(完整版)南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学试题(理)含答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 理(全国卷1,解析版)
2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理（全国卷1）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设，则A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：首先根据复数的运算法则，将其化简得到，根据复数模的公式，得到，从而选出正确结果.详解：因为，所以，故选C.点睛：该题考查的是有关复数的运算以及复数模的概念及求解公式，利用复数的除法及加法运算法则求得结果，属于简单题目.2. 已知集合，则A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出的解集，从而求得集合A，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果.详解：解不等式得，所以，所以可以求得，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.3. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【解析】分析：首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.详解：设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；故选A.点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.4. 设为等差数列的前项和，若，，则A. B. C. D.【答案】B详解：设该等差数列的公差为，根据题中的条件可得，整理解得，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与的关系，从而求得结果.5. 设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用奇函数偶此项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.详解：因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.6. 在△中，为边上的中线，为的中点，则A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.7. 某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为A. B.C. D. 2【答案】B【解析】分析：首先根据题中所给的三视图，得到点M和点N在圆柱上所处的位置，点M在上底面上，点N 在下底面上，并且将圆柱的侧面展开图平铺，点M、N在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果.详解：根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为，故选B.点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.8. 设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】分析：首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方程组，消元化简，求得两点，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后应用向量坐标公式，求得，最后应用向量数量积坐标公式求得结果.详解：根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得，故选D.点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出，之后借助于抛物线的方程求得，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.9. 已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞）【答案】C【解析】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.10. 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p1，p2，p3，则A. p1=p2B. p1=p3C. p2=p3D. p1=p2+p3【答案】A详解：设，则有，从而可以求得的面积为，黑色部分的面积为，其余部分的面积为，所以有，根据面积型几何概型的概率公式，可以得到，故选A.点睛：该题考查的是面积型几何概型的有关问题，题中需要解决的是概率的大小，根据面积型几何概型的概率公式，将比较概率的大小问题转化为比较区域的面积的大小，利用相关图形的面积公式求得结果.11. 已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=A. B. 3 C. D. 4【答案】B【解析】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到，根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为或，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得，利用两点间距离同时求得的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，从而得到，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，求得，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.12. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.详解：根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体中，平面与线所成的角是相等的，所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积为，故选A.点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省盐城市2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题-含答案解析
江苏省盐城市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知复数z满足z⋅i=1+i(其中i是虚数单位)，则z=______．【答案】1−i【解析】解：由z⋅i=1+i，得z=1+ii =(1+i)(−i)−i2=1−i．故答案为：1−i．把给出的等式两边同时乘以i，然后由复数代数形式的除法运算化简求值．本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题．2.过抛物线y2=4x的焦点且与对称轴垂直的弦长为______．【答案】4【解析】解：抛物线y2=4x的焦点(1,0)，可得：y2=4，解得y=±2．可得：对称轴垂直的弦长为：4．故答案为：4．求出抛物线的焦点坐标，然后求解对称轴垂直的弦长．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．3.命题“∀x>0，x2+3x+1>0“的否定为______．【答案】∃x∈R，x2+3x+1≤0【解析】解：∵命题“∀x>0，x2+3x+1>0”，∴命题“∀x>0，x2+3x+1>0”的否定为：∃x∈R，x2+3x+1≤0．故答案为：∃x∈R，x2+3x+1≤0．命题“∀x∈R，2x2−3x+4>0”，是一个全称命题，其否定命题一定是一个特称命题，由全称命题的否定方法，我们易得到答案．对命题“∃x∈A，P(X)”的否定是：“∀x∈A，￢P(X)”；对命题“∀x∈A，P(X)”的否定是：“∃x∈A，￢P(X)”，即对特称命题的否定是一个全称命题，对一个全称命题的否定是特称命题．4.点P(2,0)到双曲线x29−y216=1的渐近线的距离为______．【答案】85【解析】解：双曲线x29−y216=1的渐近线方程为y=±43x，即4x±3y=0，则点(2,0)到4x−3y=0的距离d=√42+(−3)2=85，故答案为：85先求出渐近线方程，再根据点到直线的距离公式即可求出．本题考查了双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式，属于基础题．5. 已知直线的参数方程为{x =1+12ty =1+√32t (t 为参数)，则其倾斜角为______． 【答案】π3【解析】解：直线的参数方程为{x =1+12ty =1+√32t (t 为参数)， 消去参数t ，化为普通方程是y −1=√3(x −1)， 则该直线的斜率为√3，倾斜角为π3． 故答案为：π3．把直线的参数方程化为普通方程，求出它的斜率和倾斜角的大小． 本题考查了直线的参数方程与普通方程的转化问题，是基础题．6. 已知命题p 为真命题，命题q 为假命题，则在下列命题中：①￢q ；②p ∧q ；③p ∨q 是真命题的有______个. 【答案】2【解析】解：若命题p 为真命题，命题q 为假命题， 则￢q 是真命题，p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题， 则真命题的是①③，有2个， 故答案为：2根据复合命题真假关系进行判断即可．本题主要考查复合命题真假判断，根据￢p 与p 真假性相反，p ∧q 同真为真，其他为假，p ∨q 同假为假，其余为真的结论是解决本题的关键．7. p ：“复数z =(m 2−m)+mi(m ∈R,i 为虚数单位)是纯虚数”是q ：“m =1”的______条件.(请在“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”、“充分必要”选择一个最为恰当的答案填写在横线上) 【答案】充要【解析】解：若复数z =(m 2−m)+mi(m ∈R,i 为虚数单位)是纯虚数，则{m ≠0m2−m=0，即{m ≠0m=1或m=0，得m =1，即p 是q 的充要条件， 故答案为：充要根据纯虚数的定义求出m 的取值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合纯虚数的定义求出m是解决本题的关键．8.已知直线a，b和平面α满足：①a//b，②a⊥α，③b⊥α，若从其中选出两个作为条件，余下一个作为结论，可以得到______个真命题．【答案】3【解析】解：构成的命题有①②⇒③，①③⇒②，②③⇒①，若a//b，a⊥α，则b⊥α成立，即①②⇒③是真命题，若a//b，b⊥α，则a⊥α成立，即①③⇒②是真命题若a⊥α，b⊥α，则a//b成立，即②③⇒①是真命题，故可以得到3个真命题，故答案为：3根据条件可以构成三个命题①②⇒③，①③⇒②，②③⇒①，根据空间直线和平面平行和垂直的性质进行判断即可．本题主要考查命题的真假关系，结合空间直线平行于直线平面垂直的性质和判定定理是解决本题的关键．9.从装有大小完全相同的2个白球、3个黑球的口袋中随机取出两个小球，记取出白球的个数为随机变量ξ，则P(ξ=1)的值为______．【答案】0.6【解析】解：从装有大小完全相同的2个白球、3个黑球的口袋中随机取出两个小球，基本事件总数n=C52=10，记取出白球的个数为随机变量ξ，ξ=1包含的基本事件个数m=C21C31=6，则P(ξ=1)=mn =610=0.6．故答案为：0.6．基本事件总数n=C52=10，记取出白球的个数为随机变量ξ，ξ=1包含的基本事件个数m=C21C31=6，由此能求出P(ξ=1)．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G，H分别是四条棱AB，BC，CD，DA上的中点，则四棱锥A1−EFGH体积为______．【答案】43【解析】解：∵正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G，H分别是四条棱AB，BC，CD，DA上的中点，∴EFGH是边长为√2的正方形，点A1到平面EFGH的距离d=AA1=2，∴四棱锥A1−EFGH体积为：V A1−EFGH =13×d×S正方形EFGH=13×2×√2×√2=43．故答案为：43．推导出EFGH是边长为√2的正方形，点A1到平面EFGH的距离d=AA1=2，由此能求出四棱锥A1−EFGH体积．本题考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.已知抛物线y2=16x上任意一点到双曲线x2a2−y2b2=1右焦点的距离比到左准线的距离大1，则a2=______．【答案】12【解析】解：抛物线y2=16x中，p=8，焦点为F(4,0)，准线方程为x=−4；由题意知双曲线x2a2−y2b2=1的右焦点为F(4,0)，左准线方程为x=−3，∴c=4，且−a2c=−3，解得a2=12．故答案为：12．利用抛物线方程求出焦点坐标与准线方程，由题意知双曲线的右焦点坐标与左准线方程，由此求出c和a2．本题考查了抛物线方程与双曲线方程的应用问题，是基础题．12.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右两个焦点分别为F1、F2，以F1F2为斜边的等腰直角三角形PF1F2与椭圆有两个不同的交点M，N，且MN=13F1F2，则该椭圆的离心率为______．【答案】√5−√2【解析】解：∵以F1F2为斜边的等腰直角三角形PF1F2与椭圆有两个不同的交点M，N，且MN=13F1F2，∴N(13c,23c)∵PF1+PF2=√(c3−c)2+(2c3)2+√(c3+c)2+(2c3)2=2a．2√2c 3+2√5c3=2a，∴e=ca =√5+√2=√5−√2．故答案为：√5−√2．可得N(13c,23c)，利用PF 1+PF 2=√(c 3−c)2+(2c 3)2+√(c 3+c)2+(2c 3)2=2a.可得2√2c 3+2√5c3=2a ，即可求解．本题考查了椭圆的离心率，属于中档题．13. 在三角形内，我们将三条边的中线的交点称为三角形的重心，且重心到任一顶点的距离是到对边中点距离的两倍类比上述结论：在三棱锥中，我们将顶点与对面重心的连线段称为三棱锥的“中线”，将三棱锥四条中线的交点称为它的“重心”，则棱锥重心到顶点的距离是到对面重心距离的______倍. 【答案】3【解析】解：在四面体ABCD 中，E 为CD 的中点，连接AE ，BE ，且M ，N 分别为△ACD ，△BCD 的重心，AN ，BM 交于点G ， 在△ABE 中，M ，N 分别为AE ，BE 的三等分点，则EMAE =ENBE =13， 所以MN//AB ，AB =3MN ， 所以AG =3GN ，故棱锥重心到顶点的距离是到对面重心距离的3倍， 故答案为：3由类比推理及线线平行的判定及运用可得：在△ABE 中，M ，N 分别为AE ，BE 的三等分点，则EMAE =ENBE =13，即MN//AB ，AB =3MN ，即AG =3GN ，故棱锥重心到顶点的距离是到对面重心距离的3倍，得解． 本题考查了类比推理及线线平行的判定及运用，属中档题．14. 已知椭圆x 24+y 23=1的右焦点为F ，A 为椭圆在第一象限内的点，连接AF 并延长交椭圆于点B ，连接AO(O 为坐原点)并延长交椭圆于点C ，若S △ABC =3，则点A 的坐标为______． 【答案】(1,32)【解析】解：由题意可得F(1,0)，设AB 的方程为x =my +1， 联立椭圆方程可得(4+3m 2)y 2+6my −9=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，可得y 1+y 2=−6m4+3m 2，y 1y 2=−94+3m 2，|y 1−y 2|2=(y 1+y 2)2−4y 1y 2=36m 2(4+3m 2)2+364+3m 2， 由O 为AC 的中点，且△ABC 的面积为3， 可得△ABO 的面积为32，S △ABO =S △AOF +S △BOF =12⋅|OF|⋅|y 1−y 2|=32， 即有|y 1−y 2|=3， 可得36m 2(4+3m 2)2+364+3m 2=9， 化为9m 4+m 2=0，即m =0，则AB⊥x轴，可得A(1,32)，故答案为：(1,32).求得F(1,0)，)，设AB的方程为x=my+1，联立椭圆方程，运用韦达定理，以及完全平方公式，结合题意可得S△ABO=S△AOF+S△BOF=12⋅|OF|⋅|y1−y2|=32，即有|y1−y2|=3，平方.后由韦达定理，解方程可得m=0，可得A的坐标本题考查椭圆的方程和运用，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、解答题（本大题共9小题，共130.0分）15.已知直线l：{y=1+2tx=1+t(t为参数)，曲线C：ρ2−8ρsinθ+15=0．(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)求曲线C上的点到直线l距离的最小值．【答案】解：(1)∵直线l：{y=1+2tx=1+t(t为参数)，∴直线l的普通方程为2x−y−1=0，∵曲线C：ρ2−8ρsinθ+15=0．∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2−8y+15=0．(2)曲线C是以C(0,4)为圆心，以r=12√64−60=1为半径的圆，圆心C(0,4)到直线l的距离d=|2×0−4−1|√4+1=√5，∴曲线C上的点到直线l距离的最小值为√5−1．【解析】(1)直线l的参数方程消去参数，能求出直线l的普通方程，由曲线C的极坐标方程能求出曲线C的直角坐标方程．(2)曲线C是以C(0,4)为圆心，以r=1为半径的圆，圆心C(0,4)到直线l的距离d=√5，由此能求出曲线C上的点到直线l距离的最小值．本题考查直线的普通方程、曲线的直角坐标方程的求法，考查极坐标方程、普通方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.如图所示，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，CA=CB，点M，N分别是AB，A1B1的中点．(1)求证：BN//平面A1MC；(2)若A1M⊥AB1，求证：AB1⊥A1C.【答案】证明：(1)因为ABC−A1B1C1是直三棱柱，所以AB//A1B1，且AB=A1B1，又点M，N分别是AB、A1B1的中点，所以MB=A1N，且MB//A1N.所以四边形A1NBM是平行四边形，从而A1M//BN.又BN⊄平面A1MC，A1M⊂平面A1MC，所以BN//平面A1MC；(2)因为ABC−A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥底面ABC，而AA1⊂侧面ABB1A1，所以侧面ABB1A1⊥底面ABC．又CA=CB，且M是AB的中点，所以CM⊥AB．