2017函数的性质资料.doc

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2017_2018学年高中数学第一章三角函数1.7.1正切函数的定义1.7.2正切函数的图像与性质课

π π π 解析：由 x＋4≠kπ＋2，k∈Z，得 x≠kπ＋4，k∈Z. 答案：D
4．已知函数 π A.4
π f(x)＝tan2x＋3，则函数
f(x)的最小正周期为(
)
π B.2
C．π
D．2π
π π π 解析：法一函数 y＝tan(ωx＋φ)的周期 T＝|ω|，可得 T＝|2|＝2. π 法二由诱导公式可得 tan2x＋3 π π π ＝tan2x＋3＋π＝tan2x＋2＋3， π π 所以 f x＋2 ＝f(x)，所以周期为 T＝2. 答案：B
2．下列说法正确的是( ) A．y＝tanx 是增函数 B．y＝tanx 在第一象限是增函数 C．y＝tanx 在某一区间上是减函数 π π D．y＝tanx 在区间kπ－2，kπ＋2(k∈Z)上是增函数
解析：由正切函数的图象可知 D 正确．答案：D
π 3．函数 y＝tanx＋4的定义域是( ) π π A. xx≠－4 B. xx≠4 π π C. x x≠kπ－4，k∈Z D. x x≠kπ＋4，k∈Z
y＝tanx
π x|x≠kπ＋，x∈R，(k∈Z) 2
R π 奇函数 π π kπ－，kπ＋ (k∈Z) 2 2 无
|自我尝试| 1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数在整个定义域内是增函数．( × ) (2)存在某个区间，使正切函数为减函数．( × ) (3)正切函数图像相邻两个对称中心的距离为周期 π.( √ )
跟踪训练 2 调区间．
本例(1)函数变为

基本初等函数及其性质(高中数学)

