南京市2018届高三数学考前综合题(学生)
南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学
南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试 数 学 2018.01注意事项： 1．本试卷共4页，包括填空题(第1题~第14题)、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡内．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 参考公式：柱体体积公式：V ＝Sh ，其中S 柱体的底面积,h 为柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡上的相应位置上．1．已知集合A ＝{x ∣x (x －4)＜0}，B ＝{0，1，5}，则A ∩B ＝ ▲ ． 2．设复数z ＝a ＋i(a ∈R ，i 为虚数单位），若(1＋i)⋅z 为纯虚数，则a 的值为 ▲ ． 3．为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50，100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70，80) (单位：分钟)内的学生人数为 ▲ ．4．执行如图所示的伪代码，若x ＝0，则输出的y 的值为 ▲ ．5．口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4．若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 ▲ ．6．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线x 24－y 25＝1的右焦点重合，则实数p 的值为 ▲ ．7．设函数y ＝e x ＋1ex －a 的值域为A ，若A ⊆[0，＋∞)，则实数a 的取值范围是 ▲ ．8．已知α，β均为锐角，且满足(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β的值为 ▲ ． 9．若函数y ＝sin ωx 在区间[0，2π]上单调递增，则实数ω的取值范围是 ▲ ． 10．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若{a n }的前2017项中的奇数项和为2018，则S 2017的值为 ▲ ．(第4题)/分钟(第3题)0.0050.0100.020a 0.03511．设函数f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (3－x )，0≤x ≤3，－3x＋1，x ＞3．若函数y ＝f (x )－m 有四个不同的零点，则实数m12．在平面直角坐标系xOy 中，上存在一点P ，圆x 2＋(y －1)2＝1上存在一点Q ，满足→OP ＝3→OQ ，则实数k 的最小值为 ▲ ． 13．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若A ，B ，C ，D 四点均位于图中的“晶格点”处，且A ，B 的位置如图所示，则→AB ⋅→CD 的最大值为 ▲ ．14．若不等式k sin 2B ＋sin A sin C ＞19sin B sin C 对任意△ABC 都成立，则实数k 的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，点M ，N 分别是AB ，A 1B 1的中点． （1）求证：BN ∥平面A 1MC ；（2）若A 1M ⊥AB 1，求证：AB 1⊥A 1C ．16．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝52b ．（1）若C ＝2B ，求cos B 的值；（2）若→AB ⋅→AC ＝→CA ⋅→CB ，求cos(B＋π4)的值．(第13题) A BC A 1 B 1C 1 M N （第15题）有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB 长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD （如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好．．能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF 是以O 为圆心、∠EOF ＝120︒的扇形，且弧⌒EF ，⌒GH 分别与边BC ，AD 相切于点M ，N ． （1）当BE 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的下顶点为B ，点M ．N是椭圆上异于点B 的动点，直线BM ，BN 分别与x 轴交于点P ，Q ，且点Q 是线段OP的中点．当点N 运动到点(3，32)处时，点Q 的坐标为(2 33，0)．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点M ，N 均在y 轴右侧，且→DN ＝2→NM 时，求直线BM的方程．(第18题)（第17题-甲） F（第17题-乙）设数列{a n}满足a n2＝a n＋1a n－1＋λ(a2－a1)2，其中n≥2，且n∈N，λ为常数．（1）若{a n}是等差数列，且公差d≠0，求λ的值；（2）若a1＝1，a2＝2，a3＝4，且存在r∈[3，7]，使得m⋅a n≥n－r对任意的n∈N*都成立，求m的最小值；（3）若λ≠0，且数列{a n}不是常数列，如果存在正整数T，使得a n＋T＝a n对任意的n∈N*均成立，求满足条件的所有数列{a n}中T的最小值．20．(本小题满分16分)设函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax＋bx－c(a，b，c∈R)．（1）当c＝0时，若函数f(x)与g(x)的图象在x＝1处有相同的切线，求a，b的值；（2）当b＝3－a时，若对任意x0∈(1，＋∞)和任意a∈(0，3)，总存在不相等的正实数x1，x2，使得g(x1)＝g(x2)＝f(x0)，求c的最小值；（3）当a＝1时，设函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点．求证：x1x2－x2＜b＜x1x2－x1．南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学附加题2018.01 注意事项：1．附加题供选修物理考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．2．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡内．试题的答案写在答题．．卡．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在答题相应的区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A .（选修4-1：）A ．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，已知AB 为⊙O 的直径，直线DE 与⊙O 相切于点E ，AD 垂直DE 于点D . 若DE ＝4，求切点E 到直线AB 的距离．B ．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤2001，求圆x 2＋y 2＝1在矩阵M 对应的变换作用下所得的曲线方程．C ．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，直线ρcos(θ＋π3)＝1与曲线ρ＝r (r ＞0)相切，求r 的值．D ．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知实数x ，y 满足x 2＋3y 2＝1，求当x ＋y 取最大值时x 的值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．题卡指定区域内．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，OP ⊥底面ABCD ，点M 为PC 中点，AC ＝4，BD ＝2，OP ＝4． （1）求异面直线AP 与BM 所成角的余弦值；（2）求平面ABM 与平面P AC 所成锐二面角的余弦值．AB ED O · （第21(A)）23．（本小题满分10分）已知n ∈N *，nf (n )＝C 0n C 1n ＋2 C 1n C 2n ＋…＋r C r －1n C rn ＋…＋n C n －1n C nn ．（1）求f (1)，f (2)，f (3)的值；（2）试猜想f (n )的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试 数学参考答案及评分标准 2018.01说明：MACDOP（第22题）1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，计70分.)1．{1} 2．1 3．1200 4．1 5．236．6 7．(－∞，2] 8．3π4 9．(0，14] 10．4034 11．[1，94) 12．－ 3 13．24 14．100 二、解答题(本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.)15．证明：（1）因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AB ∥A 1B 1，且AB ＝A 1B 1．又因为点M ，N 分别是AB ，A 1B 1的中点， 所以MB ＝A 1N ，且MB ∥A 1N ， 所以四边形A 1NBM 是平行四边形，从而A 1M ∥BN ．……………………………… 4分 又BN ⊄平面A 1MC ，A 1M ⊂平面A 1MC ，所以BN ∥平面A 1MC ． ……………………………………………………………………………6分（2）因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱， 所以AA 1⊥平面ABC ，而CM ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥CM ．又CA ＝CB ，且M 是AB 的中点，所以CM ⊥AB ． 又AB ∩AA 1＝A ，AB ，AA 1⊂平面ABB 1A 1， 所以CM ⊥平面ABB 1A 1．………………………………………………………………………………8分又AB 1⊂平面ABB 1A 1，所以CM ⊥AB 1．………………………………………………………………10分又AB 1⊥A 1M ，A 1M ，CM ⊂平面A 1MC ，A 1M ∩CM ＝M ， 所以AB 1⊥平面A 1MC ，…………………………………………………………………………………12分又A 1C ⊂平面A 1MC ，所以AB 1⊥A 1C ．…………………………………………………………………14分A BC A 1 B 1 C 1 MN（第15题）16．解：（1）因为c ＝52b ，则由正弦定理，得sin C ＝52sin B ．…………………………………………2分又因为C ＝2B ，所以sin2B ＝52sin B ，即2sin B cos B ＝52sin B . ………………………………………4分又B 是△ABC 的内角，所以sin B ＞0，故cos B ＝54． ………………………………………………6分 （2）因为→AB ⋅→AC ＝→CA ⋅→CB ，所以cb cos A ＝ba cos C ，则由余弦定理， 得b 2＋c 2－a 2＝b 2＋a 2－c 2，得a ＝c ． …………………………………………………………………10分从而cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ c 2＋c 2－(2 5c )22c 2＝35．………………………………………………………12分 又0＜B ＜π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝45．从而cos(B ＋π4)＝cos B cos π4－sin B sin π4＝35⨯22－45⨯22＝－210． ……………………………………14分17．解：（1）在图甲中，连接MO 交EF 于点T ．设OE ＝OF ＝OM ＝R ，在Rt △OET 中，因为∠EOT ＝12∠EOF ＝60︒， 所以OT ＝12R ，则MT ＝OM －OT ＝R 2． 从而BE ＝MT ＝12R ，即R ＝2BE ＝2．…………………… 2分 故所得柱体的底面积S ＝S 扇形OEF －S △OEF＝13πR 2－12R 2sin120︒＝4π3－3．………………………… 4分又所得柱体的高EG ＝4，所以V ＝S ⨯EG ＝16π3－43．答：当BE 长为1分米时，折卷成的包装盒的容积为(16π3－43)立方分米. …………………………………………………………………………6分 （2）设BE ＝x ，则R ＝2x ，所以所得柱体的底面积S ＝S 扇形OEF －S △OEF ＝13πR 2－12R 2sin120︒＝(4π3－3)x 2.又所得柱体的高EG ＝6－2x ，所以V ＝S ⨯EG ＝(8π3－23)(－x 3＋3x 2) ，其中0＜x ＜3. ……………………………………10分令f (x )＝－x 3＋3x 2，x ∈(0，3)，则由f '(x )＝－3x 2＋6x ＝－3x (x －2)＝0， 解得x ＝2． ………………………………………………………………………………………12分答：当BE 的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大. ……………………………………14分18．解：（1）由N (3，32)，Q (2 33，0)，得直线NQ 的方程为y ＝32x －3．……………………2分令x ＝0，得点B 的坐标为(0，－3)．所以椭圆的方程为x 2a 2＋y 23＝1 ．…………………………………………………………………… 4分将点N 的坐标(3，32)代入，得(3)2a 2＋(32)23＝1，解得a 2＝4．所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1．…………………………………………………………… 8分（2）方法一：设直线BM 的斜率为k (k ＞0)，则直线BM 的方程为y ＝kx －3．在y ＝kx －3中，令y ＝0，得x P ＝3k ，而点Q 是线段OP 的中点，所以x Q ＝32k ．所以直线BN 的斜率k BN ＝k BQ ＝0－(－3)32k－0＝2k ．………………………………………………10分联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3， x 24＋y 23＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2－83kx ＝0，解得x M ＝8 3k 3＋4k 2 ． 用2k 代k ，得x N ＝16 3k3＋16k 2．……………………………………………………………………12分又→DN ＝2→NM ，所以x N ＝2(x M －x N )，得2x M ＝3x N ．…………………………………………… 14分故2⨯8 3k 3＋4k 2＝3⨯16 3k 3＋16k2，又k ＞0，解得k ＝62．所以直线BM 的方程为y ＝62x －3． …………………………………………………………16分方法二：设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由B (0，－3)，得直线BM 的方程为y ＝ y 1＋3x 1x －3，令y ＝0，得x P ＝3x 1y 1＋3．同理，得x Q ＝3x 2y 2＋3．而点Q 是线段OP 的中点，所以x P ＝2x Q ，故3x 1y 1＋3＝2⨯3x 2y 2＋3． …………………………10分又→DN ＝2→NM ，所以x 2＝2(x 1－x 2)，得x 2＝23x 1＞0，从而1y 1＋3＝43y 2＋3，解得y 2＝43y 1＋33．…………………………………………………………………………………12分 将⎩⎨⎧x 2＝23x 1，y 2＝43y 1＋33，代入到椭圆C 的方程中，得x 129＋(4y 1＋3)227＝1．又x 12＝4(1－y 123)，所以4(1－y 123)9＋(4y 1＋3)227＝1，………………………………………………14分即3y 12＋2y 1－3＝0，解得y 1＝－3（舍）或y 1＝33．又x 1＞0，所以点M 的坐标为M (4 23，33)．故直线BM 的方程为y ＝62x －3．……………………………………………………………… 16分 19．解：（1）由题意，可得a n 2＝(a n ＋d )(a n －d )＋λd 2，化简得(λ－1)d 2＝0，又d ≠0，所以λ＝1. …………………………………………………………4分（2）将a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4代入条件，可得4＝1⨯4＋λ，解得λ＝0，所以a n 2＝a n ＋1a n －1，所以数列{a n }是首项为1，公比q ＝2的等比数列，所以a n ＝2n－1. ………6分欲存在r ∈[3，7]，使得m ⋅2n －1≥n －r ，即r ≥n －m ⋅2n －1对任意n ∈N *都成立，则7≥n －m ⋅2n －1，所以m ≥n －72n －1 对任意n ∈N *都成立. …………………………………………8分令b n ＝n －72n －1，则b n ＋1－b n ＝n －62n －n －72n －1＝8－n 2n ， 所以当n ＞8时，b n ＋1＜b n ；当n ＝8时，b 9＝b 8；当n ＜8时，b n ＋1＞b n ．所以b n 的最大值为b 9＝b 8＝1128，所以m 的最小值为1128.………………………………………10分 （3）因为数列{a n }不是常数列，所以T ≥2．①若T ＝2，则a n ＋1＝a n 恒成立，从而a 3＝a 1，a 4＝a 2，所以⎩⎨⎧a 22＝a 12＋λ(a 2－a 1)2，a 12＝a 22＋λ(a 2－a 1)2， 所以λ(a 2－a 1)2＝0，又λ≠0，所以a 2＝a 1，可得{a n }是常数列，这与已知条件矛盾， 所以T ＝2不合题意. …………………………………………………………………………………12分②若T ＝3，取a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝3k －2，2，n ＝3k －1，－3，n ＝3k ，(k ∈N *)（*），满足a n ＋3＝a n 恒成立．…………………… 14分由a 22＝a 1a 3＋λ(a 2－a 1)2，可得此时λ＝7．则条件式变为a n 2＝a n ＋1a n －1＋7．由22＝1⨯3＋7，知a 3k －12＝a 3k －2a 3k ＋λ(a 2－a 1)2；由(－3)2＝2⨯1＋7，知a 3k 2＝a 3k －1a 3k ＋1＋λ(a 2－a 1)2；由12＝(－3)⨯2＋7，知a 3k ＋12＝a 3k a 3k ＋2＋λ(a 2－a 1)2；所以，数列（*）适合题意．所以T 的最小值为3. …………………………………………………………………………………16分（注：写一个数列{a n }时，需满足a 1＋a 2＋a 3＝0，且a 1≠a 2．）20．解：（1）由f (x )＝ln x ，得f (1)＝0，又f '(x )＝1x，所以f '(1)＝1． 当c ＝0时，g (x )＝ax ＋b x ，所以g '(x )＝a －b x 2 ，所以g '(1)＝a －b ．…………………………… 2分因为函数f (x )与g (x )的图象在x ＝1处有相同的切线，所以⎩⎨⎧f '(1)＝g '(1)，f (1)＝g (1)，即⎩⎨⎧a －b ＝1，a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－12． …………………………………………………4分 （2）方法一：当x 0＞1时，则f (x 0)＞0，又b ＝3－a ，设t ＝f (x 0)，则题意可转化为方程ax ＋3－a x－c ＝t (t ＞0) 在(0，＋∞)上有相异两实根x 1，x 2， ……………6分即关于x 的方程ax 2－(c ＋t )x ＋(3－a )＝0(t ＞0)在(0，＋∞)上有相异两实根x 1，x 2．所以⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜3，△＝(c ＋t )2－4a (3－a )＞0，x 1＋x 2＝c ＋t a ＞0，x 1x 2＝3－a a＞0．得⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜3，(c ＋t )2＞4a (3－a )，c ＋t ＞0． 所以c ＞2a (3－a )－t 对任意t ∈(0，＋∞)恒成立．…………………………………………… 8分因为0＜a ＜3，所以2a (3－a )≤2⨯a ＋3－a 2＝3(当且仅当a ＝32时取等号)． 又－t ＜0，所以2a (3－a )－t 的取值范围是(－∞，3)，所以c ≥3．故c 的最小值为3. …………………………………………………………………………………10分方法二：由b ＝3－a ，且0 ＜a ＜3，得g '(x )＝a －3－a x 2＝ax 2－(3－a )x 2＝0，得 x ＝3－a a或x ＝－3－a a(舍)， 则函数g (x )在(0，3－a a )上递减；在(3－a a，＋∞)上递增． 又对任意x 0＞1，f (x 0)为(0，＋∞)上的任意一个值，若存在不相等的正实数x 1，x 2， 使得g (x 1)＝g (x 2)＝f (x 0)，则g (x )的最小值小于或等于0.即g (3－a a)＝2a (3－a )－c ≤0， ……………………………………………………………6分即c ≥2a (3－a )对任意 a ∈(0，3)恒成立．又2a (3－a )≤a ＋(3－a )＝3，所以c ≥3．…………………………………………………… 8分当c ＝3，对任意a ∈(0，3)，x 0∈(1，＋∞)，方程g (x )－f (x 0)＝0化为 ax ＋3－a x－3－f (x 0)＝0，即ax 2－[3＋f (x 0)]x ＋(3－a )＝0（*） 关于x 的方程（*）的△＝[3＋f (x 0)]2－4a (3－a )≥[3＋f (x 0)]2－4⎝⎛⎭⎫ a ＋3－a 22 ＝[3＋f (x 0)]2－9,因为x 0＞1，所以f (x 0)＝ln x 0＞0，所以△＞0，所以方程（*）有两个不相等的实数解x 1，x 2，又x 1＋x 2＝f (x 0)＋3a ＞0，x 1x 2＝3－a a＞0， 所以x 1，x 2为两个正实数解．所以c 的最小值为3. ……………………………………………………………………………10分（3）当a ＝1时，因为函数f (x )与g (x )的图象交于A ，B 两点，所以⎩⎨⎧ln x 1＝x 1＋b x 1－c ，ln x 2＝x 2＋b x 2－c ，两式相减，得b ＝x 1x 2(1－ln x 2－ln x 1x 2－x 1)．……………………………… 12分要证明x 1x 2－x 2＜b ＜x 1x 2－x 1，即证x 1x 2－x 2＜x 1x 2(1－ln x 2－ln x 1x 2－x 1)＜x 1x 2－x 1， 即证1x 2＜ln x 2－ln x 1x 2－x 1＜1x 1，即证1－x 1x 2＜ln x 2x 1＜x 2x 1－1．…………………………………………… 14分令x 2x 1＝t ，则t ＞1，此时即证1－1t＜ln t ＜t －1． 令ϕ(x )＝ln t ＋1t －1，所以ϕ'(t )＝1t －1t 2＝t －1t 2＞0，所以当t ＞1时，函数ϕ(t )单调递增． 又ϕ(1)＝0，所以ϕ(t )＝ln t ＋1t －1＞0，即1－1t＜ln t 成立． 再令m (t )＝ln t －t －1，所以m '(t )＝1t －1＝1－t t＜0， 所以当t ＞1时，函数m (t )单调递减， 又m (1)＝0，所以m (t )＝ln t －t －1＜0，即ln t ＜t －1也成立．