则由侧面ABB1A1⊥底面ABC，侧面ABB1A1∩底面ABC=AB，CM⊥AB，且CM⊂底面ABC，得CM⊥侧面ABB1A1．又AB1⊂侧面ABB1A1，所以AB1⊥CM.又AB1⊥A1M，A1M、MC平面A1MC，且A1M∩MC=M，所以AB1⊥平面A1MC.又A1C⊂平面A1MC，所以AB⊥A1C.【解析】(1)欲证明BN//平面A1MC，只需推知A1M//BN；(2)根据直三棱柱的特征和线面垂直的判定与性质来证明线线垂直．本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质，直线与平面平行的判定，其中熟练掌握空间直线与平面间垂直、平行的判定、性质、定义是解答本题的关键．17.设f(x)=x2−2ax+1，g(x)=sinx．(1)若∀x∈[0,1]都有f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；]，都有f(x1)≥g(x2)恒成立，求实数a的取值范围．(2)若∃x1∈(0,1]，使得对∀x2∈[0,π2【答案】解：(1)∀x∈[0,1]都有f(x)≥0恒成立，故x2−2ax+1≥0对∀x∈[0,1]恒成立，①x=0时，1≥0恒成立，故a∈R，②x∈(0,1]时，2a≤x+1对∀x∈(0,1]恒成立，x故2a≤2(当且仅当x=1时“=”成立)，故a≤1，综上，a≤1；]，g(x)=sinx，(2)∵x2∈[0,π2故g(x2)的最大值是1，]，都有f(x1)≥g(x2)恒成立，∵∃x1∈(0,1]，使得对∀x2∈[0,π2∴∃x1∈(0,1]，使得f(x1)≥1恒成立，即∃x1∈(0,1]，使得x12−2ax1+1≥1恒成立，故∃x1∈(0,1]，使得x1≥2a成立，即2a≤1，解得：a≤1．2【解析】(1)问题转化为x2−2ax+1≥0对∀x∈[0,1]恒成立，通过讨论x的范围，结合不等式的性质求出a 的范围即可；(2)求出g(x)的最大值，问题转化为∃x∈(0,1]，使得x2−2ax+1≥1恒成立，求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题以及函数恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．18. 设(1+2x)n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n ，若展开式中第4项与第5项二项式系数最大．(1)求n ；(2)求最大的系数a i ；(3)是否存在正整数m ，使得a m+2+4a m =4a m+1成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)若展开式中第4项与第5项二项式系数最大，即C n 3=C n 4，则n =7． (2)设(1+2x)7展开式中第r +1项T r+1是系数最大的项，则T r+1=C 7r 2r x r ， 由不等式组{C 7r 2r≥C 7r−12r−1C 7r 2r≥C 7r+12r+1，解得{r ≤163r≥133，且r ∈N ，∴r =5，所以a i =C 7525=672．(3)因为(1+2x)n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n ，所以a m =C 7m 2m ， 因为a m+2+4a m =4a m+1，所以C 7m+22m+2+4C 7m 2m =4C 7m+12m+1， 所以7!(m+2)!(5−m)!2m+2+47!m!(7−m)!2m =47!(m+1)!(6−m)!2m+1， 由此方程可得：1(m+1)(m+2)+1(6−m)(7−m)=2(m+1)(6−m)， 解得：m =1或4．综上：存在m =1或4，使得a m+2+4a m =4a m+1成立． 【解析】(1)由题意利用二项式系数的性质，求得n 的值．(2)展开式中第r +1项T r+1是系数最大的项，列出不等式组求得r 的值，可得最大的系数a i ． (3)假设存在正整数m ，使得a m+2+4a m =4a m+1成立，解出m 的值，可得结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，组合数的计算公式，属于中档题．19. (请用空间向量求解)已知正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =1，AA 1=3，E ，F 分别是棱AA 1，CC 1上的点，且满足AE =2EA 1，CF =2FC 1． (1)求异面直线EC 1，DB 1所成角的余弦值； (2)求面EB 1C 1与面FAD 所成的锐二面角的余弦值．【答案】解：(1)在正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，DD 1⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形， 所以AD ，DC ，DD 1两两垂直，以A 为原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，……………………………………………………………………(2分)又因AB =1，AA 1=3，E ，F 分别是棱AA 1，CC 1上的点， 且满足AE =2EA 1，CF =2FC 1AB =1，AA 1=3，所以D(0,0，0)，E(1,0，2)，C 1(0,1，3)，B(1,1，3)，A(1,0，0)，F(0,1，2)，B 1(1,1，3)，所以EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,1),DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,3)，…………………………………………………(4分) 设异面直线EC 1，DB 1所成角为θ,θ∈(0,π2], 所以cosθ=|cos〈EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|=|−1+1+3|√3√1+1+9=√3311，………………………………(7分) 所以异面直线EC 1，DB 1所成角的余弦值为√3311. ………………………………………………(8分)(2)EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,1),EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1),DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0),DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2)， 设平面EB 1C 1的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ ， 则{EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n 1⃗⃗⃗⃗ EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n 1⃗⃗⃗⃗ ，所以{−x 1+y 1+z 1=0y 1+z 1=0，令z 1=1，所以n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,1)，……(10分)平面FAD 的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ ，则{DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n 2⃗⃗⃗⃗ DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n 2⃗⃗⃗⃗ ，所以{y 2+2z 2=0x 2=0，令z 2=1，所以n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,1)，…………(12分) 所以cos〈n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ 〉=|0+2+1|√2√5=3√1010，………………………………………………(14分) 所以面EB 1C 1与面FAD 所成的锐二面角的余弦值为3√1010.………………………(15分) 【解析】(1)推导出AD ，DC ，DD 1两两垂直，以A 为原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线EC 1，DB 1所成角的余弦值．(2)求出平面EB 1C 1的一个法向量和平面FAD 的一个法向量，利用向量法能求出面EB 1C 1与面FAD 所成的锐二面角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20. 甲乙二人进行定点投篮比赛，已知甲、乙两人每次投进的概率均为12，两人各投一次称为一轮投篮．(1)求乙在前3次投篮中，恰好投进2个球的概率；(2)设前3轮投篮中，甲与乙进球个数差的绝对值为随机变量ξ，求ξ的分布列与期望． 【答案】解：(1)乙在前3次投篮中，恰好投进2个球为事件A ，则P(A)=C 32(12)2(1−12)=38；……………………………………(3分)答：乙在前3次投篮中，恰好投进2个球的概率为38；………………………………(4分) (2)设前3轮投篮中，甲与乙进球个数差的绝对值为随机变量ξ， 则ξ的取值为0，1，2，3；设前3轮投篮中，甲进球个数为X ，则X 的取值为0，1，2，3，计算P(X =0)=(1−12)3=18，P(X =1)=C 31⋅12⋅(1−12)2=38， P(X =2)=C 32⋅(12)2⋅(1−12)=38，P(X =3)=(12)3=18；所以P(ξ=0)=(18)2+(38)2+(38)2+(18)2=516，………………………………(6分) P(ξ=1)=2×18×38+2×38×(18+38)=1532，……………………………………(8分) P(ξ=2)=4×18×38=316，………………………………………(10分) P(ξ=3)=2×18×18=132；………………………………………(12分)所以ξ的分布列为； ξ 0 12 3 P5161532316132数学期望为E(ξ)=1532+38+332=1516.………………………………………………(15分) 【解析】(1)利用n 次独立重复实验恰有k 次发生的概率公式计算即可； (2)由题意知随机变量ξ的取值，计算对应的概率值， 写出分布列，再求出数学期望值．本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．21. 已知点P(1,2)是抛物线y 2=4x 上的一点，过点P 作两条直线l 1与l 2，分别与抛物线相交于异于点P 的A 、B 两点．(1)若直线AB 过点(2,0)且△PAB 的重心G 在x 轴上，求直线AB 的斜率； (2)若直线AB 的斜率为1且△PAB 的垂心H 在x 轴上，求直线AB 的方程．【答案】解：(1)设直线AB的方程为x=my+2，设A，B两点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)因为△PAB的重心G在x轴上，所以y1+y2=−2，将直线AB代入抛物线y2=4x方程可得：y2−4my−8=0，所以y1+y2=4m=−2，解得：m=−12，所以直线AB的斜率是−2．(2)若直线AB的斜率为1，则直线PH的方程是y−2=−(x−1)，所以H(3,0)，若直线AB的斜率为1，则设直线AB的方程为x=y+t，将直线AB代入抛物线y2=4x方程可得：y2−4y−4t=0，所以y1+y2=4，y1y2=−4t，且△=16+16t>0，因为BH⊥AP，所以y2x2−3⋅y1−2x1−1=−1(∗)，将x1=y1+t，x2=y2+t代入(∗)得2y1y2+(t−3)(y1+y2)+t2−4t+3=0，将y1+y2=4，y1y2=−4t代入上面方程可得：t2−8t−9=0，由此方程解得：t=9或t=−1(舍)，所以直线AB的方程是x−y−9=0．【解析】(1)设直线AB的方程为x=my+2，设A，B两点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，根据重心的性质，以及根与系数，根据斜率公式即可求出，(2)分类讨论，根据韦达定理和斜率公式即可求出．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，直线系方程的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．22.已知A，B分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)右顶点和上顶点，且直线AB的斜率为−√22，右焦点F到直线AB的距离为√6−√33．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：y=kx+m(m>1)与椭圆交于M，N两点，且直线BM、BN的斜率之和为1，求实数k的取值范围．【答案】解：(1)∵k AB=ba =√22，∴a=√2b，则b=c，直线AB：bx+ay−ab=0，∴|b−√2b|√3=√6−√33，∴a=√2，b=1．因此，椭圆C的方程为x22+y2=1；(2)设点M(x 1,y 1)、N(x 2,y 2)，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立{y =kx +m x 22+y 2=1，消去y 并整理得(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2−2=0， ∴△>0，由韦达定理得x 1+x 2=−4km 2k 2+1，x 1x 2=2m 2−22k 2+1． ∵k BM +k BN =2kx 1x 2+(m−1)(x 1+x 2)x 1x 2=1，∴(2k −1)x 1x 2+(m −1)(x 1+x 2)=0，∴2k =m +1>2，∴k >1，又∵△>0，∴2k 2>m 2−1，综上所述，0<k <2．因此，实数k 的取值范围是(0,2)．【解析】(1)先由直线AB 的斜率得出a =√2b ，于是得出c =b ，再由点F 到直线AB 的距离，得出b 的值，从而可求出a 的值，从而可写出椭圆C 的方程；(2)设点M(x 1,y 1)、N(x 2,y 2)，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由直线BM 、BN 的斜率之和为1，结合韦达定理得出k 与m 所满足的关系式，结合m 的范围，可得出k 的范围，再由△>0，得出k 的另一个范围，两者取交集可得出实数k 的取值范围．本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程以及韦达定理设而不求法在椭圆综合问题中的应用，考查计算能力，属于中等题．23. 已知平面上一个圆可以将平面分成两个部分，两个圆最多可以将平面分成4个部分，设平面上n 个圆最多可以将平面分成f(n)个部分．(1)求f(3)，f(4)的值；(2)猜想f(n)的表达式并证明；(3)证明：2n ≥f(n)．【答案】解：(1)由已知有：f(3)=8，f(4)=14，(2)f(n)=n 2−n +2下面用数学归纳法证明：①当n =1时，f(1)=12−1+2=2结论成立；②假设n =k 时，结论成立，即平面上k 个圆最多可以将平面分成k 2−k +2个部分，那么当n =k +1时，第k +1个圆与前k 个圆最多有2k 个交点，即此第k +1个圆最多被这2k 个交点分成2k 条圆弧段，由于每增加一个圆弧段，可将原来的区域分成两个区域，因此第k +1个圆使平面增加了2k 个区域，所以f(k +1)=f(k)+2k =k 2−k +2+2k =(k +1)2−(k +1)+2，综合①②得：即平面上n 个圆最多可以将平面分成n 2−n +2个部分，即命题得证(3)证明：①当n =1或2或3时，2n −n 2+n −2=0，即2n ≥f(n)，②n ≥4且n ∈N ∗时，设a n =n 2−n+22n ，则a n+1−a n=(n+1)2−(n+1)+22n+1−n2−n+22n=−n2+3n2n+1，设g(n)=−n2+3n=−(n−32)2+94，因为n≥4，所以g(n)≤−42+3×4=−4<0，所以a n+1−a n=−n2+3n2n+1<0所以n≥4时，数列{a n}是单调递减数列，所以a n=n2−n+22n ≤42−4+224=1416<1，所以2n>n2+n−2，综合①②得：2n≥n2+n−2．故不等式得证．【解析】(1)由题意可知：f(3)=8，f(4)=14，(2)猜想f(n)=n2−n+2并用数学归纳法证明可得解：(3)证明：讨论①当n=1或2或3时，2n−n2+n−2=0，②n≥4且n∈N∗时，用数列单调性的证明方法定义法证明即可本题考查了归纳推理、数学归纳法及数列单调性的证明，属难度较大的题型．。
2018年高考全国一卷理科数学答案及解析
2018年普通高等学招生全国统一考试（全国一卷）理科数学参考答案与解析一、选择题：本题有12小题，每小题5分，共60分。
1、设z=，则|z|=A 、0B 、C 、1D 、【答案】C【解析】由题可得i z =+=2i ）i -（，所以|z|=1【考点定位】复数2、已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则A =A 、{x|-1<x<2}B 、{x|-1x 2}C 、{x|x<-1}∪{x|x>2}D 、{x|x -1}∪{x|x 2} 【答案】B【解析】由题可得C R A={x|x 2-x-2≤0}，所以{x|-1x 2}【考点定位】集合3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是：A 、新农村建设后，种植收入减少。
B 、新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。
C 、新农村建设后，养殖收入增加了一倍。
D 、新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。
【答案】A【解析】由题可得新农村建设后，种植收入37%*200%=74%>60%，【考点定位】简单统计4、记S n为等差数列{a n}的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=A、-12B、-10C、10D、12【答案】B【解析】3*(a1+a1+d+a1+2d)=(a1+a1+d) (a1+a1+d+a1+2d+a1+3d)，整理得:2d+3a1=0; d=-3 ∴a5=2+(5-1)*(-3)=-10【考点定位】等差数列求和5、设函数f（x）=x3+(a-1)x2+ax，若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：A、y=-2xB、y=-xC、y=2xD、y=x【答案】D【解析】f（x）为奇函数，有f（x）+f（-x）=0整理得:f（x）+f（-x）=2*(a-1)x2=0 ∴a=1f（x）=x3+x求导f‘（x）=3x2+1f‘（0）=1 所以选D【考点定位】函数性质：奇偶性；函数的导数6、在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=A、--B、--C、-+D、-【答案】A【解析】AD 为BC 边∴上的中线 AD=AC 21AB 21+ E 为AD 的中点∴AE=AC 41AB 41AD 21+= EB=AB-AE=AC 41AB 43）AC 41AB 41（-AB -=+= 【考点定位】向量的加减法、线段的中点7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为11A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A 、B 、C 、3D 、2 【答案】B【解析】将圆柱体的侧面从A 点展开：注意到B 点在41圆周处。
