2.4最大值与最小值问题,优化的数学模型 教学案 3
高中数学第二章2.3平均值不等式选学2.4最大值与最小值问题优化的数学模型学案新人
学 习 资 料 汇编2．3～2.4 平均值不等式(选学)最大值与最小值问题，优化的数学模型[对应学生用书P33][读教材·填要点]1．平均值不等式(1)定理1(平均值不等式)： 设a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥ na 1a 2…a n ，等号成立⇔a 1＝a 2＝…＝a n .①推论1：设a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，且a 1a 2…a n ＝1，则a 1＋a 2＋…＋a n ≥n . 且等号成立⇔a 1＝a 2＝…＝a n ＝1.②推论2：设C 为常数，且a 1，a 2，…，a n 为n 个正数；则当a 1＋a 2＋…＋a n ＝nC 时，a 1a 2…a n ≤C n ，且等号成立⇔a 1＝a 2＝…＝a n . (2)定理2：设a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则na 1a 2…a n ≥n1a 1＋1a 2＋…＋1a n等号成立⇔a 1＝a 2＝…＝a n . (3)定理3：设a 1，a 2，…，a n 为正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥≥n1a 1＋1a 2＋…＋1a n，等号成立⇔a 1＝a 2＝…＝a n .推论：设a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则 (a 1＋a 2＋…＋a n )(1a 1＋1a 2＋…＋1a n)≥n 2.2．最值问题设D 为f (x )的定义域，如果存在x 0∈D ，使得f (x )≤f (x 0)(f (x )≥f (x 0))，x ∈D ， 则称f (x 0)为f (x )在D 上的最大(小)值，x 0称为f (x )在D 上的最大(小)值点，寻求函数的最大(小)值及最大(小)值问题统称为最值问题．[小问题·大思维]1．利用基本不等式a ＋b2≥ab 求最值的条件是什么？提示：“一正、二定、三相等”，即：(1)各项或各因式为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值．2．应用三个正数的算术—几何平均不等式，求最值应注意什么？提示：三个正数的和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．当且仅当三个正数相等时取得.[对应学生用书P34][例1] 已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．[思路点拨] 本题考查基本不等式的应用，解答本题可灵活使用“1”的代换或对条件进行必要的变形，然后再利用基本不等式求得和的最小值．[精解详析] 法一：∵x ＞0，y ＞0，1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝(1x ＋9y )(x ＋y )＝y x ＋9xy＋10≥6＋10＝16. 当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.(1)运用不等式求最大值、最小值，用到两个结论，简述为：“和定积最大”与“积定和最小”．(2)运用定理求最值时：必须做到“一正，二定，三相等”．1．求函数f (x )＝－2x 2＋x －3x(x ＞0)的最大值及此时x 的值．解：f (x )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3x .因为x ＞0，所以2x ＋3x≥26，得－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3x ≤－26，因此f (x )≤1－26，当且仅当2x ＝3x ，即x 2＝32时，式子中的等号成立．由于x ＞0，因而x ＝62时，等号成立． 因此f (x )max ＝1－26，此时x ＝62.[例2] 已知x 为正实数，求函数y ＝x (1－x 2)的最大值．[思路点拨] 本题考查三个正数的算术—几何平均不等式在求最值中的应用．解答本题要根据需要拼凑出利用其算术—几何平均不等式的条件，然后再求解．[精解详析] ∵y ＝x (1－x 2)，∴y 2＝x 2(1－x 2)2＝2x 2(1－x 2)(1－x 2)·12.∵2x 2＋(1－x 2)＋(1－x 2)＝2， ∴y 2≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＋1－x 2＋1－x 233＝427.当且仅当2x 2＝1－x 2＝1－x 2，即x ＝33时取“＝”号． ∴y ≤239.∴y 的最大值为239.(1)利用三个正数的算术—几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”．(2)应用算术—几何平均不等式定理，要注意三个条件即“一正二定三相等”同时具备时，函数方可取得最值．其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等．(3)当不具备使用平均不等式定理的条件时，求函数的最值可考虑利用函数的单调性．2．已知x 为正实数，求函数y ＝x 2·(1－x )的最大值． 解：y ＝x 2(1－x )＝x ·x (1－x ) ＝x ·x ·(2－2x )×12≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x ＋2－2x 33＝12×827＝427. 当且仅当x ＝2－2x ，即x ＝23时取等号．此时，y max ＝427.[例3] 已知圆锥的底面半径为R ，高为H ，求圆锥的内接圆柱体的高h 为何值时，圆柱的体积最大？并求出这个最大的体积．[思路点拨] 本题考查算术—几何平均不等式在实际问题中的应用，解答本题需要作出圆锥、圆柱的轴截面，利用相似三角形建立各元素之间的关系，然后利用算术—几何平均不等式求最大值．[精解详析]设圆柱体的底面半径为r ，如图，由相似三角形的性质可得H －h H ＝rR， ∴r ＝R H(H －h )．∴V 圆柱＝πr 2h ＝πR 2H2(H －h )2h (0＜h ＜H )．根据平均不等式可得V 圆柱＝4πR 2H 2·H －h 2·H －h 2·h ≤4πR 2H 2⎝ ⎛⎭⎪⎫H 33＝427πR 2H . 当且仅当H －h2＝h ，即h ＝13H 时，V 圆柱最大＝427πR 2H .(1)在解求最值应用题时，先必须确定好目标函数，再用“平均值不等式”求最值． (2)在确定目标函数时，必须使函数成为一元函数，即只能含一个变量，否则是无法求最值的．3．