江苏省常州市武进区2018届高三数学上学期期中试卷文含解析

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2021届江苏省常州市2018级高三上学期11月期中考试数学试卷及答案

2021届江苏省常州市2018级高三上学期11月期中考试数学试卷★祝考试顺利★（含答案）注意事项:1. 本试卷共150分,考试时间120分钟.2. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1. 已知集合A ={-2,-1,0,1,2},B ={y |y =x 2},则A ∩(∁R B )等于 ( )A. {-2,-1}B. {-2,-1,0}C. {0,1,2}D. {1,2}2. 已知i 是虚数单位,则复数1+√3i -i 等于 ( ) A. -√3-iB. -√3+iC. √3-iD. √3+i3. tan15°等于( ) A. -√3-1B. 2-√3C. √3+1D. 2+√34. 函数y =sin2x 的图象可由函数y =cos (2x +π6)的图象( ) A. 向左平移π12个单位长度得到B. 向右平移π6个单位长度得到C. 向左平移π4个单位长度得到D. 向右平移π3个单位长度得到5. 已知函数f (x )=x 2+a ln x ,a >0.若曲线y =f (x )在点(1,1)处的切线是曲线y =f (x )的所有切线中斜率最小的,则a 等于( )A. 12B. 1C. √2D. 26.某校全体学生参加物理实验、化学实验两项操作比赛,所有学生都成功完成了至少一项实验,其中成功完成物理实验的学生占62%,成功完成化学实验的学生占56%,则既成功完成物理实验又成功完成化学实验的学生占该校学生的比例是()A. 44%B. 38%C. 18%D. 6%7.声强是表示声波强度的物理量,记作I.由于声强I的变化范围非常大,为方便起见,引入声强级的概念,规定声强级L=lg II0,其中I0=10-20W/m2,声强级的单位是贝尔,110贝尔又称为1分贝.生活在30分贝左右的安静环境有利于人的睡眠,而长期生活在90分贝以上的噪音环境中会严重影响人的健康.根据所给信息,可得90分贝声强级的声强是30分贝声强级的声强的()A. 3倍B. 103倍C. 106倍D. 109倍8.已知奇函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且f(1)=-1,则“x>-1”是“|xf(x)|<1”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分, 共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.已知a>b>0,c∈R,则下列不等式中正确的有()A. a2>b2B. ac2≥bc2C. 1a >1bD. 1a-b>1a+b10. i是虚数单位,下列说法中正确的有()A. 若复数z满足z·z=0,则z=0B. 若复数z1,z2满足|z1+z2|=|z1-z2|,则z1z2=0。

江苏省常州市武进区高三数学上学期期中考试试题理苏教版

武进区2014届第一学期期中考试高三理科数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1. 已知集合{}24A x x =<，{}0,1,2B =，则A B =I ▲ ．2．若点(,9)a 在函数3xy =的图像上，则6tanπa 的值为 ▲ ． 3．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若34a =，则5S 的值为 ▲ ．4．已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线，则实数k = ▲ ． 5、将函数)63cos(2)(π+=x x f 的图象向左平移4π个单位，再向下平移1个单位，得到函数)(x g 的图象，则)(x g 的解析式为 ▲ ．6．已知ABC ∆中，AB =1BC =，30A =︒，则AC = ▲ ． 7．若实数x 、y 满足()222x y x y +=+，则x y +的最大值是 ▲ ．8．已知b a ,是非零向量且满足a b a ⊥-)(2，b a b ⊥-)(2，则与的夹角是 ▲ ．9. 定义在R 上的函数()f x ，其导函数()'fx 满足()'1f x >，且()23f =，则关于x 的不等式()1f x x <+的解集为 ▲ ．10．若关于x ，y 的不等式组10,10,10x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（a 为常数）所表示的平面区域的面积等于3，则a 的值为 ▲ ．11．定义在R 上的函数()f x 满足:()()21f x f x +⋅=，当[)2,0x ∈-时，2013.11()()2log 3f x x =-+，则()2013f = ▲ ．12．已知正项等比数列{}n a 满足：6542a a a =+，若存在两项m a ，n a12a =，则14m n+的最小值为 ▲ ．13．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，()2,0A ，()0,1B ，则点集{},1,,P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈u u u r u u u r u u u r所表示的平面区域的面积是 ▲ ．14．任给实数a ，b 定义,0,0ab ab a b a ab b≥⎧⎪⊕=⎨<⎪⎩，设函数()ln f x x x =⊕，若{}n a 是公比大于0的等比数列，且41a =， ()()()12612f a f a f a a +++=L ，则1a = ▲ ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0)2ωϕπ><<的部分图象如下图所示，该图象与y 轴交于点F ，与x 轴交于点,B C ，M 为最高点，且MBC ∆的面积为π．⑴ 求函数()f x 的解析式；⑵若()(0,)42f ααππ-=∈，求cos(2)4απ+的值．已知A B 、分别在射线CM CN 、（不含端点C ）上运动，23MCN ∠=π，在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ．⑴ 若a 、b 、c 依次成等差数列，且公差为2．求c 的值；⑵若c =ABC ∠=θ，试用θ表示ABC ∆的周长，并求周长的最大值．17.（本小题满分14分）已知函数32()4f x x ax =-+-（a ∈R ）.上的最小值；⑵ 若存在),0(0+∞∈x ，使0)(0>x f ，求a 的取值范围．AB M N某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x 万元时，销售量P 万件满足123+-=x P (其中0x a ≤≤，a 为正常数). 现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品P 万件还需投入成本()102P +万元（不含促销费用），产品的销售价格定为204P ⎛⎫+⎪⎝⎭万元/万件. ⑴ 将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数； ⑵ 促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大.19．（本题满分16分）各项均为正数的等比数列{}n a ，11a =，2416a a =，单调增数列{}n b 的前n 项和为n S ，12b =，且()2*632n n n S b b n N =++∈． ⑴ 求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； ⑵ 令()*nn nb c n N a =∈，求使得1n c >的所有n 的值，并说明理由； ⑶ 证明{}n a 中任意三项不可能构成等差数列．20．(本小题满分16分)已知函数()3xf x e a =+（ 2.71828e =…是自然对数的底数）的最小值为3． ⑴ 求实数a 的值；⑵ 已知b R ∈且0x <，试解关于x 的不等式()22ln ln3(21)3f x x b x b -<+--；⑶ 已知m Z ∈且1m >.若存在实数[1,)t ∈-+∞，使得对任意的[1,]x m ∈，都有()3f x t ex +≤，试求m 的最大值．2014届第一学期期中考试高三理科数学试题答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1、{}0,12、33、204、1-5、1)43cos(2)(-+=πx x g6、1或27、48、3π9、(),2-∞ 10、 5 11、12 12、9413、4 14、2e二、解答题：（本大题共6道题，计90分．） 15．（本题满分14分）解：（1）∵122MBC S BC BC ∆=⨯⨯==π， ∴周期2,1T ωω2π=π==．……………………………………3分由(0)2sin f ϕ==，得sin ϕ=， ∵02ϕπ<<，∴4ϕπ=，……………………………………6分 ∴()2sin()4f x x π=+．……………………………………7分（2）由()2sin 4f ααπ-==sin α=9分∵(0,)2απ∈，∴cos α==，.∴234cos 22cos 1,sin 22sin cos 55ααααα=-===…………………………12分∴cos(2)cos 2cos sin 244αααππ+=-3455=-=．………14分 16．（本题满分14分）解：（1）Q a 、b 、c 成等差，且公差为2，∴4a c =-、2b c =-.……………………………………2分2013.11又Q 23MCN ∠=π，1cos 2C =-，∴222122a b c ab +-=-，………………4分∴()()()()2224212422c c c c c -+--=---，恒等变形得 29140c c -+=，解得7c =或2c = (6)分又Q 4c >，∴7c =. ………………………………………7分（2）在ABC ∆中，sin sin sin AC BC ABABC BAC ACB==∠∠∠，∴2sin sin sin 33ACBC ===πθ⎛⎫-θ ⎪⎝⎭，2sin AC =θ，2sin 3BC π⎛⎫=-θ ⎪⎝⎭. (9)分∴ABC ∆的周长()f θAC BC AB =++2sin 2sin 3π⎛⎫=θ+-θ+ ⎪⎝⎭12sin 2⎛⎫=θ+θ ⎪ ⎪⎝⎭2sin 3π⎛⎫=θ++ ⎪⎝⎭11分又Q 0,3π⎛⎫θ∈ ⎪⎝⎭，∴2333πππθ<+<， …………………………………12分∴当32ππθ+=即6πθ=时，()f θ取得最大值2．……………………14分17.（本小题满分14分）解：（1）.23)(2ax x x f +-=' …………………………. ……………1分根据题意，(1)tan1,321, 2.4f a a π'==∴-+==即 …………………3分此时，32()24f x x x =-+-，则2()34f x x x '=-+.令124'()00,.3f x x x ===，得…………………………………………………………………………………………. 6分∴当[]1,1x ∈-时，()f x 最小值为()04f =-. ………………………7分（2）).32(3)(a x x x f --='Θ ①若0,0,()0,()(0,)a x f x f x '><∴+∞≤当时在上单调递减. 又(0)4,0,() 4.f x f x =-><-则当时000,0,()0.a x f x ∴>>当≤时不存在使…………………………………………..10分②若220,0,()0;,()0.33a aa x f x x f x ''><<>><则当时当时从而)(x f 在（0，23a）上单调递增，在（23a ，+)∞上单调递减. .4274494278)32()(,),0(333max-=-+-==+∞∈∴a a a a f x f x 时当根据题意，33440,27. 3.27a a a ->>∴>即 …………….............................. 13分综上，a 的取值范围是(3,)+∞.……………………………………14分 18．（本题满分16分）解：（1）由题意知，该产品售价为)210(2PP+⨯万元，……………2分x P P PPy ---⨯+⨯=210)210(2，……………………………………4分代入化简得 416()1y x x =-++，（0x a ≤≤）……………………………………6分（2）13)1(14217)114(17=+⨯+-≤+++-=x x x x y 当且仅当1,114=+=+x x x 即时，上式取等号. …………………………………9分当1a ≥时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大； (11)分当1a <时，()()()'21301x x y x --⋅+=>+，故)114(17+++-=x x y 在[]0,a 上单调递增，所以在x =a 时，函数有最大值.促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大 .……………………15分综上述，当1a ≥时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；当1a <时，促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大 . ……………………………………16分19．（本题满分16分）解：（1）∵2a 4a =244116a q q ==，2q =4，∵0n a >，∴q =2， ∴12-=n n a ……………………………………2分 ∴b 3=4a ＝8. ∵263n n n S b b =++2 ① 当n ≥2时，211163n n n S b b ---=++2 ②①-②得2211633n n n n n b b b b b --=-+-即111()()3()n n n n n n b b b b b b ---+-=+12b =Q ，单调增数列{}n b ，0n b ∴>，∴1n n b b --=3，∴}{n b 是公差为3的等差数列．…………………………4分由12b =得，()1131n b b n d n =+-=-． …………………………6分（2）∵31n b n =-，∴n n n b c a =＝1312n n --， ∴1c =2>1，2c =52＞1，3c =2>1，4118c =>1，578c =<1，…………………………8分下面证明当n ≥5时，1n c <．事实上，当n ≥5时，11323122n n nn n n c c +-+--=-＝432n n-＜0 即1n n c c +<，∵578c =<1 ∴当n ≥5时，1<n C ，…………………………10分故满足条件1n c >的所有n 的值为1，2，3，4．…………………………11分(3)假设}{n a 中存在三项p ，q ，r (p <q <r ，p ，q ，R ∈N *)使a p ， a q ， a r 构成等差数列， ∴ 2a q =a p +a r ，即2g 2q —1=2p —1+2r —1．∴2q —p +1=1+2r —p．…………………………13分因左边为偶数，右边为奇数，矛盾．∴假设不成立，故不存在任意三项能构成等差数列．…………………………16分 20．(本小题满分16分)解：（1）因为R x ∈，所以0x ≥，故0()3e 3e 3xf x a a a =+≥+=+，因为函数()f x 的最小值为3，所以0a =． ………………3分（2）由（1）得，()3e xf x =.当0x <时，ln ()ln(3e )ln3ln e ln3ln3x xf x x x ==+=+=-+，……… 5分故不等式22ln ()ln 3(21)3f x x b x b -<+--可化为：22(21)3x x b x b -<+--，即22230x bx b +->， ……………… 7分得(3)()0x b x b +->，所以，当0b ≥时，不等式的解为3x b <-；当0b <时，不等式的解为x b <．……… 9分（3）∵当[1,)t ∈-+∞且[1,]x m ∈时，0x t +≥，∴()3e 1ln x tf x t x eex t x x ++≤⇔≤⇔≤+-.∴原命题等价转化为:存在实数[1,)t ∈-+∞，使得不等式1ln t x x ≤+-对任意[1,]x m ∈恒成立. …………… 11分令()1ln (0)h x x x x =+->.∵011)('≤-=xx h ，∴函数()h x 在(0,)+∞为减函数. 又∵[1,]x m ∈，∴m m m h x h -+==ln 1)()(min . …………… 13分 ∴要使得对[1,]x m ∈，t 值恒存在，只须1ln 1m m +-≥-．………… 14分 ∵131(3)ln 32ln()ln 1h e e e=-=⋅>=-，2141(4)ln 43ln()ln 1h e e e=-=⋅<=-且函数()h x 在(0,)+∞为减函数，∴满足条件的最大整数m 的值为3．…… 16分。