南京市、盐城市2018年高三年级第一次模拟考试数学试题及答案解析
南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 参考公式：柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面积,h 为高.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合{}|(4)0A x x x =-<，{}0,1,5B =，则A B =I ▲ ．2．设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位），若(1)i z +⋅为纯虚数，则a 的值为 ▲ ．3．为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为 ▲ ．4．执行如图所示的伪代码，若0x =，则输出的y 的值为 ▲ ．5．口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 ▲ ．6．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22145x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为 ▲ ． 7．设函数1x x y e a e=+-的值域为A ，若[0,)A ⊆+∞，则实数a 的取值范围是 ▲ ．8．已知锐角,αβ满足()()tan 1tan 12αβ--=，则αβ+的值为 ▲ ．9．若函数sin y x ω=在区间[0,2]π上单调递增，则实数ω的取值范围是 ▲ ．10．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若{}n a 的前2017项中的奇数项和为2018，则2017S 的值为 ▲ ．时间(单位:分钟) 组距 50 60 70 80 90 100 0.035 a0.0200.0100.005第3题图 第4题图11．设函数()f x 是偶函数，当x ≥0时，()f x =(3),03,31,>3x x x x x-≤≤⎧⎪⎨-+⎪⎩，若函数()y f x m =- 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy中，若直线(y k x =-上存在一点P ，圆22(1)1x y +-=上存在一点Q ，满足3OP OQ =，则实数k 的最小值为 ▲ ．13．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处，且,A B 的位置所图所示，则⋅的最大值为 ▲ ．14．若不等式2sin sin sin 19sin sin k B A C B C +>对任意ABC ∆都成立，则实数k 的最小值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，点,M N 分别是11,AB A B 的中点.（1）求证：BN ∥平面1A MC ； （2）若11A M AB ⊥，求证：11AB A C ⊥.16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c已知2c =. （1）若2C B =，求cos B 的值； （2）若AB AC CA CB ⋅=⋅，求cos()4B π+的值．第13题图ABCA 1B 1C 1MN第15题图有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB 长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD （如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好．．能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF 是以O 为圆心、120EOF ∠=︒的扇形，且弧»EF,¼GH 分别与边BC ,AD 相切于点M ,N ． （1）当BE 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的下顶点为B ，点,M N 是椭圆上异于点B 的动点，直线,BM BN 分别与x 轴交于点,P Q ，且点Q 是线段OP 的中点．当点N 运动到点2处时，点Q的坐标为(,0)3． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点,M N 均在y 轴右侧，且2DN NM =时，求直线BM 的方程．第17题-图甲 FH 第17题-图乙设数列{}n a 满足221121()n n n a a a a a λ+-=+-，其中2n …，且n N ∈，λ为常数.（1）若{}n a 是等差数列，且公差0d ≠，求λ的值；（2）若1231,2,4a a a ===，且存在[3,7]r ∈，使得n m a n r ⋅-卪对任意的*n N ∈都成立，求m 的最小值；（3）若0λ≠，且数列{}n a 不是常数列，如果存在正整数T ，使得n T n a a +=对任意的*n N ∈均成立.求所有满足条件的数列{}n a 中T 的最小值.20．(本小题满分16分)设函数()ln f x x =，()bg x ax c x=+-（,,a b c R ∈）. （1）当0c =时，若函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，求,a b 的值；（2）当3b a =-时，若对任意0(1,)x ∈+∞和任意(0,3)a ∈，总存在不相等的正实数12,x x ，使得120()()()g x g x f x ==，求c 的最小值；（3）当1a =时，设函数()y f x =与()y g x =的图象交于11(,),A x y 2212(,)()B x y x x <两点．求证：122121x x x b x x x -<<-.南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知AB 为⊙O 的直径，直线DE 与⊙O 相切于点E ，AD 垂直DE 于点D . 若4DE =，求切点E 到直径AB 的距离EF ．B .（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵 2 00 1⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，求圆221x y +=在矩阵M 的变换下所得的曲线方程.C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=(0r >)相切，求r 的值.D ．(选修4-5：不等式选讲）已知实数,x y 满足2231x y +=，求当x y +取最大值时x 的值.A B E D F O · 第21(A)图[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，OP ⊥底面ABCD ，点M 为PC 中点，4,2,4AC BD OP ===.（1）求直线AP 与BM 所成角的余弦值；（2）求平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值．23．（本小题满分10分）已知n N *∈，()0112112r r n nn n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．（1）求()1,f ()2,f ()3f 的值；（2）试猜想()f n 的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．M A C D O P 第22题图南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1．{}1 2．1 3．1200 4．1 5．236．6 7．(,2]-∞ 8．34π 9．1(0,]4 10．4034 11．9[1,)412． 13．24 14．100 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．证明：（1）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以11//AB A B ，且11AB A B =，又点,M N 分别是11,AB A B 的中点，所以1MB A N =，且1//MB A N ．所以四边形1A NBM 是平行四边形，从而1//A M BN ． ……………4分 又BN ⊄平面1A MC ，1A M ⊂平面1A MC ，所以BN ∥面1A MC ． ……………6分 （2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AA ⊥底面ABC ，而1AA ⊂侧面11ABB A ，所以侧面11ABB A ⊥底面ABC ．又CA CB =，且M 是AB 的中点，所以CM AB ⊥．则由侧面11ABB A ⊥底面ABC ，侧面11ABB A 底面ABC AB =，CM AB ⊥，且CM ⊂底面ABC ，得CM ⊥侧面11ABB A ． ……………8分 又1AB ⊂侧面11ABB A ，所以1AB CM ⊥． ……………10分又11AB A M ⊥，1,A M MC ⊂平面1A MC ，且1A MMC M =，所以1AB ⊥平面1A MC ． ……………12分又1AC ⊂平面1A MC ，所以11AB A C ⊥． ……………14分 16．解：（1）因为c =，则由正弦定理，得sin C B =． ……………2分 又2C B =，所以sin 22B B =，即4sin cos B B B =． ……………4分 又B 是ABC ∆的内角，所以sin 0B >，故cos 4B =． ……………6分（2）因为AB AC CA CB ⋅=⋅， 所以cos cos cb A ba C =，则由余弦定理，得222222b c a b a c +-=+-，得a c =． ……………10分从而2223cos 25a cb B ac +-===， ……………12分又0B π<<，所以4sin 5B ==．从而34cos()cos cos sin sin 444525210B B B πππ+=-=⨯-⨯=-． ……………14分17．解：（1）在图甲中，连接MO 交EF 于点T ．设OE OF OM R ===，在Rt OET ∆中，因为1602EOT EOF ∠=∠=︒，所以2ROT =，则2R MT OM OT =-=． 从而2RBE MT ==，即22R BE ==. ……………2分 故所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形22114sin120323R R ππ=-︒=-. ……………4分又所得柱体的高4EG =，所以V S EG =⨯=163π-答：当BE 长为1分米时，折卷成的包装盒的容积为163π-. …………………6分（2）设BE x =，则2R x =，所以所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形222114sin120(323R R x ππ=-︒=.又所得柱体的高62EG x =-，所以V S EG =⨯=328(3)3x x π--+，其中03x <<. …………………10分令32()3,(0,3)f x x x x =-+∈，则由2()363(2)0f x x x x x '=-+=--=，解得2x =. …………………12分列表如下：所以当x =答：当BE 的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大. …………………14分18．解：（1）由NQ ，得直线NQ的方程为32y x =…………………2分令0x =，得点B 的坐标为(0,． 所以椭圆的方程为22213x y a +=． …………………4分 将点N 的坐标2代入，得222213a +=，解得24a =． 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=． (8)分 （2）方法一：设直线BM 的斜率为(0)k k >，则直线BM 的方程为y kx =-在y kx =0y =，得P x k =，而点Q 是线段OP 的中点，所以2Q x k=．所以直线BN的斜率22BN BQ k k k k===． ………………10分联立22143y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y，得22(34)0k x +-=，解得234M x k =+． 用2k 代k，得N x =………………12分又2DN NM =，所以2()N M N x x x =-，得23M N x x =． ………………14分故23=0k >，解得k = 所以直线BM的方程为y x =． ………………16分 方法二：设点,M N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ．由(0,B ，得直线BN的方程为11y y x x +=0y =，得P x =同理，得Q x =．而点Q 是线段OP 的中点，所以2P Q x x ==…………………10分 又2DN NM =，所以2122()x x x =-，得21203x x =>4=，解得21433y y =+． …………………12分将21212343x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入到椭圆C的方程中，得2119x +=． 又22114(1)3y x =-，所以21214(1)(431927y y -++=21120y +=，解得1y =13y =．又10x >，所以点M的坐标为(33M ．……………14分 故直线BM的方程为y x =-． …………………16分 19．解：（1）由题意，可得22()()n n n a a d a d d λ=+-+，化简得2(1)0d λ-=，又0d ≠，所以1λ=. ………………4分 （2）将1231,2,4a a a ===代入条件，可得414λ=⨯+，解得0λ=，所以211n n n a a a +-=，所以数列{}n a 是首项为1，公比2q =的等比数列，所以12n n a -=. ……6分欲存在[3,7]r ∈，使得12n m n r -⋅-…，即12n r n m --⋅…对任意*n N ∈都成立， 则172n n m --⋅…，所以172n n m --…对任意*n N ∈都成立. ………………8分 令172n n n b --=，则11678222n n n n n n n n b b +-----=-=，所以当8n >时，1n n b b +<；当8n =时，98b b =；当8n <时，1n n b b +>．所以n b 的最大值为981128b b ==，所以m 的最小值为1128. ………………10分（3）因为数列{}n a 不是常数列，所以2T …．①若2T =，则2n n a a +=恒成立，从而31a a =，42a a =，所以22221212221221()()a a a a a a a a λλ⎧=+-⎪⎨=+-⎪⎩，所以221()0a a λ-=，又0λ≠，所以21a a =，可得{}n a 是常数列．矛盾．所以2T =不合题意. ………………12分②若3T =，取*1,322,31()3,3n n k a n k k N n k =-⎧⎪==-∈⎨⎪-=⎩（*），满足3n n a a +=恒成立． ………………14分由2221321()a a a a a λ=+-，得7λ=． 则条件式变为2117n n n a a a +-=+．由221(3)7=⨯-+，知223132321()k k k a a a a a λ--=+-； 由2(3)217-=⨯+，知223313121()k k k a a a a a λ-+=+-； 由21(3)27=-⨯+，知223133221()k k k a a a a a λ++=+-．所以，数列（*）适合题意．所以T 的最小值为3. ………………16分20．解：（1）由()ln f x x =，得(1)0f =，又1()f x x'=，所以(1)1f '=，. 当0c =时，()b g x ax x =+，所以2()bg x a x'=-，所以(1)g a b '=-. ………………2分 因为函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，所以(1)(1)(1)(1)f g f g ''=⎧⎨=⎩，即10a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ………………4分（2）当01x >时，则0()0f x >，又3b a =-，设0()t f x =，则题意可转化为方程3(0)aax c t t x-+-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ． ………………6分 即关于x 的方程2()(3)0(0)ax c t x a t -++-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ．所以2121203()4(3)030a c t a a c t x x a ax x a <<⎧⎪∆=+-->⎪⎪+⎨+=>⎪⎪-=>⎪⎩，得203()4(3)0a c t a a c t <<⎧⎪+>-⎨⎪+>⎩，所以c t >对(0,),(0,3)t a ∈+∞∈恒成立． ………………8分因为03a <<，所以23=（当且仅当32a =时取等号）， 又0t -<，所以t 的取值范围是(,3)-∞，所以3c …． 故c 的最小值为3. ………………10分 （3）当1a =时，因为函数()f x 与()g x 的图象交于,A B 两点，所以111222ln ln b x x cx b x x cx ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式相减，得211221ln ln (1)x x b x x x x -=--. ………………12分 要证明122121x x x b x x x -<<-，即证211221212121ln ln (1)x x x x x x x x x x x x --<-<--， 即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-，即证1222111ln 1x x x x x x -<<-. ………………14分 令21x t x =，则1t >，此时即证11ln 1t t t-<<-． 令1()ln 1t t t ϕ=+-，所以22111()0t t t t tϕ-'=-=>，所以当1t >时，函数()t ϕ单调递增．