概统(昆工版(教材习题第一至六章(演示版)[1]
统计学概论_云南大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
统计学概论_云南大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.在离散程度的测度中，最容易受极端值影响的是( )。
参考答案:极差2.变量值与其平均数的离差除以标准差后的值称为（）参考答案:标准分数3.经验法则表明，当一组数据对称分布时，在平均数加减2个标准差的范围之内大约有（）参考答案:95%的数据4.偏态系数测度了数据分布的非对称性程度。
如果一组数据的分布是对称的，则偏态系数（）参考答案:等于05.一家电脑公司从两个供应商处购买了同一种计算机配件，质量状况如下表所示：供应商正品数次品数合计甲84690乙1028110合计18614200设A=取出的一个为正品，B=取出的一个为供应商甲供应的配件。
从这200个配件中任取一个进行检查，取出的一个为供应商甲供应的配件的概率为（）.参考答案:0.456.如果一组数据不是对称分布的，根据切比雪夫不等式，对于k=3，其意义是（）参考答案:至少有89%的数据落在平均数加减2个标准差的范围之内7.比较两组数据的离散程度最适合的统计量是（）参考答案:离散系数8.如果峰态系数k>0，表明该组数据是（）参考答案:尖峰分布9.某班共有25名学生，期末统计学课程的考试分数分别为： 68，73，66，76, 86, 74, 61, 89, 65, 90, 69, 67, 76, 62, 81, 63, 68, 81, 70, 73,60，87，75，64，56，该班考试分数的下四分位数和上四分位数分别是( ) 。
参考答案:64.5和78.510.对于右偏分布，平均数、中位数和众数之间的关系是( )。
参考答案:平均数>中位数>众数11.下表是《财富》杂志提供的按销售额和利润排列的500强公司的一个样本数据：公司名称销售额（百万美元）利润额（百万美元）行业代码BancOne102721427.08CPC Intl.9844580.019TysonFoods645487.019….….…. ….…..…….…..Woolworth8092168.748在这个例子中（）参考答案:总体是500强公司，样本是表中所列的公司12.一家具制造商购买大批木材，木材不干会影响家具的尺寸和形状。
概统(昆工版(教材习题第一至三章(教师用)
3 设,,B A 为二事件，化简下列事件： B B B A B BA B A B A B A =⋃=⋃⋃=⋃⋃)()())()(1( B B A B B A A A B A B A =⋃⋃⋃=⋃⋃)())()(2(4 电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0到9这10个数字中的任一个，求电话号码由5个不同数字组成的概率。
3024.010302410427210678910445==⋅=⋅⋅⋅⋅=p5 n 张奖券中有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。
答案：.1k n k m n C C --6 从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”的概率是多少？ 解；将这五双靴子分别编号分组},,,,{};,,,,{5432154321b b b b b B a a a a a A ==，则 C 表示：“至少有两只配成一双”；从5双不同的鞋子中任取4只，其可能选法有.45C 不能配对只能是：一组中选i 只，另一组中选4-i 只，且编号不同，其可能选法为)0,1,2,3,4(;455=--i C C i i i 41045341523251235451)(1)(C C C C C C C C C C P C P ++++-=-= 2113218177224161247720104060401011234789105453245224551=-=⋅⋅-=⋅++++-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+-= 7在[—1，1]上任取一点，求该点到原点的距离不超过51的概率。
答案：以构成三角形的概率。
,0,0a y a x <<<<且a y x <+<0，又 41222,,=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<>+⇒⎪⎩⎪⎨⎧--<---<--->+P a y a x a y x y x a x y y x a y x y x a y x 9在区间)1,0(内任取两个数，求这两个数的积小于41的概率。
概论论与数理统计课本答案CH6 ans
概率论第六章习题解答习题6.11． 求下列总体分布中参数的矩估计：（1）21,01,(;)0,,x x f x θθθ+−≤≤⎧=⎨⎩其他 其中θ < 1；（2）f (x ; p ) = p (1 − p ) x − 1，x = 1, 2, …；其中0 < p < 1；（3）1211221e ,,(;,)0,,x x f x θθθθθθ−−⎧⎪≥=⎨⎪⎩其他 其中−∞ < θ 1 < +∞，θ 2 > 0． 解：（1）因11320021211E()(21)d ()323226X x x x x x θθθθθθθ−−=+−=+=+=+∫，有θ = 6 E (X ) − 3，故θ 的矩估计为ˆ63X θ=−； （2）因1121111d d d 11E()(1)d d d 1(1)x x x x x x x x q X x p p p x qp q p q p p q q q q p q ∞∞∞∞−−====⎛⎞=⋅−=⋅=====⎜⎟−−⎝⎠∑∑∑∑， 故1E()p X =，p 的矩估计为1ˆpX=； （3）因∫∫∫∞+−−+∞−−∞+−−∞+−−+−=−⋅=⋅=121121121121d eede)1(d e1)(E 2θθθθθθθθθθθθθx x x x x X x x x x212121121eeθθθθθθθθθ+=−−=+∞−−+∞−−x x x ，且∫∫∫∞+−−+∞−−∞+−−∞+−−⋅+−=−⋅=⋅=121121121121d 2eede)1(d e1)(E 22222θθθθθθθθθθθθθx x x x x x X x x x x22212122122222)(E 2d e12e121121θθθθθθθθθθθθθθ++=+=⋅+−=∫∞+−−+∞−−X x x x x x ， 则2222122212122)(22)](E [)(E )(D θθθθθθθ=+−++=−=X X X ，即)(D 2X =θ，)(D )(E 1X X −=θ，故θ 1和θ 2的矩估计为n S X −=1ˆθ，nS =2ˆθ． 2． 求下列总体分布中参数的极大似然估计：（1）f (x ; θ ) = θ (1 − θ ) x − 1，x = 1, 2, …；其中0 < θ < 1； （2）λλλ−=e !);(x x f x，x = 0, 1, 2, …；其中λ > 0；（3）222)(ln 2eπ21),;(σµσσµ−−=x xx f ，x = 0；其中−∞ < µ < +∞，σ > 0．