综上所述， 实数x 1，x 2满足x 1x 2－x 2＜b ＜x 1x 2－x 1． …………………………………………16分南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学参考答案及评分标准 2018.0121．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2小题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4-1：几何证明选讲解：如图，连接AE ，OE ，过E 作EF ⊥AB ，交AB 于F ． 因为直线DE 与⊙O 相切于点E ，所以DE ⊥OE ， 又因为AD 垂直DE 于D ，所以AD ∥OE ，所以∠DAE ＝∠OEA ①， 在⊙O 中OE ＝OA ，所以∠OEA ＝∠OAE ②，…………………………5分 由①②得∠DAE ＝∠OAE ，即∠DAE ＝∠F AE ，又∠ADE ＝∠AFE ，AE ＝AE ， 所以△ADE ≌△AFE ，所以DE ＝FE ，又DE ＝4，所以FE ＝4，即E 到直径AB 的距离为4. …………………………………………………………………………10分B ．选修4-2：矩阵与变换解：设P (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝1上任意一点，则x 02＋y 02＝1．设点P (x 0，y 0)在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为Q (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤2001 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x 0y 0 ， 即⎩⎨⎧x ＝2x 0，y ＝y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝12x ，y 0＝y ，…………………………………………………………………………………5分 代入x 02＋y 02＝1，得x 24＋y 2＝1，即为所求的曲线方程. ……………………………………………10分C ．选修4-4：坐标系与参数方程解：以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，由ρcos(θ＋π3)＝1 ，得ρ(cos θcos π3－sin θsin π3)＝1， 得直线的直角坐标方程为x －3y －2＝0 ．………………………………………………………… 5分曲线ρ＝r 的直角坐标方程为圆x 2＋y 2＝r 2，所以圆心到直线的距离为d ＝∣1⨯0－3⨯0－2∣ 12＋(－3)2＝1． 因为直线ρcos(θ＋π3)＝1与曲线ρ＝r (r ＞0)相切，所以r ＝d ，即r ＝1. ……………………………10分D ．选修4-5：不等式选讲解：由柯西不等式，得[x 2＋(3y )2][12＋(33)2]≥(x ⨯1＋3y ⨯33)2， 即43(x 2＋3y 2)≥(x ＋y )2 ． 而x 2＋3y 2＝1，所以(x ＋y )2≤43，所以－233≤x ＋y ≤23A B E D F O · （第21(A)）3，………………………………………… 5分由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3y 33，x ＋y ＝233，即⎩⎨⎧x ＝32，y ＝36，所以当且仅当x ＝32，y ＝36时，(x ＋y )max ＝23 3 ． 所以当x ＋y 取最大值时x 的值为x ＝32．…………………………………………………………… 10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）因为ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ．因为OP ⊥底面ABCD ，所以以O 为原点，直线OA ，OB ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则A (2，0，0)，B (0，1，0)，P (0，0，4)，C (－2，0，0)，M (－1，0，2)，所以→AP ＝(－2，0，4)，→BM ＝(－1，－1，2)，→AP ⋅ →BM ＝10，∣→AP ∣＝25，∣→BM ∣＝6． 则cos ＜→AP ，→BM ＞＝→AP ⋅ →BM ∣→AP ∣∣→BM ∣＝102 5⨯ 6＝306．故异面直线AP 与BM 所成角的余弦值为306………………5分 （2）→AB ＝(－2，1，0)，→BM ＝(－1，－1，2)． 设平面ABM 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ⋅ →AB ＝0，n ⋅ →BM ＝0，得⎩⎨⎧－2x ＋y ＝0，－x －y ＋2z ＝0， 令x ＝2，得y ＝4，z ＝3． 所以平面ABM 的一个法向量为n ＝(2，4，3)．又平面P AC 的一个法向量为→OB ＝(0，1，0)，所以n ⋅→OB ＝4，∣n ∣＝29，∣→OB ∣＝1．则cos ＜n ，→OB ＞＝n ⋅ →OB ∣n ∣∣→OB ∣＝4 2929 ． 故平面ABM 与平面P AC 所成锐二面角的余弦值为4 2929. …………………………………………10分23．解：（1）由条件，n ∈N *，nf (n )＝C 0n C 1n ＋2 C 1n C 2n ＋…＋r C r －1n C r n ＋…＋n C n －1n C n n ①，在①中令n ＝1，得f (1)＝C01⋅C 11＝1．…………………………………………………………………… 1分在①中令n ＝2，得2f (2)＝C 02C12＋ 2 C 12C 22＝6，得f (2)＝3．…………………………………………… 2分在①中令n ＝3，得3f (3)＝C 03C 13＋2 C 13C 23＋3 C 23C 33＝30，得f (3)＝10． ………………………………3分C（第22题）（2）猜想f (n )＝C n 2n －1(或f (n )＝C n －1 2n －1)．………………………………………………………………… 5分 欲证猜想成立，只要证等式n C n 2n －1＝C 0n C 1n ＋2 C 1n C 2n ＋…＋r C r －1n C r n ＋…＋n C n －1n C n n 成立．方法一：当n ＝1时，等式显然成立．当n ≥2时，因为r C r n ＝r ⨯n !r !(n －r )!＝n !(r －1)!(n －r )!＝n ⨯(n －1)!(r －1)!(n －r )!＝n C r －1n －1，………………………7分故r C r －1n C r n ＝(r C r n ) C r －1n ＝n C r －1n －1C r －1n ．故只需证明n C n 2n －1＝n C 0 n －1C 0n ＋n C 1 n －1C 1n ＋…＋n C r －1n －1C r －1n ＋…＋n C n －1n －1C n －1n ． 即证 C n 2n －1＝C 0 n －1C 0n ＋ C 1 n －1C 1n ＋…＋ C r －1n －1C r －1n ＋…＋ C n －1n －1C n －1n ．而C r －1n ＝C n －r ＋1n ，故即证C n 2n －1＝C 0 n －1C n n ＋ C 1 n －1C n －1n ＋…＋ C r －1n －1C n －r ＋1n ＋…＋ C n －1n －1C 1n ②．由等式(1＋x )2n －1＝(1＋x )n －1(1＋x )n 可得，左边x n 的系数为n2n －1． 而右边(1＋x )n －1(1＋x )n ＝(C 0 n －1＋C 1 n －1x ＋C 2 n －1x 2＋…＋C n －1n －1x n －1)( C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n )所以x n 的系数为C 0 n －1C n n ＋ C 1 n －1C n －1n ＋…＋ C r －1n －1C n －r ＋1n ＋…＋ C n －1n －1C 1n ．由(1＋x )2n －1＝(1＋x )n －1(1＋x )n 恒成立可得②成立.综上，f (n )＝C n 2n －1成立．……………………………………………………………………………… 10分方法二：构造一个组合模型，一个袋中装有2n －1个小球，其中n 个是编号为1，2，…，n 的白球，其余n －1个是编号为1，2，…，n －1的黑球．现从袋中任意摸出n 个小球，一方面，由分步计数原理其中含有r 个黑球(n －r 个白球）的n 个小球的组合的个数为C r n －1C n －r n ，0≤r ≤n －1，由分类计数原理有从袋中任意摸出n 个小球的组合的总数为 C 0 n －1C n n ＋ C 1 n －1C n －1n ＋…＋ C r －1n －1C n －r ＋1n ＋…＋ C n －1n －1C 1n ．另一方面，从袋中2n －1个小球中任意摸出n 个小球的组合的个数为C n 2n －1． 故C n 2n －1＝C 0 n －1C n n ＋ C 1 n －1C n －1n ＋…＋ C r －1n －1C n －r ＋1n ＋…＋ C n －1n －1C 1n ，余下同方法一. …………………………………………………………………………………………10分方法三：由二项式定理，得(1＋x )n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ③．两边求导，得n (1＋x )n －1＝C 1n ＋2C 2n x ＋…r C r n x r －1 ＋…＋n C nn x n －1 ④．③×④， 得n (1＋x )2n －1＝(C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n )( C 1n ＋2C 2n x ＋…r C r n x r －1 ＋…＋n C nn x n －1) ⑤． 左边x n 的系数为n C n2n －1．右边x n 的系数为C 1n C n n ＋2 C 2n C n －1n ＋…＋r C r n C n －r ＋1n ＋…＋n C n n C 1n＝C 1n C 0n ＋2C 2n C 1n ＋…＋r C r n C r －1n ＋…＋n C n n C n －1n＝C 0n C 1n ＋2 C 1n C 2n ＋…＋r C r －1n C r n ＋…＋n C n －1n C n n ．由⑤恒成立，可得n C n 2n －1＝C 0n C 1n ＋2 C 1n C 2n ＋…＋r C r －1n C r n ＋…＋n C n －1n C n n ． 故f (n )＝C n 2n －1成立． ……………………………………………………………………………………10分。
江苏南京市高三年级第三次模拟考试数学试题附含答案解析
南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学2018.05注意事项：1. 本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分.本试卷满分为160分，考试时间为120分钟.2•答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内•试题的答案写在答题纸.上对应题目的答案空格内.考试结束后，交回答题纸.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.集合A= {x| x 2+ x —6 = 0} , B= {x| x 2- 4 = 0}，贝U AU B= ▲_ .2. 已知复数z 的共轭复数是—.若z（2 —i）= 5,其中i为虚数单位，则-的模为▲3. 某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了500名学生，他们的每天在校平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校平均开销在［50 , 60］元的学生人数为▲S^1I-1While I v 8S—S+ 2I —I + 3End WhilePrint S（第4题图）4. 根据如图所示的伪代码，可知输出S的值为▲.5•已知A, B, C三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么A与B在相邻两天值班的概率为▲x —y —3< 0,6. 若实数x, y满足x + 2y—5> 0,则丫的取值范围为▲.xy —2< 0,7. 已知a,卩是两个不同的平面，I , m是两条不同的直线，有如下四个命题:①若I丄a, I丄卩，贝U a//®；②若I丄a, a丄卩，贝U l 〃卩；③若I // a , I丄卩，贝U a丄卩；④若I // a , a丄卩，贝U l丄卩.其中真命题为▲（填所有真命题的序号）2 2x y&在平面直角坐标系xOy中，若双曲线孑一b2= i（a>0, b>0）的一个焦点到一条渐近线的距离为2a,则该双曲线的离心率为▲9. 若等比数列｛a n｝的前n项和为S, n€N*,且a i=1, 9=33,贝U a?的值为▲2x + x + a, O w x w 2,10. 若f(x)是定义在R上的周期为3的函数，且f(x)= 则f(a+1)—6X+ 18, 2v x w3, 的值为▲.11. 在平面直角坐标系xOy中，圆M x + y —6x—4y+ 8= 0与x轴的两个交点分别为A, B, 其中A在B的右侧，以AB为直径的圆记为圆N,过点A作直线l与圆M圆N分别交于C, D两点•若D为线段AC的中点，则直线I的方程为▲.12. 在△ ABC中, AB=3,AC=2, D为边BC上一点.若広B 忌=5,卞C 怎D= —£,则匚B -T A C3的值为▲.c b13. 若正数a, b, c成等差数列，则+ 的最小值为▲.2a + b a+ 2c -----------14. 已知a, b€ R, e为自然对数的底数.若存在b€ ［—3e,—ej，使得函数f （x）= e x—ax —b在［1 , 3］上存在零点，贝U a的取值范围为▲.二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15. （本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，锐角a ,卩的顶点为坐标原点O,始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O的交点分别为P, Q已知点P的横坐标为卑7，点Q的纵坐标为3^43.(1 )求COS2 a的值；(2)求2 a — 3的值.（第15题图）16. (本小题满分14分)如图，在三棱锥 P — ABC 中, PA= 6,其余棱长均为2, M 是棱PC 上的一点，D, E 分别 为棱AB BC 的中点.(1) 求证：平面PBCL 平面ABC (2) 若PD//平面AEM 求PM 的长.其中AC 为2百米，ACL BC / A 为n^.若在半圆弧駅，线段AQ 线段AB 上各建一个观赏亭D, E, F ,再修两条栈道 DE DF,使DE// AB DF// AC(1)试用B 表示BD 的长;18. (本小题满分16分)已知过点M | , 0)的直线l 与椭圆C 交于A , B 两点.(1)求椭圆C 的方程;(2)试问x 轴上是否存在定点 N,使得_N A •"N B 为定值.若存在，求出点 N 的坐标; 若不存在，请说明理由19. (本小题满分16分)32已知函数 f ( x ) = 2x - 3ax + 3a — 2 (a > 0)，记 f' (x )为 f (x )的导函数. (1) 若f (x )的极大值为0,求实数a 的值；(2) 若函数g ( x ) = f ( x ) + 6x ,求g ( x )在［0,1］上取到最大值时 x 的值；a a +217.(本小题满分14分)如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段AB AC 和以BC 为直径的半圆弧 ©C 组成,(2 )试确定点E 的位置，使两条栈道长度之和最大 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2 2x yC ：孑+ R = 1(a >b >0)经过点P (8 , |),离心率C(第17题图)(3)若关于x 的不等式f(x) >f' (x)在【2,亍］上有解，求满足条件的正整数a的集合.20. (本小题满分16分)若数列｛a n｝满足：对于任意n € N* , a n+ I a +1 - a n + 2|均为数列｛a n｝中的项，则称数列｛a n｝为“ T数列”.2(1)若数列｛a n｝的前n项和2n , n€ M，求证：数列｛a n｝为“ T数列”；(2)若公差为d的等差数列｛a n｝为“ T数列”，求d的取值范围；(3)若数列｛a n｝为“T数列”，a1= 1，且对于任意n€ N*，均有a・v a n+1 —a2< a n+1,求数列｛a n｝的通项公式.南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题注意事项：1 •附加题供选修物理的考生使用.2 .本试卷共40分，考试时间30分钟.3•答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内•试题 的答案写在答•纸.上对应题目的答案空格内•考试结束后，交回答题纸.21. 【选做题】在 A 、B C 、D 四小题中只能选做 2题，每小题10分，共计20分.请在答.卷纸指定区域内 作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修4— 1:几何证明选讲1在厶ABC 中, AC = q AB M 为边 AB 上一点，△ AMC 勺外接圆交 BC 边于点N, BN= 2AM 求证：CM 是/ ACB 勺平分线.B. 选修4— 2:矩阵与变换1 2 2 0已知矩阵A 0 1 , B = 0 1 下得到直线I 1,求直线I 1的方程.C. 选修4— 4:坐标系与参数方程2018.05，若直线I : x — y + 2= 0在矩阵AB 对应的变换作用在极坐标系中，已知圆 C 经过点P (2, ~3),圆心C 为直线 sin( B —~3)= —寸3与极 轴的交点，求圆 C 的极坐标方程.D. 选修4— 5:不等式选讲已知 a , b, c € (0 ,+s )，且 a + b + c = 1,求.2a + b + 2b + c + , 2c + a 的最大值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答.卷卡指定区域内作答.解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22. (本小题满分10分)在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C ： y 2= 2px (p >0)的焦点为F ,点A (1 , a ) ( a > 0) 是抛物线 C 上一点，且 AF = 2. (1 )求p 的值；(2 )若M N 为抛物线C 上异于A 的两点，且 AML AN 记点M N 到直线y =— 2的距离 分别为d 1，d 2，求d 1d 2的值.23. (本小题满分10分)n € N*且 n 》2.(1) 若 f n (1) = 7g n (1)，求 n 的值；(2) 对于每一个给定的正整数 n ,求关于x 的方程f n ( x ) + g n (x ) = 0所有解的集合.n — 1 已知 f n (X )= E i = 1n — iA n x (x + 1)…(x + i—1)n rg n (x ) = A+ x (x +1)…(x + n — 1)，其中 x € R,6分又因为卩为锐角，所以cos 3 =鲁•8分(2)1 -1 =7•因为点Q 的纵坐标为善”，所以sin 3所以 COS2 a = 2cos 2 a3.*3 14 •南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学参考答案说明：i •本解答给出的解法供参考•如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制订相应的评分细则.2•对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果 后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3 •解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4 •只给整数分数，填空题不给中间分数.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在 答题纸的指定位置上） 1. { — 3, - 2, 2} 2 • 5 3• 1504• 7 5• 262] 7 • ①③ 8.5 9• 410 • 211 • x + 2y — 4 = 0 12 • — 31314 • [e 2, 4e]二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,请把答案写在答题纸的指定区域内） 15 •（本小题满分14分）COS a2 •［忏证明过程或演算步骤,因为点P 的横坐标为台7 P 在单位圆上，a 为锐角,分18.（本小题满分16分）因为a 为锐角，所以0 V 2a Vn.严n又 COS2 a > 0,所以 0 V 2 aV —,n n n又3为锐角，所以一2 V 2 a — 3 V —，所以2 a — 3 =三•14分 16.(本小题满分14分)(1)证明：如图1,连结PE因为△ PBC 勺边长为2的正三角形，E 为BC 中点， 所以PEL BC......................... 2分且 PE = )3,同理 AE= '3.因为PA={6,所以PE + A E = PA ，所以PE L AE ……4分因为 PEI BC PEI AE, B8 AE= E , AE BC 平面 ABC 所以PE 丄平面ABC因为PE 平面PBC 所以平面PBC L 平面ABC (2)解法一如图1，连接CD 交AE 于 O 连接OM因为PD//平面AEM PD 平面PDC 平面 AEI W 平面PDC= OM 所以PD// OM....................... 9分PM DO所以PC = DC................ 11分因为D, E 分别为AB BC 的中点，Cm AE= QDO 1所以O 为 ABC 重心，所以Dc = 3,1 2所以 PM= 3PO 3. ................... 14 分解法二如图2，取BE 的中点N,连接PN因为D, N 分别为AB BE 的中点， 所以DN// AE因为 a 为锐角，所以Sin a因此 sin2 a = 2sin 4护a COS a = 7所以 sin(2 a — 3 )X-壬=137 142 '-10分 12分COS a= 且 7，(图1)B又DN 平面AEM AE 平面AEM所以DN//平面AEM又因为PD/平面AEM DN 平面PDN PD平面PDN DNH PD= D,所以平面PD/平面AEM .....................................又因为平面AEM P平面PBC= ME平面PDN T平面PBC= PNPM NE所以ME/ PN所以PC= NC ........... 11分因为E, N分别为BC BE的中点，NE 1 1 2所以3,所以PM= 3卩°= 3 - ............. 14分17.（本小题满分14分）解：（1）连结DCn在厶ABC中, AC为2百米，ACL BC / A为-,3所以/ CBA=-6 , AB= 4 , BC= 2 3. ................ 2 分一n t所以DF= 4cos 0 si n(石 +0)，......................... 6 分且BF= 4cos20 ,所以DE= AF=4- 4cos20 , ....... 8 分所以DE+ DF= 4 —4cos20 + 4 cos 0 sin(才 + 0 )= . 