．4．圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程：（x－a)2＋(y－b)2＝r2。
（2）圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．5．直线与圆、圆与圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法．（2）圆与圆的位置关系：相交、相切、相离,代数判断法与几何判断法.考点一直线的方程及应用例1 （1)过点(5,2)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是（）A．2x＋y－12＝0B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0C．x－2y－1＝0D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0（2）若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2）x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为( )A. 2B.错误!C。
高考数学直线与圆知识点总结
高考数学直线与圆知识点总结数学一直是高考重点科目之一，而其中的直线与圆是常见的考点之一。
在高考中，对于这部分知识点的掌握不仅仅是学生们考试取得好成绩的关键，更是对于综合能力的全面考核。
本篇文章将对高考数学直线与圆的知识点进行总结，帮助同学们更好地备考。
直线与圆的基本性质：直线和圆是平面几何中最基本也是最常见的两个图形。
直线无限延伸，没有端点，而圆是由一组平面上距离圆心相等的点组成的。
直线与圆之间有一些基本的性质需要掌握。
1. 直线在平面上可以有不同的位置关系，即相交、平行和重合。
相交的直线在交点处满足公共点的特性。
平行的直线在平面上永远不相交。
重合的直线完全重叠在一起，所有的点都相同。
2. 圆与直线的位置关系通常包括内外离散、相切和内含三种情况。
离散的情况是直线与圆没有交点。
相切的情况直线与圆恰好有一个交点。
内含的情况是直线与圆有两个交点。
直线的方程与性质：直线是最基本的图形之一，它常常需要考生们掌握准确的方程表达以及相应的性质。
1. 直线的一般方程是Ax + By + C = 0，其中A、B、C分别是实数，也称为直线的一般式方程。
一般式方程用于表示直线的位置关系。
2. 直线的斜率是非常重要的一个性质，它是直线上任意两点对应坐标差的比值。
斜率可以帮助我们判断直线的倾斜方向以及直线是否垂直。
3. 两条直线的位置关系可以通过它们的斜率进行判断。
如果两条直线的斜率相等，那么它们是平行的；如果两条直线的斜率的乘积为-1，那么它们是垂直的。
圆的方程与性质：圆是平面几何中的一个基本图形，它有特定的方程表达和一系列的性质需要考生们进行掌握。
1. 圆的标准方程是(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，其中(a, b)是圆心的坐标，r是圆的半径；标准方程可以用于表示任意圆。
2. 圆的一般方程是x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F是实数。
一般方程可以用于表示特定的圆。
高中数学直线和圆知识点复习总结
高中数学直线和圆知识点复习总结
高中数学中的直线和圆的总结有很多知识点，本文就针对这些知识点进行一个总结，同学们可以查阅，以便加深对直线和圆的理解。
首先，在直线方面需要知道的是什么？
一、直线的定义
直线是平面上双等距平行的两条线，可以用一元二次方程来表示。
二、直线的性质
1、平等的距离及同一平面的
直线的夹角相等，距离也相等，两直线交于一点，其中一条直线经过这一点，另一条不经过，而在同一平面上的两直线是相互垂直的。
2、直线的交点
当两条直线在有限空间内相交时，这种相交是称之为直线的交点。
三、直线的位置关系
1、平行
当两条直线从同一个方向平行可以认为这两条直线平行。
接下来，要总结一下圆知识点了。
圆是位于平面中心点到圆上任一点的距离相等的一种曲线，而圆的半径则是指这种距离。
1、圆心在圆的任一点的距离是一致的
2、圆的封闭图形
圆是一种封闭的曲线，无论是确定它的定义还是它的性质，都建立在它是一种封闭图形的基础之上。
1、圆内和内接四边形外接圆
内接四边形外接圆是指圆心和任意两个顶点形成的距离都相等的圆，这圆就是内接四边形外接圆。
当一条直线与圆的关系有六种：即相切、相交、内切、外切、内含和外公切线，因此理解这一关系也是重要的。
以上就是高中数学直线和圆知识点复习总结，希望可以帮助读者们更加深入理解这些概念，提升高中数学学习的能力，顺利通过高考。
(典型题)高考数学二轮复习 知识点总结 直线与圆
直线与圆考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题．直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中等，一般以选择题、填空题的形式出现，有时也会出现解答题，多考查其几何图形的性质或方程知识．1． 直线方程的五种形式(1)点斜式：y －y 1＝k (x －x 1)(直线过点P 1(x 1，y 1)，且斜率为k ，不包括y 轴和平行于y 轴的直线)．(2)斜截式：y ＝kx ＋b (b 为直线l 在y 轴上的截距，且斜率为k ，不包括y 轴和平行于y 轴的直线)．(3)两点式：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(直线过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，y 1≠y 2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．(4)截距式：x a ＋y b＝1(a 、b 分别为直线的横、纵截距，且a ≠0，b ≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．(5)一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)． 2． 