又(1)0ϕ=，所以1()ln 10t t t ϕ=+->，即11ln t t-<成立；再令()ln 1m t t t =-+，所以11()10tm t t t-'=-=<，所以当1t >时，函数()m t 单调递减，又(1)0m =，所以()ln 10m t t t =-+<，即ln 1t t <-也成立．综上所述， 实数12,x x 满足122121x x x b x x x -<<-. ………………16分附加题答案21．（A ）解：如图，连接AE ，OE ，因为直线DE 与⊙O 相切于点E ，所以DE OE ⊥，又因为AD 垂直DE 于D ，所以//AD OE ，所以DAE OEA ∠=∠，① 在⊙O 中OE OA =，所以OEA OAE ∠=∠，② ………………5分 由①②得DAE ∠OAE =∠，即DAE ∠FAE =∠， 又ADE AFE ∠=∠，AE AE =，所以ADE AFE ∆≅∆，所以DE FE =，又4DE =，所以4FE =， 即E 到直径AB 的距离为4. ………………10分（B ）解：设()00,P x y 是圆221x y +=上任意一点，则22001x y +=，ABE DF O · 第21(A)图设点()00,P x y 在矩阵M 对应的变换下所得的点为(),Q x y ，则002 00 1x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即002x x y y =⎧⎨=⎩，解得0012x x y y⎧=⎪⎨⎪=⎩， ………………5分代入2201x y +=，得2214x y +=，即为所求的曲线方程. ………………10分 （C ）解：以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴建立平面直角坐标系，由cos()13πρθ+=，得(cos cossin sin )133ππρθθ-=，得直线的直角坐标方程为20x --=． ………………5分曲线r ρ=，即圆222x y r +=，所以圆心到直线的距离为1d ==．因为直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=（0r >）相切，所以r d =，即1r =. ……………10分（D）解：由柯西不等式，得22222[)][1(](133x x ++≥⨯⨯， 即2224(3)()3x y x y +≥+． 而2231x y +=，所以24()3x y +≤，所以x y ≤+≤ ………………5分由1x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎩，得2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩26x y ==时，max ()x y += 所以当x y +取最大值时x的值为2x =. ………………10分 22．解：（1）因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又OP ⊥底面ABCD ，以O 为原点，直线,,OA OB OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系． 则(2,0,0)A ,(0,1,0)B ,(0,0,4)P ,(2,0,0)C -,(1,0,2)M -．所以(2,0,4)AP =-，(1,1,2)BM =--，10AP BM ⋅=，||25AP =，||6BM =．则cos ,6||||2AP BM AP BM AP BM ⋅<>===． 故直线AP 与BM 所成角的余弦值为6. ………5分 （2）(2,1,0)AB =-，(1,1,2)BM =--．设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =，C第22题图则00n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2020x y x y z -+=⎧⎨--+=⎩，令2x =，得4y =，3z =．得平面ABM 的一个法向量为(2,4,3)n =．又平面PAC 的一个法向量为(0,1,0)OB =，所以n 4OB ⋅=，||29n =，||1OB =．则cos ,||||29n OBn OB n OB ⋅<>===故平面ABM 与平面PAC ………………10分 23．解：（1）由条件，()0112112r r n nn n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ①，在①中令1n =，得()011111f C C ==． ………………1分 在①中令2n =，得()011222222226f C C C C =+=，得()23f =． ………………2分 在①中令3n =，得()011223333333332330f C C C C C C =++=，得()310f =． ………………3分（2）猜想()f n =21nn C -（或()f n =121n n C --）． ………………5分 欲证猜想成立，只要证等式011211212n r r n nn n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+成立．方法一：当1n =时，等式显然成立，当2n …时，因为11!!(1)!==!()!(1)!()!(1)!()!rr n n r n n n rC n nC r n r r n r r n r --⨯-=⨯=-----（），故11111()r r r r r r n n n n n n rC C rC C nC C -----==．故只需证明00111111211111n r r n n n n n n n n n n n nC nC C nC C nC C nC C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+． 即证00111111211111n r r n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．而11r n r n n C C --+=，故即证0111111211111n n n r n r n n n n n n n n n n C C C C C C C C C ---+------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ②． 由等式211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++可得，左边nx 的系数为21n n C -．而右边1(1)(1)n n x x -++()()01221101221111n n n nnn n n n n n n C C x C x C x C C x C x C x ------=++++++++，所以nx 的系数为01111111111n n r n r n n n n n n n n n C C C C C C C C ---+-----++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++恒成立可得②成立.综上，()21n n f n C -=成立. ………………10分 方法二：构造一个组合模型，一个袋中装有21n -个小球，其中n 个是编号为1，2，…，n 的白球，其余n －1个是编号为1，2，…，n －1的黑球，现从袋中任意摸出n 个小球，一方面，由分步计数原理其中含有r 个黑球（n r -个白球）的n 个小球的组合的个数为1r n rn nC C --，01r n ≤≤-，由分类计数原理有从袋中任意摸出n 个小球的组合的总数为01111111n n n n n n nn n C C C C C C -----+++．另一方面，从袋中21n -个小球中任意摸出n 个小球的组合的个数为21nn C -．故0111121111n n n n n n n n n n n C C C C C C C ------=++，即②成立. 余下同方法一. ………………10分方法三：由二项式定理，得0122(1)n n n n n n n x C C x C x C x +=++++ ③． 两边求导，得112111(1)2n r r n n n n n n n x C C x rC x nC x ---+=+++++ ④．③×④， 得21012212111(1)()(2)n n n r r n n n n n n n n n n n x C C x C x C x C C x rC x nC x ---+=+++++++++ ⑤．左边n x 的系数为21nn nC -．右边nx 的系数为121112n n r n r n n n n n n n n n C C C C rC C nC C --+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+1021112r r n n n n n n n n n n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+0112112r r n n n n n n n n n n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由⑤恒成立，可得011211212n r r n nn n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．故()21n n f n C -=成立. ………………10分。
2018高考数学(理科)模拟考试题一含答案及解析
2018年高考数学(理科)模拟试卷(一) (本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题满分60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2016年四川)设集合A＝{x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是()A．6 B. 5 C．4 D．31.B解析：由题意，A∩Z＝{1,2,3,4,5}，故其中的元素的个数为5.故选B.2．(2016年山东)若复数z满足2z＋z＝3－2i, 其中i为虚数单位，则z＝()A．1＋2i B．1－2iC．－1＋2i D．－1－2i2．B解析：设z＝a＋b i(a，b∈R)，则2z＋z＝3a＋b i＝3－2i，故a＝1，b＝－2，则z＝1－2i.故选B.3．(2015年北京)某四棱锥的三视图如图M1-1，该四棱锥最长棱的棱长为()图M1-1A．1 B. 2 C. 3 D．23．C解析：四棱锥的直观图如图D188：由三视图可知，SC⊥平面ABCD，SA是四棱锥最长的棱，SA＝SC2＋AC2＝SC2＋AB2＋BC2＝ 3.故选C.图D1884．曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A.π6 B.π3 C.π4 D.π24．C 解析：f ′(x )＝3x 2－2，f ′(1)＝1，所以切线的斜率是1，倾斜角为π4.5．设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2]＝2，…，[t n ]＝n 同时成立，则正整数n 的最大值是( )A ．3B ．4C ．5D ．65．B 解析：因为[x ]表示不超过x 的最大整数．由[t ]＝1，得1≤t <2，由[t 2]＝2，得2≤t 2<3.由[t 3]＝3，得3≤t 3<4.由[t 4]＝4，得4≤t 4<5.所以2≤t 2< 5.所以6≤t 5<4 5.由[t 5]＝5，得5≤t 5<6，与6≤t 5<4 5矛盾，故正整数n 的最大值是4.6．(2016年北京)执行如图M1-2所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为( )图M1-2A ．1B ．2C ．3D ．46．B 解析：输入a ＝1，则k ＝0，b ＝1；进入循环体，a ＝－12，否，k ＝1，a ＝－2，否，k ＝2，a ＝1，此时a ＝b ＝1，输出k ，则k ＝2.故选B.7．某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图M1-3，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m ＋n 的值是( )图M1-3A ．10B ．11C ．12D ．137．C 解析：由题意，得78＋88＋84＋86＋92＋90＋m ＋957＝88，n ＝9.所以m ＋n ＝12.故选C.8．(2015年陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知分别生产1吨甲、乙产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 B ．16C ．17万元 D ．18万元8．D 解析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x 吨、y 吨，则利润z ＝3x ＋4y .由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0.其表示如图D189阴影部分区域：图D189当直线3x ＋4y －z ＝0过点A (2,3)时，z 取得最大值，所以z max ＝3×2＋4×3＝18.故选D.9．(2016年新课标Ⅲ)定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数．若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有( )A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个9．C 解析：由题意，必有a 1＝0，a 8＝1，则具体的排法列表如下：10．(2016年天津)已知函数f (x )＝sin 2ωx 2＋12sin ωx －12(ω>0)，x ∈R .若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，18B.⎝⎛⎦⎤0，14∪⎣⎡⎭⎫58，1 C.⎝⎛⎦⎤0，58 D.⎝⎛⎦⎤0，18∪⎣⎡⎦⎤14，58 10.D 解析：f (x )＝1－cos ωx 2＋sin ωx 2－12＝22sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4，f (x )＝0⇒sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4＝0， 所以x ＝k π＋π4ω(π，2π)，(k ∈Z )．因此ω⎝⎛⎭⎫18，14∪⎝⎛⎭⎫58，54∪⎝⎛⎭⎫98，94∪…＝⎝⎛⎭⎫18，14∪⎝⎛⎭⎫58，＋∞⇒ω∈⎝⎛⎦⎤0，18∪⎣⎡⎦⎤14，58.故选D.11．四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 为正方形，P A ⊥底面ABCD ，AB ＝2，若该四棱锥的所有顶点都在体积为243π16的同一球面上，则P A ＝( )A ．3 B.72C ．2 3 D.9211．B 解析：如图D190，连接AC ，BD 交于点E ，取PC 的中点O ，连接OE ，则OE∥P A ，所以OE ⊥底面ABCD ，则O 到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O 为球心，12PC ＝12P A 2＋AC 2＝12P A 2＋8，所以由球的体积可得43π⎝⎛⎭⎫12P A 2＋83＝243π16，解得P A ＝72.故选B.图D19012．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A 、B 在该抛物线上且位于x 轴两侧，若OA →·OB →＝6(O 为坐标原点)，则△ABO 与△AOF 面积之和的最小值为( )A ．4 B.3 132 C.17 24D.1012．B 解析：设直线AB 的方程为x ＝ty ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 与x 轴的交点为M (m,0)，将直线方程与抛物线方程联立，可得y 2－ty －m ＝0，根据韦达定理有y 1·y 2＝－m ，因为OA →·OB →＝6，所以x 1·x 2＋y 1·y 2＝6，从而(y 1·y 2)2＋y 1·y 2－6＝0，因为点A ，B 位于x 轴的两侧，所以y 1·y 2＝－3，故m ＝3，不妨令点A 在x 轴上方，则y 1>0，又F ⎝⎛⎭⎫14，0，所以S △ABO ＋S △AFO ＝12×3×(y 1－y 2)＋12×14y 1＝138y 1＋92y 1≥2138·y 1·92·1y 1＝3132，当且仅当13y 18＝92y 1，即y 1＝6 1313时取等号，故其最小值为3 132.故选B.第Ⅱ卷(非选择题 满分90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.13．2 解析：a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，则c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，|a |＝5，|b |＝2 5，a ·c ＝5m ＋8，b ·c ＝8m ＋20.∵c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，∴c·a |c|·|a|＝c·b |c|·|b|.∴5m ＋85＝8m ＋202 5.解得m ＝2.14．设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为__________．14.5 解析：根据双曲线的对称性，不妨设F (c,0)，虚轴端点为(0，b )，从而可知点(－c,2b )在双曲线上，有c 2a 2－4b 2b2＝1，则e 2＝5，e ＝ 5.15．(2016年北京)在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为________．(用数字作答)15．60 解析：根据二项展开的通项公式T r ＋1＝C r 6·(－2)r x r 可知，x 2的系数为C 26(－2)2＝60，故填60.16．在区间[0，π]上随机地取一个数x ，则事件“sin x ≤12”发生的概率为________．16.13 解析：由正弦函数的图象与性质知，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π时，sin x ≤12. 所以所求概率为⎝⎛⎭⎫π6－0＋⎝⎛⎭⎫π－5π6π＝13.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1＝b 1＝1，b 2＋b 3＝2a 3，a 5－3b 2＝7.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和．17．解：(1)设{a n }的公比为q ，{b n }的公差为d ，由题意知q >0.由已知，有⎩⎪⎨⎪⎧2q 2－3d ＝2，q 4－3d ＝10.消去d ，得q 4－2q 2－8＝0.