3sin2 0 —cos2 0 + 3n=2 sin(2 0 —~) + 3.n n n所以当20弋=n ,即0=§时，DHDF有最大值5,此时E与c重合 (13)n因为BC为直径，所以/ BDC= y ,所以BD = BC cos 0 cos 0 . ............ 4分所以—sin( DFn0+石)BFnsin( — - 0 )BDsin / BFD12分n n 因为~3 w 0 <_2，n 5 n 6 < "6(2)在厶BDF中，/ DBF= 0 +： , / BFD=才,BD- 2 3cos 0 ,精品文档答：当E与C重合时，两条栈道长度之和最大. 14分分18.（本小题满分16分）精品文档当I 斜率不存在时,2y ),氏5，—y )，则 y 2= 1 2 2(5)24 25则-N A H NB = (5— n )「—y =(5— n )224 2 4 425=n — 5n —5,当 I 经过左？右顶点时， "N A "N B = ( — 2 — n )(2 — n ) = n — 4. 2 44 2令 n — n — = n — 4，得 n = 4.F 面证明当N 为(4 , 0)时，对斜率为k 的直线I : y = k (x —弓,恒有~NA5 =12.设 A (X i , y i ) , B (X 2, y 2),2X 2 ’4+y =1， 由 2 消去y = k (X —-),516 2 16 y ，得(4k + 1) X — kx + k — 4= 0, 52 516 2k5所以刘+X 2= 4k 77，16 / k — 4 25 X 1X 2 =4k + 1 '10分所以 NA NB = (X 1 — 4)( X 2— 4) + yy,22 2=(X 1 — 4)( X 2 — 4) + k (X 1— 5)( X 2—5)2 2 2=(k + 1)X 1X 2— (4 + k )( X 1' X 2) + 16+ k5 2512分16 2 , 16 2k — 4 k2 25 2 2 5 4 2=(k + 1) 2 — (4 + — k ) 2 + 16+ k(2)解法设 N (n , 0),解("离心率e =|=乎，所以c =a 2- c 2= 2a ,所以椭圆 2X"2'C 的方程为4b 因为椭圆c 经过点只5, 3「 16 9 5)，所以 25b 2'25bb 21.精品文档—4=入,此时"N A "N B = 12.14分,"2 八，16.2 八 16.2,, 2 2 4"2,,"2 八(k + 1)( 25k — 4) — —k (4 + 5k ) + 25k (4k + 1)4k 2+ 116 2 k 5 所以 X 1 + X 2 = ,4k + 1tt 22 2所以 NA NB = (X 3— n )( x 4— n ) + y 5y 2= (X 1 — n )( x 2— n ) + k (X 1 — 5)(x 2 — #162k一 422 2 5 24 2 =(k + 1)2— (n + - k ) 2 + n + k 4k + 1 ' 5 74k +125(k 2+ 1)(歎—4) — 16k 2( n + |k 2) + 加4 k 2 +1)2 4k 2+ 1+ nk 2 — 416 16 2 2则(—fn — f)k — 4 = 4入k +入对任意的实数k 恒成立, 5 52 , 16 16 2k — 4( — n — )k — 45 5 --- 为常数，设2=入，入为所以在 解法设Nn , .2—16k — 4 4k 2 + 1卜16=12.x 轴上存在定点 N (4 , 0), 使得 NA NB 为定值. 16分0)，当直线I 斜率存在时, 2:y = k (x —5)，y i )，B (x 2，y 2)，设 A (X 1, 2X -4 + y =1， 由 2消去 y = k (X —-),5y ， 得(4 k 22 + 1)x + 咏—4= 0,5 254k + 1卜n 2.12分’ 16 16、T T(—尹 R若NA NB 为常数，则 2—4k +1常数,卜16^k 2— 4 25X1X2=4k 2 + 1，2=(k + 1)X 1X 2— ( n +X 1 + X 2) + n 2+ 25 k 225精品文档—4=入,此时"N A "N B = 12.14分16 16—l n — = 4 入, 所以 5 5 '所以n = 4,入=—4,由 a n v a n% — a 2 v a n + 1 ,得 1 + (n — 1)t v t [2 + (2n — 1) t ] v 1 12分所以"N A ~NB = (2-4)2-y 2= (|- 4)2 - 25= 12,所以在x 轴上存在定点 N 4 , 0)，使得_NA ~NB 为定值. .................. 16分19.(本小题满分16分)32解：(1)因为 f ( x ) = 2x - 3ax + 3a — 2 (a > 0),所以 f' (x ) = 6x 2— 6ax = 6x ( x — a ). 令 f (x ) = 0，得 x = 0 或 a ................... 2分当 x € ( —a, 0)时，f' (x ) >0, f ( x )单调递增； 当 x € (0 , a )时，f' (x ) v 0, f ( x )单调递减； 当 x € (a ,+^)时，f' (x ) >0, f ( x )单调递增.2故 f ( x )极大值=f (0) = 3a — 2 = 0,解得 a = 3................... 4 分32(2) g ( x ) = f ( x ) + 6x = 2x — 3ax + 6x + 3a — 2 (a > 0),22则 g '(x ) = 6x — 6ax + 6= 6(x — ax + 1) , x € [0 , 1].2① 当 0v a w 2 时，△= 36( a — 4) < 0,所以g '(x ) > 0恒成立，g ( x )在[0 , 1]上单调递增， 贝U g ( x )取得最大值时x 的值为1....................... 6分a 2② 当 a >2 时，g '(x )的对称轴 x = 2> 1，且△= 36( a — 4) >0, g ' (1) = 6(2 — a )v 0, g ' (0) = 6> 0,所以g '(x )在(0 , 1)上存在唯一零点当 x € (0 , x o )时，g '(x ) > 0, g ( x )单调递增, 当 x € (x °, 1)时，g '(x ) v 0, g ( x )单调递减,综上，当0v a w 2时，g ( x )取得最大值时x 的值为1;a —寸 a 2— 4 当a >2时，g ( x )取得最大值时x 的值为 2....... 9分32(3) 设 h ( x ) = f ( x ) — f ' ( x) = 2x — 3( a + 2) x + 6ax + 3a — 2,a a + 2则h ( x ) > 0在Q —厂]有解......... 10分2 ,2 a + 2 2 a + 4h '(x ) = 6[x — (a + 2)x + a ] = 6[( x —^) —p],a a + 2 a 3 2因为h '(x )在g , ~^)上单调递减，所以 h '(x ) v h'Q = — ?a v 0,a a + 2、所以h ( x )在(2，—厂)上单调递减,当直线l 斜率不存在时, A (2, y ), B (|,- y )，则 y 2= 1X o =a — a — 42则g ( x )取得最大值时 x 的值为X 0 =a3 2所 以 h (2 )> 0, 即 a -3a - 6a + 4............................................ 12分3 2 2设 t ( a ) = a - 3a - 6a + 4 (a > 0),贝U t ' ( a ) = 3a - 6a -6, 当 a c (0 , 1 +、2) 时，t ' ( a ) v 0, t ( a )单调递减； 当 a c (1 + ,2,+s )时，t ' ( a ) >0, t (a )单调递增.因为 t (0) = 4 > 0 , t (1) =- 4 v 0,所以 t ( a )存在一个零点m C (0....... 14分因为 t (4) =-4 v 0, t (5) = 24 > 0，所以 t ( a )存在一个零点 n C (4 , 5), 所以t ( a ) w 0的解集为[m , n ],故满足条件的正整数 a 的集合为｛1 , 2, 3 , 4｝ ................. 16分(本小题满分16分)2 2(1 )当 n 》2 时，a n = S — S-1= 2n —2(n — 1) = 4n — 2,又 a 1= S= 2 = 4x 1-2，所以 a n = 4n — 2............. 2分所以 a n + | a n +1 — a n +2| = 4n — 2+ 4 = 4( n + 1) — 2 为数列｛a n ｝的第 n + 1 项， 因此数列｛a n ｝为“ T 数列”. .......... 4分(2)因为数列｛a n ｝是公差为d 的等差数列，所以 a n + | a n +1- a n +2| = a 1+ (n - 1) d +1 d | . 因为数列｛a n ｝为“T 数列”，所以任意 n C N*，存在 m€ N*，使得 a + ( n - 1) d + | d | = a m ,即有(m- n ) d 6分① 若 d >0,则存在 m = n + 1 C N*，使得(n — n ) d = | d | , ② 若 d v 0,则 m= n - 1.此时，当n = 1时，m= 0不为正整数，所以 d v 0不符合题意.综上，d >0...................... 8分(3 ) 因为 a n v a n + 1, 所以 a n + | a n + 1- a n + 2| = a n + a n +2 — a n + 1 .又因为 a n v a n + a n + 2— a n + 1 = a n + 2— (a n +1 — a n ) v a n + 2,且数列｛ a n ｝为“ T 数列”， 所以 a n + a n + 2— a n + 1= a n + 1, 即卩 a n + a n + 2= 2a n + 1 , 所以数列｛a n ｝为等差数列.......... 10分设数列｛a n ｝的公差为t (t >0)，则有a n = 1 + (n - 1)t ,0.1),20. 解: |d |nt ,整理得n(2t2—t) >t2-3t + 1, ①n(t —2t ) >2t —t —1.②22 t —3t + 1若2t —t v 0,取正整数N> 2t2 t，2 2 2则当n> N0时，n(2t —t) v (2 t —t) N0v t —3t +1，与①式对于任意n€ N*恒成立相矛盾，因此2t —t >0.同样根据②式可得t —2t2> 0,2 1所以2t —t = 0•又t >0,所以t = 21经检验当t = 2时，①②两式对于任意n € M恒成立，1所以数列｛a n｝的通项公式为a n = 1 + 2 (n —1)=n+ 1......................................... 16分2 -由a n v a n% —a2v a n + 1,得1 + (n —1)t v t [2 + (2n —1) t] v 112分南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准2018.05说明：1 •本解答给出的解法供参考•如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.2•对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3 •解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4 •只给整数分数，填空题不给中间分数.21 •【选做题】在A、B C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.请在答.卷卡指定区域内作答•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修4—1:几何证明选讲证明：连结MN则/ BMN=Z BCA ........ 2分又/ MBI4Z CBA 因此△MB MA CBA .......... 4分AB BN所以AB T M N• .............................. 6分1 BN又因为AC T尹3所以M N T 2, 即卩BI T 2MN .......... 8分又因为BN= 2AM所以AM= MN所以CM是/ ACB勺平分线. ...... 10分B. 选修4—2:矩阵与变换12 2 022解：因为A= ,B= ，所以AB=........ 4分010 101设点P D(X0,y°）是l上任意 -点，P0在矩阵AB对应的变换作用下得到P(X, y)因为P D(X0,y0）在直线l : x-y + 2= 0 上, 所以X0-y°+ 2 = 0 •①X0x 22X0 X由AI B = ，即c1y。
2018届南京市高三数学综合题及答案
南京市2018届高三数学综合题一、填空题1．已知函数y ＝sin ωx (ω＞0)在区间[0，π2]上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为 ． 【答案】{13，23，1}．【提示】由题意知，⎩⎨⎧π2ω≥π2，3ωπ＝k π，即⎩⎨⎧0＜ω≤1 ω＝k 3，其中k ∈Z ，则k ＝13或k ＝23 或k ＝1．【说明】本题考查三角函数的图象与性质（单调性及对称性）．三角函数除关注求最值外，也适当关注其图象的特征，如周期性、对称性、单调性等． 2．如图：梯形ABCD 中，AB //CD ，AB ＝6，AD ＝DC ＝2，若AC →²BD →＝－12，则AD →²BC →＝ ． 【答案】0．【提示】以AB→，AD →为基底，则AC →＝AD →＋13AB →，BD →＝AD →－AB →则AC →²BD →＝AD →2－23AB →²AD →－13AB →2＝4－8cos ∠BAD －12＝－12，所以cos ∠BAD ＝12，则∠BAD ＝60o ，则AD →²BC →＝AD →²(AC →－AB →)＝AD →²(AD →－23AB →)＝AD →2－23AB →²AD →＝4－4＝0．【说明】本题主要考查平面向量的数量积，体现化归转化思想．另本题还可通过建立平面直角坐标系将向量“坐标化”来解决．向量问题突出基底法和坐标法，但要关注基底的选择与坐标系位置选择的合理性，两种方法之间的选择．3．设α、β为空间任意两个不重合的平面，则：①必存在直线l与两平面α、β均平行；②必存在直线l与两平面α、β均垂直；③必存在平面γ与两平面α、β均平行；④必存在平面γ与两平面α、β均垂直．其中正确的是___________．（填写正确命题序号）【答案】①④．【提示】当两平面相交时，不存在直线与它们均垂直，也不存在平面与它们均平行（否则两平面平行）．【说明】本题考查学生空间线面，面面位置关系及空间想象能力．4．圆锥的侧面展开图是圆心角为3π，面积为23π的扇形，则圆锥的体积是______．【答案】π．【提示】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意知2πrl＝3π，且12²2πr²l＝23π，解得l＝2，r＝3，所以圆锥高h＝1，则体积V＝13πr2h＝π．【说明】本题考查圆锥的侧面展开图及体积的计算．5．设圆x2＋y2＝2的切线l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B．当线段AB的长度最小值时，切线l的方程为____________．【答案】x＋y－2＝0．【说明】本题考查直线与圆相切问题和最值问题．6．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率等于2，它的右准线过抛物线y2=4x的焦点，则双曲线的方程为．【答案】x24－y212＝1．【解析】本题主要考查了双曲线、抛物线中一些基本量的意义及求法．7．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1、C2、C3依次为y＝2log2x、y＝log2x、y＝k log2x(k为常数，0＜k＜1)．曲线C1上的点A在第一象限，过A分别作x轴、y轴的平行线交曲线C2分别于点B、D，过点B作y轴的平行线交曲线C3于点C．若四边形ABCD 为矩形，则k的值是___________．【答案】12．【提示】设A(t，2 log2t)(t＞1)，则B(t2，2 log2t)，D(t，log2t)，C(t2，2k log2t)，则有log2t＝2k log2t，由于log2t＞0，故2k＝1，即k＝12．【说明】本题考查对数函数的图像及简单的对数方程．注意点坐标之间的关系是建立方程的依据．*8．已知实数a、b、c满足条件0≤a＋c－2b≤1，且2a＋2b≤21＋c，则2a－2b 2c的取值范围是_________．【答案】[－14，5－172]．【提示】由2a＋2b≤21＋c得2a－c＋2b－c≤2，由0≤a＋c－2b≤1得0≤(a－c)－2(b －c)≤1，于是有1≤2(a－c)－2(b－c)≤2，即1≤2a－c22(b－c)≤2．设x＝2b－c，y＝2a－c，则有x＋y≤2，x2≤y≤2x2，x＞0，y＞0，2a－2b2c＝y－x．在平面直角坐标系xOy中作出点(x，y)所表示的平面区域，并设y－x＝t ．如图，当直线y －x ＝t 与曲线y ＝x 2相切时，t 最小．此时令y ′＝2x ＝1，解得x ＝12，于是y ＝14，所以t min ＝14－12＝－14．当直线过点A 时，t 最大．由⎩⎨⎧y ＝2x 2，x ＋y ＝2，解得A (－1＋174，9－174)， 所以t max ＝9－174－－1＋174＝5－172．因此2a －2b 2c 的取值范围是[－14，5－172]．【说明】本题含三个变量，解题时要注意通过换元减少变量的个数．利用消元、换元等方法进行减元的思想是近年高考填空题中难点和热点，对于层次很好的学校值得关注．9．已知四数a 1，a 2，a 3，a 4依次成等比数列，且公比q 不为1．将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列， 则正数q 的取值集合是 ．【答案】{－1＋ 52，1＋52}．【提示】因为公比q 不为1，所以不能删去a 1，a 4．设{a n }的公差为d ，则① 若删去a 2，则由2a 3＝a 1＋a 4得2a 1q 2＝a 1＋a 1q 3，即2q 2＝1＋q 3， 整理得q 2(q －1)＝(q －1)(q ＋1)．又q ≠1，则可得 q 2＝q ＋1，又q ＞0解得q ＝1＋52；② 若删去a 3，则由2a 2＝a 1＋a 4得2a 1q ＝a 1＋a 1q 3，即2q ＝1＋q 3，整理得q (q －1)(q ＋1)＝q －1．又q≠1，则可得q(q＋1)＝1，又q＞0解得 q＝－1＋52．综上所述，q＝±1＋52．【说明】本题主要考查等差数列等差中项的概念及等比数列中基本量的运算．*10．数列{a n}是等差数列，数列{b n}满足b n＝a n a n＋1a n＋2(n∈N*)，设S n为{b n}的前n项和．若a12＝38a5＞0，则当S n取得最大值时n的值等于___________．【答案】16．【提示】设{a n}的公差为d，由a12＝38a5＞0得a1＝－765d，d＞0，所以a n＝(n－815)d，从而可知1≤n≤16时，a n＞0，n≥17时，a n＜0．从而b1＞b2＞…＞b14＞0＞b17＞b18＞…，b15＝a15a16a17＜0，b16＝a16a17a18＞0，故S14＞S13＞……＞S1，S14＞S15，S15＜S16．因为a15＝－65d＞0，a18＝95d＜0，所以a15＋a18＝－65d＋95d＝45d＜0，所以b15＋b16＝a16a17(a15＋a18)＞0，所以S16＞S14，故S n中S16最大．【说明】利用等差数列及等差数列的基本性质是解题基本策略．此题借助了求等差数列前ｎ项和最值的方法，所以在关注方法时，也要关注形成方法的过程和数学思想．二、解答题11．三角形ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，且2sin B＝3cos B．(1)若cos A＝13，求sin C的值；(2)若b＝7，sin A＝3sin C，求三角形ABC的面积．解 (1)由2sin B ＝3cos B ，两边平方得2sin 2B ＝3cos B ，即2(1－cos 2B )＝3cos B ，解得cos B ＝12或cos B ＝－2(舍去)．又B 为三角形内角，则B ＝π3．因为cos A ＝13，且A 为三角形内角，则sin A ＝223，故sin C ＝sin(B ＋A )＝sin(π3＋A )＝ 32cos A ＋12sin A ＝3＋226．(2)解法一 因为sin A ＝3sin C ，由正弦定理可得a ＝3c ．由余弦定理知：b 2＝ a 2＋c 2－2ac cos B ，则7＝9c 2＋c 2－3c 2，解得c ＝1，则a ＝3．面积S ＝12ac sin B ＝334．解法二 由sin A ＝3sin C 得sin(C ＋B )＝3sin C ，即sin(C ＋π3)＝3sin C ，则12sin C ＋32cos C ＝3sin C ， 即32cos C ＝52sin C ，故可得tan C ＝35． 又C 为三角形的内角，则sin C ＝2114．由正弦定理知bsin B ＝csin C，则c ＝1．又sin A ＝3sin C ＝32114，故面积S ＝12bc sin A ＝334． 【说明】本题考查同角三角函数关系式，两角和差公式及正、余弦定理，具有一定的综合性．12．三角形ABC 中，三内角为A 、B 、C ，a ＝(3cos A ，sin A )，b ＝(cos B ，3sin B )，AE DC Bc ＝(1，－1)．(1)若a ²c ＝1，求角A 的大小；(2)若a //b ，求当A －B 取最大时，A 的值．解 (1)a ²c ＝3cos A －sin A ＝2cos(A ＋π6)＝1，则cos(A ＋π6)＝12．因为A ∈(0，π)，则A ＋π6∈(π6，7π6)，则A ＋π6＝π3，则A ＝π6．(2)因为a //b ，所以3cos A ²3sin B ＝sin A ²cos B ，则tan A ＝3tan B ．由于A 、B 为三角形内角，则A 、B 只能均为锐角，即tan A ＞0，tan B ＞0． tan(A －B ) ＝ tan A －tan B 1＋tan A ²tan B ＝2tan B1＋3tan 2B＝21tan B＋ 3tan B ≤223＝33， 当且仅当1tan B ＝3tan B 时，B ＝π6取“＝”号．又A －B ∈(－π2，π2)，则A －B 的最大值为π6，此时A ＝π3．所以，当A －B 的最大时，A ＝π3．【说明】本题第一问考查向量数量积的坐标运算，两角和差公式及已知三角函数值求角问题；第二问考查平面向量平行的条件及两角差的正切公式，利用基本不等式求最值．13．如图，六面体ABCDE 中，面DBC ⊥面ABC ，AE ⊥面ABC ． (1)求证：AE //面DBC ；(2)若AB ⊥BC ，BD ⊥CD ，求证：AD ⊥DC ． 证明 (1)过点D 作DO ⊥BC ，O 为垂足．因为面DBC ⊥面ABC ，又面DBC ∩面ABC ＝BC ，DO 面DBC ， 所以DO ⊥面ABC ．BA1B1C1 MNA又AE⊥面ABC，则AE//DO．又AE⊂/面DBC，DO⊂面DBC，故AE // 面DBC．(2)由（1）知DO⊥面ABC，AB⊂面ABC，所以DO⊥AB．又AB⊥BC，且DO∩BC＝O，DO，BC⊂平面DBC，则AB⊥面DBC．因为DC⊂面DBC，所以AB⊥DC．又BD⊥CD，AB∩DB＝B，AB，DB⊂面ABD，则DC⊥面ABD．又AD⊂面ABD，故可得AD⊥DC．【说明】本题第(1)问考查面面垂直的性质定理，线面垂直的性质定理及线面平行的判定定理；第(2)问通过线面垂直证线线垂直问题．14．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面A1ACC1是边长为2的菱形，∠A1AC ＝60o．在面ABC中，AB＝23，BC＝4，M为BC的中点，过A1，B1，M三点的平面交AC于点N．(1)求证：N为AC中点；(2)平面A1B1MN⊥平面A1ACC1．解 (1)由题意，平面ABC//平面A1B1C1，平面A1B1M与平面ABC交于直线MN，与平面A1B1C1交于直线A1B1，所以MN//A1B1．