直线的两种位置关系当不重合的两条直线l 1和l 2的斜率存在时： (1)两直线平行l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (2)两直线垂直l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.提醒 当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略． 3． 三种距离公式(1)A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点间的距离：|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)点到直线的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(其中点P (x 0，y 0)，直线方程为：Ax ＋By ＋C ＝0)．(3)两平行线间的距离：d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2(其中两平行线方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0.l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0)．提醒 应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x ，y 的系数应对应相等． 4． 圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．5． 直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法． (2)圆与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法.考点一 直线的方程及应用例1 (1)过点(5,2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是 ( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0C ．x －2y －1＝0D ．x －2y －1＝0或2x －5y ＝0(2)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( ) A. 2B.823C. 3D.833答案 (1)B (2)B解析 (1)当直线过原点时方程为2x －5y ＝0，不过原点时，可设出其截距式为x a ＋y2a＝1，再由过点(5,2)即可解出2x ＋y －12＝0. (2)由l 1∥l 2，知3＝a (a －2)且2a ≠6(a －2)，2a 2≠18， 求得a ＝－1，所以l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，两条平行直线l 1与l 2间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－2312＋－2＝823. (1)要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．(2)求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即“斜率相等”或“互为负倒数”．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究．(1)直线l 1：kx ＋(1－k )y －3＝0和l 2：(k －1)x ＋(2k ＋3)y －2＝0互相垂直，则k ＝( )A ．－3或－1B ．3或1C ．－3或1D ．3或－1(2)过点(1,0)且倾斜角是直线x －2y －1＝0的倾斜角的两倍的直线方程是________________．答案 (1)C (2)4x －3y －4＝0解析 (1)∵l 1⊥l 2，∴k (k －1)＋(1－k )(2k ＋3)＝0， 解得k 1＝－3，k 2＝1.∴k ＝－3或1.(2)设直线x －2y －1＝0的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α. 由已知得tan α＝12，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－122＝43， 所以所求直线方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0. 考点二 圆的方程及应用例2 (1)已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上．直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________________． (2)已知A (－2,0)，B (0,2)，实数k 是常数，M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上两个不同点，P 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上的动点，如果M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，则△PAB 面积的最大值是________．答案 (1)x ＋y －3＝0 (2)3＋ 2解析 (1)设圆心坐标为(x 0,0)(x 0>0)，由于圆过点(1,0)，则半径r ＝|x 0－1|.圆心到直线l 的距离为d ＝|x 0－1|2.由弦长为22可知⎝ ⎛⎭⎪⎫|x 0－1|22＝(x 0－1)2－2，整理得(x 0－1)2＝4.∴x 0－1＝±2，∴x 0＝3或x 0＝－1(舍去)．因此圆心为(3,0)，由此可求得过圆心且与直线y ＝x －1垂直的直线方程为y ＝－(x －3)，即x ＋y －3＝0.(2)依题意得圆x 2＋y 2＋kx ＝0的圆心(－k 2，0)位于直线x －y －1＝0上，于是有－k2－1＝0，即k ＝－2，因此圆心坐标是(1,0)，半径是1.由题意可得|AB |＝22，直线AB 的方程是x－2＋y 2＝1，即x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到直线AB 的距离等于|1－0＋2|2＝322，点P 到直线AB 的距离的最大值是322＋1，△PAB 面积的最大值为12×22×32＋22＝3＋ 2.