2016年北京中考一模数学压轴试题汇编(几何、新定义)

2016年中考一模压轴题汇编28．在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90︒，点D 在射线BC 上（与B 、C 两点不重合），以AD 为边作正方形ADEF ，使点E 与点B 在直线AD 的异侧，射线BA 与射线CF 相交于点G ． （1）若点D 在线段BC 上，如图1.①依题意补全图1；②判断BC 与CG 的数量关系与位置关系，并加以证明；（2）若点D 在线段BC 的延长线上，且G 为CF 中点，连接GE ，ABGE 的长为_______，并简述求GE 长的思路．图1 备用图29．在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C不重合的点，点P 关于⊙C 的限距点的定义如下：若P '为 直线PC 与⊙C 的一个交点，满足2r PP r '≤≤，则称P ' 为点P 关于⊙C 的限距点，右图为点P 及其关于⊙C 的限 距点P '的示意图．（1）当⊙O 的半径为1时．①分别判断点M (3,4)，N 5(,0)2，T 关 于⊙O 的限距点是否存在？若存在，求其坐标；②点D 的坐标为（2,0），DE ，DF 分别切⊙O 于点E ，点F ，点P 在△DEF 的 边上.若点P 关于⊙O 的限距点P '存在，求点P '的横坐标的取值范围；（2）保持（1）中D ，E ，F 三点不变，点P 在△DEF 的边上沿E →F →D →E 的方向运动，⊙C 的圆心C 的坐标为（1,0），半径为r .请从下面两个问题中任选一个作答. 温馨提示：答对问题1得2分，答对问题2得1分，两题均答不重复计分.28．在正方形ABCD 中，点P 是射线CB 上一个动点，连接PA ，PD ，点M ，N 分别为BC ，AP 的中点，连接MN 交PD 于点Q ．（1）如图1，当点P 与点B 重合时，QPM V 的形状是_____________________； （2）当点P 在线段CB 的延长线上时，如图2． ①依题意补全图2；②判断QPM V 的形状，并加以证明；（3）点P '与点P 关于直线AB 对称，且点P '在线段BC 上，连接AP '，若点Q 恰好在直线AP '上，正方形ABCD 的边长为2，请写出求此时BP 长的思路．（可以不写出计算结果）NAC DC图1 图2 图329．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和图形W ,如果线段OP 与图形W 无公共点，则称点P 为关于图形W 的“阳光点”；如果线段OP 与图形W 有公共点，则称点P 为关于图形W 的“阴影点”． （1）如图1，已知点()13A ，，()11B ，，连接AB①在()11,4P ，()21,2P ，()32,3P ，()42,1P 这四个点中，关于线段AB 的“阳光点”是 ； ②线段11A B AB P ；11A B 上的所有点都是关于线段AB 的“阴影点”，且当线段11A B 向上或向下平移时，都会有11A B 上的点成为关于线段AB 的“阳光点”．若11A B 的长为4，且点1A 在1B 的上方，则点1A 的坐标为；（2）如图2，已知点(C，C e 与y 轴相切于点D ．若E e 的半径为32，圆心E 在直线l y =+：上，且E e 上的所有点都是关于C e 的“阴影点”，求圆心E 的横坐标的取值范围； （3）如图3，M e 的半径是3，点M 到原点的距离为5．点N 是Me 上到原点距离最近的点，点Q 和T 是坐标平面内的两个动点，且M e 上的所有点都是关于NQT ∆的“阴影点”，直接写出NQT ∆的周长的最小值．CBCB28. 如图，等边△ABC ，其边长为1， D 是BC 中点，点E ，F 分别位于AB ，AC 边上，且∠EDF =120°.（1）直接写出DE 与DF 的数量关系；（2）若BE ，DE ，CF 能围成一个三角形，求出这个三角形最大内角的度数；（要求：写出思路，画出图形，直接给出结果即可）（3）思考：AE +AF 的长是否为定值？如果是，请求出该值，如果不是，请说明理由.备用图29. 