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武进区2014届第一学期期中考试高三文科数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．已知集合{}},12,3,1{,,32--==m B m A 若B A ⊆，则实数m 的值为 ▲ ． 2．函数()2cos f x x =的最小正周期是 ▲ ．3．已知两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ，则a = ▲ ． 4．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若43a =，则7S 的值为 ▲ ． 5．已知向量()1,3a =，()2,1b =-，()3,2c =.若向量c 与向量a kb +共线，则实数k = ▲ ．6．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题： ① 若//αβ，则l m ⊥； ② 若αβ⊥，则//l m ； ③ 若//l m ，则αβ⊥； ④ 若l m ⊥，则//αβ.其中正确命题的序号是 ▲ ．（把所有正确的命题序号都填上） 7．定义在R 上的函数()f x 满足:()()23f x f x +⋅=，且()12f -=，则()2013f ＝ ▲ ．8．若实数x ，y 满足22(2)1x y -+=，则z x y =+的最大值是 ▲ ．9．在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅= ▲ ． 10．已知函数()sin 2f x x =，其中π[,]6x a ∈-．若()f x的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则a 的取值范围是 ▲ ．11．如图，在正三棱锥A －BCD 中，底面正三角形BCD 的边长为2，点E 是AB 的中点，AC ⊥DE ，则正三棱锥A －BCD2013.11的体积是 ▲ ．12．已知点P 的坐标4(,)1x y x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩满足，过点P 的直线l 与圆22:16C x y +=相交于A 、B 两点，则AB 的最小值为．13. 定义域为R 的函数()2log 2,21,2x x f x x ⎧-≠=⎨=⎩，若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=恰有5个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，则(1)f b c +-等于 ▲ ．14．曲线C ：)0,0(||>>-=b a ax by 与y 轴的交点关于原点的对称点称为“望点”，以“望点”为圆心，凡是与曲线C 有公共点的圆，皆称之为“望圆”，则当1,1==b a 时，所有的“望圆”中，面积最小的“望圆”的面积为 ▲ ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()f A =2cossin()22A A π-22sin cos 22A A+-. ⑴ 求函数()f A 的最大值； ⑵若()0,,12f A B a 5π===c 的值．如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，⊥PA 平面PDC ， ⑴ 求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；⑵ 在棱PD 上是否存在一点E ，使得PB // 平面EAC ？如果存在，请找出点E 并加以证明；如果不存在，请说明理由．17．（本题满分14分）已知函数()52f x x x=+的定义域为()0,+∞.设点P 是函数图像上的任意一点，过点P 分别作直线2y x =和y 轴的垂线，垂足分别为M 、N .⑴ PM PN ⋅是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由； ⑵ 设点O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值.DPBC甲乙两地相距300千米，一汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过a 千米/小时，已知该汽车每小时的运输成本P (元)关于速度v (千米/小时)的函数关系是43111519200160P v v v =-+.⑴ 试将全程运输成本Q (元)表示为速度v 的函数；⑵ 为使全程运输成本最少，汽车应以多少速度行驶？并求此时运输成本的最小值.19．（本题满分16分）已知数列{}n a 中，112a =，()111222n n n a a n -=+≥，数列{}n b 满足n n n a b 2=. ⑴ 求证数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；⑵ 求数列{}n a 的前n 项和n S ；⑶ 设数列{}n c 满足n c a n n n n λ1)1()3(--=-（λ为非零常数，*N n ∈），问是否存在整数λ，使得对任意*N n ∈，都有n n c c >+1.20．（本题满分16分）已知函数()1ln ,f x a x x x R x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭． ⑴ 若2a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； ⑵ 若0a >，求函数()f x 的单调区间； ⑶ 设函数()ag x x=-．若至少存在一个[)01,x ∈+∞，使得()()00f x g x >成立，求实数a 的取值范围．2014届第一学期期中考试高三文科数学试题答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1、 12、 π3、 24、 215、1-6、①③7、32 8、2+、4 10、2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11、312、13、 2 14、π3 二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）解：（1）22()2cos sin sin cos 2222A A A A f A =+-sin cos )4A A A π=-=-.……3分因为0A <<π，所以444A ππ3π-<-<.………………4分则所以当42A ππ-=，即34A π=时，()f A………7分（2）由题意知())04f A A π=-=，所以sin()04A π-=．又知444A ππ3π-<-<，所以04A π-=，则4A π=.………………10分因为12B 5π=，所以712A C π+=，则3C π=.………………12分由sin sin a c A C =得，sinsin 36sin sin 4a C c A π===π．………………14分 16．（本题满分14分）2013.11C（1）证明：⊥PA 平面PDC ，CD ⊂平面PDC ，∴ CD PA ⊥．………………2分四边形ABCD 为矩形，∴CD AD ⊥， ………………4分PA AD A =，∴⊥CD 平面PAD ． ………………6分CD ⊂平面ABCD ∴平面PAD ⊥平面ABCD ． ………………7分（2）答：当点E 为棱PD 中点时，PB // 平面EAC . ………………9分证明：取棱PD 中点E ，连接BD 与AC 相交于点O ，连结EO ．四边形ABCD 为矩形，∴O 为BD 中点．E 为棱PD 中点．∴ EO PB //． ………………12分⊄PB 平面EAC ，⊂EO 平面EAC ，∴直线PB //平面EAC ． ………………14分17．（本题满分14分）解：⑴设点P 的坐标为()00,x y ，则有00052y x x =+，………………2分由点到直线的距离公式得0PM x ===，..................4分 0PN x =， (6)分PM PN ∴⋅=PM PN ⋅7分（2）由题意可设(),2M t t ，知()00,N y . 由PM 与直线2y x =垂直，知12PM K =-，即00212y t x t -=--，又00052y x x =+，解得002t x x =+，故002OM x x ⎫=+⎪⎭.………………10分所以020001252122OPMS x x x ∆⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎭⎝⎭，20000155222OPN S x x x x ∆⎛⎫=⋅⋅+=+ ⎪⎝⎭.………………12分所以22002200525515522OMPN OPM OPN S S S x x x x ∆∆⎛⎫=+=+++=++≥ ⎪⎝⎭. 当且仅当1405x =时等号成立，故四边形面积有最小值5.………………14分 18．（本题满分16分）解：（1）43300113001519200160Q P v v v v v⎛⎫=⋅=-+⋅⎪⎝⎭………………3分32111530019200160v v ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，0100v <≤.………………5分（2）()'2380323001920016064v v Q v v -⎛⎫=-⋅=⎪⎝⎭，………………7分令0,0=='v Q 则（舍去）或80=v ，当;0,800<'<<Q v 时当80v >时，0>'Q ，………………9分当80a ≥时， 80v =时，全程运输成本取得极小值，即最小值()80500Q =；……………………………………12分当80a <时，Q 在[]0,a 上单调递减，所以在v a =时，全程运输成本取得最小值()32154500648a a Q a =-+.……………………16分19．（本题满分16分）解：（1）由()111222n n n a a n -=+≥，则12211+=--n n n n a a . ∵n n n a b 2=，∴11+=-n n b b ，即当2≥n 时，11=--n n b b .………………3分又1211==a b ，∴数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 于是n n n a n n b 21)1(1==⋅-+=，∴n n na 2=.………………5分（2）由（1）得nn na 2=，所以211112222nnS n =⨯+⨯++⋅①， 2311111122222n n S n +∴=⨯+⨯++⋅ ②，………………7分由①－②得211111122222n n n S n +=+++-⋅111122n n n +=--⋅， 222n n nS +∴=-.………………9分（3）∵()()1113312n n n n n nnn c a λλ---⋅=+=+-⋅，∴]2)1(3[]2)1(3[1111n n n n n n n n c c ⋅-+-⋅-+=--+++λλ02)1(3321>⋅--⋅=-n n n λ∴1123)1(--⎪⎭⎫⎝⎛<⋅-n n λ ①………………11分当n =2k －1，k =1，2，3，……时，①式即为2223-⎪⎭⎫⎝⎛<k λ ②依题意，②式对k =1，2，3……都成立，∴1<λ………………13分当n =2k ，k =1，2，3，……时，①式即为1223-⎪⎭⎫⎝⎛->k λ ③依题意，③式对k =1，2，3……都成立， ∴23->λ ∴123<<-λ，又0≠λ………………15分 ∴存在整数1-=λ，使得对任意*N n ∈有n n c c >+1.………………16分20．（本题满分16分）解：函数的定义域为()0,+∞，()2'22111ax x a f x a x xx -+⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭ 222122()(1)ax x af x a x x x -+'=+-=． …………………………………………………1分（1）当2a =时，函数()12ln f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由()10f =，()'13f =．所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()31y x =-，即330x y --=．………………………………………………………………………4分（2）函数()f x 的定义域为()0,+∞．由0a >，214a ∆=-，（ⅰ）若102a <<，由()'0f x >，即()0h x >，得12x a <或12x a+>；由()'0f x <，即()0h x <，得1122x a a<<．……………………6分所以函数()f x的单调递增区间为⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭，单调递减区间为⎝⎭． ……………………………………8分（ⅱ）若12a ≥，()0h x ≥在()0,+∞上恒成立，则()'0f x ≥在()0,+∞上恒成立，此时()f x 在()0,+∞上单调递增． ………………………………………………………………10分（3））因为存在一个[)01,x ∈+∞使得()()00f x g x >，则00ln ax x >，等价于0ln x a x >. 令()[)ln ,1,xF x x x=∈+∞，等价于“当[)1,x ∈+∞ 时，()min a F x >”. ………12分对()F x 求导，得()'21ln xFx x -=. 因为当[]1,x e ∈时，()'0F x ≥，所以()F x 在[]1,e 上单调递增. 故此时()10,F x e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当(),x e ∈+∞时，()'0F x <，所以()F x 在[]1,e 上单调递减.，又()0F x >，故此时()10,F x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，…………………………………………………14分综上，()10,F x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()()min 10F x F ==，所以0a >.………………………16分另解：当()1,x ∈+∞时，()0F x >；当1x =时，()0F x =. 即()()min 10F x F ==，所以0a >. 另解：设()()()ln F x f x g x ax x =-=-，[)1,x ∈+∞，()'11ax F x a x x-=-=. 依题意，至少存在一个[)1,x ∈+∞，使得00()()f x g x >成立，等价于当[)1,x ∈+∞ 时，()max 0F x >. ………………………………………12分（1）当0a ≤时，()0F x '<在[)1,+∞恒成立，所以()F x 在[)1,+∞单调递减，只要()()max 10F x F a ==>，则不满足题意. ………………………………13分（2）当0a >时，()'11a x ax a F x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭==，令()0F x '=得1x a=. （ⅰ）当101a<≤，即1a ≥时，在[)1,+∞上()'0F x ≥，所以()F x 在[)1,+∞上单调递增，由()10F a =>，所以()0F x >恒成立……………………………………………………………14分（ⅱ）当11a>，即01a <<时，在11,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上()0F x '<，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上()0F x '>，所以()F x 在11,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，11 由()10F a =>，所以()0F x >恒成立…………………………………………15分综上所述，实数a 的取值范围为(0,)+∞. ………………………………………16分。

