采样定理的危机
采样定理简介
关于采样定理的介绍一、采样定理简介采样定理，又称香农采样定律、奈奎斯特采样定律，是信息论，特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论.E. T. Whittaker（1915年发表的统计理论），克劳德·香农与Harry Nyquist都对它作出了重要贡献。
另外，V. A. Kotelnikov 也对这个定理做了重要贡献。
采样是将一个信号（即时间或空间上的连续函数）转换成一个数值序列（即时间或空间上的离散函数）。
采样得到的离散信号经保持器后，得到的是阶梯信号，即具有零阶保持器的特性。
如果信号是带限的，并且采样频率高于信号最高频率的一倍，那么，原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。
带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制，也就是说它的离散时刻采样表现信号细节的能力是非常有限的。
采样定理是指，如果信号带宽小于奈奎斯特频率（即采样频率的二分之一），那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。
高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。
大多数应用都要求避免混叠，混叠问题的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。
采样过程所应遵循的规律，又称取样定理、抽样定理。
采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。
采样定理是1928年由美国电信工程师H.奈奎斯特首先提出来的，因此称为奈奎斯特采样定理。
1933年由苏联工程师科捷利尼科夫首次用公式严格地表述这一定理，因此在苏联文献中称为科捷利尼科夫采样定理。
1948年信息论的创始人C.E.香农对这一定理加以明确地说明并正式作为定理引用，因此在许多文献中又称为香农采样定理。
采样定理有许多表述形式，但最基本的表述方式是时域采样定理和频域采样定理。
采样定理在数字式遥测系统、时分制遥测系统、信息处理、数字通信和采样控制理论等领域得到广泛的应用。
时域采样定理频带为F的连续信号f(t)可用一系列离散的采样值f(t1),f(t1±Δt)，f(t1±2Δt)，...来表示,只要这些采样点的时间间隔Δt≤1/2F，便可根据各采样值完全恢复原来的信号f(t)。
奈奎斯特采样定理
奈奎斯特采样定理
采样定理是美国电信工程师h.奈奎斯特在年提出的，在数字信号处理领域中，采样定理是连续时间信号（通常称为“模拟信号”）和离散时间信号（通常称为“数字信号”）之间的基本桥梁。
该定理说明采样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。
1、采样过程所应遵循的规律，又称取样定理、抽样定理。
采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。
2、在展开演示/数字信号的切换过程中，当取样频率fs.max大于信号中最低频率fmax的2倍时(fs.max\ue2fmax)，取样之后的数字信号完备地留存了完整信号中的信息，通常实际应用领域中确保取样频率为信号最低频率的2.56～4倍。
取样定理又称奈奎斯特定理。
3、如果对信号的其它约束是已知的，则当不满足采样率标准时，完美重建仍然是可能的。
在某些情况下（当不满足采样率标准时），利用附加的约束允许近似重建。
这些重建的保真度可以使用bochner定理来验证和量化。
简述采样定理的基本内容
简述采样定理的基本内容一、引言采样定理是数字信号处理中的基础概念，它告诉我们如何将连续时间的信号转换成离散时间的信号，并保证在这个过程中不会丢失任何信息。
采样定理的应用非常广泛，涉及到音频、视频、图像等领域。
本文将从以下几个方面来详细介绍采样定理的基本内容。