如图(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图(2)所示，求这个正六棱柱容器容积的最大值．解：设正六棱柱容器底面边长为x (x >0)，高为h ， 如图可知2h ＋3x ＝3，即h ＝32(1－x )，所以V ＝S 底·h ＝6×34x 2·h ＝332x 2·32·(1－x )＝23×332×x 2×x 2×(1－x )≤9×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋x2＋1－x 33 ＝13. 当且仅当x 2＝1－x ，即x ＝23时，等号成立．所以当底面边长为23时，正六棱柱容器容积最大值为13.[对应学生用书P35]一、选择题1．函数y ＝3x ＋12x2(x >0)的最小值是( )A ．6B ．6 6C ．9D ．12解析：y ＝3x ＋12x 2＝3x 2＋3x 2＋12x 2≥333x 2·3x 2·12x 2＝9，当且仅当3x 2＝12x 2，即x ＝2时取等号．答案：C2．已知x ＋2y ＋3z ＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为( ) A ．336 B ．2 2 C ．12D ．1235解析：∵2x>0,4y>0,8z>0，∴2x ＋4y ＋8z ＝2x ＋22y ＋23z ≥332x ·22y ·23z＝332x ＋2y ＋3z ＝3×4＝12.当且仅当2x ＝22y ＝23z，即x ＝2y ＝3z ，即x ＝2，y ＝1，z ＝23时取等号．答案：C3．设x ，y 为正实数，且满足x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是( ) A ．40 B ．10 C ．4D ．2解析：因为x ，y 为正实数，∴4xy ≤x ＋4y2.∴xy ≤x ＋4y4＝10.∴xy ≤100.∴lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg100＝2. 答案：D4．已知x ∈R ＋，有不等式：x ＋1x≥2x ·1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2·x 2·4x2＝3，….启发我们可以推广结论为：x ＋axn ≥n ＋1(n ∈N ＋)，则a 的值为( )A ．n nB ．2nC ．n 2D ．2n ＋1解析：x ＋a x n ＝···n xn nx x x a++++n n n x相乘个 ≥(n ＋1)···n xn nn n n x∙∙∙∙相乘个 ＝(n ＋1)n ＋1an n，由推广结论知ann ＝1，∴a ＝n n. 答案：A 二、填空题5．设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2＋4y 2的最小值为______．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝1＋4＋4x 2y 2＋1x 2y2≥1＋4＋2·4x 2y 2·1x 2y2＝9，当且仅当4x 2y 2＝1x 2y2时等号成立，即|xy |＝22时等号成立． 答案：96．若x ，y ∈R ＋且xy ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫y x＋x 的最小值是________．解析：∵x >0，y >0，xy ＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x ＝1＋x 2y ＋y 2x ＋xy ≥1＋33x 2y 2＝4，当且仅当x 2y ＝y 2x＝xy ，即x ＝y ＝1时取等号． 答案：47．对于x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，不等式1sin 2x ＋p cos 2x ≥16恒成立，则正数p 的取值范围为________． 解析：令t ＝sin 2x ，则cos 2x ＝1－t .又x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴t ∈(0,1)． 不等式1sin 2x ＋p cos 2x ≥16可化为 p ≥⎝⎛⎭⎪⎫16－1t (1－t )，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16－1t (1－t )＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t＋16t ≤17－21t·16t ＝9，当1t ＝16t ，即t ＝14时取等号， 因此原不等式恒成立，只需p ≥9. 答案： [9，＋∞)8．设三角形三边长为3,4,5，P 是三角形内的一点，则P 到这三角形三边距离乘积的最大值是________．解析：设P 到长度为3,4,5的三角形三边的距离分别是x ，y ，z ，三角形的面积为S . 则S ＝12(3x ＋4y ＋5z )，又∵32＋42＝52，∴这个直角三角形的面积S ＝12×3×4＝6.∴3x ＋4y ＋5z ＝2×6＝12.∴333x ·4y ·5z ≤3x ＋4y ＋5z ＝12. ∴(xyz )max ＝1615.当且仅当x ＝43，y ＝1，z ＝45时等号成立．答案：1615三、解答题9．已知a ，b ，x ，y 均为正实数，x ，y 为变数，a ，b 为常数，且a ＋b ＝10，a x ＋b y＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b .解：∵x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋bx y ＋ay x≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2，当且仅当bx y ＝ayx时取等号． 又(x ＋y )min ＝(a ＋b )2＝18， 即a ＋b ＋2ab ＝18 ① 又a ＋b ＝10②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8b ＝2.10．已知某轮船速度为每小时10千米，燃料费为每小时30元，其余费用(不随速度变化)为每小时480元，设轮船的燃料费用与其速度的立方成正比，问轮船航行的速度为每小时多少千米时，每千米航行费用总和为最小．解：设船速为V 千米/小时，燃料费为A 元/小时．则依题意有 A ＝k ·V 3，且有30＝k ·103，∴k ＝3100.∴A ＝3100V 3.设每千米的航行费用为R ，需时间为1V小时，∴R ＝1V ⎝ ⎛⎭⎪⎫3100V 3＋480＝3100V 2＋480V ＝3100V 2＋240V ＋240V ≥333100V 2·240V · 240V ＝36.当且仅当3100V 2＝240V，即V ＝20时取最小值．答：轮船航行速度为20千米/小时时，每千米航行费用总和最小．