2018届江苏省常州市武进区高三上学期期中考试理科数学试题及答案精品

2018届第一学期期中考试高三理科数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上） 1．已知集合{}213M x x =-<，集合{}13N x x =-<<，则M N =▲ ．2．已知z 是复数，i 是虚数单位，若i zi +=1，则z = ▲ ． 3．已知命题2:(0,),2,p x x x ∀∈+∞≥-则命题p 的否定是 ▲ ． 4．函数)(x f 的定义域是]1,1[-，则函数)(log 21x f 的定义域为 ▲ ．5．执行如右图所示的程序框图．若输出的结果为3，则可输入的实数x 的个数为 ▲ ． 6．已知tan 2α=，则1sin cos αα=⋅ ▲ ．7．若实数x ，y 满足约束条件1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则3x y +的取值范围是▲ ．8．已知向量)1,0(),2,1(==，设k +=，-=2，若//，2018．11第5题图则实数k 的值为 ▲ ．9．已知函数()72sin ,0,63f x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象与直线y m =的三个交点的横坐标分别为1x 、2x 、3x ，其中123xx x <<，那么1232x x x ++的值为▲ ．10．已知x 、y 为正实数，且21x y +=，则1y xy+的最小值为 ▲ ．11．设函数()=2f x mx +，()22g x x x =-，[]01,2x ∀∈-，[]11,2x ∃∈-，使得()()01f x g x >，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 12．已知非零向量，满足||332||||a b a b a =-=+，则+与的夹角为 ▲ ．13．已知定义在R 上的奇函数()f x ，设其导函数为()'f x ，当(],0x ∈-∞时，恒有()()'xf x f x <-，则满足()()()1212133x f x f --<的实数x 的取值范围是 ▲ ．14．定义域为R 的偶函数)(x f 满足对x R ∀∈，有)1()()2(f x f x f -=+，且当]3,2[∈x 时，18122)(2-+-=x x x f ，若函数)1|(|log )(+-=x x f y a 在R 上至少有四个零点，则a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分14分）在ABC ∆中，A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且cos 4cos cos b C a B c B =-. ⑴ 求cos B 的值;⑵ 若32BA BC ⋅= ，3b =，求a 和c .16．（本题满分14分）如图，在矩形ABCD 中，2,2==BC AB ，点E 是BC 边的中点，点F在边CD 上．⑴ 若O 是对角线AC 的中点， )(R AD AE AO ∈+=μλμλ、，求μλ+的值；⑵ 若2=⋅BF AE ，求线段DF 的长．17．（本题满分14分）如图所示，AB 是半径长为1的半圆的一条直径，现要从中截取一个内接等腰梯形ABCD ，设梯形ABCD 的面积为y .⑴ 设2CD x =，将y 表示成x 的函数关系式并写出其定义域； ⑵ 求梯形ABCD 面积y 的最大值.18．（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点11()A x y ，在单位圆O 上，xOA α∠=，且 62ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，． ⑴ 若11cos()313πα+=-，求1x 的值；⑵ 若22()B x y ，也是单位圆O 上的点，且3AOB π∠=．过点A B 、分别做x 轴的垂线，垂足为C D 、，记AOC ∆的面积为1S ，BOD ∆的面积为2S ．设()12f S S α=+，求函数()f α的最大值．19．（本题满分16分）已知点(p ，q )是平面直角坐标系错误！未找到引用源。