因为AB// A1B1，所以MN//AB，所以CNAN＝CMBM．因为M为AB的中点，所以CNAN＝1，所以N为AC中点．(2)因为四边形A1ACC1是边长为2的菱形，∠A1AC＝60o．在三角形A1AN中，AN＝1，AA1＝2，由余弦定理得A1N＝3，故A1A2＝AN2＋A1N2，从而可得∠A1NA＝90o，即A1N⊥AC．在三角形ABC中，AB＝2，AC＝23，BC＝4，则BC 2＝AB 2＋AC 2，从而可得∠BAC=90o ，即AB ⊥AC ． 又MN //AB ，则AC ⊥MN ．因为MN ∩A 1N ＝N ，MN ⊂面A 1B 1MN ，A 1N ⊂面A 1B 1MN ， 所以AC ⊥平面A 1B 1MN ．又AC ⊂平面A 1ACC 1，所以平面A 1B 1MN ⊥平面A 1ACC 1．【说明】本题考查面面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，综合考查空间想象及逻辑推理能力．立体几何中线面平行、面面平行、面面垂直的性质定理要适当关注，不成为重点，但也不要成为盲点．关注以算代证的方法．15．某汽车厂有一条价值为a 万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值．经过市场调查，产品的增加值y 万元与技术改造投入的x 万元之间满足：①y 与(a －x )和x 2的乘积成正比；②x ∈(0，2am 2m ＋1]，其中m 是常数．若x ＝a2时，y ＝a 3．(1)求产品增加值y 关于x 的表达式；(2)求产品增加值y 的最大值及相应的x 的值．解：(1)设y ＝f (x )＝k (a －x )x 2，因为当x ＝a2时，y ＝a 3，所以k ＝8，所以f (x )＝8(a －x )x 2，x ∈(0，2am2m ＋1]．(2)因为f ′(x )＝－24x 2＋16ax ，令f ′(x )＝0，则x ＝0(舍)，x ＝2a3．①当2am 2m ＋1≥2a3，即m ≥1时，当x ∈(0，2a 3)时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，2a3)上是增函数，当x ∈(2a 3，2am 2m ＋1)时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(2a 3，2am2m ＋1)上是减函数，所以y max ＝f (2a 3)＝3227a 3；②当2am 2m ＋1＜2a3，即0＜m ＜1时，当x ∈(0，2am 2m ＋1)时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，2am2m ＋1)上是增函数，所以y max ＝f (2am 2m ＋1)＝32m 2(2m ＋1)3a 3， 综上，当m ≥1时，投入2a 3万元，最大增加值3227a 3． 当0＜m ＜1时，投入2am 2m ＋1万元，最大增加值32m 2(2m ＋1)3a 3． 【说明】适当关注建模容易，解模难的应用题，如本题需要对解模过程进行分类讨论．16．如图，摄影爱好者S 在某公园A 处，发现正前方B 处有一立柱，测得立柱顶端O 的仰角和立柱底部B 的俯角均为π6．设S 的眼睛距地面的距离按3米．(1) 求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2) 立柱的顶端有一长2米的彩杆MN 绕其中点O 在S 与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为π3的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由． 解 (1) 如图，作SC 垂直OB 于C ，则∠CSB ＝30°，∠ASB ＝60°．又SA ＝3，故在Rt △SAB 中，可求得BA ＝3，即摄影者到立柱的水平距离为3米．由SC ＝3，∠CSO ＝30°，在Rt △SCO 中，可求得OC ＝3． 因为BC ＝SA ＝3，故OB ＝23，即立柱高为23米. (2) 方法一：连结SM ，SN ，设ON ＝a ，OM ＝b ．在△SON 和△SOM 中，(23)2＋1－b 22²23²1＝－(23)2＋1－a 22²23²1，得a 2＋b 2＝26．cos ∠MSN ＝a 2＋b 2－222ab ＝11ab ≥22a 2＋b 2＝1113＞12．又∠MSN ∈(0，π)， 则∠MSN ＜π3．故摄影者可以将彩杆全部摄入画面．方法二提示:设∠MOS ＝θ，建立cos ∠MSN 关于θ的关系式，求出cos ∠MSN 最小值为1113，从而得到∠MSN ＜π3． 方法三提示:假设∠MSN ＝π3，设ON ＝a ，OM ＝b ，联立a 2＋b 2＝26和a 2＋b 2－ab ＝4消元，判断方程是否有解．方法四提示：计算过S 点作圆O (1为半径)的两切线夹角大于60o ．也可合理建系．【说明】第(1)问主要考查了对图形的认识；第(2)问突出应用题中变量的选择，方法的选择．另外应用题中除求解函数最值问题外，也考虑涉及方程的解、不等式等问题，如方法三．17．为了迎接青奥会，南京将在主干道统一安装某种新型节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成．在如图所示的直角坐标系中，支架ACB 是抛物线y 2＝2x 的一部分，灯柱CD 经过该抛物线的焦点F 且与路面垂直，其中C 在抛物线上，B 为抛物线的顶点，DH 表示道路路面，BF ∥DH ，A 为锥形灯罩的顶，灯罩轴线与抛物线在A 处的切线垂直．安装时要求锥形灯罩的顶到灯柱的距离是1.5米，灯罩的轴线正好通过道路路面的中线．(1)求灯罩轴线所在的直线方程； (2)若路宽为10米，求灯柱的高．解：(1)由题意知，BF ＝12，则x A ＝1.5＋12＝2，代入y 2＝2x 得y A ＝2，故A (2，2)． 设点A 处的切线方程为y －2＝k (x －2)，代入抛物线方程y 2＝2x 消去x ，得ky 2－2y ＋4－4k ＝0． 则△＝4－4k (4－4k )＝0，解得k ＝12．故灯罩轴线的斜率为－2，其方程为y －2＝－2(x －2)，即y ＝－2x ＋6． （2）由于路宽为10，则当x ＝112时，y ＝－5，从而FD ＝5．又CF ＝1，则CD ＝6． 答：灯柱的高为6米.【说明】本题改编自必修2(P92)例5，考查学生综合应用函数、不等式知识解决实际问题的能力．解析几何应用题不需重点训练，但也需要学生适当了解和关注．18．如图，在Rt ΔABC 中，∠A 为直角，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T (－1，1)在直线AC 上，斜边中点为M (2，0)． (1)求BC 边所在直线的方程；(2)若动圆P 过点N (－2，0)，且与Rt ΔABC的外接圆相交所得公共弦长为4，求动圆P 中半径最小的圆方程．解 (1)因为AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，AC 与AB垂直，所以直线AC 的斜率为－3．故AC 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)， 即3x ＋y ＋2＝0．设C 为(x 0，－3x 0－2)，因为M 为BC 中点，所以B (4－x 0，3x 0＋2)．点B 代入x －3y －6＝0，解得x 0＝－45，所以C (－45，25)．所以BC 所在直线方程为：x ＋7y －2＝0．(2)因为Rt ΔABC 斜边中点为M (2，0)，所以M 为Rt ΔABC 外接圆的圆心． 又AM ＝22，从而Rt ΔABC 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．设P (a ，b )，因为动圆P 过点N ，所以该圆的半径r ＝(a ＋2)2＋b 2，圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2．由于⊙P 与⊙M 相交，则公共弦所在直线的方程m 为：(4－2a )x －2by ＋a 2＋b 2－r 2＋4＝0．因为公共弦长为4，r ＝22，所以M (2，0)到m 的距离d ＝2，即|2(4－2a )＋a 2＋b 2－r 2＋4|2(2－a )2＋b2＝2， 化简得b 2＝3a 2－4a ，所以r ＝(a ＋2)2＋b 2＝4a 2＋4． 当a ＝0时，r 最小值为2，此时b ＝0，圆的方程为x 2＋y 2＝4．【说明】本题考查直线与直线的位置关系，直线与圆有关知识，考查圆与圆位置关系及弦长的求法及函数最值求法．19．如图，平行四边形AMBN 的周长为8，点M ，N 的坐标分别为(－3，0)，(3，0)．(1)求点A ，B 所在的曲线L 方程；(2) 过 L 上点C (－2，0)的直线l 与L 交于另一点D ，与y 轴交于点E ，且l //OA ．求证：CD ²CE OA2为定值． 解 (1)因为四边形AMBN 是平行四边形，周长为8 所以两点A ，B 到M ，N 的距离之和均为4>23由椭圆定义可知，a ＝2，c ＝3，b ＝1．曲线L 方程为x 24＋y 2＝1（y ≠0）． (2)由已知可知直线l 的斜率存在．因为直线l 过点C (－2，0)，设直线l 的方程为y 代入曲线方程x 24＋y 2＝1(y ≠0)，并整理得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0．因为点C (－2，0)在曲线上，则D (－8k 2＋21＋4k 2，4k1＋4k 2)，E (0，2k )，所以CD ＝41＋k 2 1＋4k 2，CE ＝21＋k 2．因为OA //l ，所以设OA 的方程为y ＝kx ，代入曲线方程，并整理得(1＋4k 2)x 2＝4．所以x 2A ＝4 1＋4k 2，y A 2＝4k ２ 1＋4k 2，所以OA 2＝4＋4k ２1＋4k 2， 化简得CD ²CE OA 2＝2，所以CD ²CE OA2为定值． 【说明】本题考查用定义法求椭圆方程知识及直线与椭圆相交的有关线段的计算与证明．20．如图，在直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2，且过点(2，62)．(1)求椭圆E 的方程；(2)若点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点M ．(i)设直线OM 的斜率为k 1，直线BP 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值； *(ii)设过点M 垂直于PB 的直线为m ．求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标.解：(1)由题意得2c ＝2 ，所以c ＝1，又2a 2＋32b2＝1消去a 可得2b 4－5b 2－3＝0，解得b 2＝3或b 2所以椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1．(2)(i)设P (x 1，y 1)(y 1≠0)，M (2，y 0)，则k 1＝y 02，k 2＝1x 1－2，因为A ，P ，M 三点共线，所以y 0＝4y 1x 1＋2， 则k 1k 2＝4y212(x 21－4)．因为P (x 1，y 1)在椭圆上，所以y 21＝34(4－x 21)，则k 1k 2＝4y212(x 21－4)＝－32为定值．(ii)方法一：直线BP 的斜率为k 2＝y 1x 1－2，直线m 的斜率为k m ＝2－x 1y 1，则直线m 的方程为y －y 0＝2－x 1y 1(x －2)，即y ＝2－x 1y 1(x －2)＋y 0＝2－x 1y 1(x －2)＋4y 1x 1＋2＝2－x 1y 1[(x －2)＋4y 124－x 12]＝2－x 1y 1[(x －2)＋12－3x 124－x 12]＝2－x 1y 1(x ＋1)，所以直线m 过定点(－1，0)．方法二：直线BP 的斜率为k 2＝y 1x 1－2，直线m 的斜率为k m ＝2－x 1y 1，则直线m 的方程为y －4y 1x 1＋2＝2－x 1y 1(x －2)， 若P 为(0，3)，则m 的方程为y ＝233x ＋233， 若P 为(0，－3)，则m 的方程为y ＝－233x －233，两直线方程联立解得Q (－1，0)．因为k MQ ²k 2＝4y 13(x 1＋2)²y 1x 1－2＝4y 123(x 12－4)＝12－3x 123(x 12－4)＝－1，所以Q 在过M 且与BP 垂直的直线上， 所以直线m 过定点(－1，0)．【说明】考查椭圆方程的求法及直线与椭圆中的一些定值、定点问题．其中定点问题可以考虑先从特殊情况入手，找到定点再证明． 21．已知函数f (x )＝1x －a ＋λx －b (a ，b ，λ为实常数)．(1)若λ＝－1，a ＝1．①当b ＝－1时，求函数f (x )的图象在点( 2，f (2))处的切线方程； ②当b ＜0时，求函数f (x )在[13，12]上的最大值．* (2)若λ＝1，b ＜a ，求证：不等式f (x )≥1的解集构成的区间长度D 为定值．解 (1)①当b ＝－1时，f (x )＝1x －1－1x ＋1＝2x 2－1，则f ′(x )＝－4x(x 2－1)2，可得f ′(2)＝－42，又f ( 2)＝2，故所求切线方程为y －2＝－4 2(x － 2)，即42x ＋y －10＝0．②当λ＝－1时，f (x )＝1x －1－1x －b，则 f ′(x )＝－1(x －1)2＋1(x －b )2＝(x －1)2－(x －b )2(x －1)2(x －b )2＝2(b －1)(x －b ＋12)(x －1)2(x －b )2．因为b ＜0，则b －1＜0 ，且b ＜b ＋12＜12故当b ＜x ＜b ＋12时，f ′(x )＞0，f (x )在(b ，b ＋12)上单调递增；当b ＋12＜x ＜12 时，f ′(x )＜0，f (x )在(b ＋12，12)单调递减．(Ⅰ)当b ＋12≤13，即b ≤－13时，f (x )在[13，12]单调递减，所以[f (x )]max ＝f (13)＝9b －92－6b； (Ⅱ)当13＜b ＋12＜12，即－13＜b ＜0时，[f (x )]max ＝f (b ＋12)＝4b －1．综上所述，[f (x )]max ＝⎩⎨⎧ 4b －1，－13＜b ＜0， 9b －92－6b ，b ≤－13．(2) f(x)≥1即1x－a＋1x－b≥1．……………………(*)①当x＜b时，x－a＜0，x－b＜0，此时解集为空集．②当a＞x＞b时，不等式(*)可化为(x－a)＋(x－b)≤(x－a)(x－b)，展开并整理得，x2－(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b)≥0，设g (x)＝x2－(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b)，因为△＝(a－b)2＋4＞0，所以g(x)有两不同的零点，设为x1，x2(x1＜x2)，又g (a)＝b－a＜0，g (b)＝a－b＞0，且b＜a，因此b＜x1＜a＜x2，所以当a＞x＞b时，不等式x2－(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b)≥0的解为b＜x ≤x1．③当x＞a时，不等式(*)可化为(x－a)＋(x－b)≥(x－a)(x－b)，展开并整理得，x2－(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b)≤0，由②知，此时不等式的解为a＜x≤x2综上所述，f(x)≥1的解构成的区间为(b，x1]∪(a，x2]，其长度为(x1－b)＋(x2－a)＝x1＋x2－a－b＝a＋b＋2－a－b＝2．故不等式f(x)≥1的解集构成的区间长度D为定值2．【说明】本题考查了导数的应用、分类讨论思想、解一元二次不等式．其中第(2)问涉及不常考的解一元二次不等式分类讨论问题，注意比较a、b与两根的大小．22．已知函数f (x)＝ln x(x＞0)．(1)求函数g (x)＝f (x)－x＋1的极值；*(2)求函数h(x)＝f (x)＋|x－a|(a为实常数)的单调区间；*(3)若不等式(x 2－1)f (x )≥k (x －1)2对一切正实数x 恒成立，求实数k 的取值范围．解：(1)g (x )＝ln x －x ＋1，g ′(x )＝1x －1＝1－xx，当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0；当x ＞1时，g ′(x )＜0， 可得g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 故g (x )有极大值为g (1)＝0，无极小值． (2)h (x )＝ln x ＋|x －a |．当a ≤0时，h (x )＝ln x ＋x －a ，h ′(x )＝1＋1x＞0恒成立，此时h (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，h (x )＝⎩⎨⎧ln x ＋x －a ，x ≥a ，ln x －x ＋a ，0＜x ＜a ．①当x ≥a 时，h (x )＝ln x ＋x －a ，h ′(x )＝1＋1x＞0恒成立，此时h (x )在(a ，＋∞)上单调递增；②当0＜x ＜a 时，h (x )＝ln x －x ＋a ，h ′(x )＝1x －1＝1－xx．当0＜a ≤1时，h ′(x )＞0恒成立，此时h (x )在(0，a )上单调递增； 当a ＞1时，当0＜x ＜1时h ′(x )＞0，当1≤x ＜a 时h ′(x )≤0， 所以h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，a )上单调递减． 综上，当a ≤1时，h (x )的增区间为(0，＋∞)，无减区间；当a ＞1时，h (x )增区间为(0，1)，(a ，＋∞)；减区间为(1，a )． (3)不等式(x 2－1)f (x )≥k (x －1)2对一切正实数x 恒成立，即(x 2－1)ln x ≥k (x －1)2对一切正实数x 恒成立． 当0＜x ＜1时，x 2－1＜0；ln x ＜0，则(x 2－1)ln x ＞0；当x≥1时，x2－1≥0；ln x≥0，则(x2－1)ln x≥0．因此当x＞0时，(x2－1)ln x≥0恒成立．又当k≤0时，k(x－1)2≤0，故当k≤0时，(x2－1)ln x≥k(x－1)2恒成立．下面讨论k＞0的情形．当x＞0且x≠1时，(x2－1)ln x－k(x－1)2＝(x2－1)[ln x－k(x－1)x＋1]．设h(x)＝ln x－k(x－1)x＋1(x＞0且x≠1)，h′(x)＝1x－2k(x＋1)2＝x2＋2(1－k)x＋1x(x＋1)2．记△＝4(1－k)2－4＝4(k2－2k)．①当△≤0，即0＜k≤2时，h′(x)≥0恒成立，故h(x)在(0，1)及(1，＋∞)上单调递增．于是当0＜x＜1时，h(x)＜h(1)＝0，又x2－1＜0，故(x2－1) h(x)＞0，即(x2－1)ln x＞k(x－1)2．当x＞1时，h(x)＞h(1)＝0，又x2－1＞0，故(x2－1)h(x)＞0，即(x2－1)ln x ＞k(x－1)2．又当x＝1时，(x2－1)ln x＝k(x－1)2．因此当0＜k≤2时，(x2－1)ln x≥k(x－1)2对一切正实数x恒成立．②当△＞0，即k＞2时，设x2＋2(1－k)x＋1＝0的两个不等实根分别为x1，x2(x1＜x2)．函数φ(x)＝x2＋2(1－k)x＋1图像的对称轴为x＝k－1＞1，又φ(1)＝4－2k＜0，于是x1＜1＜k－1＜x2．故当x∈(1，k－1)时，φ(x)＜0，即h′(x)＜0，从而h(x)在(1，k－1)在单调递减；而当x∈(1，k－1)时，h(x)＜h(1)＝0，此时x2－1＞0，于是(x2－1) h(x)＜0，即(x2－1)ln x＜k(x－1)2，因此当k＞2时，(x2－1)ln x≥k(x－1)2对一切正实数x不恒成立．综上，当(x2－1)f (x)≥k(x－1)2对一切正实数x恒成立时，k≤2，即k的取值范围是(－∞，2]．【说明】本题以函数的最值为载体考查分类讨论思想．第三问比较难，两个注意：①适当变形后研究函数h(x)；②当k＞2时，区间(1，k－1)是如何找到的．23．已知函数f (x)＝sin x－x cos x的导函数为f ′(x)．(1)求证：f (x)在(0，π)上为增函数；(2)若存在x∈(0，π)，使得f′(x)＞12x2＋λx成立，求实数λ的取值范围；*(3)设F(x)＝f′(x)＋2cos x，曲线y＝F(x)上存在不同的三点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，x1＜x2＜x3，且x1，x2，x3∈(0，π)，比较直线AB的斜率与直线BC的斜率的大小，并证明．解 (1)证明：f′(x)＝x sin x，当x∈(0，π)时，sin x＞0，所以f′(x)＞0恒成立，所以f (x) 在(0，π)上单调递增．(2)因为f′(x)＞12x2＋λx，所以x sin x＞12x2＋λx．当0＜x＜π时，λ＜sin x－12 x．设φ(x )＝sin x －12x ，x ∈(0，π)，则φ′(x )＝cos x －12．当0＜x ＜π3时，φ′(x )＞0；当π3＜x ＜π时，φ′(x )＜0．于是φ (x )在(0，π3)上单调递增，在 (π3，π)上单调递减，所以当0＜x ＜π时，φ(x )max ＝g (π3)＝32－π6因此λ＜32－π6．(3)由题意知只要判断F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1的大小．首先证明：F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F ′(x 2)．由于x 2＜x 3，因此只要证：F (x 3)－F (x 2)＜(x 3－x 2) F ′(x 2)． 设函数G (x )＝F (x )－F (x 2)－(x －x 2) F ′(x 2)( x 2＜x ＜π)，因为F ′(x )＝x cos x －sin x ＝－f (x )，所以G ′(x )＝F ′(x )－F ′(x 2)＝f (x 2)－f (x )，由（1）知f (x )在(0，π)上为增函数，所以G ′(x )＜0． 则G (x )在(x 2，π)上单调递减，又x ＞x 2，故G (x )＜G (x 2)＝0．而x 2＜x 3＜π，则G (x 3)＜0，即F (x 3)－F (x 2)－(x 3－x 2) F ′(x 2)＜0，即F (x 3)－F (x 2)＜(x 3－x 2) F ′(x 2)．从而F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F ′(x 2)得证．同理可以证明：F ′(x 2)＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1．因此有F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1，即直线AB 的斜率大于直线BC 的斜率．【说明】本题以三角函数为载体，考查导数的应用及分类讨论思想，适时结合形分析．其中第三问找一个中间量F′(x2)，难度稍大．24．已知数集A＝{a1，a2，…，a n}(0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥2，n∈N*)具有性质P： i，j(1≤i≤j≤n)，a i＋a j与a j－a i两数中至少有一个属于A．(1)分别判断数集{1，2，3，4}是否具有性质P，并说明理由；(2)证明：a1＝0；*(3)证明：当n＝5时，a1，a2，a3，a4，a5成等差数列．证明 (1)由于4＋4与4－4均不属于数集{1，2，3，4}，所以该数集不具有性质P．(2)因为A＝{a1，a2，…，a n}具有性质P，所以a n＋a n与a n－a n中至少有一个属于A，又a n＋a n＞a n，所以a n＋a n∈∕A，所以a n－a n∈A，即0∈A，又a1≥0，a2＞0，所以a1＝0；(3)当n＝5时，取j＝5，当i≥2时，a i＋a5＞a5，由A具有性质P，a5－a i∈A，又i＝1时，a5－a1∈A，所以a5－a i∈A，i＝1，2，3，4，5．因为0＝a1＜a2＜a3＜a4＜a5，所以a5－a1＞a5－a2＞a5－a3＞a5－a4＞a5－a5＝0，则a5－a1＝a5，a5－a2＝a4, a5－a3＝a3，从而可得a2＋a4＝a5，a5＝2a3，故a2＋a4＝2a3，即0＜a4－a3＝a3－a2＜a3，又因为a3＋a4＞a2＋a4＝a5，所以a3＋a4∈∕A，则a4－a3∈A，则有a4－a3＝a2＝a2－a1．