解：（1）nx nx x x n ni i n x f x f x f L −−−−∑−=−−⋅−===121)1()1()1()1();();();()(11121θθθθθθθθθθθθ""，即)1ln()(ln )(ln 1θθθ−−∑+==n x n L ni i ，令011)(1d )(ln d 1=−−⋅−∑+⋅==θθθθn x n L n i i ，得xx nni i11==∑=θ， 故θ 的极大似然估计为X1ˆ=θ； （2）λλλλλλλλλλλλn n x n x x x n x x x x x x x f x f x f L ni in−−−−∑=⋅===e !!!e !e !e !);();();()(212121121"""，即λλλn x x x x L n ni i −−⋅∑==)!!!ln(ln )(ln 211"，令01d )(ln d 1=−⋅∑==n x L n i i λλλ，得x x n ni i ==∑=11λ， 故λ 的极大似然估计为X =λˆ； （3）),;(),;(),;(),(222212σµσµσµσµn x f x f x f L "=212222222212)(ln 212)(ln 2)(ln 22)(ln 1e)π2(1eπ21eπ21eπ21σµσµσµσµσσσσ∑===−−−−−−−−ni i n x nnx nx x x x x x x x ""，即21221222)(ln )ln()ln π2(ln 2),(ln σµσσµ∑−−−+−==ni i n x x x x nL "，令0ln 2)1()(ln 2),(ln 21212=−∑=∑−⋅−−=∂∂==σµσµµσµn x x L ni i ni i ，得∑==ni i x n 1ln 1µ，再令02)(ln 12),(ln 412222=∑−+⋅−=∂∂=σµσσσµni i x n L ，得∑−==n i i x n 122)(ln 1µσ， 故µ和σ 2的极大似然估计为∑==n i i X n 1ln 1ˆµ，∑−===∧∑n i n i i i X n X n 1212)ln 1(ln 1σ． 3． 设总体X 的密度函数为⎩⎨⎧<<+=,,0,10,)1();(其他x x x f θθθ求参数θ 的极大似然估计与矩法估计，并看看它们是否一致？今获得样本观测值为0.4, 0.7, 0.27, 0.55,0.68, 0.31, 0.45, 0.83．试分别求θ 的极大似然估计值与矩估计值．解：因121212()(;)(;)(;)(1)(1)(1)(1)()n n n n L f x f x f x x x x x x x θθθθθθθθθθθθ==+⋅++=+"""，即ln L (θ ) = n ln (θ + 1) + θ ln (x 1 x 2 … x n )，令12d ln ()1ln()0d 1n L n x x x θθθ=⋅+=+"， 则12111ln()ln nn ii nnx x x x θ==−−=−−∑"，故θ 的极大似然估计为1ˆ1ln nii nX θ==−−∑；因1211E()(1)d (1)22xX x x x θθθθθθθ++=⋅+=+⋅=++∫，有2E()11E()X X θ−=−，故θ 的矩法估计为21ˆ1X Xθ−=−； 显然参数θ 的极大似然估计与矩法估计不一致；又因样本观测值为0.4, 0.7, 0.27, 0.55, 0.68, 0.31, 0.45, 0.83，有1(0.40.70.83)0.523758x =+++="，故θ 的极大似然估计值为8ˆ10.3982ln 0.4ln 0.7ln 0.83θ=−−=+++"，θ 的矩估计值为20.523751ˆ0.099710.52375θ×−==−． 习题6.21． 设容量为3的随机样本X 1 , X 2 , X 3取自概率密度函数为1,0,(;)0,,x f x θθθ−⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他的总体．证明1(1)ˆ4X θ=和2(3)ˆ43X θ=都是θ 的无偏估计量． 证：总体X 的分布函数为0,0,(;),0,1,,x x F x x x θθθθ<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩则容量为3的样本的最小顺序统计量X (1) 的分布函数和密度函数为33(1)0,0,(;)1[1(;)]11,0,1,,x x F x F x x x θθθθθ<⎧⎪⎪⎛⎞=−−=−−≤<⎨⎜⎟⎝⎠⎪⎪≥⎩23(1)(1)3(),0,(;)(;)0,x x f x F x θθθθθ⎧−<<⎪′==⎨⎪⎩其他且最大顺序统计量X (3) 的分布函数和密度函数为33(3)0,0,(;)[(;)],0,1,,x x F x F x x x θθθθθ<⎧⎪⎪⎛⎞==≤<⎨⎜⎟⎝⎠⎪⎪≥⎩23(3)(3)3,0,(;)(;)0,x x f x F x θθθθ⎧<<⎪′==⎨⎪⎩其他得234222321(1)33300031212ˆE()4E()4()d (2+)d 2+234x x x X x x x x x x x θθθθθθθθθθθθθ⎛⎞==⋅−=−=−=⎜⎟⎝⎠∫∫，2432(3)33300044344ˆE()E()d d 334x x X x x x x θθθθθθθ==⋅==⋅=∫∫，故1(1)ˆ4X θ=和2(3)ˆ43X θ=都是θ 的无偏估计量． 2． 设总体X 服从伯努利分布B (1, p )，p 为未知参数（0 < p < 1）．样本X 1 , …, X n 来自于X ．（1）证明：当n = 1时，p 2不存在无偏估计；（2）若n ≥ 2，求p 2的一个无偏估计量． 解：（1）当n = 1时，样本X 1的概率分布为101~1X p p ⎛⎞⎜⎟−⎝⎠， 则任何统计量T = T (X 1)的数学期望为E (T ) = T (0) ⋅ (1 − p ) + T (1) ⋅ p = T (0) + [T (1) − T (0)] ⋅ p ≠ p 2， 故当n = 1时，p 2不存在无偏估计；（2）若n ≥ 2，有样本均值11n i i X X n ==∑，样本方差2211()1n i i S X X n ==−−∑， 则E()E()X X p ==，22E()D()(1)S X p p p p ==−=−，即222E()E()E()X S X S p −=−=， 故2X S −是p 2的一个无偏估计量．3． 设从均值为µ ，方差为σ 2（> 0）的总体X 中分别抽取容量为n 1 , n 2的两个独立样本，样本均值分别为1X 和2X ．试证：对于任意满足条件a + b = 1的常数a 和b ，12ˆaX bX µ=+都是µ 的无偏估计，并确定a 、b 使方差ˆD()µ达到最小． 解：因12E()E()X X µ==，211D()X n σ=，222D()X n σ=，有12ˆE()E()E()()a X b X a b a b µµµµ=+=+=+，故当a + b = 1时，ˆE()µµ=，12ˆaX bX µ=+都是µ 的无偏估计； 又22222222222121112121212()2(1)ˆD()D()D()(1)n n a n a n a a a X b X a a n n n n n n σσµσ⎡⎤+−+−=+=⋅+−⋅=+=⎢⎥⎣⎦， 令212112ˆ2()2d D()0d n n a n a n n µσ+−==，得112n a n n =+，且2212212ˆ2()d D()0d n n n n a µσ+=>，故当112n a n n =+，2121n b a n n =−=+时，方差ˆD()µ达到最小． 4． 设X 1 , X 2 , X 3 , X 4是来自均值为θ 的指数分布的样本，其中θ 未知．证明下列三个估计量1123411()()36T X X X X =+++，212341(6543)10T X X X X =+−+，T 3 = 2 X 1 − X 2 + 3 X 3 − 3 X 4 ，均为θ的无偏估计量，并说明上述估计量中哪个最有效．证：因总体X 服从均值为θ 的指数分布，即X ~ e (1/θ )，有E (X ) = θ ，D (X ) = θ 2 ，则112341111E()[E()E()][E()E()]()()3636T X X X X θθθθθ=+++=+++=，2123411E()[6E()5E()4E()3E()](6543)1010T X X X X θθθθθ=+−+=+−+=，E (T 3) = 2 E (X 1) − E (X 2) + 3 E (X 3) − 3 E(X 4) = 2θ − θ + 3θ − 3θ = θ ， 故T 1 , T 2 , T 3均为θ 的无偏估计量；又222221123411115D()[D()D()][D()D()]()()93693618T X X X X θθθθθ=+++=+++=， 22222212341143D()[36D()25D()16D()9D()](3625169)10010050T X X X X θθθθθ=+++=+++=，D (T 3) = 4 D (X 1) + D (X 2) + 9 D (X 3) + 9 D (X 4) = 4θ 2 + θ 2 + 9θ 2 + 9θ 2 = 23θ 2 ， 显然D (T 1) < D (T 2) < D (T 3)， 故T 1最有效，T 2其次，T 3最差．