北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》4.5相似三角形判定定理的证明同步练习及答案

相似三角形判定定理的证明（典型题）知识点 1 证明相似三角形判定定理图4－5－11．如图4－5－1，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，若AD ＝1，BD ＝2，则DE BC的值为( )A.12B.13C.14D.192．如图4－5－2，在▱ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则DF ∶FC ＝( )A ．1∶4B ．1∶3C ．2∶3D ．1∶24－5－24－5－33．如图4－5－3，在△ABC 中，DE ∥BC ，∠ADE ＝∠EFC ，AD ∶BD ＝5∶3，CF ＝6，则DE 的长为( )A ．6B ．8C ．10D ．124．用相似三角形的定义证明平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．知识点 2 相似三角形判定的综合应用5．如图4－5－4，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD＝30 m，在DC 的延长线上找到一点A，测得AC＝5 m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于点B，测得AB＝6 m，则池塘的宽DE为( )A．25 m B．30 m C．36 m D．40 m4－5－44－5－56．如图4－5－5，AB是斜靠在墙上的长梯，梯脚B距墙脚1.6 m，梯上点D距墙1.4 m，BD长0.55 m，该梯子的长是________．7．如图4－5－6所示，已知AD⊥BD，AE⊥BE，求证：AD·BC＝AC·BE.图4－5－68．如图4－5－7，在正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.(1)求证：△ABM∽△EFA；(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．图4－5－79．如图4－5－8，△ABC中，点D，F在边AB上，点E在边AC上，如果DE∥BC，EF∥CD，那么一定有( )A．DE2＝AD·AE B．AD2＝AF·ABC．AE2＝AF·AD D．AD2＝AE·AC4－5－84－5－910．如图4－5－9，在边长为9的等边三角形ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，则AE的长为________．11．如图4－5－10，已知AB∶AD＝BC∶DE＝AC∶AE，请猜想∠ABD与∠ACE的关系，并说明理由．图4－5－1012．教材习题4.9第3题变式题如图4－5－11，在△ABC中，AC＝BC，点E，F在直线AB上，∠ECF＝∠A.(1)如图4－5－11①，点E，F在AB上时，求证：AC2＝AF·BE；(2)如图4－5－11②，点E，F在AB及其延长线上，∠A＝60°，AB＝4，BE＝3，求BF 的长．图4－5－1113．如图4－5－12，已知AB⊥DB于点B，CD⊥DB于点D，AB＝6，CD＝4，BD＝14，问：在DB上是否存在点P，使得△PCD与△PAB相似？如果存在，请求出PD的长；如果不存在，请说明理由．图4－5－1214．如图4－5－13，已知直线l 的函数表达式为y ＝－43x ＋8，且l 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，同时动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，设点Q ，P 移动的时间为t 秒．(1)求点A ，B 的坐标；(2)当t 为何值时，以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△AOB 相似？(3)求出(2)中当以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△AOB 相似时线段PQ 的长度．图4－5－13详解1．B 2.D3．C [解析] 由DE ∥BC 可得出∠ADE ＝∠B ，结合∠ADE ＝∠EFC 可得出∠B ＝∠EFC ，进而可得出BD ∥EF ，结合DE ∥BC 可证出四边形BDEF 为平行四边形，根据平行四边形的性质可得出DE ＝BF ，由DE ∥BC 可得出△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形的性质可得出BC ＝85DE ，再根据CF ＝BC －BF ＝35DE ＝6，所以DE ＝10.4．解：已知：如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，并分别交AB ，AC 于点D ，E . 求证：△ADE 与△ABC 相似． 证明：∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C . 过点D 作DF ∥AC 交BC 于点F ， 又∵DE ∥BC ，∴四边形DFCE 是平行四边形， ∴DE ＝FC ， ∴FC BC ＝DE BC ＝ADAB ，∴AD AB ＝AE AC ＝DEBC.而∠A ＝∠A ，∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ， ∴△ADE ∽△ABC . 5．C. 6．4.4 m7．证明：∵AD ⊥BD ，AE ⊥BE ， ∴∠ADC ＝90°，∠BEC ＝90°. 在△ACD 和△BCE 中，∵∠ACD ＝∠BCE ，∠ADC ＝∠BEC ， ∴△ACD ∽△BCE ，∴AD BE ＝AC BC， ∴AD ·BC ＝AC ·BE .8．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B ＝90°，AD ∥BC ， ∴∠AMB ＝∠EAF .