数学学习与数学思维的发展

数学学习与数学思维的发展成功的数学教学以对数学学习规律的深刻理解为基础。

数学是一种人类活动，数学家们通过对自己数学创造活动过程的反思，概括出关于数学思维活动规律的理论。

像数学活动中的顿悟、思维策略、思维模式等，本质上都涉及了数学活动中的心理学问题。

作为人类数学活动的一个有机组成部分，学生的数学学习活动有其本身的特殊性，对这种主要发生在数学课堂上的数学活动的特点进行心理学分析，是数学认知理论的一项非常重要的任务。

数学教育心理学认为，学生的数学学习建立在已有数学认知结构的基础上。

因此，数学学习应当与学生的数学思维发展水平相适应认识数学学习的含义，首先必须理解数学学习与人的社会生活需要之间的关系。

众所周知，数学在社会发展中的地位越来越重要了。

国家的繁荣昌盛关键在于高新科技和高效率的经济管理，“高新技术的基础是应用科学，而应用科学的基础是数学”。

数学已成为自然科学、社会科学和行为科学的基础，数学的内容、思想、方法在人类社会生活中的应用越来越广泛，数学的符号和句法、词汇和术语已经成为表述关系和模式的通用工具；数学在提高一个民族的科学和文化素质上起着非常关键的作用，它不但给人以实用的技术，而且也给人以能力，“包括直观思维、逻辑推理、精确计算以及结论的明确无误”。

因此，从社会价值来说，数学为社会发展、人类文明和进步、生产力发展提供了知识资源与动力；从个体价值来说，数学为人们提供了探索客观世界发展规律的必要知识、思想和方法手段。

当今，数学已同时具有科学与技术两种品质，这是其它科学所难以具备的。

现代信息社会中，个体要适应社会发展的需要，就必须掌握必要的数学知识。

因此，数学学习是个体适应社会环境发展变化所必需的。

随着个体身心的发展、与社会环境相互作用过程的深入，个体对数学知识的需求会越来越多，从而刺激了个体数学学习的需求那么，从心理学角度看：1．数学学习首先是个体为适应数学知识的发展变化而进行的一种活动适应，心理学上指个体对环境变化所做出的反应。

就数学学习而言，这种适应具体落实在个体对数学知识体系的发展变化所做出的应答上，其结果是个体的数学认知结构获得发展。

个体数学认知结构发展变化的动力，宏观上，是因为现代社会处于一个数字化的信息时代，需要人们掌握较高水平的数学知识，需要人们不断进行新的数学学习；微观上，来自于个体的认知需要，数学学习过程是作为主体的个体与作为客体的数学知识体系之间进行相互作用的过程，是两者之间的平衡不断被打破，并在新的基础上建立新平衡的动态变化过程。

数学知识的发展变化有其内在固有的规律，这种发展变化会打破个体与数学知识体系之间原有的平衡，并引起个体在心理方面的一系列反映数学知识发展变化的活动，在此基础上产生相应的数学认知行为变化，形成个体新的数学认知结构，从而使个体与数学知识体系之间在新的水平上达到新的平衡。

例如，当学生感到，以定义“在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，那么就说y是x的函数”很难解释“常数函数”为什么也是一种函数的时候，原有的对函数的认识平衡就被打破了，从而产生了学习以“映射”的语言定义函数的需要。

所以，数学学习的过程是个体的数学认知结构的组织和再组织的过程。

主客体相互作用是数学学习发生的客观基础；个体的反应活动及其数学认知结构的变化，是数学学习发生的内在机制；个体数学思维方式的变化则是数学学习发生的外在表现。

2．数学学习由数学活动经验的获得并引起相应的数学思维方式变化而体现。

数学学习作为一种适应数学知识体系发展变化的活动，以数学活动经验的获得并引起相应的数学思维方式变化而体现。

所谓数学活动经验，乃是主体对客观数学知识的反映，不是主观自生的。

因此，数学活动经验的获得是在主客体相互作用过程中发生的。

客观的数学知识的作用和主体的数学思维活动，乃是数学经验得以发生的前提。

而数学活动经验本身则是主体数学活动的主观产物，是主体的数学思维作用于数学对象的产物。

数学活动经验作为主体数学思维活动的产物，它与客观的数学知识既有联系，又不能简单等同。

因为从数学知识的作用到数学活动经验的产生，需要经过主体的数学思维。

也就是要经过一定的主体反映动作的转化，即所谓的“编码”、“译码”过程。

主体反映动作的功能，在于将客观的数学知识经过各种水平的变换，转化为主体内部的数学认知结构，从而用以调节主体的数学活动。

数学认知结构的构建过程，就是使数学事物（包括数学的定义、概念、公理、定理、公式、法则等）之间联系的可能性空间由大变小、逐渐明确精细的过程，即由无序变为有序的过程，也就是使数学知识之间建立联系、获得数学活动经验的过程。