二、什么是采样定理？采样定理又称为奈奎斯特-香农采样定理（Nyquist-Shannon Sampling Theorem），它是由美国工程师哈里·尼科拉斯·奈奎斯特和克劳德·香农于20世纪初提出的。
采样定理是指：如果一个连续时间信号在一段时间内没有任何频率成分超过其最高频率的两倍，则可以通过对该信号进行等间隔抽样，得到一个离散时间信号，这个离散时间信号可以完全还原原始连续时间信号。
三、采样频率与最高频率为了满足采样定理，我们需要知道原始连续时间信号中最高频率的大小，并根据最高频率来确定采样频率。
在实际应用中，我们通常将采样频率设置为最高频率的两倍以上，以确保信号可以被完全还原。
如果采样频率低于最高频率的两倍，则会发生混叠现象，导致原始信号无法恢复。
四、采样定理的数学表达式采样定理的数学表达式如下：若x(t)是一个带限信号，其最高频率为fmax，则它可以由在等间隔时间Ts下进行的抽样所确定，当Ts≤1/(2fmax)时，由抽样得到的离散时间序列x(nTs)可以唯一地表示连续时间信号x(t)，即：x(t)=Σn=-∞∞x(nTs)sinc((t-nTs)/Ts)其中sinc函数定义为：sinc(x)=sin(πx)/(πx)五、采样定理的应用采样定理在数字信号处理中有着广泛的应用。
例如，在音频领域中，CD音质就是通过对音频信号进行44.1kHz的采样来实现的；在图像领域中，我们通常将图像转换成数字形式，并对其进行离散化处理。
此外，在通信领域中，我们也需要考虑到采样定理对于数字调制和解调过程中误差控制的影响。
六、总结通过本文介绍，我们了解了采样定理的基本内容，包括它的定义、数学表达式以及应用。
时域及频域采样定理
时域及频域采样定理
时域采样定理（Nyquist采样定理）和频域采样定理（Shannon采样定理）是两个基本的采样定理，用于指导信号采样和重构的过程。
时域采样定理（Nyquist采样定理）：时域采样定理是由哈利·尼奎斯特（Harry Nyquist）在20世纪20年代提出的。
该定理指出，要恢复一个连续时间信号，采样频率必须至少是信号最高频率的两倍。
简而言之，对于最高频率为f的信号，采样频率应该大于2f。
如果采样频率低于2f，那么在重构信号时将会产生混叠现象，导致信号失真。
频域采样定理（Shannon采样定理）：频域采样定理是由克劳德·香农（Claude Shannon）在1949年提出的。
该定理表明，如果一个信号在频域上没有频率成分超过一半的采样频率，那么可以通过其离散时间域的采样来完全恢复该信号。
简而言之，对于信号的最高频率为f，采样频率应该大于2f才能完全还原原始信号。
这两个采样定理的要点是：采样频率必须满足一定条件，以避免采样过程中的信息丢失和信号失真。
如果采样频率不满足定理的要求，就会出现混叠效应，导致无法准确地恢复原始信号。
因此，在信号处理和通信系统中，遵循时域采样定理和频域采样定理是非常重要的，以保证信号采样和重构的准确性和有效性。
采样定理报告
1）采样率的确定，以哪个频率为基础？采样定理：带通采样定理：当连续信号的频带限在ωL到ωH之间，而且ωL≥W=ωH-ωL 时，称为带通信号。
此时并不一定需要采样频率高于两倍最高频率，对于窄带高频信号(W/ωH <<1) ，其采样速率近似等于2W。
这就使我们可以大大降低采样速率，为高频带通信号的数字化传输提供了有利条件。
低通采样定理：对一个低通带限信号进行均匀理想采样，如果采样频率大于等于信号最高频率的两倍，采样后的信号可以精确地重建原信号，可以表示为fs≥2fmax或Ts≤1/2fmax，式中fs=1/Ts，fmax是信号的最高频率。
当f=2fmax 时的采样频率为临界采样频率或称为“奈奎斯特率”。
低通采样定理是带通采样的特殊形式。
采样率的确定：带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制，也就是说它的离散时刻采样表现信号细节的能力是有限的。
采样定理是指，如果信号带宽小于奈奎斯特频率（即采样频率的二分之一），那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。
高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。
