北京高考数学一轮复习模拟题及答案
北京市高考模拟考试数学试卷(带答案解析)
北京市高考模拟考试数学试卷（带答案解析）班级:___________姓名：___________考号：____________一、单选题1．已知集合{}1,0,1A =-，则满足{}1,0,1,2,3A B ⋃=-的集合B 可能是（ ） A ．{}1,2-B ．{}1,0,1,3-C ．{}1,0,1-D ．{}0,2,32．522x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-的展开式中4x 的系数为（ ）A ．20B ．-40C ．40D ．-103．已知数列{}n a ，{}n b 其中11a =，且n a ，1n a +是方程220nn x b x -+=的实数根，则10b 等于（ ）A ．24B ．32C ．48D ．644．在人类中，双眼皮由显性基因A 控制，单眼皮由隐性基因a 控制．当一个人的基因型为AA 或Aa 时，这个人就是双眼皮，当一个人的基因型为aa 时，这个人就是单眼皮．随机从父母的基因中各选出一个A 或者a 基因遗传给孩子组合成新的基因．根据以上信息，则“父母均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知O 为坐标原点，抛物线24y x =的焦点为F ，点M 在抛物线上，且2MF =，则OM =（ ）A ．1BC D ．36．点2(,5)m 与圆2224x y +=的位置关系是（ ）． A ．点在圆外B ．点在圆内C ．点在圆上D ．不能确定7．下列函数在定义域中既是奇函数又是减函数的是（ ） A ．1y x= B ．y x x =- C ．e e x x y -=-D ．ln y x =-8．在ABC 中，点D 在边AB 上，且2BD DA =.记CD m =，CB n =则2CA =（ ） A ．3m n -B ．3m n -+C ．3m n +D ．3m n +9．已知函数()y f x =的图像与lg y x =的图像关于直线y x =对称，则()()lg3lg4f f ⋅=（ ） A ．lg7B ．10C ．12D ．71010．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是对角线1AC 上一动点，在点P 从顶点A 移动到顶点1C 的过程中，下列结论中错误的有（ ）．A ．二面角11P A DB --的取值范围是π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．直线1AC 与平面1A DP 所成的角逐渐增大 C ．存在一个位置，使得1AC ⊥平面1A DPD ．存在一个位置，使得平面1//A DP 平面11B CD 二、填空题11．设i 为虚数单位，则复数2i1i+对应的复平面内的点Z 的坐标为___________. 12．已知0x <，10y -<<用不等号将x 、xy 、2xy 从小到大排列得____________ 13．设1F ，2F 为双曲线C ：222116x y a -=（0a >）的左、右焦点，点P 为双曲线C 上一点124PF PF -= 那么双曲线C 的离心率为______.14．函数f (x )的定义域为R ，f (-1)＝2，()f x '为f (x )的导函数，已知y =()f x '的图象如图所示，则f (x )>2x +4的解集为____．三、双空题 15．函数cos ()cos 2xf x x=的定义域为___________，极大值点的集合为___________.四、解答题16．已知函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x 的解析式唯一确定. (1)求()f x 的解析式，并写出单调区间；(2)设函数()()6g x f x f x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，求()g x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最大值.条件①：()f x 的最小正周期为π； 条件②：()f x 为奇函数；条件③：()f x 图象的一条对称轴为4x π=.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.17．如图所示，在多面体ABCDEF 中，梯形ADEF 与正方形ABCD 所在平面互相垂直AF DE ∥ DE AD ⊥ 122AF AD DE ===.(1)求证：BF ∥平面CDE ； (2)求证：EF ⊥平面CDF ；(3)若点H 在线段DE 上，且1EH =，求异面直线AH 与BE 所成角的余弦值.18．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均时间，某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S 中%(0100)x x <<的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），()30,0<30=18002+90,30<<100x f x x x x ≤-⎧⎪⎨⎪⎩.而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：(1)当x =30时，求该地上班族S 的人均通勤时间；(2)当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(3)求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式；讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义.19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为()1,1A ．(1)求C 的方程和离心率；(2)过点11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭与作直线l 交椭圆C 于点D 、E （不与点A 重合）．DAE ∠是否为定值?若是，求出该定值，若不是，求其取值范围．20．已知函数()2f x x =，()e e x xg x -=+(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)求函数()g x 的单调区间； (3)证明：任意0x ≥，()()32f xg x <21．已知数列{}n a ()1,2,,2022n =⋅⋅⋅，122022,,,a a a ⋅⋅⋅为从1到2022互不相同的整数的一个排列，设集合1,0,1,2,,2022i n i j A x x a n j =+⎧⎫==∑=⋅⋅⋅-⎨⎬⎩⎭，A 中元素的最大值记为M ，最小值记为N .(1)若{}n a 为：1，3，5，…，2019，2021，2022，2020，2018，…，4，2，且3j =，写出M ，N 的值； (2)若3j =，求M 的最大值及N 最小值； (3)若6j =，求M 的最小值.参考答案与解析1．D2．C【分析】根据题意，得到1n n n a a b ++=，12nn n a a +=求得22a =，推出112n n a a +-=，进而可求出10a ，11a 从而可求出结果.【详解】因为n a ，1n a +是方程220nn x b x -+=的实数根所以1n n n a a b ++= 12nn n a a += 又11a =，所以22a =；当2n ≥时112n n n a a --=，所以11112n n n n n na a a a a a ++--== 因此4102232a a =⋅=，5111232a a =⋅=所以101011323264b a a =+=+=. 故选：D.【点睛】本题主要考查由数列的递推关系求数列中的项，属于常考题型. 4．A【分析】根据充分不必要条件的概念判断即可.【详解】若父母均为单眼皮， 则父母的基因一定为aa 和aa ， 孩子就一定是单眼皮． 若孩子为单眼皮， 则父母的基因可能是Aa 和Aa ，即父母均为双眼皮 故“父母均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的充分不必要条件． 故选：A 5．C【分析】根据焦半径公式可求点M 的横坐标，然后把横坐标代入抛物线方程即可求出点M 的纵坐标，从而可求出OM 的值.【详解】设()11,M x y ，因为2MF =，所以112x +=，即11x =又()11,M x y 在抛物线上，所以21144y x ==所以OM ==故选：C. 6．A【详解】将点2(,5)m 代入圆方程，得42524m +>．故点在圆外7．B【分析】根据指对幂函数的性质依次判断各选项即可得答案.【详解】解：对于A 选项，函数1y x=为奇函数，在定义域上无单调性，故错误；对于B 选项，函数y x x =-为奇函数，当0x >时，2y x x x =-=-为减函数，故函数y x x =-在定义域内为减函数，故B 正确；对于C ，由于函数e ,e x x y y -==-均为增函数，故e e x x y -=-在定义域内为单调递增函数，故C 错误； 对于D 选项，函数ln y x =-为非奇非偶函数，故错误. 故选：B 8．A【分析】根据平面向量的加减运算，即可求得答案.【详解】由题意知1131()2222CA CD DA CD BD CD CD CB CD CB =+=+=+-=-所以23CA CD CB =-，即23CA m n =- 故选：A. 9．C【分析】由题意知两个函数互为反函数，求出()y f x =的解析式，代值化简即可. 【详解】因为函数()y f x =的图像与lg y x =的图像关于直线y x =对称 所以函数()y f x =与函数lg y x =互为反函数所以()10x f x =，所以()()lg3lg4lg3lg410103412f f ⋅=⨯=⨯=故选：C. 10．B【分析】点P 由A 点移动到1AC 中点的过程中，二面角11P A D B --逐渐由π2减小至0，再由对称性即可判断A 选项；找特殊点，令点P 分别与点A 和点1C 重合，找出相应位置的线面角，并比较二者大小即可判断B 选项； 当点P 为平面1A BD 与直线1AC 的交点时，根据空间中线面平行或垂直的判定定理与性质定理可判断C 、D 选项．【详解】解：对于A ，当P 与A 重合时，二面角11A A D B --为π2，点P 由A 点移动到1AC 中点的过程中，二面角11P A D B --逐渐减小至0由对称性可知，当P 由1AC 中点移动到点1C 的过程中，二面角11P A D B --由0逐渐增大至π2，即A 正确；对于B ，当点P 与A 重合时，11C AD ∠即为所求，此时有11111tan C D C AD AD ∠=当P 与1C 重合时，连接1AD ，1A D 相交于点M ，则1AC M ∠即为所求，此时有11tan AM AC M C M ∠==所以111AC M C AD ∠<∠，即直线1AC 与平面1A DP 所成的角并不是逐渐增大，所以B 错误；11．()1,1【分析】将复数运用除法运算法则进行化简，进而得出结果. 【详解】解：复数()()()i 1i ii i i i 221111z -===+++-则在复平面内的对应点Z 的坐标为()1,1. 故答案为()1,1. 12．x ＜xy 2＜xy【分析】根据不等式的基本性质，分析三个式子的大小，可得答案． 【详解】解：∵x ＜0，﹣1＜y ＜0 ∴0＜y 2＜1，xy ＞0x ＜xy 2＜0即x ＜xy 2＜xy 故答案为：x ＜xy 2＜xy【点睛】本题考查实数大小的比较，考查不等式的性质，属于基础题.13【分析】根据双曲线定义知2a =，再由双曲线参数关系求得c =. 【详解】由题意1224PF PF a -==，则2a =又222+=a b c ，则c =所以双曲线C 的离心率为ce a==14．