2017九年级数学二次函数学案.doc
2017届九年级数学上册22.1二次函数的图象和性质教案新人教版 (2)
第二十二章二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数教学目标1.通过对实际问题情境的分析,让学生经历二次函数概念的形成过程,学会用类比思想学习二次函数知识.2.掌握二次函数的概念.3.认识到二次函数来源于实际生活,感受到二次函数在实际生活中有着广泛的应用. 教学重难点重点:二次函数的概念.难点:理解变量之间的对应关系.教学过程与方法知识点:二次函数的概念1.学生自主学习教材P28~P29问题1、问题2(约5分钟)2.观察思考与归纳(约5分钟)(1)观察y=6x2、d=n2-n、y=20(1+x)2这三个函数,它们有什么共同点?(2)你觉得这样的函数可以叫做什么函数?(3)在学生思考回答后,给出二次函数的定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a ≠0)的函数,叫做二次函数.其中,x是自变量,a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.(4)师生一起讨论二次函数有哪几种特殊形式.3.巩固强化与交流(约5分钟)(1)教材P29练习第1~2题.(2)出示例1:下列函数中,哪些是二次函数?哪些不是?①y=1-2x2②y=(x-2)(x+3)-x2③y=(a2+1)x2+bx④y=+-1⑤y=⑥y=()2+2-1解:①③是二次函数;其余都不是二次函数.4.合作与探究(约5分钟)(1)你对二次函数概念的理解有了哪些新的认识?(2)出示例2:已知函数y=(a+1)+(a-2)x.①当a为何值时,此函数为二次函数?②当a为何值时,此函数为一次函数?解:①a=1.②a=0或a=-1.5.课堂小结(约5分钟)(1)到目前为止,我们学习了哪些函数?这些函数之间有什么联系?(2)二次函数的一般表达式是怎样的?对a、b、c有什么条件限制?(3)谈谈你的收获和困惑.6.独立作业(10分钟)(1)必做题:习题22.1第1题.(2)选做题:习题22.1第2题.(3)备用题:当k为何值时,函数y=(k-1)+2kx-1①为二次函数;②为一次函数?22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质教学目标1.会用描点法画出二次函数y=ax2的图象,掌握二次函数y=ax2的性质.2.经历探索二次函数y=ax2的图象与性质的过程,能运用二次函数y=ax2的图象及性质解决简单的实际问题,掌握数形结合的数学思想方法.3.通过数学学习活动,体会数学与实际生活的联系,感受数学的实际意义,激发学习兴趣.教学重难点会画二次函数y=ax2的图象和理解相关概念是本节课的学习重点也是难点;对二次函数研究的途径和方法的体悟也是本节课的难点.教学过程与方法知识点一:函数y=ax2图象的画法1.情境导入(约3分钟)导语一:回忆一次函数的图象、反比例函数的图象特征,思考二次函数的图象又有何特征呢?导语二:展示(用课件或幻灯片)具有抛物线的实例图让大家欣赏,议一议这与二次函数有何联系,从而引入新课.导语三:用红色的乒乓球作投篮动作,观察乒乓球的运动路线,思考其运动路线有何特征.怎样用数学规律来描述呢?2.自主学习(约10分钟)(1)认真阅读教材P29~P30,并操作(填表与画图).(2)思考:利用描点法画函数图象有哪些步骤?在第一步“”时,自变量x的取值需要注意什么?你怎样体会关键词“列表”、“描点”、“连线”、“平滑”?3.交流体会(约5分钟)二次函数y=ax2的图象是什么?二次函数y=ax2+bx+c的图象叫什么?抛物线的对称轴、顶点坐标、最高点、最低点有什么含义?知识点二:y=ax2的图象与性质4.合作与探究(约10分钟)(1)画函数y=-x2,y=-x2,y=-2x2.(2)归纳与总结一般地,抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是(0,0) .当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点,a越大,抛物线的开口越小,在对称轴的左侧,y随x 的增大而减小,在对称轴的右侧,y随x的增大而增大.当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点,a越大,抛物线的开口越大,在对称轴的左侧,y随x 的增大而增大,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小.5.课堂小结(约3分钟)谈谈收获与困惑或发现.6.独立作业(约9分钟)(1)必做题:习题22.1第3、4题(2)备用题:①二次函数y=x2,y=-x2,y=x2的图象在同一平面直角坐标系中的共同点是( D )A.开口方向向上B.都是关于x轴对称的抛物线,且y随x的增大而增大C.都是关于y轴对称的抛物线,且y随x的增大而减小D.都是关于y轴对称的抛物线,有公共顶点②在同一平面直角坐标系中,同一水平线上开口最大的抛物线是( B )A.y=-x2B.y=-x2C.y=-x2D.y=-x222.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质第1课时二次函数y=ax2+k的图象和性质教学目标1.能解释二次函数y=ax2+k和y=ax2的图象的位置关系.2.掌握y=ax2上、下平移规律.3.体会图形的变化与图形上的点的坐标变化之间的关系,领悟y=ax2与y=ax2+k相互转化的过程.教学重难点重点:抛物线y=ax2+k的图象与性质.难点:理解抛物线y=ax2与y=ax2+k之间的位置关系.教学过程与方法知识点一:y=ax2+k的图象1.回顾与思考(5分钟)(1)回顾:抛物线y=x2和y=-x2的图象和性质及它们之间的关系.(2)思考:y=x2+1,y=x2-1的图象怎样?它们与y=x2之间又有怎样的关系呢?2.自主学习(15分)(1)参照教材P32例2的填表、描点.