11.如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知道，桌子边缘一点处的照亮度E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r 的平方成反比．即E ＝k sin θr2. 这里k 是一个和灯光强度有关的常数．那么究竟应该怎样选择灯的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？解：∵r ＝2cos θ，∴E ＝k ·sin θcos 2θ4(0<θ<π2)，∴E 2＝k 216·sin 2θ·cos 4θ＝k 232·(2sin 2θ)·cos 2θ·cos 2θ ≤k 232·⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 2θ＋cos 2θ＋cos 2θ33＝k 2108， 当且仅当2sin 2θ＝cos 2θ即tan 2θ＝12，tan θ＝22时取等号，∴h ＝2tan θ＝2，即h ＝2米时，E 最大．敬请批评指正。
第三章第2节《 最大值、最小值问题》(第一课时)教学设计
2.2 最大值、最小值问题（第一课时）一、教学目标 1、知识与技能目标（1）进一步明确闭区间[]b a ,上的连续函数)(x f 在[]b a ,上必有最大、最小值（2）理解闭区间[]b a ,上的连续函数)(x f 的最值存在的可能位置 （3）掌握利用导数求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤 2、过程和方法目标（1）在学习中，观察、归纳、表述、交流、合作，最终形成认识 （2）通过利用导数求上述函数的基本过程和步骤的形成，培养学生的数学能力3、情感、态度和价值观（1）认识数学与生活的关系和数学在实用性方面的巨大力量，进而对数学中蕴涵的理性美产生发自内心的欣赏情感（2）通过利用导数解决最值问题的过程，认识到导数方法的作用 二、教学重点、教学难点 1、教学重点：会求闭区间上的连续函数的最大值和最小值 2、教学难点：(1)闭区间上的连续函数)(x f 的最值只可能存在于极值点处或区间端点处；(2)理解方程0)(='x f 的解，包含有指定区间内全部可能的极值点．三、教学思路在教学过程中，首先画一个闭区间上函数图像进行对比（对比的意图隐含最值取到的位置：极值点或端点）。
在课堂中采取学生观察发现，总结出：闭区间[]ba,上的连续函数)a,上必有最大、(xf，在[]b最小值，且最值只可能存在于极值点处或区间端点处。
在教学过程中，找函数的最值点采取与生活挂钩，将闭区间定义为作案地点，找最值点就是抓嫌疑犯的过程，充分调动学生的积极性，进而总结归纳出闭区间[]ba,上的连续函数)f的最值求法步骤。
(x四、教学内容最大值、最小值问题北师大版选修2-2 第三章导数的应用五、教学方法（1）观察学习是重要的学习方法．这节课采用的第一个方法就是“观察、比较法”（2）根据新课标的教学理念，教学中要培养学生合作共事的团队精神，这节课还采用了“合作、讨论法”，让学生共同探讨、合作学习、取长补短、形成共识六、教学手段多媒体和黑板七、教学步骤（1）多媒体演示：一段闭区间[]ba,上的连续函数)f的图像，由学(x生观察，并与极值做比较，进而发现最值存在的可能位置（2）学生合作讨论闭区间[]ba,上的连续函数)f的最值求法步骤,(x教师再点评总结（3）教师例题讲解，课堂练习，小结以及布置作业八：教学设计理念以问题为情景，融生活于数学，让学生在一种合作互助的快乐氛围中学习数学知识，在学习知识的过程中，不断培养学生数学能力和数学情操。
数学学案：课堂导学最大值与最小值问题优化的数学模型
课堂导学三点剖析一，利用函数解决最值问题【例1】 某工厂有一容量为300吨的水塔,每天从早晨6时起到晚上10时止,供应该厂的生产和生活用水,已知该厂生活用水为每小时10吨，生产用水的用水量W （吨)与时间t (小时）满足关系W =100t ,且规定早晨6时t =0,水塔的进水量分为10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，每小时进水量就增加10吨，若某天水塔原有水100吨，在开始供水的同时打开进水管，进水量选择为第几级时，既能保证该厂的用水(水塔中不空)，又不会有水溢出？解：设选择进水量为x 级,则供水t 小时后,水塔中的水量y =100+10xt —10t -100t (其中1≤x ≤10，x ∈N ＊，0〈t ≤16),由题意，0〈y ≤300，∴0<100+10xt —10t -100t ≤300恒成立，一方面,由0<100+10xt —10t —100t,得x 〉—t10+t10+1=-10(t1—21)2+27，当t =2，即t =4时，（—t10+t10+1)max =27，∴x >27。
①另一方面,由100+10xt —10t -100t≤300，得x ≤t20+t10+1=20(t1+41)2-41,∴当t =16时，（t 20+t10+1)min =419.∴x <419。
②由①②得27〈x <419。
又x ∈N ＊，∴x =4，进水量应选择第4级. 温馨提示利用函数解决最值问题,既要列好函数的解析式，又要考虑函数的定义域。
二，利用基本不等式求最值【例2】 某城市2006年末汽车保有量有30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6％，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?解:设2006年末汽车保有量为b 1万辆，以后各年末汽车保有量依次为b 2万辆,b 3万辆,…，每年新增汽车x 万辆，则b 1=30,b 2=b 1×0。
最大值与最小值教案
最大值与最小值教案一、教学目标：1. 让学生理解最大值和最小值的概念。
2. 培养学生寻找数据中的最大值和最小值的能力。
3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 最大值和最小值的概念。
2. 如何在数据中找到最大值和最小值。
3. 实际问题中的最大值和最小值的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：最大值和最小值的概念，如何在数据中找到最大值和最小值。
2. 教学难点：实际问题中的最大值和最小值的应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生思考和探索。
2. 利用实例讲解，让学生更好地理解最大值和最小值的概念。
3. 采用小组讨论法，培养学生的合作能力。
五、教学准备：1. 准备一些实际问题，让学生解决。
2. 准备一些数据，让学生寻找最大值和最小值。
3. 准备教学PPT，展示最大值和最小值的应用实例。
六、教学过程：1. 导入：通过一个简单的实际问题，引导学生思考最大值和最小值的概念。