圆的标准方程直接表示出了圆心和半径，而圆的一般方程则表示出了曲线与二元二次方程的关系，在求解圆的方程时，要根据所给条件选取适当的方程形式．解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．(1)已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，过点A (－1,0)的直线l 与圆C 相交于P 、Q 两点，若|PQ |＝23，则直线l 的方程为( )A ．x ＝－1或4x ＋3y －4＝0B ．x ＝－1或4x －3y ＋4＝0C ．x ＝1或4x －3y ＋4＝0D ．x ＝1或4x ＋3y －4＝0(2)已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________． 答案 (1)B (2)x 2＋(y －1)2＝10解析 (1)当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－1符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，线段PQ 的中点为M ，由于|PQ |＝23，易得|CM |＝1.又|CM |＝|－3＋k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，此时直线l 的方程为y ＝43(x ＋1)．故所求直线l的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4＝0.故选B.(2)设所求圆的半径是r ，依题意得，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是(1,0)，则圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋－2＝1，则r 2＝d 2＋(|AB |2)2＝10，故圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10. 考点三 直线与圆、圆与圆的位置关系例3 (2013·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0, 3)，直线l ：y＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的 方程；(2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． 解 (1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)， 于是切线的斜率必存在．设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3， 由题意，|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为 (x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1.设点M (x ，y )，因为|MA |＝2|MO |，所以x 2＋y －2＝2 x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上． 由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则2－1≤|CD |≤2＋1， 即1≤a 2＋a －2≤3.由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系判断依据两个圆心距离与半径差与和的比较． (2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．通过过圆外一点的圆的切线条数可以判断此点和圆的位置关系．过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外点距离利用勾股定理处理．(1)(2013·江西)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于 ( )A.33B ．－33C ．±33D ．－ 3(2)(2013·重庆)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为 ( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2D.17(3)(2013·山东改编)过点P (3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为________，△PAB 的外接圆方程为________________________． 答案 (1)B (2)A (3)2x ＋y －3＝0 (x －2)2＋(y －12)2＝54解析 (1)∵S △AOB ＝12|OA ||OB |·sin∠AOB＝12sin∠AOB ≤12.当∠AOB ＝π2时，S △AOB 面积最大．此时O 到AB 的距离d ＝22. 设AB 方程为y ＝k (x －2)(k <0)， 即kx －y －2k ＝0. 由d ＝|2k |k 2＋1＝22得k ＝－33.(也可k ＝－tan∠OPH ＝－33)． (2)设P (x,0)，设C 1(2,3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C 1′C 2|＝－2＋－3－2＝5 2.而|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4.(3)易知点P (3,1)与圆心C 连线和AB 垂直，圆心为点(1,0)，点P (3,1)与圆心连线斜率k ＝1－03－1＝12，故直线AB 斜率k AB ＝－2，结合图形易知A 点坐标为(1,1)，由点斜式得直线AB 的方程为y －1＝－ 2(x －1)，即2x ＋y －3＝0.又由CA ⊥PA ，CB ⊥PB 知，A 、P 、B 、C 四点共圆，且CP 为其直径． ∴△PAB 的外接圆方程为(x －2)2＋(y －12)2＝54.1． 由于直线方程有多种形式，各种形式适用的条件、范围不同，在具体求直线方程时，由所给的条件和采用的直线方程形式所限，可能会产生遗漏的情况，尤其在选择点斜式、斜截式时要注意斜率不存在的情况． 