5． 设ˆθ是参数θ 的无偏估计量，且ˆD()0θ>，试证：2ˆ()θ不是θ 2的无偏估计量． 证：因ˆθ是参数θ 的无偏估计量，即ˆE()θθ=，有2222ˆˆˆˆE[()]()[E()]()D D θθθθθθ=+=+>， 故2ˆ()θ不是θ 2的无偏估计量． 习题6.31． 随机地从一批零件中抽取10个，测得其长度（单位：cm ）为：2.13, 2.14, 2.12, 2.13, 2.11, 2.15, 2.14, 2.13, 2.12, 2.13．假设该批零件的长度服从正态分布N (µ , σ 2)，试求总体均值µ 的置信系数为95%的置信区间：（1）若已知σ = 0.01；（2）若σ 未知． 解：（1）单个正态总体，已知σ ，估计µ ，总体均值µ 的点估计为X，枢轴量为~(0,1)X U N =，置信系数1 − α = 0.95，置信区间为/2/2(X u u αα−+，因1(2.13 2.14 2.13) 2.1310x =+++="，σ = 0.01，n = 10，u 0.025 = 1.96， 故µ 的置信系数95%的置信区间为(2.13 1.96 2.13 1.96(2.1238,2.1362)−+=；（2）单个正态总体，未知σ ，估计µ ，总体均值µ 的点估计为X，枢轴量为~(1)X T t n =−，置信系数1 − α = 0.95，置信区间为/2/2((1)(1)X t n t n αα−−+−，因1(2.13 2.14 2.13) 2.1310x =+++="， 222221[(2.13 2.13)(2.14 2.13)(2.13 2.13)]0.01159s =−+−++−="，n = 10，t 0.025 (9) = 2.2622，故µ 的95%置信区间为(2.13 2.2622 2.13 2.2622(2.1217,2.1383)−+=．2． 为估计制造某件产品所需的单件平均工时（单位：小时），现制造了五件，记录所需工时为：10.5, 11, 11.2, 12.5, 12.8．设制造单件产品所需工时服从正态分布，试求单件平均工时的置信系数95%的置信区间．解：单个正态总体，未知σ ，估计µ ，总体均值µ 的点估计为X，枢轴量为~(1)X T t n =−，置信系数1 − α = 0.95，置信区间为/2/2((1)(1)X t n t n αα−−+−，因1(10.51112.8)11.65x =+++="，222221[(10.511.6)(1111.6)(12.811.6)]0.99754s =−+−++−="，n = 5，t 0.025 (4) = 2.7764，故µ 的95%置信区间为(11.6 2.7764 2.7764(10.3615,12.8385)−+=．3． 设有两台机床用来生产规格相同的铝合金薄板．随机选取每台机床轧制的产品若干张，测得它们的厚度（单位：cm ）如下：机器I ：0.243, 0.238, 0.248, 0.245, 0.236, 0.241, 0.239， 机器II ：0.261, 0.254, 0.255, 0.257, 0.253, 0.250，设两台机床所生产的薄板的厚度服从方差相等的正态分布．试给出两台机床生产的铝合金薄板平均厚度差的置信系数为95%的置信区间．解：两个正态总体，未知22,x y σσ（但22x yσσ=），估计µ x −µ y ，均值差µ x −µ y 的点估计为X Y −，枢轴量为()()~(2)X Y T t n m µµ−−−=+−， 置信系数1 − α = 0.95，置信区间为(， 因1(0.2430.2380.239)0.24147x =+++="，1(0.2610.2540.250)0.2556y =+++="， 222221[(0.2430.2414)(0.2380.2414)(0.2390.2414)]0.00426x s =−+−++−="，222221[(0.2610.255)(0.2540.255)(0.2500.255)]0.00375ys =−+−++−="， n = 7，m = 6，t 0.025 (11) = 2.2010， 故µ 的95%置信区间为(0.24140.255 2.2010(0.0185,0.0087)−±=−−．4． 由容量为15，取自正态总体N (µ , σ 2)的随机样本算得23.2, 4.24x s ==，确定σ 2和σ 的置信系数90%的置信区间．解：单个正态总体，估计σ 2，总体方差σ 2的点估计为S 2，枢轴量为2222(1)~(1)n S n χχσ−=−，置信系数1 − α = 0.90，置信区间为2222/21/2(1)(1)(,)(1)(1)n S n S n n ααχχ−−−−−，因s 2 = 4.24，n = 15，20.05(14)23.685χ=，20.95(14) 6.571χ=，故σ 2的90%置信区间为14 4.2414 4.24(,(2.5062,9.0336)23.685 6.571××=； σ 的90%置信区间为(1.5831,3.0056)=．5． 设有两个化验员A 和B 独立对某种聚合物中的含氯量用同一种方法各做了10次测定，其测定值的方差分别为220.512,0.665ABs s ==．假定各自的测定值均服从正态分布，方差分别为2Aσ和2Bσ，求22ABσσ的置信系数为0.90的置信区间．解：两个正态总体，估计22A B σσ，方差比22A Bσσ的点估计为22A B S S ，枢轴量为2222~(1,1)A AB B S F F n m S σσ=−−，置信系数1 − α = 0.90，置信区间为2222/22222/21/2/2111(,)(,(1,1))(1,1)(1,1)(1,1)A A A A B B B BS S S S F m n F n m F n m F n m S S S S αααα−⋅⋅=⋅⋅−−−−−−−−，因220.512,0.665A B s s ==，n = 10，m = 10，F 0.05 (9, 9) = 3.18，故22A Bσσ的置信系数为0.90的置信区间为0.51210.512(, 3.18)(0.2421,2.4484)0.665 3.180.665××=．6． 设枪弹的速度（单位：米/秒）服从正态分布．为了比较两种枪弹的速度，在相同的条件下进行了速度测定．算得数据如下：枪弹甲：m = 110，2810x =，s x = 121.41；枪弹乙：n = 100，2682y =，s x = 105.06．试求这两种枪弹的平均速度之差的置信系数近似为95%的置信区间．解：两个正态总体，未知22,x yσσ（大样本），估计µ x −µ y ，均值差µ x −µ y 的点估计为X Y −，大样本情形下枢轴量为()()~(0,1)X Y T N µµ−−−=，置信系数1 − α = 0.95，置信区间为(，因m = 110，2810x =，s x = 121.41，n = 100，2682y =，s x = 105.06，u 0.025 = 1.96，故µ x −µ y 的95%置信区间为(28102682 1.96(97.36,158.64)−±=．复习题六1． 设X 1 , …, X n 为来自总体X 的样本，X 的概率密度函数为22(),0,(;)0,,x x f x θθθθ⎧−<<⎪=⎨⎪⎩其他 其中θ（> 0）是未知参数．试求参数θ 的矩估计量． 解：因3323222002212E()()d ()()23233X x x x x x θθθθθθθθθθ=⋅−=−=−=∫，有θ = 3 E (X )，故θ 的矩估计为ˆX θ=． 注：此题有误，密度函数非零取值范围应为0 < x < θ ．2． 伯莱托（Pareto ）分布是常用于研究收入的模型，其分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=,,0,,1),;(111212θθθθθθx x x x F 其中θ 1 > 0，θ 2 > 0．若随机样本X 1 , …, X n 取自该分布，求θ 1与θ 2的极大似然估计量．