相似三角形判定定理的应用举例
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• 2、在△ABC中，在△ABC中，
A
DE∥BC，若AD：DB=1：3，DE=2，
则BC的长为（ ）
D
E
B
C
例3 据史料记载，古希腊 数学家、天文学家泰勒曾 利用相似三角形的原理， 在金字塔影子的顶部立一 根木杆，借助太阳光线构 成两个相似三角形，来测 量金字塔的高度。 如图，如果木杆EF长2m， 它的影子FD长为3m测得 OA为201m，求金字塔的 高度BO。
解得FH=8.
当他与左边较低的树的距离小 于8m时，就不能看到右边较高 的树的顶端点C。
练习 在某一时刻，测得一根高为 的竹竿的影长为3m，同时测得一栋高楼的影长 为90m，这栋高楼的高度是多少？
D
A
F
E
C
B
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（1、3）根相据似下三列角条形件的能面否积 判比定等△于AB相C似与比△的A′B平′C方′相似？为什么？
设观察者眼晴的位置（视点） 对 解这：两∵∠棵B树=∠的C一=9条0°水，平直路ι
就设不观能 察看者到眼右晴边的较位高置的（树视的点顶）
，为F，为∠CFKF和∠，AFH分∠别C是 FK和∠AFH分别是
利，用相似三角形的原理， 数∴F学H家：、FK天=A文H学：家C泰K，勒曾
较低的树的距离小于多少时， ∵（A3B）⊥两ι，边C对D应⊥成ι，比例且夹角相等 。
∴（△2）PQ三R边∽对△应PS成T比。例.
解PQ：：∵P∠SB==Q∠RC:=S9T0，°，
就不能看到右边较高的树的顶 成 AB两：个E相C=似BD三：角D形C，，来测
PQ×90=(PQ+45) ×60，
解得PQ=90.
Q
Rb
因此河宽大约为90m。
初中数学知识归纳相似三角形的判定定理分析
初中数学知识归纳相似三角形的判定定理分析初中数学知识归纳：相似三角形的判定定理分析相似三角形是初中数学中非常重要的概念，它可以帮助我们解决各种几何问题。
相似三角形判定定理是判断两个三角形是否相似的基本定理。
本文将对相似三角形的判定定理进行归纳和分析，帮助读者更好地理解和应用这一知识点。
一、全等三角形的性质回顾在归纳相似三角形的判定定理之前，我们首先回顾一下全等三角形的性质。
两个三角形全等的条件有三种情况：边-角-边（SAS）、角-边-角（ASA）和边-边-边（SSS）。
只要满足其中一种情况，两个三角形就是全等的。
全等三角形的性质提供了相似三角形判定的基础，我们下面来看看相似三角形的判定定理。
二、相似三角形的判定定理相似三角形的判定定理包括以下三种情况：AAA相似定理、AA相似定理和边-比-边相似定理。
我们逐一进行分析。
1. AAA相似定理AAA相似定理是指如果两个三角形的对应角度相等，那么这两个三角形相似。
具体而言，如果三角形ABC和三角形DEF满足∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，那么我们可以得出结论：△ABC ∽△DEF。
其中，“∽”表示相似。
根据AAA相似定理，我们可以用角度关系判定两个三角形是否相似。
这对于求解角度未知的三角形问题非常有用。
但需要注意的是，AAA相似定理只能判定三角形之间的相似关系，并不能确定它们的实际大小。
2. AA相似定理AA相似定理是指如果两个三角形的两个对应角度相等，那么这两个三角形相似。
具体而言，如果三角形ABC和三角形DEF满足∠A=∠D，∠B=∠E（或∠A=∠E，∠B=∠D），那么我们可以得出结论：△ABC ∽△DEF。
AA相似定理是比较常用且直观的判定方式。
通过测量或计算出两个角度的大小，我们就能确定两个三角形的相似关系。
需要注意的是，判定相似三角形时，AA相似定理只能判定两个角度对应相等，不能判定另一个角度是否相等。
3. 边-比-边相似定理边-比-边相似定理是指如果两个三角形的对应边长成比例，那么这两个三角形相似。
苏教版八下10.5相似三角形的性质
在实际问题中，可以利用相似三角形 的面积和周长变化规律来解决一些与 比例、测量和计算相关的问题。
另外，还可以利用相似三角形的面积和周长 变化规律来解决一些与面积或周长相关的实 际问题，如计算不规则图形的面积或周长等 。
例如，可以通过测量相似三角形的一组对 应边长，计算出另一组对应边长，从而得 到一些难以直接测量的长度或距离。
通过已知条件确认两个三角形的三组 对应边成比例，从而证明两三角形相 似。
利用SAS判定定理证明
通过已知条件确认两个三角形的一组 对应边成比例且夹角相等，从而证明 两三角形相似。
判定定理在几何问题中应用
解决线段比例问题