(-1，+∞)【分析】令g (x )=f (x )-2x -4，利用导数探讨g (x )在R 上的单调性，再将f (x )>2x +4转化为()(1)g x g >-并借助单调性即可得解.【详解】观察图象知，(),2x f x '∀∈>R令g (x )=f (x )-2x -4，则()()20g x f x ''=->，即g (x )在R 上单调递增 而g (-1)=f (-1)-2⨯(-1)-4=0，即()24()(1)f x x g x g >+⇔>-，于是得1x >- 所以不等式f (x )>2x +4的解集为(-1，+∞). 故答案为：(-1，+∞) 15． {|,}24k x R x k Z ππ∈≠+∈ {|(21),}x x k k Z π=-∈ 【详解】依题意得cos20x ≠，即2,2x k k Z ππ≠+∈，解得,24k x k Z ππ≠+∈16．(1)()sin 2f x x =，单调增区间为,,44k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，单调减区间为3,,44k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ； (2)32【分析】（1）若选①②，先由周期求得2ω=，再利用奇函数求出0ϕ=即可；若选①③，先由周期求得2ω= 再利用对称轴为4x π=求出0ϕ=即可；若选②③，举例说明解析式不唯一，不合题意；（2）先由()f x 求出()g x 并化简，求出2,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，再利用单调性求得最大值即可. (1)若选①②，则2T ππω==，解得2ω=，又()()f x f x -=-，即sin(2)sin(2)x φx φ-+=-+，解得,k k ϕπ=∈Z又2πϕ<，故0ϕ=，则()sin 2f x x =，令222,22k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ，解得,44k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ；令3222,22k x k k ππππ+≤≤+∈Z ，解得3,44k x k k ππππ+≤≤+∈Z 故单调增区间为,,44k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，单调减区间为3,,44k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ； 若选①③，则2T ππω==，解得2ω=，又一条对称轴为4x π=，可得2,42k k ππϕπ⨯+=+∈Z ，解得,k k ϕπ=∈Z又2πϕ<，故0ϕ=，则()sin 2f x x =，令222,22k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ，解得,44k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ；令3222,22k x k k ππππ+≤≤+∈Z ，解得3,44k x k k ππππ+≤≤+∈Z 故单调增区间为,,44k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，单调减区间为3,,44k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ；若选②③，()sin 2f x x =和()sin6f x x =均是奇函数，且sin(2)1,sin(6)144ππ⨯=⨯=-，可得均满足一条对称轴为4x π=，故()f x 解析式不唯一，不合题意；(2)由（1）知()sin 2f x x =，则()()sin 2sin(2)63g x f x f x x x ππ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭1sin 2sin 22)26x x x x π=+=-由0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得2,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故当263x ππ-=时，()f x 3sin 32π=.17．(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）首先根据面面平行的判定证明平面ABF ∥平面CDE ，再根据面面平行的性质即可得到答案. （2）首先取ED 的中点G ，连接FG ，易证EF FD ⊥，CD EF ⊥再利用线面垂直的判定即可证明EF ⊥平面CDF .（3）首先以D 为原点，,,DA DC DE 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解即可.（3）以D 为原点，,,DA DC DE 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系()2,0,0A ()0,0,3H ()2,2,0B ()0,0,4E()2,0,3AH =- ()2,2,4BE =--设异面直线AH 与BE 所成角为θ，则cos 4AH BEAH BE θ⋅===⋅.所以异面直线AH 与BE . 18．(1)37（分钟） (2)45100x ＜＜(3)()2400.1,030=0.020.13+58,30100x x g x x x x -≤-⎧⎨⎩＜＜＜ ，单调性见解析.【分析】（1）根据条件求S 的人均通勤时间即可；（2）根据题意，解不等式()40f x ＞ 即可；（3）对x 分类讨论，按照加权的方式算出()g x ，再根据()g x 解析式分析其单调性.【详解】（1）当x =30 时，有()30f x = ，公交人群占S 的比例为130%70%0.7-==所以S 的人均通勤时间为300.3400.737⨯+⨯= （分钟）；（2）解不等式()40f x ＞ ，即180029040x x+-＞ ()30100x ＜＜ 化简得()()20450,20x x x --∴＞＜ （舍）或者45x ＞所以当45100x ＜＜时，公交群体的通勤时间小于自驾群体的通勤时间； （3）公交群体占S 的比例为1%x - ，当030x ≤＜ 时，其平均通勤时间为()30%401%400.1x x x ⨯+⨯-=- ；当30x ＞ 时， 其平均通勤时间为()21800290%401%0.020.1358x x x x x x ⎛⎫+-+-=-+ ⎪⎝⎭； ()2400.1,030=0.020.13+58,30100x x g x x x x -≤∴-⎧⎨⎩＜＜＜ 当030x ≤＜ 时， ()g x 单调递减，当30100x ＜＜ 时，()g x 为开口向上的二次函数，对称轴013304x =＜ ，故单调递增；综上，（1）人均通勤时间为37（分钟）；（2）当45100x ＜＜时，公交群体的通勤时间小于自驾群体的通勤时间； （3）()2400.1,030=0.020.13+58,30100x x g x x x x -≤-⎧⎨⎩＜＜＜，在(]0,30x ∈ 单调递减，在()30,100x ∈ 单调递增.19．(1)222133x y += (2)DAE ∠是为定值，该定值为π2【分析】（1）根据题目条件，结合公式222,e=c a b c a=+，即可求得本题答案； （2）对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，斜率不存在时，求出点,D E 的坐标，计算1AD AE k k ⋅=-；斜率存在时，设直线l 的方程为11:()33l y k x =--，将直线方程与椭圆方程联立消y ，列出韦达定理，计算出1AD AE k k ⋅=-，由此即可得到本题答案.【详解】（1）因为椭圆的长轴长为2a =，得a =22213x y b+=代入点()1,1A ，得21113b +=，所以232b =，所以c == 所以椭圆的方程为222133x y +=，离心率e=c a =； （2）当直线l 垂直于x 轴时1:3l x =，代入椭圆方程222133x y +=解得11((33D E所以11331111133AD AE k k -⋅=⨯=---，即π2DAE ∠=； 若DAE ∠为定值，则必为π2当直线l 的斜率存在时，设直线11:()33l y k x =--，1122(,),(,)D x y E x y 联立2211()332133y k x x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得2222442425(12)()033999k x k k x k k +-+++-= 所以2212122244242533999,1212k k k k x x x x k k++-+=⋅=++ 所以121212(1)(1)()1x x x x x x --=⋅-++222222222425448(2)1299933912121212k k k k k k k k k k k+-+--+=++=++++ 12121414(1)(1)()()3333y y k x k x ⎡⎤⎡⎤--=----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 222121211(4)()(4)39k x x k k x x k =⋅-++++ 222222222141(2425)(4)()(816)(12)999121212k k k k k k k k k k k k k+-+++++=-++++ 228(2)912k k k---=+ 所以221221228(2)9(1)(1)1218(1)(1)(2)912AD AEk k y y k k k x x k k k -----+⋅===-----+，即π2DAE ∠=综上所述，DAE ∠的大小为定值π2. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.20．(1)3y =(2)单调递减区间为(),0∞-，单调递增区间为()0,∞+(3)证明见解析【分析】（1）利用导数几何意义可求得切线斜率()1f '，结合()13f =可得切线方程；（2）求导后，根据()g x '的正负即可得到()g x 的单调区间；（3）利用导数可求得()(),f x g x 的单调性，从而求得()()max min ,f x g x ，根据最值不同时取得可得到结论.【详解】（1）()2f x x'= ()10f '∴= 又()13f = f x 在点()()1,1f 处的切线方程为3y =.（2）()2e 1e e e x x x xg x --'=-= ∴当(),0x ∈-∞时，()0g x '<；当()0,x ∈+∞时，()0g x '>；()g x ∴的单调递减区间为(),0∞-，单调递增区间为()0,∞+.（3）由（2）得：当0x ≥时 ()()02g x g ≥= ()332g x ∴≥； ()3221f x x x⎫'=-⎪⎭∴当()0,1x ∈时0f x ；当()1,x ∈+∞时()0f x '<；f x 在[)0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，()()13f x f ∴≤=；又()min g x 与()max f x 不同时取得，∴当0x ≥时()()32f x g x <. 21．(1)6063M =，9N =(2)N 最小值为6，M 的最大值为6063(3)6069【分析】（1）根据,M N 的定义即可求解（2）根据31max n i i M a +=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，31min ,0,1,2,,2019n i i N a n +=⎛⎫==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭∑即可求解 （3）根据任意相邻的6项的和，求解21221222324n n n n n n T a a a a a a -++++=+++++，即可.