解：伯莱托分布的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥⋅=′=+,,0,,),;(),;(11112212122θθθθθθθθθθx x x x F x f则1211211212121112212122112122222222)(),;(),;(),;(),(++++=⋅==θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθn n nnn x x x x x x x f x f x f L """，即ln L (θ 1, θ 2) = n ln θ 2 + n θ 2 ln θ 1 − (θ 2 + 1) ln (x 1 x 2 …x n )，显然θ 1越大，ln L (θ 1, θ 2) 就越大，且x i ≥ θ 1，故θ 1的极大似然估计量为)1(11},,min{ˆX X X n =="θ； 令0)ln(ln 1),(ln 2112221=−+⋅=∂∂n x x x n n L "θθθθθ，得111212ln ln 11ln )ln(θθθ−=−=∑=ni i n x n n x x x n "， 故θ 2的极大似然估计量为)1(12ln ln 11ˆX X n ni i −=∑=θ．3． 设总体X 的概率密度为2231/224πe ,0,(;)0,0,xx x f x x ααα−−−⎧⎪>=⎨≤⎪⎩ 试求参数α 的矩估计和极大似然估计，并证明矩估计量是无偏的． 解：因222231/2211/2200E()4πe d 2π(1)de xxX x x x x αααα+∞+∞−−−−−−=⋅=⋅−∫∫22222211/2211/221/21/2002πe2πe d()0(2πe )2πx x x x x ααααααα+∞+∞+∞−−−−−−−−−=−+=+−=∫，故α=，α的矩估计为ˆXα=；因2222221231/2231/2231/221212()(;)(;)(;)4πe4πe4πenx x x n n L f x f x f x x x x αααααααααα−−−−−−−−−==⋅""2213/22124π()eni i x n n n n x x x αα=−−−∑="，即212211ln ()ln 43ln ln π2ln()2nn i i n L n n x x x x ααα==−−+−∑"，令231d ln ()1230d n i i L n x αααα==−⋅+=∑，得α=，故α的极大似然估计为ˆα= 4． 设总体X 的密度函数为||1(;)e ,2x f x x λλ−−=−∞<<+∞，试求参数λ（−∞ < λ < +∞）的极大似然估计量．解：112||||||||121111()(;)(;)(;)e e e e 2222ni n i x x x x n n L f x f x f x λλλλλλλλ=−−−−−−−−∑==⋅=""，即1ln ()ln 2||ni i L n x λλ==−−−∑，设顺序统计量为x (1) , x (2) , …, x (n )，并且记x (0)为−∞，x (n + 1)为+∞，不妨设x (k ) ≤ λ < x (k + 1)，k = 0, 1, …, n − 1, n ， 则1111ln ()ln 2()()ln 2()kn k ni i i i i i k i i k L n x x n k x x n k λλλλλ==+==+=−−−−−=−−+−+−∑∑∑∑11ln 2(2)kni i i i k n n k x x λ==+=−+−+−∑∑，若2n k <，有n − 2k < 0，ln L (λ )关于λ 单调增加，若2nk >，有n − 2k < 0，ln L (λ )关于λ 单调减少， 当n 为偶数时，取2nk =，ln L (λ )在()()221n n x x λ+≤<时达到最大，（由连续性知()21n x λ=时也达到最大），故当n 为偶数时，λ 的极大似然估计量ˆλ为区间()()221[,]n n X X+上的任何值；当n 为奇数时，取12n k −=，ln L (λ )在()()1122n n x x λ−+≤<时单调增加，取12n k +=，ln L (λ )在()()1322n n x x λ++≤<时单调减少，即ln L (λ ) 在()12n x λ+=时达到最大，故当n 为奇数时，λ 的极大似然估计量()12ˆn X λ+=．5． 设总体X ~ N (µ , σ 2)，X 1 , …, X n 是X 的样本，X 为样本均值，求常数c 和d ，使∑−=+−1121)(n i i i X X c 与∑=−ni i X X d 1||分别为σ 2和σ 的无偏估计．解：因E (X i ) = µ ，2222)](E [)(D )(E µσ+=+=i i i X X X ，则∑∑∑−=++−=++−=+−+=−+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−1112211112211121)](E )(E 2)(E )(E [)2(E )(E n i i i i i n i i i i i n i i i X X X X c X X X X c X X c221122222)1(22)1(]2)()[(σσµµσµσ−=⋅−⋅=−+++=∑−=n c n c c n i ，故当)1(21−=n c 时，21121)(E σ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−∑−=+n i i i X X c ，∑−=+−−1121)()1(21n i i i X X n 为σ 2的无偏估计； 因∑∑≠=−−=−=−ij j i n j j i i X n X n n X n X X X 1111，有i X X −服从正态分布，且E()E()E()0i i X X X X µµ−=−=−=，22222(1)1(1)11D()D()D()(1)i i jj i n n n X X X X n n n n n n σσ≠−−−−=+=+⋅−=∑， 则21~(0,)i n X X N n σ−−~(0,1)X N ，记X Y =Y ~ N (0, 1)，则22222200E(||)||d 2d 2y y y Y y yy y+∞−−−+∞+∞−∞===−=∫∫即E(||)i X X −=，11E(||)E(||)n ni i i i d X X d X X d n ==−=−=⋅∑∑，故当d =时，1E ||ni i d X Xσ=⎡⎤−=⎢⎥⎣⎦∑1||n i X X =−为σ 的无偏估计．。
概率统计第一章习题答案
第一章 随机事件及其概率1．解：（1）{}67,5,4,3,2=S（2）{} ,4,3,2=S（3）{} ,,,TTH TH H S =（4）{}6,5,4,3,2,1,,T T T T T T HT HH S =2．解：81)(,21)(,41)(===AB P B P A P ∴ )()()()(AB P B P A P B A P -+= 85812141=-+=)()()(AB P B P B A P -==838121=-=87811)(1)(=-=-=AB P AB P )])([(AB B A P )]()[(AB B A P -=)()(AB P B A P -= )(B A AB ⊂218185=-= 3．解：用A 表示事件“取到的三位数不包括数字1”25189********)(191918=⨯⨯==C C C A P 4、解：用A 表示事件“取到的三位数是奇数”，用B 表示事件“取到的三位数大于330”(1) 455443)(2515141413⨯⨯⨯⨯==A C C C C A P = 2） 455421452)(251514122512⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=+=A C C C A C B P = 五、解：用A 表示事件“4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球”，用B 表示事件“4只中至少有2只红球”，用C 表示事件“4只中没有只白球”（1）412131425)(C C C C A P ==495120=338 （2）4124838141)(C C C C B P +-==16567495201= 或16567)(4124418342824=++=C C C C C C B P（3）99749535)(41247===C C C P 6．