利用相似三角形的性质，可以 解决涉及线段比例的问题，如 证明两条线段成比例或求解未 知线段的长度。
解决角度问题
通过相似三角形的性质，可以 求解或证明与角度相关的问题 ，如证明两个角相等或求解未 知角的度数。
解决面积问题
相似三角形的面积比等于对应 边比的平方，利用这一性质可 以解决涉及面积的问题，如求 解未知三角形的面积或比较两 个三角形的面积大小。
03
相似三角形中线段比例关系
中线、高、角平分线等线段比例关系
【解答】∵ (S△ABC/S△DEF) = (AB/DE)² = 4/9，∴ AB/DE = 2/3。又∵ CD/DH = AB/DE = 2/3，∴ DH = (3/2) × CD = (3/2) × 6cm = 9cm。
04
面积与周长在相似三角形中变化规律
面积比等于相似比平方原理
相似三角形的面积比 等于其对应边长的相 似比的平方。
易错难点剖析及注意事项
易错点
01
02
忽视相似三角形的对应关系和方向；
几何中的相似三角形相似三角形的判定条件
几何中的相似三角形相似三角形的判定条件相似三角形是几何学中的重要概念，判断两个三角形是否相似可以通过一系列的条件来确定。
本文将介绍几何中的相似三角形以及相似三角形的判定条件。
一、相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。
它们的所有对应角度相等，对应边的长度成比例。
二、相似三角形的判定条件在几何学中，有三种主要的判定条件用于确定两个三角形是否相似，它们分别是AA相似定理、SAS相似定理和SSS相似定理。
1. AA相似定理（角-角相似定理）当两个三角形中有两个对应角度相等时，它们是相似三角形。
具体而言，如果两个三角形的一个角度相等，而另一个角度也相等，那么这两个三角形是相似的。
2. SAS相似定理（边-角-边相似定理）当两个三角形的一个角度相等，并且两边成比例，那么它们是相似的。
具体而言，如果两个三角形的一个角度相等，并且与这个角度对应的两边成比例，那么这两个三角形是相似的。
3. SSS相似定理（边-边-边相似定理）当两个三角形的三边成比例时，它们是相似的。
具体而言，如果两个三角形的三边长度成比例，那么这两个三角形是相似的。
三、相似三角形的性质相似三角形具有一些重要的性质，可以应用于解决几何问题。
1. 对应角相等性质相似三角形的对应角相等，即它们的三个角度一一对应相等。
2. 对应边成比例性质相似三角形的对应边长度成比例，即它们的三个边按比例相等。
3. 高度性质相似三角形的对应边上的高度成比例，即它们的高度按比例相等。
4. 重心性质相似三角形的重心重合，即它们的重心位置一致。
四、应用举例下面通过一个实例来演示相似三角形的判定过程。
例题：已知∠ABC = 60°，∠ACB = 40°，AB = 8 cm，BC = 6 cm，是否可以判定△ABC与△DEF相似？解答：根据角度相等的条件，我们可以得知∠ABC = ∠DEF = 60°以及∠ACB = ∠DFE = 40°。
27.2.3 相似三角形应用举例
19
快乐预习感知
轻松尝试应用
拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点四 拓展点五
拓展点一 相似三角形判定方法的综合运用
例1 下列条件中,能判定△ABC∽△DEF的有( )
①∠A=45°,AB=12,AC=15,∠D=45°,DE=16,DF=40; ②AB=12,BC=15,AC=24,DE=20,EF=25,DF=40; ③∠A=47°,AB=15,AC=20,∠E=47°,DE=28,EF=21.
9
快乐预习感知
知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 知识点五 知识点六
轻松尝试应用
特别地,如图2所示,当D,E分别在AB,AC的延长线上时,结论仍成 立;
如图3所示,当D,E分别在AB,AC的反向延长线上时,结论仍成立.
图2
图3
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快乐预习感知
知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 知识点五 知识点六
知识点六
轻松尝试应用
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快乐预习感知
知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 知识点五 知识点六
轻松尝试应用
知识点四 利用三边成比例判定三角形相似
三边成比例的两个三角形相似.