01 函数及其表示函数的概念【知识简介】函数与映射的概念【典例】1. 判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数是特殊的映射．( )(2)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数．( )(3)与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．( ) (4)分段函数是两个或多个函数．( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为( )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞B.(－∞，3)∪(3，＋∞)C.⎣⎡⎭⎫32，3∪(3，＋∞)D.(3，＋∞)【解析】由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥0，x －3≠0，解得x ≥32且x ≠3.【答案】C3．(2017·东北三省四市二联)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 5x ，x ＞0，2x ， x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫125＝( ) A ．4 B.14C.－4D.－14【解析】∵f ⎝⎛⎭⎫125＝log 5125＝log 55－2＝－2， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫125＝f (－2)＝2－2＝14，故选B. 【答案】B 4．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________. 【解析】[∵f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)， ∴4＝a ×(－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2. 【答案】-2 5．给出下列四个命题：①函数是其定义域到值域的映射； ②f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数； ③函数y ＝2x (x ∈N)的图象是一条直线； ④f (x )＝lg x 2与g (x )＝2lg x 是同一个函数．其中正确命题的序号是________．【解析】由函数的定义知①正确．∵满足⎩⎪⎨⎪⎧x －3≥0，2－x ≥0的x 不存在，∴②不正确．∵y ＝2x (x ∈N)的图象是位于直线y ＝2x 上的一群孤立的点，∴③不正确． ∵f (x )与g (x )的定义域不同，∴④也不正确．【答案】① 求函数的定义域【知识简介】求函数定义域主要有两种类型，一种是具体函数求定义域，即结合分式、根式及对数式等考查自变量的取值；另一种是抽象函数定义域的求解，高考中常以选择题形式出现，难度较低．【典例】 1(1)(2014·山东，3)f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) (2)(2013·大纲全国，4)已知函数f (x )的定义域为(－1，0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1，1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1，0) D.⎝⎛⎭⎫12，1【答案】 (1)C (2)B 【名师点睛】(1)求定义域时对于解析式先不要化简；(2)求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式． 1.(2012·江西，2)下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln x xC ．y ＝x e xD ．y ＝sin x x1．D 函数y ＝13x 的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，与函数y ＝sin xx 的定义域相同，故选D.2．若典型例题1(2)改为函数f (x 2－1)的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f (2x )的定义域为________．【答案】 ⎣⎡⎦⎤－12，32,求函数定义域的三种常考类型及求解策略(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． ②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． (3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．求函数的解析式【知识简介】高考中直接考查求函数解析式的题目很少，主要考查应用问题，备考时熟练掌握换元法、待定系数法求解析式，高考中常以选择题或填空题形式出现，难度不大．【典例】 2(1)(2014·浙江，6)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A ．c ≤3 B ．3<c ≤6 C ．6<c ≤9 D ．c >9(2)(2015·浙江，7)存在函数f (x )满足：对任意x ∈R 都有( ) A ．f (sin 2x )＝sin x B ．f (sin 2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1| D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|(3)(2013·安徽，14)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.【解析】 (1)由f (－1)＝f (－2)＝f (－3)得，⎩⎪⎨⎪⎧－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，－1＋a －b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11，∴f (x )＝x 3＋6x 2＋11x ＋c .由0<f (－1)≤3，得0<－1＋6－11＋c ≤3，即6<c ≤9，故选C.(3)∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1，∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－12x (x ＋1)．【答案】 (1)C (2)D (3)－12x (x ＋1),【名师点睛】题(2)中判断对应关系“f ”是否是函数关键在于对于∀x ∈R 在f 的作用下是否有唯一的y 与之对应．求函数解析式的常见方法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，根据函数类型设出函数解析式，根据题设条件，列出方程组，解出待定系数即可．(2)换元法：已知f (h (x ))＝g (x )求f (x )时，往往可设h (x )＝t ，从中解出x ，代入g (x )进行换元，求出f (t )的解析式，再将t 替换为x 即可．(3)转化法：已知某区间上的解析式，求其他区间上的解析式，将待求变量转化到已知区间上，利用函数满足的等量关系间接获得其解析式．(4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x (或f (－x ))的表达式，可根据已知条件再构造出另一个方程构成方程组求出f (x )．分段函数分段函数作为考查函数知识的最佳载体，一直是高考命题的热点，试题常以选择题、填空题形式出现，考查求值、解方程(零点)、解不等式、函数图象及函数性质等问题．解题过程中常渗透分类讨论的数学思想．【典例】3(1)(2015·课标Ⅱ，5)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ）， x ＜1，2x －1， x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12(2)(2014·浙江，15)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2， x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．【答案】 (1)C (2)(－∞，2] 【名师点睛】当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．(2015·山东临沂调研，5)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )A.12B.45 C ．2 D ．9 C ∵0<1，∴f (0)＝20＋1＝2. ∵f (0)＝2≥1，∴f (f (0))＝22＋2a ＝4a ， ∴a ＝2.故选C.,分段函数两种题型的求解策略 (1)根据分段函数的解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2)已知函数值(或函数值的范围)求自变量的值(或范围)应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围．【针对训练】1．(2016·湖南三校联考，3)函数f (x )＝－x 2＋3x ＋4＋lg(x －1)的定义域是( ) A ．[－1，4] B ．(－1，4] C ．[1，4] D ．(1，4] 1．D 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ＋4≥0，x －1>0，解得1<x ≤4. 2．(2016·福建厦门一模，4)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23 D.1393．(2016·湖南衡阳联考，3)已知f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( ) A ．(x ＋1)2 B ．(x －1)2C ．x 2－x ＋1D ．x 2＋x ＋13．C f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x ＝t ，则f (t )＝t 2－t ＋1，即f (x )＝x 2－x ＋1.4．(2015·河北唐山统考，5)f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 3＋ln(1＋x )，则当x <0时，f (x )＝( ) A ．－x 3－ln(1－x ) B ．x 3＋ln(1－x ) C ．x 3－ln(1－x ) D ．－x 3＋ln(1－x )4．C 当x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )3＋ln(1－x )．∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )3＋ln(1－x )]，∴f (x )＝x 3－ln(1－x )． 5．(2016·广东广州一模，8)已知函数f (x )的定义域为[3，6]，则函数y ＝f （2x ）log 12（2－x ）的定义域为( )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞B.⎣⎡⎭⎫32，2 C.⎝⎛⎭⎫32，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫12，2 5．B 要使函数y ＝f （2x ）log 12（2－x ）有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ≤6，log 12（2－x ）＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧32≤x ≤3，0＜2－x ＜1⇒32≤x ＜2.故选B.6．(2016·陕西西安一中一模，10)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1，－2)D ．(－2，1)7．(2015·湖北武汉质检，6)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，x 2－2x ，x ≥0.若f (－a )＋f (a )≤0，则a 的取值范围( )A ．[－1，1]B ．[－2，0]C ．[0，2]D ．[－2，2]7．D 依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a 2－2a ＋（－a ）2＋2（－a ）≤0 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，（－a ）2－2（－a ）＋a 2＋2a ≤0，解得a ∈[－2，2]，故选D.8．(2015·安徽合肥二模，7)设集合A ＝⎣⎡⎭⎫0，12，B ＝⎣⎡⎦⎤12，1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ∈A ，2（1－x ），x ∈B .若x 0∈A ，且 f (f (x 0))∈A ，则x 0的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，14 B.⎝⎛⎦⎤14，12 C.⎝⎛⎭⎫14，12 D.⎣⎡⎦⎤0，38思路点拨：解答本题关键是要分清x 0∈A 时，f (x 0)的取值范围，以决定如何求f (f (x 0))的值． 9．(2016·浙江慈溪、余姚联考，10)若函数f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________.9．【解析】用1x 替换2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x 中的x ，得到2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x ，两个方程联立消去f ⎝⎛⎭⎫1x ，得f (x )＝2x －1x. 【答案】 2x －1x10．(2016·湖北武昌调考，14)新定义函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则不等式(x ＋1)sgn x >2的解集是________． 10．【解析】 ①当x >0时， sgn x ＝1，不等式的解集为{x |x >1}； ②当x ＝0时，sgn x ＝0，不等式无解；③当x <0时，sgn x ＝－1，不等式的解集为{x |x <－3}，所以不等式(x ＋1)sgn x >2的解集为{x |x <－3或x >1}．【答案】 {x |x <－3或x >1}【点击高考】1．(2014·江西，2，易)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0，1) B ．[0，1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)1．C 要使函数有意义，需满足x 2－x >0，解得x <0或x >1，故选C.2．(2014·江西，3，易)已知函数f (x )＝5|x |，g (x )＝ax 2－x (a ∈R )．若f (g (1))＝1，则a ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．－1 2．A 由已知条件可知 f (g (1))＝f (a －1)＝5|a -1|＝1， ∴|a －1|＝0，得a ＝1.故选A.3．(2012·安徽，2，易)下列函数中，不满足．．．f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x4．(2015·山东，10，中)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1， x <1，2x ， x ≥1.则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23，1 B ．[0，1] C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞)4．C 令f (a )＝t ，则由f (f (a ))＝2f (a )得f (t )＝2t .由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1可知t ≥1.∴f (a )≥1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <1，3a －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，2a ≥1⇒23≤a <1或a ≥1⇒a ≥23.故选C. 5．(2015·湖北，6，中)已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0.f (x )是R 上的增函数，g (x )＝f (x )－f (ax )(a >1)，则( )A ．sgn[g (x )]＝sgn xB ．sgn[g (x )]＝－sgn xC ．sgn[g (x )]＝sgn[f (x )]D ．sgn[g (x )]＝－sgn[f (x )]6．(2015·湖北，10，难)设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2]＝2，…，[t n ]＝n 同时成立，则正整数n 的最大值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 6．B 由题可知：当n ＝1时，1≤t <2.当n ＝2时，2≤t 2<3，即2≤t <3满足条件．当n ＝3时，3≤t 3<4，即33≤t <34满足条件．当n ＝4时，4≤t 4<5，即44≤t <45满足条件．当n ＝5时，5≤t 5<6，即55≤t <56，而33>56.所以正整数n 的最大值为4.7．(2015·浙江，10，易)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3， x ≥1，lg （x 2＋1）， x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．8．(2015·山东，14，中)已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________．8．【解析】当0<a <1时，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，a ＝12，∴a ＋b ＝－32.当a >1时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，解得b ＝－1，∴1a ＝0，无解．综上a ＋b ＝－32. 【答案】－3202 函数的单调性求函数的单调区间【知识简介】对于高考中函数的单调性是重点考查内容．备考时要熟记基本初等函数的图象和性质．往往以选择题、填空题形式出现，难度中等，解答题部分一般与导数结合，考查难度较大．【典例】 1(1)(2015·湖南，5)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0，1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0，1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0，1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0，1)上是减函数(2)(2014·天津，4)函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)(2)因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调增区间，即求函数y ＝x 2－4的单调减区间，结合函数的定义域x 2－4>0，可知所求区间为(－∞，－2)．【答案】 (1)A (2)D(2015·河南洛阳二模，6)函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0<a <1)的单调减区间是( )A.⎣⎡⎦⎤0，12 B ．[a ，1] C ．(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D ．[a ，a ＋1] B 由图象可知，函数y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，0)和⎝⎛⎭⎫12，＋∞，单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，12. ∵0<a <1，∴函数y ＝log a x 在定义域内单调递减．由题意可知，0≤log a x ≤12，解得a ≤x ≤1，即所求递减区间为[a ，1]，故选B.,判断函数单调性(单调区间)的常用方法(1)定义法：先求定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论．(2)图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降判断它的单调性或写出单调区间．(3)复合函数法：适用于形如y ＝f (φ(x ))的复合函数，具体规则如下表：函数增减情况内函数t ＝φ(x ) 增增减减外函数y ＝f (t ) 增减增减 y ＝f (φ(x ))增减减增y ＝f (φ(x ))的单调性可以利用口诀——“同增异减”来判断，即内外函数的单调性相同时，为增函数；单调性不同时为减函数．(4)导数法：先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性(区间)． (5)性质法：利用函数单调性的有关结论，确定简单的初等函数的单调性．函数的值域【知识简介】确定函数的值域或最值一般先探求函数在定义域内的单调性，通常出现在选择题或填空题中，函数求值域问题涉及到的函数是基本初等函数，或由基本初等函数经过变换得到．在备考时熟练掌握几个常见函数模型的图象与性质，如y ＝ax ＋b cx ＋d (c ≠0)或y ＝x ＋ax (a ≠0)．此外，在解答题中常与恒成立、有解问题综合考查，属于中高档题．【典例】 2(1)(2014·安徽，9)若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4 D ．－4或8(2)(2015·福建，14)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log ax ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)①当－1≤－a2，即a ≤2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －a －1，x ≤－1，－x －a ＋1，－1<x <－a 2，3x ＋a ＋1，x ≥－a 2. 易知函数f (x )在x ＝－a 2处取最小值，即1－a2＝3.所以a ＝－4.②当－1>－a2，即a >2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －a －1，x ≤－a2，x ＋a －1，－a 2<x <－1，3x ＋a ＋1，x ≥－1.易知函数f (x )在x ＝－a 2处取最小值，即a2－1＝3，故a ＝8.综上可得a ＝－4或a ＝8.【答案】 (1)D (2)(1，2](2015·福建福州一模，6)如果函数f (x )对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，且当x ≥12时，f (x )＝log 2(3x －1)，那么函数f (x )在[－2，0]上的最大值与最小值之和为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．－1常见求函数值域的方法(1)配方法：对形如y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)形式的函数，配方转化为顶点式，利用二次函数值域的求法求解．(2)单调性法(图象法)：若f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (x )min ＝f (a )，f (x )max ＝f (b )；若f (x )在[a ，b ] 上单调递减，则f (x )min ＝f (b )，f (x )max ＝f (a )．(3)对于形如y ＝x ＋ax (a >0)的函数，利用基本不等式：a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)求最值．(4)导数法．单调性的应用【知识简介】函数单调性的应用常以基本初等函数为载体，考查学生数形结合思想、转化与化归思想的应用，综合分析问题的能力．在高考中常以选择题、填空题出现，难度中等．【典例】 3(1)(2015·天津，7)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．c <a <b D ．c <b <a(2)(2013·安徽，4)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件(3)(2014·课标Ⅱ，15)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．【解析】 (1)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴m ＝0， ∴f (x )＝2|x |－1.图象如图，由函数的图象可知，函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．∵a＝f(log0.53)＝f(log23)，b＝f(log25)，c＝f(0)，又log25＞log23＞0，∴b＞a＞c，故选C.(3)由题知，f(2)＝0且f(x－1)>0，故f(x－1)>f(2)，而函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减且为偶函数，故满足|x －1|<2，解得－1<x<3.【答案】(1)C(2)C(3)(－1，3),比较函数值大小的思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．含“f”号不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内．利用函数的单调性求参数的取值范围已知函数在区间A上是增函数，求相关参数的取值范围，若函数是复合函数的形式，此类问题应理解为区间A是函数增区间的子集，根据复合函数“同增异减”的单调性结论来解决．若函数的导数可求，则可用函数的导数恒大于或等于0来解决．如f(x)在区间A上为增函数，求参数a的范围，则转化为：f′(x)≥0在A上恒成立且f ′(x )＝0在A 的任意子区间不恒成立，若求得a ≥2，则需检验a ＝2时是否符合题意．【针对训练】1．(2016·河南郑州一模，2)下列函数中是偶函数并且在(0，＋∞)内单调递增的是( ) A ．y ＝－(x －1)2 B ．y ＝cos x ＋1 C ．y ＝lg|x |＋2 D ．y ＝2x2．(2015·河北保定三模，6)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.⎝⎛⎭⎫－1，12 C.⎣⎡⎭⎫－1，12 D.⎝⎛⎭⎫0，12 2．C 要使函数f (x )的值域为R ，只需⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，ln 1≤1－2a ＋3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ≥－1，∴－1≤a <12，故选C.3．(2015·湖南株洲一模，7)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( ) A ．－1 B ．1 C ．6 D ．123．C 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2；当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.4．