武进区第三中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

【解析】解：∵f（x）是定义在 R 上且周期为 2 的函数，f（x）=
，
∴f（）=f（﹣ ）=1﹣ a，f（）= ∴1﹣ a= ①
；又
=
，
又 f（﹣1）=f（1）， ∴2a+b=0，② 由①②解得 a=2，b=﹣4； ∴a+3b=﹣10．故答案为：﹣10． 15．【答案】54 【解析】根据程序框图可知循环体共运行了 9 次，输出的 x 是 1，3，5，7，9，11，13，15， 17 中不是 3 的倍数的数，所以所有输出值的和 1 5 7 11 13 17 54 . 16．【答案】 ∃x0∈R，都有 x03＜1 ．【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题．所以，命题：“∀x∈R，都有 x3≥1”的否定形式为：命题：“∃x0∈R ，都有 x03＜1”．故答案为：∃x0∈R，都有 x03＜1．【点评】本题考查全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查． 17．【答案】②④ 【解析】试题分析：对于①中，由正弦定理可知 a sin A b sin B ，推出 A B 或 A B
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（2）求 f（x）的单调区间和极值．
21．已知函数 f（x）= （Ⅰ）求 A，B；
的定义域为 A，集合 B 是不等式 x2﹣（2a+1）x+a2+a＞0 的解集．
（Ⅱ）若 A∪B=B，求实数 a 的取值范围．
22．已知 m∈R，函数 f（x）=（x2+mx+m）ex．（1）若函数 f（x）没有零点，求实数 m 的取值范围；（2）若函数 f（x）存在极大值，并记为 g（m），求 g（m）的表达式；（3）当 m=0 时，求证：f（x）≥x2+x3．