又∵EF ⊥AM ，∴∠AFE ＝90°， ∴∠B ＝∠AFE ，∴△ABM ∽△EFA . (2)∵∠B ＝90°，AB ＝12，BM ＝5， ∴AM ＝122＋52＝13，AD ＝AB ＝12. ∵F 是AM 的中点，∴AF ＝12AM ＝6.5.∵△ABM ∽△EFA ，∴BM FA ＝AM EA， 即56.5＝13EA，∴EA ＝16.9， ∴DE ＝EA －AD ＝4.9. 9．B 10．7.11．解：∠ABD ＝∠ACE .理由如下： ∵AB ∶AD ＝BC ∶DE ＝AC ∶AE ， ∴△ABC ∽△ADE ， ∴∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE . 又∵AB ∶AD ＝AC ∶AE ， 即AB ∶AC ＝AD ∶AE ，∴△BAD ∽△CAE ，∴∠ABD ＝∠ACE . 12．解：(1)证明：∵AC ＝BC ， ∴∠A ＝∠B .∵∠BEC ＝∠ACE ＋∠A ，∠ACF ＝∠ACE ＋∠ECF ，∠ECF ＝∠A ， ∴∠ACF ＝∠BEC ，∴△ACF ∽△BEC ，∴AC BE ＝AF BC， ∴AC 2＝AF ·BE .(2)∵∠A ＝60°，AC ＝BC ， ∴△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°＝∠ECF ， ∴∠ACE ＝∠FCB .又∵∠ECB ＝∠ACB －∠ACE ，∠F ＝∠ABC －∠FCB ，∴∠ECB ＝∠F . 又∵∠ABC ＝∠A ， ∴△ACF ∽△BEC ，∴AC BE ＝AF BC ，∴AF ＝163， ∴BF ＝AF －AB ＝43.13．解：存在．①若△PCD ∽△APB ，则CD PB ＝PD AB ，即414－PD ＝PD6，解得PD ＝2或PD ＝12；②若△PCD ∽△PAB ，则CD AB ＝PD PB ，即46＝PD14－PD，解得PD ＝5.6.∴当PD 的长为2或12或5.6时，△PCD 与△PAB 相似．14．解：(1)在y ＝－43x ＋8中，当x ＝0时，y ＝8； 当y ＝0时，x ＝6.故点A 的坐标为(6，0)，点B 的坐标为(0，8)．(2)在△AOB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝6，OB ＝8，由勾股定理，得AB ＝10. 由题意易知BQ ＝2t ，AQ ＝10－2t ，AP ＝t . 在△AOB 和△AQP 中，∠BAO ＝∠PAQ ， 第一种情况：当AQ AB ＝AP AO时，△APQ ∽△AOB ， 即10－2t 10＝t 6，解得t ＝3011； 第二种情况：当AQ AO ＝AP AB时，△AQP ∽△AOB ， 即10－2t 6＝t 10，解得t ＝5013. 故当t 为3011或5013时，以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△AOB 相似．(3)∵以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△AOB 相似， ∴当t ＝3011时，PQ 8＝30116，解得PQ ＝4011；当t ＝5013时，PQ 8＝501310，解得PQ ＝4013.故当以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△AOB 相似时，线段PQ 的长度是4011或4013.4.5相似三角形判定定理的证明一、选择题1.下列语句正确的是( )A .在 △ABC 和△A ′B ′C ′中,∠B =∠B ′=90°,∠A =30°,∠C ′=60°,则⊿ABC 和⊿A ′B ′C ′不相似; B .在⊿ABC 和⊿A ′B ′C ′中,AB =5,BC =7,AC =8,A ′C ′=16,B ′C ′=14,A ′B ′=10,则⊿ABC ∽⊿A ′B ′C ′; C .两个全等三角形不一定相似;D .所有的菱形都相似2.如图，在正三角形ABC 中，D 、E 分别在AC 、AB 上，且AC AD ＝31，AE ＝BE ，则有（ ）A .△AED ∽△BED B .△AED ∽△CBD C .△AED ∽△ABD D .△BAD ∽△BCD( 3题 ) (4题)3．已知：如图，∠ADE ＝∠ACD ＝∠ABC ，图中相似三角形共有（ ） A .1对 B .2对 C .3对 D .4对4.三角形三边之比为3:5:7,与它相似的三角形的最长边为21cm ,则其余两边之和为( ) A .32cm B .24cm C .18cm D .16cm5.可以判定∆ABC ∽'''C B A ∆，的条件是 （ ） A .∠A =∠'C =∠'B B .''''C A B A AC AB =，且∠A =∠'C C .''''C A ACB A AB =且∠A =∠'B D .以上条件都不对 二、填空题6.已知一个三角形三边长是6cm，7.5cm，9cm，另一个三角形的三边是8cm，10cm，12cm，则这两个三角形（填相似或不相似）7. 如图，平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且AM=9，BD=12，AD=10，则该平行四边形的面积是_____________8.四边形ABCD∽四边形A,B,C,D,∠A=70度，∠B,=108度，∠C,=92度则∠D=_______9.在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使⊿CBF∽⊿CDE，则BF的长为________三、计算题10.已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．求证：⊿ADQ∽⊿QCP．11. ⊿ABC中,AD、CE是中线, ∠BAD=∠BCE,请猜想⊿ABC的形状,并证明.AED C B参考答案一、选择题1.B2.B3.C4.B5.D二、填空题6.相似7.728.∠D=9009.1.8三、10.证明（主要步骤）有正方形性质及已知得PC=BC=CD，DQ=CD，即：DQ:PC=2:1 QC:AD=2:1 加上直角相等可证相似。