2. 新课导入：介绍最大值和最小值的概念，解释其在数学和实际生活中的应用。
3. 实例讲解：通过一些具体的例子，展示如何找到数据中的最大值和最小值。
4. 练习时间：让学生分组讨论，尝试解决一些实际问题，找到其中的最大值和最小值。
七、课堂练习：1. 给出一些数据，让学生找到其中的最大值和最小值。
2. 给出一些实际问题，让学生运用最大值和最小值的概念解决。
3. 让学生自主设计一些问题，寻找最大值和最小值。
八、课后作业：1. 完成课后练习题，巩固最大值和最小值的概念。
九、教学反思：1. 反思本节课的教学内容，是否清晰易懂，学生是否掌握最大值和最小值的概念。
3. 反思学生的学习情况，了解学生在最大值和最小值方面的掌握程度，针对性地进行辅导。
十、拓展与延伸：1. 引导学生思考最大值和最小值在其他数学领域的应用，如优化问题、函数图像等。
2. 让学生尝试解决更复杂的实际问题，提高最大值和最小值的应用能力。
3. 推荐一些相关的数学书籍或资源，激发学生对最大值和最小值的兴趣和探究欲望。
函数的最大值和最小值优秀教案.doc
函数的最大值和最小值教案1.本节教材的地位与作用本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用,分两课时,这里是第一课时,它是在学生已经会求某些函数的最值,并且已经掌握了性质:“如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,那么f(x)在闭区间[a,b]上有最大值和最小值” ,以及会求可导函数的极值之后进行学习的,学好这一节,学生将会求更多的函数的最值,运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题.这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法,学好本节,对于进一步完善学生的知识结构,培养学生用数学的意识都具有极为重要的意义. 2.教学重点会求闭区间上连续开区间上可导的函数的最值. 3.教学难点高三年级学生虽然已经具有一定的知识基础,但由于对求函数极值还不熟练,特别是对优化解题过程依据的理解会有较大的困难,所以这节课的难点是理解确定函数最值的方法. 4.教学关键本节课突破难点的关键是:理解方程f′(x)=0的解,包含有指定区间内全部可能的极值点. 【教学目标】根据本节教材在高中数学知识体系中的地位和作用,结合学生已有的认知水平,制定本节如下的教学目标: 1.知识和技能目标 (1)理解函数的最值与极值的区别和联系. (2)进一步明确闭区间[a,b]上的连续函数f(x),在[a,b]上必有最大、最小值. (3)掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤. 2.过程和方法目标 (1)了解开区间内的连续函数或闭区间上的不连续函数不一定有最大、最小值. (2)理解闭区间上的连续函数最值存在的可能位置:极值点处或区间端点处. (3)会求闭区间上连续,开区间内可导的函数的最大、最小值. 3.情感和价值目标 (1)认识事物之间的的区别和联系. (2)培养学生观察事物的能力,能够自己发现问题,分析问题并最终解决问题. (3)提高学生的数学能力,培养学生的创新精神、实践能力和理性精神. 【教法选择】根据皮亚杰的建构主义认识论,知识是个体在与环境相互作用的过程中逐渐建构的结果,而认识则是起源于主客体之间的相互作用. 本节课在帮助学生回顾肯定了闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值之后,引导学生通过观察闭区间内的连续函数的几个图象,自己归纳、总结出函数最大值、最小值存在的可能位置,进而探索出函数最大值、最小值求解的方法与步骤,并优化解题过程,让学生主动地获得知识,老师只是进行适当的引导,而不进行全部的灌输.为突出重点,突破难点,这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学. 【学法指导】对于求函数的最值,高三学生已经具备了良好的知识基础,剩下的问题就是有没有一种更一般的方法,能运用于更多更复杂函数的求最值问题?教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望,使得他们能积极主动地观察、分析、归纳,以形成认识,参与到课堂活动中,充分发挥他们作为认知主体的作用.1.本节教材的地位与作用本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用,分两课时,这里是第一课时,它是在学生已经会求某些函数的最值,并且已经掌握了性质:“如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,那么f(x)在闭区间[a,b]上有最大值和最小值” ,以及会求可导函数的极值之后进行学习的,学好这一节,学生将会求更多的函数的最值,运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题.这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法,学好本节,对于进一步完善学生的知识结构,培养学生用数学的意识都具有极为重要的意义. 2.教学重点会求闭区间上连续开区间上可导的函数的最值. 3.教学难点高三年级学生虽然已经具有一定的知识基础,但由于对求函数极值还不熟练,特别是对优化解题过程依据的理解会有较大的困难,所以这节课的难点是理解确定函数最值的方法. 4.教学关键本节课突破难点的关键是:理解方程f′(x)=0的解,包含有指定区间内全部可能的极值点. 【教学目标】根据本节教材在高中数学知识体系中的地位和作用,结合学生已有的认知水平,制定本节如下的教学目标: 1.知识和技能目标 (1)理解函数的最值与极值的区别和联系. (2)进一步明确闭区间[a,b]上的连续函数f(x),在[a,b]上必有最大、最小值. (3)掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤. 2.过程和方法目标 (1)了解开区间内的连续函数或闭区间上的不连续函数不一定有最大、最小值. (2)理解闭区间上的连续函数最值存在的可能位置:极值点处或区间端点处. (3)会求闭区间上连续,开区间内可导的函数的最大、最小值. 3.情感和价值目标 (1)认识事物之间的的区别和联系. (2)培养学生观察事物的能力,能够自己发现问题,分析问题并最终解决问题. (3)提高学生的数学能力,培养学生的创新精神、实践能力和理性精神. 【教法选择】根据皮亚杰的建构主义认识论,知识是个体在与环境相互作用的过程中逐渐建构的结果,而认识则是起源于主客体之间的相互作用. 