解得q ＝2，d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *， {b n }的通项公式为b n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由(1)有c n ＝(2n －1)2n －1，设{c n }的前n 项和为S n ， 则S n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1， 2S n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －1)×2n .两式相减，得－S n ＝1＋22＋23＋…＋2n －(2n －1)×2n ＝－(2n －3)×2n －3. 所以S n ＝(2n －3)·2n ＋3，n ∈N *.18．(本小题满分12分)(2014年大纲)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．18．解：记A 1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0,1,2. B 表示事件：甲需使用设备． C 表示事件：丁需使用设备．D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)因为P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(A i)＝C i2×0.52，i＝0,1,2，所以P(D)＝P(A1·B·C＋A2·B＋A2·B·C)＝P(A1·B·C)＋P(A2·B)＋P(A2·B·C)＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P(B)P(C)＝0.31.(2)X的可能取值为0,1,2,3,4，其分布列为P(X＝0)＝P(B·A0·C)＝P(B)P(A0)P(C)＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)＝0.06，P(X＝1)＝P(B·A0·C＋B·A0·C＋B·A1·C)＝P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A1)P(C)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P(X＝4)＝P(A2·B·C)＝P(A2)P(B)P(C)＝0.52×0.6×0.4＝0.06，P(X＝3)＝P(D)－P(X＝4)＝0.25，P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，所以E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.19．(本小题满分12分)(2016年四川)如图M1-4，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠P AB＝90°，BC＝CD＝12AD，E为边AD的中点，异面直线P A与CD所成的角为90°.(1)在平面P AB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；(2)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线P A与平面PCE所成角的正弦值．图M1-419．解：(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行．延长AB，DC，相交于点M(M∈平面P AB)，点M即为所求的一个点．理由如下：由已知，BC∥ED，且BC＝ED，所以四边形BCDE是平行四边形．所以CD∥EB.从而CM∥EB.又EB ⊂平面PBE ，CM 平面PBE ， 所以CM ∥平面PBE .(说明：延长AP 至点N ，使得AP ＝PN ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点) (2)方法一，由已知，CD ⊥P A ，CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ， 所以CD ⊥平面P AD . 从而CD ⊥PD .所以∠PDA 是二面角P -CD -A 的平面角． 所以∠PDA ＝45°.设BC ＝1，则在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝2.如图D191，过点A 作AH ⊥CE ，交CE 的延长线于点H ，连接PH . 易知P A ⊥平面ABCD ， 从而P A ⊥CE . 于是CE ⊥平面P AH . 所以平面PCE ⊥平面P AH .过A 作AQ ⊥PH 于Q ，则AQ ⊥平面PCE . 所以∠APH 是P A 与平面PCE 所成的角． 在Rt △AEH 中，∠AEH ＝45°，AE ＝1， 所以AH ＝22. 在Rt △P AH 中，PH ＝P A 2＋AH 2＝3 22， 所以sin ∠APH ＝AH PH ＝13.图D191 图D192方法二，由已知，CD ⊥P A ，CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ， 所以CD ⊥平面P AD . 于是CD ⊥PD .从而∠PDA 是二面角P -CD -A 的平面角． 所以∠PDA ＝45°.由P A ⊥AB ，可得P A ⊥平面ABCD .设BC ＝1，则在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝2.作Ay ⊥AD ，以A 为原点，以AD → ，AP →的方向分别为x 轴，z 轴的正方向，建立如图D192所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，P (0,0,2)，C (2,1,0)，E (1,0,0)，所以PE →＝(1,0，－2)，EC →＝(1,1,0)，AP →＝(0,0,2)设平面PCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PE →＝0，n ·EC →＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝0，x ＋y ＝0.设x ＝2，解得n ＝(2，－2,1)．设直线P A 与平面PCE 所成角为α，则sin α＝|n ·AP →||n |·|AP →|＝22×22＋(－2)2＋12＝13 .所以直线P A 与平面PCE 所成角的正弦值为13.20．(本小题满分12分)(2016年新课标Ⅲ)设函数f (x )＝ln x －x ＋1. (1)讨论f (x )的单调性；(2)证明当x ∈(1，＋∞)时，1<x －1ln x <x ；(3)设c >1，证明当x ∈(0,1)时，1＋(c －1)x >c x .20．解：(1)由题设，f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．(2)由(1)知，f (x )在x ＝1处取得最大值，最大值为f (1)＝0. 所以当x ≠1时，ln x <x －1.故当x ∈(1，＋∞)时，ln x <x －1，ln 1x <1x －1，即1<x －1ln x <x .(3)由题设c >1，设g (x )＝1＋(c －1)x －c x ， 则g ′(x )＝c －1－c x ln c . 令g ′(x )＝0，解得x 0＝lnc －1ln cln c .当x <x 0时，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当x >x 0时，g ′(x )<0，g (x )单调递减． 由(2)知，1<c －1ln c<c ，故0<x 0<1.又g (0)＝g (1)＝0，故当0<x <1时，g (x )>0. 所以x ∈(0,1)时，1＋(c －1)x >c x .21．(本小题满分12分)(2016年广东广州综合测试一)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为F 1(－2, 0)，点B (2，2)在椭圆C 上，直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．21．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为椭圆的左焦点为F 1(－2,0)，所以a 2－b 2＝4.①因为点B (2，2)在椭圆C 上，所以4a 2＋2b 2＝1.②由①②，解得a ＝2 2，b ＝2.所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A 的坐标为(－2 2，0)．因为直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆x 28＋y 24＝1交于两点E ，F ，设点E (x 0，y 0)(不妨设x 0>0)，则点F (－x 0，－y 0)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y 24＝1消去y ，得x 2＝81＋2k 2. 所以x 0＝2 21＋2k2，则y 0＝2 2k 1＋2k2.所以直线AE 的方程为y ＝k1＋1＋2k2(x ＋2 2)．因为直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ，令x ＝0得y ＝ 2 2k1＋1＋2k2，即点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 2 2k 1＋1＋2k 2. 同理可得点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 2 2k 1－1＋2k 2. 所以|MN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 2k 1＋1＋2k 2－ 2 2k 1－1＋2k 2＝22(1＋2k 2)|k |. 设MN 的中点为P ，则点P 的坐标为P ⎝⎛⎭⎫0，－2k .则以MN 为直径的圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋2k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2(1＋2k 2)|k |2，即x 2＋y 2＋2 2k y ＝4. 令y ＝0，得x 2＝4，即x ＝2或x ＝－2.故以MN 为直径的圆经过两定点P 1(2,0)，P 2(－2,0)，请考生在第(22)(23)两题中任选一题作答．注意：只能作答在所选定的题目上．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．(本小题满分10分)选修4-4：极坐标与参数方程已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A 、B 的极坐标分别为A (2，π)、B ⎝⎛⎭⎫2，4π3. (1)求直线AB 的直角坐标方程；(2)设M 为曲线C 上的动点，求点M 到直线AB 距离的最大值．22．解：(1)将A 、B 化为直角坐标为A (2cos π，2sin π)，B ⎝⎛⎭⎫2cos 4π3，2sin 4π3，即A ，B 的直角坐标分别为A (－2,0)，B (－1，－3)，k AB ＝－3－0－1＋2＝－3，∴直线AB 的方程为y －0＝－3(x ＋2)，即直线AB 的方程为3x ＋y ＋2 3＝0.(2)设M (2cos θ，sin θ)，它到直线AB 的距离d ＝|2 3cos θ＋sin θ＋2 3|2＝|13sin (θ＋φ)＋2 3|2， ∴d max ＝13＋2 32.23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x －2|－|2x －a |，a ∈R .(1)当a ＝3时，解不等式f (x )>0；(2)当x ∈(－∞，2)时，f (x )<0恒成立，求a 的取值范围．23．解：(1)当a ＝3时，f (x )>0，即|x －2|－|2x －3|>0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤32，x －1>0，或⎩⎪⎨⎪⎧ 32<x <2，－3x ＋5>0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，－x ＋1>0. 解得1<x ≤32，或32<x <53. 所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <53. (2)f (x )＝2－x －|2x －a |，所以f (x )<0可化为|2x －a |>2－x ， ①即2x －a >2－x ，或2x －a <x －2.①式恒成立等价于(3x －2)min >a 或(x ＋2)max <a ，∵x ∈(－∞，2)，∴a ≥4.。
2018年江苏省盐城市、南京市高考高三数学一模试卷及解析
2018年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)1.(5分)已知集合A＝{x|x(x﹣4)＜0},B＝{0,1,5},则A∩B＝.2.(5分)设复数z＝a＋i(a∈R,i为虚数单位),若(1＋i)•z为纯虚数,则a的值为.3.(5分)为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间,现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查,所得数据均在区间[50,100]上,其频率分布直方图如图所示,则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为.4.(5分)执行如图所示的伪代码,若x＝0,则输出的y的值为.5.(5分)口袋中有形状和大小完全相同的4个球,球的编号分别为1,2,3,4,若从袋中一次随机摸出2个球,则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为.6.(5分)若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线的右焦点重合,则实数p的值为.7.(5分)设函数y＝e x﹣a的值域为A,若A⊆[0,＋∞),则实数a的取值范围是.8.(5分)已知锐角α,β满足(tanα﹣1)(tanβ﹣1)＝2,则α＋β的值为.9.(5分)若函数y＝sinωx在区间[0,2π]上单调递增,则实数ω的取值范围是.10.(5分)设S n为等差数列{a n}的前n项和,若{a n}的前2017项中的奇数项和为2018,则S2017的值为.11.(5分)设函数f(x)是偶函数,当x≥0时,f(x)＝,若函数y＝f(x)﹣m 有四个不同的零点,则实数m的取值范围是.12.(5分)在平面直角坐标系xOy中,若直线y＝k(x﹣3)上存在一点P,圆x2＋(y﹣1)2＝1上存在一点Q,满足＝3,则实数k的最小值为.13.(5分)如图是蜂巢结构图的一部分,正六边形的边长均为1,正六边形的顶点称为“晶格点”.若A,B,C,D四点均位于图中的“晶格点”处,且A,B的位置所图所示,则的最大值为.14.(5分)若不等式ksin2B＋sinAsinC＞19sinBsinC对任意△ABC都成立,则实数k的最小值为.二、解答题(共6小题,满分90分)15.(14分)如图所示,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA＝CB,点M,N分别是AB,A1B1的中点.(1)求证：BN∥平面A1MC；(2)若A1M⊥AB1,求证：AB1⊥A1C.16.(14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c 已知c＝.(1)若C＝2B,求cosB的值；(2)若＝,求cos(B)的值.17.(14分)有一矩形硬纸板材料(厚度忽略不计),一边AB长为6分米,另一边足够长.现从中截取矩形ABCD(如图甲所示),再剪去图中阴影部分,用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒(如图乙所示,重叠部分忽略不计),其中OEMF 是以O为圆心、∠EOF＝120°的扇形,且弧,分别与边BC,AD相切于点M,N.(1)当BE长为1分米时,求折卷成的包装盒的容积；(2)当BE的长是多少分米时,折卷成的包装盒的容积最大？18.(16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C：(a＞b＞0)的下顶点为B,点M,N是椭圆上异于点B的动点,直线BM,BN分别与x轴交于点P,Q,且点Q是线段OP的中点.当点N运动到点()处时,点Q的坐标为().(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线MN交y轴于点D,当点M,N均在y轴右侧,且＝2时,求直线BM的方程.19.(16分)设数列{a n}满足a＝a n＋1a n﹣1＋λ(a2﹣a1)2,其中n≥2,且n∈N,λ为常数.(1)若{a n}是等差数列,且公差d≠0,求λ的值；(2)若a1＝1,a2＝2,a3＝4,且存在r∈[3,7],使得m•a n≥n﹣r对任意的n∈N*都成立,求m的最小值；(3)若λ≠0,且数列{a n}不是常数列,如果存在正整数T,使得a n＋T＝a n对任意的n∈N*均成立.求所有满足条件的数列{a n}中T的最小值.20.(16分)设函数f(x)＝lnx,g(x)＝ax＋(a,b,c∈R).(1)当c＝0时,若函数f(x)与g(x)的图象在x＝1处有相同的切线,求a,b的值；(2)当b＝3﹣a时,若对任意x0∈(1,＋∞)和任意a∈(0,3),总存在不相等的正实数x1,x2,使得g(x1)＝g(x2)＝f(x0),求c的最小值；(3)当a＝1时,设函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象交于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1＜x2)两点.求证：x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1.[选做题](在21.22.23.24四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内)[选修4-1：几何证明选讲]图21.(10分)如图,已知AB为⊙O的直径,直线DE与⊙O相切于点E,AD垂直DE于点D.若DE＝4,求切点E到直径AB的距离EF.[选修4-2：矩阵与变换]22.(10分)已知矩阵M＝,求圆x2＋y2＝1在矩阵M的变换下所得的曲线方程.[选修4-4：坐标系与参数方程]23.在极坐标系中,直线ρcos(θ＋)＝1与曲线ρ＝r(r＞0)相切,求r的值.[选修4-5：不等式选讲]24.已知实数x,y满足x2＋3y2＝1,求当x＋y取最大值时x的值.25.(10分)如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形,AC与BD交于点O,OP⊥底面ABCD,点M为PC中点,AC＝4,BD＝2,OP＝4.(1)求直线AP与BM所成角的余弦值；(2)求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值.26.(10分)已知n∈N*,nf(n)＝C n0C n1＋2C n1C n2＋…＋nC n n﹣1C n n.(1)求f(1),f(2),f(3)的值；(2)试猜想f(n)的表达式(用一个组合数表示),并证明你的猜想.2018年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)1.