(2)讨论①抛物线y=x2+1,y=x2-1的开口方向、对称轴、顶点各是什么?②抛物线y=x2+1,y=x2-1与抛物线y=x2有什么位置关系?(3)归纳与交流①把抛物线y=x2向上平移 1 个单位,就得到抛物线y=x2+1,把抛物线y=x2向下平移 1 个单位,就得到抛物线y=x2-1.②一般情况:当k>0,把抛物线y=ax2向上平移k 个单位,可得y=ax2+k;当k<0时,把抛物线y=ax2向下平移|k|或-k 个单位,可得y=ax2+k.③y=ax2+k的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值分别是什么?解:a>0时,开口向上,对称轴是y轴,顶点(0,k),最小值为k.a<0时,开口向下,对称轴是y轴,顶点(0,k),最大值为k.知识点二:y=ax2+k的性质3.合作与探究(5分钟)(1)抛物线y=ax2+k与y=ax2的图象的异同点是什么?(2)抛物线y=ax2+k与y=ax2的增减性又是怎样?4.课堂小结(5分钟)1.二次函数y=ax2+k的图象和性质(包括开口方向、对称轴、顶点坐标).2.抛物线y=ax2+k与y=ax2之间的联系与区别(包括平移、开口、对称轴、顶点等).处理方法:可以让学生围绕这两个问题先小结,然后教师进行补充或强调.5.独立作业(15分钟)(1)必做题:P33练习.(2)选做题:习题22.1第5题(1).(3)备用题:①二次函数y=ax2+k的图象经过点A(1,-3),B(-2,-6),求这个二次函数的解析式.解:该二次函数的解析式为:y=-x2-2.②已知二次函数y=-2x2+3,当x取何值时,y随x的增大而增大;当x取何值时,y随x的增大而减小?解:当x<0时,y随x的增大而增大;当x>0时,y随x的增大而减小.③二次函数y=ax2+k(a,k为常数),当x取值x1、x2时(x1≠x2),函数值相等,则当x取x1+x2时,函数值为0 .④函数y=ax2-a与y=(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能为( A )第2课时二次函数y=a(x-h)2的图象和性质教学目标1.会用描点法画二次函数y=a(x-h)2的图象.2.理解抛物线y=a(x-h)2与y=ax2之间的位置关系.3.在图象的平移过程中,渗透变与不变的辩证思想.教学重难点重点:二次函数y=a(x-h)2的图象和性质.难点:把握抛物线y=ax2通过平移后得到y=a(x-h)2时平移的方向和距离.教学过程与方法1.师生互动,提出问题(3分钟)(1)抛物线y=-x2+3与y=-x2的位置有什么关系?(2)抛物线y=-x2+3的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么?2.探究新知(10分钟)知识点一:y=a(x-h)2的图象和性质(1)在同一坐标系中画出二次函数y=-x2、y=-(x+1)2、y=-(x-1)2的图象.①列表时怎样取值才能使抛物线具有对称性?②这三条抛物线的对称轴、顶点坐标分别是什么?③这三条抛物线能否经过相互的平移得到?怎样平移?3.交流探究:教材P34~P35(5分钟)4.归纳总结(5分钟)抛物线y=a(x-h)2与抛物线y=ax2的形状相同,只是位置不同,它可以由抛物线y=ax2平移得到:当h>0时,向右平移h个单位,当h<0时,向左平移|h|个单位,它的对称轴是直线x=h,顶点坐标为(h,0).知识点二:y=a(x-h)2的性质5.讨论(5分钟)(1)a>0,开口向上,当x= h 时,函数y有最小值= 0 ,在对称轴的左侧,y 随x的增大而减小,在对称轴的右侧,y随x的增大而增大.(2)a<0,开口向下,当x= h 时,函数y有最大值= 0 ,在对称轴的左侧,y 随x的增大而增大,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小.6.课堂练习(3分钟)(1)抛物线y=2(x+1)2可以由抛物线y=2x2向左平移1个单位得到.(2)抛物线y=-(x-4)2可以由抛物线y=-x2向右平移 4 个单位得到.(3)已知二次函数y=-(x-2)2,说出函数图象的对称轴和顶点及最值、增减性.解:二次函数y=-(x-2)2的对称轴为x=2,顶点为(2,0),有最大值0.当x<0时,y随x的增大而增大,当x>0时,y随x的增大而减小.7.课堂小结(3分钟)(1)抛物线y=a(x-h)2与y=ax2的关系.(2)抛物线y=a(x-h)2的对称轴、顶点.(3)平移规律:“左加右减”.(4)你还有哪些困惑和收获?8.独立作业(11分钟)(1)必做题:习题22.1第5题(2).(2)备用题:①已知抛物线y=a(x+h)2的顶点是(-3,0),它是由抛物线y=-4x2平移得到的,则a= -4 ,h= 3 .②把抛物线y=(x+1)2向右平移 4 个单位后得到抛物线y=(x-3)2.③把抛物线y=x2+mx+n向左平移4个单位,得到抛物线y=(x-1)2,则m= -10 ,n=25 .第3课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质教学目标1.会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2+k(a、h、k是常数,a≠0)的图象,掌握抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象之间的关系,熟练掌握函数y=a(x-h)2+k的有关性质,并能用函数y=a(x-h)2+k的性质解决一些实际问题.2.经历探索y=a(x-h)2+k的图象及性质的过程,体验y=a(x-h)2+k与y=ax2、y=ax2+k、y=a(x-h)2之间的转化过程,深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法.3.通过观察函数的图象,归纳函数的性质等活动,感受学习数学的价值.教学重难点重点:二次函数y=a(x+h)2+k的性质.