(2016·黑龙江哈尔滨联考，8)已知函数f (x )的图象向右平移a (a >0)个单位后关于直线x ＝a ＋1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c4．D 由函数f (x )的图象向右平移a (a >0)个单位后关于直线x ＝a ＋1对称，知f (x )的图象关于直线x ＝1对称．由此可得f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.由x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减． ∵1<2<52<e ，∴f (2)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (e)， ∴b >a >c ，故选D.5．(2016·江西八校联考，10)定义在R 上的函数f (x )对任意x 1，x 2(x 1≠x 2)都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0，且函数y＝f (x －1)的图象关于点(1，0)中心对称，若s ，t 满足不等式f (s 2－2s )≤－f (2t －t 2)．则当1≤s ≤4时，t －2ss ＋t 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－3，－12B.⎣⎡⎦⎤－3，－12 C.⎣⎡⎭⎫－5，－12 D.⎣⎡⎦⎤－5，－12①不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤s ≤4，s ≤t ，s ＋t ≤2的解只有⎩⎪⎨⎪⎧s ＝1，t ＝1，此时t －2s s ＋t＝－12.②∵t －2s s ＋t ＝t ＋s －3s s ＋t＝1－31＋t s，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤s ≤4，s ≥t ，s ＋t ≥2表示的可行域如图中阴影部分所示，6．(2016·吉林长春质检，15)已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，则不等式f (x －2)≥0的解集是________．6．【解析】由已知可得x －2≥1或x －2≤－1，解得x ≥3或x ≤1， ∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)．【答案】 (－∞，1]∪[3，＋∞)【点击高考】1．(2014·北京，2，易)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2 C ．y ＝2－x D ．y ＝log 0.5(x ＋1)1．A 对于A ，函数y ＝x ＋1在[－1，＋∞)上为增函数，所以函数在(0，＋∞)上为增函数，故符合；对于B ，函数y ＝(x －1)2在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，故不符合；对于C ，函数y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x在R 上为减函数，故不符合；对于D ，函数y ＝log 0.5(x ＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故不符合．2．(2014·陕西，7，易)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )·f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 12 B ．f (x )＝x3 C ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫12xD ．f (x )＝3x2．D ∵f (x ＋y )＝f (x )f (y )， ∴f (x )为指数函数模型，排除A ，B.又∵f (x )为单调递增函数，∴排除C ，故选D.3．(2012·广东，4，易)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x D ．y ＝x ＋1x4．(2012·陕西，2，易)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3 C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |4．D (逐项验证法)对于A ，注意到函数y ＝x ＋1不是奇函数；对于B ，注意到函数y ＝－x 3是在R 上的减函数；对于C ，注意到函数y ＝1x 在其定义域上不是增函数；对于D ，注意到－x ·|－x |＋x |x |＝0，即函数y ＝x |x |是奇函数，且当x ≥0时，y ＝x |x |＝x 2是增函数，因此函数y ＝x |x |既是奇函数又是R 上的增函数，故选D.5．(2015·北京，14，中)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x <1，4（x －a ）（x －2a ），x ≥1.(1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________；(2)若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________． 5．【解析】 (1)若a ＝1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x <1，4（x －1）（x －2），x ≥1.当x <1时，－1<2x －1<1.当x ≥1时，4(x －1)(x －2)＝4(x 2－3x ＋2)＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫x －322－14≥－1，∴f (x )min ＝－1.6．(2012·上海，7，中)已知函数f (x )＝e |x-－a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．6．【解析】方法一：∵f (x )＝e |x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a （x ≥a ），e －x ＋a （x <a ），∴f (x )在[a ，＋∞)上为增函数，则[1，＋∞)⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1.方法二：∵f (x )＝e |x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a （x ≥a ），e －x ＋a （x <a ），当x ≥a 时，f (x )＝e x －a ，f ′(x )＝e x －a .由题意知f ′(x )＝e x －a ≥0在[1，＋∞)上是恒成立的， ∴a ≤x min ，∴a ≤1.当x ＜a 时，f ′(x )＝－e x －a ＜0恒成立，不符合题意．综上所述，a ≤1. 【答案】 (－∞，1]7．(2016·浙江，16，15分，中)已知a ≥3，函数F (x )＝min{2|x －1|，x 2－2ax ＋4a －2}，其中min{p ，q }＝⎩⎪⎨⎪⎧p ，p ≤q ，q ，p >q . (1)求使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围； (2)①求F (x )的最小值m (a )；②求F (x )在区间[0，6]上的最大值M (a )．7．解：(1)由于a≥3，故当x≤1时，(x2－2ax＋4a－2)－2|x－1|＝x2＋2(a－1)(2－x)>0，当x>1时，(x2－2ax＋4a－2)－2|x－1|＝(x－2)(x－2a)．所以使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围为[2，2a]．03 函数的奇偶性与周期性函数奇偶性的判断及应用【知识简介】函数的奇偶性常与函数单调性相结合，解决求值、求参数问题，也与函数的周期性、图象对称性在同一个题目中出现，常以选择题或填空题形式出现，难度不大，属于中低档题．【典例】1(1)(2015·安徽，2)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A．y＝cos x B．y＝sin xC．y＝ln x D．y＝x2＋1(2)(2014·湖南，3)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝()A．－3 B．－1C．1 D．3(3)(2015·课标Ⅰ，13)若函数f(x)＝x ln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝______．【答案】(1)A(2)C(3)1(2013·四川，14)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．【答案】 (－7，3),判断函数奇偶性的方法 (1)定义法首先确定函数的定义域，若定义域关于原点对称，则确定f (x )与f (－x )的关系，进而得出函数的奇偶性；否则该函数既不是奇函数也不是偶函数． (2)图象法观察f (x )的图象，若关于原点对称，则f (x )为奇函数，若关于y 轴对称，则f (x )为偶函数．应用奇偶性可解决的问题及方法(1)求函数值：利用奇偶性转化到已知区间上求解．(2)求解析式：步骤：①求谁设谁；②转化到已知解析式的区间；③利用已知区间解析式求出f (－x )；④利用奇偶性求出f (x )．(3)求解析式中参数的值：利用待定系数法求解，由f (x )±f (－x )＝0得出关于参数的恒等式，进而求解．函数的周期性【知识简介】函数的周期性常与函数的奇偶性、图象的对称性结合，考查函数求值等问题，难度中等，一般以选择题、填空题的形式出现．【典例】 2(1)(2012·山东，8)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x ＜－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x ＜3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)＝( ) A ．335 B ．338 C ．1 678 D ．2 012(2)(2014·四川，12)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________. 【解析】 (1)由f (x ＋6)＝f (x )可知，函数f (x )的周期为6，所以f (－3)＝f (3)＝－1，f (－2)＝f (4)＝0，f (－1)＝f (5)＝－1，f (0)＝f (6)＝0，f (1)＝1，f (2)＝2，所以在一个周期内有f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＝f (1)＋f (2)＋335×1＝1＋2＋335＝338.(2)由已知易得f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1，又由函数的周期为2，可得f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝1. 【答案】 (1)B (2)1,函数周期性的判定与应用(1)判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．函数性质的综合应用【知识简介】函数的奇偶性、周期性及单调性，在高考中常将它们综合在一起命题，奇偶性多与单调性结合，周期性多与抽象函数结合，并结合奇偶性求函数值，难度中等，一般以选择题、填空题的形式出现．【典例】 3(1)(2014·大纲全国，12)奇函数f (x )的定义域为R .若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8) ＋f (9)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1(2)(2012·课标全国，16)设函数f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.(2)显然其定义域为全体实数，f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin xx 2＋1，设g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，∵g (－x )＝－g (x )，∴g (x )为奇函数，由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0，∴M ＋m ＝[g (x )＋1]max ＋[g (x )＋1]min ＝2＋g (x )max ＋g (x )min ＝2. 【答案】 (1)D (2)2,函数性质综合应用的注意点函数的周期性常通过奇偶性得到，奇偶性体现的是一种对称关系．而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．【针对训练】1．(2016·山东潍坊联考，4)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列结论中一定正确的是( ) A ．函数f (x 2)＋x 2是奇函数 B ．函数[f (x )]2＋|x |不是偶函数 C ．函数x 2f (x )是奇函数 D ．函数f (x )＋x 3不是奇函数2．(2016·甘肃兰州一模，12)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞B.⎣⎡⎭⎫12，2 C.⎣⎡⎦⎤12，2 D ．(0，2]2．C 因为f (log 12a )＝f (－log 2a )＝f (log 2a )，所以原不等式可化为f (log 2a )≤f (1)．又f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，所以|log 2a |≤1，解得12≤a ≤2，故选C.3．(2016·广东东莞一模，6)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (21.8)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <bB ．c <b <aC ．b <c <aD ．a <b <c3．B ∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数， ∴b ＝f (log 123)＝f (－log 23)＝f (log 23)，∵21.8＞2＞log 23＝log 49>log 47， ∴log 47<log 49<21.8，∵f (x )在(－∞，0]上是增函数， ∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数，则f (log 47)>f (log 49)>f (21.8)，即c <b <a .4．(2015·湖北名校联考，7)设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈[－2，0]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－1.若在区间(－2，6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，＋∞)C ．(1，34)D ．(34，2)∴在区间(－2，6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)恰有3个不同的实数根可转化为函数f (x )的图象与y ＝log a (x ＋2)的图象有且只有三个不同的交点，则⎩⎪⎨⎪⎧log a （2＋2）<3，log a（6＋2）>3，解得34＜a ＜2，故选D.5．(2016·河北石家庄模拟，15)若函数f (x )＝2x ＋sin x 对任意的m ∈[－2，2]，有f (mx －3)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围是________．【答案】 (－3，1)6．(2016·山东济南二模，13)已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 有f (x ＋4)＝－f (x )＋22，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，f (1)＝2，则f (2 015)＝________.6．【解析】由函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称可知，函数f (x )的图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．由f (x ＋4)＝－f (x )＋22，得f (x ＋4＋4)＝－f (x ＋4)＋22＝f (x )， ∴f (x )是周期T ＝8的偶函数，∴f (2 015)＝f (7＋251×8)＝f (7)＝f (8－1)＝f (－1)＝f (1)＝2. 【答案】 27．(2016·山西太原三模，16)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫32－x ＝f (x )，f (－2)＝－3，数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝－1，S n ＝2a n ＋n (n ∈N *)，则f (a 5)＋f (a 6)＝________. 7．【解析】 ∵奇函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫32－x ＝f (x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫32－x ＝－f (－x )， ∴f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x ＋3)， ∴f (x )是以3为周期的周期函数， ∵S n ＝2a n ＋n ，① ∴S n ＋1＝2a n ＋1＋n ＋1，②②－①可得a n ＋1＝2a n －1，即a n ＋1－1＝2(a n －1)，∴数列{a n －1}是首项为－2，公比为2的等比数列，即a n －1＝－2·2n －1＝－2n ，即a n ＝－2n ＋1，∴a 5＝－31，a 6＝－63，∴f (a 5)＝f (－31)＝f (2)＝－f (－2)＝3，f (a 6)＝f (－63)＝f (0)＝0，∴f (a 5)＋f (a 6)＝3. 【答案】 38．(2016·河南郑州质检，15)设函数y ＝f (x )的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1＋x 2＝2a 时，恒有f (x 1)＋f (x 2)＝2b ，则称点(a ，b )为函数y ＝f (x )图象的对称中心．研究函数f (x )＝x 3＋sin πx ＋2图象的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f (－1)＋f ⎝⎛⎭⎫－1920＋…＋f ⎝⎛⎭⎫1920＋f (1)＝________. 【答案】 82【点击高考】1．(2016·山东，9，中)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (6)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．21．D 由题意得，当x ＞12时，f (x ＋1)＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12－12＝f (x )，所以当x ＞12时，f (x )的周期为1，所以f (6)＝f (1)．又f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以f (6)＝2，故选D.2．(2016·课标Ⅱ，12，难)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1 (x i ＋y i )＝( ) A ．0 B ．m C ．2m D ．4m3．(2015·广东，3，易)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝1＋x 2 B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x ＋12x D ．y ＝x ＋e x3．D A 中函数y ＝1＋x 2为偶函数；B 中f (－x )＝－x －1x ＝－f (x )，故为奇函数；C 中f (－x )＝2－x ＋12－x ＝12x＋2x ＝f (x )，故为偶函数；D 中f (－x )＝－x ＋e －x ，为非奇非偶函数，故选D.4．(2014·课标Ⅰ，3，易)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数4．C 若f (x )为奇函数，则|f (x )|为偶函数；若g (x )为偶函数，则|g (x )|为偶函数，且两函数相乘奇偶性“同偶异奇”，对照选项可知C 正确．5．(2013·山东，3，易)已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．25．A 因为函数f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝－2.故选A.6．(2012·福建，7，中)设函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论错误的是( )A ．D (x )的值域为{0，1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数 D ．D (x )不是单调函数7．(2016·天津，13，中)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)>f(－2)，则a的取值范围是________．7．【解析】由f(x)是偶函数且f(x)在(－∞，0)上单调递增，得f(x)在(0，＋∞)上单调递减．又f(2|a－1|)>f(－2)，f(－2)＝f(2)，∴f(2|a－1|)>f(2)，∴2|a－1|<2，即|a－1|<1 2，∴12<a<32.【答案】12<a<328．(2012·上海，9，易)已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________．04 二次函数与幂函数二次函数【知识简介】在高考中，二次函数图象常与其他函数结合考查，多以选择题形式出现，难度偏大，属于中高档题．二次函数性质中单调性及最值在高考中出现频率较高，在解答题中常与导数相结合，考查函数的单调性、极值、零点与不等式问题，难度较大．【典例】 1(1)(2015·四川，9)如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎡⎦⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( ) A ．16 B ．18 C ．25 D.812(2)(2013·辽宁，12)已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B ＝( ) A ．a 2－2a －16 B ．a 2＋2a －16 C ．－16 D ．16③当m －2<0，即0≤m <2时，f (x )开口向下，对称轴x ＝－n －8m －2＝8－n m －2≤12，整理得m ＋2n ≤18.∴mn ＝12×2mn ≤12×⎝⎛⎭⎫m ＋2n 22≤812，当且仅当m ＝2n ，m ＋2n ＝18，即n ＝92，m ＝9时，等号成立，而m ＝9与0≤m <2矛盾；故不合题意．综上可知，mn 的最大值为18，故选B.(2)令f(x)＝g(x)，即x2－2(a＋2)x＋a2＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8，即x2－2ax＋a2－4＝0，解得x＝a＋2或x＝a－2.f(x)与g(x)的图象如图．由图象及H1(x)的定义知H1(x)的最小值是f(a＋2)，H2(x)的最大值为g(a－2)，∴A－B＝f(a＋2)－g(a－2)＝(a ＋2)2－2(a＋2)2＋a2＋(a－2)2－2(a－2)2＋a2－8＝－16.【答案】(1)B(2)C,【名师点睛】(1)首先根据函数的单调性建立关于m，n的不等式，然后运用基本不等式求最值．注意需对二次项系数进行分类讨论．(2)比较两个函数的大小可以转化成两图象的上下位置关系，故可用图象法求解，在画图时要抓好轴与顶点．二次函数图象的主要考查方向(1)二次函数的图象的识别问题，主要有以下三个要点：一是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置；三是看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y轴的交点、与x轴的交点，函数图象的最高点与最低点等．从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也可以从图象中得到如上信息．(2)与其他图象的公共点问题，解决此类问题的关键是正确作出二次函数及题目所涉及的相应函数图象，要注意其相对位置关系．二次函数性质应用的求解策略(1)先定性：当二次项系数含参数时，要分类讨论：二次项参数大于0，等于0，小于0. (2)再定量：根据分类，画出符合条件的草图，结合图象列式计算．幂函数【知识简介】高考中考查幂函数的概念、图象及性质，利用幂函数性质求参数，很少单独考查，一般结合指数函数、对数函数考查基本初等函数的图象与性质，以选择题、填空题的形式呈现，难度不大．【典例】 2(1)(2014·浙江，7)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ＞0)，g (x )＝log a x 的图象可能是 ( )(2)(2014·上海，9)若f (x )＝x 23－x －12，则满足f (x )<0的x 的取值范围是________．(2)令y 1＝x 23，y 2＝x －12，则f (x )<0即为y 1<y 2.函数y 1＝x 23，y 2＝x －12的图象如图所示，由图象知当0<x <1时，y 1<y 2，所以满足f (x )<0的x 的取值范围是(0，1)．【答案】 (1)D (2)(0，1)(2016·山东实验中学三模，5)幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2幂函数的图象与性质问题的解题策略(1)关于图象辨识问题，关键是熟悉各类幂函数的图象特征，如过特殊点、凹凸性等．(2)关于比较幂值大小问题，结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较或应用．(3)在解决幂函数与其他函数的图象的交点个数、对应方程根的个数及近似解等问题时，常用数形结合的思想方法，即在同一坐标系下画出两函数的图象，数形结合求解．【针对训练】1．(2016·河南郑州一模，4)已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)·x m ＋1为偶函数，则m ＝( )A ．1B ．2C ．1或2D ．3 1．A ∵幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m＋1为偶函数，∴m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1或m ＝2.当m ＝1时，幂函数为f (x )＝x 2为偶函数，满足条件．当m ＝2时，幂函数为f (x )＝x 3为奇函数，不满足条件．故选A.2．(2016·浙江宁波二模，6)已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是( )2．A [考向1，2]由f (x )的图象知，0<a <1，b <－1.由0<a <1可排除C ，D ，又由g (0)＝1＋b <0可排除B.故。