名师解读 理解此定理时,可以类比判定全等时的“SSS”.可表示为:
在△ABC与△A'B'C'中,
∵ ������������
������'������'
=
������������ ������'������'
=
���∴���������'������△������', ABC∽△A'B'C'.另外,判
定两个多边形相似时所强调的“各边成比例,各角对应相等的两个
相似三角形的判定与性质
汇报人：XX
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地理学中的应用：测量距离、确定位置等
航海学中的应用：确定船只的位置、航向等
04
相似三角形的判定定理与性质定理的证明
判定定理的证明
定义法：利用相似三角形的定义，通过比较对应边和对应角来证明两个三角形相似。
平行线法：利用平行线的性质，通过比较对应边和对应角来证明两个三角形相似。
角平分线法：利用角平分线的性质，通过比较对应边和对应角来证明两个三角形相似。
适用情况：适用于已知三角形角度和边长的情况
注意事项：在应用定义法时，需要仔细检查对应角和对应边的比例关系，以避免出现误差
平行线法
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
适用范围：适用于直角三角形和非直角三角形
定义：利用平行线性质，通过比较对应边和角的比例关系来判定两个三角形是否相似
证明方法：利用平行线的性质和相似三角形的定义进行证明
应用举例：在几何问题中，常常利用平行线法来判定两个三角形是否相似
角角角法
性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例
应用：在几何、代数、三角函数等领域有广泛的应用
定义：如果两个三角形的两个对应角相等，则这两个三角形相似
判定方法：如果两个三角形的两个对应角相等，则这两个三角形相似
边边边法
证明方法：利用相似三角形的性质和判定定理进行证明
证明：根据相似三角形的定义，可以通过相似比推导出对应角相等
对应边成比例
性质定义：相似三角形的对应边长比例相等
性质推论：相似三角形的对应高、中线、角平分线等比例
性质应用：在几何证明和计算中，利用对应边成比例的性质可以简化问题
相似三角形应用举例
2.小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是0.5米和15米．已知小华的身高为1.6米，那么他所住楼房的高度为 米．
如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO
D
E
A(F)
B
O
2m
3m
201m
解：太阳光是平行线， 因此∠BAO= ∠EDF
又 ∠AOB= ∠DFE=90° ∴△ABO∽△DEF
BO
EF
=
BO =
= 134
OA
FD
OA· EF
FD
=
201×2
3
练习1
定理2 三边对应成比例的两个三角形相似. 定理3 两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似; 定理4 斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似.
一、复习引入
怎样测量树高
在同一时刻，小明测得长为1米的竹竿影长为0.9米，同时，小李测得一棵树的影长为5.4米，请计算小明测量这棵树的
1、相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等,对应边成比例. ②相似三角形对应中线的比,对应角平分线的 比，对应高的比,对应周长的比都等于相似比. ③相似三角形面积的比等于相似比的平方.
2.相似三角形的判定方法
定理1 两角对应相等的两个三角形相似.
推论1 平行于三角形一边直线截其它两边(或其延长线),所截得的三角形与原三角形相似;
3、怎样测量旗杆的高度?
三角形相似的判定方法6种
三角形相似的判定方法6种三角形相似是几何学中的一个重要概念，它描述了两个三角形形状相同，大小可能不同的关系。
判断两个三角形是否相似，主要依靠六种判定方法，它们分别是：AA相似、SSS相似、SAS相似、ASA相似、AAS相似以及HL相似（仅限于直角三角形）。
本文将详细阐述这六种判定方法，并辅以例题和图形说明，力求全面、深入地讲解三角形相似的判定。
一、 AA相似（角角相似）如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
这是最常用的相似判定方法，其简洁性使其在解题中应用广泛。
原理：两个角对应相等，则第三个角也必然相等（因为三角形内角和为180°）。
三个角对应相等，保证了两个三角形的形状完全一致，从而判定它们相似。
图形说明：A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果∠A = ∠A’ 且∠B = ∠B’，则△ABC ∽△A’B’C’。
例题1：已知△ABC中，∠A = 60°，∠B = 80°；△DEF中，∠D = 60°，∠E = 80°。
判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由。
解答：因为∠A = ∠D = 60°，∠B = ∠E = 80°，根据AA相似判定定理，△ABC ∽△DEF。
二、 SSS相似（边边边相似）如果两个三角形的对应边成比例，那么这两个三角形相似。
这是基于比例关系的相似判定方法。
原理：对应边成比例意味着两个三角形形状相同，只是大小不同。
比例关系保证了三角形的形状不变，从而判定它们相似。
图形说明：A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果AB/A’B’ = BC/B’C’ = AC/A’C’，则△ABC ∽△A’B’C’。
例题2：已知△ABC的三边长分别为6cm、8cm、10cm；△DEF的三边长分别为3cm、4cm、5cm。
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例1 如图，⊙O的弦AB与CD相交于点P，已知AP=4，
BP=3，CP=6，求DP的长.
例2 如图，AB切⊙O与B点，AD交⊙O于点C、D，
已知AB=4，AC=2，求AD的长.
A
B
C
D
O
P
O
B A C
D
例3 如图，在平面直角坐标系中，直线82:xyl分
别与x轴、y轴交于A、B两点，点P（0，k）是y轴负轴
上一动点，以P为圆心，2为半径作⊙P，当⊙P与l相切
时，求P点坐标.
A B O
x
y
l
例4 在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足
为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=4，AD=33，AE=3，求AF的长．
例5 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，
AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm/秒的速度
在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的
速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒
（0＜t＜5）．
（1）求证：△ACD∽△BAC；
（2）求DC的长；
（3）设四边形AFEC的面积为y，求y关于t的函数关系
式，并求出y的最小值．
例6 如图，已知抛物线y=21x2+bx+c与x轴交于点A
（-4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于C点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）试判断ABC的形状；
（3）设E是线段AB上的动点，作EF∥AC交BC于F，
连接CE，当△CEF的面积是△BEF面积的2倍时，求E
点的坐标；
（4）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作
y轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，
线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标．