对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若存在过点P 的直线l 交⊙C 于异于点P的A ，B 两点，在P ，A ，B 三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P 为⊙C 的相邻点，直线l 为⊙C 关于点P 的相邻线.（1）当⊙O 的半径为1时，○1分别判断在点D （21，14），E（0，），F （4，0）中，是⊙O 的相邻点 有__________；○2请从○1中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出⊙O 关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程.○3点P 在直线3y x =-+上，若点P 为⊙O 的相邻点，求点P 横坐标的取值范围； （2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线y x =+与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，若线．段．MN 上存在⊙C 的相邻点P ，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．图1 备用图128．在等腰三角形ABC中，AC=BC，点P为BC边上一点（不与B、C重合），连接PA，以P为旋转中心，将线段PA顺时针旋转，旋转角与∠C相等，得到线段PD，连接DB．（1）当∠C=90º时，请你在图1中补全图形，并直接写出∠DBA的度数；（2）如图2，若∠C=α，求∠DBA的度数（用含α的代数式表示）；（3）连接AD，若∠C =30º，AC=2，∠APC=135º，请写出求AD长的思路．（可以不写出计算结果）29．在平面直角坐标系xOy中，A（t，0），B（t+，0），对于线段AB和x轴上方的点P给出如下定义：当∠APB=60°时，称点P为AB的“等角点”．（1）若t=-在点32C⎛⎫⎪⎝⎭，,2D⎛⎫⎪⎪⎝⎭，3,22E⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭中，线段AB的“等角点”是；（2）直线MN分别交x轴、y轴于点M、N，点M的坐标是（6，0），∠OMN=30°．①线段AB的“等角点”P在直线MN上，且∠ABP=90°，求点P的坐标；②在①的条件下，过点B作BQ⊥PA，交MN于点Q，求∠AQB的度数；③若线段AB的所有“等角点”都在△MON内部，则t的取值范围是．图1PCB APCB A图2EA CD B 28．在正方形ABCD 中，E 为边CD 上一点，连接BE ．（1）请你在图1画出△BEM ，使得△BEM 与△BEC 关于直线BE 对称；（2）若边AD 上存在一点F ，使得AF+CE=EF ，请你在图2中探究∠ABF 与∠CBE 的数量关系并证明；（3）在（2）的条件下，若点E 为边CD 的三等分点，且CE<DE ，请写出求cos ∠FED 的思路．（可以不写出计算结果．．．．．．．．．）．图1 图2 备用图29．在平面直角坐标系xOy 中，图形W 在坐标轴上的投影长度定义如下：设点),(11y x P ，),(22y x Q 是图形W 上的任意两点．若21x x -的最大值为m ，则图形W 在x 轴上的投影长度m l x =；若21y y -的最大值为n ，则图形W 在y 轴上的投影长度n l y =．如右图，图形W 在x 轴上的投影长度213=-=x l ；在y 轴上的投影长度404=-=y l ．（1）已知点)3,3(A ，)1,4(B ．如图1所示，若图形W 为△OAB ，则=x l ，=y l ． （2）已知点)0,4(C ，点D 在直线26y x =-+上，若图形W 为△OCD ．当y x l l =时，求点D 的坐标．（3）若图形W 为函数2x y =）（b x a ≤≤的图象，其中0a b ≤<．当该图形满足1≤=y x l l 时，请直接写出a 的取值范围．AC DB28．