难点:教材P36例4的解答需要选取合适的坐标系,有一定的难度,是本节教学的难点.教学过程与方法1.回顾与思考(3分钟)我们已经学习了形如y=ax2,y=ax2+k,y=a(x-h)2的函数,知道了它们可以经过互相平移得到.二次函数y=a(x-h)2+k又是一条怎样的抛物线呢?它与这三条抛物线之间有什么关系?知识点一:y=a(x-h)2+k的图象和性质2.合作与探究:教材P35例3(15分钟)(1)在同一坐标系内,画出二次函数y=-x2,y=-x2-1,y=-(x+1)2-1的图象.处理方法:师生一起完成列表,再由学生画出图象,如图.(2)指出y=-(x+1)2-1的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性.(3)y=-(x+1)2-1可以由y=-x2怎样平移而得到?(4)归纳:y=a(x-h)2+k的图象和性质及由y=ax2平移得到函数图象的规律.知识点二:y=a(x-h)2+k的实际运用3.解决问题,交流思想(16分钟)(1)读懂教材P36例4题意.(2)怎样建立平面直角坐标系?(3)怎样才能与二次函数联系起来?4.课堂练习:教材P37练习(3分钟)5.课堂小结(4分钟)(1)本节课我们学习了哪些内容?引导学生从以下几个方面去回顾:①二次函数y=a(x-h)2+k的性质;②抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的平移关系;③选取坐标系的方法.(2)谈一谈你的收获或困惑.6.独立作业(10分钟)(1)必做题:习题22.1第5题(3),第7题(1).(2)备用题:已知y=a(x-h)2+k是由抛物线y=-x2向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度得到的抛物线.①求出a、h、k的值;②在同一坐标系中,画出y=a(x-h)2+k与y=-x2的图象;③观察y=a(x-h)2+k的图象,当x取何值时,y随x的增大而增大;当x取何值时,y随x 的增大而减小,并求出函数的最值;④观察y=a(x-h)2+k的图象,你能说出对于一切x的值,函数y的取值范围吗?解:①a=-,h=1,k=2 ②图略③当x<1时,y随x的增大而增大;当x>1时,y随x 的增大而减小;当x=1时,函数有最大值2 ④对于一切x的值y≤2.22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质第1课时二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质教学目标1.会用描点法画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象;会用配方法将二次函数y=ax2+bx+c 的解析式写成y=a(x-h)2+k的形式;通过图象能熟练地掌握二次函数y=ax2+bx+c的性质.2.经历探索y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k的图象及性质紧密联系的过程,能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题,深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想.3.通过合作交流,激发学习数学的兴趣,感受数学的价值.教学重难点重点:用描点法画出二次函数的图象,并指出该图象的基本性质.难点:通过对二次函数y=ax2+bx+c上的一些点的分析得出关于a、b、c的不等式.教学过程与方法知识点:y=ax2+bx+c的图象和性质1.提出问题(3分钟)你能作出y=x2-6x+21的图象吗?2.自主学习:教材P37~P39(9分钟)3.交流方法(2分钟)4.归纳总结(4分钟)①一般地,我们可以用配方法求抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点与对称轴.y=ax2+bx+c=a(x+)2+,因此,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-,顶点坐标是(-,).②开口方向、最值、增减性怎样?5.课堂练习:P39练习(3分钟)6.课堂小结(5分钟)(1)求二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标通常有几种方法?配方时应注意什么?公式是怎样的?(2)指出y=ax2+bx+c的开口方向、顶点坐标.7.独立作业(15分钟)(1)必做题:习题22.1第6题(1)(3).(2)选做题:习题22.1第6题(2)(4).(3)备用题:①用配方法将二次函数y=x2-6x+21化成y=a(x-h)2+k的形式.解:y=(x-3)2+12②某学生推铅球,铅球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y=-x2+x+,则铅球落地的水平距离为 5 m.第2课时用待定系数法求二次函数的解析式教学目标1.能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式.2.经历探索由已知条件的特点,灵活选择二次函数三种形式的过程,明确正确选择二次函数设法能使计算简化和三种形式是可以互相转化的.3.通过亲自体验,感受学习数学的乐趣.教学重难点重点:用待定系数法求二次函数的解析式.难点:灵活选择合适的表达式设法,使求解达到简便、快捷的效果.教学过程与方法1.回顾与思考(3分钟)(1)二次函数有哪些形式?y=ax2,y=ax2+c,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k,y=ax2+bx+c,y=a(x-x1)(x-x2) (2)要求二次函数的解析式,你打算怎么办?知识点:用待定系数法求二次函数的解析式2.出示例题,学会合作解决(20分钟)2x …--1-0 1 …y …--2--2-0 …则该二次函数的解析式为y=x2+x-2 .