解：用A 表示事件“某一特定的销售点取得k 张提货单”n kn k n MM C A P --=)1()( 7、解：用A 表示事件“3只球至少有1只配对”，用B 表示事件“没有配对”（1）3212313)(=⨯⨯+=A P 或321231121)(=⨯⨯⨯⨯-=A P （2）31123112)(=⨯⨯⨯⨯=B P 八、解 1.0)(,3.0)(,5.0)(===AB P B P A P（1）313.01.0)()()(===B P AB P B A P ， 515.01.0)()()(===A P AB P A B P 7.01.03.05.0)()()()(=-+=-+=AB P B P A P B A P)()()()()()]([)(B A P AB P B A P AB A P B A P B A A P B A A P ===757.05.0== 717.01.0)()()()])([()(====B A P AB P B A P B A AB P B A AB P 1)()()()]([)(===AB P AB P AB P AB A P AB A P （2）设{}次取到白球第i A i = 4,3,2,1=i那么)()()()()(32142131214321A A A A P A A A P A A P A P A A A A P =0408.020592840124135127116==⨯⨯⨯= 九、解： 用A 表示事件“取到的两只球中至少有1只红球”，用B 表示事件“两只都是红球”方式1 651)(2422=-=C C A P ，61)(2422==C C B P ，61)()(==B P AB P 516561)()()(===A P AB P A B P方式2 在减缩样本空间中计算51)(=A B P 10、解：A 表示事件“一病人以为自己得了癌症”，用B 表示事件“病人确实得了癌症” 由已知得，%40)(%,10)(%,45)(%,5)(====B A P B A P B A P AB P（1）B A AB B A AB A 与, =互斥5.045.005.0)()()()(=+=+==∴B A P AB P B A AB P A P同理 15.01.005.0)()()()(=+=+==B A P AB P B A AB P B P（2）1.05.005.0)()()(===A P AB P A B P （3）2.05.01.0)()()(,5.05.01)(1)(====-=-=A P B A P A B P A P A P （4）17985.045.0)()()(,85.015.01)(1)(====-=-=B P B A P B A P B P B P （5）3115.005.0)()()(===B P AB P B A P 1一、解：用A 表示事件“任取6张，排列结果为ginger ”92401)(61113131222==A A A A A A P 1二、解：用A 表示事件“A 该种疾病具有症状”，用B 表示事件“B 该种疾病具有症状” 由已知2.0)(=B A P 3.0)(=B A P 1.0)(=AB P（1）,B A AB B A B A S =且B A AB B A B A ,,,互斥()6.01.03.02.0)()()(=++=++=∴AB P B A P B A P B A P4.06.01)(1)()(=-=-==B A P B A P B A P()()()4.0)(1=---=AB P B A P B A P B A P（2）()()()6.01.03.02.0)(=++=++=AB P B A P B A P AB B A B A P （3）B A AB B =， B A AB ,互斥4.03.01.0)()()()(=+=+==B A P AB P B A AB P B P)()()(])[()(B P AB P B P B AB P B AB P ==414.01.0== 13、解：用i A 表示事件“讯号由第i 条通信线输入”，,4,3,2,1=i B 表示“讯号无误差地被同意” ;2.0)(,1.0)(,3.0)(,4.0)(4321====A P A P A P A P9998.0)(1=A B P ，9999.0)(2=A B P ，,9997.0)(3=A B P 9996.0)(4=A B P 由全概率公式得9996.02.09997.01.09999.03.09998.04.0)()()(41⨯+⨯+⨯+⨯==∑=ii i A B P A P B P 99978.0=14、解：用A 表示事件“确实患有关节炎的人”，用B 表示事件“检验患有关节炎的人”由已知 1.0)(=A P ，85.0)(=A B P ，04.0)(=A B P ，那么 9.0)(=A P ，85.0)(=A B P ，96.0)(=A B P ，由贝叶斯公式得017.096.09.015.01.015.01.0)()()()()()()(=⨯+⨯⨯=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P 1五、解：用A 表示事件“程序交与打字机A 打字”，B 表示事件“程序交与打字机B 打字”，C 表示事件“程序交与打字机C 打字”；D 表示事件“程序因运算机发生故障被打坏” 由已知得 6.0)(=A P ，3.0)(=B P ，1.0)(=C P ；01.0)(=A D P ，05.0)(=B D P ，04.0)(=C D P由贝叶斯公式得)()()()()()()()()(C D P C P B D P B P A D P A P A D P A P D A P ++=24.025604.01.005.03.001.06.001.06.0==⨯+⨯+⨯⨯= )()()()()()()()()(C D P C P B D P B P A D P A P B D P B P D B P ++= 6.05304.01.005.03.001.06.005.03.0==⨯+⨯+⨯⨯= )()()()()()()()()(C D P C P B D P B P A D P A P C D P C P D A P ++= 16.025604.01.005.03.001.06.004.01.0==⨯+⨯+⨯⨯=1六、解：用A 表示事件“收到可信讯息”，B 表示事件“由密码钥匙传送讯息” 由已知得 95.0)(=A P ，05.0)(=A P ，1)(=A B P ，001.0)(=A B P由贝叶斯公式得999947.0001.005.0195.0195.0)()()()()()()(≈⨯+⨯⨯=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P 17、解：用A 表示事件“第一次得H ”，B 表示事件“第二次得H ”，C 表示事件“两次得同一面”那么 ,21)(,21)(==B P A P ,21211)(2=+=C P ,4121)(2==AB P ,4121)(2==BC P ,4121)(2==AC P )()()(),()()(),()()(C P A P AC P C P B P BC P B P A P AB P ===∴C B A ,,∴两两独立 而41)(=ABC P ，)()()()(C P B P A P ABC P ≠ C B A ,,∴不是彼此独立的1八、解：用A 表示事件“运动员A 进球”，B 表示事件“运动员B 进球”，C 表示事件“运动员C 进球”，由已知得 5.0)(=A P ，7.0)(=B P ，6.0)(=C P那么 5.0)(=A P ，3.0)(=B P ，4.0)(=C P（1）{})(C B A C B A C B A P P =恰有一人进球)()()(C B A P C B A P C B A P ++= （C B A C B A C B A ,,互斥）)()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++= 相互独立）C B A ,,( 29.06.03.05.04.07.05.04.03.05.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= （2）{})(C B A BC A C AB P P =恰有二人进球)()()(C B A P BC A P C AB P ++= （C B A BC A C AB ,,互斥）)()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++= 相互独立）C B A ,,( 44.06.03.05.06.07.05.04.07.05.