一般来说，根据奈奎斯特采样定理，仪器的采样率必须不低于信号带宽的两倍。
而实际上，要还原波形，采样频率仅仅满足采样定理是不够的，采样频率要“大于”信号带宽2倍，才可以得到信号的完整信息。
采样定理是避免信号在频域出现混叠失真的最基本条件，而不是时域信号不失真的条件。
所以，要恢复原信号，采样率是“大于”而非“等于”信号带宽的两倍。
理论上，采样率越高，越能反应原信号的真实情况，但是采样率越高，需要存储和处理的资源也就越大，所以，为了综合考虑，一般选取采样率为信号带宽的3到5倍。
2）采样率太低，会产生假频、混叠效应、波形失真。
进行理论分析数学推导和仿真。
有限带宽信号的数学分析：根据奈奎斯特采样定理，当对一个最高频率为fmax的带限信号进行采样时，采样频率fs必须大于fmax的两倍以上才能确保从采样值完全重构原来的信号。
采样定理简介
一、采样定理简介采样定理，又称香农采样定律、奈奎斯特采样定律，是信息论，特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论.E. T. Whittaker（1915年发表的统计理论），克劳德·香农与Harry Nyquist都对它作出了重要贡献。
另外，V. A. Kotelnikov 也对这个定理做了重要贡献。
采样是将一个信号（即时间或空间上的连续函数）转换成一个数值序列（即时间或空间上的离散函数）。
采样得到的离散信号经保持器后，得到的是阶梯信号，即具有零阶保持器的特性。
如果信号是带限的，并且采样频率高于信号最高频率的一倍，那么，原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。
带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制，也就是说它的离散时刻采样表现信号细节的能力是非常有限的。
采样定理是指，如果信号带宽小于奈奎斯特频率（即采样频率的二分之一），那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。
高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。
大多数应用都要求避免混叠，混叠问题的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。
采样过程所应遵循的规律，又称取样定理、抽样定理。
采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。
采样定理是1928年由美国电信工程师H.奈奎斯特首先提出来的，因此称为奈奎斯特采样定理。
1933年由苏联工程师科捷利尼科夫首次用公式严格地表述这一定理，因此在苏联文献中称为科捷利尼科夫采样定理。
1948年信息论的创始人.香农对这一定理加以明确地说明并正式作为定理引用，因此在许多文献中又称为香农采样定理。
采样定理有许多表述形式，但最基本的表述方式是时域采样定理和频域采样定理。
采样定理在数字式遥测系统、时分制遥测系统、信息处理、数字通信和采样控制理论等领域得到广泛的应用。
时域采样定理频带为F的连续信号f(t)可用一系列离散的采样值f(t1),f(t1±Δt)，f(t1±2Δt)，...来表示,只要这些采样点的时间间隔Δt≤1/2F，便可根据各采样值完全恢复原来的信号f(t)。
nyquise采样定理
nyquise采样定理【最新版】目录1.尼奎斯特采样定理的概述2.采样定理的原理3.采样定理的应用领域4.采样定理的优缺点正文1.尼奎斯特采样定理的概述尼奎斯特采样定理，又称为奈奎斯特定理，是由美国电信工程师哈罗德·奈奎斯特在 1928 年提出的一种采样理论。
该定理主要阐述了在数字化信号处理过程中，采样频率与信号带宽之间的关系。
这一理论为数字信号处理、通信系统等领域提供了重要的理论依据。
2.采样定理的原理尼奎斯特采样定理的基本原理是：当采样频率大于信号带宽的 2 倍时，就可以从离散的采样数据中完整地恢复出原始的连续信号。
具体来说，如果信号的带宽为 f，那么采样频率应该大于 2f，这样才能确保信号的完整性。