【例2】已知二次函数图象的顶点是(1,-3),且经过点M(2,0),这个函数的解析式为y=3x2-6x .【例3】已知二次函数的图象如图所示,此抛物线的解析式为y=-x2+2x+3 .【例4】已知一抛物线与x轴的交点是A(-1,0),B(m,0),且经过第四象限的点C(1,n),而m+n=-1,mn=-12,此抛物线的解析式为y=x2-2x-3 .3.学生交流、归纳(5分钟)求解二次函数的解析式所设置的表达式:(1)一般式:y=ax2+bx+c.(2)顶点式:y=a(x-h)2+k.(3)交点式(两根式):y=a(x-x1)(x-x2).(4)y=ax2,y=ax2+c,y=a(x-h)2等特殊形式.4.课堂练习(5分钟)根据下列条件,求二次函数解析式.(1)抛物线经过(-1,11),(2,8)和(0,6)三点.(2)抛物线的顶点坐标为(3,-1),且经过点(2,3).(3)抛物线的对称轴为直线x=2,且经过点(1,4)和(5,0).(4)抛物线经过(-1,0),(3,0)和(0,2)三点.解:(1)y=2x2-3x+6(2)y=4(x-3)2-1(3)y=-(x-2)2+4(4)y=-(x+1)(x-3)5.质疑视导(2分钟)师生一起分析有哪些收获或困惑.6.拓展性练习(15分钟)(1)已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(3,-2),且与x轴两交点间的距离为4,则抛物线的解析式为y=(x-3)2-2 .已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于(1,0),试添加一个条件,使它的对称轴为直线x=2.小华说:过点(3,0);小彬说:过点(4,3),小明说:a=1,小颖说:抛物线被x轴截得的线段长为2,你认为四个人的说法中,正确的有( D )A.1个B.2个C.3个D.4个。
初三数学2.1《二次函数》学案
2.1 二次函数学习目标：1.探索并归纳二次函数的定义，能够表示简单变量之间的二次函数关系．2.让学生学习了二次函数的定义后，能够利用尝试求值的方法解决实际问题．3.把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用．学习重点：二次函数的定义，能够表示简单变量之间的二次函数关系学习难点：经历探索和表示二次函数关系的过程，利用二次函数解决实际问题一、学前准备1、把一个长4cm宽3cm的矩形的长和宽都增加xcm所得的新矩形的面积y(cm2)用x 表示为。
2、一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价格为y元，则y与x的函数关系式为。
二、探究活动1、认真阅读P43橙子数量与橙子树棵数问题，并尝试解答课本上的问题2、学生交流：(1)问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些是因变量?(2)假设果园增种；棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式．3、点拨对y=(600-5x)(100+x)的整理，为归纳二次函数定义做准备在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多?应用探究：1、认真阅读P44银行储蓄问题，并尝试回答课本上的问题2、学生交流：表达式3、点拨有关名词，本金．利息，本息时，如何计算利息：本金是存入银行时的资金，利息是银行根据利率和存的时间付给的“报酬”，本息和就是本金和利息的和，利息＝本金×利率×期数(时间得出二次函数定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数。
练习1：P44随堂1练习2、已知函数x m x m y m m )1()1(232-++=--（m 为常数）⑴m 为何值时，这个函数为二次函数？⑵m 为何值时，这个函数为一次函数?三．学习体会1．本节课你有哪些收获？你还有哪些疑问？2．预习时的疑问解决了吗？四．自我测试1、已知正方形边长是6，若边长增加x ，则面积增加y,求y 与x 的函数关系。
九年级《二次函数》全章教案
教学目标：1.了解二次函数的概念及特点。
2.掌握二次函数的图像、顶点、轴对称、零点等基本性质。
3.学会利用函数图像解决实际问题。
教学重点：1.理解二次函数的相关概念。
2.掌握二次函数图像的绘制方法。
3.能够运用二次函数解决实际问题。
教学难点：1.掌握二次函数的顶点和轴对称的概念及求解方法。
2.学会利用函数图像解决实际问题。
教学准备：1.教材《二次函数》的教学课件及习题。
2.计算器、直尺、笔记本等教学工具。
3.多媒体设备及相关教学资源。
教学过程：一、导入（10分钟）1.通过展示一副二次函数的图像和实际应用问题，引起学生兴趣。
2.复习一次函数的相关内容，引出二次函数的定义及特点。
二、概念讲解与示例演示（25分钟）1.讲解二次函数的定义，即形如f(x)=ax²+bx+c（a≠0）的函数。
2.介绍二次函数图像的最简形式，即顶点形式f(x)=a(x-h)²+k。
3.示例演示：给出一个二次函数式，通过变换得到最简形式，并通过求顶点等方式解决具体问题。
三、绘制二次函数图像（40分钟）1.讲解如何绘制二次函数图像的步骤，包括求顶点、确定轴对称、绘制图像等。
2.分组活动：将学生分成小组，每组选择一道习题，并利用求顶点和绘图方法解答。
3.展示小组成果，让每个小组派学生来展示解题过程和图像结果。
四、实际应用问题（30分钟）1.引导学生思考如何利用二次函数图像解决实际问题。
2.提供一些实际应用问题，如物体抛射问题、面积最大问题等，让学生结合所学知识进行求解。
3.组织学生进行小组合作讨论，并将解题思路和结果展示给全班。
五、拓展与总结（15分钟）1.通过讨论、展示和总结，让学生理解二次函数的基本性质和应用方法。
2.布置课后作业，要求学生进一步巩固所学知识，并解决一些拓展问题，如不等式问题、复合函数问题等。
