2-3 改牛顿定律的应用举例

kt / m
t0
o

P
v
x
vx v0 cose mg kt / m mg v y ( v0 sin )e
k k
2 – 3
牛顿定律的应用举例
kt / m
第二章 牛顿定律
k 0 m kt / m x (v 0 cos )(1 e ) o x k m mg mg kt / m y ( v0 sin )(1 e ) t k k k 2 mg m g k y (tan ) x 2 ln(1 x) kv0 cos k mv0 cos
例2-3 如图所示（圆锥摆），长为 l 的细绳一端 固定在天花板上，另一端悬挂质量为 m 的小球，小球 经推动后，在水平面内绕通过圆心 的铅直轴作角速 度为 的匀速率圆周运动 . 问绳和铅直方向所成的 为多少？空气阻力不计. 角度
o
解
FT P ma
v2 FT sin m an m m r 2 r A FT cos P 0
0 FT
y FT
2 – 3
牛顿定律的应用举例
第二章 牛顿定律
（2）若将此装置置于电梯顶部，当 电梯以加速度 相对地面向上运动时， 求两物体相对电梯的加速度和绳的张力. 解 以地面为参考系
a
ar
a a
r
设两物体相对于地面的加速度分别 为 a1、 a2 ，且相对电梯的加速度为ar
l FT
r l sin
o r P et v
en
2 – 3
牛顿定律的应用举例
第二章 牛顿定律
l FT
A
l

l
o r P et v
2
en
m
m
arccos
g
FT cos P FT m l
mg g cos 2 2 m l l
2 – 3
牛顿定律的应用举例
第二章 牛顿定律
补充例1 阿特伍德机 （1）如图所示滑轮和绳子的质量均 不计，滑轮与绳间的摩擦力以及滑轮与 轴间的摩擦力均不计.且 m1 m2 . 求 重物释放后，物体的加速度和绳的张力. 解 以地面为参考系 画受力图、选取坐标如图
m1
m2
a m1 g FT m1a m2 g FT m2 a a m1 m2 2m1m2 a g FT g y P P 0 2 1 m1 m2 m1 m2

v
0
dv b t dt v ( F0 b) m 0
FB Fr
F0 (b / m )t v ［ 1 e ］ b t , vL F0 / b（极限速度）
当
y
F0 b
P
v
t 3m b 时
v
t
v vL (1 0.05) 0.95vL
一般认为
2 – 3
牛顿定律的应用举例 解题的基本思路
第二章 牛顿定律
1）确定研究对象进行受力分析； （隔离物体，画受力图）
2）取坐标系；
3）列方程（一般用分量式）；
4）利用其它的约束条件列补充方程；
5）先用文字符号求解，后带入数据计算结果.
2 – 3
牛顿定律的应用举例
第二章 牛顿定律
例2-1一大力士用相当体重2.5倍与水平成30 角的恒 力（用牙咬住绳子的一端）拉动一个重700kN的火 车厢，沿铁轨移动1.0m (1)如果他的质量为80kg,忽略车轮所受铁轨的阻力, 拉到最后车厢的速率为多少?(2)如果将绳子绑在稍 高位置,使绳子沿水平方向效果是否更好,为什么? 解:由牛顿第二定律得
T cos 0 80 9.8 2.5 2 (2) a 0 . 027 m / s m 700 103 / 9.8
v 2as 0.23(m / s)
效果是更好
2 – 3
牛顿定律的应用举例
第二章 牛顿定律
例2-2升降机内有一光滑斜面，斜面固定在升降机底 板上，倾角 ，当升降机以匀加速度a1上升时,物体 m从斜面顶点处沿斜面下滑，如图示。试求物体相对 斜面的加速度以及相对地面的加速度
mg FB 6πrv ma
令
F0 mg FB
b 6 πr dv F0 bv m dt F0 dv b (v ) dt m b
FB Fr
y
P
v
2 – 3
牛顿定律的应用举例
F0 dv b (v ) dt m b
第二章 牛顿定律

解：设物体相对斜面的加速度 a ， 物体相对地面的加速度 a
建立坐标如图示，根据
a
N mg a
a a a1 ax a x a cos a y a y a1 a1 a sin
x y
2 – 3
v0 、抛射角为 . 求抛体运动的轨迹方程 . 解 取如图所示的 Oxy 平面坐标系
y
v0

Fr
P
A
v
x
o
2 – 3
第二章 牛顿定律的应用举例 dv x k dt y vx m v0 kdv y k Fr A dt mg kv y m
牛顿定律
v0 x v0 cos v0 y v0 sin
t 3 m b , v vL
o
2 – 3
牛顿定律的应用举例
第二章 牛顿定律
若球体在水面上是具有竖直向 下的速率 v0 ，且在水中的重力与 浮力相等， 即 FB P . 则球体在 水中仅受阻力 Fr bv 的作用
FB Fr
dv m bv dt
y

v dv b t dt v0 v m 0
F T cos 30 ma T cos 30 80 9.8 2.5 cos 30 2 a 0 . 024 m / s m 700 103 / 9.8
30
2 – 3
再由
牛顿定律的应用举例
第二章 牛顿定律
v
2
2 v0
2as
v 2as 0.22(m / s)
m1 g FT m1a1
m1 m 2
a1 ar a
m2 g FT m2a2
m1 m2 ar ( g a) m1 m2
2m1m2 FT ( g a) m1 m2
0 y FT ห้องสมุดไป่ตู้T
a2
a1
a2 ar a
P1 y
P2 0
2 – 3
越大， 也越大
l
2
利用此原理，可制成蒸汽机的调速器（如图所示）.
2 – 3
牛顿定律的应用举例
第二章 牛顿定律
例4 设空气对抛体的阻力与抛体的速度成正比， 即 Fr kv ， k 为比例系数 . 抛体的质量为 m 、
初速为
dv x ma x m kv x dt dv y m ay m m g kv y dt dv x k dt vx m kdv y k dt mg kv y m
牛顿定律的应用举例
第二章 牛顿定律
根据牛顿第二定律得各分量式 N sin ma cos N cos mg ma1 ma sin 解上两式得物体相对斜面的加速度
a ( g a1 ) sin
物体相对地面的加速度
a ax i a y j
2 2 ( g a1 ) sin cos i (a1 cos g sin ) j
牛顿定律的应用举例
第二章 牛顿定律
补充例2 如图长为 l 的轻绳，一端系质量为 m 的小球, o 另一端系于定点 ， t 0 时小球位于最低位置，并具 有水平速度 v0 ，求小球在任意位置的速率及绳的张力.
解
FT mgcos man mgsin mat
dv mg sin m dt dv dv d v dv dt d dt l d
FT mgcos mv2 / l
o
FT e

n
v0 m g
et
v
v v 2lg (cos 1)
2 0

v
v0
vdv gl sin d
0

v FT m( 2 g 3g cos ) l
2 0
2 – 3
牛顿定律的应用举例
第二章 牛顿定律
P
v

v0
v
t
v v0e
( b / m) t
o
vx v0 cose mg kt / m mg v y ( v0 sin )e k k dx vxdt dy v y dt
y
v0
Fr
k 0
P
A
v
2 – 3
牛顿定律的应用举例
第二章 牛顿定律
例5 一质量 m ，半径 r 的球体在水中静止释 放沉入水底.已知阻力 Fr 6πrv , 为粘滞系数， 求 v(t ) . 为浮力 F 解 取坐标如图 B