高三高考平面向量题型总结,经典

平面向量 一、平面向量的基本概念： 1.向量：既有大小又有方向的量叫做________.我们这里的向量是自由向量，即不改变大小和方向可以平行移动。 向量可以用_________来表示.向量的符号表示____________________. 2.向量的长度：向量的大小也是向量的长度（或_____），记作_________. 3.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作________. 4.单位向量：__________________________. 5.平行向量和共线向量：如果向量的基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反.记作________规定：___________________. 注意：理解好共线（平行）向量。 6.相等向量：_______________________. - 例：下列说法正确的是_____

①有向线段就是向量，向量就是有向线段；

②,,cbba则ca；③,//,//cbbaca// ④若CDAB，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点； ⑤所有的单位向量都相等； 二、向量的线性运算： （一）向量的加法： 1.向量的加法的运算法则：____________、_________和___________. （1）向量求和的三角形法则：适用于任何两个向量的加法，不共线向量或共线向量；模长之间的不等式关系_______________________；“首是首，尾是尾，首尾相连” 例1.已知AB=8，AC=5，则BC的取值范围__________ | 例2.化简下列向量

（1）PMQPMNNQ （2）)()()(MBPMABCQBCBP （2）平行四边形法则：适用不共线的两个向量，当两个向量是同一始点时，用平行四边形法则；

ba是以a，b为邻边的平行四边形的一条对角线，如图：

例1.（09 山东）设P是三角形ABC所在平面内一点，BPBABC2，则 A.0PBPA B.0PCPA C.0PBPC D.0PCPBPA 例2.（13四川）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AOADAB ，则.______ （3）多边形法则 2.向量的加法运算律：交换律与结合律 # （二）向量的减法： 减法是加法的逆运算，A.PBPAOBOABA （终点向量减始点向量）

在平行四边形中，已知以a、b为邻边的平行四边形中，baba,分别为平行四边形的两条对角线，当baba时，此时平行四边形是矩形。

例1.已知8,6ba，且baba，则baba=______ 例2.设点M是BC的中点，点A在线段BC外，BC=16，ACABACAB，则____AM 向量的加减运算：

例1.（08辽宁）已知、OA、B是平面内的三个点，直线AB上有一点C，满足CB→+2AC→=0，则OC→=______ OA→OB→ B.—OA→+2OB→ C. 32OA→—31OB→ D. —31OA→+32OB→

例2.(15课标全国I）设D是三角形ABC所在平面内一点，CDBC3，则______ A."

B.ACABAD3431 B.ACABAD3431 C.ACABAD3134 D.ACABAD3134 例3.（12全国）在ABC中，AB边上的高为CD,CB→=a, CA→=b,a•b=0, 2,1ba,则AD→=______

例4.（10全国）在ABC中，点D在边AB上，CD平分ACB，若CB→=a, CA→=b,2,1ba，则CD→=________ 例5.在ABC中，设D为边BC的中点, E为边AD的中点,若BE→=mAB→+nAC→，则m+n=___ 例6.（15北京理）在ABC中，点NM,满足NCBNMCAM,2，若ACyABxMN，则_________yx

例7.（13江苏）设D、E分别是ABC的边AB、BC上的点，若BCBEABAD32,21，若DE→=1AB→

+2AC→(1,2为实数)，则1+2=_________ 例8.（12东北四市一摸）在ABC中，设P为边BC的中点，内角CBA,,的对边cba,,，若cAC→+aPA→+bPB→=0，则ABC的形状为________

… (三）实数与向量的积： 1.定义：实数与非零向量a的乘积a是一个向量，它的长度是__________.它的方向是_________________________________________________________.当0时，_______ 2.数乘向量的几何意义是把向量同方向或反方向扩大或缩小。

3.运算律：设a、b是任意向量，,是实数，则实数与向量的积适合以下运算： 、 4.向量共线的判断：（平行向量的基本定理） ①如果ba，则ba//；若ba//，0b，则存在唯一的实数，使得ba. ②若a、b是两个不共线的非零向量，则它们共线的充要条件是存在两个均不是零的实数,，使________.