3.回顾本节课的主要内容和思路，澄清学生对二次函数的理解和掌握程度。
教学反思：通过本节课的教学，学生对二次函数的定义和特点有了更深入的了解。
(九年级数学教案)二次函数的学案
二次函数的学案九年级数学教案教材分析“二次函数”是在对一次函数和反比例函数的基础上,知识深度的进一步扩展。
激起学生思维的火花,揭示现实生活中的函数体系,并从本质上理解函数在实际中的应用。
学情分析学生对函数已有初步的了解,掌握了一次函数和反比例函数的简单运用。
但对九年级学生来讲,函数显得比较抽象,难以理解。
☆教学目标1、认知目标:理解二次函数定义,并能判断是不是二次函数。
2、能力目标:⑴能够根据实际问题,熟练地列出二次函数关系式。
⑵并求出函数的自变量的取值范围。
3、情感与思想目标:注重学生参与,联系实际,丰富学生的感性认识,培养学生的良好的学习习惯。
☆教学重点和难点重点:能够根据实际问题,熟练地列出二次函数关系式。
难点:求出函数的自变量的取值范围。
教学过程教学环节教师活动预设学生行为设计意图●一、复习铺垫1、复习提问一次函数的定义,举例。
学生回顾思考回答问题并小结复习旧知引入概念●二、创设情境问题导入悬念1:1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm,先取x的一些值,算出矩形的另一边BC的长,进而得出矩形的面积ym2.试将计算结果填写在下表的空格中,AB长x(m)123456789BC长(m) 12面积y(m2) 482.x的值是否可以任意取?有限定范围吗?3.我们发现,当AB的长(x)确定后,矩形的面积(y)也随之确定, y是x的函数,试写出这个函数的关系式,对于3,教师可提出问题,(1)当AB=xm时,BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20-2x)(0 <x <10)就是所求的函数关系式.激发学生的学习兴趣三、新知探讨(一) 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售,一天可。
2017秋北京课改版数学九上19.1《二次函数》word导学案.doc
2017秋北京课改版数学九上19.1《二次函数》word导学案119.1二次函数预习案一、预习目标及范围1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。
2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。
3、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。
4．预习课本38-39页内容二次函数内容。
预习要点我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,C 是常数，a≠0)的函数叫做称a 为， b 为，c 为预习检测1.下列函数中,哪些是二次函数？(1）y=3(x-1)²+1 (3) s=3-2t 2 (5)y=(x+3)²-x²(6) v=10πr²探究案一、合作探究1、探索1、列出下列函数的表达式：(1)圆的面积A 是它的半径r 的函数；(2)如图19-1，利用成直角的墙角，用20m 长的栅栏围成一个矩形的小花园，花园的面积S(m2)是它一边长a(m)的函数；(3)如图19-2，正方形中圆的半径是4cm ，红色部分的面积Q(cm2)是正方形的边长x(cm)的函数；x x y -=21)4(xx y 1)2(+=(4)某种药品现价每盒26元，计划两年内每年的降价率都为p，那么两年后这种药品每盒的价格M(元)是年降价率p的函数。
解：2、观察所列出的表达式，它们有什么共同的特点？这些表达式可以用怎样的式子来概括？如果我们用x表示自变量，y表示因变量，这些函数的表达式都可以分别写为：所以它们的表达式都可以表示为的形式总结二次函数的定义：提问：1．上述概念中的a为什么不能是0？2. 对于二次函数y=ax2+bx+c中的b和c可否为0？若b和c各自为0或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样？你认为它们还是不是二次函数？思考：2. 二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次方程ax２＋bx＋c＝0（a≠0）有什么联系和区别？例、已知：如图，一个边长为8cm的正方形，把它的边长延长xcm后得到一个新的正方形。
26.1 二次函数的概念
长春市第五十二中赫行实验校九年级（上）数学学案命题人：邵波 审题人：范贵志 时间： 2017 .926.1二次函数的概念【学习目标】1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式.2.能判断一个给定的函数是否为二次函数,会利用二次函数的概念分析解题.3.会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围. 【教学重、难点】1．重点：理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数表达式. 2．难点：理解二次函数的概念.【学习过程】一.复习：一次函数的概念 二.合作学习，探索新知:请用适当的函数关系式表示下列问题中的两个变量y 与x 之间的关系：1. 面积y(cm 2)与圆的半径 x(cm).2. 一个长方形的长是宽的2倍，写出这个长方形的面积y 与宽x 之间的函数关系式．3. 在边长为4的正方形中间挖去一个长为x 的小正方形, 剩下的四方框形的面积为y , 则y 与x 间的函数关系式.4.用100cm 长的铁丝围成一个扇形，试写出扇形面积y （cm 2）与半径x （cm ）的函数关系式.. 知识点：一般地，形如_________________________________的函数，叫做二次函数.