2． 确定圆的方程时，常用到圆的几个性质：(1)直线与圆相交时应用垂径定理构成直角三角形(半弦长，弦心距，圆半径)； (2)圆心在过切点且与切线垂直的直线上； (3)圆心在任一弦的中垂线上；(4)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(5)圆的对称性：圆关于圆心成中心对称，关于任意一条过圆心的直线成轴对称． 3． 直线与圆中常见的最值问题圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．4． 过两圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0的交点的圆系方程为x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0.5． 两圆相交，将两圆方程联立消去二次项，得到一个二元一次方程即为两圆公共弦所在的直线方程．1． 若圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)上有且只有两个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围是________． 答案 (2－1，2＋1)解析 注意到与直线x －y －2＝0平行且距离为1的直线方程分别是x －y －2＋2＝0、x －y －2－2＝0，要使圆上有且只有两个点到直线x －y －2＝0的距离为1，需满足在两条直线x －y －2＋2＝0、x －y －2－2＝0中，一条与该圆相交且另一条与该圆相离，所以|2－2|2<r <|－2－2|2，即2－1<r <2＋1.2． 过点O (0,0)作直线与圆C ：(x －45)2＋(y －8)2＝169相交，在弦长均为整数的所有直线中，等可能地任取一条直线，则弦长不超过14的概率为________． 答案932解析 已知圆C 的半径为13，C (45，8)， ∵|CO |＝52＋82＝12<13，∴O 点在圆C 的内部，且圆心到直线的距离d ∈[0,12]，∴直线截圆所得的弦长|AB |＝2r 2－d 2∈[10,26]，其中最短和最长的弦各有一条，长为11到25的整数的弦各有两条，共有32条，其中弦长不超过14的有1＋8＝9(条)， ∴所求概率P ＝932.(推荐时间：70分钟)一、选择题1． “a ＝0”是“直线l 1：(a ＋1)x ＋a 2y －3＝0与直线l 2：2x ＋ay －2a －1＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 当a ＝0时，l 1：x －3＝0，l 2：2x －1＝0，此时l 1∥l 2，所以“a ＝0”是“直线l 1与l 2平行”的充分条件． 当l 1∥l 2时，a (a ＋1)－2a 2＝0，解得a ＝0或a ＝1. 当a ＝1时，l 1：2x ＋y －3＝0，l 2：2x ＋y －3＝0， 此时，l 1与l 2重合，所以a ＝1不满足题意，即a ＝0. 所以“a ＝0”是“直线l 1∥l 2”的必要条件．2． a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与直线bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直答案 C解析 ∵直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0，而b sin A ＋a (－sin B )＝0，∴两直线垂直．故选C.3． (2013·广东)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0答案 A解析 与直线y ＝x ＋1垂直的直线设为：x ＋y ＋b ＝0. 则|b |2＝r ＝1，所以|b |＝2，又相切于第一象限， 所以b ＝－ 2.4． 已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为 ( )A ．(x ±33)2＋y 2＝43B ．(x ±33)2＋y 2＝13C ．x 2＋(y ±33)2＝43D ．x 2＋(y ±33)2＝13答案 C解析 由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为23π，设圆心(0，a )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋(y ±33)2＝43. 5． 设P 为直线3x ＋4y ＋3＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 的面积的最小值为 ( )A ．1 B.32C ．2 3 D. 3答案 D解析 依题意，圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心是点C (1,1)，半径是1，易知|PC |的最小值等于圆心C (1,1)到直线3x ＋4y ＋3＝0的距离，即105＝2，而四边形PACB 的面积等于2S △PAC ＝2×(12|PA |·|AC |)＝|PA |·|AC |＝|PA |＝|PC |2－1，因此四边形PACB的面积的最小值是22－1＝3，选D.6． 两个圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0(a ∈R )与C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0(b ∈R )恰有三条公切线，则a ＋b 的最小值为 ( )A ．－6B ．－3C ．－3 2D ．3答案 C解析 两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程为圆C 1：(x ＋a )2＋y 2＝4， 圆C 2：x 2＋(y －b )2＝1， 所以|C 1C 2|＝a 2＋b 2＝2＋1＝3， 即a 2＋b 2＝9. 由(a ＋b2)2≤a 2＋b 22得(a ＋b )2≤18，所以－32≤a ＋b ≤32，当且仅当“a ＝b ”时取“＝”．∴选C. 二、填空题7． 已知直线l 1与圆x 2＋y 2＋2y ＝0相切，且与直线l 2：3x ＋4y －6＝0平行，则直线l 1的方程是________．