【详解】（1）当3j =时，A 中的元素为{}n a 中的三项相加，故最大元素2021202220206063M =++=，最小元素1359N =++=.（2）N 最小值为6，M 的最大值6063.证明：对于1，2，…，2021，2022的一个排列{}n a若3j =，则A 中的每一个元素为31231n i n n n i x a a a a ++++===++∑ ，0,1,2,,2019n =⋅⋅⋅由题意31max n i i M a +=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ ，0,1,2,,2019n =⋅⋅⋅ 那么，对于任意的{}n a ，总有2020202120226063M =++=.同理，由题意31min ,0,1,2,,2019n i i N a n +=⎛⎫==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭∑ 那么，对于任意的{}n a ，总有1236N =++=当n a n =()1,2,,2022n =⋅⋅⋅时，满足：N=6，6063M =.（3）M 的最小值为6069.由于6j =，对于1，2，…，2021，2022的一个排列{}n aA 中的每一个元素为61n i i x a+==∑ ，0,1,2,,2016n =⋅⋅⋅由题意61max n i i M a +=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ ，0,1,2,,2016n =⋅⋅⋅()()()()()()()1220232023120232T n n n n n n =+++++-+--+--202336069=⨯=，1,2,,1009n =⋅⋅⋅若22122232425n n n n n n T a a a a a a +++++=+++++，则()()()()()()()12202312023220233T n n n n n n =+++++--+--+--202236066=⨯=，()1,2,,1008n =⋅⋅⋅所以6069T =，即对这样的数列{}n a ，6069M =又6069M ≥，所以M 的最小值为6069.【点睛】本题主要考查等差数列求和以及集合的表示，元素与集合的关系以及数学的化归思想。
高考数学一轮复习综合测试卷(含答案)
综合测试卷(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知全集U=R,集合A={x|1<x≤3},B={x|x>2},则A∩（?U B)=()A.{x|1≤x≤2}B.{x|1≤x<2}C.{x|1<x≤2}D.{x|1≤x≤3}2.已知i是虚数单位,复数(1+3i)(a-i)在复平面内对应的点在第四象限,则a的取值范围是()A.(-3,+∞)B.C.D.(-3,1)3.若椭圆=1(a>b>0)的离心率为,则双曲线=1的离心率是()A.2B.C.D.34.设直线y=x+b是曲线y=ln x的一条切线,则b的值为()A.ln 2-1B.ln 2-2C.2ln 2-1D.2ln 2-25.设a∈R,则“a=1”是“f(x)=ln为奇函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.执行如图所示的程序框图,当输入x为6时,输出的y=()A.1B.2C.5D.107.已知各项均为正数的等比数列{a n},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()A.5B.7C.6D.48.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积等于()A.10 cm3B.20 cm3C.30 cm3D.40 cm39.已知等差数列的前n项和为S n,且S1 006>S1 008>S1 007,则满足S n S n-1<0的正整数n为()A.2 015B.2 013C.2 014D.2 01610.已知△ABC的三个顶点在以O为球心的球面上,且cos A=,BC=1,AC=3,三棱锥O-ABC的体积为,则球O的表面积为()A.36πB.16πC.12πD.11.在△ABC中,AB=3,AC=4,∠BAC=60°,若P是△ABC所在平面内一点,且AP=2,则的最大值为()A.10B.12C.10+2D.812.已知函数f(x)的导函数为f'(x),对任意x∈R都有f'(x)>f(x)成立,则()A.3f(ln 2)>2f(ln 3)B.3f(ln 2)=2f(ln 3)C.3f(ln 2)<2f(ln 3)D.3f(ln 2)与2f(ln 3)的大小不确定二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.用系统抽样的方法从300名学生中抽取容量为20的样本,将300名学生从1~300编号,按编号顺序平均分成20组,若第16组抽出的号码为231,则第1组中用抽签法确定的号码是.14.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种.则该网店(1)第一天售出但第二天未售出的商品有种;(2)这三天售出的商品最少有种.15.若实数x,y满足条件则2x+y的最大值为.16.已知点A(0,3),若圆C:(x-a)2+(x-2a+4)2=1上存在点M,使|MA|=2|MO|,则圆心C的横坐标a的取值范围为.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(12分)已知a=(sin 2x,2cos2x-1),b=(sin θ,cos θ)(0<θ<π),函数f(x)=a·b的图象经过点.(1)求θ及f(x)的最小正周期;(2)当x∈时,求f(x)的最大值和最小值.。
普通高等学校招生全国统一考试模拟(北京卷)数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，则有（ ） {1,2,3,4},{0,1,2,3}M N ==A ． B ．C ．D ．M N ⊆N M ⊆{1,2,3}M N = {1,2,3}M N = 【答案】C【解析】根据集合的基本运算性质可得答案.【详解】集合， 则， {1,2,3,4},{0,1,2,3}M N =={1,2,3}M N = 故选：C .【点睛】本题考查了集合的基本运算、集合间的基本关系，属于基础题. 2．复数（其中为虚数单位），则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于z =i z A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】利用复数的除法法则将复数化为一般形式，进而可求得复数的共轭复数，由此可得出z z 复数的共轭复数在复平面对应的点所在的象限.z 【详解】，则，12z ====- 12z =-因此，复数的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限. z 故选：C.【点睛】本题考查复数在复平面对应的点所在象限的判断，考查了复数的除法法则和共轭复数概念的应用，考查计算能力，属于基础题.3．设等比数列的前6项和为6，且，，则（ ） {}n a 1a a =22a a ==a A ．B ．C ．D ．22117421521【答案】A【分析】先求得等比数列的公比，然后根据等比数列前项和公式列方程，解方程求得的值.{}n a n a 【详解】由题意可得公比，则，即. 212a q a ==()661263612a S a -===-221a =故选：A【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式和前项和公式的基本量计算，属于基础题.n 4．已知，向量与的夹角为，则（ ） ||||1a b ==a b 60︒|34|a b -= A ．B ．C ．D 513【答案】D【分析】利用向量的数量积去求的值.|34|a b -【详解】|34|a b -===故选：D5．设是定义在上的增函数，，那么必为（ ）()f x R ()()()F x f x f x =--()F x A ．增函数且是奇函数 B ．增函数且是偶函数 C ．减函数且是奇函数 D ．减函数且是偶函数 【答案】A【分析】可求得，根据奇偶性的定义可知为奇函数；设，则()()F x F x -=-()F x 21x x >21x x -<-，根据单调性可证得，根据单调性定义可知为增函数，从而得到结果. ()f x ()()210F x F x ->()F x 【详解】 ()()()()F x f x f x F x -=--=- 为定义在上的奇函数()F x ∴R 设，则21x x >()()()()()()212211F x F x f x f x f x f x -=---+-21x x > 21x x ∴-<-为定义在的增函数 ，()f x R ()()21f x f x ∴>()()12f x f x ->- ()()()()()()2121120F x F x f x f x f x f x ∴-=-+--->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦为定义在上的增函数()F x ∴R 综上所述：必为增函数且为奇函数 ()F x 本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用定义判断函数的奇偶性和单调性，考查学生对于函数性质定义的掌握，属于基础题.6．已知焦点为F 的抛物线的准线是直线l ，点P 为抛物线C 上一点，且垂足为2:4C x y =PQ l ⊥Q ，点则的最小值为（ ） ()2,0G PQ PG +A B ．2C D ．【答案】A【分析】连接PF ，由抛物线的定义可知PF =PQ ，然后结合图形可得答案【详解】连接PF ，由抛物线的定义可知PF =PQ ，故选A.7．函数的图象大致是（ ） ()()2sin 1x xf x x xππ=-≤≤+A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据函数奇偶性排除，由排除，由此得到结果.,A D 02f π⎛⎫≠ ⎪⎝⎭C 【详解】， ()()()()22sin sin 11x x x xf x f x x x ---===+-+ 为偶函数，图象关于轴对称，可排除；()f x \y ,A D ，可排除.22sin22202414f ππππππ⎛⎫==≠ ⎪+⎝⎭+C 故选：.B 【点睛】本题考查函数图象的识别问题，解决此类问题通常采用排除法，排除依据为奇偶性、特殊位置符号、单调性等，属于常考题型.8．已知双曲线的离心率为，则双曲线的一条渐近线的斜率可能是2222:1(0,0)y x C a b a b -=>>75C （） A ．B ．C ．D ．5775【答案】D【分析】由双曲线的性质求解【详解】双曲线的渐近线为，2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>a y x b =±而双曲线的离心率为，所以，即，得， C7575c a =2224925a b a +=a b =故选：D9．已知函数则“”是“在上单调递减”的（ ） 2232,1()22,1x ax x f x ax x x ⎧+-≤⎪=⎨⎪+>⎩0a ≤()f x R A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】求得在上单调递减时的取值范围，从而判断出充分、必要条件. ()f x R a 【详解】若在上单调递减， 2232,1()22,1x ax x f x ax x x ⎧+-≤⎪=⎨⎪+>⎩R 则，解得.14011432212aa a a a ⎧-≥⎪⎪<⎪⎪⎨-≤⎪⎪⎪+-≥+⎪⎩4a ≤-所以“”是“在上单调递减”的必要而不充分条件. 0a ≤()f x R 故选：B10．设集合，则（ ） (){,|0,2,2}A x y x y ax y x ay =-≥+≥-≤A ．