其中x 是________， a 是_______________，b 是________________，c 是_____________． 三.典型例题：例1. 下列函数中，哪些是二次函数？(1)2x y = (2) 21xy -= (3) 122--=x x y （4）)1(x x y -=（5）)1)(1()1(2-+--=x x x y (6) y=c bx ax ++2练习.分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）12+=x y （2）12732-+=x x y （3）)1(2x x y -=例2.若()mm x m m y -+=22是二次函数，求m 的值.练习．函数y ＝(m －2)x 2＋mx －3（m 为常数）．（1）当m__________时，该函数为二次函数； （2）当m__________时，该函数为一次函数．例3. 已知y 与x 2成正比例，并且当x ＝－1时，y ＝－3．求：（1）函数y 与x 的函数关系式；（2）当x ＝4时，y 的值； （3）当y ＝－13 时，x 的值．例4．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．四.课堂训练： 1．y ＝(m ＋1)xmm -2－3x ＋1是二次函数，则m 的值为_________________．2．下列函数中是二次函数的是（ ） A ．y ＝x ＋12B ． y ＝3 (x －1)2C ．y ＝(x ＋1)2－x 2D ．y ＝1x2 －x3．在一定条件下，若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为 s ＝5t 2＋2t ，则当t ＝4秒时，该物体所经过的路程为（ ） A ．28米B ．48米C ．68米D ．88米4．n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________．26.1二次函数的概念课后作业班级：__________ 姓名：___________ 日期：____________ 分数：___________ 1．若函数y ＝(a －1)x 2＋2x ＋a 2－1是二次函数，则（ ） A ．a ＝1B ．a ＝±1C ．a ≠1D ．a ≠－12．下列函数中,不是二次函数的是( )2 B.y=2(x-1)2+4; C.y=12(x-1)(x+4) D.y=(x-2)2-x 23.已知函数y=(k-2)24k k x +-是关于x 的二次函数,则k=________.4.下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各对应项的系数． （1）y ＝1－3x 2（2）y ＝3x 2＋2x（3）y ＝x (x －5)＋2（4）y ＝3x 3＋2x 2 （5）y ＝x ＋1x5．已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋3．当x ＝2时，y ＝3，求 这个二次函数解析式．6.一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s （米）与时间t （秒）的数据如下表：写出用t 表示s 的函数关系式.7. 富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平面图是一排大小相等的长方形。
2017年秋学期人教版九年级数学上册22.1.1二次函数的概念(教案)
4.二次函数的增减性：当a>0时，函数在顶点左侧递减，在顶点右侧递增；当a<0时，函数在顶点左侧递增，在顶点右侧递减。
本节课将围绕以上内容展开教学，结合实际案例，帮助学生深入理解和掌握二次函数的概念及其相关性质。
五、教学反思
今天我们在课堂上探讨了二次函数的概念，整个过程下来，我觉得有几个地方值得反思。首先，我发现同学们对二次函数定义中的a≠0这个条件理解得不够透彻，这是判断一个函数是否为二次函数的关键。在今后的教学中，我需要更加注重这一点的讲解和强调。
其次，关于二次函数图像的顶点式与标准式的互化，明显感觉到这是一个难点。虽然我通过例题和图示进行了解释，但仍有部分同学表示理解起来有些困难。我想，下次可以尝试用更多
此外，课堂上的实践活动和小组讨论环节，总体来说效果还是不错的。同学们积极参与，提出了很多有创意的想法。但在引导讨论的过程中，我发现有些同学可能因为害羞或者不自信而不敢发言。针对这个问题，我打算在以后的课堂上多鼓励大家，创造一个轻松愉快的氛围，让每个同学都有机会表达自己的观点。
还有一个值得注意的地方是，在新课导入时，我提到了二次函数在日常生活中的应用，但感觉这个话题没有引起大家足够的兴趣。可能是因为我举的例子不够贴近他们的生活。在以后的教学中，我需要寻找更多与同学们生活息息相关的事例，激发他们的学习兴趣。
5.培养学生数学抽象素养，理解二次函数的顶点式与标准式之间的转换，提高数学表达与交流能力。通过本节课的学习，使学生形成完整的知识结构，为后续学习打下坚实基础。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-二次函数的定义：强调a≠0的条件，使学生理解这是判断二次函数的关键。
九年级数学二次函数复习导学案.doc
精品文档九年级数学二次函数复习导学案一、中考要求：1．理解二次函数的概念；2．会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；22 3．会平移二次函数y＝ ax(a ≠ 0) 的图象得到二次函数y＝ a(x-h)＋k的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想；4．会用待定系数法求二次函数的解析式；5. 利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。