本节课在帮助学生回顾肯定了闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值之后,引导学生通过观察闭区间内的连续函数的几个图象,自己归纳、总结出函数最大值、最小值存在的可能位置,进而探索出函数最大值、最小值求解的方法与步骤,并优化解题过程,让学生主动地获得知识,老师只是进行适当的引导,而不进行全部的灌输.为突出重点,突破难点,这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学. 【学法指导】对于求函数的最值,高三学生已经具备了良好的知识基础,剩下的问题就是有没有一种更一般的方法,能运用于更多更复杂函数的求最值问题?教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望,使得他们能积极主动地观察、分析、归纳,以形成认识,参与到课堂活动中,充分发挥他们作为认知主体的作用.1.本节教材的地位与作用本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用,分两课时,这里是第一课时,它是在学生已经会求某些函数的最值,并且已经掌握了性质:“如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,那么f(x)在闭区间[a,b]上有最大值和最小值” ,以及会求可导函数的极值之后进行学习的,学好这一节,学生将会求更多的函数的最值,运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题.这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法,学好本节,对于进一步完善学生的知识结构,培养学生用数学的意识都具有极为重要的意义. 2.教学重点会求闭区间上连续开区间上可导的函数的最值. 3.教学难点高三年级学生虽然已经具有一定的知识基础,但由于对求函数极值还不熟练,特别是对优化解题过程依据的理解会有较大的困难,所以这节课的难点是理解确定函数最值的方法. 4.教学关键本节课突破难点的关键是:理解方程f′(x)=0的解,包含有指定区间内全部可能的极值点. 【教学目标】根据本节教材在高中数学知识体系中的地位和作用,结合学生已有的认知水平,制定本节如下的教学目标: 1.知识和技能目标 (1)理解函数的最值与极值的区别和联系. (2)进一步明确闭区间[a,b]上的连续函数f(x),在[a,b]上必有最大、最小值. (3)掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤. 2.过程和方法目标 (1)了解开区间内的连续函数或闭区间上的不连续函数不一定有最大、最小值. (2)理解闭区间上的连续函数最值存在的可能位置:极值点处或区间端点处. (3)会求闭区间上连续,开区间内可导的函数的最大、最小值. 3.情感和价值目标 (1)认识事物之间的的区别和联系. (2)培养学生观察事物的能力,能够自己发现问题,分析问题并最终解决问题. (3)提高学生的数学能力,培养学生的创新精神、实践能力和理性精神. 【教法选择】根据皮亚杰的建构主义认识论,知识是个体在与环境相互作用的过程中逐渐建构的结果,而认识则是起源于主客体之间的相互作用. 本节课在帮助学生回顾肯定了闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值之后,引导学生通过观察闭区间内的连续函数的几个图象,自己归纳、总结出函数最大值、最小值存在的可能位置,进而探索出函数最大值、最小值求解的方法与步骤,并优化解题过程,让学生主动地获得知识,老师只是进行适当的引导,而不进行全部的灌输.为突出重点,突破难点,这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学. 【学法指导】对于求函数的最值,高三学生已经具备了良好的知识基础,剩下的问题就是有没有一种更一般的方法,能运用于更多更复杂函数的求最值问题?教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望,使得他们能积极主动地观察、分析、归纳,以形成认识,参与到课堂活动中,充分发挥他们作为认知主体的作用.1.本节教材的地位与作用本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用,分两课时,这里是第一课时,它是在学生已经会求某些函数的最值,并且已经掌握了性质:“如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,那么f(x)在闭区间[a,b]上有最大值和最小值” ,以及会求可导函数的极值之后进行学习的,学好这一节,学生将会求更多的函数的最值,运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题.这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法,学好本节,对于进一步完善学生的知识结构,培养学生用数学的意识都具有极为重要的意义. 2.教学重点会求闭区间上连续开区间上可导的函数的最值. 3.教学难点高三年级学生虽然已经具有一定的知识基础,但由于对求函数极值还不熟练,特别是对优化解题过程依据的理解会有较大的困难,所以这节课的难点是理解确定函数最值的方法. 4.教学关键本节课突破难点的关键是:理解方程f′(x)=0的解,包含有指定区间内全部可能的极值点. 【教学目标】根据本节教材在高中数学知识体系中的地位和作用,结合学生已有的认知水平,制定本节如下的教学目标: 1.知识和技能目标 (1)理解函数的最值与极值的区别和联系. (2)进一步明确闭区间[a,b]上的连续函数f(x),在[a,b]上必有最大、最小值. (3)掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤. 2.过程和方法目标 (1)了解开区间内的连续函数或闭区间上的不连续函数不一定有最大、最小值. (2)理解闭区间上的连续函数最值存在的可能位置:极值点处或区间端点处. (3)会求闭区间上连续,开区间内可导的函数的最大、最小值. 3.情感和价值目标 (1)认识事物之间的的区别和联系. (2)培养学生观察事物的能力,能够自己发现问题,分析问题并最终解决问题. (3)提高学生的数学能力,培养学生的创新精神、实践能力和理性精神. 【教法选择】根据皮亚杰的建构主义认识论,知识是个体在与环境相互作用的过程中逐渐建构的结果,而认识则是起源于主客体之间的相互作用. 本节课在帮助学生回顾肯定了闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值之后,引导学生通过观察闭区间内的连续函数的几个图象,自己归纳、总结出函数最大值、最小值存在的可能位置,进而探索出函数最大值、最小值求解的方法与步骤,并优化解题过程,让学生主动地获得知识,老师只是进行适当的引导,而不进行全部的灌输.为突出重点,突破难点,这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学. 