当时， B ．对任意实数， 1a =()1,1A ∉a ()1,1A ∈C ．当时， D ．对任意实数，a<0()1,1A ∉a ()1,1A ∉【答案】C【分析】依据选项将点代入验证即可.()1,1【详解】当时，，1a =(){,|0,2,2}A x y x y x y x y =-≥+≥-≤将代入A 得：成立，故，即A 错误；()1,1110112112-≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩()1,1A ∈若时，此时将代入不成立，即B 错误； 0a =()1,112ax y +=≥当时，此时将代入不成立，即C 正确；a<0()1,112ax y a +=+≥若时，此时将代入A 得成立，即D 错误；2a =()1,1110212122-≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩故选：C.二、填空题11．若，则 ________52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++12345a a a a a ++++=【答案】1-【分析】，求得，令，求得，即可得解. 0x =0a 1x =012345a a a a a a +++++【详解】解：令，则， 0x =01a =令，则， 1x =0123450a a a a a a +++++=所以 123451a a a a a ++++=-故答案为：. 1-12．下列命题中：①偶函数的图象一定与y 轴相交； ②奇函数的图象一定过原点； ③若奇函数，则实数； 2()21x f x a =-+1a =④图象过原点的奇函数必是单调函数； ⑤函数的零点个数为2； 22x y x =-⑥互为反函数的图象关于直线对称. y x =上述命题中所有正确的命题序号是________. 【答案】③⑥【详解】试题分析： 可举反例来说明其错误； 当奇函数在处无定义的时候，图象21y x =+0x =就不通过原点，比如； 奇函数在处有意义，所以1y x=2()21x f x a =-+0x =(0)10,1f a a =-=∴=； 若图象过原点的奇函数在单调时，其在定义域内必是单调函数，而当过原点的奇函数在()0,+∞不单调时，它在定义域内就不是单调函数，比如； 函数的零点即函()0,+∞3()f x x x =-22x y x =-数与的交点，作出图象可以发现它们在轴左侧有一个交点，右侧有两个2x y =2y x =y ()2,4,(4,16)交点，所以函数的零点个数为； 结合反函数的定义可知原函数的反函数互为逆运算，22x y x =-3所以原函数图象若过点，则点必定在反函数的图象上，即它们的图象关于直线()00,x y ()00,y x y x =对称.【解析】函数奇偶性的图象与性质，函数与方程及互为反函数的函数图象之间的关系.【方法点晴】多选题往往在一套试卷中对要考查的知识点起着补充作用，内容比较零碎，需要对每个命题都要做出准确的判断方能得分，正是这一要求导致其得分率比较低.在判断的过程中思维一定要考虑全面，从正、反两个方面进行考虑，特别是从正面不好直接判断时，可以从命题的反面看能否找出反例进行排除，比如在本题中 是用反例来进行否定， 则是从正面直接判断.13．若函数的图象关于点对称，且关于直线对称，则______（写出满足()f x 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭1x =()f x =条件的一个函数即可）.【答案】，()sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【分析】由于三角函数既有中心对称又有轴对称，故选三角函数即可得解. 【详解】易知三角函数的图像既有中心对称点，又有对称轴，由满足此条件，()sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故答案为：.()sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭14．三棱锥中， 是边长为 的正三角形，，若该三棱A BCD -ABC 24,BD CD BD AB ==⊥锥的每个顶点均在球的表面上， 则球的体积是________ O O【分析】根据球的截面圆外心与球心连线垂直于截面所在的平面，分别寻找、的外接ABC ABD 圆圆心，进一步找到分别垂直于这两个截面的垂线，其交点即为外接球球心. 【详解】如图所示，在中，，所以，所以,又，得BCD4,2BD CD BC ===222BD BC CD +=BD BC ⊥BD BA ⊥平面，BD ⊥ABC 设的中点分别为，连接，因为，所以平面，,AB AD ,E F ,CE EF FE BD ∥EF ⊥ABC 由平面，得，由 是边长为 的正三角形，所以，所以BD ⊥ABC BD CE ⊥ABC 2CE AB ⊥CE ⊥平面，过作平面，则，ABD F OF ⊥ABD OF CE ∥设的中心为，过作，交于点，则平面， ABC G G GO EF ∥OF O OG ⊥ABC 所以点即为三棱锥外接球的球心，O A BCD -在中，，所以Rt ABD 4,2BD AB ==AD==在中，Rt ODFR =====所以三棱锥的体积为.A BCD -334433V R ππ===.三、双空题15．已知是角的终边上一点，则______，角的最小正值是______. 55sin ,cos 66P ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭αcos α=α【答案】125π3【解析】根据三角函数的定义，求得的值，进而确定角的最小正值.cos αα【详解】由于是角的终边上一点，所以.55sin ,cos 66Pππ⎛⎫⎪⎝⎭αcos α=5π1sin62==由于，所以在第四象限，也即是第四象限角，所以5π15πsin0,cos 0626=>=<P απ2π3k α=-，当时，取得最小正值为. 1k =α5π3故答案为：（1）；（2）125π3【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查特殊角的三角函数值，考查终边相同的角，属于基础题.四、解答题16．已知函数.()2sin 22cos 16f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭(1)求函数的单调增区间；()f x (2)在中，分别是角的对边，且，求的面积. ABC ,,a b c ,,A B C ()11,2,2a b c f A =+==ABC 【答案】(1)(),36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z【分析】（1）利用倍角公式及两角和与差正弦化简化为，利用整体法可()f x ()sin y A x B ωϕ=++求函数的单调增区间. （2）先根据，求出角A ,再根据一角三边关系，利用余弦定理求，最后代入面积公()12f A =1bc =式计算即可.【详解】（1） ()21sin 22cos 12cos 2cos 6π22f x x x x x x ⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭， 1π2cos 2sin 226x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭令，其中，解得，.πππ2π22π262k x k -≤+≤+k ∈Z ππππ36k x k -≤≤+k ∈Z ∴函数的单调递增区间是，其中.()f x πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k ∈Z （2）.()11,sin 2262πf A A ⎛⎫=∴+= ⎪⎝⎭ 又. ππ13π0π,2666A A <<∴<+<，故.π5π266A ∴+=π3A =在中，， ABC π1,2,3a b c A =+==，即，,()22212cos 3b c bc A b c bc =+-=+-∴143bc =-1bc =∴. 1sin 2ABC S bc A ==△∴17．如图，在四棱锥中，平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，E ，F 分别为AB ，PD P ABCD -PD ⊥的中点．(1)求证：EF //平面PBC ；(2)若的大小为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为AD =E FC D --45︒已知．求PD 的长．条件①：；条件②：． DE PC ⊥PB PC =【答案】(1)证明见解析 (2)12.【分析】（1）通过证明四边形是平行四边形，进而由线线平行得出线面平行； MBEF （2）分别选择条件，设PD 边长，建系应用二面角余弦值求参数即得.【详解】（1）取的中点M ，连接， PC ,MF MB ∵M ，F 分别为的中点， ,PC PD ∴是的中位线，MF PCD ∴且，//MF CD 12MF CD =又E 为的中点，AB ∴且，//BE CD 12BE CD =∴且， //MF BE MF BE =∴四边形是平行四边形，MBEF ∴平面平面， ,EF MB EF ⊄//,PBC MB ⊂PBC ∴平面.//EF PBC （2）选择条件①：,DE PC ⊥平面ABCD ，,平面PCD ，平面PCD, 平面PCD,PD ⊥DE PD ⊥PC ⊂PD ⊂DE ⊥ ,,底面ABCD 为菱形，E 为AB 的中点．,是等边三角形， DE CD ∴⊥DE AB ⊥∴DA DB ∴=ABD △以为z 轴，为y 轴,为x 轴，建立空间直角坐标系， DP DC DE设,则,2PD t =()()()()0,0,0,0,,0,0,,3,0,0D C F t E 设平面法向量为,FCD ()1,0,0n =r设平面法向量为, FEC (),,m x y z = ,,()3,0,EF t =-()3,EC =-, 3030x tz x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令则,y =6m t ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 二面角的大小为E FC D --45︒∴,cos45°=23678,6,212t t t+=∴==12PD ∴=选择条件②：．PB PC =平面ABCD ，,,取的中点O ，,PD ⊥BC PD ⊥PB PC = BC PO BC ∴⊥平面PDO ，平面PDO, 平面PDO, ,, PD ⊂PO ⊂BC ⊥,//BC DO AD BC ∴⊥ DA DO ∴⊥底面ABCD 为菱形，O 为BC 的中点．,是等边三角形，DC DB ∴=CBD△以为z 轴，以为x 轴，以为y 轴DP DA DO 设,则,2PD t =()()()30,0,0,,0,0,,,02D C F t E ⎫⎪⎪⎭设平面法向量为,FCD ()1111,,n x y z = ,, ()0,0,DF t =()DC =, 111030tz y =⎧⎪⎨+=⎪⎩令则, 1111,0,y x z ===)1n = 设平面的法向量为,FEC ()1222,,m x y z = ,, 3,2EF t ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭3,02EC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭, 22222302302x y tz y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩令则, 2223,y x z ===m ⎛= ⎝ 二面角的大小为E FC D --45︒∴，, cos45°=24328496,6,212t t t+=∴==12PD ∴=18．2023年9月23日至2023年10月8日，第19届亚运会将在中国杭州举行.