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（3）{})(C B A P P =至少有一人进球)(1C B A P -=)(1C B A P -=)()()(1C P B P A P -= 相互独立）C B A ,,(4.03.05.01⨯⨯-=94.0=19、解：用i A 表示事件“第i 个供血者具有+-RH A 血型”， ,3,2,1=i B 表示事件“病人获救”,4321321211A A A A A A A A A A B =4321321211,,,A A A A A A A A A A 互斥，i A （ ,3,2,1=i ）彼此独立()()(1P A P B P +=∴+)21A A )()(4321321A A A A P A A A P +8704.04.06.04.06.04.06.04.032=⨯+⨯+⨯+=20、解：设i A 表示事件“可靠元件i ” i=1,2,3,4,5 ，B 表示事件“系统可靠”由已知得p A P i =)(1,2,3,4,5)(i = 54321,,,,A A A A A 相互独立法1：54321A A A A A B = )()(54321A A A A A P B P =∴()()()()()()542154332154321A A A A P A A A P A A A P A A P A P A A P ---++= ()54321A A A A A P + 543322p p p p p p p +---++= ()相互独立54321,,,,A A A A A543222p p p p p +--+=法2：)(1)(54321A A A A A P B P -=)()()(154321A A P A P A A P -= ()相互独立54321,,,,A A A A A()()]1][1)][(1[154321A A P A P A A P ----=()()()]1][1)][()(1[154321A P A P A P A P A P ----= ()相互独立54321,,,,A A A A A ()()()221111p p p ----=543222p p p p p +--+=2一、解：用A 表示事件“真含有杂质”,用B 表示事件“次检验认为不含有杂质次检验认为含有杂质次检验中有123”由已知得 4.0)(=A P ，6.0)(=A P ，8.0)(=A B P ，9.0)(=A B P由贝叶斯公式得9.01.06.02.08.04.02.08.04.0)()()()()()()(223223223⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+=C C C A B P A P A B P A P A B P A P B A P 905.016981536==。
昆明理工大学概率论课后习题答案1、2、3、4、8章习题解答
第一章思 考 题1．事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗？为什么？2．医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活. ”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病，所以你不会死” ，医生的说法对吗？为什么？３．圆周率 1415926.3=π是一个无限不循环小数, 我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后七位, 这个记录保持了1000多年! 以后有人不断把它算得更精确. 1873年, 英国学者沈克士公布了一个π的数值, 它的数目在小数点后一共有707位之多! 但几十年后, 曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑. 他统计了π的608位小数, 得到了下表:675844625664686762609876543210出现次数数字你能说出他产生怀疑的理由吗?答：因为π是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等，或它们出现的频率应都接近于0.1，但7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由.4．你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”吗？５．两事件A 、B 相互独立与A 、B 互不相容这两个概念有何关系？对立事件与互不相容事件又有何区别和联系？６．条件概率是否是概率？为什么？习 题一1．写出下列试验下的样本空间：（1）将一枚硬币抛掷两次答：样本空间由如下4个样本点组成{(,)(,)(,)(,)Ω=正正，正反，反正，反反 （2）将两枚骰子抛掷一次答：样本空间由如下36个样本点组成{(,),1,2,3,4,5,6}i j i j Ω==（3）调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出答：结果可以用（x ，y ）表示，x ，y 分别是烟、酒年支出的元数.这时，样本空间由坐标平面第一象限内一切点构成 .{(,)0,0}x y x y Ω=≥≥2．甲，乙，丙三人各射一次靶，记-A “甲中靶” -B “乙中靶” -C “丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件：(1) “甲未中靶”： ;A(2) “甲中靶而乙未中靶”： ;B A(3) “三人中只有丙未中靶”： ;C AB(4) “三人中恰好有一人中靶”： ;C B A C B A C B A(5)“ 三人中至少有一人中靶”： ;C B A(6)“三人中至少有一人未中靶”： ;C B A 或;ABC(7)“三人中恰有两人中靶”： ;BC A C B A C AB(8)“三人中至少两人中靶”： ;BC AC AB(9)“三人均未中靶”： ;C B A(10)“三人中至多一人中靶”： ;C B A C B A C B A C B A(11)“三人中至多两人中靶”： ;ABC 或;C B A3 .设,A B 是两随机事件，化简事件 (1)()()A B A B (2) ()()A B A B解:(1)()()A B A B AB AB B B == , (2) ()()A B A B ()AB AB B A A B B ==Ω= .4．某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率. 解：51050.302410P P ==. 5．n 张奖券中含有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。
昆明理工大学概率论与数理统计习题册答案
.c
x
w. a
id
aa n
xy > 1 4
1
4
n
P= 1 4
6 在区间 (0,1) 内任取两个数， 求这两个数的积小于 的概
ww
12 甲乙丙车间生产同一种螺钉，每个车间产量分别占
w. a
id
7
k −1 a(第k次取出黑球）Aa （ 1 a + b − 1个球中取k − 1个) +b − k Aa +b ( a + b个球中取k个
aa n
（2）
.c
（1） P
=
a a+b
n
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aa n
一球，求直到第 n 次才取出 k (1 ≤
.c
13
10 个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出
n
25 5 P( A1) P( B / A1) 100 100 P( A1 / B ) = = ≈ 0.362 P( B) 0.045
k ≤ n 次红球的
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A BC ∪ ABC ∪ A BC ∪ A BC