二、知识要点：1.二次函数的图象22+)成y=a(x+图象时通常先通过配方配在画二次函数y=ax ≠ +bx+c(a0) 的的形式 , 先确定顶点 (,),然后对称找点列表并画图, 或直接代用顶点公式来求得顶点坐标.2.理解二次函数的性质抛物线的开口方向由 a 的符号来确定, 当 a>0 时 , 在对称轴左侧y 随 x 的增大而;时,y 时y最最大值小值在对称轴的右侧,y 随 x 的增大而;简记左减右增,这时当x==;反之当a<?0时,简记左增右减,当x==.3.待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法(1)一般地 , 在所给的三个条件是任意三点 ( 或任意三对 x,y? 的值 )? 可设解析式为2 +bx+c, 然后组成三元一次方程组来求解 ;y=ax 2+k，顶点是（ h， (2) 在所给条件中已知顶点坐标或对称轴或最大值时, 可设解析式为y=a(x-h)k ） ;(3) 在所给条件中已知抛物线与x?轴两交点坐标或已知抛物线与x 轴一交点坐标和对称轴, 则可设解析式为 y=a(x-x)(x-x) 来求解 . 214.二次函数与一元二次方程的关系22+bx+c=0,即时抛物线便转化为一元二次方程axy=ax +bx+c 当 y=0 抛物线2+bx+c=0有两个不相等实根 ax;当抛物线与x 轴有两个交点时, 方程 (1) 22+bx+c=0 有两个相等实根 ax; x 轴有一个交点 , 当抛物线(2)y=ax 方程 +bx+c 与22+bx+c=0 无实根 . 轴无交点 ,? 方程）当抛物线（ 3y=axax+bx+c 与 x 2+bx+c 中 a、 b、 y=ax5. 抛物线 c 符号的确定（1） a 的符号由抛物线开口方向决定, 当 a>0 时 , 抛物线开口当 a<0 时 ,? 抛物线开口;（2） c 的符号由抛物线与y 轴交点的纵坐标决定 . 当 c 0 时 , 抛物线交 y 轴于正半轴 ;当 c 0时,抛物线交y 轴于负半轴 ;（3） b 的符号由对称轴来决定. 当对称轴在y?轴左侧时 ,b 的符号与 a 的符号相同 ; 当对称轴在 y轴右侧时 ,b 的符号与 a 的符号相反 ;? 简记左同右异 .三、典例剖析：c2），（的图像如图，则点二次函数 1 例 1（） y=ax+bx+cMb ）在（ a 精品文档．精品文档A．第一象限B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2+bx+c（a≠02）已知二次函数y=ax ）的图象如图所示，（ ? 则下列结论：① a、 b 同号；②当 x=1 和 x=3 时，函数值相等；③ 4a+b=0；④当 y=-2 时， x 的值只能取0. 其中正确的个数是（）A ． 1 个B ． 2 个C．3个D ． 4 个例 2(1) 若二次函数 y =（ m + 1） x + m – 2m – 3 的图象经过原点，则m的值必为（）2 2A ．– 1 和 3 B. – 1 C.3 D. 无法确定2a9x a 2)y x (已知抛物线的顶点在坐标轴上，求的值．(2)2b ax 2axy x0)，B( 10a轴y轴的一个交点为）与（例 3 如图，已知抛物线，与．的负半轴交于点 C，顶点为 D x 的坐标；轴的另一个交点 A ）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与（ 1 ．AD 为直径的圆经过点C（ 2）以①求抛物线的解析式；EFA，， B， FE 四点为顶点的四在抛物线上，②点在抛物线的对称轴上，点且以 F 为平行四边形，求点的坐标．边形yBxOACD四、随堂练习：224xm (m 1)x 2y 时，函数的图象是直线；．当 1. 已知函数 m函数的图象是开口向上且经过时，当m 当 m 时，函数的图象是抛物线；原点的抛物线．2 ）a≠ 0）的图象，下列叙述正确的是（ 2.对于y = ax （越大开口越小， B.aa 越小开口越大 A.a 越大开口越大， a 越小开口越小D.| a |越大开口越大，越小开口越小| a | C.| a |越大开口越小，| a |越小开口越大1122x xy y 12x 向平移抛物线 3. 个单位，再向可由抛物线平22移个单位而得到．2y=(m -1)x+2mx+2m -1m=_______. 的图象的最低点的纵坐标为零，则 4. 若抛物线精品文档．精品文档2y a(x 1) b有最小值–1，则 a 与 5.已知二次函数 b 之间的大小关系是（）A ． a＜ bB ． a=b C． a＞ b D ．不能确定520 x 52x 3，-1的两根是 6.已知方程，则二次函数y223xx 5y 2与x轴的两个交点间的距离为．E F DC3xC（ 1，，平行于） 2， 0）、 B（ 6， 0）、7.抛物线过点 A（x AB O为直径的圆交，以ABCD轴的直线交抛物线于点C、D）F，则CE+FD的值是（直线 CD 于点 E 、5D． 6C ．A2 B ． 4．12x y 1 在抛物线PP8.如图，已知⊙的半径为2，圆心 2 运动，当⊙ P 与坐标轴相切时，圆心P 的坐标为21x ax 3y ax a的值及交点坐标．的图象与x9.函数轴有且只有一个交点，求2, 象 y 的图 2x BA 或点是以点、向右平移 2 个单位，得到抛物线＝10.（1）将抛物线y21则= 2 轴， y＝ t 平行于）如图，P 是抛物线y 对称轴上的一个动点，直线B．若△ ABP 分别与直线y＝ x 、抛物线y 交于点 A 2。
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九年级数学学案
用待定系数法求二次函数解析式
学习目标
1、通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究,掌握求解析式的方法。
2、能灵活的根据条件恰当地选取选择解析式，体会二次函数解析式之间的转化。
3、从学习过程中体会学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣。
教学过程
一、合作交流例题精析