答案 3x ＋4y －1＝0或3x ＋4y ＋9＝0解析 依题意，设所求直线l 1的方程是3x ＋4y ＋b ＝0，则由直线l 1与圆x 2＋(y ＋1)2＝1相切，可得圆心(0，－1)到直线3x ＋4y ＋b ＝0的距离为1，即有|b －4|5＝1，解得b ＝－1或b ＝9.因此，直线l 1的方程是3x ＋4y －1＝0或3x ＋4y ＋9＝0.8． (2013·山东)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．答案 2 2解析 由题意知，当弦的中点与圆心的连线与弦垂直时弦长最短，此 时，点(3,1)为弦的中点，如图所示． ∴|AB |＝2|BE |＝2|BC |2－|CE |2＝ 24－2＝2 2.9． 若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b－2)2的最小值为________． 答案 5解析 由题意知，圆心坐标为(－2，－1)， ∴－2a －b ＋1＝0， ∵a －2＋b －2表示点(a ，b )与(2,2)的距离， ∴a －2＋b －2的最小值为|4＋2－1|4＋1＝5，∴(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.10．(2013·湖北)已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1(0<θ<π2)．设圆O上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝________. 答案 4解析 圆心O 到直线l 的距离d ＝1cos 2θ＋sin 2θ＝1，而圆O 半径为5，∴圆O 上到l 的距离等于1的点有4个． 三、解答题11．如图所示，已知以点A (－1，2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P .(1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程；(3)BQ →·BP →是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由． 解 (1)设圆A 的半径为R .∵圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，∴R ＝|－1＋4＋7|5＝2 5. ∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.连接AQ ，则AQ ⊥MN .∵|MN |＝219，∴|AQ |＝20－19＝1.由|AQ |＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34. ∴直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0.∴所求直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.(3)∵AQ ⊥BP ，∴AQ →·BP →＝0.∴BQ →·BP →＝(BA →＋AQ →)·BP →＝BA →·BP →＋AQ →·BP →＝BA →·BP →.当直线l 与x 轴垂直时，得P ⎝⎛⎭⎪⎫－2，－52. 则BP →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－52，又BA →＝(1,2)， ∴BQ →·BP →＝BA →·BP →＝－5.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x ＋，x ＋2y ＋7＝0，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k －71＋2k ，－5k 1＋2k . ∴BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－51＋2k ，－5k 1＋2k . ∴BQ →·BP →＝BA →·BP →＝－51＋2k －10k 1＋2k＝－5. 综上所述，BQ →·BP →是定值，且BQ →·BP →＝－5.12．已知曲线C 的方程：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5m ＝0.(1)当m 为何值时，此方程表示圆；(2)若m ＝0，是否存在过点P (0,2)的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且|PA |＝|AB |，若存在，求直线l 的方程；若不存在，说明理由．解 (1)方程可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5－5m ，当5－5m >0，即m <1时表示圆．(2)当m ＝0时，曲线C 的方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0.①当直线l 斜率不存在时，即直线l 方程为x ＝0，A (0,0)，B (0，－2)，|PA |＝|AB |，符合题意．②当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为y ＝kx ＋2，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2，x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0. 有(1＋k 2)x 2＋(6k －4)x ＋8＝0.依题意有Δ＝4(k 2－12k －4)>0，∵|PA |＝|AB |，∴A 为PB 的中点，∴x B ＝2x A .∴⎩⎪⎨⎪⎧ x A ＋x B ＝4－6k 1＋k ，x A x B ＝81＋k 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x A ＝4－6k ＋k 2，x 2A ＝41＋k 2.解得k ＝－512，满足Δ>0， ∴直线l 的方程为5x ＋12y －24＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＝0或5x ＋12y －24＝0.13．已知点P 是圆F 1：(x ＋3)2＋y 2＝16上任意一点，点F 2与F 1关于原点对称．