（11） 三人中至多两人中靶 ABC
= A∪ B ∪C
3 20 个运动队，任意分成甲乙两组（每组 10 队）进行比 赛，已知其中有两个队是一级队，求这两个一级队： （2）被分在同一组的 （1） 被分在不同组的概率， A ；
1 9 C2 C18
概论 统计 栾 教材第1章
证明： 证明：对任一事件A，A＝A＋Φ
则P(A)=P(A＋Φ)=P(A)＋P(Φ) ∴P(Φ)=0
5) 如 B， P(A) ≤ P(B) A 则
证明： 证明：∵A B
∴B = A+ (B A)
∴P(B) = P[ A+ (B A)] = P( A) + P(B A) ∵P(B A) ≥ 0 ∴P(B) ≥ P( A)
证明： 证明：∵A∪B=A+(B－AB) ∴P(A∪B)=P(A+(B－AB))=P(A)+P(B－AB) =P(A)+P(B)－P(AB)
小概率原理
若在某试验中，事件A的概率非常接近于零。那 么可以实际推断，若进行一次该试验，在试验的结果中 事件A是不会出现的。从而实际上可将A看作是（实际） 不可能事件。
2)、从一批灯泡中，任取一只，测定灯泡的使用寿命。 、
{灯泡寿命大于100小时}的事件。
解:{灯泡寿命大于100小时}＝｛Ｔ∣Ｔ＞100｝
例： 随机试验E :从一副扑克牌中任取一张牌。
表示下列事件。 A=“取到黑桃” A= 取到黑桃”=｛黑桃A，黑桃2，…，黑桃K｝ 取到黑桃 黑桃A 黑桃2 ，黑桃K B=“取到K = 黑桃K 红心K 梅花K 方块K B= 取到K”=｛黑桃K，红心K，梅花K，方块K｝ 取到 C=“取到黑牌”=｛黑桃A，黑桃2，…，黑桃K，梅花 C= 取到黑牌” 取到黑牌 黑桃A 黑桃2 ，黑桃K K,小王 A，梅花2，…，梅花K,小王｝ 梅花2 ，梅花K,小王｝ D=“取到黑桃K = 黑桃K D= 取到黑桃K”=｛黑桃K｝ 取到黑桃
例3，在一批含有20件正品，5件次品的产品中随机地抽取
2件，可能结果如下： A＝{2件全是正品} B＝{只有1件是正品} C＝{2件全是次品} 1)、在不计次序的假定下，A、B、C是基本事件 、 2)、如果考虑次序，B不再是基本事件，它可分解为B1和B2 、 两个基本事件。 B1＝{第1次抽到正品，第2次是次品} B2＝{第1次抽到次品，第2次是正品}
[理学]概率论与数理统计昆工版教材习题第一至六章学生用
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习题一（请尊重我的劳动，不要将资料外传）3 设,,B A 为二事件，化简下列事件：B B B A B BA B A B A B A =⋃=⋃⋃=⋃⋃)()())()(1(B B A B B A A A B A B A =⋃⋃⋃=⋃⋃)())()(2(4 电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0到9这10个数字中的任一个，求电话号码由5个不同数字组成的概率。
3024.010302410427210678910445==⋅=⋅⋅⋅⋅=p5 n 张奖券中有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。
答案：.1k nkm n C C --6 从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”的概率是多少？ 解；将这五双靴子分别编号分组},,,,{};,,,,{5432154321b b b b b B a a a a a A ==，则C 表示：“至少有两只配成一双”；从5双不同的鞋子中任取4只，其可能选法有.45C 不能配对只能是：一组中选i 只，另一组中选4-i 只，且编号不同，其可能选法为)0,1,2,3,4(;455=--i C C ii i41045341523251235451)(1)(C C C C C C C C C C P C P ++++-=-=21131234789105453245224551=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+-=7在[—1，1]上任取一点，求该点到原点的距离不超过51的概率。
答案：519在区间)1,0(内任取两个数，求这两个数的积小于41的概率。
10设,,B A 为二事件，设).(,36.0)(,9.0)(B A P AB P A P 求==解：).(36.0)()()()(9.0B A P B A P AB P B B PA A P +=+=⋃==故.54.0)(=B A P 11设,,B A 为二事件，设).(,3.0)(,7.0)(B A P B A P B P ⋃==求 解： .4.0)()()(,3.0)(,7.0)(=-=⇒==B A P B P AB P B A P B P.6.04.01)(1)()(=-=-==⋃AB P AB P B A P12 设7.0)(,4.0)(=⋃=B A P A P .（1）若).(,B P AB 求互不相容 若).()()(,B P A P B A P AB +=⋃则互不相容3.0)()()(=-⋃=A P B A P B P （2）若).(,B P AB 求相互独立若A 与B 相互独立，则5.0)(),(4.04.07,0)()()()()(=+-=⋅+-⋃=B P B P B P A P A P B A P B P13飞机投炸弹炸敌方弹药仓库，已知投一弹命中1，2，3号仓库的概率分别为0.01，0．02，0.03，求飞机投一弹没有命中仓库的概率。
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（请尊重我的劳动，不要将资料外传）习题一3 设,,B A 为二事件，化简下列事件：B B B A B BA B A B A B A =⋃=⋃⋃=⋃⋃)()())()(1(B B A B B A A A B A B A =⋃⋃⋃=⋃⋃)())()(2(4 电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0到9这10个数字中的任一个，求电话号码由5个不同数字组成的概率。
3024.010302410427210678910445==⋅=⋅⋅⋅⋅=p5 n 张奖券中有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。
答案：.1k n k mn C C --6 从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”的概率是多少？解；将这五双靴子分别编号分组},,,,{};,,,,{5432154321b b b b b B a a a a a A ==，则C 表示：“至少有两只配成一双”；从5双不同的鞋子中任取4只，其可能选法有.45C不能配对只能是：一组中选i 只，另一组中选4-i 只，且编号不同，其可能选法为)0,1,2,3,4(;455=--i C C i i i 41045341523251235451)(1)(C C C C C C C C C C P C P ++++-=-=2113218177224161247720104060401011234789105453245224551=-=⋅⋅-=⋅++++-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+-= 7在[—1，1]上任取一点，求该点到原点的距离不超过51的概率。
答案：518在长度为a 的线段内任取两点，将其分成三段，求它们可以构成三角形的概率。
,0,0a y a x <<<<且a y x <+<0，又41222,,=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<>+⇒⎪⎩⎪⎨⎧--<---<--->+P ay a x a y x y x a x y y x a y x y x a y x 9在区间)1,0(内任取两个数，求这两个数的积小于41的概率。