1、一般地，形如y＝ax2＋bx＋c (a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数，所以，我们把________________________叫做二次函数的一般式。
例1已知二次函数的图象过(1，0)，(－1，－4)和(0，－3)三点，求这个二次函数解析式。
小结：此题是典型的根据三点坐标求其解析式，关键是：（1）熟悉待定系数法；（2）点在函数图象上时，点的坐标满足此函数的解析式；（3）会解简单的三元一次方程组。
2、二次函数y＝ax2＋bx＋c用配方法可化成：y＝a(x＋h)2＋k，顶点是(－h，k)。
配方:y＝ax2＋bx＋c＝__________________＝___________________＝
__________________＝a(x＋
b
2a
)2＋
4ac－b2
4a。
对称轴是x＝－
b
2a
，顶点坐标是(－
b
2a
，
4ac－b2
4a ), h＝－
b
2a
，k=
4ac－b2
4a
, 所以，我们把_____________叫做二次函数的顶点式。
例2已知二次函数的图象经过原点，且当x＝1时，y有最小值－1，求这个二次函数的解析式。
小结：此题利用顶点式求解较易，用一般式也可以求出，但仍要利用顶点坐标公式。
请大家试一试，比较它们的优劣。
3、一般地，函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2＋bx＋c＝0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2＋bx＋c＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。
所以，已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可选用二次函数的交点式：y＝a(x－x
1
)(x－x
2
)，
其中x
1
，x
2
为两交点的横坐标。
例3已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别是x
1
=－3，x
2
=1，且与y轴交点为(0，－3)，求这个二次函数解析式。
想一想:还有其它方法吗?
二、应用迁移巩固提高
1、根据下列条件求二次函数解析式
（1）已知一个二次函数的图象经过了点A（0，－1），B（1，0），C（－1，2）；
（2）已知抛物线顶点P(－1，－8)，且过点A(0，－6)；
（3）二次函数图象经过点A（－1，0），B（3，0），C（4，10）；
（4）已知二次函数的图象经过点（4，－3），并且当x=3时有最大值4；
（5）已知二次函数的图象经过一次函数y＝－—x+3的图象与x轴、y轴的交点，且过(1，1)；
（6）已知抛物线顶点（1，16），且抛物线与x轴的两交点间的距离为8；
2、如图所示，已知抛物线的对称轴是直线x=3，它与x轴交于A、B两点，与y 轴交于C点，点A、C的坐标分别是（8，0）（0，4），求这个抛物线的解析式。
三、总结反思突破重点
1、二次函数解析式常用的有三种形式：
（1）一般式：_______________ (a≠0)
（2）顶点式：_______________ (a≠0)
（3）交点式：_______________ (a≠0)
2、本节课是用待定系数法求函数解析式，应注意根据不同的条件选择合适的解析式形式，要让学生熟练掌握配方法，并由此确定二次函数的顶点、对称轴，并能结合图象分析二次函数的有关性质。
（1）当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y＝ax2＋bx＋c形式。
（2）当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式y＝a(x－h)2＋k形式。
（3）当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设
为两根式y＝a(x－x
1)(x－x
2
)。
四、布置作业拓展升华
1、已知二次函数的图象经过(0，0)，(1，2)，(-1，-4)三点，那么这个二次函数
的解析式是_______________。
2、已知二次函数的图象顶点是（-1，2），且经过（1，-3），那么这个二次函数
的解析式是_______________。
3、已知二次函数y＝x2＋px＋q的图象的顶点是(5，－2)，那么这个二次函数解析
式是_______________。
4、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(0，－5)，B(5，0)两点，它的对称轴
为直线x＝2，那么这个二次函数的解析式是_______________。
5、已知二次函数图象与x轴交点（2,0）(-1,0)与y轴交点是（0，-1），那么这
个二次函数的解析式是_______________。
6、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，它们的横坐标为-1和3，与y
轴的交点C的纵坐标为3，那么这个二次函数的解析式是_______________。
7、已知直线y=x-3与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图象经过A、
B两点，且对称轴方程为x=1，那么这个二次函数的解析式是_______________。
8、已知一抛物线与x轴的交点是A（-2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8），那
么这个二次函数的解析式是_______________。
9、在平面直角坐标系中， AOB的位置如图所示，已知∠AOB＝90°，AO＝BO，点
A的坐标为（－3,1）。
（1）求点B的坐标。
（2）求过A，O，B三点的抛物线的解析式；
（3）设点B关于抛物线的对称轴的对称点为B
1
，求ΔAB
1
B的面积。
3
2。