江苏省常州市武进区高三数学上学期期中试题理(含解析)苏教版

常州市武进区2015届高三（上）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥2}，则集合∁U（A∪B）= {x|0＜x＜2} ．考点：交、并、补集的混合运算．专题：函数的性质及应用．分析：本题可以先求根据集合A、B求出集合A∪B，再求出集合（A∪B），得到本题结论．解答：解：∵A={x|x≤0}，B={x|x≥2}，∴A∪B={x|x≤0或x≥2}，∴∁U（A∪B）={x|0＜x＜2}．故答案为：{x|0＜x＜2}．点评：本题考查了集合的并集运算和集合的交集，本题难度不大，属于基础题．2．函数y=sin xcos x的最小正周期是 2 ．考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用二倍角的正弦公式可得函数f（x）=sinπx，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期性可得结论．解答：解：∵函数y=sin xcos x=sinπx，故函数的最小正周期是=2，故答案为：2．点评：本题主要考查二倍角的正弦公式、函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，属于基础题．3．已知向量与共线，则实数x的值为 1 ．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：根据向量平行的坐标表示，求出x的值即可．解答：解：∵向量与共线，∴2（3x﹣1）﹣4×1=0，解得x=1；∴实数x的值为1．故答案为：1．点评：本题考查了平面向量的坐标表示的应用问题，解题时应熟记公式，以便进行计算，是基础题．4．△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，则“A＞B”是“a＞b”的充要条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：解三角形；简易逻辑．分析：运用三角形中的正弦定理推导，判断答案．解答：解：∵△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，a＞b，∴根据正弦定理可得：2RsinA＞2RsinB，sinA＞sinB，∴A＞B又∵A＞B，∴sinA＞sinB，2RsinA＞2RsinB，即a＞b，∴根据充分必要条件的定义可以判断：“A＞B”是“a＞b”的充要条件，故答案为：充要点评：本题考查了解三角形，充分必要条件的定义，属于中档题．5．已知f（sinα+cosα）=sin2α，则的值为﹣．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：令sinα+cosα=t，可得sin2α=t2﹣1，﹣≤t≤．可得f（t）=t2﹣1，从而求得 f（）的值．解答：解：令sinα+cosα=t，平方后化简可得sin2α=t2﹣1，再由﹣1≤sin2α≤1，可得﹣≤t≤．再由 f（sinα+cosα）=sin2α，可得 f（t）=t2﹣1，∴f（）=﹣1=﹣，故答案为：﹣．点评：本题主要考查用换元法求函数的解析式，注意换元中变量取值范围的变化，属于基础题．6．设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a= 3 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．解答：解：y=ax﹣ln（x+1）的导数，由在点（0，0）处的切线方程为y=2x，得，则a=3．故答案为：3．点评：本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．7．若sin（﹣θ）=，则cos（+2θ）的值为﹣．考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：首先运用的诱导公式，再由二倍角的余弦公式：cos2α=2cos2α﹣1，即可得到．解答：解：由于sin（﹣θ）=，则cos（+θ）=sin（﹣θ）=，则有cos（+2θ）=cos2（+θ）=2cos2（+θ）﹣1=2×（）2﹣1=﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查诱导公式和二倍角的余弦公式及运用，考查运算能力，属于中档题．8．△ABC中，AB=AC，BC的边长为2，则的值为 4 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据数量积的定义和三角函数判断求解．解答：解：在△ABC中，BC=2，AB=AC，设AB=AC=x，则2x＞2，x＞1，∴cosB==，所以=4xcosB=4x=4．故答案为4．点评：本题利用向量为载体，考察函数的单调性，余弦定理，三角形中的边角关系．9．若将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式为y=sin （2x+﹣2φ），再根据所得图象关于y轴对称可得﹣2φ=kπ+，k∈z，由此求得φ的最小正值．解答：解：将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣φ）+]=sin（2x+﹣2φ）关于y轴对称，则﹣2φ=kπ+，k∈z，即φ=﹣﹣，故φ的最小正值为，故答案为：．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于中档题．10．已知函数f（x）=，则f（）+f（）+f（）+…+f（）= 15 ．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x）+f（1﹣x）=+=3，能求出f（）+f（）+f（）+…+f（）的值．解答：解：∵f（x）=，∴f（x）+f（1﹣x）=+=3，∴f（）+f（）+f（）+…+f（）=5×3=15．故答案为：15．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．11．函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（3）=0，且x＜0时，xf′（x）＜f（x），则不等式f（x）≥0的解集是{x|﹣3＜x＜0或x＞3} ．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：本题可构造函数（x≠0），利用f′（x）相关不等式得到函数g（x）的单调性，由函数f（x）是的奇偶性得到函数g（x）的奇偶性和图象的对称性，由f（3）=0得到函数g（x）的图象过定点，再将不等式f（x）≥0转化为关于g（x）的不等式，根据g （x）的图象解不等式，得到本题结论．解答：解：记（x≠0），则．∵当x＜0时，xf′（x）＜f（x），∴当x＜0时，g′（x）＜0，∴函数g（x）在（﹣∞，0）上单调递减．∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴，∴函数g（x）是定义在R上的偶函数，∴函数g（x）的图象关于y轴对称，∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．∵f（3）=0，∴g（3）=，∴函数g（x）的图象过点（3，0）和（﹣3，0）．∵不等式f（x）≥0，∴xg（x）≥0，∴或，∴﹣3＜x＜0或x＞3．∴不等式f（x）≥0的解集是{x|﹣3＜x＜0或x＞3}．故答案为：{x|﹣3＜x＜0或x＞3}．点评：本题考查了函数的奇偶性、对称性、导数和单调性，本题难度不大，属于基础题．12．如图，△ABC中，延长CB到D，使BD=BC，当E点在线段AD上移动时，若，则t=λ﹣μ的最大值是 3 ．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：共线，所以存在实数k使，根据向量的加法和减法以及B 是CD中点，可用表示为：，所以又可以用表示为：=，所以根据平面向量基本定理得：，λ﹣μ=3k≤3，所以最大值是3．解答：解：设==，0≤k≤1；又；∴；∴t=λ﹣μ=3k，0≤k≤1；∴k=1时t取最大值3．即t=λ﹣μ的最大值为3．故答案为：3．点评：考查共线向量基本定理，向量的加法、减法运算，以及平面向量基本定理．13．已知函数f（x）=|x2+x﹣2|，x∈R．若方程f（x）﹣a|x﹣2|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为（0，1）．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；数形结合；函数的性质及应用．分析：由y=f（x）﹣a|x﹣2|=0得f（x）=a|x﹣2|，显然x=2不是方程的根，则a=||，令x﹣2=t，则a=|t++5|有4个不相等的实根，画出y=|t++5|的图象，利用数形结合即可得到结论．解答：解：方程f（x）﹣a|x﹣2|=0，即为f（x）=a|x﹣2|，即有|x2+x﹣2|=a|x﹣2|，显然x=2不是方程的根，则a=||，令x﹣2=t，则a=|t++5|有4个不相等的实根，画出y=|t++5|的图象，如右图：在﹣4＜t＜﹣1时，t++5≤﹣2+5=1．则要使直线y=a和y=|t++5|的图象有四个交点，则a的范围是（0，1），故答案为：（0，1）．点评：本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，属于中档题．14．若函数f（x）=x2﹣e x﹣ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（﹣∞，2ln2）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：根据题意可得a＜2x﹣e x有解，转化为g（x）=2x﹣e x，a＜g（x）max，利用导数求出最值即可．解答：解：∵函数f（x）=x2﹣e x﹣ax，∴f′（x）=2x﹣e x﹣a，∵函数f（x）=x2﹣e x﹣ax在R上存在单调递增区间，∴f′（x）=2x﹣e x﹣a＞0，即a＜2x﹣e x有解，令g′（x）=2﹣e x，g′（x）=2﹣e x=0，x=ln2，g′（x）=2﹣e x＞0，x＜ln2，g′（x）=2﹣e x＜0，x＞ln2∴当x=ln2时，g（x）max=2ln2﹣2，∴a＜2ln2﹣2即可．故答案为：（﹣∞，2ln2）点评：本题考察了导数在解决函数最值，单调性，不等式成立问题中的应用，属于难题．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB﹣bcosA=0．（1）求角A的大小；（2）若a=1，b=，求△ABC的面积．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，由sinB不为0求出tanA的值，即可确定出A的度数；（2）由余弦定理列出关系式，把a，b，cosA的值代入求出c的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．