杭州某中学高一年级举办了“亚运在我心”的知识竞赛，其中1班，2班，3班，4班报名人数如下： 班号 1 2 3 4人数 30 40 20 10该年级在报名的同学中按分层抽样的方式抽取10名同学参加竞赛，每位参加竞赛的同学从预设的10个题目中随机抽取4个作答，至少答对3道的同学获得一份奖品.假设每位同学的作答情况相互独立. (1)求各班参加竞赛的人数；(2)2班的小张同学被抽中参加竞赛，若该同学在预设的10个题目中恰有3个答不对，记他答对的题目数为，求的分布列及数学期望；X X (3)若1班每位参加竞赛的同学答对每个题目的概率均为，求1班参加竞赛的同学中至少有1位同13学获得奖品的概率.【答案】(1)3,4,2,1(2)分布列见解析，2.8(3)217729【分析】（1）根据分层抽样计算可得；（2）根据超几何分布求出概率，列出分布列求期望即可得解；（3）计算1班每位同学获奖的概率，然后根据二项分布求解即可.【详解】（1）各班报名人数总共100人，抽取10人，抽样比为， 110故班分别抽取（人），（人），（人），（人）. 14-130310⨯=140410⨯=120210⨯=110110⨯=（2）由题意，的可能取值为1,2,3,4，X , 1373410C C 71(1)C 21030P X ====, 2273410C C 2133(2)C 21010P X ⨯====, 3173410C C 3531(3)C 2102P X ⨯====, 4073410C C 351(4)C 2106P X ====所以的分布列为：X X 12 3 4 P 130 310 12 16（3）由题意，1班每位同学获奖的概率为131114()1234 2.83010265E X =⨯+⨯+⨯+⨯==, 343444121811C C 33381819P ⎛⎫⎛⎫=⋅+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设1班获奖人数为，则， Y 1(3,9Y B 所以至少1人获奖的概率为. 0033182171(0)1C ()(99729P Y -==-=19．已知函数.()x f x e x =-（1）求曲线在点处的切线方程；()y f x =(1,(1))f （2）设函数，若对，恒成立，求实数的取值范围.()()g x f x m =-[]1,1x ∀∈-()0g x ≤m 【答案】（1）；（2）.(1)0e x y --=[)1,e -+∞【分析】（1）求出函数的导函数，再分别求出，根据倒数的几何意义，即()f x ¢()()11,f f '()1f '为曲线在点处的切线的斜率，从而可得答案；()y f x =(1,(1))f （2）由对，恒成立，即恒成立，求出函数的单调[]1,1x ∀∈-()0g x ≤[]max (),1,1m f x x ≥∈-()y f x =区间，从而求得函数在上的最大值，即可得出答案.()y f x =[]1,1x ∈-【详解】解：（1）因为，所以.()x f x e x =-()1x f x e '=-所以又() 1.1f e '=-(),11f e =-所以曲线在点处的切线方程为()y f x =(1,(1))f (1)(1)(1),y e e x --=--即.(1)0e x y --=（2）由题意知：[]max (),1,1m f x x ≥∈-，.由，解得，()e x f x x =- ()e 1x f x ∴=-'()e 10x f x '=-=0x =故当时，，在上单调递减；10x -≤<()0f x ¢<()f x [)1,0-当时，，在上单调递增.01x <≤()0f x ¢>()f x (]0,1所以.又 ()()min 01f x f ==1(1)1,(1)1,f f e e -=+=-1(1)(1)20f f e e--=-->max ()1,1f x e m e ∴=-∴≥-所以实数的取值范围为.m [)1,e -+∞20．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，A ，B 分别为椭圆的左顶点和下顶2222:10)x y C a b a b+=>>（点，且的面积为1．OAB ∆（1）求椭圆C 的方程；（2）设点M 为椭圆上位于第一象限内一动点，直线与轴交于点C ，直线与轴交于点MB x AM y D ，求证：四边形的面积为定值．ABCD 【答案】（1）．（2）见解析 2214x y +=【分析】（1）由长轴长是短轴长的2倍，的面积，构建方程组，求得ab ，代入椭圆方程得OAB ∆答案；（2）设有，分别表示直线和的方程，从而表示与0(()0)M m n m n >>，，2244m n +=BM AM c x D y ，可得与长度关系式，进而可以表示，化简即证..||AC ||BD ABCD S 【详解】（1）∵椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴． 2222:1(0)x y C a b a b+=>>2a b =∵的面积为1，∴，， OAB ∆112ab =2ab =解得，．2a =1b =∴椭圆C 的方程为． 2214x y +=（2）由（1）可知，， (20)A -，1(0)B -，设，则，即． 0(()0)M m n m n >>，，2214m n +=2244m n +=则直线的方程为． BM 11n y x m+=-令，得，即． 0y =1c m x n =+||21m AC n =++同理，直线的方程为， AM (2)2n y x m =++令，得，即． 0x =22D n y m =+2||12n BD m =++∴11212222||||212212212ABCD m n m n m n S AC BD n m n m ++++=⨯⨯=⨯+⨯+=⋅⋅++++ ()222221144448222222m n m n mn m n mn m n mn m n +++++++=⋅=⋅++++++因为且，2244m n +=00m n >>，则原式． ()4221448812222222mn m n mn m n mn m n mn m n ++++++=⋅=⋅=++++++∴四边形的面积为定值2．ABCD 【点睛】本题考查椭圆问题的综合问题，涉及求由abc 表示椭圆的标准方程已经平面图形的面积为定值问题，属于难题.21．已知数列的前n 项和满足，且，数列满足{}n a n A ()*1112n n A A n n N n +-=+∈11a ={}n b ，，其前9项和为36.()*2120n n n b b b n N ++-+=∈32b =（1）当n 为奇数时，将放在的前面一项的位置上；当n 为偶数时，将放在前面一项的位n a n b n b n a 置上，可以得到一个新的数列：，，，，，，，，，，…，求该数列的前1a 1b 2b 2a 3a 3b 4b 4a 5a 5b n 项和； n S （2）设，对于任意给定的正整数，是否存在正整数l 、，使得1n n nc a b =+()2k k ≥()m k l m <<k c 、、成等差数列？若存在，求出l 、m （用k 表示），若不存在，请说明理由.l c m c 【答案】（1），；（2）存在；，. 222,243,4141,414n n n kn S n k n n k ⎧=⎪⎪+⎪==-⎨⎪⎪-=-⎪⎩*k ∈N 21l k =-2452m k k =-+【分析】（1）根据通项公式与求和公式的关系求出，利用等差数列基本量运算求得n a n =，利用分类讨论思想求出结果．1n b n =-（2）由（1）可知：，若对于任意给定的正整数存在正整数，， 121n c n =-(2)k k …l ()m k l m <<使得，，成等差数列，利用分类讨论思想和整除问题，结合反证法可得结果．k c l c m c 【详解】（1）因为， 1112n n A A n n +-=+于是数列 是首项为1，公差为 的等差数列， {}n A n 所以， 1122n A n n =+则：， (1)2n n n A +=当时，，2n …1n n n a A A n -=-=又因为，11a =所以，n a n =又因为，2120n n n b b b ++-+=于是数列是等差数列，{}n b 设的前 项和为，{}n b n n B 由于，95936B b ==则：，54b =由于：，32b =则：，5322d b b =-=解得：．1d =所以：；2(3)1n b n n =+-=-当为奇数时，将放在的前面一项的位置上；n n a n b 当为偶数时，将放在前面一项的位置上，n n b n a 可以得到一个新的数列：，，，，，，，，，，，1a 1b 2b 2a 3a 3b 4b 4a 5a 5b ⋯则：数列的前项和． {}n a n (1)2n n n B -=当时，． 2n k =22(1)(1)22n k k k k k k k S S A B k +-==+=+=当时，43n k =-．2432122(21)(23)(1)463n k k k S S A B k k k k k k ---==+=-+--=-+当时，；41n k =-241212(21)(21)42n k k k S S A B k k k k k k --==+=-+-=-进一步整理得：． 222(2)463(23)42(41)n k n k k k n k S k k n k ⎧=⎪-+=-⎪=⎨-=-⎪⎪⎩（2）由（1）可知：， 121n c n =-若对于任意给定的正整数存在正整数，，(2)k k …l ()m k l m <<使得，，成等差数列．k c l c m c 则：，2l m k c c c =+即：， 211212121l k m =+---解得：， 222(21)1421421kl k l k m k k l k l +--==-+----即：． 2(21)1421k m k k l -=+---则对于任意的正整数能整除，且．(2)421k k k l --…2(21)k -4210k l -->由于当时，中存在多个质数．2k …21k -所以：只能取1和或．421k l --21k -2(21)k -若时，则，．4211k l --=21l k =-2452m k k =-+于是，，2473(43)(1)0m l k k k k -=-+=-->符合．k l m <<若时，出现矛盾，42121k l k --=-k l =则舍去．若，2421(21)k l k --=-则：，2m k +=于是，0m …出现矛盾，故舍去．综上所述：当时，存在正整数，，2k …21l k =-2452m k k =-+满足，使得，，成等差数列．k l m <<k c l c m c 【点睛】本题考查的知识要点：通项公式与求和公式的关系，等差数列基本量运算，整除问题，以及分类讨论思想和反证法的应用，同时考查了运算求解能力与转化思想，属于综合题．。
北京高考一模拟试题
北京高考一模拟试题
北京市是全国教育水平较高的地区之一，其高考试题备受关注。
以下是北京市高考一模拟试题，供参考：
第一部分：选择题
1. 下列不是水的电解质的是
A. NaOH
B. HCl
C. H2SO4
D. NaCl
2. 一铁球本来在地面静止，若给它一个向上的速度，短时间内，使它向上运动的力是
A. 引力
B. 摩擦力
C. 弹簧力
D. 动力
3. 相关系数为0.8，则两个变量之间的相关性是
A. 强相关
B. 中等相关
C. 弱相关
D. 不相关
4. 下列属于感觉受体的是
A. 肌肉纤维
B. 视网膜细胞
C. 周围血管
D. 束状神经细胞
第二部分：填空题
5. 圆周率π的近似值是_________。
6. 一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，3小时后行驶的距离是_________公里。
7. 某人有4根等长的绳子，长度为2米，3米，4米，5米，将这4根绳子拼接成一根长绳，长度是_________米。
第三部分：解答题
8. 一物体从10米高的地方自由落下，求物体落地时的速度。
9. 有一组数据：3，5，7，9，11，求这组数据的平均值。
以上就是北京高考一模拟试题，希望同学们认真思考，动脑筋，争取取得好成绩。
祝大家考试顺利！。