又因为a5－a4＝a2＝a2－a1，所以a5－a4＝a4－a3＝a3－a2＝a2－a1＝a2，即a1，a2，a3，a4，a5是首项为0，公差为a2的等差数列．【说明】本题主要考查集合、等差数列的性质，考查运算能力、推理论证能力，本题是数列与不等式的综合题．对于复杂的数列问题，我们往往可以从特殊情况入手，找到解题的突破口．25．设M⊂≠N*，正项数列{a n}的前项积为T n，且∀k∈M，当n＞k 时，T n＋k T n－k＝T n T k都成立．(1)若M＝{1}，a1＝3，a2＝33，求数列{a n}的前n项和；(2)若M＝{3，4}，a1＝2，求数列{a n}的通项公式．解：(1)当n≥2时，因为M＝{1}，所以T n＋1T n－1＝T n T1，可得a n＋1＝a n a12，故a n＋1 a n＝a12＝3(n≥2)．又a1＝3，a2＝33，则{a n}是公比为3的等比数列，故{a n}的前n项和为3(1－3n)1－3＝32²3n－32．(2)当n＞k时，因为T n＋k T n－k＝T n T k，所以T n＋1＋k T n＋1－k＝T n＋1T k，所以T n ＋k T n －kT n ＋1＋k T n ＋1－k＝T n T k T n ＋1T k，即a n ＋1＋k a n ＋1－k ＝a n ＋1， 因为M ＝{3，4}，所以取k ＝3，当n ＞3时，有a n ＋4a n －2＝a n ＋12； 取k ＝4，当n ＞4时，有a n ＋5a n －3＝a n ＋12． 由a n ＋5a n －3＝a n ＋12知，数列a 2，a 6，a 10，a 14，a 18，a 22，…，a 4n －2，…，是等比数列，设公比为q ．………………①由a n ＋4a n －2＝a n ＋12 知，数列a 2，a 5，a 8，a 11，a 14，a 17，…，a 3n －1，…，是等比数列，设公比为q 1，………………②数列a 3，a 6，a 9，a 12，a 15，a 18，…，a 3n ，…，成等比数列，设公比为q 2，…………………③数列a 4，a 7，a 10，a 13，a 16，a 19，a 22，…，a 3n ＋1，…，成等比数列，设公比为q 3，…………④由①②得，a 14a 2＝q 3，且a 14a 2＝q 14，所以q 1＝q 34；由①③得，a 18a 6＝q 3，且a 18a 6＝q 24，所以q 2＝q 34；由①④得，a 22a 10＝q 3，且a 22a 10＝q 34，所以q 3＝q 34；所以q 1＝q 2＝q 3＝q 34．由①③得，a 6＝a 2q ，a 6＝a 3q 2，所以a 3a 2＝qq 2＝q 14，由①④得，a 10＝a 2q 2，a 10＝a 4q 32，所以a 4a 2＝q 2q 32＝q 12，所以a 2，a 3，a 4是公比为q 14的等比数列，所以{a n }(n ≥2)是公比为q 14的等比数列．因为当n ＝4，k ＝3时，T 7T 1＝T 42T 32；当n ＝5，k ＝4时，T 9T 1＝T 52T 42， 所以(q 14)7＝2a 24，且(q 14)10＝2a 26，所以q 14＝2，a 2＝2 2． 又a 1＝2，所以{a n }(n ∈N *)是公比为q 14的等比数列．故数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －1² 2．【说明】本题主要考查等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法．*26．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{M n }满足条件：M 1= S t 1，当n ≥2时，M n = S t n －S t n －1，其中数列{t n }单调递增，且t n ∈N *．（1）若a n ＝n ，①试找出一组t 1、t 2、t 3，使得M 22＝M 1M 3；②证明：对于数列a n ＝n ，一定存在数列{t n }，使得数列{M n }中的各数均为一个整数的平方；（2）若a n ＝2n －1，是否存在无穷数列{t n }，使得{M n }为等比数列．若存在，写出一个满足条件的数列{t n }；若不存在，说明理由．解：（1）若a n ＝n ，则S n ＝n 2＋n2，①取M 1＝S 1＝1，M 2＝S 4－S 1＝9，M 3＝S 13－S 4＝81，满足条件M 22＝M 1M 3， 此时t 1＝1，t 2＝4，t 3＝13．②由①知t 1＝1，t 2＝1＋3，t 3＝1＋3＋32，则M 1＝1，M 2＝32，M 3＝92，一般的取t n ＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n－12，此时S t n ＝3n －12(1＋3n －12)2，S t n －1＝3n －1－12(1＋3n －1－12)2，则M n ＝S t n －S t n －1＝3n －12(1＋3n －12)2－3n －1－12(1＋3n －1－12)2＝(3n －1)2，所以M n 为一整数平方．因此存在数列{t n }，使得数列{M n }中的各数均为一个整数的平方． （3）假设存在数列{t n }，使得{M n }为等比数列，设公比为q ．因为S n ＝n 2，所以S t n＝t n 2，则M 1＝t 12，当n ≥2时，M n ＝t n 2－t n －12＝q n －1 t 12，因为q 为正有理数，所以设q ＝rs(r ，s 为正整数，且r ，s 既约)．因为t n 2－t n －12必为正整数，则r n －1s n －1t 12∈N *，由于r ，s 既约，所以t 12sn －1必为正整数．若s ≥2，且{t n }为无穷数列，则当n ＞log s t 12＋1时，t 12s n －1＜1，这与t 12sn －1为正整数相矛盾．于是s ＝1，即q 为正整数．注意到t 32＝M 3＋M 2＋M 1＝M 1(1＋q ＋q 2)＝t 12(1＋q ＋q 2)，于是t 32t 12＝1＋q＋q2．因为1＋q＋q2∈N*，所以t32t12∈N*．又t3t1为有理数，从而t3t1必为整数，即1＋q＋q2为一整数的平方．但q2＜1＋q＋q2＜(q＋1) 2，即1＋q＋q2不可能为一整数的平方．因此不存在满足条件的数列{t n}．【说明】本题主要考查等差、等比数列的性质，考查阅读理解能力、运算求解能力、推理论证能力．对于新构造的函数，可以尝试列举，了解构造的过程和含义，从中观察发现规律或寻找突破口．对于存在性问题，也可以考虑先从特殊情况入手寻找突破口．*27．已知(1＋x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2n x2n．(1)求a1＋a2＋a3＋…＋a2n的值；(2)求1a1－1a2＋1a3－1a4＋…＋1a2n－1－1a2n的值．解 (1)令x＝0得，a0＝1；令x＝1得，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2n＝22n．于是a1＋a2＋a3＋…＋a2n＝22n－1．(2)a k＝C k2n，k＝1，2，3，…，2n，首先考虑1C k2n＋1＋1C k＋12n＋1＝k!(2n+1－k)!(2n＋1)!＋(k＋1)!(2n－k)!(2n＋1)!＝k!(2n－k)!(2n＋1－k＋k＋1)(2n＋1)!＝k!(2n－k)!(2n＋2)(2n＋1)!＝2n＋2(2n＋1) C k2n，则1C k 2n ＝2n ＋12n ＋2(1 C k 2n ＋1＋1C k ＋12n ＋1)，因此1C k 2n －1 C k ＋12n ＝2n ＋12n ＋2(1 C k 2n ＋1－1 C k ＋22n ＋1)．故1a 1－1a 2＋1a 3－1a 4＋…＋1a 2n －1－1a 2n ＝2n ＋12n ＋2(1 C 12n ＋1－1 C 32n ＋1＋1 C 32n ＋1－1 C 52n ＋1＋…＋1C 2n －12n ＋1－1 C 2n ＋12n ＋1) ＝2n ＋12n ＋2(1 C 12n ＋1－1 C 2n ＋12n ＋1)＝2n ＋12n ＋2(12n ＋1－1)＝－nn ＋1．【说明】本题考查二项式定理、赋值法、组合恒等变换．关于组合数的倒数问题一直没有涉及过，注意关注一下．。
南京市2018届高三年级第三次模拟考试(数学)参考答案
南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学参考答案说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{－3，－2，2} 2． 5 3．150 4．7 5．236．[211，2] 7．①③8． 5 9．4 10．2 11．x＋2y－4＝012．－3 13．25914．[e2，4e]二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分14分)解：（1）因为点P的横坐标为277，P在单位圆上，α为锐角，所以cosα＝277，………………………………2分所以cos2α＝2cos2α－1＝17．………………………………4分（2）因为点Q的纵坐标为3314，所以sinβ＝3314．………………………………6分又因为β为锐角，所以cosβ＝1314．………………………………8分因为cosα＝277，且α为锐角，所以sinα＝217，因此sin2α＝2sinαcosα＝437，……………………………10分所以sin(2α－β) ＝437×1314－17×3314＝32．……………………………12分因为α为锐角，所以0＜2α＜π．又cos2α＞0，所以0＜2α＜π2，又β为锐角，所以－π2＜2α－β＜π2，所以2α－β＝π3．…………………………………14分16．(本小题满分14分)（1）证明：如图1，连结PE．因为△PBC的边长为2的正三角形，E为BC中点，所以PE⊥BC，……………………2分且PE＝3，同理AE＝3．因为P A＝6，所以PE2＋AE2＝PA2，所以PE⊥AE．……4分因为PE⊥BC，PE⊥AE，BC∩AE＝E，AE，BC平面ABC，所以PE⊥平面ABC．因为PE平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABC．……………………7分（2）解法一如图1，连接CD交AE于O，连接OM．因为PD∥平面AEM，PD平面PDC，平面AEM∩平面PDC＝OM，所以PD∥OM，……………………………………9分所以PMPC＝DODC．……………………………………11分因为D，E分别为AB，BC的中点，CD∩AE＝O，所以O为ABC重心，所以DODC＝13，所以PM＝13PC＝23．…………………………………14分解法二如图2，取BE的中点N，连接PN．因为D，N分别为AB，BE的中点，所以DN∥AE．又DN平面AEM，AE平面AEM，所以DN∥平面AEM．又因为PD∥平面AEM，DN平面PDN，PD平面PDN，DN∩PD＝D，所以平面PDN∥平面AEM．………………………………9分又因为平面AEM∩平面PBC＝ME，平面PDN∩平面PBC＝PN，所以ME∥PN，所以PMPC＝NENC．………………………………11分因为E，N分别为BC，BE的中点，所以NENC＝13，所以PM＝13PC＝23．………………………………14分(图2)PAMD ECBN(图1)OBPA CMD E17．(本小题满分14分) 解：（1）连结DC ．在△ABC 中，AC 为2百米，AC ⊥BC ，∠A 为π3，所以∠CBA ＝π6，AB ＝4，BC ＝23．………………………………2分因为BC 为直径，所以∠BDC ＝π2，所以BD ＝BC cos θ＝23cos θ．………………………………4分（2）在△BDF 中，∠DBF ＝θ＋π6，∠BFD ＝π3，BD ＝23cos θ，所以DFsin(θ＋π6)＝BF sin(π2－θ)＝BDsin ∠BFD，所以DF ＝4cos θsin(π6＋θ)，………………………………6分且BF ＝4cos 2θ，所以DE ＝AF=4－4cos 2θ，………………………………8分所以DE ＋DF ＝4－4cos 2θ＋4 cos θsin(π6＋θ)=3sin2θ－cos2θ＋3 ＝2 sin(2θ－π6)＋3．…………………………………12分因为π3≤θ＜π2，所以π2≤2θ－π6＜5π6，所以当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，DE ＋DF 有最大值5，此时E 与C 重合．……………13分答：当E 与C 重合时，两条栈道长度之和最大．…………………………………14分18．(本小题满分16分)解（1）离心率e ＝c a ＝32，所以c ＝32a ，b ＝a 2－c 2＝12a ，…………………………………2分所以椭圆C 的方程为x 24b 2＋y2b2＝1．因为椭圆C 经过点P (85，35)，所以1625b 2＋925b 2＝1，所以b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1．…………………………………4分（2）解法一设N(n ，0)，当l 斜率不存在时，A(25，y)，B(25，－y)，则y 2＝1－(25)24＝2425，则NA →NB →＝(25－n)2－y 2＝(25－n)2－2425＝n 2－45n －45，…………………………………6分当l 经过左?右顶点时，NA →NB →＝(－2－n)(2－n)＝n 2－4．令n 2－45n －45＝n 2－4，得n ＝4．……………………………………8分下面证明当N 为(4，0)时，对斜率为k 的直线l ：y ＝k(x －25)，恒有NA →NB →＝12．设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由x 24＋y 2＝1，y ＝k(x －25)，消去y ，得(4k 2＋1)x 2－165k 2x ＋1625k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝165k 24k 2＋1，x 1x 2＝1625k 2－44k 2＋1，…………………………………10分所以NA →NB →＝(x 1－4)(x 2－4)＋y 1y 2＝(x 1－4)(x 2－4)＋k 2(x 1－25)(x 2－25)＝(k 2＋1)x 1x 2－(4＋25k 2)(x 1＋x 2)＋16＋425k2…………………………………12分＝(k 2＋1)1625k 2－44k 2＋1－(4＋25k 2)165k 24k 2＋1＋16＋425k2＝(k 2＋1)(1625k 2－4)－165k 2(4＋25k 2)＋425k 2(4k 2＋1)4k 2＋1＋16 ＝－16k 2－44k 2＋1＋16＝12．所以在x 轴上存在定点N(4，0)，使得NA →NB →为定值．…………………………………16分解法二设N(n ，0)，当直线l 斜率存在时，设l ：y ＝k(x －25)，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由x 24＋y 2＝1，y ＝k(x －25)，消去y ，得(4k 2＋1)x 2－165k 2x ＋1625k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝165k 24k 2＋1，x 1x 2＝1625k 2－44k 2＋1，…………………………………6分所以NA →NB →＝(x 1－n)(x 2－n)＋y 1y 2＝(x 1－n)(x 2－n)＋k 2(x 1－25)(x 2－25)＝(k 2＋1)x 1x 2－(n ＋25k 2)(x 1＋x 2)＋n 2＋425k2＝(k 2＋1)1625k 2－44k 2＋1－(n ＋25k 2)165k 24k 2＋1＋n 2＋425k2……………………………………8分＝(k 2＋1)(1625k 2－4)－165k 2(n ＋25k 2)＋425k 2(4k2＋1)4k 2＋1＋n 2＝(－165n －165)k 2－44k 2＋1＋n 2．……………………………………12分若NA →NB →为常数，则(－165n －165)k 2－44k 2＋1为常数，设(－165n －165)k 2－44k 2＋1＝λ，λ为常数，则(－165n －165)k2－4＝4λｋ2＋λ对任意的实数k 恒成立，所以－165n －165＝4λ，－4＝λ，所以n ＝4，λ＝－4，此时NA →NB →＝12．……………………………………14分当直线l 斜率不存在时，A(25，y)，B(25，－y)，则y 2＝1－(25)24＝2425，所以NA →NB →＝(25－4)2－y 2＝(25－4)2－2425＝12，所以在x 轴上存在定点N(4，0)，使得NA →NB →为定值．………………………………16分19．(本小题满分16分)解：（1）因为 f (x)＝2x 3－3ax 2＋3a －2（a ＞0），所以f'(x)＝6x 2－6ax ＝6x(x －a)．令f'(x)＝0，得x ＝0或a ．………………………………2分当x ∈(－∞，0)时，f'(x)＞0，f (x)单调递增；当x ∈(0，a)时，f'(x)＜0，f (x)单调递减；当x ∈(a ，＋∞）时，f'(x)＞0，f (x)单调递增．故f (x)极大值＝f (0)＝3a －2＝0，解得a ＝23．………………………………4分（2）g (x)＝f (x)＋6x ＝2x 3－3ax 2＋6x ＋3a －2（a ＞0），则g ′（x)＝6x 2－6ax ＋6＝6(x 2－ax ＋1)，x ∈[0，1]．①当0＜a ≤2时，△＝36(a 2－4)≤0，所以g ′（x)≥0恒成立，g (x)在[0，1]上单调递增，则g (x)取得最大值时x 的值为1．……………………………6分②当a ＞2时，g ′（x)的对称轴x ＝a2＞1，且△＝36(a 2－4)＞0，g ′(1)＝6(2－a)＜0，g ′(0)＝6＞0，所以g ′（x)在(0，1)上存在唯一零点x 0＝a －a 2－42．当x∈(0，x0)时，g′（x)＞0，g (x)单调递增，当x∈(x0，1)时，g′（x)＜0，g (x)单调递减，则g (x)取得最大值时x的值为x0＝a－a2－42．………………………………8分综上，当0＜a≤2时，g (x)取得最大值时x的值为1；当a＞2时，g (x)取得最大值时x的值为a－a2－42．……………………………9分（3）设h (x)＝f (x)－f ′（x)＝2x3－3(a＋2)x2＋6ax＋3a－2，则h (x)≥0在[a2，a＋22]有解．………………………………10分h′（x)＝6[x2－(a＋2)x＋a]＝6[(x－a＋22)2－a2＋44]，因为h′（x)在(a2，a＋22)上单调递减，所以h′（x)＜h′（a2)＝－32a2＜0，所以h (x)在(a2，a＋22)上单调递减，所以h(a2)≥0，即a3－3a2－6a＋4≤0．…………………………………12分设t (a)＝a3－3a2－6a＋4（a＞0），则t′ (a)＝3a2－6a－6，当a∈(0，1＋2)时，t′ (a)＜0，t (a)单调递减；当a∈(1＋2，＋∞）时，t′ (a)＞0，t(a)单调递增．因为t (0)＝4＞0，t (1)＝－4＜0，所以t (a)存在一个零点m∈(0，1)，…………………14分因为t (4)＝－4＜0，t (5)＝24＞0，所以t (a)存在一个零点n∈(4，5)，所以t (a)≤0的解集为[m，n]，故满足条件的正整数a的集合为{1，2，3，4}．…………………………………16分20．(本小题满分16分)解：（1）当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2，又a1＝S1＝2＝4×1－2，所以a n＝4n－2．…………………………………2分所以a n＋|a n＋1－a n＋2|＝4n－2＋4＝4(n＋1)－2为数列{a n}的第n＋1项，因此数列{a n}为“T 数列”．…………………………………4分（2）因为数列{a n}是公差为d的等差数列，所以a n＋|a n＋1－a n＋2|＝a1＋(n－1) d＋|d|．因为数列{a n}为“T 数列”，所以任意n∈N*，存在m∈N*，使得a1＋(n－1) d＋|d|＝a m，即有(m－n) d＝|d|．…………6分①若d≥0，则存在m＝n＋1∈N*，使得(m－n) d＝|d|，②若d＜0，则m＝n－1．此时，当n＝1时，m＝0不为正整数，所以d＜0不符合题意．综上，d≥0．……………………………………8分（3）因为a n＜a n＋1，所以a n＋|a n＋1－a n＋2|＝a n＋a n＋2－a n＋1．又因为a n＜a n＋a n＋2－a n＋1＝a n＋2－(a n＋1－a n)＜a n＋2，且数列{a n}为“T数列”，所以a n＋a n＋2－a n＋1＝a n＋1，即a n＋a n＋2＝2a n＋1，所以数列{a n}为等差数列．…………………………………10分设数列{a n}的公差为t(t＞0)，则有a n＝1＋(n－1)t，由a n＜a2n＋1－a2n＜a n＋1，得1＋(n－1)t＜t[2＋(2n－1)t]＜1＋nt，………………………………12分整理得n(2t2－t)＞t2－3t＋1，①n(t－2t2)＞2t－t2－1．②若2t2－t＜0，取正整数N0＞t2－3t＋12t2－t，则当n＞N0时，n(2t2－t)＜(2t2－t) N0＜t2－3t＋1，与①式对于任意n∈N*恒成立相矛盾，因此2t2－t≥0．同样根据②式可得t－2t2≥0，所以2t2－t＝0．又t＞0，所以t＝1 2．经检验当t＝12时，①②两式对于任意n∈N*恒成立，所以数列{a n}的通项公式为a n＝1＋12(n－1)＝n＋12．………………………………16分南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准2018.05说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域．．．．．．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连结MN ，则∠BMN ＝∠BCA ，………………………………2分又∠MBN ＝∠CBA ，因此△MBN ∽△CBA ．………………………………4分所以AB AC ＝BN MN．………………………………6分又因为AC ＝12AB ，所以BNMN ＝2，即BN ＝2MN ．………………………………8分又因为BN ＝2AM ，所以AM ＝MN ，所以CM 是∠ACB 的平分线．………………………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：因为A ＝1 20 1，B ＝2 00 1，所以AB ＝2 20 1．………………………………4分设点P 0(x 0，y 0)是l 上任意一点，P 0在矩阵AB 对应的变换作用下得到P(x ，y)．因为P 0(x 0，y 0)在直线l: x －y ＋2＝0上，所以x 0－y 0＋2＝0．①由ABx 0y 0＝x y ，即2 20 1x 0y 0＝x y ，得2 x 0＋2 y 0＝x ，y 0＝y ，………………………………6分即x 0＝12x －y ，y 0＝y ．②将②代入①得x －4y ＋4＝0，所以直线l 1的方程为x －4y ＋4＝0．………………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：解法一在直线sin(θ－π3)＝－3中，令θ＝0，得＝2. 所以圆C 的圆心坐标为C(2，0)．………………………………4分因为圆C 经过点P(2，π3)，所以圆C 的半径PC ＝22+22－2×2×2×cos π3＝2，……………………………6分所以圆C 的极坐标方程＝4cos θ．……………………………10分解法二以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立平面直角坐标系，则直线方程为y ＝3x －23，P 的直角坐标为(1，3)，令y ＝0，得x ＝2，所以C(2，0)，………………………………4分所以圆C 的半径PC ＝(2－1)2+(0－3)2=2，………………………………6分所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －0)2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，………………………………8分所以圆C 的极坐标方程＝4cos θ.