线段PF 2的中垂线与PF 1交于M 点．(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)设轨迹C 与x 轴的左、右两个交点分别为A ，B ，点K 是轨迹C 上异于A ，B 的任意一点，KH ⊥x 轴，H 为垂足，延长HK 到点Q 使得HK ＝KQ ，连接AQ 并延长交过B 且垂直于x 轴的直线l 于点D ，N 为DB 的中点．试判断直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系．解 (1)由题意得，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，圆F 1的半径为4，且|MF 2|＝|MP |， 从而|MF 1|＋|MF 2|＝|MF 1|＋|MP |＝4>|F 1F 2|＝2 3.∴点M 的轨迹是以F 1、F 2为左、右焦点的椭圆，其中长轴长2a ＝4，焦距2c ＝23，则短半轴长b ＝a 2－c 2＝4－3＝1，∴点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)如图，设K (x 0，y 0)，则x 204＋y 20＝1. ∵HK ＝KQ ，∴Q (x 0,2y 0)．∴OQ ＝x 20＋y 02＝2，∴Q 点在以O 为圆心，2为半径的圆上，即Q 点在以AB 为直径的圆O 上． 又A (－2,0)，∴直线AQ 的方程为y ＝2y 0x 0＋2(x ＋2)． 令x ＝2，得D (2，8y 0x 0＋2)． 又B (2,0)，N 为DB 的中点，∴N (2，4y 0x 0＋2)． ∴OQ →＝(x 0,2y 0)，NQ →＝(x 0－2，2x 0y 0x 0＋2)． ∴OQ →·NQ →＝x 0(x 0－2)＋2y 0·2x 0y 0x 0＋2＝x 0(x 0－2)＋4x 0y 20x 0＋2＝x 0(x 0－2)＋x 0－x 20x 0＋2＝x 0(x 0－2)＋x 0(2－x 0)＝0.∴OQ →⊥NQ →.∴直线QN 与圆O 相切．。
2014高考数学知识点：直线与圆
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高二《直线与圆》知识点总结
高二《直线与圆》知识点总结直线与圆是高中数学中的重要内容，它们在几何学和代数学中具有广泛的应用。
掌握了直线与圆的相关知识，对于理解和解决几何和代数问题都有很大的帮助。
本文将对高二学生需要掌握的直线与圆的知识点进行总结。
一、直线与圆的基本概念和性质：1. 直线的定义和性质：直线是一条无限延伸的连续直线，具有无宽度和无端点的特点。
直线的特征是经过其中任意两点的直线上的所有点。
2. 圆的定义和性质：圆是由平面上到一个固定点的距离相等的所有点组成的集合。
圆由圆心和半径唯一确定，其中半径是圆心到圆上任意一点的距离。
3. 直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有三种情况：相离、相切和相交。
相离表示直线与圆没有任何交点；相切表示直线与圆有且仅有一个交点；相交表示直线与圆有两个交点。
4. 切线的定义和性质：切线是与圆相切且与圆的切点相同的直线，切线与半径垂直。
二、直线与圆的方程和解析几何：1. 直线的一般方程：直线的一般方程可以写为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数。
2. 直线的斜截式方程：直线的斜截式方程可以写为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
3. 圆的方程：圆的方程可以写为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a，b)为圆心坐标，r为半径。
4. 直线与圆的位置关系的方程：要判断直线和圆的位置关系，可以将直线的方程代入圆的方程，并解方程得到判别式。
判别式小于0时，直线和圆相离；判别式等于0时，直线和圆相切；判别式大于0时，直线和圆相交。
三、直线与圆的交点和切线：1. 直线与圆的交点：若要求直线与圆的交点，可以将直线的方程代入圆的方程，并解方程得到交点的坐标。
2. 切线的判定和方程：若要确定直线是否为圆的切线，可以计算直线的斜率，然后计算圆心到直线的距离。
若斜率与圆心到直线的距离相等，则直线为圆的切线。
切线方程可以使用直线方程得出。
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解得 k1＝－3，k2＝1.∴k＝－3 或 1. (2) 设直线 x－2y－1＝0 的倾斜角为 α，则所求直线的倾斜角为 2α. 1 由已知得 tan α＝ ， 2 2tan α 则 tan 2α＝ ＝ 1－tan2α 1 2× 2 4 ＝ ， 1 3 1－ 2 2
4 所以所求直线方程为 y－0＝ (x－1)， 3 即 4x－3y－4＝0. 考点二 圆的方程及应用 例 2 (1)已知圆 C 过点(1,0)，且圆心在 x 轴的正半轴上．直线 l：y＝x－1 被圆 C 所截得的 弦长为 2 2，则过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为________________． (2)已知 A(－2,0)，B(0,2)，实数 k 是常数，M，N 是圆 x2＋y2＋kx＝0 上两个不同点，P 是圆 x2＋y2＋kx＝0 上的动点，如果 M，N 关于直线 x－y－1＝0 对称，则△PAB 面积的 最大值是________． 答案 解析 (1)x＋y－3＝0 (2)3＋ 2 (1)设圆心坐标为(x0,0)(x0>0)，由于圆过点(1,0)，则半径 r＝|x0－1|.圆心到直线 l
[来源:]
)
(2) 过 点 (1,0) 且 倾 斜 角 是 直 线 x － 2y － 1 ＝ 0 的 倾 斜 角 的 两 倍 的 直 线 方 程 是
Go the distance
________________． 答案 解析 (1)C (2)4x－3y－4＝0 (1)∵l1⊥l2，∴k(k－1)＋(1－k)(2k＋3)＝0，
Go the distance
5． 直线与圆、圆与圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法． (2)圆与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法.