【学法指导】对于求函数的最值,高三学生已经具备了良好的知识基础,剩下的问题就是有没有一种更一般的方法,能运用于更多更复杂函数的求最值问题?教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望,使得他们能积极主动地观察、分析、归纳,以形成认识,参与到课堂活动中,充分发挥他们作为认知主体的作用.1.本节教材的地位与作用本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用,分两课时,这里是第一课时,它是在学生已经会求某些函数的最值,并且已经掌握了性质:“如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,那么f(x)在闭区间[a,b]上有最大值和最小值” ,以及会求可导函数的极值之后进行学习的,学好这一节,学生将会求更多的函数的最值,运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题.这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法,学好本节,对于进一步完善学生的知识结构,培养学生用数学的意识都具有极为重要的意义. 2.教学重点会求闭区间上连续开区间上可导的函数的最值. 3.教学难点高三年级学生虽然已经具有一定的知识基础,但由于对求函数极值还不熟练,特别是对优化解题过程依据的理解会有较大的困难,所以这节课的难点是理解确定函数最值的方法. 4.教学关键本节课突破难点的关键是:理解方程f′(x)=0的解,包含有指定区间内全部可能的极值点. 【教学目标】根据本节教材在高中数学知识体系中的地位和作用,结合学生已有的认知水平,制定本节如下的教学目标: 1.知识和技能目标 (1)理解函数的最值与极值的区别和联系. (2)进一步明确闭区间[a,b]上的连续函数f(x),在[a,b]上必有最大、最小值. (3)掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤. 2.过程和方法目标 (1)了解开区间内的连续函数或闭区间上的不连续函数不一定有最大、最小值. (2)理解闭区间上的连续函数最值存在的可能位置:极值点处或区间端点处. (3)会求闭区间上连续,开区间内可导的函数的最大、最小值. 3.情感和价值目标 (1)认识事物之间的的区别和联系. (2)培养学生观察事物的能力,能够自己发现问题,分析问题并最终解决问题. (3)提高学生的数学能力,培养学生的创新精神、实践能力和理性精神. 【教法选择】根据皮亚杰的建构主义认识论,知识是个体在与环境相互作用的过程中逐渐建构的结果,而认识则是起源于主客体之间的相互作用. 本节课在帮助学生回顾肯定了闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值之后,引导学生通过观察闭区间内的连续函数的几个图象,自己归纳、总结出函数最大值、最小值存在的可能位置,进而探索出函数最大值、最小值求解的方法与步骤,并优化解题过程,让学生主动地获得知识,老师只是进行适当的引导,而不进行全部的灌输.为突出重点,突破难点,这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学. 【学法指导】对于求函数的最值,高三学生已经具备了良好的知识基础,剩下的问题就是有没有一种更一般的方法,能运用于更多更复杂函数的求最值问题?教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望,使得他们能积极主动地观察、分析、归纳,以形成认识,参与到课堂活动中,充分发挥他们作为认知主体的作用.1.本节教材的地位与作用本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用,分两课时,这里是第一课时,它是在学生已经会求某些函数的最值,并且已经掌握了性质:“如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,那么f(x)在闭区间[a,b]上有最大值和最小值” ,以及会求可导函数的极值之后进行学习的,学好这一节,学生将会求更多的函数的最值,运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题.这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法,学好本节,对于进一步完善学生的知识结构,培养学生用数学的意识都具有极为重要的意义. 2.教学重点会求闭区间上连续开区间上可导的函数的最值. 3.教学难点高三年级学生虽然已经具有一定的知识基础,但由于对求函数极值还不熟练,特别是对优化解题过程依据的理解会有较大的困难,所以这节课的难点是理解确定函数最值的方法. 4.教学关键本节课突破难点的关键是:理解方程f′(x)=0的解,包含有指定区间内全部可能的极值点. 【教学目标】根据本节教材在高中数学知识体系中的地位和作用,结合学生已有的认知水平,制定本节如下的教学目标: 1.知识和技能目标 (1)理解函数的最值与极值的区别和联系. (2)进一步明确闭区间[a,b]上的连续函数f(x),在[a,b]上必有最大、最小值. (3)掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤. 2.过程和方法目标 (1)了解开区间内的连续函数或闭区间上的不连续函数不一定有最大、最小值. (2)理解闭区间上的连续函数最值存在的可能位置:极值点处或区间端点处. (3)会求闭区间上连续,开区间内可导的函数的最大、最小值. 3.情感和价值目标 (1)认识事物之间的的区别和联系. (2)培养学生观察事物的能力,能够自己发现问题,分析问题并最终解决问题. (3)提高学生的数学能力,培养学生的创新精神、实践能力和理性精神. 【教法选择】根据皮亚杰的建构主义认识论,知识是个体在与环境相互作用的过程中逐渐建构的结果,而认识则是起源于主客体之间的相互作用. 本节课在帮助学生回顾肯定了闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值之后,引导学生通过观察闭区间内的连续函数的几个图象,自己归纳、总结出函数最大值、最小值存在的可能位置,进而探索出函数最大值、最小值求解的方法与步骤,并优化解题过程,让学生主动地获得知识,老师只是进行适当的引导,而不进行全部的灌输.为突出重点,突破难点,这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学. 【学法指导】对于求函数的最值,高三学生已经具备了良好的知识基础,剩下的问题就是有没有一种更一般的方法,能运用于更多更复杂函数的求最值问题?