已知：在△ABC 中，∠BAC =60°．（1）如图1，若AB =AC ，点P 在△ABC 内，且∠APC =150°，PA =3，PC =4，把△APC 绕着点A 顺时针旋转，使点C 旋转到点B 处，得到△ADB ，连接DP ①依题意补全图1； ②直接写出PB 的长；（2）如图2，若AB =AC ，点P 在△ABC 外，且PA =3，PB =5，PC =4，求∠APC 的度数；（3）如图3，若AB =2AC ，点P 在△ABC 内，且PA =3，PB =5，∠APC =120°，请直接写出PC 的长．ABB图1 图2 图329．在平面直角坐标系xOy 中，点P （a ，b ）的“变换点”Q 的坐标定义如下；当时b a ≥，Q 点坐标为（b ，-a ）；当a ＜b 时，Q 点的坐标为（a ，-b )． （1）求（-2，3），（6，-1）的变换点坐标；（2）已知直线l 与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B （0，2）．若直线l 上所有点的变换点组成一个新的图形，记作图形W ．请画出图形W ，并简要说明画图的思路； （3）若抛物线c x y +-=243与图形W有三个交点，请直接写出c 的取值范围．28.如图1，在四边形ABCD 中，BA =BC ，∠ABC =60°，∠ADC =30°，连接对角线BD .（1）将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE.①依题意补全图1；②试判断AE与BD的数量关系，并证明你的结论；（2）在（1）的条件下，直接写出线段DA、DB和DC之间的数量关系；（3）如图2，F是对角线BD上一点，且满足∠AFC=150°，连接FA和FC，探究线段FA、FB和FC之间的数量关系，并证明.（图1）（图2）29.在平面直角坐标系xoy中，对于任意三点A，B，C给出如下定义：如果正方形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在正方形的内部或边界上，那么称该正方形为点A，B，C的外延正方形，在点A，B，C所有的外延正方形中，面积最小的正方形称为点A，B，C的最佳外延正方形.例如，图1中的正方形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3CD3都是点A，B，C的外延正方形，正方形A3B3CD3是点A，B，C的最佳外延正方形.（图1）（图2）（图3 ）（图4）（1）如图1，点A（-1，0），B（2，4），C（0，t）（t为整数）.①如果t=3，则点A，B，C的最佳外延正方形的面积是；②如果点A，B，C的最佳外延正方形的面积是25，且使点C在最佳外延正方形的一边上，请写出一个符合题意的t值；（2）如图3，已知点M（3，0），N（0，4），P（x，y）是抛物线y=x2-2x-3上一点，求点M，N，P的最佳外延正方形的面积以及点P的横坐标x的取值范围；（3）如图4，已知点E（m，n）在函数x6y （x>0）的图象上，且点D的坐标为（1，1），设点O，D，E的最佳外延正方形的边长为a，请直接写出a的取值范围.28．在等边△ABC 外侧作直线AP ，点B 关于直线AP 的对称点为D ，连接AD ，BD ，CD ，其中CD 交直线AP 于点E ．设∠PAB ＝α，∠ACE ＝β，∠AEC ＝γ．(1) 依题意补全图1；(2) 若α＝15°，直接写出β和γ的度数； (3) 如图2，若60°<α<120°，①判断α，β的数量关系并加以证明；②请写出求γ大小的思路．（可以不写出计算结果．．．．．．．．．） 29．在平面直角坐标系xOy 中，给出如下定义：若点P 在图形M 上，点Q 在图形N 上，称线段PQ 长度的最小值为图形M ，N 的密距，记为d (M ，N )．特别地，若图形M ，N 有公共点，规定d (M ，N )＝0． (1) 如图1，⊙O 的半径为2，①点A (0，1)，B (4，3)，则d (A ，⊙O )＝ ，d (B ，⊙O )＝ ． ②已知直线l ：b x y +=43与⊙O 的密距d (l ，⊙O )＝56，求b 的值．