考点一 直线的方程及应用 例 1 (1)过点(5,2)，且在 y 轴上的截距是在 x 轴上的截距的 2 倍的直线方程是 ( A．2x＋y－12＝0 B．2x＋y－12＝0 或 2x－5y＝0 C．x－2y－1＝0 D．x－2y－1＝0 或 2x－5y＝0 (2)若直线 l1：x＋ay＋6＝0 与 l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0 平行，则 l1 与 l2 间的距离为( A. 2 答案 解析 8 2 B. 3 (1)B (2)B x y (1)当直线过原点时方程为 2x－5y＝0， 不过原点时， 可设出其截距式为 ＋ ＝1， a 2a C. 3 8 3 D. 3 ) )
[来源:学#科#网]
|C2－C1| A2＋B2
(其中两平行线方程分别为 l1：Ax＋By＋C1＝0.l2：
提醒 应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中 x，y 的系数应对应相等． 4． 圆的方程的两种形式 (1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
当直线 l 与 x 轴不垂直时， 设直线 l 的方程为 y＝k(x＋1)， 线段 PQ 的中点为 M， 由于|PQ| ＝2 3，易得|CM|＝1. |－3＋k| 4 4 又|CM|＝ 2 ＝1，解得 k＝ ，此时直线 l 的方程为 y＝ (x＋1)．故所求直线 l 的方 3 3 k ＋1 程为 x＝－1 或 4x－3y＋4＝0.故选 B. (2)设所求圆的半径是 r，依题意得，抛物线 y2＝4x 的焦点坐标是(1,0)，则圆 C 的圆心 |4×0－3×1－2| |AB| 2 坐标是(0,1)， 圆心到直线 4x－3y－2＝0 的距离 d＝ ＝1， 则 r2＝d2＋( ) 2 42＋－32 ＝10，故圆 C 的 方程是 x2＋(y－1)2＝10. 考点三 直线与圆、圆与圆的位置关系 例 3 (2013· 江苏)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0, 3)，直线 l：y ＝2x－4.设圆 C 的半径为 1，圆心在 l 上． (1)若圆心 C 也在直线 y＝x－1 上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线的 方程； (2)若圆 C 上存在点 M，使|MA|＝2|MO|，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围． 解 (1)由题设，圆心 C 是直线 y＝2x－4 和 y＝x－1 的交点，解得点 C(3,2)，
12 所以点 C 的横坐标 a 的取值范围为 0， 5 . (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻 找解题途径， 减少运算量． 研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径 的比较实现，两个圆的位置关系判断依据两个圆心距离与半径差与和的比较． (2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建 立切线斜率的等式， 所以求切线方程时主要选择点斜式． 通过过圆外一点的圆的切线条 数可以判断此点和圆的位置关系． 过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外点距离利用 勾股定理处理． (1)(2013· 江西)过点( 2， 0)引直线 l 与曲线 y＝ 1－x2相交于 A、 B 两点， O 为坐标原点， 当△AOB 的面积取最大值时，直线 l 的斜率等于 A. 3 3 B．－ 3 3 C．± 3 3 D．－ 3 ( )
(1)要注意几种直线方程的局限性． 点斜式、 两点式、 斜截式要求直线不能与 x 轴垂直． 而 截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线． (2)求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要 条件，即“斜率相等”或“互为负倒数”．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结 合的方法去研究． (1)直线 l1：kx＋(1－k)y－3＝0 和 l2：(k－1)x＋(2k＋3)y－2＝0 互相垂直，则 k＝ ( A．－3 或－1 C．－3 或 1 B．3 或 1 D．3 或－1
|x0－1| |x0－1|2＝(x －1)2－2，整理得(x －1)2＝4. 的距离为 d＝ .由弦长为 2 2可知 0 0 2 2 ∴x0－1＝± 2，∴x0＝3 或 x0＝－1(舍去)． 因此圆心为(3,0)，由此可求得过圆心且与直线 y＝x－1 垂直的直线方程为 y＝－(x－3)， 即 x＋y－3＝0. k k (2)依题意得圆 x2＋y2＋kx＝0 的圆心(－ ，0)位于直线 x－y－1＝0 上，于是有－ －1＝ 2 2 0，即 k＝－2，因此圆心坐标是(1,0)，半径是 1.由题意可得|AB|＝2 2，直线 AB 的方程 是 |1－0＋2| 3 2 x y ＋ ＝1，即 x－y＋2＝0，圆心(1,0)到直线 AB 的距离等于 ＝ ，点 P 2 －2 2 2 3 2＋2 3 2 1 ＋1， △PAB 面积的最大值为 ×2 2× ＝3＋ 2. 2 2 2