2023年北京市高考数学模拟试卷+答案解析(附后)
2023年北京市高考数学模拟试卷1. 若集合，，则( )A. B. C. D.2. 设复数z满足，则( )A. B. C. D. 53. 双曲线的两条渐近线所成锐角的大小等于( )A. B. C. D.4. 的展开式的二项式系数之和为8，则二项式展开式中的常数项等于( )A. 4B. 6C. 8D. 105. 在平面直角坐标系xOy中，设角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，若角终边过点，则的值为( )A. B. C. D.6. 已知函数，则不等式的解集为( )A. B.C. D.7. 宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形.它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目.在黄金矩形ABCD中，，，那么的值为( )A. B. C. 4 D.8. 设为等比数列，若m，n，p，，则是的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 已知圆C：与直线1：，P为直线1上一动点，若圆上存在点A，使得，则的最大值为( )A. B. 4 C. 2 D.10. 《九章算术商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.意思是：如图，沿正方体对角面截正方体可得两个堑堵，再沿平面截堑堵可得一个阳马四棱锥，一个鳖臑三棱锥，若P为线段CD上一动点，平面过点P，平面，设正方体棱长为1，，与图中的鳖臑截面面积为S，则点P从点D移动到点C的过程中，S关于x的函数图象大致是( )A. B.C. D.11. 的零点为______.12. 正方形ABCD中，，P为BC中点，Q为DC中点，则______；若M为CD上的动点，则的最大值为______.13. 已知函数其中为实数，若对恒成立，则满足条件的值为______写出满足条件的一个值即可14. 已知抛物线C：的焦为，则抛物线C的方程是__________；若M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，且M为FN的中点，则__________.15. 小图给出了某池塘中的浮萍蔓延的面积与时间月的关系的散点图.有以下叙述：①与函数相比，函数作为近似刻画y与t的函数关系的模型更好；②按图中数据显现出的趋势，第5个月时，浮萍的面积就会超过；③按图中数据显现出的趋势，浮萍每个月增加的面积约是上个月增加面积的两倍；④按图中数据显现出的趋势，浮萍从2月的蔓延到至少需要经过3个月.其中正确的说法有______填序号16.如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，M为棱的中点．求证：；求证：平面；求二面角的余弦值．17. 在中，，，_____.求c的值.从①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18. 某学校为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：得到A餐厅分数的频率分布直方图和B餐厅分数的频数分布表：B餐厅分数频数分布表分数区间频数235154035定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下：分数满意度指数012在抽样的100人中，求对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数；以频率估计概率，从该校在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高的概率；如果从A，B两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．19. 已知椭圆E：过点，且离心率为求椭圆E的方程；过右焦点F且不与x轴重合的直线与椭圆交于M，N两点，已知，过M且与y 轴垂直的直线与直线DN交于点P，求证：点P在一定直线上，并求出此直线的方程. 20. 已知函数当时，求曲线在点处的切线方程；若，讨论函数的单调性；当时，恒成立，求a的取值范围.21. 设数列A：，，…，的各项均为正整数，且…若对任意…，，存在正整数i，使得，则称数列A具有性质判断数列：1，2，4，7与数列：1，2，3，6是否具有性质T；只需写出结论若数列A具有性质T，且，，，求n的最小值；若集合…，2019，，且任意i，…，，求证：存在，使得从中可以选取若干元素可重复选取组成一个具有性质T的数列.答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为，所以，又因为，所以，故选：由集合的补集得：，由集合的交集得：，得解．本题考查了集合的交、并、补的混合运算，属简单题．2.【答案】C【解析】解：复数z满足，，故选：利用复数模长的定义和性质求解．本题主要考查了复数模长的定义和性质，是基础题．3.【答案】D【解析】解：因为双曲线的方程为：，所以它的渐近线方程为，即渐近线的斜率分别，即渐近线的倾斜角为和，所以一条渐近线与y轴的夹角为，故两条渐近线所成的锐角为故选：先求得渐近线的方程，进而求得渐近线的倾斜角，然后即可求得正确答案．本题考查了双曲线的渐近线的性质，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：的展开式的二项式系数之和为8，则，解得，故展开式的通项为，令，解得，故二项式展开式中的常数项等于故选：先求出n ，再结合二项式定理，即可求解．本题主要考查二项式定理，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：角的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点，，，，，，则，，故选：利用任意角的三角函数的定义求得、的值，再利用二倍角的正弦公式求得的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：令，得，得或；在同一坐标系内画出与的图象，如图所示，则不等式的解集为故选：令求得x 的值，在同一坐标系内画出对应函数的图象，结合图象求出不等式的解集．本题考查了函数图象与性质应用问题，也考查了结合函数图象求不等式解集的问题，是基础题．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查黄金矩形的定义，以及向量数量积的定义和运用，考查运算能力，属于基础题．由黄金矩形ABCD的定义，可得AB，再由勾股定理和向量数量积的定义，计算可得所求值．【解答】解：由黄金矩形的定义，可得，，在矩形ABCD中，，则，故选：8.【答案】A【解析】解：设等比数列的公比为r，则，，若，则成立，即充分性成立，当时，若，则不一定成立，即必要性不成立，故是的充分不必要条件．故选：根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：圆C：的圆心坐标为，半径为1，圆心到直线l的距离，可知直线与圆相离，由正弦定理可得三角形PAC的外接圆的直径，P为直线1上一动点，当直线PA与圆相切时，此时为外接圆的直径，取得最大值为故选：由已知可得直线与圆相离，P为直线1上一动点，当直线PA与圆相切时，此时为外接圆的直径，取得最大值．本题考查直线与圆位置关系的应用以及正弦定理的应用，考查数形结合的解题思想方法，考查推理能力与计算能力，是中档题．10.【答案】B【解析】解：如图，设，，，，则为等腰直角三角形，则，，平面，，平面PMN，平面，平面平面，而平面平面，平面平面，，可得，则由，得，，即，则S关于x的函数图象大致是故选：由题意画出截面图，证明平面截三棱锥所得截面为等腰直角三角形，求其面积关于x的关系式，则答案可求．本题考查空间几何体的结构特征，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】，2【解析】解：当时，，解得；时，，解得，函数的零点为：，故答案为：，利用方程的根求解函数的零点即可．本题考查函数的零点的求法，是基础题．12.【答案】1 3【解析】解：以点D为原点，以直线DC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，，P为BC中点，Q为DC中点，则：，，，，，；设，，则，，时，取最大值故答案为：1，可以点D为原点，以直线DC为x轴，建立平面直角坐标系，然后即可得出，，，从而可得出的坐标，然后进行数量积的坐标运算即可求出的值；可据题意设，并且，而进行数量积的坐标运算即可求出，从而可得出的最大值．本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，向量数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．13.【答案】【解析】解：由题意，对恒成立，可得时，取得最大值或最小值．若时，取得最大值，可得，若时，取得最小值，可得，故答案为：根据，可得时，取得最大值或最小值．即写出答案；本题考查了三角形函数的性质的应用．属于基础题14.【答案】6【解析】【分析】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．利用抛物线的焦点坐标，求解p，然后求解抛物线方程，进而结合抛物线的有关性质即可得解．【解答】解：抛物线C：的焦为，可得，则抛物线C的方程是；M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，且M为FN的中点，则，则故答案为：；615.【答案】①②③【解析】解：对于①，当浮萍蔓延的面积与时间月的关系为时，当，，，时，对应的y分别为，，，，当浮萍蔓延的面积与时间月的关系为时，当，，，时，对应的y分别为，，，，通过比较已知散点图可知，与函数相比，函数作为近似刻画y与t的函数关系的模型更好，故①正确，对于②，当时，，故第5个月时，浮萍的面积就会超过，故②正确，对于③，由可知，浮萍每个月增加的面积约是上个月增加面积的两倍，故③正确，对于④，由可知，当时，，当时，，即需要经过2个月，故④错误．故答案为：①②③．根据图象，求出函数的表达式，然后依次求解，本题主要考查根据实际问题选择函数类型，考查计算能力，属于中档题．16.【答案】证明：因为平面ABC，所以，因为，所以平面，因为平面，所以，即证明：设的中点为N，连接MN，则，连接，因为且，所以是平行四边形，所以，所以平面平面，所以平面解：以C为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系如图，可得、、、、依题意，是平面ADE的一个法向量，，设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得，，因为二面角的平面角是钝角，所以，二面角的余弦值为【解析】证明，结合，推出平面，然后证明设的中点为N，连接MN，则，连接，证明，推出平面平面，即可证明平面以C为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面ADE的一个法向量，平面的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．本题考查直线与平面垂直以及平面与平面平行的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．17.【答案】解：选择①：由正弦定理知，，因为，，，所以，因为，所以，由余弦定理知，，所以，解得或5，当时，，所以，又，，所以，，所以，不符合题意，故选择②：因为，由正弦定理得，，又，，所以，由余弦定理知，，所以，解得或选择③：因为，所以，因为，所以，当时，由余弦定理知，，所以；当时，由余弦定理知，，所以，综上，或【解析】选择①：结合正弦定理与二倍角公式，可得，再由余弦定理求出或5，检验知，当时，，进而得解；选择②：结合二倍角公式与正弦定理，可得，再由余弦定理，得解；选择③：由三角形面积公式可得，从而知的值，再由余弦定理，得解．