3.采样定理的应用领域尼奎斯特采样定理在许多领域都有广泛的应用，例如：音频处理、图像处理、通信系统等。
在音频处理中，为了将模拟音频信号转换为数字信号，需要对音频信号进行采样，采样定理为采样过程提供了理论依据。
在通信系统中，采样定理指导我们如何在保证信号质量的前提下，降低传输速率，提高通信效率。
4.采样定理的优缺点尼奎斯特采样定理的优点在于，它为我们提供了一种简便的方法来处理连续信号，将连续信号转换为离散信号，便于计算机处理。
同时，采样定理保证了在满足一定条件下，从离散信号中可以完整地恢复出原始的连续信号。
然而，采样定理也存在缺点。
首先，在实际应用中，要实现大于 2f 的采样频率往往需要较高的计算资源和存储空间。
其次，当采样频率低于 2f 时，采样数据将无法完整地恢复出原始信号，会导致所谓的“混叠”现象，降低信号质量。
总之，尼奎斯特采样定理是数字信号处理领域的重要理论基础，它为信号采样和恢复提供了指导原则。
简述采样定理的基本内容
简述采样定理的基本内容采样定理，也被称为奈奎斯特定理（Nyquist theorem）或香农-奈奎斯特采样定理（Shannon-Nyquist sampling theorem），是在信号处理领域中至关重要的一条基本原理。
它对数字信号处理、通信系统以及采样率等方面具有重要的指导意义。
1. 采样定理的基本内容采样定理表明，如果要正确恢复连续时间信号的完整信息，就需要以至少两倍于信号最高频率的采样频率对信号进行采样。
采样频率应该大于等于信号最高频率的两倍，即Fs >= 2 * Fmax。
采样定理的原理基于奈奎斯特频率，奈奎斯特频率是指信号频谱中的最高频率成分。
如果采样频率小于奈奎斯特频率的两倍，那么采样信号中将出现混叠现象，即频谱中的不同频率成分相互干扰，导致原信号无法准确恢复。
2. 采样定理的应用采样定理在多个领域都有广泛的应用，以下是几个常见的应用领域：音频处理：在音频信号的数字化处理中，采样定理保证了通过合适的采样率可以准确还原原始音频信号，同时避免了音频信号的混叠现象。
这就是为什么音频 CD 的采样率是44.1kHz，超过人类可听到的最高频率20kHz的两倍。
通信系统：在数字通信系统中，为了正确传输模拟信号，信号需要经过模数转换（采样）和数模转换两个过程。
采样定理确保了在采样时不会丢失信号的信息，同时在接收端通过恢复出原始信号。
这对于保证通信质量和准确传输数据来说非常关键。
图像处理：在数字图像采集中，采样定理用于设置合适的采样率，以避免图片出现信息丢失和混叠现象。
在数字摄影中，也需要根据采样定理来选择适当的像素密度，以保证图像的质量和细节。
3. 采样定理的局限性和改进采样定理的一个重要前提是信号是带限的，即信号的频谱有一个上限，超过这个上限的频率成分可以被忽略。
然而，在实际应用中，许多信号并不是严格带限的，因此采样定理可能无法完全适用。
为了克服采样定理的局限性，一种常见的方法是使用过采样（oversampling）技术。
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采样定理的危机 一、问题的描述
奈奎斯特采样定理要求无失真恢复模拟信号必须至少以两倍于信号最高频率的采样速率采样，该规则支配着consumer audio, visual electronics, medial imaging devices, radio receivers, standard analog-to-digital converter technology 等几乎所有的信号获取方式。
然而现实中模拟信号带宽较宽，比如接受的电视信号频率能够从54MHz 到806MHz ，在如此宽的带宽上适用采样定理需要至少1.6GHz 的采样速率，现在大众化的A/D 难以低廉的成本实现奈氏采样，即使能够实现，后续的数字信号处理速度也难以跟上如此快的采样速率，采样定理难道就在宽带方面不适用了吗？如何获得宽带的模拟信号信息？采样定理面临严重的危机！你能否有办法对电视信号全频段感知，并获得各电视频段有无电视信号的信息，给出你的思路和验证方法。
二、问题的分析
电视频段每6MHz 为频道，要检验各频道有无信号，只需要对每一频道特定位置进行检验即可，比如对中间频率检验。