……………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲解：因为(12＋12＋12)[(2a ＋b)2＋(2b ＋c)2＋(2c ＋a)2]≥(1·2a ＋b ＋1·2b ＋c ＋1·2c ＋a)2，即(2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a)2≤9(a ＋b ＋c)．……………………………4分因为a ＋b ＋c ＝1，所以(2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a)2≤9，……………………………6分所以2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≤3，当且仅当2a ＋b ＝2b ＋c ＝2c ＋a ，即a ＝b ＝c ＝13时等号成立．所以2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a 的最大值为 3.……………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．（本小题满分10分）解：（1）因为点A(1，a) (a ＞0)是抛物线C 上一点，且AF=2，所以p2＋1＝2，所以p ＝2.……………………………3分（2）解法一由(1)得抛物线方程为y 2＝4x ．因为点A(1，a) (a ＞0)是抛物线C 上一点，所以a ＝2．……………………………4分设直线AM 方程为x －1＝m (y －2) (m ≠0)，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．由x －1＝m (y －2)，y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4m y ＋8m －4＝0，即(y －2)( y －4m ＋2)＝0，所以y 1＝4m －2．……………………………6分因为AM ⊥AN ，所以－1m 代m ，得y 2＝－4m－2，……………………………8分所以d 1d 2＝|(y 1＋2) (y 2＋2)|＝|4m ×(－4m )|＝16．……………………………10分解法二由(1)得抛物线方程为y 2＝4x ．因为点A(1，a) (a ＞0)是抛物线C 上一点，所以a ＝2．……………………………4分设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则AM →·AN →＝(x 1－1)(x 2－1)＋( y 1－2)(y 2－2)＝0．……6分又因为M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)在y 2＝4x 上，所以(y 21－4)(y 22－4)＋16( y 1－2)(y 2－2)＝0，即[( y 1＋2)(y 2＋2)＋16]( y 1－2)(y 2－2)＝0．因为( y 1－2)(y 2－2)≠0，所以( y 1＋2)(y 2＋2)＝－16，……………………………8分所以d 1d 2＝|(y 1＋2) (y 2＋2)|＝16．……………………………10分23．（本小题满分10分）解：（1）因为f n (x)＝i ＝1∑n －1A n －in x(x ＋1)…(x ＋i －1)，所以f n (1)＝i ＝1∑n －1A n －in ×1×…×i ＝i ＝1∑n －1n!＝(n －1)×n!，g n (1)＝A nn ＋1×2×…×n ＝2×n!，所以(n －1)×n!＝14×n!，解得n ＝15．……………………………3分（2）因为f 2(x)＋g 2(x)＝2x ＋2＋x(x ＋1)＝(x ＋1)(x ＋2)，f 3(x)＋g 3(x)＝6x ＋3x(x ＋1)＋6＋x(x ＋1)(x ＋2)＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)，猜想f n (x)＋g n (x)＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n)．……………………………5分下面用数学归纳法证明：当n ＝2时，命题成立；假设n ＝k(k ≥2，k ∈N *)时命题成立，即f k (x)＋g k (x)＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋k)，因为f k ＋1(x)＝i ＝1∑kA k ＋1－ik ＋1x(x ＋1)…(x ＋i －1)＝i ＝1∑k －1(k ＋1)A k －ik x(x ＋1)…(x ＋i －1)＋A1k ＋1x(x ＋1)…(x ＋k －1)＝(k+1) f k (x)＋(k+1) x(x ＋1)…(x ＋k －1)，所以f k ＋1(x)＋g k ＋1(x)＝(k+1) f k (x)＋(k+1) x(x ＋1)…(x ＋k －1)＋A k ＋1k ＋1＋x(x ＋1)…(x ＋k)＝(k+1)[ f k (x)＋x(x ＋1)…(x ＋k －1)＋A kk ]＋x(x ＋1)…(x ＋k)＝(k+1)[ f k (x)＋g k (x)]＋x(x ＋1)…(x ＋k) ＝(k+1)(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋k)＋x(x ＋1)…(x ＋k) ＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋k) (x ＋k ＋1)，即n ＝k ＋1时命题也成立．因此任意n ∈N *且n ≥2，有f n (x)＋g n (x)＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n)．…………………9分所以对于每一个给定的正整数n ，关于x 的方程f n (x)＋g n (x)＝0所有解的集合为{－1，－2，…，－n}．……………………………10分。
H03南京市2018届高三数学考前综合题~
南京市2018届高三数学考前综合题一．填空题1．已知l ，m 是空间两条不重合的直线，α，β是两个不同的平面．给出下列命题： ①若l ∥α，l ∥m ，则m ∥α；②若l ⊂α，m ⊂β，α∥β，则l ∥m ； ③若l ⊂α，m ⊂β，l ⊥m ，则α⊥β； ④若α⊥β，l ⊥α，m ⊥β，则l ⊥m ． 其中是真命题的有 ．（填所有真命题的序号）2．已知函数f (x )＝3sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)为偶函数，θ∈[0，π]，则角θ的值为 ． 3．在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线x 2＝4y 焦点的直线l 交抛物线于M ，N 两点，若抛物线在点M ，N 处的切线分别与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线平行，则双曲线的离心率为 ．4．已知点P 是△ABC 内一点，满足AP →＝λAB →＋μAC →，且2λ＋3μ＝1，延长AP 交边BC 于点D ，BD ＝2DC ，则λ＋μ＝ ．5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，{a 2n －1}是公差为d 的等差数列，{a 2n }是公比为q 的等比数列，且a 1＝a 2＝a ，S 2：S 4：S 6＝1：3：6，则daq的值是 ．6．已知函数f (x )＝－34x ＋1x ，若直线l 1，l 2是函数y ＝f (x )图像的两条平行的切线，则直线l 1，l 2之间的距离的最大值是 ．7．在平面直角坐标系xOy 中，点P 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点，F 为椭圆C 的右焦点，直线FP 与圆O ：x 2＋y 2＝b 24相切于点Q ，若Q 恰为线段FP 的中点，则椭圆C 的离心率为 ．8．实数x ，y 满足x 2＋2xy ＋4y 2＝1，则x ＋2y 的取值范围是 ． 9．已知AB ＝4，点M ，N 是以AB 为直径的半圆上的任意两点，且MN ＝2，AM →·BN →＝1，则AB →·MN →＝ ．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (1，1)，若圆M ：(x －2)2＋y 2＝r 2(r ＞0)上存在两点A ，B 使得AP →＝2PB →，则r 的取值范围是 ．11．在平面四边形ABCD 中，AD ＝2，CD ＝4，△ABC 为等边三角形，则△BCD 面积的最大值是 ． 12．已知函数f (x )＝x 2－[k 2＋(2－a )k ＋4－a ]x ＋1，a ，k ∈R ．对于任意k ＞0有：任意x 1∈[－1，0]，任意x 2∈[k ，k ＋2]，f (x 1)≥f (x 2)成立，则a 的最大值是 ．13．已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式ln x ≤a (x －2)＋b 对一切正实数x 恒成立，则当a ＋b取最小值时，b 的值为 ．14．已知函数f (x )＝x 3－ax ＋1，g (x )＝3x －2，若函数F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )＜g (x )，有三个零AB NM点，则实数a 的取值范围是 ． 二．解答题15．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f '(x )是f (x )的导函数．（1）求函数F (x )＝f (x )f '(x )＋3f 2(x )的最大值和最小正周期；（2）若f (x )＝2f '(x )，求sin(2x ＋π4)的值．16．设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足(2a ＋c )BC →·BA →＋cCA →·CB →＝0．（1）求角B 的大小；（2）若b ＝23，试求AB →·CB →的最小值．17．四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ＝2AP ＝2，PD ＝3．求证：（1）P A ⊥平面PCD ；（2）求点C 到平面PBD 的距离．PABDr rh18．某地举行水上运动会，如图，岸边有A ，B 两点，相距2千米，∠BAC ＝30°．小船从A点以v 千米/小时的速度沿AC 方向匀速直线行驶，同一时刻运动员出发，经过t 小时与小船相遇．（1）若v ＝12，运动员从B 处出发游泳匀速直线追赶，为保证在15分钟内（含15分钟）能与小船相遇，试求运动员游泳速度的最小值；（2）若运动员先从A 处沿射线AB 方向在岸边跑步匀速行进 m (0＜m ＜t )小时后，再游泳匀速直线追赶小船，已知运动员在岸边跑步的速度为16千米/小时，在水中游泳的速度为8千米/小时，试求小船在能与运动员相遇的条件下v 的最大值．19．某公司拟建造如图所示的蓄水池，其下方是高为h 的圆柱体，上方是以圆柱上底面为大圆的半径为r 的半球体.设计要求，蓄水池总体积为64π3m 3，且h ≥2r .经测算，上方半球形部分每平方米建造费用为c (c ＞3)千元，下方圆柱体的侧面和底面部分平均每平方米建造费用为3千元，设该蓄水池的总建造费用为y 千元.（1）求y 关于r 的函数解析式，并指出该函数的定义域； （2）当该蓄水池的总建造费用y 最小时，求半径r 的值.ABC岸边30°20．某火山喷发停止后，为测量的需要，设距离喷口中心50米内的圆面为第1区，50米至100米的圆环面为第2区，…，50(n －1)米至50n 米的圆环面为第n 区，n ∈N *，n ≥2．现测得第1区火山灰平均每平方米的重量为1000千克，第2区火山灰平均每平方米的重量较第1区减少2%，…，第n ＋1区火山灰平均每平方米的重量较第n 区减少2%，n ∈N *．设第n 区火山灰的总重量为a n ，n ∈N *． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）第几区火山灰的总重量最大，说明理由．21．在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝64，以O 1(9，0)为圆心的圆记为圆O 1，已知圆O 1上的点与圆O 上的点之间距离的最大值为21． （1）求圆O 1的标准方程；（2）求过点M (5，5)且与圆O 1相切的直线的方程；（3）已知直线l 与x 轴不垂直，且与圆O ，圆O 1都相交，记直线l 被圆O ，圆O 1截得的弦长分别为d ，d 1．若dd 1＝2，求证：直线l 过定点．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且两焦点F 1，F 2与椭圆的短轴顶点(0，1)构成直角三角形． （1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线l 1，l 2过右焦点F 2，且它们的斜率乘积为－12，设l 1，l 2分别与椭圆交于点A ，B 和C ，D ． ①求AB ＋CD 的值；②设AB 的中点M ，CD 的中点为N ，求△OMN 面积的最大值．23．已知函数f(x)＝x3＋3|x－a|，a∈R．（1）当a＝1时，求曲线y＝f(x)在x＝2处的切线方程；（2）当x∈[－1，1]时，求函数f(x)的最小值；（3）已知a＞0，且任意x≥1有f(x＋a)－f(1＋a)≥15a2ln x，求实数a的取值范围．24．已知函数f(x)＝x－x ln x，g(x)＝ax1＋x2，a∈R．（1）当a＞0时，求g(x)单调区间；（2）若a＝2，设0＜n＜m＜1，证明：f(m)＞g(n)；（3）证明：关于x的方程f(x)＝g(x)有唯一的实数解．25．设数列{a n}的前n项和为S n，若对任意m，n∈N*，都有S mn＝S m S n，则称数列{a n}具有性质P．（1）若数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，试判断数列{a n}是否具有性质P；（2）若正项等差数列{b n}具有性质P，求数列{b n}的公差；（3）已知正项数列{c n}具有性质P，c2＝3，且任意n∈N*，有c n＋c n＋2≤2c n＋1，求数列{c n}的通项公式．DCBA P26．已知数列{a n }的前n 项和为S n ．（1）若数列{a n }为等差数列，求证：对任意m ，n ∈N *，且m ≠n ，都有2S m ＋n m ＋n ＝a m ＋a n ＋a m －a nm －n ；（2）若数列{a n }对任意m ，n ∈N *，且m ≠n ，都有2S m ＋n m ＋n ＝a m ＋a n ＋a m －a nm －n ，求证：数列{a n }为等差数列．．三．理科附加题27．在即将施行的新高考方案中，某科目可以每半年参加一次考试，然后取若干次考试的最高分作为最终成绩．某同学打算参加三次该科目考试，已知第一次考试达到优秀(得分大于或等于总分的80%)的概率为13，第二次考试达到优秀的概率为12，前两次考试相互独立，第三次考试受到前两次成绩的影响，如果前两次考试至少有一次达到优秀，则第三次考试达到优秀的概率为23，否则为12．（1）求该同学没能达到优秀的概率；（2）记该同学达到优秀的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布及期望．28．如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ,∠ABC ＝90°, P A ⊥平面ABCD ，P A ＝3,AB ＝23,BC ＝6．（1）求异面直线PB 与AC 所成角的余弦值；（2）若二面角P －BD －C 的大小为2π3，求AD 的长．29．已知在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝4，且对于任意n ∈N *有a n ＋4＝a n ＋3＋a n ＋1＋a n ．（1）求证：任意n ∈N *，a 2n ＋1＝a 2n ＋a 2n －1；（2）求证：任意n ∈N *，a 2n a 2n ＋2为整数．30．已知m ∈N *，数列T ：a 1，a 2，a 3，…，a 3m ＋1满足如下条件： ①a 1，a 2，a 3，…，a 3m ＋1是1，2，3，…，3m ＋1的一个全排列；②数列a 1，a 2，a 3，…，a 3m ＋1的前n (1≤n ≤3m ＋1，n ∈N *)项和S n 均不能被3整除． （1）当m ＝1时，写出所有符合条件的数列T ； （2）求满足条件的数列T 的个数f (m )．参考答案 1：【答案】④．2：【答案】2π3．【提示】因为f (x )＝3sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)为偶函数，所以f (x )＝f (－x )恒成立，即3sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)＝3sin(－x ＋θ)＋cos(－x －θ)展开并整理得(3cos θ＋sin θ)sin x ＝0恒成立．所以3cos θ＋sin θ＝0，即tan θ＝－3，又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3．3：【答案】2．【提示】由双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程y ＝±bax ，可得两条切线的斜率分别为±ba，则两条切线关于y 轴对称，则过抛物线C 1：x 2＝4y 焦点(0，1)的直线l 为y ＝1， 可得切点为(－2，1)和(2，1)，则切线的斜率为±1，4：【答案】38．【提示】因为BD ＝2DC ，所以AD →＝13AB →＋23AC →由于AP →与AD →共线，设AP →＝mAD →，则⎩⎨⎧λ＝m 3，μ＝2m 3，于是2λ＝μ，又2λ＋3μ＝1，解得λ＝18，μ＝14，所以λ＋μ＝38．5：【答案】2【提示】S 2＝2a ，S 4＝a 1＋a 3＋a 2＋a 4＝2a ＋d ＋a ＋aq ＝3a ＋d ＋aq ， S 6＝a 1＋a 3＋a 5＋a 2＋a 4＋a 6＝3a ＋3d ＋a ＋aq ＋aq 2＝， 因为S 2：S 4：S 6＝1：3：6，所以(2a )：(3a ＋d ＋aq )：(4a ＋3d ＋aq ＋aq 2)＝1：3：6，即⎩⎨⎧d ＋aq ＝3a ，3d ＋aq ＋aq 2＝8a ，所以2aq －aq 2＝a ． 因为a ≠0，所以2q －q 2＝1即q ＝1， 所以d ＝2a ，从而daq＝2．6：【答案】2．【提示】设切线l 1，l 2的切点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1＞x 2，因为f′(x )＝－34－1x 2， 切线l 1，l 2平行，所以－34－1x 12＝－34－1x 22，因此有x 1＝－x 2＞0，切线l 1，l 2的方程分别为y ＝(－34－1x 12)x ＋2x 1，y ＝(－34－1x 22)x ＋2x 2，于是l 1，l 2之间的距离d ＝|2x 1－2x 2|(－34－1x 12)2＋1＝4x 1(－34－1x 12)2＋1＝42516x 12＋1x 12＋32≤452＋32＝2， 当且仅当x 1＝255时取等号，于是d 的最大值为2．7：【答案】53．【提示】设椭圆C 的左焦点为F 1，连接PF 1，OQ ， 因为Q 为线段FP 中点，O 为线段F 1F 中点， 所以，PF 1＝b ，PF ＝2a －b ，又OQ ⊥PF ，所以PF 1⊥PF ，因此PF 12＋PF 2＝F 1F 2，所以b 2＋(2a －b )2＝(2c )2，即b 2＋(2a －b )2＝4(a 2－b 2)，可得b a ＝23，所以e ＝53．8：【答案】[－223，223]．【提示】设x ＋2y ＝t ，则y ＝t －x 2，代入x 2＋2xy ＋4y 2＝1得：x 2－tx ＋t 2－1＝0，D CBA 则△＝t 2－4(t 2－1)≥0，解得－233≤t ≤233．【说明】注意利用方程有解，求参数的范围．这一方法在数列填空题中经常会用到，例如： 已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项的和为S n ，且S 2＋2，S 3＋4，S 4＋6成等比数列，则公差d 的最小值是 ．转化为关于a 1和d 的方程，看作关于a 1的方程有解，列出关于d 的不等式即可，答案－1． 9：【答案】6．【提示】设圆心为O ，则OM →·ON →＝2，OA →·OB →＝－4，于是AM →·BN →＝(OM →－OA →)·(ON →－OB →)＝OM →·ON →＋OA →·OB →－OA →·ON →－OB →·OM →＝2－4－OA →·ON →＋OA →·OM →＝－2－OA →·MN →＝－2＋12AB →·MN →＝1所以AB →·MN →＝6．【说明】本题考查的加减运算，数量积运算，体现了化归与转化的思想． 10．【答案】(2，32]．【提示】设B (x 0，y 0)，根据AP →＝2PB →，可得A (3－2x 0，3－2y 0)， 则有(1－2x 0)2＋(3－2y 0)2＝r 2，即(x 0－12)2＋(y 0－32)2＝r 24，又(x 0－2)2＋y 02＝r 2，故有r －r2≤(2－12)2＋(32)2≤r ＋r2，解得：2≤r ≤32，易知点P (1，1)在圆(x －2)2＋y 2＝r 2(r ＞0)内，所以r ＞2，从而r ∈(2，32]【说明】一般的解析几何中存在性问题，要能有轨迹思想的意识，把存在性问题转化为有解问题，注意几何与代数之间的相互转化．11．【答案】4＋43． 【提示】设△BCD 的面积为S ，则S ＝12×4×BC ×sin ∠BCD ＝2BC sin(∠ACD ＋π3)＝BC sin ∠ACD ＋3BC cos ∠ACD 设∠ADC ＝α，则AC sin α＝2sin ∠ACD， 于是AC sin ∠ACD ＝2sin α，即BC sin ∠ACD ＝2sin α，又BC cos ∠ACD ＝AC ×AC 2＋42－222AC ×4＝AC 2＋128＝22＋42－2×2×4cos α＋128＝4－2cos α，所以S ＝2sin α＋3(4－2cos α)＝4sin(α－π3)＋43，从而S 的最大值为4＋43，此时α＝5π6．【说明】本题考查正余弦定理及三角恒等变换，注意这类题容易设计成应用题，本题难点在如何选择变量建立函数．12．【答案】22－1．【提示】由题意知：函数f (x )在区间[－1，0]上的最小值不小于函数f (x )在区间[k ，k ＋2]上的最大值．结合函数f (x )的图像可知：对称轴x ＝k 2＋(2－a )k ＋4－a 2≥k ＋22，对任意k ＞0恒成立，即a ≤k 2＋k ＋2k ＋1，对任意k ＞0恒成立．因为k 2＋k ＋2k ＋1＝k ＋2k ＋1＝k ＋1＋2k ＋1－1≥22－1，当且仅当k ＝2－1时取等号，因此当k ＞0时，k 2＋k ＋2k ＋1的最小值为22－1，于是a ≤22－1，所以a 的最大值是22－1．【说明】本题的题意为：函数f (x )在[－1，0]上的最小值不小于函数f (x )在[k ，k ＋2]上的最大值．在这里不必去求最值，结合函数的图像，只要对称轴满足一定的条件即可．13．【答案】ln3－13．【提示】在平面直角坐标系xOy 中，分别作出y ＝ln x 及y ＝a (x －2)＋b 的图像，不等式ln x ≤a (x －2)＋b 对一切正实数x 恒成立，即直线y ＝a (x －2)＋b 恒在曲线y ＝ln x 的上方．a ＋b 最小，即直线y ＝a (x －2)＋b 与x ＝3交点的纵坐标最小．根据图像可知：a ＋b 的最小值为ln3，此时直线y ＝a (x －2)＋b 与曲线y ＝ln x 相切于点(3，ln3)，因此有：a ＝13，从而b ＝ln3－13． 14．【答案】a ＞3518．【提示】易得f'(x )＝3x 2－a ．当a ≤0时，函数f (x )在R 上单调递增，F (x )至多两个零点，不满足题意． 当a ＞0时，令f'(x )＝3x 2－a ＝0，解得x ＝±a 3， 易得函数f (x )在(－∞，－a 3)，(a3，＋∞)上单调递增，在(－a 3，a 3)上单调递减，在同一坐标系中，分别作出函数f (x )，g (x )的图像，根据图像可知：当f (a3)＞0时，F (x )有且仅有一个零点；当f (a3)＝0时，F (x )有且仅有一个零点；当f (a3)＜0时，要使得F (x )有三个不同的零点，则f (23)＜0或者⎩⎨⎧f (23)≥0，a 3＜23，解得a ＞3518． 