③若22122111,eebeea，21,ee不共线，ba//，则在有意义的前提下，2121 例1.（15课标全国II）设向量若a、b是两个不平行的向量，向量ba与ba2平行，则____ 例2.（09湖南）对于非零向量,,ab“0ab”是“//ab”的___ A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

例3.（12四川）设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使||||abab成立的充分条件是 ` A．a＝－b B．a∥b C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|

5.单位向量 给定一个向量a，与a同方向且长度为1的向量叫做a的单位向量，即_______________ 重要结论： 已知ABC，O为定点，P为平面内任意一点.

①PA→+PB→+PC→=0_______________________________________________. ②若OP→=31OA→+OB→+OC→，则P为ABC__________________________ ③若OP→=OA→+（AB→+AC→），),0(，则P点的轨迹__________________. ④若OP→=OA→+_________,),0(,则P点的轨迹通过ABC的内心 】 ⑤若__________________________,则P点的轨迹是ABC的外心 ⑥若__________________________,则P点的轨迹是ABC的垂心

例1.（10湖北）在ABC中，点M满足MA→+MB→+MC→=0，若存在实数m，使得AB→+AC→=mAM→，则m=________. 例2.在ABC中，重心为G，若0sin3sin3sin2GCCGBBGAA，则_____cosB

例3.在ABC中，重心为G，若033GCGBbGAa，则_____A 三、平面向量的基本定理 (一）平面向量基本定理内容：

如果1e、2e是同一平面内的两个不共线的向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,，

使__________________,其中1e、2e是一组基底，记作叫做向量a关于基底的分解式。平面向量基本定理是向量正交分解的依据，是向量坐标运算的基础。 注意：只要是不共线的两个向量都可以作为基底，因为零向量与任一向量都平行，所以零向量一定不能作为基底；基底不唯一；任一向量可以由一组基底来表示，但表示方法是唯一的。

例1.（14福建）在下列向量组中，可以把向量)2,3(a表示出来的是______ A.$

B.)2,1(),0,0(21ee B.)2,5(),2,1(21ee C.)10,6(),5,3(21ee D.)3,2(),3,2(21ee 例2.（09安徽）在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD，BC的中点，若 AFAEAC，则_____ （二）平面向量基本定理与向量共线条件的综合应用 设BA,是直线l上两点，O是直线外一点，对于直线上任意一点P，存在Rt，使___________________________成立.反之，满足上式的点P在直线l上. 特别地，当P为BA,的中点时，则_________________________.

例1.已知、OA、B是平面内的三个点，线段BA的延长线上有一点C，满足3AC→+CB→=0 则OC→=____ OA→OB→ B.—2OA→+3OB→ C. 23OA→—21OB→ D. —21OA→+23OB→ 例2.数列na是等差数列，其前n项和为nS，若平面上的三个不共线的向量OA→、OB→、OC→满足OB→=1aOA→+2006

aOC→，且CBA,,三点共线，则_____2006S % 例3.已知向量ji,不共线，且AB→=jmi，AD→jin，若DBA,,三点共线，则实数nm,应满足的条件_____ A. 1nm B. 1nm C. 1mn D. 1mn 例4.（07江西）如图，在ABC中，设O为边BC的中点，过点O的直线交直线AB、AC于不同两点NM,.

若AB→=mAM→，AC→=nAN→，则m+n=___mn的最大值为_______

例5.在ABC中，设M为边BC的任意点，N为AM中点，AN→=AB→+AC→，则+=_____. 例6.在ABC中，设M为边BC的中点，N为AM中点，AN→=AB→+AC→，则+=_____. 例7.如图，在ABC中，设D为边BC的中点，G为AD中点，过G任作一条直线MN分别交AB、AC于NM,两点，若AM→=xAB→，AN→=yAC→，试问yx11是否为定值

{ 四、平面向量的正交分解与向量的直角坐标运算： （一）向量的正交分解与向量的直角坐标 1.向量的垂直：如果两个向量的基线互相垂直，那么这两个向量互相垂直； 2.向量的正交分解：如果基底的两个基向量互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解。 3.在平面直角坐标系下，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内任一向量a，

有且只有一对实数x,y，使得21eyexa.有序数对),(yx叫做a的坐标，记作),(yxa 注意：（1）每一个向量都可以用一对有序实数对来表示，向量有代数法和几何法两种表示。 （2）符号),(yx有了双重的意义，既可以表示固定的点，又可以表示向量；平面向量的坐标只与始点和终点坐标有关，只有点始点在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等。 （二）向量的坐标运算