(2)已知圆 C 的圆心与抛物线 y2＝4x 的焦点关于直线 y＝x 对称，直线 4x－3y－2＝0 与 圆 C 相交于 A，B 两点，且|AB|＝6，则圆 C 的方程为________． 答案 解析 (1)B (2)x2＋(y－1)2＝10 (1)当直线 l 与 x 轴垂直时，易知 x＝－1 符合题意；
(2)(2013· 重庆)已知圆 C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆 C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N 分 别是圆 C1，C2 上的动点，P 为 x 轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为 A．5 2－4 C．6－2 2 B. 17－1 D. 17 ( )
(3)(2013· 山东改编)过点 P(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1 的两条 切线，切点分别为 A，B，则直 线 AB 的方程为________，△PAB 的外接圆方程为________________________． 答案 解析 1 5 (1)B (2)A (3)2x＋y－3＝0 (x－2)2＋(y－ )2＝ 2 4 1 (1)∵S△AOB＝ |OA||OB|· sin∠AOB 2
再由过点(5,2)即可解出 2x＋y－12＝0. (2)由 l1∥l2， 知 3＝a(a－2)且 2a≠6(a－2)，2a2≠18， 求得 a＝－1，
6－2 3 2 所以 l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋ ＝0，两条平行直线 l1 与 l2 间的距离为 d＝ 2 3 1 ＋－12
＝ 8 2 . 3
1 1 ＝ sin∠AOB≤ . 2 2 π 当∠AOB＝ 时，S△AOB 面积最大． 2 此时 O 到 AB 的距离 d＝ 2 . 2
于是切线的斜率必存在． 设过 A(0,3)的圆 C 的切线方程为 y＝kx＋3， 由题意， |3k＋1|
2
3 ＝1，解得 k＝0 或－ ， 4 k ＋1
故所求切线方程为 y＝3 或 3x＋4y－12＝0. (2)因为圆心在直线 y＝2x－4 上，所以圆 C 的方程为 (x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.
Go the distance
设点 M(x，y)，因为|MA|＝2|MO|，所以 x ＋y－3 ＝2
2
2
x ＋y ，化简得 x2＋y2＋2y－
2
2
3＝0，即 x2＋(y＋1)2＝4，所以点 M 在以 D(0，－1)为圆心，2 为半径的圆上． 由题意，点 M(x，y)在圆 C 上，所以圆 C 与圆 D 有公共点，则 2－1≤|CD|≤2＋1， 即 1≤ a2＋2a－32≤3. 由 5a2－12a＋8≥0，得 a∈R； 由 5a2－12a≤0，得 0≤a≤ 12 . 5
Go the distance
直与圆
考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题．直线与圆的位置关系(特别 是弦长问题)，此类问题难度属于中等，一般以选择题、填空题的形式出现，有时也会出现 解答题，多考查其几何图形的性质或方程知识．
1． 直线方程的五种形式 (1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点 P1(x1，y1)，且斜率为 k，不包括 y 轴和平行于 y 轴的直线)． (2)斜截式：y＝kx＋b(b 为直线 l 在 y 轴上的截距，且斜率为 k，不包括 y 轴和平行于 y 轴的直线)． y－y1 x－x1 (3)两点式： ＝ (直线过点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且 x1≠x2，y1≠y2，不包括 y2－y1 x2－x1 坐标轴和平行于坐标轴的直线)． x y (4)截距式： ＋ ＝1(a、b 分别为直线的横、纵截距，且 a≠0，b≠0，不包括坐标轴、 a b 平行于坐标轴和过原点的直线)． (5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中 A，B 不同时为 0)． 2． 直线的两种位置关系 当不重合的两条直线 l1 和 l2 的斜率存在时： (1)两直线平行 l1∥l2⇔k1＝k2. (2)两直线垂直 l1⊥l2⇔k1· k2＝－1. 提醒 当一条直线的斜率为 0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形 易忽略． 3． 三种距离公式 (1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离：|AB|＝ x2－x12＋y2－y12. |Ax0＋By0＋C| (2)点到直线的距离：d＝ (其中点 P (x0，y0)，直线方程为：Ax＋By＋C＝0)． A2＋B2 (3)两平行线间的距离：d＝ Ax＋By＋C2＝0)．