15、解：（1）因为f'(x )＝cos x －sin x ，所以F (x )＝f (x )f'(x )＋3f 2(x )＝cos 2x －sin 2x ＋3＋23sin x cos x ＝3＋3sin2x ＋cos2x ＝3＋2sin(2x ＋π6)． 所以当2x ＋π6＝π2＋2kπ，即x ＝π6＋kπ(k ∈Z )时，F (x )max ＝3＋2． 函数F (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π． （2）因为f (x )＝2f'(x )，所以sin x ＋cos x ＝2(cos x －sin x )，即cos x ＝3sin x ，故tan x ＝13． 于是sin(2x ＋π4)＝22(sin2x ＋cos2x )＝22(2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＋cos 2x －sin 2x sin 2x ＋cos 2x) ＝22(2tan x 1＋tan 2x ＋1－tan 2x 1＋tan 2x )＝22·2tan x ＋1－tan 2x 1＋tan 2x＝22·2×13＋1－(13)21＋(13)2＝7210． 16、解：（1）因为(2a ＋c )BC →·BA →＋cCA →·CB →＝0，所以(2a ＋c )ac cos B ＋cab cos C ＝0，即(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0．由正弦定理得(2sin A ＋sin C )cos B ＋sin B cos C ＝0，即2sin A cos B ＋sin(C ＋B )＝0，亦即2sin A cos B ＋sin A ＝0，因为sin A ≠0，故cos B ＝－12． 因为B ∈(0，π)，所以B ＝2π3． （2）由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3，即12＝a 2＋c 2＋ac ． 因为12＝a 2＋c 2＋ac ≥3ac ，所以ac ≤4，所以→AB ·CB →＝ac cos 2π3＝－12ac ≥－2，当且仅当a ＝c ＝2时取等号， 所以→AB ·CB →的最小值为－2．【说明】本题考查三角恒等变换、向量数量积、正余弦定理．其中第二问要能利用基本不等式求最小值，也可以利用正弦定理建立函数，但过程复杂．17、（1）证明：因为底面ABCD 为正方形，所以CD ⊥AD ．又平面P AD ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以CD ⊥平面P AD ．又AP ⊂平面P AD ，所以CD ⊥AP ．因为底面ABCD 为正方形，AB ＝2，所以AD ＝2．因为AP ＝1，PD ＝3，所以AP 2＋PD 2＝AD 2，因此AP ⊥PD ．又CD ⊥AP ，PD ∩CD ＝D ，PD ，CD ⊂平面PCD ，所以P A ⊥平面PCD ．（2）解：设点C 到平面PBD 的距离为h ．由（1）知CD ⊥平面P AD ，因为PD ⊂平面P AD ，所以CD ⊥PD ．V 三棱锥B －PCD ＝13S △PCD ·P A ＝13×(12×2×3)×1＝33． 因为AB ∥CD ，所以PD ⊥AB ．由（1）知AP ⊥PD ，又AP ∩AB ＝A ，AP ，AB ⊂平面APB ，所以PD ⊥平面APB ． 又PB ⊂平面APB ，所以PD ⊥PB ．因为底面ABCD 为正方形，且边长为2，所以BD ＝22，又PD ＝3，所以PB ＝5．于是V 三棱锥C －PBD ＝13S △BPD ·h ＝13×(12×3×5)h ＝156h ． 因为V 三棱锥B －PCD ＝V 三棱锥C －PBD ，所以156h ＝33，解得h ＝255． 即点C 到平面PBD 的距离为255． 18、解：（1）设运动员游泳速度为x 千米/小时，由题意可知(xt )2＝22＋(12t )2－2×2×12t cos30°， 整理得x 2＝4t 2－243t ＋144＝(2t－63)2＋36. 由于0＜t ≤14，所以2t≥8， 所以，当2t ＝63即t ＝39时，x 2取得最小值36，即x 最小值为6. 答：运动员游泳速度的最小值为6千米/小时.（2）由题意知[8(t －m )]2＝(16m )2＋(vt )2－2×16m ×vt cos30°， 两边同除以t 2得：192(m t )2＋(128－163v )m t＋v 2－64＝0 设m t＝k ，0＜k ＜1， 则有192k 2＋(128－163v )k ＋v 2－64＝0，其中k ∈(0，1)，即关于k 的方程192k 2＋(128－163v )k ＋v 2－64＝0在(0，1)上有解， 则必有△＝(128－163v )2－4×192×(v 2－64)≥0，解得0＜v ≤1633， 当v ＝1633时，可得k ＝13∈(0，1)，因此v 为最大值为1633. 答：小船的最大速度为1633千米/小时. 19、解：（1）由题意知πr 2h ＋12×43πr 3＝64π3，故h ＝23(32r 2－r )， 由于h ≥2r ，因此23(32r 2－r )≥2r ，解得0＜r ≤2， 所以建造费y ＝2πr 2c ＋(2πrh ＋πr 2)×3＝π(2c －1)r 2＋128π r，定义域为(0，2]. （2）由（1）得y ′＝2π(2c －1)(r 3－642c －1) r 2， 当642c －1≥8即3＜c ≤92时，y ′≤0恒成立， 此时函数y ＝π(2c －1)r 2＋128π r 在(0，2]上单调递减，因此r ＝2时，总建造费用y 最小；当642c －1＜8即c ＞92时，令y ′＝0得r ＝3642c －1∈(0，2)， 当0＜r ＜3642c －1时，y ′＜0；当3642c －1＜r ＜2时，y ′＞0， 所以函数y ＝π(2c －1)r 2＋128π r 在(0，3642c －1)上单调递减，在(3642c －1，2)上单调递增，所以r ＝3642c －1时，总建造费用y 最小. 综上所述，当3＜c ≤92时，总建造费用y 最小时，r ＝2m ； 当c ＞92时，总建造费用y 最小时，r ＝3642c －1m. 20、解：（1）设第n 区火山灰平均每平方米的重量为b n 千克，则b n ＝1000(1－2%)n －1＝1000×0.98n －1． 设第n 区的面积为c n 平方米，则当n ≥2时，c n ＝π502n 2－π502(n －1)2＝2500π(2n －1)， 又c 1＝2500π＝2500π(2×1－1)，因此c n ＝2500π(2n －1)，n ∈N *．所以第n 区内火山灰的总重量为a n ＝b n c n ＝25×105π(2n －1)×0.98n －1(千克)． （2）a n ＋1－a n ＝25×105π(2n ＋1)×0.98n －25×105π(2n －1)×0.98n －1＝25×105π[(2n ＋1)×0.98－(2n －1)]×0.98n －1 ＝25×105π(－0.04n ＋1.98)×0.98n －1． 当1≤n ≤49时，a n ＋1－a n ＞0，即a n ＜a n ＋1，当n ≥50时， a n ＋1－a n ＜0，即a n ＞a n ＋1，所以，当n ＝50时，a n 最大．答：第50区火山灰的总重量最大．【说明】关注数列应用题．21、解：（1）由题设得圆O 1的半径为4，所以圆O 1的标准方程为(x －9)2＋y 2＝16．（2）x ＝5，y ＝－940x ＋498． （3）设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，则O ，O 1到直线l 的距离分别为h ＝|m |1＋k 2，h 1＝|9k ＋m |1＋k2， 从而d ＝264－(m )21＋k 2，d 1＝216－(9k ＋m )21＋k 2． 由d d 1＝2，得d 2d 21＝64－m 21＋k 216－(9k ＋m )21＋k 2＝4， 整理得m 2＝4(9k ＋m )2，故m ＝±2(9k ＋m )，即18k ＋m ＝0或6k ＋m ＝0，所以直线l 为y ＝kx －18k 或y ＝kx －6k ，因此直线l 过定点(18，0)或直线l 过定点(6，0)．【说明】本题考查直线与圆．求直线方程时，不要忘记斜率不存在的讨论．22、解：（1）x 22＋y 2＝1． （2）①设AB 的直线方程为y ＝k (x －1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 22＋y 2＝1，消元y 并整理得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2， 于是AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22＋22k 21＋2k 2， 同理CD ＝22＋22(－12k )21＋2(－12k )2＝42k 2＋22k 2＋1， 于是AB ＋CD ＝22＋22k 21＋2k 2＋42k 2＋22k 2＋1＝32． ②由①知x M ＝2k 21＋2k 2，y M ＝－k 1＋2k 2，x N ＝11＋2k 2，y N ＝k 1＋2k 2，所以M (2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2)，N (11＋2k 2，k 1＋2k 2)， 所以MN 的中点为T (12，0)， 于是S ΔOMN ＝12OT ·|y M －y N |＝14|2k 1＋2k 2|＝12×|k|1＋2k 2＝12×11|k |＋2|k|≤28， 当且仅当2|k |＝1|k|，即k ＝±22时取等号，所以△OMN 面积的最大值为28． 【说明】本题考查直线与椭圆的相关知识．最后一问要能发现并利用直线MN 过定点，简化面积的运算，值得注意．23、解：（1）当x ＞1时，f (x )＝x 3＋3x －3，f (2)＝11．由f'(x )＝3x 2＋3，得f'(2)＝15．所以y ＝f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝15(x －2)＋11即15x －y －19＝0．（2）①当a ≤－1时，得f (x )＝x 3＋3x －3a ，因为f'(x )＝3x 2＋3＞0，所以f (x )在[－1，1]单调递增，所以f (x )min ＝f (－1)＝－4－3a ．②当a ≥1时，得f (x )＝x 3－3x ＋3a ，因为f'(x )＝3x 2－3≤0，所以f (x )在[－1，1]单调递减，所以f (x )min ＝f (1)＝－2＋3a ．③当－1＜a ＜1时，f (x )＝⎩⎨⎧x 3＋3x －3a ，a ＜x ＜1，x 3－3x ＋3a ，－1＜x ≤a ，由①②知：函数f (x )在(－1，a )单调递减，(a ，1)单调递增，所以f (x )min ＝f (a )＝a 3．综上，当a ≤－1，f (x )min ＝－4－3a ；当－1＜a ＜1时，f (x )min ＝a 3；当a ≥1时，f (x )min ＝－2＋3a ．（3）当a ＞0，且任意x ≥1有f (x ＋a )－f (1＋a )≥15a 2ln x ，即对任意x ≥1有(x ＋a )3＋3x －15a 2ln x －(a ＋1)3－3≥0．设g (x )＝(x ＋a )3＋3x －15a 2ln x －(a ＋1)3－3，则g (1)＝0，g'(x )＝3(x ＋a )2＋3－15a 2x． 设h (x )＝g'(x )＝3(x ＋a )2＋3－15a 2x ， 因为a ＞0，x ≥1，所以h'(x )＝6(x ＋a )＋15a 2x2＞0，所以h (x )在[1，＋∞)单调递增，所以h (x )≥h (1)，即g'(x )≥g'(1)＝3(1＋a )2＋3－15a 2＝－(a －1)(2a ＋1)，① 当g'(1)≥0即0＜a ≤1时，所以g'(x )≥0恒成立，所以g (x )在[1，＋∞)单调递增，此时g (x )≥g (1)＝0，满足题意．② 当g'(1)＜0即a ＞1时，因为g'(a )＝12a 2－15a ＋3＝3(a －1)(4a －1)＞0，且g'(x )在[1，＋∞)单调递增，所以存在唯一的x 0＞1，使得g'(x 0)＝0，因此当1＜x ＜x 0时g'(x )＜0；当x ＞x 0时g'(x )＞0；所以g (x )在(1，x 0)单调递减，(x 0，＋∞)单调递增．所以g (x 0)＜g (1)＝0，不满足题意．综上，0＜a ≤1．【说明】本题主要考查利用导数求函数的最值，绝对值函数处理方法，分类讨论思想及函数极值点常见的处理方法．其中第三问要能通过g'(1)的大小来分类．24、解：（1）因为g'(x )＝a (1－x )(1＋x )(1＋x 2)2， 所以g (x )单调减区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，单调增区间为(－1，1)．（2）因为f (x )＝x －x ln x ，f'(x )＝1－ln x －1＝－ln x ，当0＜x ＜1时，f'(x )＞0，所以f (x )在(0，1)上单调递增，因为0＜n ＜m ＜1，所以f (m )＞f (n )，下面证明f (n )＞g (n )，f (n )－g (n )＝n －n ln n －2n n 2＋1＝n (n 2－1n 2＋1－ln n ) 设φ(n )＝n 2－1n 2＋1－ln n ，0＜n ＜1， 则φ'(n )＝－(n 2－1)2n (n 2＋1)2＜0， 所以φ(n )在(0，1)上单调递减，所以φ(n )＞φ(1)＝0，所以n 2－1n 2＋1－ln n ＞0，从而f (n )＞g (n )， 又f (m )＞f (n )，所以f (m )＞g (n )．（3）由方程f (x )＝g (x )，得x －x ln x ＝ax 1＋x 2， 因为x ＞0，所以等价于证：关于x 的方程1－ln x ＝a 1＋x 2在(0，＋∞) 有唯一的实数解，即证：关于x 的方程x 2(ln x －1)＋ln x －1＋a ＝0在(0，＋∞)有唯一的实数解．设h (x )＝x 2(ln x －1)＋ln x －1＋a ，h'(x )＝2x ln x －x ＋1x． 设m (x )＝2x ln x －x ＋1x， 因为m'(x )＝2ln x －1x 2＋1在(0，＋∞)单调递增，且m'(1)＝0， 所以当0＜x ＜1时，m'(x )＜0；当x ＞1时，m'(x )＞0，因此m (x )在(0，1)上单调递减，m (x )在(1，＋∞)上单调递增，从而m (x )≥m (1)＝0，即h'(x )≥0恒成立，所以h (x )＝x 2(ln x －1)＋ln x －1＋a 在(0，＋∞)单调递增．因为h (e)＝a ，h (e 1－a )＝－a e 2－2a ，① 当a ＝0时，因为h (x )在(0，＋∞)单调递增，且h (e)＝0，所以h (x )在(0，＋∞)存在唯一的零点x ＝e ．②当a ≠0时，则h (e)h (e 1－a )＜0，又因为h (x )在(0，＋∞)单调递增， 所以h (x )在(0，＋∞)存在唯一的零点．综上所述，函数h (x )在(0，＋∞)存在唯一的零点，即方程f (x )＝g (x )有唯一的实数解．【说明】考查函数零点问题、零点存在性定理，函数与方程思想、数形结合思想问题，学会利用导数来研究函数的图象和性质．25、解：（1）S 2＝a 1＋a 2＝1＋2＝3，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋2＋4＋8＝15≠S 22，故{a n }不具有性质P ．（2）由S mn ＝S m S n ，得S 1＝S 12，又S 1＞0，所以b 1＝S 1＝1．设数列{b n }公差为d ，则S n ＝n ＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(1－d 2)n ． 又对任意m ，n ∈N *，都有S mn ＝S m S n ，从而d 2(mn )2＋(1－d 2)mn ＝[d 2m 2＋(1－d 2)m ][d 2n 2＋(1－d 2)n ]，即d 2(mn )2＋(1－d 2)mn ＝(d 2)2(mn )2＋d 2(1－d 2)m 2n ＋d 2(1－d 2)mn 2＋(1－d 2)2mn ， 因为上式关于m ，n 恒成立，所以d 2＝(d 2)2，d 2(1－d 2)＝0，1－d 2＝(1－d 2)2， 解得d ＝0或d ＝2．（3）同（2）可知c 1＝1，因为c n ＋c n ＋2≤2c n ＋1，所以c n ＋2－c n ＋1 ≤c n ＋1－c n ，因此c n ＋1－c n ≤c 2－c 1＝2，于是c 2－c 1≤2，c 3－c 2≤2，……c n ＋1－c n ≤2，累加得c n ＋1－c 1≤2n ，即c n ＋1≤2n ＋1，从而c n ≤2(n －1)＋1＝2n －1，n ≥2，又c 1＝1＝2×1－1，因此c n ≤2n －1，n ∈N *．因为S 2n ＝S 2S 2n －1＝4S 2n －1， 所以数列{S 2n －1}是首项为1，公比为4的等比数列，从而S 2n ＝4n ． 因为c n ≤2n －1，n ∈N *，所以对于任意k ∈N *，S k ≤1＋3＋…＋(2k －1)＝k 2．又对于任意k ∈N *，存在m ∈N *，使得2m －1≤k ＜2m ， 所以S k ＝S 2m －(c k ＋1＋c k ＋2＋…＋c 2m )≥4m －(2k ＋1＋2k ＋3＋…＋2×2m －1)＝k 2，因此S k ＝k 2．所以当n ≥2时，c n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，又c 1＝1＝2×1－1，所以c n ＝2n －1．经检验c n ＝2n －1满足题设条件，从而c n ＝2n －1．【说明】本题考查学生对新定义的理解；考查等差、等比数列基本量，恒成立问题的处理方法，累加法及简单不等式的放缩；考查学生综合处理问题的能力．26、证明：（1）设数列{a n }公差为d ，于是2S m ＋n m ＋n ＝2[(m ＋n )a 1＋(m ＋n )( m ＋n －1)2d ]m ＋n＝2[a 1＋(m ＋n －1)d ]， a m ＋a n ＋a m －a n m －n＝2a 1＋(m ＋n －2)d ＋d ＝2[a 1＋(m ＋n －1)d ]， 所以2S m ＋n m ＋n ＝a m ＋a n ＋a m －a n m －n． （2）因为对任意m ，n ∈N *，且m ≠n ，都有2S m ＋n m ＋n ＝a m ＋a n ＋a m －a n m －n， ① 在①中令m ＝n ＋1得，2S 2n ＋1 2n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋a n ＋1－a n 1＝2a n ＋1， ② 由①得2S m ＋n ＋1m ＋n ＋1＝a m ＋a n ＋1＋a m －a n ＋1m －n －1， 令m ＝n ＋4得，2S 2n ＋5 2n ＋5＝a n ＋4＋a n ＋1＋a n ＋4－a n ＋13＝4a n ＋4＋2a n ＋13， ③ 由②得2S 2n ＋5 2n ＋5＝2a n ＋3，因此2a n ＋3＝4a n ＋4＋2a n ＋13，即a n ＋4＝3a n ＋32－a n ＋12， 于是a n ＋4＋a n ＋2－2a n ＋3＝－12(a n ＋3＋a n ＋1－2a n ＋2)， 所以a n ＋3＋a n ＋1－2a n ＋2＝(－12)n －1( a 4＋a 2－2a 3)， 在①中令m ＝1，n ＝3，得2S 4 4＝3a 3＋a 12，即a 2＋a 4＝2a 3， 于是a n ＋3＋a n ＋1－2a n ＋2＝0，即当n ≥2时，a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，在①中令m ＝1，n ＝2，得2S 3 3＝2a 2，即a 1＋a 3＝2a 2， 因此对于任意n ∈N *有a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，从而数列{a n }为等差数列．【说明】本题等差数列的通项与求和及数列的递推，其中第二问含有双变量值得关注三、理科附加题27、解：（1）16． （2）ξ可能的取值为0，1，2，3．P (ξ＝0)＝16；P (ξ＝1)＝13×12×13＋23×12×13＋23×12×12＝13； P (ξ＝2)＝13×12×13＋13×12×23＋23×12×23＝718；P (ξ＝3)＝13×12×23＝19； 故随机变量ξ的概率分布为 E (ξ)＝0×16＋1×13＋2×718＋3×19＝139． 【说明】本题考查独立事件的概率．28、解：因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AD ，因为AD ∥BC ,∠ABC ＝90°, 所以AB ⊥AD ．以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A －xOy ，则B (23，0，0)， C (23，6，0)，P (0，0，3)（1）PB →＝(23，0，－3)， AC →＝(23，6，0)，所以cos ＜PB →，AC →＞＝PB →·AC →|PB →|·|AC →|＝77， 即异面直线PB 与AC 所成角的余弦值为77． （2）设AD ＝a (a ＞0)，则D (0，a ，0)，所以BD →＝(－23，a ，0)，设平面PBD 的法向量→n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧BD →·→n ＝0PB →·→n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－23x ＋ay ＝0 23x －3z ＝0，取x ＝3，则y ＝6a ，z ＝2，则→n ＝(3，6a ，2)． 又平面BCD 的一个法向量→m ＝(0，0，1)，二面角P －BD －C 的大小为2π3， 所以|→m ·→n |→m |·|→n ||＝12，即|23＋36a2＋4|＝12，解得a ＝2． 经检验，当AD ＝2，二面角P －BD －C 的大小为2π3． 【说明】考查异面直线所成角，二面角的平面角的计算．29、证明：（1）因为a 3＝a 2＋a 1，因此n ＝1时，命题成立；假设n ＝k 时，命题成立，即a 2k ＋1＝a 2k ＋a 2k －1，则a 2k ＋3＝a 2k ＋2＋a 2k ＋a 2k －1＝a 2k ＋2＋a 2k ＋1，即n ＝k ＋1时，命题也成立，因此任意n ∈N *，a 2n ＋1＝a 2n ＋a 2n －1．（2）易知a 1＝1，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝4，a 5＝6，a 6＝9，a 7＝15，a 8＝25， a 2a 4＝2，a 4a 6＝6，a 6a 8＝15，猜想a 2n a 2n ＋2＝a 2n ＋1，n ∈N *，证明：当n ＝1时，命题成立；假设n ＝k 时，命题成立，即a 2k a 2k ＋2＝a 2k ＋1， 则a 2k ＋2a 2k ＋4＝a 2k ＋2(a 2k ＋3＋a 2k ＋1＋a 2k )＝a 2k ＋2(a 2k ＋2＋a 2k ＋1＋a 2k ＋1＋a 2k ) ＝a 2k ＋22＋2a 2k ＋1a 2k ＋2＋a 2k a 2k ＋2 ＝a 2k ＋22＋2a 2k ＋1a 2k ＋2＋a 2k ＋12＝a 2k ＋2＋a 2k ＋1＝a 2k ＋3，即n ＝k ＋1时，命题也成立，所以a 2n a 2n ＋2＝a 2n ＋1，n ∈N *，又a 2n ＋1∈N *，因此任意n ∈N *，a 2n a 2n ＋2为正整数．【说明】本题考查数学归纳法，第二问解决的关键是：要能通过前几项归纳发现a 2n ，a 2n＋1，a 2n ＋2成等比数列．进而得到a 2n a 2n ＋2为整数．30、解：（1）满足条件的数列T 有：1，3，4，2； 1，4，3，2； 1，4，2，3；4，3，1，2； 4，1，3，2； 4，1，2，3；（2）设a n (1≤n ≤3m ＋1，n ∈N *)除以3的余数为为b n ，于是数列T 的前n 项和能否被3整除，由数列{b n }：b 1，b 2，…，b 3m ＋1决定， 因为数列{b n }中有m 个0，m ＋1个1，m 个2，因此数列{b n }中由m ＋1个1及m 个2组成的排列应为：1，1，2，1，2，…，1，2．数列{b n }中的m 个0除了不能排首位，可排任何位置，共有C m 3m 种排法，故满足条件的数列T 共有：C m 3m ×m !×m !×(m ＋1)!＝(3m )!m !(m ＋1)!(2m )!个， 因此f (m )＝(3m )!m !(m ＋1)!(2m )!． 【说明】本题考查排列组合的应用，对于整除问题要能按余数进行分类处理．。