教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望,使得他们能积极主动地观察、分析、归纳,以形成认识,参与到课堂活动中,充分发挥他们作为认知主体的作用.1.本节教材的地位与作用本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用,分两课时,这里是第一课时,它是在学生已经会求某些函数的最值,并且已经掌握了性质:“如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,那么f(x)在闭区间[a,b]上有最大值和最小值” ,以及会求可导函数的极值之后进行学习的,学好这一节,学生将会求更多的函数的最值,运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题.这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法,学好本节,对于进一步完善学生的知识结构,培养学生用数学的意识都具有极为重要的意义. 2.教学重点会求闭区间上连续开区间上可导的函数的最值. 3.教学难点高三年级学生虽然已经具有一定的知识基础,但由于对求函数极值还不熟练,特别是对优化解题过程依据的理解会有较大的困难,所以这节课的难点是理解确定函数最值的方法. 4.教学关键本节课突破难点的关键是:理解方程f′(x)=0的解,包含有指定区间内全部可能的极值点. 【教学目标】根据本节教材在高中数学知识体系中的地位和作用,结合学生已有的认知水平,制定本节如下的教学目标: 1.知识和技能目标 (1)理解函数的最值与极值的区别和联系. (2)进一步明确闭区间[a,b]上的连续函数f(x),在[a,b]上必有最大、最小值. (3)掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤. 2.过程和方法目标 (1)了解开区间内的连续函数或闭区间上的不连续函数不一定有最大、最小值. (2)理解闭区间上的连续函数最值存在的可能位置:极值点处或区间端点处. (3)会求闭区间上连续,开区间内可导的函数的最大、最小值. 3.情感和价值目标 (1)认识事物之间的的区别和联系. (2)培养学生观察事物的能力,能够自己发现问题,分析问题并最终解决问题. (3)提高学生的数学能力,培养学生的创新精神、实践能力和理性精神. 【教法选择】根据皮亚杰的建构主义认识论,知识是个体在与环境相互作用的过程中逐渐建构的结果,而认识则是起源于主客体之间的相互作用. 本节课在帮助学生回顾肯定了闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值之后,引导学生通过观察闭区间内的连续函数的几个图象,自己归纳、总结出函数最大值、最小值存在的可能位置,进而探索出函数最大值、最小值求解的方法与步骤,并优化解题过程,让学生主动地获得知识,老师只是进行适当的引导,而不进行全部的灌输.为突出重点,突破难点,这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学. 【学法指导】对于求函数的最值,高三学生已经具备了良好的知识基。
函数的最大值和最小值(教案与课后反思
函数的最大值和最小值一、教学目标：1. 让学生理解函数的最大值和最小值的概念。
2. 让学生掌握求函数最大值和最小值的方法。
3. 培养学生解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 函数的最大值和最小值的定义。
2. 求函数最大值和最小值的方法。
3. 实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：函数的最大值和最小值的定义，求最大值和最小值的方法。
2. 教学难点：如何运用方法求解实际问题中的最大值和最小值。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解函数最大值和最小值的概念及求解方法。
2. 利用案例分析，让学生理解最大值和最小值在实际问题中的应用。
3. 开展小组讨论，培养学生合作解决问题的能力。
五、教学过程：1. 引入新课：通过生活中的例子，如购物时如何选择最划算的商品，引出函数的最大值和最小值的概念。
2. 讲解概念：详细讲解函数的最大值和最小值的定义，让学生明确最大值和最小值的意义。
3. 方法讲解：讲解求函数最大值和最小值的方法，并通过示例进行演示。
4. 案例分析：分析实际问题中的最大值和最小值，让学生了解最大值和最小值在生活中的应用。
5. 小组讨论：让学生分组讨论，运用所学方法解决实际问题。
6. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调最大值和最小值的概念及求解方法。
7. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
课后反思：本节课通过生活中的例子引入最大值和最小值的概念，让学生容易理解。
在讲解方法时，结合示例进行演示，有助于学生掌握。
在案例分析和小组讨论环节，学生能够积极参与，运用所学知识解决实际问题。
但部分学生在理解最大值和最小值的应用时仍有一定难度，需要在今后的教学中加强引导和练习。
六、教学评价：1. 通过课堂提问、作业批改和课后访谈等方式，了解学生对函数最大值和最小值概念的理解程度。
2. 评估学生在实际问题中运用最大值和最小值方法的能力。
3. 根据学生的表现，调整教学策略，以提高教学质量。
七、教学拓展：1. 引导学生关注其他类型的函数（如二次函数、指数函数等）的最大值和最小值问题。
2.4最大值与最小值问题优化的数学模型课件人教新课标B版
解析:∵1=a+b+4c=( )2+( )2+(2 )2
1
3
1
≥ (
3
= [( )2+( )2+(2 )2]·(12+12+12)
+ + 2 )2,
1
1
∴( + + 2 )2≤3,当且仅当 a=b= 3,c= 12 时等号成立.
∴ + + 2 ≤ 3.
答案:B
箱,所需的钢板面积最小为 12 m2,故排除选项 A,B,选项 C,D 均够用,
但选项 D 所剩较多,故选 C.
答案:C
-4-
2.4 最大值与最小值问题,
优化的数学模型
目标导航
Z 知识梳理 Z 重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析 S随堂演练
IANLITOUXI
UITANGLIANXI
)
A.9
B.10 C.14 D.15
解析:u2=(3x+6y+5z)2≤[(3x)2+(2 3)2+( 5)2]·[12+( 3)2+( 5)2]
=9×9=81,当且仅当
1
1
x= ,y= ,z=1 时等号成立.∴u≤9.
3
2
答案:A
-15-
2.4 最大值与最小值问题,
优化的数学模型
目标导航
Z 知识梳理 Z 重难聚焦
面边长为a-2x,高为x,这时盒子的容积V=(a-2x)2x,再利用
算术—几何平均值不等式,变形为 xyz≤
++ 3
求解即可.