(2) 如图2，C 为x 轴正半轴上一点，⊙C 的半径为1，直线33433+=x y －与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E ，线段．．DE 与⊙C 的密距d (DE ，⊙C )<21．请直接写出圆心C 的横坐标m 的取值范围．图1图2图2A BPCAB CP图128. 在矩形ABCD 中，将对角线CA 绕点C 逆时针旋转得到CE ，连接AE ，取AE 的中点F ，连接BF ，DF . （1）若点E 在CB 的延长线上，如图1.①依题意补全图1；②判断BF 与DF 的位置关系并加以证明；（2）若点E 在线段BC 的下方，如果∠ACE =90°，∠ACB =28°，AC =6，请写出求BF 长的思路.（可以．．不写出计算结果．．．．．．．）29. 如图，点P ( x , y 1)与Q (x , y 2)分别是两个函数图象C 1与C 2上的任一点. 当a ≤ x ≤ b 时，有-1 ≤ y 1 - y 2≤ 1成立，则称这两个函数在a ≤ x ≤ b 上是“相邻函数”，否则称它们在a ≤ x ≤ b 上是“非相邻函数”. 例如，点P (x , y 1)与Q (x , y 2)分别是两个函数y = 3x +1与y = 2x - 1图象上的任一点，当-3 ≤ x ≤ -1时，y 1 - y 2 = (3x + 1) - (2x - 1) = x + 2，通过构造函数y = x + 2并研究它在-3 ≤ x ≤ -1上的性质，得到该函数值的范围是-1 ≤ y ≤ 1，所以-1 ≤ y 1 - y 2 ≤ 1成立，因此这两个函数在-3 ≤ x ≤ -1上是“相邻函数”.（1）判断函数y = 3x + 2与y = 2x + 1在－2 ≤ x ≤ 0上是否为“相邻函数”，并说明理由； （2）若函数y = x 2 - x 与y = x - a 在0 ≤ x ≤ 2上是“相邻函数”，求a 的取值范围；（3）若函数y =x a与y =－2x + 4在1 ≤ x ≤ 2上是“相邻函数”，直接写出a 的最大值与最小值.28. 在正方形ABCD 中，点H 在对角线BD 上（与点B 、D 不重合），连接AH ，将HA 绕点H顺时针图1备用图ABC D A BCD旋转 90º与边CD (或CD 延长线)交于点P ，作HQ ⊥BD 交射线DC 于点Q. (1)如图1:①依题意补全图1；②判断DP 与CQ 的数量关系并加以证明；(2)若正方形ABCD 的边长为3，当 DP=1时,试求∠PHQ 的度数.29．给出如下规定：两个图形G 1和G 2，点P 为G 1上任一点，点Q 为G 2上任一点，如果线段PQ 的长度存在最小值时，就称该最小值为两个图形G 1和G 2之间的“近距离”；如果线段PQ 的长度存在最大值时，就称该最大值为两个图形G 1和G 2之间的“远距离” ．请你在学习，理解上述定义的基础上，解决下面问题：在平面直角坐标系xOy 中，点A （-4， 3），B （-4，-3），C （4，-3），D （4， 3）．(1)请在平面直角坐标系中画出四边形ABCD ，直接写出线段AB 和线段CD 的“近距离”和“远距离”． (2)设直线b x y +=34（b>0）与x 轴，y 轴分别交于点E ，F ，若线段EF 与四边形ABCD 的“近距离”是1，求它们的“远距离” ；(3)在平面直角坐标系xOy 中，有一个矩形GHMN ，若此矩形至少有一个顶点在以O 为圆心，2为半径的圆上，其余各点可能在圆上或圆内.将四边形ABCD 绕着点O 旋转一周，在旋转的过程中，它与矩形GHMN 的“远距离”的最大值是 ；“近距离”的最小值是 ．28．在正方形ABCD 中，连接BD ．（1）如图1，AE ⊥BD 于E ．直接写出∠BAE 的度数．（2）如图1，在（1）的条件下，将△AEB 以A 旋转中心，沿逆时针方向旋转30°后得到△AB'E'，AB'与BD 交于M ，AE'的延长线与BD 交于N ． ① 依题意补全图1；② 用等式表示线段BM 、DN 和MN 之间的数量关系，并证明．（3）如图2，E 、F 是边BC 、CD 上的点，△CEF 周长是正方形ABCD 周长的一半，AE 、AF 分别与BD 交于M 、N ，写出判断线段BM 、DN 、MN 之间数量关系的思路．