集合中可供学生研究的两个课题

集合中可供学生研究的两个课题周顺钿　(浙江省绍兴鲁迅中学　312000)
现代认知心理学认为:学生只有参与教育实践,参与问题探究,才能建立起自己的认知结构,才能灵活地运用所学知识解决实际问题,才能有所发现、有所创新.集合是高中数学的基础,从集合中挖掘可供学生研究的课题,有利于培养学生(尤其是高一新生)探索研究的兴趣和习惯.
课题1　有限集合子集的个数
探究过程:当n=1,2,3时,相应的子集个数分别为21,22,23,由不完全归纳法猜测含n个元素的集合的子集个数为2n个(但要指出不完全归纳法得到的结论今后需要证明),其中非空子集2n-1个,真子集也有2n -1个.
模拟训练1　试求满足{1,2} AΑ{1,2,3,4,5}的集合A的个数.你能对本题作进一步的探索和改造吗?
分析　满足条件的A有{1,2,3},{1,2, 4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4, 5},{1,2,3,4,5}共7个.
改造:求满足{a1,a2} AΑ{a1,a2,…, a n}的集合A的个数.
分析　设A=B∪{a1,a2},B∩{a1, a2}= ,则满足条件的集合B的个数与集合A的个数相同.而 BΑ{a3,a4,…, a n},即集合B为集合{a3,a4,…,a n}的非空子集,其个数为2n-2-1.
探究:满足上述条件的集合A的所有元素之和是多少?
分析　首先求满足 BΑ{a3,a4,…,a n}的集合B的所有元素之和是多少?由于一定含有某一元素的集合{a3,a4,…,a n}的子集共有2n-3个,因此满足条件的集合B 的所有元素之和是2n-3(a3+a4+…+a n).而满足条件的集合A必含元素a1和a2,故满足条件的集合A的所有元素之和是(2n-2-1)(a1+a2)+2n-3(a3+a4+…+a n).
模拟训练2　设A={1},B={1,2},求A∪B.
逆向改造:设集合A,B的并集A∪B= {a1,a2},当A≠B时,(A,B)与(B,A)视为不同的对,试求这样的(A,B)对的个数.
分析　当A= 时,B可以取{a1,a2};当A={a1}时,B可以取{a2},{a1,a2};当A ={a2}时,B可以取{a1},{a1,a2};当A= {a1,a2}时,B可以取 ,{a1},{a2},{a1,a2}.综上,满足条件的(A,B)对的个数为9.
探究:当A∪B={a1,a2,…,a n}时,试求这样的(A,B)对的个数.
分析　你可以从A∪B含1,2,3个元素的特例出发,归纳一般结论,也可以仿前面的分析对集合A进行讨论.
当A= 时,B只能取{a1,a1,…,a n};当集合A含1个元素时,集合A有C1n种取法,集合B有2种取法;当集合A含2个元素时,集合A有C2n种取法,集合B有22种取法;……;当集合A含n个元素时,集合A只有C n n =1种取法,集合B有2n种取法.
综上,满足条件的(A,B)对的个数为
1+C1n 2+C2n 22+…+C n n 2n=33.
课题2　有限集合中元素的个数
有限集合中元素的个数在课本第23页借助韦恩图得到性质:对任意两个有限集合A,B,有card(A∪B)=card(A)+card(B) -card(A∩B).进一步可还可以推广为:设A i(i=1,2,…,n)为有限集,则
card∪
n
i=1
A i=∑
n
i=1
card(A i)-
∑
1Φi<jΦn
card(A i∩A j)+…+(-1)n-1
card∩
n
i=1
A i.
评注:当我们试图对某些对象的数目从
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2004年第6期 中学数学月刊
整体上计算有困难时,考虑将整体分解为部分;但当部分中的公共元素产生重复计数时,就得将重复计算的部分减去,这种“多还少补”的工作准则称为容斥原理,它是19世纪英国数学家西尔维斯特提出的.
模拟训练3　由数字1和2组成三位数,要求三位数中1和2的每一个至少出现一次,求所有这种三位数的个数.
分析　由数字1,1,2组成的三位数有3个,由数字1,2,2组成的三位数也有3个,共6个.
探究:由数字1,2和3组成n 位数,要求n 位数中1,2和3的每一个至少出现一次,求所有这种n 位数的个数.
显然,沿用上面方法已很难解决问题.记由1,2和3组成的n 位数的集合为S ,则card (S )=3n .设S 中所有不含数字k 的n 位数的集合为A k (k =1,2,3),则C s A k 是S 中所有含数字k 的n 位数的集合,∩3
k =1
C s A k 即是S
中同时含有数字1,2和3的n 位数的全体构成的集合.
易得card (A k )=2n ,card (A i ∩A j )=1,card (A 1∩A 2∩A 3)=0,
故
card ∩3
k =1
C s A k
=card (S )
-
∑3
k =1
card (A
k
)+
∑
1Φi <j Φ3
card (A
i
∩A j )-card ∩3
k =1
A
k
=3n
-3 2n
+3.
你还能够进一步推广和改造吗?
模拟训练4　给出一个自然数n ,所有小于n 且与n 互质的自然数的个数用Υ(n )表示,为什么当n >2时,Υ(n )一定是偶数?分析　如果a <n ,且a 与n 互质.那么n -a <n ,且n -a 也与n 互质.又n -a ≠a ,否则n =2a ,只要a ≥2,则a 与n 不互质,从而小于n 且与n 互质的自然数成对出现,于是Υ(n )必为偶数.
探究:在数论上称小于n 且与n 互质的自然数的个数Υ(n )为欧拉函数,试探求
Υ(60)的值.
分析　对60质因数分解得60=22×3×5,设1至60中k (k =2,3,5)的倍数集合
为A k
,则card (A 2)=60
2
=30,card (A 3)=
603=
20,card (A 5)=60
5
=12,card (A 2∩A 3)=60
6
=10,card (A 2∩A 5)=
6010=6,card (A 3∩A 5)=60
15
=4,card (A 2∩A 3∩A 5)=60
30
=2,
故Υ(60)=60-(30+20+12)+(10+6+4)-2=16.
事实上,小于60且与60互质的自然数有:1,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,49,53,59这16个.
一般地,若n =p 1a 1p 2a 2…p n a n ,p 1,p 2,…,p n 是不同的质数,a 1,a 1,…,a n 是正整数,则Υ(n )=n 1-1
p 1
1-1
p 2
…1-1
p n
.
利用这个公式计算,Υ(60)=601-12
1-13
1-15=
16.
评注:设全集为I ,则card (A )+card (C I A )=card (I ).当计算不具有某几个
性质中的任何一个性质的元素的个数时,我们有筛法公式:
card ∩n
k =1
C I A k
=card (I )-
card ∪n
k =1A
k .
美国心理学家布鲁纳 黑杰斯认为:“在教育过程中,学生不是被动的消极的知识接受者,而是积极主动的知识探究者;教师的作用是要形成一种使学生能够独立探究的情景,而不是提供现成的知识.”因此,教师应努力创设探究性学习情景,激发学生发现问题探究知识的强烈欲望和兴趣,使课堂成为探究性活动的场所.
・02・ 中学数学月刊 2004年第6期。