本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理，二倍角公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.【答案】本小题满分13分解：由对A餐厅评分的频率分布直方图，得对A餐厅“满意度指数”为0的频率为，分所以，对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数为分设“对A餐厅评价‘满意度指数’比对B餐厅评价‘满意度指数’高”为事件记“对A餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件；“对A餐厅评价‘满意度指数’为2”为事件；“对B餐厅评价‘满意度指数’为0”为事件；“对B餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件所以，，分由用频率估计概率得：，分因为事件与相互独立，其中，2，，所以分所以该学生对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高的概率为如果从学生对A，B两家餐厅评价的“满意度指数”的期望角度看：A餐厅“满意度指数”X的分布列为：X012PB餐厅“满意度指数”Y的分布列为：Y012P因为；，所以，会选择B餐厅用餐．分注：本题答案不唯一．只要考生言之合理即可．【解析】由对A餐厅评分的频率分布直方图，求解对A餐厅“满意度指数”为0的频率．然后求解对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数．设“对A餐厅评价‘满意度指数’比对B餐厅评价‘满意度指数’高”为事件记“对A餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件；“对A餐厅评价‘满意度指数’为2”为事件；“对B 餐厅评价‘满意度指数’为0”为事件；“对B餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件求出概率，利用独立重复概率乘法公式求解即可．从学生对A，B两家餐厅评价的“满意度指数”的期望角度看：得到分布列，求出期望，即可推出结果．本题考查概率的应用，分布列以及期望的求法，考查分析问题解决问题的能力．19.【答案】解：由已知可得，解得，，所以椭圆E的方程为，证明：由题意可知点P所在直线必然垂直于x轴，设为，设直线MN的方程为：，，，联立方程，消去y整理可得：，所以，，则直线DN的方程为：，令，则，所以，故点P在定直线上．【解析】由已知建立方程组，联立即可求解；设点P所在的直线为，再设出直线MN 的方程以及点M，N，的坐标，并与椭圆方程联立，再写出直线DN的方程，求出点P的横坐标，利用韦达定理化简即可求解．本题考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的应用，考查了学生的分析问题的能力以及运算推理能力，属于中档题．20.【答案】解：当时，，，，，所以曲线在点处的切线方程为：，即：由，可得，由于，的解为，，当，即时，，则在上单调递增，当，即时，在区间，上，；在区间上，，所以在，上单调递增；在上单调递减．当，即时，在区间，上，；在区间上，，则在，上单调递增，在上单调递减．当时，因为，所以，，所以，则在上单调递增，成立，当时，，所以在上单调递增，所以成立，当时，在区间上，；在区间，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在区间上，，不符合题意，综上所述，a的取值范围是【解析】本题考查导数的综合应用，导数的几何意义，函数单调性，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．当时，根据题意可得，计算，对求导得，再由导数的几何意义可得，进而写出切线方程．求导得，令的解为，，分三种情况：当，当，当，讨论正负，进而可得的单调区间．对求导得，分三种情况：当时，当时，当时，讨论导数的正负得到的单调性，进而可得a的取值范围．21.【答案】解：，，2，4，7不具有性质P；，，，，2，3，6具有性质P，即数列不具有性质T，数列具有性质由题意可知，，，，…，，若，且，，同理，，，，，，数列各项均为正整数，，数列前三项为1，2，数列A具有性质T，只可能为4，5，6，8之一，而又，，同理，有，，，，此时数列为1，2，4，8，16，32，64，128，但数列中存在，使得，该数列不具有性质T，当时，取A：1，2，4，8，16，32，36，64，100，构造数列不唯一，A：1，2，4，8，16，32，36，64，100，200，经验证，此数列具有性质T，的最小值为证明：假设结论不成立，即对任意…，都有：若正整数a，，，则，否则，当时，a，，b 是一个具有性质T 的数列；当时，，a，b 是一个具有性质T 的数列；当时，a，a，b 是一个具有性质T的函数．由题意可知，这6 个集合中至少有一个集合的元素个数不少于337 个，不妨设此集合为，从中取出337 个数，记为，，…，且…，令集合…，由假设，对任意，2，…，336，，，在，，，，中至少有一个集合包含中的至少68 个元素，不妨设这个集合为，从中取出68 个数，记为，，…，，且…，令集合…，由假设，对任意，2，…，68，存在…，使得，对任意，由假设，，，在，，，中至少有一个集合包含中的至少17 个元素，不妨设这个集合为，从中取出17 个数，记为，，…，，且…，令集合…，，由假设，对任意，2，…，17，存在…，使得，对任意，同样，由假设可得，，同样，在，中至少有一个集合包含中的至少3 个元素，不妨设这个集合为，从中取出3 个数，记为，，，且，同理可得由假设可得，同上可知，，而又，，矛盾．假设不成立，原命题得证．【解析】根据，可知1，2，4，7不具有性质P，由，，，可知1，2，3，6具有性质P；由数列A具有性质T，结合条件可知，然后分别考虑，，时是否符合条件，进一步得到n的最小值；假设结论不成立，即对任意…，都有：若正整数a，，，则，否则，当时，a，，b 是一个具有性质T 的数列；当时，，a，b 是一个具有性质T 的数列；当时，a，a，b 是一个具有性质T的函数，然后找出矛盾结论，从而证明结论成立．本题考查了新定义、等差数列的通项公式、数列递推关系和不等式的性质，考查了考查了转化思想和分类讨论思想，属难题．。
2023届北京市高考数学(理)一轮复习模拟收官卷(一)(解析版)
A B =（ 1,2．（2022·北京房山（ ） 5．（2022·北京|23MN ，那143k -403k0k 或43k -403k 2022·北京·首都师范大学附属中学三模）下列函数中，既是偶函数又在()0,2上单调递减的是（ ）2x = 3y x =- cos 2x =2ln2xy x-=+ 2022·北京·首都师范大学附属中学三模）设函数()1sin f x x =∈R ，其中A ．直线11A D 与直线EF 相交B ．当E 为棱BC 上的中点时，则点E 在平面1AD F 的射影是点F C ．存在点E ，使得直线1AD 与直线EF 所成角为30 D ．三棱锥E ADF -的体积为定值9．（2022·北京师大附中高二期中）当N n ∈时，将三项式()21nx x ++展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：若在()()5211ax x x +++的展开式中，8x 的系数为75，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-10．（2022·北京市第三十五中学高三阶段练习）如图，△11OB A ，△122A B A 是全等的等腰直角三角形，12,B B 为直角顶点，12,,O A A 三点共线.若点12,P P 分别是边1122,A B A B 上的动点（不包含端点）.记12=m OB OP ⋅，21=n OB OP ⋅，则（ ）A ．m n >B ．m n <C ．m n =D ．,m n 大小不能确二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分．）cos60，请写出一组符合题意的北京八十中模拟预测）同学们，你们是否注意到：自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这1,2)，描清华附中模拟预测）在ABC中，这三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在且唯一确定，求ABC的：ABC的周长为A B =（ 1,2【答案】D【详解】解：因为A B ={0,1,2故选：D.．（2022·北京房山5 【答案】A【详解】由题意知，|23，那143k -403k0k 或43k -403k 【答案】D【详解】圆化简为标准方程为()22x -+，圆心()2,0到直线y 的距离2d k =22243k k ⎛- ⎝，4n S 成立，即项和中的最大值，10635a a .北京市大兴区兴华中学三模）李明开发的小程序在发布时已有【详解】经过又小程序在发布时已有又小程序发布经过A．直线A D与直线相交30C CB当点E 为BC 的中点时，//EF CB ，又AD CB ⊥，所以EF AD ⊥，设正方体的棱长为2，若存在点(,2,0)(02)E a a ≤≤使得EF 与1BC 所成角为30︒，(2,2,0)(2,2,1)(0,2,2)F ，，所以1(2,0,1)(2,0,2)EF a BC =-=-，所以12EF BC a ⋅=-，又11cos30EF BC EF BC ︒⋅=，322212a -=⨯+⨯，解得43a =±， 不符合题意，故不存在点E 使得EF 与1AD 所成角为30︒，故C 错误；：如图，ADESBF ⋅为定值，所以ADF -()()5a 是全等的等腰直角三角形，12,B B 为直角顶点，,O A 12=OB OP ⋅，21=OB OP ⋅，则（A ．m n >B ．m n <C ．m n =D ．,m n 大小不能确232122 2=OB OP⋅=1232 2=OB OP⋅= m n<.故选：B.二、填空题（共5分，共25分．）．（2022·北京·清华附中模拟预测）函数)lg xx=的定义域为cos60，请写出一组符合题意的()cos9030sin30os60=-=，sin30，1,2)，描1,2)，两式作差得，{}n b 为正实数数列，故，因为11a b -清华附中模拟预测）在ABC 中，这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求ABC 的：ABC 的周长为3342; 选择条件22cos a c b B +-=所以存在两个ABC ，不符合题意； ，(0,πA ∈由正弦定理知，sin a A =所以ABC 的面积选择条件③：因为ABC 的周长为23c ac +-所以ABC 的面积（2022·北京市十一学校高三阶段练习）ABCD ，求证：Q 为求平面ACQ 求直线PB 到平面【答案】(1)证明见解析 PBD平面ACQ 的法向量为(),,n x y z =20n AQ y z n AC x ⎧⋅=+⎨⋅=+=⎩，故可设(1,1,n =--ABCD 的法向量为()0,0,1m =， ACQ 与平面ABCD 夹角为θ， 1333m n m nθ⋅===⋅. 由于//PB 平面ACQ ，则()0,2,0BC AD ==,23BC n n⋅==的距离为23318．（2022·北京·人大附中模拟预测）某家电专卖店试销A B C ､､三种新型空调，销售情况如下表所示：a ⎧,都是32时，由于k a,都是3的倍数；2综上所述，若集合M存在一个元素是。
2023年高考数学一轮复习(新高考1) 第3章 §3
当x∈(1，m)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(m，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增.
(2)若xf′(x)－f(x)≥0恒成立，求m的取值范围.