解答：解：（1）已知等式asinB﹣bcosA=0，利用正弦定理化简得：sinAsinB﹣sinBcosA=0，∵sinB≠0，∴tanA=，则A=30°；（2）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即1=3+c2﹣3c，解得：c=1或c=2，当c=1时，S△ABC=bcsinA=××1×=；当c=2时，S△ABC=bcsinA=××2×=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．16．（14分）已知函数f（x）=ax3﹣3x．（1）求函数f（x）单调区间；（2）若在区间[1，2]上，f（x）≥4恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．专题：导数的综合应用．分析：（1）a=0时，函数是减函数；a≠0时，由f（x）=ax3﹣3x（a≠0）⇒f′（x）=3ax2﹣3=3（ax2﹣1），分a＞0与a＜0讨论，通过f′（x）的符号即可求得函数f（x）的单调区间；（2）利用导数判断函数的单调性，从而得出函数在闭区间上的最小值，即得到参数的一个方程，从而求出参数．解答：解：（1）a=0时，f（x）=﹣3x，∴f（x）的单调减区间是R；当a≠0时，∵f（x）=ax3﹣3x，a≠0，∴f′（x）=3ax2﹣3=3（ax2﹣1），∴当a＞0时，由f′（x）＞0得：x＞或x＜﹣，由f′（x）＜0得：﹣当a＜0时，由f′（x）＞0得：，由f′（x）＜0得：x＜或x＞﹣；∴当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣），（，+∞）；函数f（x）的单调递减区间为（﹣，），）；当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（，﹣），函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，），（﹣，+∞）；（2）当a≤0时，由（1）可知，f（x）在区间[1，2]是减函数，由f（2）=4得，（不符合舍去），当a＞0时，f′（x）=3ax2﹣3=0的两根x=，①当，即a≥1时，f′（x）≥0在区间[1，2]恒成立，f（x）在区间[1，2]是增函数，由f（1）≥4得a≥7；②当，即时f′（x）≤0在区间[1，2]恒成立f（x）在区间[1，2]是减函数，f（2）≥4，a（不符合舍去）；③当1，即时，f（x）在区间[1，]是减函数，f（x）在区间[，2]是增函数；所以f（）≥4无解．综上，a≥7．点评：本题考查的是导数知识，重点是利用导数判断函数的单调性，难点是分类讨论．对学生的能力要求较高，属于难题．17．（14分）某实验室某一天的温度（单位：°C）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=9﹣t，t∈[0，24）．（1）求实验室这一天里，温度降低的时间段；（2）若要求实验室温度不高于10°C，则在哪段时间实验室需要降温？考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题；应用题；三角函数的求值．分析：（1）利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f（t）=9﹣2sin（），t∈[0，24），利用正弦函数的单调减区间，即可得到；（2）由题意可得，令f（t）≤10时，不需要降温，运用正弦函数的性质，解出t，再求补集即可得到．解答：解：（1）f（t）=9﹣t，t∈[0，24），则f（t）=9﹣2（）=9﹣2sin（），令2k2k，解得24k+2≤t≤24k+14，k为整数，由于t∈[0，24），则k=0，即得2≤t≤14．则有实验室这一天里，温度降低的时间段为[2，14]；（2）令f（t）≤10，则9﹣2sin（）≤10，即有sin（），则﹣，解得24k﹣6≤t≤24k+10，k为整数，由于t∈[0，24），则得到0≤t≤10或18≤t＜24，故在10＜t＜18，实验室需要降温．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，三角不等式的解法，属于中档题．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，，点，M满足，点P在线段BC上运动（包括端点），如图．（1）求∠OCM的余弦值；（2）是否存在实数λ，使，若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：（1）由题意求得、的坐标，再根据cos∠OCM=cos＜，＞=，运算求得结果．（2）设，其中1≤t≤5，由，得，可得（2t﹣3）λ=12．再根据t∈[1，）∪（，5]，求得实数λ的取值范围．解答：解：（1）由题意可得，，故cos∠OCM=cos＜，＞==．（2）设，其中1≤t≤5，，．若，则，即12﹣2λt+3λ=0，可得（2t﹣3）λ=12．若，则λ不存在，若，则，∵t∈[1，）∪（，5]，故．点评：本题主要考查用数量积表示两个两个向量的夹角，两个向量垂直的性质，属于中档题．19．（16分）已知函数f（x）=x2+（x﹣1）•|x﹣a|．（1）若a=﹣1，解方程f（x）=1；（2）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）在[2，3]上的最小值为6，求实数a的值．考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（1）化方程f（x）=1可化为x2+（x﹣1）•|x+1|=0，即2x2﹣1=0（x≥﹣1）或1=0（x＜﹣1），从而求解；（2）f（x）=x2+（x﹣1）•|x﹣a|=，则，从而求a；（3）讨论a的不同取值，从而确定实数a的值．解答：解：（1）若a=﹣1，则方程f（x）=1可化为x2+（x﹣1）•|x+1|=0，即2x2﹣1=0（x≥﹣1）或1=0（x＜﹣1），故x=或x=﹣；（2）f（x）=x2+（x﹣1）•|x﹣a|=，则若使函数f（x）在R上单调递增，则，则a≥1；（3）若a≥3，则f（x）=（a+1）x﹣a，x∈[2，3]，则函数f（x）在[2，3]上的最小值为6，可化为2（a+1）﹣a=6，则a=4；若1≤a＜3，则f（x）在[2，3]上单调递增，则2（a+1）﹣a=6，则a=4无解，若a＜1，＜1，则f（x）=x2+（x﹣1）•|x﹣a|在[2，3]上单调递增，则2•22﹣（1+a）2+a=6，解得，a=0．综上所述，a=0或a=4．点评：本题考查了函数导数的综合应用，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．20．（16分）已知函数f（x）=lnx﹣x+a有且只有一个零点，其中a＞0．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈（1，+∞），有（x+1）f（x）+x2﹣2x+k＞0恒成立，求实数k的最小值；（3）设h（x）=f（x）+x﹣1，对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），证明：不等式恒成立．考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：计算题；证明题；选作题；导数的综合应用．分析：（1）f′（x）=﹣1，则函数f（x）=lnx﹣x+a在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，由题意，f（x）的最大值等于0，从而解出a；（2）化简（x+1）f（x）+x2﹣2x+k＞0为k＞2x﹣xlnx﹣lnx﹣1，从而将恒成立问题转化为求函数g（x）=2x﹣xlnx﹣lnx﹣1在[1，+∞）上的最值问题；利用导数可得g′（x）=2﹣lnx﹣1﹣=，再令m（x）=x﹣xlnx﹣1并求导m′（x）=1﹣lnx﹣1=﹣lnx，从而判断g（x）在（1，+∞）上的单调性，最终求出函数g（x）=2x﹣xlnx﹣lnx﹣1在[1，+∞）上的最值问题，则k≥g（1）=2﹣0﹣0﹣1=1，从而求实数k的最小值；（3）化简h（x）=f（x）+x﹣1=lnx，则对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），恒成立可化为对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），＞0恒成立；不妨没x1＜x2，则上式可化为（x1+x2）（lnx1﹣lnx2）﹣2（x1﹣x2）＜0，从而令n（x）=（x1+x）（lnx1﹣lnx）﹣2（x1﹣x），进行二阶求导，判断n（x）在（x1，+∞）上的单调性，从而证明对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），不等式恒成立．解答：解：（1）f′（x）=﹣1，则函数f（x）=lnx﹣x+a在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，则若使函数f（x）=lnx﹣x+a有且只有一个零点，则0﹣1+a=0，解得，a=1；（2）（x+1）f（x）+x2﹣2x+k＞0可化为（x+1）（lnx﹣x+1）+x2﹣2x+k＞0，即k＞2x﹣xlnx﹣lnx﹣1对任意的x∈（1，+∞）恒成立，令g（x）=2x﹣xlnx﹣lnx﹣1，则g′（x）=2﹣lnx﹣1﹣=，令m（x）=x﹣xlnx﹣1，则m′（x）=1﹣lnx﹣1=﹣lnx，∵x∈（1，+∞），∴m′（x）=1﹣lnx﹣1=﹣lnx＜0，则m（x）=x﹣xlnx﹣1＜1﹣1ln1﹣1=0，则g′（x）＜0，则g（x）在（1，+∞）上是减函数，则k＞2x﹣xlnx﹣lnx﹣1对任意的x∈（1，+∞）恒成立可化为k≥g（1）=2﹣0﹣0﹣1=1，则k的最小值为1；（3）证明：由题意，h（x）=f（x）+x﹣1=lnx，则对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），恒成立可化为，对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），＞0恒成立；不妨没x1＜x2，则lnx1﹣lnx2＜0，则上式可化为（x1+x2）（lnx1﹣lnx2）﹣2（x1﹣x2）＜0，令n（x）=（x1+x）（lnx1﹣lnx）﹣2（x1﹣x），则n′（x）=（lnx1﹣lnx）﹣（x1+x）+2=lnx1﹣lnx﹣+1，n″（x）=﹣+=，∵则当x∈（x1，+∞）时，n″（x）＜0，则n′（x）在（x1，+∞）上是减函数，则n′（x）＜n′（x1）=0，则n（x）在（x1，+∞）上是减函数，则n（x）＜n（x1）=0，则（x1+x2）（lnx1﹣lnx2）﹣2（x1﹣x2）＜0，故对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），不等式恒成立．点评：本题考查了函数的零点的个数的判断，同时考查了恒成立问题的处理方法，判断单调性一般用导数，本题用到了二阶求导及分化求导以降低化简难度，属于难题．。