函数的最大值和最小值教案
函数的最大值和最小值教案第一章：引言1.1 课程目标让学生理解函数的概念，掌握函数的最大值和最小值的基本性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
1.2 教学内容本章将介绍函数的最大值和最小值的概念，并通过实例来解释它们的含义和应用。
1.3 教学方法采用讲解和案例分析相结合的方法，引导学生通过观察和思考来理解函数的最大值和最小值的概念。
第二章：函数的最大值和最小值的概念2.1 课程目标让学生理解函数的最大值和最小值的概念，并能够判断一个函数是否存在最大值或最小值。
2.2 教学内容本章将通过具体的例子来介绍函数的最大值和最小值的概念，并解释它们的区别和联系。
2.3 教学方法通过讲解和案例分析，引导学生通过观察和思考来理解函数的最大值和最小值的概念。
第三章：函数的最大值和最小值的求法3.1 课程目标让学生掌握函数的最大值和最小值的求法，并能够运用这些方法解决实际问题。
3.2 教学内容本章将介绍常用的求函数最大值和最小值的方法，包括导数法、图像法和对称轴法等。
3.3 教学方法通过讲解和案例分析，引导学生掌握函数的最大值和最小值的求法，并能够运用这些方法解决实际问题。
第四章：函数的最大值和最小值的应用4.1 课程目标让学生能够运用函数的最大值和最小值的概念和求法解决实际问题，提高解决问题的能力。
4.2 教学内容本章将通过实例来介绍函数的最大值和最小值在实际问题中的应用，如最优化问题、经济问题等。
4.3 教学方法采用案例分析的方法，引导学生通过观察和思考来理解函数的最大值和最小值的应用。
第五章：总结与展望5.1 课程目标让学生总结本章所学的内容，理解函数的最大值和最小值的概念、求法和应用，并能够运用这些知识解决更复杂的问题。
本章将对本章所学的内容进行总结和回顾，并通过思考题来激发学生对函数的最大值和最小值更深入的思考。
5.3 教学方法采用总结和思考题的方式，引导学生对所学内容进行回顾和思考，提高解决问题的能力。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.4最大值与最小值问题，优化的数学模型
教学案 3
教学三维目标：
1、知识与能力目标：掌握基本不等式及会应用基本不等式求最值.
2、过程与方法目标：体会基本不等式应用的条件：一正二定三相等；体会应用基本不等式求最值问题解题策略的构建过程；体会习题的改编过程.
3、情感态度与价值观目标：通过解题后的反思，逐步培养学生养成解题反思的习惯；通过变式练习，逐步培养学生的探索研究精神.
教学重点、难点：
重点：基本不等式在解决最值问题中的应用.
难点：利用基本不等式失效（等号取不到）的情况下采用函数的单调性求解最值. 学情分析与学法指导
基本不等式是求最值问题中的一种很重要的方法，但学生在运用过程中“一正、二定、三相等”的应用条件一方面容易被忽视，另一方面某些问题看似不符合前面的三个条件，但经过适当的变形又可以转化成运用基本不等式的类型学生解决起来有一定的困难。
在本节高三复习课中，结合学生的实际编制了教学案，力求在学生的“最近发展区”设计问题，逐步启发、引导学生课前自主预习、小组合作学习.
一、基础梳理
基本不等式：如果a,b 是正数，那么2a b
+
a b 时取""=号 ）
代数背景： 如果22a b + 2ab （,,a b R ∈当且仅当a b 时取""=号 ）（用代换思想得到基本不等式）
几何背景：半径不小于半弦。
常见变形：
（1）ab 222a b + （2）22
2a b +
2
2a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭ （3）b a a b +
2（,a b 同号且不为零）
3、算术平均数与几何平均数
如果a ，b 是正数，我们称 为a ，b 的算术平均数，称 的a ，b 几何平均数.
4、利用基本不等式求最值问题（建构策略）
问题：
（1）把4写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？
（2）把4写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？
请根据问题归纳出基本不等式求解最值问题的两种模式：
已知0,0x y >>,则
（1）“积定和最小”：如果积xy 是定值P,那么当 时，和x+y 有最小值 ；
（2）“和定积最大”：如果和x+y 是定值S,那么当 时，积xy 有最大值 .
二、课前热身
1、已知,(0,1)a b a b ∈≠且，下列各式最大的是（ ）
A. 22a b +
B. C. 2ab D. a b +
2、已知,,a b c 是实数，求证222
a b c ab bc ac ++≥++ 3、.1,0)1(的最小值求若x x x +> .)1(,10)2(的最大值
求若x x x -<< 4、大家来挑错 （1）2121=⋅≥+
x x x x 21的最小值是x x +∴
（2）2121,2=⋅≥+
≥x x x x x 则 21,2的最小值是时x x x +≥∴
5、
的最小值求若31,3-+
>a a a
三、课堂探究
1、答疑解惑 方法：小组提交预习中存在的疑问，由其他组学生或教师有针对性地答疑。
2、典例分析
例1、设02,x <<
求函数y .
例2、
41,3lg lg x y x x >=++设求函数的最值. 变式1：将条件改为01x <<
变式2：去掉条件1x >
变式3：将条件改为1000≥x
例3、若正数,3,a b ab a b ab =++满足则的取值范围是 . 变式：求a b +的取值范围.
例4、已知,12,0,0=+>>y x y x 且求
y x 12+的最小值. 变式：已知,112,0,0=+>>y x y x 且若
m m y x 222+>+恒成立，求实数m 的取值范围. 3、反馈矫正
（1）设230<
<x ，求函数)23(x x y -=的最大值.
（2）设R b a ∈,，且3=+b a ，则b a 22+的最小值是 .
（3）求4+-2a
a 的取值范围.①a R ∈ ②5a ≥
（4）已知,,,x y a b R +∈，y x y b x a b a +=+=+,1,10且的最小值是18，求,a b .
（5）（自选）已知0,a b >>则216()a b a b +-的最小值是 .
说明：反馈矫正可以根据学生课前预习与课堂学习的实际情况调整为课后巩固练习.。