由题意知xf′(x)－f(x)≥0恒成立， 即x22－mln x≥0 恒成立， ∴x22≥mln x. 当 x＝1 时，x22≥mln x 恒成立， 当 x>1 时，2lxn2 x≥m； 当 0<x<1 时，2lxn2 x≤m.
当a≤0时，a(x2－1)－ln x<0，满足题意； 当 a≥12时，令 g(x)＝a(x2－1)－ln x(x>1)， g′(x)＝2axx2－1>0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，则 g(x)>g(1)＝0，不 符合题意，
当
0<a<12时，由
g′(x)>0，得
x∈
12a，＋∞，
由 g′(x)<0，得 x∈1，
则f(x)在[2，＋∞)上单调递增， f(x)≥f(2)＝0成立. ②当0<a≤e2时，f′(x)≥0， 所以f(x)在[2，＋∞)上单调递增， 所以f(x)≥f(2)＝0成立. ③当a>e2时，在区间(2，ln a)上，f′(x)<0； 在区间(ln a，＋∞)上，f′(x)>0， 所以f(x)在(2，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，f(x)≥0 不恒成立，不符合题意.综上所述，a的取值范围是(－∞，e2].
12a，
于是有 g(x)在1，
12a上单调递减，在
12a，＋∞Βιβλιοθήκη 单调递增，g(x)min＝g
12a<g(1)＝0，
则当 0<a<12时，∃x∈(1，＋∞)，g(x)<0，
北京高考数学一轮复习模拟题(附答案)
北京高考数学一轮复习模拟题（附答案）答案：C3.(2019天门模拟)定义运算ab=则函数f(x)=12x的图象是()解析：f(x)=12x=故选A.答案：A4.(2019昆明一模)已知b1，t0，若ax=a+t，则bx与b+t的大小关系为()A.bxb+tB.bxC.bxb+tD.bxb+t解析：因 a1，t0，则ax=a+ta，所以x1.又1，所以()x，所以bxax=(a+t)=b+tb+t.答案：A5.(2019四川模拟)函数y=ax-(a0，且a1)的图象可能是() 解析：当0a3a1，3b-10.又f(x)=|3x-1|的定义域是[a，b]，3a-1=2a,3b-1=2b.即a=0，b=1，a+b=1.答案：1三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11.(2019常州一模)已知函数f(x)=ln x-(aR).()若函数f(x)在定义域上为单调增函数，求a的取值范围; ()设m，nN*，且mn，求证：.解：()f(x)=-因为f(x)的定义域是(0，+)且在定义域上为单调增函数，所以f(x)0在(0，+)上恒成立.即x2+(2-2a)x+10在(0，+)上恒成立.当x(0，+)时，由x2+(2-2a)x+10得2a-2x+.设g(x)=x+，x(0，+)，g(x)=x+2=2，当且仅当x=，即x=1时，g(x)有最小值2.所以2a-22，即a2.()要证，不妨设mn(若m0.设h(x)=ln x-.由()知h(x)在(1，+)上是单调增函数，又1，所以h()h(1)=0.即ln -0成立，所以.12.(2019洛阳一模)已知f(x)=(ax-a-x)(a0且a1).(1)判断f(x)的奇偶性;(2)讨论f(x)的单调性;(3)当x[-1,1]时，f(x)b恒成立.求b的取值范围.解：(1)函数定义域为R，关于原点对称.又因为f(-x)=(a-x-ax)=-f(x)，所以f(x)为奇函数.(2)当a1时，a2-10，y=ax为增函数，y=a-x为减函数，从而y=ax-a-x为增函数，所以f(x)为增函数.当0y=ax为减函数，y=a-x为增函数，从而y=ax-a-x为减函数.所以f(x)为增函数.故当a0，且a1时，f(x)在定义域内单调递增.(3)由(2)知f(x)在R上是增函数，在区间[-1,1]上为增函数.所以f(-1)f(1)，f(x)min=f(-1)=(a-1-a)==-1，要使f(x)b在[-1,1]上恒成立，则只需b-1，故b的取值范围是(-，-1].13.(2019重庆一模)已知函数f(x)=bax(其中a，b为常数且a0，a1)的反函数的图象经过点A(4,1)和B(16,3).(1)求a，b的值;(2)若不等式()2x+b1-x-|m-1|0在x(-，1]上恒成立，求实数m的取值范围.解：(1)反函数图象经过点A(4,1)，B(16,3)，f(x)图象经过点A(1,4)，B(3,16)，a=b=2，f(x)=2x+1.(2)不等式()2x+b1-x-|m-1|0在x(-，1]时恒成立，不等式()2x+21-x|m-1|在x(-，1]时恒成立，[()2x+21-x]min|m-1|恒成立，设t=()x，g(t)=t2+2t，x1，t，g(t)min=g()=，|m-1|，实数m的取值范围是[-，].2019北京高考数学一轮复习模拟题及答案的全部内容就是这些，查字典数学网预祝广大考生金榜题名。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
北京高考数学一轮复习模拟题及答案
选择题(本大题共6小题，每小题 6 分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. (xx 黄山一模) 设y1=40.9，y2=80.48，y3=()-1.5 ，则()
A.y3y2
B.y2y3
C.y1y3
D.y1y2
解析：y1=40.9=21.8 ，y2=80.48=21.44 ，y3=()-1.5=21.5. 由于指数函数f(x)=2x在R上是增函数，且1.81.44，所以y1y2，选D. 答案：D
2. (xx 泰州模拟)若函数f(x)=ax+b-1(a0 ，a 1 )的图象经过第二、
三、四象限，则()
A.00
B.a1 且b0
C.01 且b0
解析：函数f(x)=ax+b-1(a0 , a1)的图象可由函数y=ax(a0 , a1)
的图象沿y轴方向平移(b-1)个单位长度得到.
因为f(x)=ax+b-1(a0 ，a1) 的图象经过第二、三、四象限，所
以0
又当x=0 时，y0. 故选C.
答案：C
3. (xx 天门模拟)定义运算ab二则函数f(x)=12x的图象是()
解析：f(x)=12x= 故选 A.
答案：A
4. (xx 昆明一模) 已知b1，t0 ，若ax=a+t ，则bx 与b+t 的大小
关系为()
A.bxb+t
B.bx
C.bxb+t
D.bxb+t
解析：因al, t0，则ax二a+ta，所以x1.又1,所以()x，所以bxax=(a+t)=b+tb+t.
答案：A
5. (xx 四川模拟) 函数y=ax-(a0 ，且a1) 的图象可能是() 解析：当
0a3a1，3b-10.
又f(x)=|3x-1| 的定义域是[a , b],
3a-1=2a,3b-1=2b. 即a=0，b=1，a+b=1.
答案：1
解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14 分，写出证明过程或推演步骤)
11. (xx 常州一模)已知函数f(x)=lnx-(aR).
() 若函数f(x)在定义域上为单调增函数，求a的取值范围；
() 设m nN*,且mr，求证：.
解：()f(x)=-
因为f(x) 的定义域是(0, +)且在定义域上为单调增函数,
所以f(x)0 在(0, +)上恒成立.
即x2+(2-2a)x+10 在(0 ，+)上恒成立.
当x(0 ，+) 时，由x2+(2-2a)x+10 得2a-2x+.
设g(x)=x+ ，x(0，+)，g(x)=x+2=2 ，
当且仅当x=,即x=1时，g(x)有最小值2.
所以2a-22 ，即a2.
() 要证，不妨设mn(若m0.
设h(x)=lnx-. 由() 知h(x) 在(1 ，+)上是单调增函数，又1，所以h()h(1)=0.
即ln-0 成立，
所以.
12. (xx 洛阳一模)已知f(x)=(ax-a-x)(aO 且a1).
(1) 判断f(x) 的奇偶性;
(2) 讨论f(x) 的单调性;
(3) 当x[-1,1]时，f(x)b恒成立.求b的取值范围.
解：(1)函数定义域为R,关于原点对称.
又因为f(-x)=(a-x-ax)=-f(x) ，
所以f(x) 为奇函数.
(2) 当a1 时，a2-10，
y=ax 为增函数，y=a-x 为减函数，
从而y=ax-a-x 为增函数，
所以f(x) 为增函数.
当0
y=ax 为减函数，y=a-x 为增函数，
从而y=ax-a-x 为减函数.
所以f(x) 为增函数.
故当aO,且al时，f(x)在定义域内单调递增.
(3) 由⑵知f(x)在R上是增函数，
在区间[-1,1] 上为增函数.
所以f(-1)f(1) ,
f(x)min=f(-1)=(a-1-a)
==-1 ,
要使f(x)b 在[-1,1] 上恒成立,则只需b-1,
故 b 的取值范围是(- , -1].
13. (xx 重庆一模)已知函数f(x)=bax( 其中a, b 为常数且aO, a 1 )的反函数的图象经过点A(4,1) 和B(16,3).
(1) 求a, b 的值;
(2) 若不等式()2x+b1-x-|m-1|O 在x(- , 1] 上恒成立,求实数m 的取值范围.
解：(1) 反函数图象经过点A(4,1) , B(16,3) ,
f(x) 图象经过点A(1,4) , B(3,16) ,
a=b=2 , f(x)=2x+1.
(2) 不等式()2x+b1-x-|m-1|0 在x(- , 1]时恒成立，
不等式()2x+21-x|m-1|在x(-，1]时恒成立，
[()2x+21-x]min|m-1| 恒成立,
设t=()x ，g(t)=t2+2t ，x1，t ，
g(t)min=g()= ，|m-1| ，
实数m的取值范围是卜，］.。