解析函数的主要性质综述

解析函数的主要性质综述作者：安辉燕来源：《科学导报》2017年第75期一、导引解析函数是一类具有某种特性的可微函数，它将我们所熟悉的数学分析中的一些内容推广到复数域上并研究其性质。

本文通过搜集材料，系统总结了解析函数的几个主要性质：解析函数的唯一性、零点的孤立性、零点的分布问题、解析函数在无穷远点的性质、解析变换的特征及解析函数、共轭解析函数和复调和函数之间的关系，并通过举例进行了深入、详细的分析。

二、预备知识1.定义如果函数在区域D内是可微的，则称为区域D内的解析函数。

复变函数中解析函数的充要条件有多种形式，最常见的有以下几种。

2.定理函数在区域D内解析的充要条件：A（1）二元函数在区域D内可微；（2）在D内满足方程。

B（3）在D内连续；（4）在D内满足方程。

C 在D内任意一点的邻域内可以展成的幂级数，也就是泰勒级数。

D C为D内任意一条周线，则。

三、解析函数的主要性质1.解析函数的唯一性定理（解析函数的唯一性）如果函数在区域D内解析，是D内彼此不同的点，并且点列的极限点，若有，则在D内必有。

根据定理我们可得到以下结论：推论1 如果函数在区域D内解析，且在区域内某点的邻域内有，则在D内必有。

推论2 如果函数在区域D内解析，且在区域D内某一曲线上有，则在内必有。

2.解析函数零点的孤立性定理如果在内的解析函数不恒为零，是的一个零点，则必存在的一个邻域使得在其中无其他零点。

（即：不恒为零的解析函数的零点具有孤立性）此性质是解析函数的特殊性质，实函数不具有此性质。

3. 解析函数零点的分布问题解析函数的零点的分布问题是复变函数论中的一个重要问题，一下就复多项式的零点可以全部分布在一个指定的区域内这个问题进行讨论。

定理1若复平面上多项式在虚轴上无零点，则它的零点全分布在右半平面上的充要条件为。

定理2若复平面上多项式在实轴上无零点，则它的零点全分布在上半平面的充要条件为。

四、解析变换的特性解析函数的特性是从几何的角度对解析函数的性质和应用进行讨论。

三角恒等变形和三角函数的性质-2017年高考数学(理)母题题源系列(北京专版)含解析

【母题原题1】【2017北京，理12】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，cos()αβ-=___________。

【答案】79- 【解析】这样()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-. 【考点】1。

同角三角函数；2.诱导公式；3。

两角差的余弦公式。

【名师点睛】本题考查了角的对称的关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含，α与β关于y 轴对称，则2k αβππ+=+ ,若α与β关于轴对称，则02k αβπ+=+ ，若α与β关于原点对称，则2k αβππ-=+k Z ∈.【母题原题2】【2016北京，理7】将函数πsin(2)3y x =-图象上的点π(,)4P t 向左平移s （s ﹥0）个单位长度得到点P ′。

若P ′位于函数sin 2y x =的图象上，则（A ）12t =，s 的最小值为π6 （B ）3t =，的最小值为π6(C ）12t =，的最小值为π3 （D ）32t =，的最小值为π3【答案】A【考点】三角函数图象的平移【名师点睛】三角函数图象的变换，有两种选择：一是先伸缩再平移,二是先平移再伸缩．特别注意:①平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出；②翻折变换要注意翻折的方向；③三角函数名不同的图象变换问题,应先将三角函数名统一,再进行变换。

学【母题原题3】【2015北京，理15】已知函数2()2cos 2222x x x f x ．(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期；(Ⅱ）求()f x 在区间[π0]-，上的最小值．【答案】(1）2π，(2）212-- 【解析】试题解析:先用降幂公式和辅助角公式进行三角恒等变形，把函数化为()sin()f x A x m ωϕ=++形式,再利用周期公式2T πω=求出周期，第二步由于0,x π-≤≤则可求出3444x πππ-≤+≤,借助正弦函数图象找出在这个范围内当42x ππ+=-,即34x π=-时，()f x 取得最小值为:212--。

专题17 三次函数的图像与性质(解析版)