(5分)已知集合A＝{x|x(x﹣4)＜0},B＝{0,1,5},则A∩B＝{1} .【试题解答】解：∵集合A＝{x|x(x﹣4)＜0}＝{x|0＜x＜4},B＝{0,1,5},∴A∩B＝{1}.故答案为：{1}.2.(5分)设复数z＝a＋i(a∈R,i为虚数单位),若(1＋i)•z为纯虚数,则a的值为1.【试题解答】解：∵z＝a＋i,∴(1＋i)•z＝(1＋i)(a＋i)＝a﹣1＋(a＋1)i,又(1＋i)•z为为纯虚数,∴a﹣1＝0即a＝1.故答案为：1.3.(5分)为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间,现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查,所得数据均在区间[50,100]上,其频率分布直方图如图所示,则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为1200.【试题解答】解：由频率分布直方图得：该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的频率为：1﹣(0.005＋0.035＋0.020＋0.010)×10＝0.3,∴估计该县小学六年级4000名学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为：4000×0.3＝1200.故答案为：1200.4.(5分)执行如图所示的伪代码,若x＝0,则输出的y的值为1.【试题解答】解：根据题意知,执行程序后,输出函数y＝,当x＝0时,y＝e0＝1.故答案为：1.5.(5分)口袋中有形状和大小完全相同的4个球,球的编号分别为1,2,3,4,若从袋中一次随机摸出2个球,则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为.【试题解答】解：口袋中有形状和大小完全相同的4个球,球的编号分别为1,2,3,4,从袋中一次随机摸出2个球,基本事件总数n＝＝6,摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件有：(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共4个,∴摸出的2个球的编号之和大于4的概率为p＝.故答案为：.6.(5分)若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线的右焦点重合,则实数p的值为6.【试题解答】解：∵双曲线的方程,∴a2＝4,b2＝5,可得c＝＝3,因此双曲线的右焦点为F(3,0),∵抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点与双曲线的右焦点重合,∴＝3,解之得p＝6.故答案为：6.7.(5分)设函数y＝e x﹣a的值域为A,若A⊆[0,＋∞),则实数a的取值范围是(﹣∞,2] .【试题解答】解：函数y＝e x﹣a的值域为A∵e x＝2,∴值域为A＝[2﹣a,＋∞).又∵A⊆[0,＋∞),∴2﹣a≥0,即a≤2.故答案为：(﹣∞,2].8.(5分)已知锐角α,β满足(tanα﹣1)(tanβ﹣1)＝2,则α＋β的值为.【试题解答】解：∵(tanα﹣1)(tanβ﹣1)＝2,可得：tanα＋tanβ＋1＝tanαtanβ,∴tan(α＋β)＝═﹣1,∵锐角α,β,可得：α＋β∈(0,π),∴α＋β＝.故答案为：.9.(5分)若函数y＝sinωx在区间[0,2π]上单调递增,则实数ω的取值范围是(0,] .【试题解答】解：由函数y＝sinωx,图象过原点,可得ω＞0在区间[0,2π]上单调递增,∴,即.故答案为：(0,]10.(5分)设S n为等差数列{a n}的前n项和,若{a n}的前2017项中的奇数项和为2018,则S2017的值为4034.【试题解答】解：因为S n为等差数列{a n}的前n项和,且{a n}的前2017项中的奇数项和为2018,所以S＝a1＋a3＋a5＋…＋a2017＝1009×(a1＋a2017)×＝1009×a1009＝2018,得奇a1009＝2.＝a2＋a4＋a6＋…＋a2016＝1008×(a2＋a2016)×＝1008×a1009＝1008×2＝则S偶2016则S2017＝S奇＋S偶＝2018＋2016＝4034.故答案为：4034.11.(5分)设函数f(x)是偶函数,当x≥0时,f(x)＝,若函数y＝f(x)﹣m 有四个不同的零点,则实数m的取值范围是[1,).【试题解答】解：由0≤x≤3可得f(x)∈[0,],x＞3时,f(x)∈(0,1).画出函数y＝f(x)与y＝m的图象,如图所示,∵函数y＝f(x)﹣m有四个不同的零点,∴函数y＝f(x)与y＝m的图象有4个交点,由图象可得m的取值范围为[1,),故答案为：[1,).12.(5分)在平面直角坐标系xOy中,若直线y＝k(x﹣3)上存在一点P,圆x2＋(y﹣1)2＝1上存在一点Q,满足＝3,则实数k的最小值为﹣.【试题解答】解：设P(x1,y1),Q(x2,y2)；则y1＝k(x1﹣3)①,＋(y2﹣1)2＝1②；由＝3,得,即,代入②得＋＝9；此方程表示的圆心(0,3)到直线kx﹣y﹣3k＝0的距离为d≤r；即≤3,解得﹣≤k≤0.∴实数k的最小值为﹣.故答案为：﹣.13.(5分)如图是蜂巢结构图的一部分,正六边形的边长均为1,正六边形的顶点称为“晶格点”.若A,B,C,D四点均位于图中的“晶格点”处,且A,B的位置所图所示,则的最大值为24.【试题解答】解：建立如图的直角坐标系,则A(,),B(0,0),那么容易得到C(0,5)时,D的位置可以有三个位置,其中D1(﹣,),D2(﹣,0),D3(﹣,),此时＝(﹣,﹣),＝(﹣,﹣),＝(﹣,﹣5),＝(﹣,﹣),则•＝21,•＝24,•＝22.5,则的最大值为24,故答案为：24.14.(5分)若不等式ksin2B＋sinAsinC＞19sinBsinC对任意△ABC都成立,则实数k的最小值为100.【试题解答】解：∵ksin2B＋sinAsinC＞19sinBsinC,由正弦定理可得：kb2＋ac＞19bc,∴k＞,只需k大于右侧表达式的最大值即可,显然c＞b时,表达式才能取得最大值,又∵c﹣b＜a＜b＋c,∴﹣b﹣c＜﹣a＜b﹣c,∴＜19＋()＝20﹣()2＝100﹣(﹣10)2,当＝10时,20﹣()2取得最大值20×10﹣102＝100.∴k≥100,即实数k的最小值为100.故答案为：100二、解答题(共6小题,满分90分)15.(14分)如图所示,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA＝CB,点M,N分别是AB,A1B1的中点.(1)求证：BN∥平面A1MC；(2)若A1M⊥AB1,求证：AB1⊥A1C.【试题解答】证明：(1)因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,所以AB∥A1B1,且AB＝A1B1,又点M,N分别是AB、A1B1的中点,所以MB＝A1N,且MB∥A1N.所以四边形A1NBM是平行四边形,从而A1M∥BN.又BN⊄平面A1MC,A1M⊂平面A1MC,所以BN∥平面A1MC；(2)因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥底面ABC,而AA1⊂侧面ABB1A1,所以侧面ABB1A1⊥底面ABC.又CA＝CB,且M是AB的中点,所以CM⊥AB.则由侧面ABB1A1⊥底面ABC,侧面ABB1A1∩底面ABC＝AB,CM⊥AB,且CM⊂底面ABC,得CM⊥侧面ABB1A1.又AB1⊂侧面ABB1A1,所以AB1⊥CM.又AB1⊥A1M,A1M、MC平面A1MC,且A1M∩MC＝M,所以AB1⊥平面A1MC.又A1C⊂平面A1MC,所以AB⊥A1C.16.(14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c 已知c＝.(1)若C＝2B,求cosB的值；(2)若＝,求cos(B)的值.【试题解答】解：(1)因为c＝,则由正弦定理,得sinC＝sinB. …(2分)又C＝2B,所以sin2B＝sinB,即2sinBcosB＝sinB. …(4分)又B是△ABC的内角,所以sinB＞0,故cosB＝. …(6分) (2)因为＝,所以cbcosA＝bacosC,则由余弦定理,得b2＋c2﹣a2＝b2＋a2﹣c2,得a＝c. …(10分)从而cosB＝＝,…(12分)又0＜B＜π,所以sinB＝＝.从而cos(B＋)＝cosBcos﹣sinBsin＝. …(14分)17.(14分)有一矩形硬纸板材料(厚度忽略不计),一边AB长为6分米,另一边足够长.现从中截取矩形ABCD(如图甲所示),再剪去图中阴影部分,用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒(如图乙所示,重叠部分忽略不计),其中OEMF 是以O为圆心、∠EOF＝120°的扇形,且弧,分别与边BC,AD相切于点M,N.(1)当BE长为1分米时,求折卷成的包装盒的容积；(2)当BE的长是多少分米时,折卷成的包装盒的容积最大？【试题解答】解：(1)在图甲中,连接MO交EF于点T.设OE＝OF＝OM＝R,在Rt△OET中,因为∠EOT＝∠EOF＝60°,所以OT＝,则MT＝0M﹣OT＝.从而BE＝MT＝,即R＝2BE＝2.故所得柱体的底面积S＝S扇形OEF ﹣S△OEF＝πR2﹣R2sin120°＝﹣,又所得柱体的高EG＝4,所以V＝S×EG＝﹣4.答：当BE长为1(分米)时,折卷成的包装盒的容积为﹣4立方分米.(2)设BE＝x,则R＝2x,所以所得柱体的底面积S＝S扇形OEF﹣S△OEF＝πR2﹣R2sin120°＝(﹣)x2,又所得柱体的高EG＝6﹣2x,所以V＝S×EG＝(﹣2)(﹣x3＋3x2),其中0＜x＜3.令f(x)＝﹣x3＋3x2,0＜x＜3,则由f′(x)＝﹣3x2＋6x＝﹣3x(x﹣2)＝0,解得x＝2.列表如下：x(0,2)2(2,3)f′(x)＋0﹣f(x)增极大值减所以当x＝2时,f(x)取得最大值.答：当BE的长为2分米时,折卷成的包装盒的容积最大.18.(16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C：(a＞b＞0)的下顶点为B,点M,N是椭圆上异于点B的动点,直线BM,BN分别与x轴交于点P,Q,且点Q是线段OP的中点.当点N运动到点()处时,点Q的坐标为().(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线MN交y轴于点D,当点M,N均在y轴右侧,且＝2时,求直线BM的方程.【试题解答】解：(1)由N(),点Q的坐标为(),得直线NQ的方程为y＝x﹣,令x＝0,得点B的坐标为(0,﹣).所以椭圆的方程为＋＝1.将点N的坐标(,)代入,得＋＝1,解得a2＝4.所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)：设直线BM的斜率为k(k＞0),则直线BM的方程为y＝x﹣.在y＝kx﹣中,令y＝0,得x P＝,而点Q是线段OP的中点,所以x Q＝.所以直线BN的斜率k BN＝k BQ＝＝2k.联立,消去y,得(3＋4k2)x2﹣8kx＝0,解得x M＝.用2k代k,得x N＝.又＝2,所以x N＝2(x M﹣x N),得2x M＝3x N,故2×＝＝3×,又k＞0,解得k＝.所以直线BM的方程为y＝x﹣19.(16分)设数列{a n}满足a＝a n＋1a n﹣1＋λ(a2﹣a1)2,其中n≥2,且n∈N,λ为常数.(1)若{a n}是等差数列,且公差d≠0,求λ的值；(2)若a1＝1,a2＝2,a3＝4,且存在r∈[3,7],使得m•a n≥n﹣r对任意的n∈N*都成立,求m的最小值；(3)若λ≠0,且数列{a n}不是常数列,如果存在正整数T,使得a n＋T＝a n对任意的n∈N*均成立.求所有满足条件的数列{a n}中T的最小值.【试题解答】解：(1)由题意,可得a＝(a n＋d)(a n﹣d)＋λd2,化简得(λ﹣1)d2＝0,又d≠0,所以λ＝1.(2)将a1＝1,a2＝2,a3＝4,代入条件,可得4＝1×4＋λ,解得λ＝0,所以a＝a na n﹣1,所以数列{a n}是首项为1,公比q＝2的等比数列,＋1所以a n＝2n﹣1.欲存在r∈[3,7],使得m•2n﹣1≥n﹣r,即r≥n﹣m•2n﹣1对任意n∈N*都成立,则7≥n﹣m•2n﹣1,所以m≥对任意n∈N*都成立.令b n＝,则b n＋1﹣b n＝﹣＝,所以当n＞8时,b n＋1＜b n；当n＝8时,b9＝b8；当n＜8时,b n＋1＞b n.所以b n的最大值为b9＝b8＝,所以m的最小值为；(3)因为数列{a n}不是常数列,所以T≥2,①若T＝2,则a n＋2＝a n恒成立,从而a3＝a1,a4＝a2,所以,所以λ(a2﹣a1)2＝0,又λ≠0,所以a2＝a1,可得{a n}是常数列,矛盾.所以T＝2不合题意.②若T＝3,取a n＝(*),满足a n＋3＝a n恒成立.由a22＝a1a3＋λ(a2﹣a1)2,得λ＝7.则条件式变为a n2＝a n＋1a n﹣1＋7.由22＝1×(﹣3)＋7,知a3k﹣12＝a3k﹣2a3k＋λ(a2﹣a1)2；由(﹣3)2＝2×1＋7,知a3k2＝a3k﹣1a3k＋1＋λ(a2﹣a1)2；由12＝2×(﹣3)＋7,知a3k＋12＝a3k a3k＋2＋λ(a2﹣a1)2；所以,数列(*)适合题意.所以T的最小值为3.20.(16分)设函数f(x)＝lnx,g(x)＝ax＋(a,b,c∈R).(1)当c＝0时,若函数f(x)与g(x)的图象在x＝1处有相同的切线,求a,b的值；(2)当b＝3﹣a时,若对任意x0∈(1,＋∞)和任意a∈(0,3),总存在不相等的正实数x1,x2,使得g(x1)＝g(x2)＝f(x0),求c的最小值；(3)当a＝1时,设函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象交于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1＜x2)两点.求证：x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1.【试题解答】解：(1)由f(x)＝lnx,得f(1)＝0,又f′(x)＝,所以f′(1)＝1,当c＝0时,g(x)＝ax＋,所以g′(x)＝a﹣,所以g′(1)＝a﹣b,因为函数f(x)与g(x)的图象在x＝1处有相同的切线,所以,即,解得a＝,b＝﹣；(2)当x0＞1时,则f(x0)＞0,又b＝3﹣a,设t＝f(x0),则题意可转化为方程ax＋﹣c＝t(t＞0)在(0,＋∞)上有相异两实根x1,x2. 即关于x的方程ax2﹣(c＋t)x＋(3﹣a)＝0(t＞0)在(0,＋∞)上有相异两实根x1,x2.所以,得,所以c＞2﹣t对t∈(0,＋∞),a∈(0,3)恒成立.因为0＜a＜3,所以2≥2•＝3(当且仅当a＝时取等号),又﹣t＜0,所以2﹣t的取值范围是(﹣∞,3),所以c≥3.故c的最小值为3.(3)当a＝1时,因为函数f(x)与g(x)的图象交于A,B两点,所以,两式相减,得b＝x1x2(1﹣),要证明x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1,即证x1x2﹣x2＜x1x2(1﹣)＜x1x2﹣x1,即证＜＜,即证1﹣＜ln＜﹣1令＝t,则t＞1,此时即证1﹣＜lnt＜t﹣1.令φ(t)＝lnt＋﹣1,所以φ′(t)＝﹣＝＞0,所以当t＞1时,函数φ(t)单调递增.又φ(1)＝0,所以φ(t)＝lnt＋﹣1＞0,即1﹣＜lnt成立；再令m(t)＝lnt﹣t＋1,所以m′(t)＝﹣1＝＜0,所以当t＞1时,函数m(t)单调递减,又m(1)＝0,所以m(t)＝lnt﹣t＋1＜0,即lnt＜t﹣1也成立.综上所述,实数x1,x2满足x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1.[选做题](在21.22.23.24四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内)[选修4-1：几何证明选讲]图21.(10分)如图,已知AB为⊙O的直径,直线DE与⊙O相切于点E,AD垂直DE于点D.若DE＝4,求切点E到直径AB的距离EF.【试题解答】解：如图,连接AE,OE,因为直线DE与⊙O相切于点E,所以DE⊥OE,又因为AD⊥DE于D,所以AD∥OE,所以∠DAE＝∠OEA,①在⊙O中,OE＝OA,所以∠OEA＝∠OAE,②…(5分)由①②得∠DAE＝∠OAE,即∠DAE＝∠FAE,又∠ADE＝∠AFE,AE＝AE,所以△ADE≌△AFE,所以DE＝FE,又DE＝4,所以FE＝4,即E到直径AB的距离为4.…(10分)[选修4-2：矩阵与变换]22.(10分)已知矩阵M＝,求圆x2＋y2＝1在矩阵M的变换下所得的曲线方程.【试题解答】解：设P(x0,y0)是圆x2＋y2＝1上任意一点,则＝1,设点P(x0,y0)在矩阵M对应的变换下所得的点为Q(x,y),则＝,即,解得,…(5分)代入＝1,得＝1,∴圆x2＋y2＝1在矩阵M的变换下所得的曲线方程为＝1.…(10分)[选修4-4：坐标系与参数方程]23.在极坐标系中,直线ρcos(θ＋)＝1与曲线ρ＝r(r＞0)相切,求r的值.【试题解答】解：直线ρcos(θ＋)＝1,转化为：,曲线ρ＝r(r＞0)转化为：x2＋y2＝r2,由于直线和圆相切,则：圆心到直线的距离d＝.所以r＝1.[选修4-5：不等式选讲]24.已知实数x,y满足x2＋3y2＝1,求当x＋y取最大值时x的值.【试题解答】解：由柯西不等式,得[x2＋()2][12＋()2]≥(x•1＋)2,即≥(x＋y)2.而x2＋3y2＝1,所以(x＋y)2,所以﹣,…(5分)由,得,所以当且仅当x＝,y＝时,(x＋y)max＝.所以当x＋y取最大值时x值为.…(10分)25.(10分)如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形,AC与BD交于点O,OP⊥底面ABCD,点M为PC中点,AC＝4,BD＝2,OP＝4.(1)求直线AP与BM所成角的余弦值；(2)求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值.【试题解答】解：(1)因为ABCD是菱形,所以AC⊥BD.又OP⊥底面ABCD,以O为原点,直线OA,OB,OP分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示空间直角坐标系.则A(2,0,0),B(0,1,0),P(0,0,4),C(﹣2,0,0),M(﹣1,0,2).＝(﹣2,0,4),＝(01,﹣1,2),cos＜,＞＝＝＝.故直线AP与BM所成角的余弦值为.…(5分)(2)＝(﹣2,1,0),＝(﹣1,﹣1,2).设平面ABM的一个法向量为＝(x,y,z),则,令x＝2,得＝(2,4,3).又平面PAC的一个法向量为＝(0,1,0),∴cos＜＞＝＝＝.故平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值为.…(10分)26.(10分)已知n∈N*,nf(n)＝C n0C n1＋2C n1C n2＋…＋nC n n﹣1C n n.(1)求f(1),f(2),f(3)的值；(2)试猜想f(n)的表达式(用一个组合数表示),并证明你的猜想.【试题解答】解：(1)由条件,nf(n)＝C C C C①,在①中令n＝1,得f(1)＝1.在①中令n＝2,得2f(2)＝6,得f(2)＝3.在①中令n＝3,得3f(3)＝30,故f(3)＝10.(2)猜想f(n)＝.要证猜想成立,只要证等式n＝•＋2•＋…＋n•成立.由(1＋x)n＝＋x＋x2＋…＋x n①,两边同时对x求导数,可得n(1＋x)n﹣1＝＋2x＋3x2＋n x n﹣1②,把等式①和②相乘,可得n(1＋x)2n﹣1＝(＋x＋x2＋…＋x n)•(＋2x＋3x2＋n x n﹣1 ) ③.等式左边x n的系数为n,等式右边x n的系数为•＋•2＋•3＋…＋n•n＝•＋2•＋3•＋…＋n•＝C C C C,根据等式③恒成立,可得n＝C C C C.故f(n)＝成立.。