2018届常州市高三上学期期末统考数学试题及答案

常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题参考公式：样本数据1x ，2x ，… ，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x =11n ii x n =∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．设集合{}21A x x x =<∈R ，，{}20B x x =≤≤，则A B = ▲ ． 2．若1i 1i im n +=+（m n ∈R ，，i 为虚数单位），则mn 的值为 ▲ ．3．已知双曲线2221(0)4x y a a -=>的一条渐近线方程为20x y -=，则a的值为 ▲ ． 4．某学校选修羽毛球课程的学生中，高一，高二年级分别有80名，50名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高一年级学生中抽取了24 名，则在高二年级学生中应抽取的人数为 ▲ ． 5．某市连续5天测得空气中PM2.5（直径小于或等于2.5微米的颗粒物）的数据（单位：3/g m m ）分别为115，125，132，128，125，则该组数据的方差为 ▲ ． 6．函数222sin 3cos 4y x x =+-的最小正周期为 ▲ ． 7．已知5瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料．从这5瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为 ▲ ．8．已知实数x ，y 满足约束条件333x y y x +⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤，，，则225z x y =--的最大值为▲ ． 9．若曲线1C ：43236y x ax x =--与曲线2C ：e x y =在1x =处的切线互相垂直，则实数a 的值为 ▲ ． 10．给出下列命题：（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；（2）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；（3）若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；（4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．则其中所有真命题的序号为 ▲ ．11．已知,66⎛⎫∈-⎪⎝⎭p p q ，等比数列{}n a 中，11a =，343a =q ，若数列{}n a 的前2018项的和为0，则q 的值为 ▲ ． 12．已知函数f (x )＝201,02(1),xx x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪-⎩≥，，若((2))()f f f k ->，则实数k 的取值范围为 ▲ ．13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若tan 7tan A B =，223a b c-=，则c = ▲ ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：2216x y +=，点(1,2)P ，M ，N 为圆O上不同的两点，且满足0PM PN ⋅= ．若PQ PM PN =+，则PQ的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设向量(,)m a c =，(cos ,cos )n C A =．（1）若m n∥，c =，求角A ；（2）若3sin m n b B ⋅=，4cos 5A =，求cos C 的值．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，AB⊥BC ，E ，F 分别是1A B ，1AC 的中点．（1）求证：EF ∥平面ABC ；（2）求证：平面AEF⊥平面11AA B B ；（3）若1222A A AB BC a ===，求三棱锥F ABC -的体积．17．（本小题满分14分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，已知35S a =，525S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若p ，q 为互不相等的正整数，且等差数列{}n b 满足pab p =，q a b q =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．FBCE A1A 1B 1C （第16题）18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E :22221(0)x y a b a b+=>>的右准线为直线l ，动直线y kx m =+(00)k m <>，交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，射线OM 分别交椭圆及直线l 于P ，Q 两点，如图．若A ，B 两点分别是椭圆E 的右顶点，上顶点时，点Q 的纵坐标为1e（其中e 为椭圆的离心率），且OQ ．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）如果OP 是OM ，OQ 的等比中项，那么m k是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．19．（本小题满分16分）几名大学毕业生合作开设3D 打印店，生产并销售某种3D 产品．已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其它固定支出20000元．假设该产品的月销售量()t x （件）与销售价格x （元/件）（x *∈N ）之间满足如下关系：①当3460x ≤≤时，2()(5)10050t x a x =-++；②当6070x ≤≤时，()1007600t x x =-+．设该店月利润为M （元），月利润=月销售总额－月总成本．（第18题）（1）求M 关于销售价格x 的函数关系式；（2）求该打印店月利润M 的最大值及此时产品的销售价格．20．（本小题满分16分）已知函数()ln a f x x x x=--，a ∈R ．（1）当0a =时，求函数()f x 的极大值；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）当1a >时，设函数()(1)11ag x f x x x =-+-+-，若实数b 满足：b a >且()1b g g a b ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，()22a b g b g +⎛⎫= ⎪⎝⎭，求证：45b <<．常州市教育学会学生学业水平监测数学Ⅱ（附加题） 1月21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，等腰梯形ABCD内接于⊙O ，AB ∥CD ．过点A 作⊙O 的切线交CD的延长线于点E ．求证：∠DAE =∠BAC .B ．选修4—2：矩阵与变换已知直线:0l ax y -=在矩阵A 0112⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线l '，若直线l '过点（1,1），求实数a 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知点)6P p，直线:cos()4l +=pr q P 到直线l 的距离．D ．选修4—5：不等式选讲已知1x ≥，1y ≥，求证：22221x x y xy y x y ++++≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡．．．指定区域．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22． (本小题满分10分)如图，三棱锥P －ABC 中，已知平面PAB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC =BC =2a ，点O ，D 分别是AB ，PB 的中点，PO ⊥AB ，连结CD ．（1）若2PA a =，求异面直线PA 与CD 所成角的余弦值的大小；（2）若二面角A －PB －C 的余弦值的大小，求PA ．23．（本小题满分10分）设集合A ，B 是非空集合M 的两个不同子集，满足：A 不是B 的子集，且B 也不是A 的子集．（1）若M=1234{,,,}a a a a ，直接写出所有不同的有序集合对(A ,B )的个ABCDOP（第22题）（2）若M=123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，求所有不同的有序集合对(A ,B )的个数．常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．[)0,1 2．1- 3． 1 4． 15 5．31.6（写成1585也对） 6．p7．7108．12 9．13e10．（1）（2） 11．9-p 12．12(log 9,4) 13．414．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）∵m n ∥，∴cos cos a A c C=．由正弦定理，得sin cos sin cos A A C C =．化简，得sin 2sin 2A C=． (2)∵,(0,)A C p ∈，∴22A C =或22A C p +=，从而A C=（舍）或2A C p +=．∴2B p=． ………………………………4分在Rt △ABC 中，tan a A c ==，6A p=． …………………………………6分（2）∵3cos m n b B ⋅=，∴cos cos 3sin a C c A b B +=．由正弦定理，得2sin cos sin cos 3sin A C C A B +=，从而2sin()3sin A C B +=． ∵A B C p ++=，∴sin()sin A C B +=．从而1sin 3B =． ……………8分∵4cos 05A =>，(0,)A p ∈，∴(0,)2A p ∈，3sin 5A =．……………………10分∵sin sin A B >，∴a b >，从而A B >，B 为锐角，cos B =． ………12分∴cos cos()cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+=431553-+⨯=． …………………………………14分16．证明：（1）连结1A C ．∵直三棱柱111A B C ABC -中，11AA C C 是矩形， ∴点F 在1A C 上，且为1A C 的中点．在△1A BC中，∵E ，F 分别是1A B，1A C的中点， ∴EF ∥BC ． ……………2分又∵BC⊂平面ABC ， EF⊄平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ． ………………4分（2）∵直三棱柱111A B C ABC -中，1B B ⊥平面ABC ，∴1B B ⊥BC ． ∵EF ∥BC ，AB ⊥BC ，∴AB ⊥EF ，1B B ⊥EF ． ………………………………6分∵1B B AB B= ，∴EF ⊥平面11ABB A ． (8)分∵EF⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面11ABB A ． (10)分（3）11111223F ABC A ABC ABC V V S AA --∆==⨯⨯⨯ (12)分=3211122326a a a ⨯⨯⨯=． (14)分17．解：（1）由已知，得11133451025a d a d a d +=+⎧⎨+=⎩，，解得11,2.a d =⎧⎨=⎩…………………4分∴21n a n =-． ……………………………………………………………6分（2）p ，q 为正整数，由（1）得21p a p =-，21q a q =-． …………………8分进一步由已知，得21p b p-=，21q b q -=． (10)分∵{}n b 是等差数列，p q≠，∴{}n b 的公差1222q p d q p -'==-． ………………12分由211(22)b b b p d p -'=+-=，得11b =． ∴21(1)324n n n n nT nb d -+'=+=． …………………………………………14分18．解：当A ，B 两点分别是椭圆E 的右顶点和上顶点时，则(,0)A a ，(0,)B b ，(,)22a bM ．∵21(,)aQ c e，∴由O ，M ，Q三点共线，得21b e aa c=，化简，得1b =．………2分∵OQ =，∴22a c a2a =．由22212a b c b a ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩，，，解得225,4.a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩…………………………………………4分（1）椭圆E 的标准方程为2215x y +=． …………………………………………6分（2）把(0,0)y kx m k m =+<>，代入2215x y +=，得222(51)10550k x mkx m +++-=． ……………………………………………8分当△0>，22510k m -+>时，2551M mk x k =-+，251Mmy k =+，从而点225(,)5151mk mM k k -++． ……………………………………………10分所以直线OM 的方程15y x k=-．由221515y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，得2222551Pk x k =+． ……………………………………………12分∵OP 是OM ，OQ 的等比中项，∴2OP OM OQ =⋅，从而22252(51)P M Q mk x x x k ==-+． ……………………………………………14分由2222525512(51)k mk k k =-++，得2m k=-，从而2m k=-，满足△0>． ……………15分 ∴mk为常数2-． ………………………………………………………………16分19．解：（1）当60x =时，(60)1600t =，代入2()(5)10050t x a x =-++，解得2a =． ………………………………………………………………2分∴2(22010000)(34)20000,3460,,()(1007600)(34)20000,6070,.x x x x x M x x x x x **⎧--+--<∈⎪=⎨-+--∈⎪⎩ΝΝ≤≤≤ 即32224810680360000,3460,,()1001100278400,6070,.x x x x x M x x x x x **⎧-++-<∈⎪=⎨-+-∈⎪⎩ΝΝ≤≤≤ ……………4分（注：写到上一步，不扣分．）（2）设2()(22010000)(34)20000g u u u u =--+--，3460u <≤，u ∈R ，则2()6(161780)g u u u '=---．令()0g u '=，解得18u =-（舍去），28(50,51)u =+． (7)分当3450u <<时，()0g u '>，()g u 单调递增；当5160u <<时，()0g u '<，()g u 单调递减． … ………………………………10分∵x *∈Ν，(50)44000M =，(51)44226M =，∴()M x 的最大值为44226．………12分当6070x ≤≤时，2()100(1102584)20000M x x x =-+--单调递减，故此时()M x 的最大值为(60)216000M =． ... (14)分综上所述，当51x =时，月利润()M x 有最大值44226元． ……………………15分答：该打印店店月利润最大为44226元，此时产品的销售价格为51元/件． ……16分20．解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞．（1）当0a =时，()ln f x x x =-，1()1f x x'=-，令()0f x '=得1x =． ………1分列表：x(0,1)1(1,)+∞()f x ' + 0 - ()f x↗极大值↘所以()f x 的极大值为(1)1f =-． (3)分(2)2221()1a x x af x x x x -++'=-+=．令()0f x '=，得20x x a -++=，记14a ∆=+．（ⅰ）当14a -≤时，()0f x '≤，所以()f x 单调减区间为(0,)+∞； …………5分（ⅱ）当14a >-时，由()0f x '=得12x x =①若104a -<<，则120x x >>，由()0f x '<，得20x x <<，1x x >；由()0f x '>，得21x x x <<．所以，()f x的单调减区间为，)+∞，单调增区间为； …………………………………………………………7分②若0a =，由（1）知()f x 单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,)+∞；③若0a >，则120x x >>，由()0f x '<，得1x x >；由()0f x '>，得10x x <<．()f x 的单调减区间为)+∞，单调增区间为． ……9分综上所述：当14a -≤时，()f x 的单调减区间为(0,)+∞；当104a -<<时，()f x 的单调减区间为，)+∞，单调增区间为；当0a ≥时，()f x 单调减区间为)+∞，单调增区间为． ………………………………………………………10分（3）()ln(1)g x x =-（1x >）．由()()1bg g a b =-得1lnln(1)1a b =--．∵1a b <<， ∴11b a -=-(舍)，或(1)(1)1a b --=． ∵21(1)(1)(1)a b b =--<-，∴2b >． (12)分由()2()2a b g b g +=得，1ln(1)2ln(1)2ln [(1)(1)](*)22a b b a b +-=-=-+-⋅⋅⋅，因为112a b -+-，所以（*）式可化为1ln(1)2ln [(1)(1)]2b a b -=-+-，即2111[1]21b b b -=+--（）． ………………………………………………14分令1(1)b t t -=>，则211[()]2t t t=+，整理，得4324210t t t -++=，从而32(1)(31)0t t t t ----=，即32310t t t ---=．记32()31,1h t t t t t =--->．2()361h t t t '=--，令()0h t '=得1t =-，1t =+，列表：t(1,1+(1)++∞ ()h t ' -+ ()h t↘↗所以，()h t 在(1,1+单调减，在(1)++∞单调增，又因为(3)0,(4)0h h <>，所以34t <<，从而45b <<． (16)分常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅱ（附加题）参考答案21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．A ．选修4—1：几何证明选讲证明：∵ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ， ∴AD =BC ．从而 AD BC=． ∴∠ACD =∠BAC . ……………………………………………………4分∵AE 为圆的切线，∴∠EAD =∠ACD . …………………………………8分∴∠DAE =∠BAC . ……………………………………………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：设(,)P x y 为直线l 上任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为直线l '上点(,)P x y '''，则0112x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，化简，得2,.x x y y x ''=-+⎧⎨'=⎩……………………………………………4分代入ax y -=，整理，得(21)0a x ay ''-++=． (8)分将点（1,1）代入上述方程，解得a =-1． ……………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：点P 的直角坐标为， (4)分直线l 的普通方程为40x y --=， (8)分从而点P 到直线l 的距离为=． …………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲证明：左边-右边=2222()(1)1(1)[(1)1]y y x y x y y yx y x -+--+=--++………4分=(1)(1)(1)y xy x ---， ………………………………………………………6分∵1x ≥，1y ≥， ∴0,0,0111y xy x ---≤≥≥． ………………………………………………8分从而左边-右边≤0， ∴22221x x y xy y x y ++++≤． ………………………………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．解：连结OC ．∵平面PAB ⊥平面ABC ，PO ⊥AB ，∴PO ⊥平面ABC ．从而PO ⊥AB ，PO ⊥O C ．∵AC =BC ，点O 是AB 的中点，∴OC ⊥AB ．且OA OB OC ===． (2)分如图，建立空间直角坐标系O xyz -．（1）2PA a =，PO =．(0,,0)A，,0)B，,0,0)C ，)P，D ． …………4分从而(0,)PA =，()CD = ．∵2cos ,PA CD PA CD PA CD ⋅<>===， ∴异面直线PA 与CD 所成角的余弦值的大小为． ……………………………6分（2）设PO h =，则(0,0,)P h ．∵ PO ⊥O C ，OC ⊥AB ，∴OC ⊥平面P AB ．从而,0,0)OC =是平面PAB 的一个法向量．不妨设平面PBC的一个法向量为(,,)n x y z =，∵,)PB h =-，,0)BC = ，0,0.n PB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴,.hz x y ==⎪⎩ 不妨令x =1，则y =1，z =，则n = ． (8)分OC n OC n⋅== 2223h a =．∴PA =． …………………………………10分 23．解：（1）110； ………………………………………………………………3分（2）集合M 有2n 个子集，不同的有序集合对(A ,B )有2(21)n n -个．若A ⊂≠B ，并设B 中含有*(1,)k k n k ∈N ≤≤个元素，则满足A ⊂≠B 的有序集合对(A ,B )有1(21)232nn nkkkkkn nnnn k k k CC C ===-=-=-∑∑∑个． …………………6分同理，满足B ⊂≠A 的有序集合对(A ,B )有32n n-个． …………………8分故满足条件的有序集合对(A ,B )的个数为2(21)2(32)4223n n n n n n n ---=+-⨯ ………………………………………………10分。

高三数学-2018学年高三数学上期中答案(理科) 精品

浙江省湖州中学2018学年第一学期高三数学期中考试数学答案(理科)11．1212. 123n +-13.1516 14. 3三、解答题（本大题共6小题，每小题14分，满分84分）15、【解】（1）其定义域为{}11x x -<<（2）01x <<（3）121()21x x f x --=+16、【解】（1）若a 、b 同向：a ·b ＝|a ||b |＝2；若a 、b 异向：a ·b ＝－|a ||b |＝－2（2）∵a ·b ＝|a ||b |cos135°=－1∴1)1(2212))((222=-++=⋅++=++=+b a b a b a b a b a17、【解】（1）.21)62sin(22cos 12sin 23)(m x m x x x f +++=+++=π π=∴T（2）其单调递减区间为2[,],63k k k Z ππππ++∈（3）min max ,()(). 2.63657()sin(2),2,,().626262x f x f m m f x x x x f x πππππππ-≤≤=-==∴=++∴+===当时由已知当即时18、【解】（1）结合正弦定理sin()sin sin sin()sin A B B C A B C-+=+，sin()sin sin()A B B A B -=++即sin 2sin cos 0B B A +=，故1cos 2A =-，所以23A π= （2）利用余弦定理 2222c o s a b c b c A =+-，即12bc ≤ 而1sin 122ABC S bc A ∆==≤=19、【解】（1）2n a n =；（2）2n n b n x =⋅，对x 分情况讨论，1）当0x =时，0n b =，n T =02）当1x =时，2n b n =，2n T n n =+3）当0,1x x ≠≠且时，2nn b n x =⋅，利用错位相减法得到 122(1)2(1)1n n n x x nx T x x+-=--- 综上，212(1)2(1)2(1)(1)1n n n n n x T x x nx x x x +⎧+=⎪=⎨--≠⎪--⎩（3）22n nn nc +=，下面考察数列n c 的单调性2212223222222n n c n n n n n c n n n n n++++++==+++，故当n=1时，21c c >；当n=2时，32c c =；当n>2时, 1n n c c +<,所以此数列第2项最大，值为32，故t 的最小值为32。