专题17 三次函数的图像与性质一、例题选讲题型一运用三次函数的图像研究零点问题遇到函数零点个数问题,通常转化为两个函数图象交点问题,进而借助数形结合思想解决问题；也可转化为方程解的个数问题,通过具体的解方程达到解决问题的目的.前者由于是通过图形解决问题,故对绘制的函数图象准确度和细节处要求较高,后者对问题转化的等价性和逻辑推理的严谨性要求较高.下面的解法是从解方程的角度考虑的.例1,(2017某某,某某,某某,某某三调)已知函数3()3 .x x a f x x x x a ⎧=⎨-<⎩≥，，，若函数()2()g x f x ax =-恰有2个不同的零点,则实数a 的取值X 围是．【答案】3(2)2-，【解析】：函数()2()g x f x ax =-恰有2个不同的零点,即方程2()0f x ax -=恰有2个不相等的根,亦即方程(Ⅰ)20x ax ax ≥⎧⎨-=⎩和(Ⅱ)3260x a x x ax <⎧⎨--=⎩共有2个不相等的根. 首先(Ⅰ)中20x ax -=,即(2)0a x -=,若2a =,则2x ≥都是方程20x ax -=的根,不符合题意,所以2a ≠,因此(Ⅰ)中由20x ax -=解得0x =,下面分情况讨论(1)若0x =是方程(Ⅰ)的唯一根,则必须满足0a ≥,即0a ≤,此时方程(Ⅱ)必须再有唯一的一个根,即30260x a x x ax <≤⎧⎨--=⎩有唯一根,因为0x ≠,由3260x x ax --=,得226x a =+必须有满足0x a <≤的唯一根,首先60a +>,其次解得的负根需满足0a <≤,从而解得302a -<≤,(2)若0x =不是方程(Ⅰ)的唯一根,则必须满足0a <,即0a >,此时方程(Ⅱ)必须有两个不相等的根,即30260a x ax x ax ⎧>⎪<⎨⎪--=⎩有两个不相等的根,由3260x x ax --=,得0x a =<适合,另外226x a =+还有必须一满足,0x a a <>的非零实根,首先60a +>,a≥,从而解得02a <≤,但前面已经指出2a ≠,故02a <<,综合(1),(2),得实数a 的取值X 围为3(,2)2-.例2,(2017某某学情调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －x3，x ≤0，－2x ，x ＞0.)当x ∈(－∞,m ]时,f (x )的取值X 围为[－16,＋∞),则实数m 的取值X 围是________．【答案】 [－2,8]【解析】思路分析由于f (x )的解析式是已知的,因此,可以首先研究出函数f (x )在R 上的单调性及相关的性质,然后根据f (x )的取值X 围为[－16,＋∞),求出它的值等于－16时的x 的值,借助于函数f (x )的图像来对m 的取值X 围进行确定．当x ≤0时,f (x )＝12x －x 3,所以f ′(x )＝12－3x 2.令f ′(x )＝0,则x ＝－2(正值舍去),所以当x ∈(－∞,－2)时,f ′(x )＜0,此时f (x )单调递减；当x ∈(－2,0]时,f ′(x )＞0,此时f (x )单调递增,故函数f (x )在x ≤0时的极小值为f (－2)＝－16.当x ＞0时,f (x )＝－2x 单调递减,f (0)＝0,f (8)＝－16,因此,根据f (x )的图像可得m ∈[－2,8]．解后反思根据函数的解析式来得到函数的相关性质,然后由此画出函数的图像,借助于函数的图像可以有效地进行解题,这就是数形结合的魅力．题型二三次函数的单调性问题研究三次函数的单调性,往往通过导数进行研究.要特别注意含参的讨论.例3,已知函数32()3f x x x ax =-+()a ∈R ,()|()|g x f x =．(1)求以(2,(2))P f 为切点的切线方程,并证明此切线恒过一个定点；(2)若()g x kx ≤对一切[0,2]x ∈恒成立,求k 的最小值()h a 的表达式；(3)设0a >,求()y g x =的单调增区间．解析 (1)2()36f x x x a '=-+,(2)f a '=,过点P 的切线方程为()224y a x a =-+-,即4y ax =-,它恒过点(0,- 4)；(2)()g x kx ≤即32|3|x x ax kx -+≤．当0x =时,上式恒成立；当(0,2]x ∈时,即2|3|x x a k -+≤对一切(0,2]x ∈恒成立,设2max ()|3|,[0,2]h a x x a x ∈=-+, ①当94a ≥时,2max |3|x x a -+在0x =时取得,∴()h a a =；②当94a <时,2max 99(),984|3|max{,}994()48a a x x a a a a a ⎧<<⎪⎪-+=-=⎨⎪-⎪⎩≤；由①②,得9(),8()99()48a a g a a a ⎧>⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩≤； (3)32()3f x x x ax =-+,22()363(1)3f x x x a x a '=-+=-+-,令()0f x =,得0x =或230x x a -+=,当94a <时,由230x x a -+=,解得132x =232x =令()0f x '=,得23(1)30x a -+-=,当3a <时,由23(1)30x a -+-=,解得31x =41x =+1)当3a ≥时,()y g x =的单调增区间为(0,)+∞；2)当934a <≤时,()y g x =的单调增区间为3(0,)x 和4(,)x +∞；3)当904a <<时,()y g x =的单调增区间为3(0,)x 和14(,)x x 和2(,)x +∞．例4,(2018某某期末) 若函数f(x)＝(x ＋1)2|x －a|在区间[－1,2]上单调递增,则实数a 的取值X 围是________．【答案】 (－∞,－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞思路分析由于条件中函数的解析式比较复杂,可以先通过代数变形,将其化为熟悉的形式,进而利用导数研究函数的性质及图像,再根据图像变换的知识得到函数f(x)的图像进行求解．函数f(x)＝(x ＋1)2|x －a|＝|(x ＋1)2(x －a)|＝|x 3＋(2－a)x 2＋(1－2a)x －a|.令g(x)＝x 3＋(2－a)x 2＋(1－2a)x －a,则g ′(x)＝3x 2＋(4－2a)x ＋1－2a ＝(x ＋1)(3x ＋1－2a)．令g ′(x)＝0得x 1＝－1,x 2＝2a －13.①当2a －13<－1,即a<－1时,令g ′(x)>0,即(x ＋1)(3x ＋1－2a)>0,解得x<2a －13或x>－1；令g ′(x)<0,解得2a －13<x<－1.所以g(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a －13,(－1,＋∞),单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，－1. 又因为g(a)＝g(－1)＝0,所以f(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2a －13,(－1,＋∞),单调减区间是(－∞,a),⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，－1,满足条件,故a<－1(此种情况函数f(x)图像如图1)． ,图1)②当2a －13＝－1,即a ＝－1时,f(x)＝|(x ＋1)3|,函数f(x)图像如图2,则f(x)的单调增区间是(－1,＋∞),单调减区间是(－∞,－1),满足条件,故a ＝－1.,图2)③当2a －13>－1,即a>－1时,令g ′(x)>0,即(x ＋1)(3x ＋1－2a)>0,解得x<－1或x>2a －13；令g ′(x)<0,解得－1<x<2a －13.所以g(x)的单调增区间是(－∞,－1),⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，＋∞,单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2a －13. 又因为g(a)＝g(－1)＝0,所以f(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2a －13,(a,＋∞),单调减区间是(－∞,－1),⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，a ,要使f(x)在[－1,2]上单调递增,必须满足2≤2a －13,即a ≥72,又因为a>－1,故a ≥72(此种情况函数f(x)图像如图3)．综上,实数a 的取值X 围是(－∞,－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞.,图3)例5,(2018某某期末)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x3＋x2，x<0，ex －ax ，x ≥0，其中常数a ∈R .(1) 当a ＝2时,求函数f (x )的单调区间；(2) 若方程f (－x )＋f (x )＝e x －3在区间(0,＋∞)上有实数解,某某数a 的取值X 围；规X 解答 (1) 当a ＝2时,f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x3＋x2，x<0，ex －2x ，x ≥0.①当x<0时,f ′(x)＝－3x 2＋2x<0恒成立,所以f(x)在(－∞,0)上递减；(2分)②当x ≥0时,f ′(x)＝e x －2,可得f(x)在[0,ln 2]上递减,在[ln 2,＋∞)上递增．(4分)因为f(0)＝1>0,所以f(x)的单调递减区间是(－∞,0)和[0,ln 2],单调递增区间是[ln 2,＋∞)．(5分)(2) 当x>0时,f(x)＝e x －ax,此时－x<0,f(－x)＝－(－x)3＋(－x)2＝x 3＋x 2.所以可化为a ＝x 2＋x ＋3x在区间(0,＋∞)上有实数解．(6分) 记g(x)＝x 2＋x ＋3x ,x ∈(0,＋∞),则g ′(x)＝2x ＋1－3x2＝（x －1）（2x2＋3x ＋3）x2.(7分) 可得g(x)在(0,1]上递减,在[1,＋∞)上递增,且g(1)＝5,当x →＋∞时,g(x)→＋∞.(9分)所以g(x)的值域是[5,＋∞),即实数a 的取值X 围是[5,＋∞)．(10分)题型三三次函数的极值与最值问题①利用导数刻画函数的单调性,确定函数的极值；② 通过分类讨论,结合图象,实现函数的极值与零点问题的转化.函数,方程和不等式的综合题,常以研究函数的零点,方程的根,不等式的解集的形式出现,大多数情况下会用到等价转化,数形结合的数学思想解决问题,而这里的解法是通过严谨的等价转化,运用纯代数的手段来解决问题的,对抽象思维和逻辑推理的能力要求较高,此题也可通过数形结合的思想来解决问题,可以一试.例6,(2018苏锡常镇调研)已知函数32()1f x x ax bx a b =+++∈，，R ． (1)若20a b +=,① 当0a >时,求函数()f x 的极值(用a 表示)；② 若()f x 有三个相异零点,问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在,试求出a 的值；若不存在,请说明理由；规X 解答 (1)①由2()32f x x ax b '=++及02=+b a ,得22()32f x x ax a '=+-,令()0f x '=,解得3ax =或a x -=.由0>a 知,(,)()0x a f x '∈-∞->，,)(x f 单调递增,(,)()03a x a f x '∈-<，,)(x f 单调递减,(,)()03ax f x '∈+∞>，,)(x f 单调递增,因此,)(x f 的极大值为3()1f a a -=+,)(x f 的极小值为35()1327a a f =-. ② 当0a =时,0b =,此时3()1f x x =+不存在三个相异零点；当0a <时,与①同理可得)(x f 的极小值为3()1f a a -=+,)(x f 的极大值为35()1327a a f =-. 要使)(x f 有三个不同零点,则必须有335(1)(1)027a a +-<,即332715a a <->或.不妨设)(x f 的三个零点为321,,x x x ,且321x x x <<,则123()()()0f x f x f x ===,3221111()10f x x ax a x =+-+=, ①3222222()10f x x ax a x =+-+=, ②3223333()10f x x ax a x =+-+=, ③②-①得222212121212121()()()()()0x x x x x x a x x x x a x x -+++-+--=, 因为210x x ->,所以222212121()0x x x x a x x a ++++-=, ④ 同理222332232()0x x x x a x x a ++++-=, ⑤⑤-④得231313131()()()()0x x x x x x x a x x -+-++-=,因为310x x ->,所以2310x x x a +++=,又1322x x x +=,所以23ax =-.所以()03af -=,即22239a a a +=-,即327111a =-<-,因此,存在这样实数a =满足条件.例7,(2017⋅某某)已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值,且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b 关于a 的函数关系式,并写出定义域；(2)证明：33b a >；(3)若(),'()f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于72-,求a 的取值X 围．解析(1)2'()32f x x ax b =++有零点,24120a b ∆=->,即23a b >,又''()620f x x a =+=,解得3a x =-,根据题意,()03a f -=,即3210333a a a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,化简得2239b a a =+,又203a a b >⎧⎨>⎩,所以3a >,即223(3)9b a a a =+>；(2)设2433224591()3(427)(27)81381g a b a a a a a a a =-=-+=--,而3a >,故()0g a >,即23b a >；(3)设12,x x 为()f x 的两个极值点,令'()0f x =得12122,33b ax x x x =+=-, 法一：332212121212()()()()2f x f x x x a x x b x x +=++++++ 22121212121212()[()3][()2]()2x x x x x x a x x x x b x x =++-++-+++3324242232()202732739a ab a a a a =-+=-++=．记()f x ,()f x '所有极值之和为()S a ,12()()0f x f x +=,2'()33a a f b -=-, 则221237()()()'()3392a a a S a f x f x f b a =++-=-=--≥, 而23()()3a S a a =-在(3,)a ∈+∞上单调递减且7(6)2S =-,故36a <≤．法二：下面证明()f x 的图像关于(,())33a af --中心对称,233232()1()()()1333327a a a ab a f x x ax bx x b x =+++=++-++-+23()()()()3333a a a ax b x f =++-++-,所以()()2()0333a a a f x f x f --+-+=-=,所以12()()0f x f x +=,下同法一．例8,(2018某某学情调研)已知函数f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax,a ∈R .(1) 曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为3,求a 的值；(2) 若对于任意x ∈(0,＋∞),f (x )＋f (－x )≥12ln x 恒成立,求a 的取值X 围；(3) 若a ＞1,设函数f (x )在区间[1,2]上的最大值,最小值分别为M (a ),m (a ),记h (a )＝M (a )－m (a ),求h (a )的最小值．思路分析第(3)问,欲求函数f(x)在区间[1,2]上的最值M(a),m(a),可从函数f(x)在区间[1,2]上的单调性入手,由于f ′(x)＝6(x －1)(x －a),且a ＞1,故只需分为两大类：a ≥2,1＜a ＜2.当1＜a ＜2时,函数f(x)在区间[1,2]上先减后增,进而比较f(1)和f(2)的大小确定函数最大值,由f(1)＝f(2)得到分类的节点a ＝53.规X 解答 (1) 因为f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax,所以f ′(x)＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a,所以曲线y ＝f(x)在x ＝0处的切线的斜率k ＝f ′(0)＝6a,所以6a ＝3,所以a ＝12.(2分)(2) f(x)＋f(－x)＝－6(a ＋1)x 2≥12ln x对任意x ∈(0,＋∞)恒成立,所以－(a ＋1)≥2lnxx2.(4分)令g(x)＝2lnx x2,x ＞0,则g ′(x)＝2（1－2lnx ）x3.令g ′(x)＝0,解得x ＝ e.当x ∈(0,e)时,g ′(x)＞0,所以g(x)在(0,e)上单调递增；当x ∈(e,＋∞)时,g ′(x)＜0,所以g(x)在(e,＋∞)上单调递减．所以g(x)max ＝g(e)＝1e,(6分)所以－(a ＋1)≥1e ,即a ≤－1－1e,所以a 的取值X 围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－1－1e .(8分)(3) 因为f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax,所以f ′(x)＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a),令f ′(x)＝0,则x ＝1或x ＝a.(10分)f(1)＝3a －1,f(2)＝4.由f(1)＝f(2)得到分类的节点a ＝53.①当1＜a ≤53时,当x ∈(1,a)时,f ′(x)＜0,所以f(x)在(1,a)上单调递减；当x ∈(a,2)时,f ′(x)＞0,所以f(x)在(a,2)上单调递增．又因为f(1)≤f(2),所以M(a)＝f(2)＝4,m(a)＝f(a)＝－a 3＋3a 2,所以h(a)＝M(a)－m(a)＝4－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋4.因为h ′(a)＝3a 2－6a ＝3a(a －2)＜0,所以h(a)在⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53上单调递减,所以当a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53时,h(a)的最小值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＝827.