南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学试题(理)含答案
南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 参考公式：柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面积,h 为高.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合{}|(4)0A x x x =-<，{}0,1,5B =，则AB = ▲ ．2．设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位），若(1)i z +⋅为纯虚数，则a 的值为 ▲ ．3．为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为 ▲ ．4．执行如图所示的伪代码，若0x =，则输出的y 的值为 ▲ ．5．口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 ▲ ．时间(单位:分钟) 频率组距 50 60 70 80 90 100 0.035 a0.0200.0100.005第3题图 Read x If 0x > Then ln y x ← Else x y e ← End If Print y 第4题图6．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22145x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为 ▲ ． 7．设函数1x x y e a e=+-的值域为A ，若[0,)A ⊆+∞，则实数a 的取值范围是 ▲ ．8．已知锐角,αβ满足()()tan 1tan 12αβ--=，则αβ+的值为 ▲ ．9．若函数sin y x ω=在区间[0,2]π上单调递增，则实数ω的取值范围是 ▲ ． 10．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若{}n a 的前2017项中的奇数项和为2018，则2017S 的值为 ▲ ．11．设函数()f x 是偶函数，当x ≥0时，()f x =(3),03,31,>3x x x x x-≤≤⎧⎪⎨-+⎪⎩，若函数()y f x m =-有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，若直线(33)y k x =-上存在一点P ，圆22(1)1x y +-=上存在一点Q ，满足3OP OQ =，则实数k 的最小值为 ▲ ． 13．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处，且,A B 的位置所图所示，则CD AB ⋅的最大值为 ▲ ．14．若不等式2sin sin sin 19sin sin k B A C B C +>对任意ABC ∆都成立，则实数k 的最小值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，点,M N 分别是11,AB A B 的中点. （1）求证：BN ∥平面1A MC ； （2）若11A M AB ⊥，求证：11AB A C ⊥.16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知52c b =. （1）若2C B =，求cos B 的值； （2）若AB AC CA CB ⋅=⋅，求cos()4B π+的值．A第13题图 ABCA 1B 1C 1MN第15题图17．(本小题满分14分)有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB 长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD （如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好．．能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF 是以O 为圆心、120EOF ∠=︒的扇形，且弧EF ,GH 分别与边BC ,AD 相切于点M ,N ． （1）当BE 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的下顶点为B ，点,M N 是椭圆上异于点B 的动点，直线,BM BN 分别与x 轴交于点,P Q ，且点Q 是线段OP 的中点．当点N运动到点2处时，点Q的坐标为(3． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点,M N 均在y 轴右侧，且2DN NM =时，求直线BM 的方程．第17题-图甲F第17题-图乙19．(本小题满分16分)设数列{}n a 满足221121()n n n a a a a a λ+-=+-，其中2n ，且n N ∈，λ为常数.（1）若{}n a 是等差数列，且公差0d ≠，求λ的值；（2）若1231,2,4a a a ===，且存在[3,7]r ∈，使得n m a n r ⋅-对任意的*n N ∈都成立，求m 的最小值；（3）若0λ≠，且数列{}n a 不是常数列，如果存在正整数T ，使得n T n a a +=对任意的*n N ∈均成立. 求所有满足条件的数列{}n a 中T 的最小值.20．(本小题满分16分)设函数()ln f x x =，()bg x ax c x=+-（,,a b c R ∈）. （1）当0c =时，若函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，求,a b 的值； （2）当3b a =-时，若对任意0(1,)x ∈+∞和任意(0,3)a ∈，总存在不相等的正实数12,x x ，使得120()()()g x g x f x ==，求c 的最小值；（3）当1a =时，设函数()y f x =与()y g x =的图象交于11(,),A x y 2212(,)()B x y x x <两点．求证：122121x x x b x x x -<<-.南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） A .（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知AB 为⊙O 的直径，直线DE 与⊙O 相切于点E ，AD 垂直DE 于点D . 若4DE =，求切点E 到直径AB 的距离EF ．B .（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵 2 00 1⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，求圆221x y +=在矩阵M 的变换下所得的曲线方程.C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=(0r >)相切，求r 的值.D ．(选修4-5：不等式选讲）已知实数,x y 满足2231x y +=，求当x y +取最大值时x 的值.[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，OP ⊥底面ABCD ，点M 为PC 中点，4,2,4AC BD OP ===.（1）求直线AP 与BM 所成角的余弦值；（2）求平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值．A B ED F O· 第21(A)图23．（本小题满分10分）已知n N *∈，()0112112r r n n n n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．（1）求()1,f ()2,f ()3f 的值；（2）试猜想()f n 的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．{}1 2．1 3．1200 4．1 5．236．6 7．(,2]-∞ 8．34π 9．1(0,]4 10．4034 11．9[1,)412．3- 13．24 14．100二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．证明：（1）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以11//AB A B ，且11AB A B =，MABCDOP第22题图又点,M N 分别是11,AB A B 的中点，所以1MB A N =，且1//MB A N ． 所以四边形1A NBM是平行四边形，从而1//A M BN ． ……………4分又BN ⊄平面1A MC ，1A M ⊂平面1A MC ，所以BN ∥面1A MC ． ……………6分（2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AA ⊥底面ABC ，而1AA ⊂侧面11ABB A ，所以侧面11ABB A ⊥底面ABC ．又CA CB =，且M 是AB 的中点，所以CM AB ⊥．则由侧面11ABB A ⊥底面ABC ，侧面11ABB A 底面ABC AB =，CM AB ⊥，且CM ⊂底面ABC，得CM ⊥侧面11ABB A ． ……………8分又1AB ⊂侧面11ABB A ，所以1AB CM ⊥． ……………10分又11AB A M ⊥，1,A M MC ⊂平面1A MC ，且1A M MC M =，所以1AB ⊥平面1A MC ． ……………12分又1AC ⊂平面1A MC，所以11AB A C ⊥． ……………14分16．解：（1）因为c =，则由正弦定理，得sin C B =． ……………2分 又2C B=，所以sin 22B B =，即4sin cos B B B =． ……………4分又B是ABC ∆的内角，所以sin 0B >，故cos 4B =． ……………6分 （2）因为AB AC CA CB ⋅=⋅， 所以cos cos cb A ba C =，则由余弦定理，得222222b c a b a c +-=+-，得a c =． ……………10分 从而2223cos 25a cb B ac+-===， (12)分又0B π<<，所以4sin 5B ==． 从而34cos()cos cos sin sin 44455B B B πππ+=-==． (14)分17．解：（1）在图甲中，连接MO 交EF 于点T ．设OE OF OM R ===，在Rt OET ∆中，因为1602EOT EOF ∠=∠=︒，所以2ROT =，则2RMT OM OT =-=． 从而2R BE MT ==，即22R BE ==. ……………2分故所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形22114sin120323R R ππ=-︒= ……………4分又所得柱体的高4EG =，所以V S EG =⨯=163π-答：当BE 长为1分米时，折卷成的包装盒的容积为163π-. …………………6分（2）设BE x =，则2R x =，所以所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形222114sin120(323R R x ππ=-︒=-.又所得柱体的高62EG x =-，所以V S EG =⨯=328(3)3x x π--+，其中03x <<. …………………10分令32()3,(0,3)f x x x x =-+∈，则由2()363(2)0f x x x x x '=-+=--=， 解得2x =. …………………12分答：当BE的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大.…………………14分18．解：（1）由N Q，得直线NQ的方程为32y x=…………………2分令0x=，得点B的坐标为(0,．所以椭圆的方程为22213x ya+=．…………………4分将点N的坐标)2代入，得222213a+=，解得24a=．所以椭圆C的标准方程为22143x y+=．…………………8分（2）方法一：设直线BM的斜率为(0)k k>，则直线BM的方程为y kx=在y kx=0y=，得Pxk=，而点Q是线段OP的中点，所以2Qxk=．所以直线BN的斜率2BN BQkk k===．………………10分联立22143y kxx y⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y，得22(34)0k x+-=，解得Mx=．用2k代k，得2316Nxk=+．………………12分又2DN NM=，所以2()N M Nxx x=-，得23M Nx x=．………………14分故222334316k k⨯=⨯++，又0k>，解得2k=．所以直线BM的方程为2y x =-． ………………16分 方法二：设点,M N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ．由(0,B ，得直线BN的方程为1y x =0y =，得P x =．同理，得Q x =．而点Q 是线段OP的中点，所以2P Qx x =，故=…………………10分 又2DN NM =，所以2122()x x x =-，得21203x x =>4=解得21433y y =+． …………………12分将21212343x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入到椭圆C的方程中，得2211(41927x y ++=． 又22114(1)3y x =-，所以214(1)319y -=21120y +=， 解得1y =（舍）或1y =．又10x >，所以点M 的坐标为(3M ．……………14分故直线BM的方程为2y x =-． …………………16分 19．解：（1）由题意，可得22()()n n n a a d a d d λ=+-+， 化简得2(1)0d λ-=，又d ≠，所以1λ=. ………………4分（2）将1231,2,4a a a ===代入条件，可得414λ=⨯+，解得0λ=，所以211n n n a a a +-=，所以数列{}n a 是首项为1，公比2q =的等比数列，所以12n n a -=. ……6分欲存在[3,7]r ∈，使得12n m n r -⋅-，即12n r n m --⋅对任意*n N ∈都成立，则172n n m --⋅，所以172n n m --对任意*n N ∈都成立. ………………8分令172n n n b --=，则11678222n n nn n n n nb b +-----=-=， 所以当8n >时，1n n b b +<；当8n =时，98b b =；当8n <时，1n n b b +>．所以n b 的最大值为981128b b ==，所以m 的最小值为1128. ………………10分 （3）因为数列{}n a 不是常数列，所以2T ．①若2T =，则2n n a a +=恒成立，从而31a a =，42a a =，所以22221212221221()()a a a a a a a a λλ⎧=+-⎪⎨=+-⎪⎩， 所以221()0a a λ-=，又0λ≠，所以21a a =，可得{}n a 是常数列．矛盾．所以2T =不合题意. ………………12分②若3T =，取*1,322,31()3,3n n k a n k k N n k =-⎧⎪==-∈⎨⎪-=⎩（*），满足3n n a a +=恒成立． ………………14分由2221321()a a a a a λ=+-，得7λ=． 则条件式变为2117n n n a a a +-=+．由221(3)7=⨯-+，知223132321()k k k a a a a a λ--=+-；由2(3)217-=⨯+，知223313121()k k k a a a a a λ-+=+-； 由21(3)27=-⨯+，知223133221()k k k a a a a a λ++=+-．所以，数列（*）适合题意． 所以T的最小值为3. ………………16分20．解：（1）由()ln f x x =，得(1)0f =，又1()f x x'=，所以(1)1f '=，. 当c =时，()bg x ax x=+，所以2()bg x a x'=-，所以(1)g a b '=-. ………………2分因为函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，所以(1)(1)(1)(1)f g f g ''=⎧⎨=⎩，即10a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ………………4分 （2）当01x >时，则0()0f x >，又3b a =-，设0()t f x =，则题意可转化为方程3(0)aax c t t x-+-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ． ………………6分即关于x 的方程2()(3)0(0)ax c t x a t -++-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ．所以2121203()4(3)030a c t a a c t x x a ax x a <<⎧⎪∆=+-->⎪⎪+⎨+=>⎪⎪-=>⎪⎩，得203()4(3)0a c t a a c t <<⎧⎪+>-⎨⎪+>⎩， 所以c t>对(0,),(0,3)t a ∈+∞∈恒成立． ………………8分因为03a <<，所以)2(3a +⨯=（当且仅当32a =时取等号）， 又0t -<，所以t 的取值范围是(,3)-∞，所以3c ．故c 的最小值为3. ………………10分（3）当1a =时，因为函数()f x 与()g x 的图象交于,A B 两点，所以111222ln ln b x x c x b x x cx ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式相减，得211221ln ln (1)x x b x x x x -=--. ………………12分要证明122121x x x b x x x -<<-，即证211221212121ln ln (1)x x x x x x x x x x x x --<-<--，即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-，即证1222111ln 1x x xx x x -<<-. ………………14分 令21x t x =，则1t >，此时即证11ln 1t t t-<<-． 令1()ln 1t t t ϕ=+-，所以22111()0t t t t tϕ-'=-=>，所以当1t >时，函数()t ϕ单调递增．