由于信号都可以在特定的信号空间分解，而电视信号的分解空间可以是傅立叶基空间可以是小波基空间等等，根据我们对电视信号的调查发现电视频段一个有希望的突破口：电视频段利用率极低！也即是在频域分解的电视信号只在某些频段上有信号，大部分频段是无信号的空闲频段，我们将这种现象称为电视信号的稀疏性。
对稀疏性建模，采用稀疏分解理论，可以实现对电视信号的感知。
三、模型的建立
设电视信号为r(t),不能通过奈奎斯特采样得到r(t)的离散信号表示，这里我们假设奈奎斯特采样得到N 点离散信号向量为x ，由信号理论可知x 可由一组基
（单位正交采样矩阵，又叫稀疏基）T
12N [,,...,]ψψψ=ψ的线性组合表示，
N
k k k 1x ψαα
===∑ψ
其中α为稀疏基中投影的信号系数。
这里使用傅立叶变换基，我们根据历史
统计信息可得电视信号为K-稀疏的，即N 个信号系数中仅有K 个值较大，其它值较小，可忽略。
若知道α值，根据线形方程组求解理论我们可以准确获得x 信号。
又原始模拟信号经过随机降速率不均等采样可以获得非线性测量信号，这里我们表述如下：降速率采样得到M （M<N ）点离散向量y ：
y x =R
其中R 为m ×n 维测量矩阵（基），是一随机采样矩阵。
R 值确定后，采样的y 值（硬件实现）似乎可以恢复x 信号，又由于测量值维数M 远远小于信号维数N ，所以求解上式的逆问题是一个病态问题，但是联合上面两式得：
y αα==R ψθ
α为k-稀疏的，那么可以利用信号稀疏分解理论，通过求解上式的逆问题得到稀疏系数α，再进一步得到信号x 。
我们利用信号稀疏分解理论建立模型如下：
~
~
~
min N
l y αα
α
∈=其中R θ
之所以是0-范数，因为也就是向量α中非零元素的个数。
通过求解α值无失真恢复x 的算法如下图所示。
×＝ ×＝
四、模型的求解与结果分析
模型建立后，问题的关键就落脚到模型的准确求解上了。
模型中α中未知
数有N 个，方程只有M 个，且M << N 。
因此，方程有无穷多解。
从几何上说，
~
0y α-=θ是一个超平面，为了简化，在2-D 问题中（ K = 1，α只有两个元素待
求）可认为它就是一条直线。
而范数约束呢？0-范数是一个十字架，因此它的最 外侧（范数的最小值）是4 个点。
所以其和直线的交点，必然在坐标轴上。
也就是说，能使α产生更多的0，这正是我们想要的“稀疏”的结果。
2 范数是一个圆，因此它的最外侧边界和直线的交点（就是切线的概念），以压倒性的概率不在坐标轴上，除了直线的斜率恰好为0 或者无穷大。
其实直线的斜率恰好为0 或者无穷大，是不可能的。
依上所述，用2-范数优化的结果，使α几乎没有0，这是我们不期望的。
而1-范数是一个菱形，四个角都在坐标轴上，因此它和直线的交点以压倒性的概率落在坐标轴上。
所以我们用1-范数替代0-范数，将问题转 化成：
~
1
~~
min N
l y ααα∈=其中R θ
这显然是一个非线性（Non-Linear ）的凸（Convex ）优化问题，这个问题恰好是基追踪（ＢＰ）问题。
我们采用OMP （正交匹配基追踪算法），求解该优化问题。
我们选取5组单音信号，并通过随机采样后OMP 算法重建信号，参数设置如下：
N=300；f1=50; f2=100; f3=200; f4=210; f5=400; fs=1000; 时域和频域的对比
结果如下图所示：
重建误差为0.0825时
重建误差为2.0705e-014时
可以看出通过恢复效果在一定条件下可以较好恢复，这里我们关心稀疏采样多少点才能近乎无失真的回复原信号。
下面我们对M（采样点数）进行了仿真，如下所示。
可以见得这种条件下，大约采样点大于75点即可实现无失真恢复。
也就是说对于电视信号环境通过合理的选取随机采样点数量可以无失真的获得信号有无的信息。
0.2
0.4
0.6
0.81
1.2
1.4
M
e r r
五、总结与分析
对电视信号这种宽带信号，不能依赖奈奎斯特采样定理实现信息获取。
我们通过对问题的分析根据其固有的稀疏性特点，将其转换为优化问题求解。
进一步 转化为1范数求解问题，借助OMP 算法可以实现，另外分析了随机采样点数对模型性能的影响。