(12分)②当53＜a ＜2时,当x ∈(1,a)时,f ′(x)＜0,所以f(x)在(1,a)上单调递减；当x ∈(a,2)时,f ′(x)＞0,所以f(x)在(a,2)上单调递增．又因为f(1)＞f(2),所以M(a)＝f(1)＝3a －1,m(a)＝f(a)＝－a 3＋3a 2,所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a －1－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋3a －1.因为h ′(a)＝3a 2－6a ＋3＝3(a －1)2>0.所以h(a)在⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2上单调递增,所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2时,h(a)＞h ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＝827.(14分)③当a ≥2时,当x ∈(1,2)时,f ′(x)＜0,所以f(x)在(1,2)上单调递减,所以M(a)＝f(1)＝3a －1,m(a)＝f(2)＝4,所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a －1－4＝3a －5,所以h(a)在[2,＋∞)上的最小值为h(2)＝1.综上,h(a)的最小值为827.(16分)二、达标训练1,(2017某某暑假测试) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ＞1，x3，－1≤x ≤1，)若关于x 的方程f (x )＝k (x ＋1)有两个不同的实数根,则实数k 的取值X 围是________．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12【解析】思路分析方程f (x )＝k (x ＋1)的实数根的个数可以理解为函数y ＝f (x )与函数y ＝k (x ＋1)交点的个数,因此,在同一个坐标系中作出它们的图像,由图像来观察它们的交点的个数．在同一个直角坐标系中,分别作出函数y ＝f (x )及y ＝k (x ＋1)的图像,则函数f (x )max ＝f (1)＝1,设A (1,1),B (－1,0),函数y ＝k (x ＋1)过点B ,则由图可知要使关于x 的方程f (x )＝k (x ＋1)有两个不同的实数根,则0＜k ＜k AB ＝12.2,(2017苏北四市期末) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sinx ，x ＜1，x3－9x2＋25x ＋a ，x ≥1，)若函数f (x )的图像与直线y ＝x 有三个不同的公共点,则实数a 的取值集合为________．【答案】 {－20,－16}【解析】当x ＜1时,f(x)＝sin x,联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sinx ，y ＝x ，得x －sin x ＝0,令u(x)＝x －sin x(x ＜1),则u ′(x)＝1－cos x ≥0,所以函数u(x)＝x －sin x(x ＜1)为单调增函数,且u(0)＝0,所以u(x)＝x －sin x(x ＜1)只有唯一的解x＝0,这表明当x ＜1时,函数f(x)的图像与直线y ＝x 只有1个公共点．因为函数f(x)的图像与直线y ＝x 有3个不同的公共点,从而当x ≥1时,函数f(x)的图像与直线y ＝x 只有2个公共点．当x ≥1时,f(x)＝x 3－9x 2＋25x ＋a,联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x3－9x2＋25x ＋a ，y ＝x ，得a ＝－x 3＋9x 2－24x,令h(x)＝－x 3＋9x 2－24x(x ≥1),则h ′(x)＝－3x 2＋18x －24＝－3(x －2)(x －4)．令h ′(x)＝0得x ＝2或x ＝4,列表如下：32数a ＝－20或a ＝－16.综上所述,实数a 的取值集合为{－20,－16}．3,(2019某某,某某二模)已知函数f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+0,3120,33x x x x x 设g(x)＝kx ＋1,且函数y ＝f(x)－g(x)的图像经过四个象限,则实数k 的取值X 围为________．【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫－9，13【解析】解法1 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋3|－（kx ＋1），x ≤0，x 3－（k ＋12）x ＋2，x>0，若其图像经过四个象限．①当x>0时,y ＝x 3－(k ＋12)x ＋2,当x ＝0时,y ＝2>0,故它要经过第一象限和第四象限,则存在x>0,使y＝x 3－(k ＋12)x ＋2<0,则k ＋12>x 2＋2x ,即k ＋12>⎝ ⎛⎭⎪⎫x2＋2x min .令h(x)＝x 2＋2x (x>0),h ′(x)＝2x －2x2＝2（x3－1）x2,当x>1时,h ′(x)>0,h(x)在(1,＋∞)上递增；当0<x<1时,h ′(x)<0,h(x)在(0,1)上递减,当x ＝1时取得极小值,也是最小值,h(x)min ＝h(1)＝3,所以k ＋12>3,即k>－9.②当x ≤0时,y ＝|x ＋3|－(kx ＋1),当x ＝0时,y ＝2>0,故它要经过第二象限和第三象限,则存在x<0,使y ＝|x ＋3|－(kx ＋1)<0,则k<|x ＋3|－1x,即k<⎝⎛⎭⎪⎫|x ＋3|－1x max .令φ(x)＝|x ＋3|－1x＝⎩⎪⎨⎪⎧－1－4x ，x ≤－3，1＋2x ，－3<x<0，易知φ(x)在(－∞,－3]上单调递增,在(－3,0)上单调递减,当x ＝－3时取得极大值,也是最大值,φ(x)max ＝φ(－3)＝13,故k<13.综上,由①②得实数k 的取值X 围为⎝⎛⎭⎪⎫－9，13.解法2 可根据函数解析式画出函数图像,当x>0时,f(x)＝x 3－12x ＋3,f ′(x)＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2),可知f(x)在区间(0,2)上单调递减,在区间(2,＋∞)上单调递增,且 f(2)＝－13<0,当x ≤0时,f(x)＝|x ＋3|.g(x)＝kx ＋1恒过(0,1),若要使y ＝f(x)－g(x)经过四个象限,由图可知只需f(x)与g(x)在(－∞,0)和(0,＋∞)上分别有交点即可(交点不可为(－3,0)和切点)．①当k>0时,在(0,＋∞)必有交点,在(－∞,0)区间内,需满足0<k<13.②当k<0时,在(－∞,0)必有交点,在(0,＋∞)内,只需求过定点(0,1)与函数f(x)＝x 3－12x ＋3(x>0)图像的切线即可,设切点为(x 0,x30－12x 0＋3),由k ＝3x20－12＝x30－12x 0＋3－1x 0,解得x 0＝1,切线斜率k ＝－9,所以k∈(－9,0)．③当k ＝0也符合题意．综上可知实数k 的取值X 围为⎝⎛⎭⎪⎫－9，13.4,(2018苏中三市,苏北四市三调)已知函数310() 2 0ax x f x x ax x x -≤⎧⎪=⎨-+->⎪⎩，，，的图象恰好经过三个象限,则实数a 的取值X 围是 ▲ ．【答案】a ＜0或a ＞2【解析】当a ＜0时,10y ax x =-，≤的图象经过两个象限,3|2|0y x ax x =-+->在 (0,+∞)恒成立,所以图象仅在第一象限,所以a ＜0时显然满足题意；当a ≥0时,10y ax x =-，≤的图象仅经过第三象限,由题意 3|2|0y x ax x x =-+->，的图象需经过第一,二象限．【解法1】(图像法)3|2|y x x =+-与y ax =在y 轴右侧的图象有公共点(且不相切)．如图,3|2|y x x =+-=332,022,2x xx x xx,设切点坐标为3000(,2)x x x ,231yx,则有32000231x x x x ,解得01x ,所以临界直线l 的斜率为2,所以a ＞2时,符合．综上,a ＜0或a ＞2．【解法2】(函数最值法)由三次函数的性质知,函数图象过第一象限,则存()g x 在0x,使得3|2|0,yxax x即2|2|x a xx 设函数22221,02|2|()21,2x x x x g x x xx x x,当02x,322222()2x g x xx x()g x 在(0,1)单调递减,在(1,2)单调递增,又2x时,函数为增函数,所以函数的最小值为2,所以a ＞2,则实数a 的取值X 围为a ＜0或a ＞2．5,(2019某某期末)已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2－4a(a,b ∈R )．(1) 当a ＝b ＝1时,求f (x )的单调增区间；(2) 当a ≠0时,若函数f (x )恰有两个不同的零点,求b a的值；(3) 当a ＝0时,若f (x )<ln x 的解集为(m ,n ),且(m ,n )中有且仅有一个整数,某某数b 的取值X 围．解后反思在第(2)题中,也可转化为b a ＝4x2－x 恰有两个不同的实数解．另外,由g(x)＝x 3＋kx 2－4恰有两个不同的零点,可设g(x)＝(x －s)(x －t)2.展开,得x 3－(s ＋2t)x 2＋(2st ＋t 2)x －st 2＝x 3＋kx 2－4,所以⎩⎪⎨⎪⎧－（s ＋2t ）＝k ，2st ＋t2＝0，－st2＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧s ＝1，t ＝－2，k ＝3.解：(1)当a ＝b ＝1时,f(x)＝x 3＋x 2－4,f ′(x)＝3x 2＋2x.(2分)令f ′(x)>0,解得x>0或x<－23,所以f(x)的单调增区间是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23和(0,＋∞)．(4分)(2)法一：f ′(x)＝3ax 2＋2bx,令f ′(x)＝0,得x ＝0或x ＝－2b3a,(6分)因为函数f(x)有两个不同的零点,所以f(0)＝0或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b 3a ＝0.当f(0)＝0时,得a ＝0,不合题意,舍去；(8分)当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b 3a ＝0时,代入得a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b 3a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b 3a 2－4a ＝0,即－827⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 3＋49⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 3－4＝0,所以ba ＝3.(10分)法二：由于a ≠0,所以f(0)≠0,由f(x)＝0得,b a ＝4－x3x2＝4x2－x(x ≠0)．(6分)设h(x)＝4x2－x,h ′(x)＝－8x3－1,令h ′(x)＝0,得x ＝－2, 当x ∈(－∞,－2)时,h ′(x)<0,h(x)递减；当x ∈(－2,0)时,h ′(x)>0,h(x)递增,当x ∈(0,＋∞)时,h ′(x)>0,h(x)单调递增,当x>0时,h(x)的值域为R ,故不论b a取何值,方程b a＝4－x3x2＝4x2－x 恰有一个根－2,此时函数f (x )＝a (x ＋2)2(x －1)恰有两个零点－2和1.(10分)(3)当a ＝0时,因为f (x )<ln x ,所以bx 2<ln x ,设g (x )＝ln x －bx 2,则g ′(x )＝1x－2bx ＝1－2bx2x(x >0),当b ≤0时,因为g ′(x )>0,所以g (x )在(0,＋∞)上递增,且g (1)＝－b ≥0,所以在(1,＋∞)上,g (x )＝ln x －bx 2≥0,不合题意；(11分)当b >0时,令g ′(x )＝1－2bx2x＝0,得x ＝12b,所以g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12b 递增,在⎝⎛⎭⎪⎪⎫12b ，＋∞递减, 所以g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12b ＝ln12b －12,要使g (x )>0有解,首先要满足ln12b －12>0,解得b <12e. ①(13分)又因为g (1)＝－b <0,g (e 12)＝12－b e>0,要使f (x )<ln x 的解集(m ,n )中只有一个整数,则⎩⎪⎨⎪⎧g （2）>0，g （3）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ln2－4b>0，ln3－9b ≤0，解得ln39≤b <ln24. ②(15分)设h (x )＝lnx x,则h ′(x )＝1－lnx x2,当x ∈(0,e)时,h ′(x )>0,h (x )递增；当x ∈(e,＋∞)时,h ′(x )<0,h (x )递减．所以h (x )max ＝h (e)＝1e>h (2)＝ln22,所以12e >ln24,所以由①和②得,ln39≤b ＜ln24.(16分)(注：用数形结合方法做只给2分)6,(2019某某,某某一模)若函数y ＝f(x)在x ＝x 0处取得极大值或极小值,则称x 0为函数y ＝f(x)的极值点．设函数f(x)＝x 3－tx 2＋1(t ∈R )．(1) 若函数f (x )在(0,1)上无极值点,求t 的取值X 围；(2) 求证：对任意实数t ,函数f (x )的图像总存在两条切线相互平行；(3) 当t ＝3时,函数f (x )的图像存在的两条平行切线之间的距离为4,求满足此条件的平行线共有几组．规X 解答 (1)由函数f(x)＝x 3－tx 2＋1,得f ′(x)＝3x 2－2tx.由f ′(x)＝0,得x ＝0,或x ＝23t.因为函数f(x)在(0,1)上无极值点,所以23t ≤0或23t ≥1,解得t ≤0或t ≥32.(4分)(2)令f ′(x)＝3x 2－2tx ＝p,即3x 2－2tx －p ＝0,Δ＝4t 2＋12p.当p ＞－t23时,Δ＞0,此时3x 2－2tx －p ＝0存在不同的两个解x 1,x 2.(8分)设这两条切线方程为分别为y ＝(3x21－2tx 1)x －2x31＋tx21＋1和y ＝(3x22－2tx 2)x －2x32＋tx22＋1.若两切线重合,则－2x31＋tx21＋1＝－2x32＋tx22＋1,即2(x21＋x 1x 2＋x22)＝t(x 1＋x 2),即2＝t(x 1＋x 2)．而x 1＋x 2＝2t 3,化简得x 1·x 2＝t29,此时(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4t29－4t29＝0,与x 1≠x 2矛盾,所以,这两条切线不重合．综上,对任意实数t,函数f(x)的图像总存在两条切线相互平行．(10分)(3)当t ＝3时f(x)＝x 3－3x 2＋1,f ′(x)＝3x 2－6x.由(2)知x 1＋x 2＝2时,两切线平行．设A(x 1,x31－3x21＋1),B(x 2,x32－3x22＋1),不妨设x 1＞x 2,则x 1＞1.过点A 的切线方程为y ＝(3x21－6x 1)x －2x31＋3x21＋1.(11分)所以,两条平行线间的距离 d ＝|2x32－2x31－3（x22－x21）|1＋9（x21－2x 1）2＝|（x2－x1）|1＋9（x21－2x 1）2＝4,化简得(x 1－1)6＝1＋92,(13分)令(x 1－1)2＝λ(λ＞0),则λ3－1＝9(λ－1)2,即(λ－1)( λ2＋λ＋1)＝9(λ－1)2,即(λ－1)( λ2－8λ＋10)＝0.显然λ＝1为一解,λ2－8λ＋10＝0有两个异于1的正根,所以这样的λ有3解．因为x 1－1＞0,所以x 1有3解,所以满足此条件的平行切线共有3组．(16分)7,(2018某某,某某一调)已知函数g(x)＝x 3＋ax 2＋bx(a,b ∈R )有极值,且函数f (x )＝(x ＋a )e x 的极值点是g (x )的极值点,其中e 是自然对数的底数．(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)(1) 求b 关于a 的函数关系式；(2) 当a >0时,若函数F (x )＝f (x )－g (x )的最小值为M (a ),证明：M (a )<－73.思路分析 (1) 易求得f(x)的极值点为－a －1,则g ′(－a －1)＝0且g ′(x)＝0有两个不等的实数解,解之得b 与a 的关系．(2) 求导得F ′(x)＝(x ＋a ＋1)(e x －3x ＋a ＋3),解方程F ′(x)＝0时,无法解方程e x －3x ＋a ＋3＝0,构造函数h(x)＝e x －3x ＋a ＋3,证得h(x)>0,所以－a －1为极小值点,而且得出M(a),利用导数法证明即可．规X 解答 (1) 因为f ′(x)＝e x ＋(x ＋a)e x ＝(x ＋a ＋1)e x ,令f ′(x)＝0,解得x ＝－a －1.列表如下：所以x ＝－a －1时,f(x)取得极小值．(2分)因为g ′(x)＝3x 2＋2ax ＋b,由题意可知g ′(－a －1)＝0,且Δ＝4a 2－12b>0,所以3(－a －1)2＋2a(－a －1)＋b ＝0,化简得b ＝－a 2－4a －3.(4分)由Δ＝4a 2－12b ＝4a 2＋12(a ＋1)(a ＋3)>0,得a ≠－32.所以b ＝－a 2－4a －3⎝⎛⎭⎪⎫a ≠－32.(6分)(2) 因为F(x)＝f(x)－g(x)＝(x ＋a)e x －(x 3＋ax 2＋bx),所以F ′(x)＝f ′(x)－g ′(x)＝(x ＋a ＋1)e x －[3x 2＋2ax －(a ＋1)(a ＋3)]＝(x ＋a ＋1)e x －(x ＋a ＋1)(3x －a －3)＝(x ＋a ＋1)(e x －3x ＋a ＋3)．(8分)记h(x)＝e x －3x ＋a ＋3,则h ′(x)＝e x －3,令h ′(x)＝0,解得x ＝ln 3.列表如下：所以x ＝ln 3时,h(x)取得极小值,也是最小值,此时,h(ln 3)＝e ln 3－3ln 3＋a ＋3＝6－3ln 3＋a＝3(2－ln 3)＋a＝3ln e23＋a>a>0.(10分)所以h(x)＝e x －3x ＋a ＋3≥h(ln 3)>0,令F ′(x)＝0,解得x ＝－a －1.列表如下：所以x ＝－a －1时,F(x)取得极小值,也是最小值．所以M(a)＝F(－a －1)＝(－a －1＋a)e －a －1－[(－a －1)3＋a(－a －1)2＋b(－a －1)]＝－e －a －1－(a ＋1)2(a ＋2)．(12分)令t ＝－a －1,则t<－1,记m(t)＝－e t －t 2(1－t)＝－e t ＋t 3－t 2,t<－1,则m ′(t)＝－e t ＋3t 2－2t,t<－1.因为－e －1<－e t <0,3t 2－2t>5,所以m ′(t)>0,所以m(t)单调递增．(14分)所以m(t)<－e －1－2<－13－2＝－73,即M(a)<－73.(16分)。