又(1)0ϕ=，所以1()ln 10t t tϕ=+->，即11ln t t-<成立； 再令()ln 1m t t t =-+，所以11()10tm t t t-'=-=<，所以当1t >时，函数()m t 单调递减，又(1)0m =，所以()ln 10m t t t =-+<，即ln 1t t <-也成立．综上所述，实数12,x x 满足122121x x x b x x x -<<-. ………………16分附加题答案21．（A ）解：如图，连接AE ，OE ，因为直线DE 与⊙O 相切于点E ，所以DE OE ⊥，又因为AD 垂直DE 于D ，所以//AD OE ，所以DAE OEA ∠=∠，① 在⊙O 中OE OA =，所以OEA OAE ∠=∠，② ………………5分 由①②得DAE ∠OAE =∠，即DAE ∠FAE =∠， 又ADE AFE ∠=∠，AE AE =，所以ADE AFE ∆≅∆，所以DE FE =，又4DE =，所以4FE =， 即E 到直径AB 的距离为4. ………………10分（B ）解：设()00,P x y 是圆221x y +=上任意一点，则22001x y +=，设点()00,P x y 在矩阵M 对应的变换下所得的点为(),Q x y ，则002 00 1x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即02x x y y =⎧⎨=⎩，解得0012x xy y⎧=⎪⎨⎪=⎩， ………………5分 代入22001x y +=，得2214x y +=，即为所求的曲线方ABE DF O · 第21(A)图程. ………………10分（C ）解：以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴建立平面直角坐标系，由cos()13πρθ+=，得(cos cossin sin )133ππρθθ-=， 得直线的直角坐标方程为20x -=． ………………5分曲线r ρ=，即圆222x y r +=，所以圆心到直线的距离为1d ==．因为直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=（0r >）相切，所以r d =，即1r =. ……………10分（D）解：由柯西不等式，得22222[)][1](1x x ++≥⨯， 即2224(3)()3x y x y +≥+． 而2231x y +=，所以24()3x y +≤，所以x y ≤+≤ ………………5分由1x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎩，得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以当且仅当26x y ==时，max ()x y += 所以当x y+取最大值时x 的值为x =………………10分 22．解：（1）因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又OP ⊥底面ABCD ，以O 为原点，直线,,OA OB OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系． 则(2,0,0)A ,(0,1,0)B ,(0,0,4)P ,(2,0,0)C -,(1,0,2)M -． 所以(2,0,4)AP =-，(1,1,2)BM =--，10AP BM ⋅=，||25AP =，||6BM =．则cos ,||||2AP BM AP BM AP BM ⋅<>=== C故直线AP 与BM所成角的余弦值为6. ………5分 （2）(2,1,0)AB =-，(1,1,2)BM =--．设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2020x y x y z -+=⎧⎨--+=⎩，令2x =，得4y =，3z =．得平面ABM 的一个法向量为(2,4,3)n =．又平面PAC 的一个法向量为(0,1,0)OB =，所以n 4OB ⋅=，||29n =，||1OB =．则4cos ,||||29n OB n OB n OB ⋅<>===.故平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值为………………10分 23．解：（1）由条件，()0112112r r n nn n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ①，在①中令1n =，得()011111f C C ==． ………………1分在①中令2n =，得()011222222226f C C C C =+=，得()23f =． ………………2分在①中令3n =，得()011223333333332330f C C C C C C =++=，得()310f =． ………………3分（2）猜想()f n =21nn C -（或()f n =121n n C --）． ………………5分 欲证猜想成立，只要证等式011211212n r r n nn n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+成立．方法一：当1n =时，等式显然成立，当2n 时，因为11!!(1)!==!()!(1)!()!(1)!()!rr n n r n n n rC n nC r n r r n r r n r --⨯-=⨯=-----（），故11111()r r r r r r n n n n n n rC C rC C nC C -----==．故只需证明00111111211111n r r n n n n n n n n n n n nC nC C nC C nC C nC C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+． 即证00111111211111n r r n n n n n n n n n n nC C C C C C C C C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+． 而11r n r n n C C --+=，故即证0111111211111n n n r n r n n n n n n n n n n C C C C C C C C C ---+------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ②． 由等式211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++可得，左边nx 的系数为21n n C -．而右边1(1)(1)n n x x -++()()01221101221111n n n nnn n n n n n n C C x C x C xC C x C x C x ------=++++++++，所以nx 的系数为01111111111n n r n r n n n n n n n n n C C C C C C C C ---+-----++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++恒成立可得②成立. 综上，()21nn f n C -=成立. ………………10分方法二：构造一个组合模型，一个袋中装有21n -个小球，其中n 个是编号为1，2，…，n的白球，其余n －1个是编号为1，2，…，n －1的黑球，现从袋中任意摸出n 个小球，一方面，由分步计数原理其中含有r 个黑球（n r -个白球）的n 个小球的组合的个数为1r n rn nC C --，01r n ≤≤-，由分类计数原理有从袋中任意摸出n 个小球的组合的总数为01111111n n n n n n nn n C C C C C C -----+++．另一方面，从袋中21n -个小球中任意摸出n 个小球的组合的个数为21nn C -．故0111121111n n n n n n n n n n nC C C C C C C ------=++，即②成立. 余下同方法一. ………………10分方法三：由二项式定理，得0122(1)n n n n n n n x C C x C x C x +=++++ ③． 两边求导，得112111(1)2n r r n n n n n n n x C C x rC x nC x ---+=+++++ ④．③×④，得21012212111(1)()(2)n n n r r n n n n n n n n n n n x C C x C x C x C C x rC x nC x ---+=+++++++++⑤．左边n x 的系数为21nn nC -．右边nx 的系数为121112n n r n r n n n n n n n n n C C C C rC C nC C --+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+1021112r r n n n n n n n n n nC C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+0112112r r n nn n n n n n n n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由⑤恒成立，可得011211212n r r n nn n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．故()21nn f n C -=成立. ………………10分。
2018届高三上学期期末联考数学(理)试题有答案-精品
2017—2018学年度第一学期期末联考试题高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分全卷满分150分，考试时间120分钟．注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．设集合{123}A =，，，{45}B =，，{|}M x x a b a A b B ==+∈∈，，，则M 中的元素个数为A ．3B ．4C ．5D ．62．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 A ．125B ．925C ．1625D ．24253．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数B ．在复平面内i(2i)-对应的点位于第三限象C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ∈RD ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a =A ．19B ．19-C ．13D ．13-5．已知曲线421y x ax =++在点(1(1))f --，处切线的斜率为8，则(1)f -=试卷类型：A天门 仙桃 潜江A ．7B ．－4C ．－7D ．4 6．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是A ．56B ．84C ．112D ．1687．已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 A ．4cm 3B ．5 cm 3C ．6 cm 3D ．7 cm 38．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示，则(1)(2)(3)(18)f f f f ++++的值等于ABC 2D ．19．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3…，24 这24个整数中等可能随机产生。
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南京市、盐城市
(本部分满分
21.［选做题］(在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分.请把答案
写在答题纸的指定区域内）A.（选修4-1:几何证明选讲）
如图，已知AB为OO的直径，直线DE与OO相切于点E,
DE4，求切点E到直径AB的距离EF.
B.（选修4-2:矩阵与变换）
2 02 2
在
(1)若C 2B，求cosB的值；
UUU UULT UUU UUU
(
4
17.（本小题满分14分）
有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB长为6分米，另一边足够长•现从中截
取矩形ABCD（如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个
底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF是以0为圆
、解答题(本大题共6小题，计90分•解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤,
请把答案写在答题纸的指定区域内)15.(本小题满分14分)
如图所示，在直三棱柱ABC A1B1C1中，CA CB，点M,N分别是AB, A1B1的中点.
(1) 求证：BN//平面AMC；
(2)若AM AB1，求证：AB1AC.
19.(本小题满分16分)
2 2
设数列an满足anan1an1(a2al,其中n-2，且n N,为常数.
(1)若an是等差数列，且公差d0,求 的值；
(2)若a11,a22,a34，且存在r ［3,7］，使得m a*卪n r对任意的n N*都成 立，求m的最小值；
(3)若0，且数列an不是常数列，如果存在正整数T，使得an Tan对任意的
机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为▲..
2 2
6•若抛物线y2px的焦点与双曲线 — —1的右焦点重合，则实数p的值为▲
45
7•设函数y ex丄a的值域为A，若A ［0,)，则实数a的取值范围是▲
e
&已知锐角,满足tan1tan12，贝U的值为▲.
9•若函数y sin x在区间［0,2 ］上单调递增，则实数的取值范围是▲.
已知矩阵M，求圆x y1在矩阵M的变换下所得的曲线方程
0 1
C.（选修4-4:坐标系与参数方程）
在极坐标系中，直线cos（） 1与曲线r（r0）相切，求r的值.
3
D.（选修4-5:不等式选讲）
2 2
已知实数x,y满足x 3y1，求当x y取最大值时x的值.
［必做题］（第22、23题，每小题10分，计20分•请把答案写在答题纸的指定区域内）
22.（本小题满分10分）
如图，四棱锥P ABCD的底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O,OP底面ABCD, 点M为PC中点，AC 4,BD 2,OP 4.
（1）求直线AP与BM所成角的余弦值；
（2）求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值.
M
O
B
第22题图
23.（本小题满分10分）
已知n N,nf n C^C：2C：C：rC：匕nC：9：.
n N*均成立.求所有满足条件的数列an中T的最小值.
20.(本小题满分16分)
b
设函数
x
(1)当c 0时，若函数f(x)与g(x)的图象在x 1处有相同的切线，求a,b的值；
(2)当—3a时，若对任意X。(1,)和任意a(0,3)，总存在不相等的正实数x「X2，使得g(xj gg)f(x°)，求c的最小值；
13.24
4
4
4
14.100
二、解答题：本大题共6小题，计90分•解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内
UUrUULT
存在一点Q,满足OP 3OQ，则实数k的最小值为▲.
13.如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1,正六边形的顶 点称为“晶格点”.若A, B,C,D四点均位于图中的“晶格点”处，
且A, B的位置所图所示，则AB CD的最大值为▲.
2
14.若不等式ksin B sin AsinC 19sin B sin C对任意ABC都成立, 则实数k的最小值为▲.
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数学试题
（总分160分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷.
2•本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.
3•答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题
卡上.
参考公式：
柱体体积公式：VSh,其中S为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ面积，h为高•
心、EOF120的扇形，且弧Ef,Gh分别与边BC,AD相切于点M,N.
（1）当BE长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；
（2）当BE的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？
18.（本小题满分16分）
（1）求椭圆C的标准方程；
LULT
（2）设直线MN交y轴于点D，当点M,N均在y轴右侧，且DN
BM的方程.
（1）求f 1 , f 2 ,f 3的值；
（2）试猜想f n的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想.
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数学参考答案
一、填空题
1.1
:本大题共14小题，
每小题5分
•，计70分.
2
2.1
3.1200
4.1
5.—
6.6
3
7.(
,2]
3
8.
1
9.(0,—]
10.4034
9
11.[1厂)
12.■3
10.设Sn为等差数列an的前n项和，若an的前2017项中的奇数项和为2018,
x(3 x), 0x3,
3
,若函数y
1,x>3
x
▲
则S2017的值为▲11.设函数f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)=
有四个不同的零点，则实数m的取值范围是
12.在平面直角坐标系xOy中，若直线y k(x 3.3)上存在一点P,
中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图
如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80）（单位：分钟）内
的学生人数为▲.
频率
4.执行如图所示的伪代码，若x0,则输出的y的值为▲
5•口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中一次随
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答 题纸的指定位置上）
1.已知集合A x|x（x4）0,B0,1,5，则AI B▲.
2•设复数z a i（a R,i为虚数单位），若（1 i） z为纯虚数，则a的值为▲.
3•为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生