（不必写出完整推理过程）EDACBNMEDAC BF图1 图229．如图1，P 为∠MON 平分线OC 上一点，以P 为顶点的∠APB 两边分别与射线OM 和ON 交于A 、B两点，如果∠APB 在绕点P 旋转时始终满足OA ·OB =OP 2，我们就把∠APB 叫做∠MON 的关联角．A BO MNCPA N M O CPBAOM CNP B图1 图2 图3（1）如图2，P 为∠MON 平分线OC 上一点，过P 作PB ⊥ON 于B ，AP ⊥OC 于P ，那么∠APB∠MON 的关联角（填“是”或“不是”）． （2）① 如图3，如果∠MON =60°，OP =2，∠APB 是∠MON 的关联角，连接AB ，求△AOB 的面积和∠APB 的度数； ② 如果∠MON =α°（0°＜α°＜90°），OP =m ，∠APB 是∠MON 的关联角，直接用含有α和m的代数式表示△AOB 的面积．（3）如图4，点C 是函数2y x（x ＞0）图象上一个动点，过点C 的直线CD 分别交x 轴和y 轴于A ，B 两点，且满足BC =2CA ，直接写出∠AOB 的关联角∠APB 的顶点P 的坐标．OxyC图428．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC=CD ，∠ACD =α，将线段CD 绕点C 顺时针旋转90°得到线段CE ，连接DE ，AE ，BD ．（1）依题意补全图1；（2）判断AE 与BD 的数量关系与位置关系并加以证明； （3）若0°＜α≤64°，AB =4，AE 与BD 相交于点G ，求点G 到直线AB 的距离的最大值．请写出求解的思路（可以不写出计算结果．．．．．．．．．）．29．对于两个已知图形G 1，G 2，在G 1上任取．．一点P ，在G 2上任取．．一点Q ，当线段PQ 的长度最小时，我们称这个最小长度为G 1，G 2的“密距”，用字母d 表示；当线段PQ 的长度最大时，我们称这个最大的长度为图形G 1，G 2的“疏距”，用字母f 表示．例如，当(1,2)M ，(2,2)N 时，点O 与线．段．MN ．．的“密距”O 与线．段．MN ．．的“疏距”为 （1）已知，在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()0,4B ，()2,0C ，()0,1D ， ①点O 与线段AB 的“密距”为，“疏距”为 ； ②线段AB 与△COD 的“密距”为，“疏距”为 ；（2）直线2y x b =+与x 轴，y 轴分别交于点E ，F ，以()0,1C -为圆心，1为半径作圆，当⊙C 与线段EF 的“密距”0<d <1时，求⊙C 与线段EF 的“疏距”f 的取值范围．28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）和Q （x ，y ′），给出如下定义：备用图图1 备用图图2图1A'B 如果()()0'0y x y y x ⎧⎪=⎨-⎪⎩≥＜，那么称点Q 为点P 的“妫川伴侣”．例如：点（5，6）的“妫川伴侣”为点（5，6），点（－5，6）的“妫川伴侣” 为点（－5，－6）．（1）① 点（2，1）的“妫川伴侣”为 ； ② 如果点A （3，－1），B （－1，3）的“妫川伴侣”中有一个在函数3y x=的图象上，那么这个点是 （填“点A ”或“点B ”）．（2）①点M *（－1，－2）的“妫川伴侣”点M 的坐标为 ；② 如果点N *（m +1，2）是一次函数y = x + 3图象上点N的“妫川伴侣”，求点N 的坐标．（3）如果点P 在函数24y x =-+（－2＜x ≤a ）的图象上，其“妫川伴侣”Q 的纵坐标y ′的取值范围是－4＜y ′≤4，那么实数a 的取值范围是 ．29. 阅读下面材料:小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC （其中∠BAC 是一个可以变化的角）中，AB =2，AC =4，以BC 为边在BC 的下方作等边△PBC ，求AP 的最大值。