函数的概念和性质高考真题

函数的概念和性质高考真题1.函数的概念和性质1.1 函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素上。

通常用符号f(x)表示函数，其中x是定义域中的元素，f(x)是值域中的元素。

1.2 函数的性质函数有很多性质，其中一些比较重要的包括：1）定义域和值域：函数的定义域是所有可能输入的集合，值域是所有可能输出的集合。

2）奇偶性：如果对于函数f(x)，有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；如果有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数。

3）单调性：如果对于函数f(x)，当x1f(x2)，则称f(x)在区间(x1,x2)上单调递减。

4）零点和极值：函数的零点是函数图像与x轴的交点，极值是函数在某一区间内的最大值或最小值。

2.例题解答2.1（2019江苏4）函数y=7+6x-x^2的定义域是所有实数。

函数f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=-eax。

若f(ln2)=8，则a=ln(1/4)。

2.2（2019全国Ⅱ理14）已知。

2.3（2019全国Ⅲ理11）设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0,+∞)上单调递减，则正确的不等式是B。

2.4（2019北京理13）设函数f(x)=ex+ae-x(a为常数)，若f(x)为奇函数，则a=0；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是(-∞,0)。

2.5（2019全国Ⅰ理11）关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)在区间(π/2,π)单调递增；③f(x)在[-π,π]有4个零点；④f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是B。

2.6（2019全国Ⅰ理5）函数f(x)=sinx+x/cosx+x^2在[-π,π]的图像大致为D。

2.7（2019全国Ⅲ理7）函数y=2x+2-x在[-6,6]的图像大致为A。

2.8（2019浙江6）在同一直角坐标系中，函数y=11/x^2，y=loga(x+2)(a>0且a≠1)的图像可能是B。

2017_18学年高中数学第一单元基本初等函数Ⅱ1.3.1正弦函数的图象与性质三课件

17π π ＝－sin ， 4 4
π 2π π 2π π π 因为 0< < < ，且 y＝sin x 在[0， ]上是增函数，所以 sin 4<sin 5 ， 4 5 2 2
π 2π 17π 23π 于是－sin ＞－sin ， 4 5 ∴sin(－ 4 )＞sin(－ 5 ).
解答
命题角度2 已知三角函数的单调性求参数范围
答案
y＝sin x
π 3π ＋ 2 k π ，＋ 2 k π 减区间为2 ，k∈Z. 2
答案
梳理
正弦函数y＝sin x的图象与性质解析式 y＝sin x
图象
值域
[－1，1]
单调性
在在
π π －＋ 2 k π ，＋ 2 k π ，k∈Z 2 2
跟踪训练4 求函数y＝sin2x－sin x＋1，x∈R的值域.
解设t＝sin x，t∈[－1，1]，f(t)＝t2－t＋1.
1 3 2 2 ∵f(t)＝t －t＋1＝t－2 ＋ . 4
∵－1≤t≤1，∴当t＝－1，即sin x＝－1时，ymax＝f(t)max＝3；
1 1 3 当 t＝，即 sin x＝时，ymin＝f(t)min＝ . 2 2 4 ∴函数 y＝sin x－sin x＋1，x∈R
1
2
3
4
5
解析
答案
3.函数
A.－ C.
π π y＝sinx＋6 ，x∈0，2 的值域是 1 B.－， 2
3 1 ， 2 2
3 2
3 ，1 2
√
1 ， 1 D.2

函数的概念与性质

（八）函数的概念与性质【命题解读】考向1：函数的概念与性质（包括基本初等函数）分析定位：理解函数概念的核心是从运动与相互联系的角度理解两个变量之间的关系，定义域、值域与对应法则是函数的三要素，而单调性、奇偶性、对称性等是一个函数特有的性质，是认识函数的重要桥梁，特别是基本初等函数的性质，常成为命题的重要载体. 例1（2015年全国Ⅰ卷第13题）若函数()ln(f x x x =为偶函数，则a = .分析：先转化成()ln(g x x =为奇函数，再联想到ln(y x =是奇函数进行解决.解：因为()ln(g x x =为奇函数，先从定义域入手，解02>++x a x得x x a ->+2，若0>x ，则只需02≥+x a ；若0≤x ，则0>a ，否则无解；所以0>a ，且()()ln 0g x g x a +-==，即1=a .总结：函数的概念与性质是必考知识点，考生要抓住它们的本质进行解题，当然还要了解一些特殊的函数如xxx f e e )(±=，11lg )(-+=x x x g 的性质. 考向2：函数的零点与方程的根分析定位：函数的零点与方程的根是考查函数与方程思想、数形结合思想的重要载体，常放在压轴位置进行考查.例2（2016年全国Ⅱ卷第12题）已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为()11x y ，， ()22x y ，，?，()m m x y ，，则()1mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m分析：先由)(2)(x f x f -=-得出函数)(x f 的对称性，再观察函数xx y 1+=的性质. 解：由)(2)(x f x f -=-得2)()(=+-x f x f ，即函数1)(-=x f y 的图像关于原点对称，所以)(x f的图像关于点)1,0(对称；而xx x y 111+=+=的图像也关于点)1,0(对称，所以)(x f 与xx y 1+=的交点关于点)1,0(对称，并且是成对出现的，所以m my x y x mi i mi i mi i i =⨯+=+=+∑∑∑===220)(111. 总结：函数的交点、零点问题常放在选择题第12题考查，此时可能用函数本身的性质解决，也可能用导数工具解决，它们的共同之处就是都要考虑能否借助函数的图像进行解决.【备考启示】1.重视以函数的概念与性质为考点的试题，包括：（1）考查函数的概念与函数解析式；（2）考查函数的奇偶性、单调性与最值；（3）考查对函数基本性质的灵活运用.如： 2013年全国Ⅰ卷第6题:如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为分析：当4π0<≤x 时递增，21)4π(=f ，然后减至0，再增，再减. 2.重视以基本函数为考点的试题，包括：（1）考查指数与对数的运算与性质；（2）考查指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质；（3）考查分段函数的图象与性质.如： 2016年全国Ⅰ卷第8题：若0a b >>，01c <<，则（A ）cca b < （B ）ccab ba <（A ）（C ）（D ）（C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c <分析：通过考察幂函数cx y =（10<<c ）在),0(+∞上单调递增，则cc b a >，排除A ；又考察幂函数1-=c xy （10<<c ）在),0(+∞上单调递减，所以11--<c c b a，即c c ab ba <，排除B ；又考察对数函数x y c log =（10<<c ）在),0(+∞上单调递减，所以b a c c log log <，但当01>>>b a 时，b a c c log log 0<<，所以c c b a log log >，排除D ，所以选C. 3.重视以函数的图像为考点的题目，包括（1）作图；（2）识图；（3）用图. 2009年全国卷第12题：用{}min,,a b c 表示,,a b c 三个数中的最小值，设{}()min 2,2,10x f x x x =+-（0x ≥）,则()f x 的最大值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 2016年全国Ⅰ卷第7题：函数22e xy x =-在[]2,2-的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）分析：常用排除法（1）利用17.28e 8)2(22<-<-=±f ，排除A ，B ；（2）当0>x 时，xx y e 22-=，xx y e 4'-=，存在)1,0(0∈x ，使0)('0=x f ，0x x =是)(x f 的极小值点.【十年真题】（A ）组1．（2011年全国卷第2题）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2xy -=2.（2013年全国Ⅰ卷第3题）设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是（A ）)()(x g x f 是偶函数（B ）)(|)(|x g x f 是奇函数（C ）|)(|)(x g x f 是奇函数（D ）|)()(|x g x f 是奇函数3．（2015年全国Ⅱ卷第5题）设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）124.（2008年海南宁厦卷第6题）已知1230a a a >>>，则使得2(1)1i a x -<(1,2,3)i =都成立的x 取值范围是 (A)11(0,)a (B)12(0,)a (C)31(0,)a(D) 32(0,)a 6.（2010年全国卷第4题）如图，质点p 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0(2,2)p -，角速度为1，那么点p 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）5.（2010年全国卷第8题）设偶函数()f x 满足()38f x x =-（0x ≥），则(){}20x f x -=＞（A ）{}2x x x ＜-或＞4 （B ）{}0x x x ＜或＞4 （C ）{}0x x x ＜或＞6 （D ）{}2x x x ＜-或＞26.（2013年全国Ⅱ卷第8题）设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（A ）c b a >> （B ）b c a >> （C ）a c b >> （D ）a b c >> 7.（2013年全国Ⅰ卷第6题）如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为8.（A ）（B ）（C ）（2012年全国卷第10题）已知函数1()ln(1)f x x x=+-，则()y f x =的图像大致为9.（2007年海南宁厦卷第14题）设函数(1)()()x x a f x x++=为奇函数，则a = ． 10.（2015年全国Ⅰ卷第13题）若函数2()ln()f x x x a x =++为偶函数，则a ＝ .11.（2017年全国Ⅰ卷第5题）函数()f x 在()-∞+∞，单调递减，且为奇函数．若()11f =-，则满足1)2(1-≤-≤x f 的x 的取值范围是（A ）[]22-，（B ）[]11-，（C ）[]04，（D ）[]13， 12.（2017年全国Ⅲ卷第15题）设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________.（B ）组13.（2016年全国Ⅲ卷第6题）已知342=a ，524=b ，3125=c ，则（A ）c a b << （B ）c b a << （C ）a c b << （D ）b a c << 14.（2016年全国Ⅰ卷第7题）函数22e xy x =-在[]2,2-的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）15.（2016年全国Ⅰ卷第8题）若0a b >>，01c <<，则（A ）cca b < （B ）ccab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c <(C) (D) yx 1 1 O yx1 1 O (A)(B)16.（2015年全国Ⅱ卷第10题）如图，长方形ABCD 的边1,2==BC AB ，O 是AB 的中点，点P 沿,A B着边BC ，CD 与DA 运动，记x BOP =∠. 将动点P 到两点距离之和表示为x 的函数)(x f ，则)(x f y =的图像大致是（A ）（B ）（C ）（D ）17.（2010年全国卷第11题）已知函数()lg ,010,16,02x x f x x x ⎧≤⎪=⎨-+⎪⎩＜＞1若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（A ）()1,10 （B ）()5,6 （C ）()10,12 （D ）()20,2418.（2009年全国卷第12题）用{}min,,a b c 表示,,a b c 三个数中的最小值，设{}()min 2,2,10x f x x x =+-（0x ≥）,则()f x 的最大值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 19.（2011年全国卷第12题）函数11y x=-的图像与函数2sin π(24)y x x =-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）820.（2016年全国Ⅱ卷第12题）已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为()11x y ，， ()22x y ，，?，()m m x y ，，则()1mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m21.（2014年全国Ⅱ卷第15题）已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是 .22.（2013年全国Ⅰ卷第16题）若函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图像关于直线2x =-对称，则()f x 的最大值是 .23.（2017年全国Ⅰ卷第11题）设x ，y ，z 为正数，且235x y z ==，则（A ）235x y z <<（B ）523z x y <<（C ）352y z x <<（D ）325y x z <<24.（2017年全国Ⅲ卷第11题）已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =（A ）12-（B ）13（C ）12（D ）1。