总之，数学活动经验的获得过程，是主体数学认知结构的形成与发展过程。

数学学习的实质，是在个体作为主体与数学知识作为客体的相互作用过程中，通过主体的一系列反映动作，在头脑中构建其数学认知结构的过程。

由于数学认知结构作为数学思维活动的调节机制而存在，因此数学认知结构的变化必然引起个体数学思维活动方式的变化。

由此可以得出数学学习的定义：数学学习是个体以自己数学认知结构的变化适应数学知识体系发展变化的过程，即个体数学活动经验的获得和累积或数学认知结构的构建过程。

数学学习的实质是数学认知结构的构建过程，这是个体的数学认知结构发生变化的内在过程，这个过程目前尚难直接觉察。

但由于数学认知结构是数学活动的内在调节机制，所以其形成、发展状况可以根据个体数学思维方式的变化状况进行推断。

数学思维过程的学习是以数学思想方法为载体，以数学思维技能、技巧和数学思维策略为手段而实现的学习。

这里，数学思维策略是“动脑”的方法，是学生将已掌握的数学知识技能应用于问题情景的一些方法，而这些问题可能是学生以前没有遇到过的。

数学思维过程的学习主要包括以下内容：在阅读数学材料时如何使用“执行控制过程”引导自己的注意，有选择地知觉自己阅读的材料；如何发现和组织相关信息，如怎样使用观察、试验等去发现数学问题的特征和规律，怎样运用比较、类比、联想等发现不同数学对象之间的内在联系；如何整理、组织和记忆数学知识；在数学问题解决中，怎样寻找问题的关键信息，如何解释、转换问题的各种信息（如采用文字、符号、图表、图象等手段），怎样将已经尝试过的方法保持在头脑中，怎样权衡其假设的可能性，如何将目标进行分解，如何将部分综合成整体，在遇到困难时如何及时转换思路；如何通过具体问题的解决而归纳概括出具有一般意义的思想方法，等等。

值得指出，数学思维过程的学习一定是在数学基础知识和基本技能的学习过程中体现出来的。

使学生形成良好的数学头脑，养成“数学地思维”的习惯是数学教学的主要目的之一，但是学生必须具备构成他们数学思维内容的数学基础知识和基本技能的坚实基础：学生无法在无知的状态下进行思考。

因此，数学学习中应当将主要的时间和精力用在基础知识和基本技能的学习上，这并不一定意味着就是忽视数学思维过程的学习。

数学学习与学生数学思维发展的关系是辩证的，两者相互制约、相互促进。

我们可以从以下几个方面来把握这种关系：l.数学思维的发展对数学学习的制约作用。

数学学习的实质是数学认知结构的建构过程，这种建构是在同化与顺应的作用下，将新的数学知识与已有数学认知结构相整合而实现的。

这样，学生必须具备一定的数学知识、技能和数学学习动机才能进行有效学习。

所以，数学学习依赖于学生数学认知结构的发展水平。

同时，数学思维的发展也受到个体心理发展规律的制约。

布鲁纳说，“在发展的每个阶段，儿童都有他自己的观察世界和解释世界的独特方式。

”因此，如果提出的学习要求超越了学生的思维发展阶段，那么数学学习效果就无法保证。

2.数学学习对数学思维发展的促进作用。

数学知识的获得和运用，也即数学学习的实践活动是数学思维发展的源泉。

这主要表现在以下几个方面：第一，随着数学学习的进行，对学生不断提出新的数学学习课题，在回答和解决这些新课题的过程中，数学思维得到不断发展。

同时，新的数学学习课题使得数学学习需要得以不断产生、发展和巩固，从而使学生不断获得数学思维发展的动力。

第二，数学学习实践为学生提供了丰富的感性材料和实践经验，通过对它们的抽象、归纳和概括，学生认识数学概念的本质和规律的能力得到不断发展。

第三，数学学习的实践活动水平是衡量学生数学思维水平的唯一标准。

第四，数学学习也是新习得的数学知识的应用过程，这个过程中可以使新知识得到进一步概括，从而内化到数学认知结构中并使之成为一种能起固着点作用的有用知识，这就导致数学思维产生质的变化，出现新的发展水平。

3、教学学习与数学思维发展互为条件，相互促进。

一方面，数学学习决定学生数学思维发展的水平和质量，不断向学生提出新的发展要求；另一方面，数学学习又必须以学生现有数学思维发展水平为依据。

因此，学生的数学思维如何发展、向哪里发展，主要由适合于他们的恩维发展水平的数学学习活动决定。

在数学思维发展的已有水平与数学学习的关系上，心理学家们的看法并不一致。

例如，加涅的观点是新知识的学习必须在学习包含于新知识内的从属知识的基础上进行。

例如，为了解决数学问题，学生首先要懂得一定的数学原理和解题策略等；要理解这些原理和策略，又必须知道相应的概念；要知道这些概念，又必须建立一系列的联想和了解一系列的事实。

因此，掌握大量的、有组织的从属性知识是成功地解决问题的关键。

而布鲁纳则认为，“任何学科的基本原理都能以某种形式教给任何年龄的任何人”，“无论哪里，在知识的尖端也好，在三年级的教室里也好，智力的活动全都一样。

”这样，只要教学方法适当，学生就可以学会任何知识，而他们的思维发展水平对学习并不重要。

显然，这个观点是有些极端的。

笔者的观点是，学习是在原有的准备状态下进行的，即学生的数学思维及数学学习动机的发展水平是新学习的出发点。

因此，教师在数学教学中，无论是教学目标的确定、教学内容的选择、教学活动的组织，还是学习结果的检查，都要考虑到学生数学思维发展水平问题。

另外，一定的数学思维发展状态不仅为新学习提供了基础，而且也为数学思维创造了新的发展可能。

这样，数学学习又不是消极地适应数学思维已有的发展水平，而是要积极地促进数学思维的发展，将发展的可能转变为发展的现实。

因此，教师在数学教学中，应当同时考虑学生数学思维的现实发展和可能发展，以现实发展为出发点，以可能发展为定向，使学生通过学习把新数学知识内化为自己的经验，从而实现学习对数学思维发展的促进作用。