4ln 4141)41(;4ln 41411)ln 41(1)411()41(141141+=<--=-=-=>⎰xy P x x dx xxy P 10设,,B A 为二事件，设).(,36.0)(,9.0)(B A P AB P A P 求== 解：).(36.0)()()()(9.0B A P B A P AB P B B PA A P +=+=⋃==故 .54.0)(=B A P11设,,B A 为二事件，设).(,3.0)(,7.0)(B A P B A P B P ⋃==求解： .4.0)()()(,3.0)(,7.0)(=-=⇒==B A P B P AB P B A P B P.6.04.01)(1)()(=-=-==⋃AB P AB P B A P 41>xy 4111xa2a2ax12 设7.0)(,4.0)(=⋃=B A P A P（1）若).(,B P AB 求互不相容若).()()(,B P A P B A P AB +=⋃则互不相容3.0)()()(=-⋃=A P B A P B P（2）若).(,B P AB 求相互独立若A 与B相互独立，则5.0)(),(4.04.07,0)()()()()(=+-=⋅+-⋃=B P B P B P A P A P B A P B P 13飞机投炸弹炸敌方弹药仓库，已知投一弹命中1，2，3号仓库的概率分别为0.01，0．02，0.03，求飞机投一弹没有命中仓库的概率。
解 0.9414某市有50％的住户订日报，有65％的住户订晚报，有85％的住户至少订这两种报纸中的一种，求同时定这两种报纸的住户的百分比。
解：.:,:订晚报订日报B A)(65.05.0)()()()(85.0AB P AB P B P A P B A P -+=-+=⋃=， .3.085.015.1)()()()(=-=⋃-+=B A P B P A P AB P15一批零件共100个，次品率10％,连续两次从这批零件中任取一个零件，第一次取出的零件不再放回，求第二次才取得正品的概率。
解: 第一次取出的零件不再放回，求第二次才取得正品；等价于第一次取出的零件为次品，求第二次取得正品；故：0909.0999999010010≈=⋅=p 16 设随机事件,0)(2)(,0)(,,,>==C P B P AB P C B A 已知两两独立且).(,85)(B A P C B P ⋃=⋃求 解：)(21)(23)()()()()(852)(2)(B P B P C P B P C P B P C B P C P B P -=-+=⋃==,210)()()(,0)(,5.0)()()()(021)(126412)(,05)(12)(42=-+=⋃=⋅====⇒±=⇒=+-B P A P B A P A P A P B P A P AB P B P B P B P B P17 设A 是小概率事件，即ε=)(A P 是给定的任意小的正数，试证明：当试验不断地重复进行下去，事件A 总会发生（以概率1发生）。
当试验不断地重复进行下去，事件A 发生的概率为：101)1(lim 1)](1[lim 1)(lim 1=-=--=--=-∞→∞→∞→n n n n n n A P A P ε 18 三人独立的破译一密码，他们能单独译出的概率分别为,41,31,51求此秘密被译出的概率。
解：以C B A ,,分别表示第一，二，三人独立地译出密码，D ：表示密码被译出，则534332541)()()(1)(1)()(=-=-=⋃⋃-=⋃⋃=C P B P A P C B A P C B A P D P20 三台机器相互独立的运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，求这三台机器中至少有一台发生故障得概率。
解：.496.0504.017.08.09.01=-=⋅⋅-=P21设,,B A 为二事件，设).(,4.0)(,6.0)(,7.0)(B A P A B P B P A P ⋃===求 解：,123.06.04.0)/()()(=⨯==A B P A P B A P,48.012.06.0)()()(=-=-=B A P B P AB P..82.048.07.06.0)()()()(=-+=-+=⋃AB P B P A P B A P22设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为8.0，活到25年以上的概率为4.0，问现在25岁的这种动物，它能活到25年以上的概率为多少？ 解：,:表动X 5.08.04.020}P{X }2520{}20/25{==≥≥≥=≥≥X X P X X P ， 23某地区历史上从某年后30年内发生特大洪水的概率为80％，40年内发生特大洪水的概率为85％，求已过去了30年未发生特大洪水的地区在未来10年内发生特大洪水的概。
:X 发生特大洪水的时刻。
25.02.005.02.08.085.0}30{}4030,30{}304030{==-=≥<<≥=≥<<X P X X P X X P 24 设甲袋中有2只白球，4只红球，乙设甲袋中有3只白球，2只红球，今从甲袋中任意取一球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一球。
（1）问取道白球的概率是多少？（2）假设取到白球，问该球来自甲袋的概率是多少？解：解：:A “首先从甲袋中取到白球” :B 收到信号“然后从乙袋中取到白球.”;由题设:21)/(,32)(,32)(,31)(====A B P A P A B P A P 于是: 9521323231)/()()/()()(=⋅+⋅=+=A B P A P A B P A P B P 由贝叶斯公式有:52953231)()/()()/(=⋅==B P A B P A P B A P ; 25 一批产品共有10件正品和2件次品，任取两次，每次取一件，取后不放回，求第2次取出的是次品的概率。
解：B A ,分别表示第一次、第二次取得的是次品，则.61122121221121210111122)/()()/()()(===⋅+⋅=+=A B P A P A B P A P B P 26一批元件，，其中一等品占95％，二等品占4％，三等品占1％，它们能工作500h 以上的概率分别为90％，80％，70％，求任取一元件能工作500h 以上的概率。
解：321,,A A A 分别为任意抽出一元件是由一、二、三等品。
:B 抽出的一个能工作500h 以上894.01007010011008010041009010095)/()()(31=++==∑=i i i A B P A P B P 27 某厂用甲乙丙三地收购而来的药材加工生产一种中成药，三地供货量分别占40％，35％，25％，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65，0.70，和0.85，（1）求从该厂产品中任取一件是优等品的概率。
（2）若取一件是优等品的概率，求它的材料来自甲地的概率。
（1）321,,A A A 分别为任意抽出一螺钉是由甲、乙、丙车间生产的。
:B 抽出的一个是次品035.0100210040100410035100510025)/()()(31=++==∑=i i i A B P A P B P（1） 由贝叶斯公式有:362.0045.0100510025)()/()()/(111≈==B P A B P A P B A P 28用某种检验方法检查癌症，根据临床记录，患癌症者施行此项检查，结果是阳性的概率为0.95，无癌症者施行此项检查，结果是阴性的概率为0.90，若据统计，某地癌症的发病率为0.0005，试求用此法检查结果为阳性者而而实际患癌症的概率。
解：:1A “患癌症.” :2A “未患癌症”; :B “检查结果为阳性”; :B “结果是阴性”由题设:1.0)/(,9995.0)(,95.0)(,0005.0)(2211====A B P A P A B P A P 于是: 100425.01.09995.095.00005.0)/()()/()()(2211=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P 由贝叶斯公式有:47299.0100425.0000475.0)()/()()/(111===B P A B P A P B A P ; 29 三人同时向一敌机射击，击中的概率分别是0.4，0.6和0.7；一人击中，敌机被击落的概率为0.2；二人击中，敌机被击落的概率为0.6；三人击中，敌机必被击落；求（1）敌机被击落的概率。