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§2.2 函数的性质函数的基本性质  1，函数的奇偶性  （1）函数的奇偶性的定义。  （2）函数的奇偶性的判断与证明。  （3）奇、偶函数图象的特征。  2，函数的单调性  （1）函数的单调性的定义。  （2）函数的单调性的判断与证明。  复合函数的单调性  （3）求函数的单调区间。 3.函数的周期性 (1)定义:设函数的定义域是D，若存在非零常数T，使得对任何x∈D，都有x+T ∈D且f(x+T)=f(x)，则函数f(x)为周期函数，T为f(x)的一个周期。定理:设函数的定义域是D，a,b为不相等的常数，若对任何x∈D，都有x+a∈D,x+b∈D,且f(x+a)=f(x+b)，则函数f(x)为周期函数，a-b为f(x)的一个周期。  (3)定理:若T是函数f(X)的一个周期,则nT也是函数f(x)的一个周期.(n为非零整数.) 命题：如果函数f(x)的图象关于两点(a,b)和(c,d)对称，那么：当a ≠ c，b=d时，f(x)是周期函数，2(a-c)为函数的一个周期。当a ≠ c， b≠d时，f(x)不是周期函数 4.函数图象的对称性一·中心对称： (1) 奇函数的图象关于原点对称；一般地，如果方程f(x,y)=0满足f(x,y)=f(-x,-y)，则曲线f(x,y)=0关于原点对称（2）函数y=f(x)的图象关于点（a,b）对称的充要条件为：对函数定义域中的任意x均满足 2b-y=f(2a-x) (3)函数的图象关于点(a,0)对称的充要条件为: f(x) =- f(2a-x)或 f(a+x)=- f(a-x) (4)设函数f(x)对其定义域中的任意值x均满足f(a+x)=-f(b-x),则f(x)的图象关于点((a+b)/2,0)成中心对称. 二·轴对称：（1）偶函数的图象关于Y轴对称；一般地，如果方程f(x,y)=0满足f(x,y)=f(-x,y)，则曲线f(x,y)=0关于Y轴对称（2）设a是非零常数，如果对函数定义域中的任意值x均满足f(x)=f(2a-x) f(a+x)=f(a-x)则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。（３）设函数f(x)对其定义域中的任意值x均满足f(a+x)=f(b-x),则f(x)的图象关于直线x＝（a+b)/2对称.

一般地，如果方程f(x,y)=0满足 f(x,y)= f(2a-x,y)，则曲线f(x,y)=0关于直线x=a对称 (3)反函数的图象  函数y=f(x)的图象与y=f -1(x)的图象关于直线y=x对称；  函数y=f(x)的图象与－y=f-1 (－x)的图象关于直线y=-x对称；  设函数y=f(x)存在反函数，则其图象关于直线y=x对称的充要条件为 f(x) =f -1(x). 函数图象的对称性与函数的周期性有着密切的内在联系，我们有下面的结论：  命题1：如果函数的图象关于直线x=a和直线x=b(a ≠b)对称，那么函数是以2(a-b)为周期的周期函数。  命题2：如果函数的图象关于点(a,0)和直线x=b (a ≠b)对称，那么函数是周期函数， 4(a-b)为函数的一个周期。  命题：如果函数的图象关于点(a,m)和直线x=b对称，那么函数是周期函数，4(a-b)为函数的一个周期。

小结:  关于函数关系式f(a+x)= f(b x)所表示的函数性质,我们用下面的歌谣来帮助记忆:(f可念虎, X可念司)  f, x同号呈周期, 周期恰是a,b差;  f 同 x 异轴对称, f 异x 异有中心.  方程坐标和折半, 符号一定要小心.  双重对称周期现; 2 倍4 倍要分清. 高考题例 1.（95）已知y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数，则a的取值范围是（） (A)(0,1) (B)(1,2) (C)(0.2) (D) [2,+∞)  2.(96）设f(x)是R上的奇函数，f(x+2)=  -f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x，则f(7.5)等于（）  (A) 0.5 (B)-0,.5 (C)1.5 (D)-1.5  3，（97）定义在 R的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间[0,+∞)的图象与f(x)的图象重合。设a>b>0，给出下列不等式：  ① f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) ② f(b)-f(-a) ③ f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a) ④ f(a)-f(-b) 其中成立的是（）  (A)①④ (B)②③ (C)①③ (D)②④ 练习:设函数y=f(x)的图象关于点(1,2)对称 ,且存在反函数f-1(x),若f(4)=0,则f-1(4)= -2 (2005湖南)  解:函数y=f(x)的图象关于点(1,2)对称 ,则其反函数f-1(x)的图象关于点(2,1)对称,  即f-1(4-x)=2-f -1(x).  又f(4)=0,则f-1(0)= 4.  在式f-1(4-x)=2-f -1(x)中令X=0得:  f-1(4-0)=2-f -1(0)=2-4=-2.  竞赛试题  4．（第九届希望杯）f(x)是定义域为R的奇函数，方程f(x)=0的解集为M，且M中有有限个元素，则M（）  (A)可能是 Φ (B)元素的个数是偶数  (C)元素的个数是奇数  (D)元素的个数可以是奇数，也可以是偶数  5.（第十届希望杯）已知f(x)=2x-2-x-2，f(a)=0，则f(-a)的值为（）  (A) -a-4 (B)-2 (C)-4 (D)-2a 6．（92全国联赛）设f(x)是定义在实数集上的函数，且满足下列关系： f(10+x)=f(10-x),f(20-x)=-f(20+x)。则f(x)是（） (A)偶函数，又是周期函数 (B)偶函数，但不是周期函数 (C)奇函数，又是周期函数 (D)奇函数，但不是周期函数由f(10+x)=f(10-x),f(x)有对称轴x=10 由f(20-x)=-f(20+x),f(x)e 对称中心(20,0)故函数的周期为4(20-10).故f(-x)=f(40-x)=f[20+(20-x)] -f[20-(20-x)]=-f(x)  7.（2004. 福建理）（本小题满分14分）  已知f(x)=(2x-a)/(x2

+2)(x∈R)在区间[－1，1]上是增函数.

 （Ⅰ）求实数a的值组成的集合A；  （Ⅱ）设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得

不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.  解: （Ⅰ）任设-1 ≤ x1≤1,则

 f(x1)-f(x2)=

|x1| ≤ 1,|x2| ≤ 1, 2x1x2-a(x1+x2) ≤ |2x1x2-a(x1+x2)| ≤ 2|x1x2 | + |a| |x1+x2 | < 2+2 |a|. 为使f(x)在区间[-1,1]为增函数,由所设: X2-x1>0,故2x1x2-a(x1+x2)-4<0, 2x1x2-a(x1+x2)<4, 所以只要2+2 |a| ≤ 4. 即-1 ≤ a ≤ 1. 所以A=[-1,1] (II)

38x4)(xx,11 2 x x.02,,08,02,221221212121221221222axxxaxaxaxxxxaaxxxxax的二非零二根是方程得由

)2)(2(]4)(2)[(22222221212112222211xxxxaxxxxxxxx要使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t ∈[-1,1]恒成立,当且仅当m2+tm+1 ≥3对任意t ∈[-1,1]恒成立.即m2+tm-2 ≥0对任意t ∈[-1,1]恒成立. 设g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2).将这个函数看做m的一次函数,欲g(t)≥0(t∈[-1,1]恒成立 g(-1)=m2-m-2≥0 g(1)=m2+m-2≥0 由此得:m ≥2或m≤-2 故存在实数m使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t ∈[-1,1]恒成立,其取值范围为{m|m ≥2或m≤-2} 8．设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1,x2∈[0,1/2]，都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2)，且f(1)=a>0。（Ⅰ）求f(1/2)及f(1/4)；（Ⅱ）证明f(x)是周期函数。（01高考）  分析（１）由已知条件：f(1)=f(1/2+1/2)=…并应注意证明f(1/2)>0.  (2)由命题１得函数的周期为２．由周期性的定义证明． 9.（2004.江苏）已知函数f(x)(x∈R)满足下列条件：对任意的实数x1，x2都有 λ(x1-x2)2 ≤ (x1-x2)[ f(x1)-f(x2)] 和|f(x1)-f(x2)| ≤ |x1-x2 |，其中λ是大于0的常数.设实数a0，a，b满足f(a0)=0 和b=a-f(a) (Ⅰ)证明λ≤1 并且不存在b0 , a0，使得； f(a0)=0 (Ⅱ)证明:(b-a0)2 ≤ (1- λ 2)(a-a0)2 (Ⅲ)证明: :f[(b)]2 ≤ (1- λ 2)f[(a)]2 分析:由条件λ(x1-x2)2 ≤ [(x1-x2) f(x1)-f(x2)] 可得抽象函数f(x)的什么性质？

解：（1）不妨设12xx，由2121212()()()()xxxxfxfx

可知12()()0fxfx， ()fx是R上的增函数 不存在00ba，使得0()0fb 22

12121212()()()()()xxxxfxfxxxQ

1 （2）由)(λafab 要证：22200()(1)()baaa 22200[()](1)()baaaa

即证：2200()()2()()aafafaaa (*) 不妨设0aa，