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江苏省常州市武进区2018届高三数学上学期期中试卷文（含解析）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1. 已知集合，，则等于________．【答案】【解析】综上所述，答案为2. 函数的最小正周期为________.【答案】【解析】函数的周期故答案为3. 若，共线，则实数的值为________．【答案】-6【解析】共线，解得故答案为4. 设，则“”是“”的________条件. （用“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要条件”填空）【答案】充分不必要【解析】，解得当时，当时，是的充分不必要条件。

5. 在等差数列中，若，，则________．【答案】【解析】在等差数列中，由等差数列的性质可得：即又故答案为6. 已知在中，内角、、的对边分别为、、，若，，，则角为________．【答案】【解析】由正弦定理可得：，得解得故答案为7．7. 设实数，满足约束条件，则的最小值为________.【答案】1【解析】，当，时，故的最小值为8. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为，则这个球的表面积为________.【答案】【解析】设正方体的棱长为，则正方体的表面积为，正方体的表面积为，解得一个正方体的所有顶点在一个球面上正方体的体对角线等于球的直径，即，则球的表面积为9. 若函数的定义域是，则函数的定义域为________．【答案】【解析】的定义域是的定义域是则的定义域为故答案为10. 在中，，，.若，（），且，则实数的值为________.【答案】3【解析】，则，AC原式故实数的值为11. 若集合中恰有唯一的元素，则实数的值为________.【答案】2【解析】集合中恰有唯一的元素当时，则故答案为12. 已知，，，则的最小值为________.【答案】【解析】原式故答案为13. 中，若、、依次成等比数列，则的取值范围为________. 【答案】【解析】由已知得，则即的取值范围是故答案为点睛：由两角和的正切值可以建立与、的关系，题目中、、依次成等比数列也会有数量关系，再运用基本不等式即可求出的取值范围。

14. 已知定义在上的函数满足，且当时，.若对任意、、，都有成立，则实数的最大值是________.【答案】【解析】当时，又，当时，单调递减；当时，单调递增；当、、时都有，若，则舍去若时，则，解得故答案实数的最大值是二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知向量，，⑴ 若，求的值；⑵ 令，把函数的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变），再把所得图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，求函数的单调递增区间.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：由条件可得向量数量积，得出、的数量关系，即可求出，就可以求出结果(2)根据三角函数的图象平移，按照条件给出的横坐标都缩小为原来的一半，再把所得图象沿轴向左平移个单位，得出三角函数的图象。

解析：⑴ ，，，.⑵，，把函数的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变），得到，再把所得图象沿轴向左平移个单位，得到，由得，的单调增区间是.16. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA面ABCD，且AB＝2，AD＝4，AP＝4，F是线段BC的中点.⑴ 求证：面PAF面PDF；⑵ 若E是线段AB的中点，在线段AP上是否存在一点G，使得EG面PDF？若存在，求出线段AG的长度；若不存在，说明理由.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】试题分析：（1）PA面ABCD，面ABCD，PA DF ，在矩形内根据F是线段BC的中点和长度，根据勾股定理求得AF DF，即得证 (2)解法一：延长AB交DF延长线于点M，连结PM.这样将面PDF延伸，当EG PM时存在一点G，使得EG面PDF解法二：构造平行四边形，取DF中点I，连结EI，过点G作AD的平行线交PD于点H，连结GH、HI.证得四边形GEIH是平行四边形，根据线面平行判定定理即可证得。

解析：⑴ PA面ABCD，面ABCD，PA DF，又在底面ABCD中，，，，AF DF，，DF面PAF，面PDF，面PAF面PDF.解⑵：法一、假设在线段AP上存在点G，使得EG面PDF.连结AB并延长交DF延长线于点M，连结PM.F是线段BC的中点，底面ABCD是矩形，，EG面PDM，面PAM，面PAM面PDM=PM，EG PM，，，故在线段AP上存在点G，使得EG面PDF，此时.法二、假设在线段AP上存在点G，使得EG面PDF.取DF中点I，连结EI，过点G作AD的平行线交PD于点H，连结GH、HI.E是线段AB的中点，是梯形ABFD的中位线，，EI GH，EG面PDF，面GEIH，面GEIH面PDM=IH，EG IH，四边形GEIH是平行四边形，，，，故在线段AP上存在点G，使得EG面PDF，此时.点睛：本题的第（2）问是否存在点使得线面平行，可以先假设存在，然后根据线面平行的判定定理，找出一条线与已知线平行，这里运用了两种方法，一是延展面，在三角形中找线线平行，二是构造平行四边形，根据线线平行，证得线面平行。

17. 如图，已知直线与曲线在第一象限和第三象限分别交于点和点，分别由点、向轴作垂线，垂足分别为、，记四边形的面积为S.⑴ 求出点、的坐标及实数的取值范围；⑵ 当取何值时，S取得最小值，并求出S的最小值.【答案】(1) 详见解析;(2)详见解析.【解析】试题分析：（1）由题意得直线与曲线交两点，联立直线与曲线方程解得两点坐标，由得，即，，再由第一象限和第三象限求得的取值范围（2）要求出S的最小值，将四边形沿轴分割成两个三角形，以为公共底，为高，表示出，运用不等式求出结果解析：⑴ 由得，，即，解得或，当时，，即，当时，，即，点在第三象限，，得，故，，故实数的取值范围为；⑵，则，，∴，故关于的函数关系式，得，当且仅当时等号成立，即四边形面积取得最小值8时，.18. 已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且.⑴ 写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；⑵ 当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？（注：年利润＝年销售收入年总成本）.【答案】(1)详见解析;(2) 千件.【解析】试题分析：由年利润＝年销售收入年总成本，结合，即可得到所求的解析式；由的解析式，我们求出各段上的最大值，即利润的最大值，然后根据分段函数的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到结果。

解析：⑴ 当时，；当时，............................⑵①当时，由，得当时，，单调递增；当时，，单调递减.故；②当时，，当且仅当时，.综合①、②知，当时，取最大值.所以当年产量为千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大.19. 已知数列中，，前项和满足（）．⑴ 求数列的通项公式；⑵ 记，求数列的前项和；⑶ 是否存在整数对（其中，）满足？若存在，求出所有的满足题意的整数对；若不存在，请说明理由．【答案】(1) ;(2) ;(3) ，，．【解析】试题分析：当时,可得（），而当时，（），可得到数列是首项为，公比也为的等比数列，从而可求数列的通项公式；由知，代入，对通项公式进行裂项，即可求得数列的前项和；要求出所有的满足题意的整数对，根据题目意思表达出关于的表达式，然后进行讨论。

解析：⑴ 当时，与相减，得，即（），在中，令可得，，即；故（），故数列是首项为，公比也为的等比数列，其通项公式为；⑵由⑴ 知，，则．⑶，即，即，若存在整数对，则必须是整数，其中只能是的因数，可得时，；时，；时，；综上所有的满足题意得整数对为，，．20. 已知函数，函数的导函数为．⑴ 若直线与曲线恒相切于同一定点，求的方程；⑵ 若，求证：当时，恒成立；⑶ 若当时，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1) ;(2)详见解析;(3) .【解析】试题分析：（1）由直线与曲线恒相切于同一定点转化为曲线必恒过定点，即可求出切线的方程（2）构造，研究的单调性，从而证明当时，恒成立（3）按照题目意思构造，求导后进行分类讨论，当时、当时和当时三种情况，求得实数的取值范围解析：⑴ 因为直线与曲线恒相切于同一定点，所以曲线必恒过定点，由，令，得，故得曲线恒过的定点为.因为，所以切线的斜率，故切线的方程为，即.⑵因为，所以令，，设，，在上单调递增，当时，，即在上恒成立，在上单调递增，因为，故当时，即恒成立；⑶令，则.，，①当时，因为，所以在上单调递增，故，因为当时，，所以在上单调递增，故.从而，当时，恒成立.②当时，由⑵可得，所以在上单调递增，故.从而，当时，恒成立.③当时，在上单调递增，所以当时，在内取得最小值.故必存在实数，使得在上，即在上单调递减，所以当时，，所以在上单调递减，此时存在，使得，不符合题设要求.综上①②③所述，得的取值范围是.说明：③也可以按以下方式解答：当时，在上单调递增，所以当时，在内取得最小值，当时，，所以，故存在，使得，且当时，，下同前述③的解答.点睛：本题主要考查了导数的运用：利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数恒成立问题，转化为求函数的最值问题，注意运用导数求单调区间和最值，同时考查了转化的思想和计算的能力，属于难题，因此正确的运用导数的性质是解题的关键.。