江苏南京、盐城市2018届高三数学一模试题有答案
江苏南京、盐城市2018届高三数学一模试题（有答案）南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：柱体体积公式：，其中为底面积,为高.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合，，则▲．2．设复数为虚数单位），若为纯虚数，则的值为▲．3．为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在(单位：分钟)内的学生人数为▲．4．执行如图所示的伪代码，若，则输出的的值为▲．5．口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为▲．6．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数的值为▲．7．设函数的值域为，若，则实数的取值范围是▲．8．已知锐角满足，则的值为▲．9．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是▲．10．设为等差数列的前项和，若的前2017项中的奇数项和为2018，则的值为▲．11．设函数是偶函数，当x≥0时，=，若函数有四个不同的零点，则实数m的取值范围是▲．12．在平面直角坐标系中，若直线上存在一点，圆上存在一点，满足，则实数的最小值为▲．13．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若四点均位于图中的“晶格点”处，且的位置所图所示，则的最大值为▲．14．若不等式对任意都成立，则实数的最小值为▲．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分14分)如图所示，在直三棱柱中，，点分别是的中点.（1）求证：∥平面；（2）若，求证：.16．(本小题满分14分)在中，角的对边分别为已知.（1）若，求的值；（2）若，求的值．17．(本小题满分14分)有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形（如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中是以为圆心、的扇形，且弧,分别与边,相切于点,．（1）当长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？18.(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系中，椭圆的下顶点为，点是椭圆上异于点的动点，直线分别与轴交于点，且点是线段的中点．当点运动到点处时，点的坐标为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线交轴于点，当点均在轴右侧，且时，求直线的方程．19．(本小题满分16分)设数列满足，其中，且，为常数.（1）若是等差数列，且公差，求的值；（2）若，且存在，使得对任意的都成立，求的最小值；（3）若，且数列不是常数列，如果存在正整数，使得对任意的均成立.求所有满足条件的数列中的最小值.20．(本小题满分16分)设函数，（）.（1）当时，若函数与的图象在处有相同的切线，求的值；（2）当时，若对任意和任意，总存在不相等的正实数，使得，求的最小值；（3）当时，设函数与的图象交于两点．求证：.南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）A.（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知为⊙的直径，直线与⊙相切于点，垂直于点.若，求切点到直径的距离．B.（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵，求圆在矩阵的变换下所得的曲线方程. C．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线与曲线()相切，求的值.D．(选修4-5：不等式选讲）已知实数满足，求当取最大值时的值.[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）22．（本小题满分10分）如图，四棱锥的底面是菱形，与交于点，底面，点为中点，.（1）求直线与所成角的余弦值；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．23．（本小题满分10分）已知，．（1）求的值；（2）试猜想的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1．2．13．12004．15．6．67．8．9．10．403411．12．13．2414．100二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．证明：（1）因为是直三棱柱，所以，且，又点分别是的中点，所以，且．所以四边形是平行四边形，从而．……………4分又平面，平面，所以∥面．……………6分（2）因为是直三棱柱，所以底面，而侧面，所以侧面底面．又，且是的中点，所以．则由侧面底面，侧面底面，，且底面，得侧面．……………8分又侧面，所以．……………10分又，平面，且，所以平面．……………12分又平面，所以．……………14分16．解：（1）因为，则由正弦定理，得． (2)分又，所以，即．……………4分又是的内角，所以，故．……………6分（2）因为，所以，则由余弦定理，得，得．……………10分从而，……………12分又，所以．从而．……………14分17．解：（1）在图甲中，连接交于点．设，在中，因为，所以，则．从而，即.……………2分故所得柱体的底面积.……………4分又所得柱体的高，所以.答：当长为1分米时，折卷成的包装盒的容积为立方分米.…………………6分（2）设，则，所以所得柱体的底面积.又所得柱体的高，所以，其中.…………………10分令，则由，解得.…………………12分列表如下：＋0－增极大值减所以当时，取得最大值.答：当的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大.…………………14分18．解：（1）由，得直线的方程为． (2)分令，得点的坐标为．所以椭圆的方程为．…………………4分将点的坐标代入，得，解得．所以椭圆的标准方程为．…………………8分（2）方法一：设直线的斜率为，则直线的方程为．在中，令，得，而点是线段的中点，所以．所以直线的斜率．………………10分联立，消去，得，解得．用代，得．………………12分又，所以，得．………………14分故，又，解得．所以直线的方程为．………………16分方法二：设点的坐标分别为．由，得直线的方程为，令，得．同理，得．而点是线段的中点，所以，故．…………………10分又，所以，得，从而，解得．…………………12分将代入到椭圆C的方程中，得．又，所以，即，解得（舍）或．又，所以点的坐标为．……………14分故直线的方程为．…………………16分19．解：（1）由题意，可得，化简得，又，所以.………………4分（2）将代入条件，可得，解得，所以，所以数列是首项为1，公比的等比数列，所以.……6分欲存在，使得，即对任意都成立，则，所以对任意都成立.………………8分令，则，所以当时，；当时，；当时，．所以的最大值为，所以的最小值为.………………10分（3）因为数列不是常数列，所以．①若，则恒成立，从而，，所以，所以，又，所以，可得是常数列．矛盾．所以不合题意.………………12分②若，取（*），满足恒成立．………………14分由，得．则条件式变为．由，知；由，知；由，知．所以，数列（*）适合题意．所以的最小值为.………………16分20．解：（1）由，得，又，所以，.当时，，所以，所以.………………2分因为函数与的图象在处有相同的切线，所以，即，解得.………………4分（2）当时，则，又，设，则题意可转化为方程在上有相异两实根． (6)分即关于的方程在上有相异两实根．所以，得，所以对恒成立．………………8分因为，所以（当且仅当时取等号），又，所以的取值范围是，所以．故的最小值为.………………10分（3）当时，因为函数与的图象交于两点，所以，两式相减，得.………………12分要证明，即证，即证，即证.………………14分令，则，此时即证．令，所以，所以当时，函数单调递增．又，所以，即成立；再令，所以，所以当时，函数单调递减，又，所以，即也成立．综上所述，实数满足.………………16分附加题答案21．（A）解：如图，连接，，因为直线与⊙相切于点，所以，又因为垂直于，所以，所以，①在⊙中，所以，②………………5分由①②得，即，又，，所以，所以，又，所以，即到直径的距离为4.………………10分（B）解：设是圆上任意一点，则，设点在矩阵对应的变换下所得的点为，则，即，解得，………………5分代入，得，即为所求的曲线方程.………………10分（C）解：以极点O为原点，极轴为轴建立平面直角坐标系，由，得，得直线的直角坐标方程为．………………5分曲线，即圆，所以圆心到直线的距离为．因为直线与曲线（）相切，所以，即.……………10分（D）解：由柯西不等式，得，即．而，所以，所以，………………5分由，得，所以当且仅当时，．所以当取最大值时的值为.………………10分22．解：（1）因为是菱形，所以．又底面，以为原点，直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系．则,,,,．所以，，，，．则．故直线与所成角的余弦值为.………5分（2），．设平面的一个法向量为，则，得，令，得，．得平面的一个法向量为．又平面的一个法向量为，所以，，．则.故平面与平面所成锐二面角的余弦值为 (10)分23．解：（1）由条件，①，在①中令，得．………………1分在①中令，得，得．………………2分在①中令，得，得．………………3分（2）猜想=（或=）．………………5分欲证猜想成立，只要证等式成立．方法一：当时，等式显然成立，当时，因为，故．故只需证明．即证．而，故即证②．由等式可得，左边的系数为．而右边，所以的系数为．由恒成立可得②成立.综上，成立.………………10分方法二：构造一个组合模型，一个袋中装有个小球，其中n个是编号为1，2，…，n的白球，其余n－1个是编号为1，2，…，n－1的黑球，现从袋中任意摸出n个小球，一方面，由分步计数原理其中含有个黑球（个白球）的n个小球的组合的个数为，，由分类计数原理有从袋中任意摸出n个小球的组合的总数为．另一方面，从袋中个小球中任意摸出n个小球的组合的个数为．故，即②成立.余下同方法一.………………10分方法三：由二项式定理，得③．两边求导，得④．③×④，得⑤．左边的系数为．右边的系数为．由⑤恒成立，可得．故成立.………………10分。
南京市2018届高三数学考前综合题学生
ABNMDCBA市2018届高三数学考前综合题一．填空题1．已知l ，m 是空间两条不重合的直线，α，β是两个不同的平面．给出下列命题： ①若l ∥α，l ∥m ，则m ∥α；②若l ⊂α，m ⊂β，α∥β，则l ∥m ； ③若l ⊂α，m ⊂β，l ⊥m ，则α⊥β； ④若α⊥β，l ⊥α，m ⊥β，则l ⊥m ． 其中是真命题的有 ．（填所有真命题的序号）2．已知函数f (x )＝3sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)为偶函数，θ∈[0，π]，则角θ的值为 ．3．在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线x 2＝4y 焦点的直线l 交抛物线于M ，N 两点，若抛物线在点M ，N 处的切线分别与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线平行，则双曲线的离心率为 ． 4．已知点P 是△ABC 一点，满足AP →＝λAB →＋μAC →，且2λ＋3μ＝1，延长AP 交边BC 于点D ，BD ＝2DC ，则λ＋μ＝ ．5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，{a 2n －1}是公差为d 的等差数列，{a 2n }是公比为q 的等比数列，且a 1＝a 2＝a ，S 2：S 4：S 6＝1：3：6，则daq 的值是 ．6．已知函数f (x )＝－34x ＋1x ，若直线l 1，l 2是函数y ＝f (x )图像的两条平行的切线，则直线l 1，l 2之间的距离的最大值是 ．7．在平面直角坐标系xOy 中，点P 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点，F 为椭圆C 的右焦点，直线FP 与圆O ：x 2＋y 2＝b 24相切于点Q ，若Q 恰为线段FP 的中点，则椭圆C 的离心率为 ． 8．实数x ，y 满足x 2＋2xy ＋4y 2＝1，则x ＋2y 的取值围是 ．9．已知AB ＝4，点M ，N 是以AB 为直径的半圆上的任意两点，且MN ＝2，AM →·BN →＝1，则AB →·MN →＝ ．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (1，1)，若圆M ：(x －2)2＋y 2＝r 2(r ＞0)上存在两点A ，B 使得AP →＝2PB →，则r 的取值围是 ．11．在平面四边形ABCD 中，AD ＝2，CD ＝4，△ABC 为等边三角形，则△BCD 面积的最大值是 ．12．已知函数f (x )＝x 2－[k 2＋(2－a )k ＋4－a ]x ＋1，a ，k ∈R ．对于任意k ＞0有：任意x 1∈[－1，0]，任意x 2∈[k ，k ＋2]，f (x 1)≥f (x 2)成立，则a 的最大值是 ．13．已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式ln x ≤a (x －2)＋b 对一切正实数x 恒成立，则当a ＋b 取最小值时，b 的值为 ．14．已知函数f (x )＝x 3－ax ＋1，g (x )＝3x －2，若函数F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )＜g (x )，有三个零点，则实数a 的取值围是 ． 二．解答题15．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f '(x )是f (x )的导函数．（1）求函数F (x )＝f (x )f '(x )＋3f 2(x )的最大值和最小正周期； （2）若f (x )＝2f '(x )，求sin(2x ＋π4)的值．16．设△ABC 的三个角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足(2a ＋c )BC →·BA →＋c CA →·CB →＝0． （1）求角B 的大小；（2）若b ＝23，试求AB →·CB →的最小值．17．四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ＝2AP ＝2，PD ＝3．求证：（1）P A ⊥平面PCD ；（2）求点C 到平面PBD 的距离．18．某地举行水上运动会，如图，岸边有A ，B 两点，相距2千米，∠BAC ＝30°．小船从A 点以v 千米/小时的速度沿AC 方向匀速直线行驶，同一时刻运动员出发，经过t 小时与小船相遇．（1）若v ＝12，运动员从B 处出发游泳匀速直线追赶，为保证在15分钟（含15分钟）能与小船相遇，试求运动员游泳速度的最小值；（2）若运动员先从A 处沿射线AB 方向在岸边跑步匀速行进 m (0＜m ＜t )小时后，再游泳匀速直线追赶小船，已知运动员在岸边跑步的速度为16千米/小时，在水中游泳的速度为8千米/小时，试求小船在能与运动员相遇的条件下v 的最大值．PABCDABC岸边30°rr h19. 某公司拟建造如图所示的蓄水池，其下方是高为h 的圆柱体，上方是半径为r 的半球体.设计要求，蓄水池总体积为64π3m 3，且h ≥2r .经测算，上方半球形部分每平方米建造费用为c (c ＞3)千元，下方圆柱体的侧面和底面部分平均每平方米建造费用为3千元，设该蓄水池的总建造费用为y 千元. （1）求y 关于r 的函数解析式，并指出该函数的定义域； （2）当该蓄水池的总建造费用y 最小时，求半径r 的值.20．某火山喷发停止后，为测量的需要，设距离喷口中心50米的圆面为第1区，50米至100米的圆环面为第2区，…，50(n －1)米至50n 米的圆环面为第n 区，n ∈N *，n ≥2．现测得第1区火山灰平均每平方米的重量为1000千克，第2区火山灰平均每平方米的重量较第1区减少2%，…，第n ＋1区火山灰平均每平方米的重量较第n 区减少2%，n ∈N *．设第n 区火山灰的总重量为a n ，n ∈N *． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）第几区火山灰的总重量最大，说明理由．21．在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝64，以O 1(9，0)为圆心的圆记为圆O 1，已知圆O 1上的点与圆O上的点之间距离的最大值为21． （1）求圆O 1的标准方程；（2）求过点M (5，5)且与圆O 1相切的直线的方程；（3）已知直线l 与x 轴不垂直，且与圆O ，圆O 1都相交，记直线l 被圆O ，圆O 1截得的弦长分别为d ，d 1．若dd 1＝2，求证：直线l 过定点．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且两焦点F 1，F 2与椭圆的短轴顶点(0，1)构成直角三角形． （1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线l 1，l 2过右焦点F 2，且它们的斜率乘积为－12，设l 1，l 2分别与椭圆交于点A ，B 和C ，D ．①求AB ＋CD 的值；②设AB 的中点M ，CD 的中点为N ，求△OMN 面积的最大值．23．已知函数f(x)＝x3＋3|x－a|，a∈R．（1）当a＝1时，求曲线y＝f(x)在x＝2处的切线方程；（2）当x∈[－1，1]时，求函数f(x)的最小值；（3）已知a＞0，且任意x≥1有f(x＋a)－f(1＋a)≥15a2ln x，数a的取值围．24．已知函数f(x)＝x－x ln x，g(x)＝ax1＋x2，a∈R．（1）当a＞0时，求g(x)单调区间；（2）若a＝2，设0＜n＜m＜1，证明：f(m)＞g(n)；（3）证明：关于x的方程f(x)＝g(x)有唯一的实数解．25．设数列{a n}的前n项和为S n，若对任意m，n∈N*，都有S mn＝S m S n，则称数列{a n}具有性质P．（1）若数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，试判断数列{a n}是否具有性质P；（2）若正项等差数列{b n}具有性质P，求数列{b n}的公差；（3）已知正项数列{c n }具有性质P ，c 2＝3，且任意n ∈N *，有c n ＋c n ＋2≤2c n ＋1，求数列{c n }的通项公式．26．已知数列{a n }的前n 项和为S n ．（1）若数列{a n }为等差数列，求证：对任意m ，n ∈N *，且m ≠n ，都有2S m ＋n m ＋n ＝a m ＋a n ＋a m －a nm －n ；（2）若数列{a n }对任意m ，n ∈N *，且m ≠n ，都有2S m ＋n m ＋n ＝a m ＋a n ＋a m －a nm －n ，求证：数列{a n }是等差数列．三．理科附加题27．在即将施行的新高考方案中，某科目可以每半年参加一次考试，然后取若干次考试的最高分作为最终成绩．某同学打算参加三次该科目考试，已知第一次考试达到优秀(得分大于或等于总分的80%)的概率为13，D C BA P第二次考试达到优秀的概率为12，前两次考试相互独立，第三次考试受到前两次成绩的影响，如果前两次考试至少有一次达到优秀，则第三次考试达到优秀的概率为23，否则为12．（1）求该同学没能达到优秀的概率；（2）记该同学达到优秀的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布及期望．28．如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，PA ⊥平面ABCD ，P A ＝3，AB ＝23，BC ＝6．（1）求异面直线PB 与AC 所成角的余弦值； （2）若二面角P －BD －C 的大小为2π3，求AD 的长．29．已知在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝4，且对于任意n ∈N *有a n ＋4＝a n ＋3＋a n ＋1＋a n ． （1）求证：任意n ∈N *，a 2n ＋1＝a 2n ＋a 2n －1；（2）求证：任意n∈N*，a2n a2n＋2为整数．30．已知m∈N*，数列T：a1，a2，a3，…，a3m＋1满足如下条件：①a1，a2，a3，…，a3m＋1是1，2，3，…，3m＋1的一个全排列；②数列a1，a2，a3，…，a3m＋1的前n(1≤n≤3m＋1，n∈N*)项和S n均不能被3整除．（1）当m＝1时，写出所有符合条件的数列T；（2）写出满足条件的数列T的个数f (m)．。
南京市、盐城市2018年高三年级第一次模拟考试数学试题与答案
南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 参考公式：柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面积,h 为高.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合{}|(4)0A x x x =-<，{}0,1,5B =，则AB = ▲ ．2．设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位），若(1)i z +⋅为纯虚数，则a 的值为 ▲ ．3．为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为 ▲ ．4．执行如图所示的伪代码，若0x =，则输出的y 的值为 ▲ ．5．口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 ▲ ．6．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22145x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为 ▲ ． 7．设函数1x x y e a e=+-的值域为A ，若[0,)A ⊆+∞，则实数a 的取值范围是 ▲ ．8．已知锐角,αβ满足()()tan 1tan 12αβ--=，则αβ+的值为 ▲ ．9．若函数sin y x ω=在区间[0,2]π上单调递增，则实数ω的取值范围是 ▲ ． 10．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若{}n a 的前2017项中的奇数项和为2018，则2017S 的值为 ▲ ．时间(单位:分钟) 组距 50 60 70 80 90 100 0.035 a0.0200.0100.005第3题图 Read x If 0x > Then ln y x ← Else x y e ← End If Print y 第4题图11．设函数()f x 是偶函数，当x ≥0时，()f x =(3),03,31,>3x x x x x-≤≤⎧⎪⎨-+⎪⎩，若函数()y f x m =- 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，若直线(33)y k x =-上存在一点P ，圆22(1)1x y +-=上存在一点Q ，满足3OP OQ =，则实数k 的最小值为 ▲ ．13．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处，且,A B 的位置所图所示，则CD AB ⋅的最大值为 ▲ ．14．若不等式2sin sin sin 19sin sin k B A C B C +>对任意ABC ∆都成立，则实数k 的最小值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，点,M N 分别是11,AB A B 的中点.（1）求证：BN ∥平面1A MC ； （2）若11A M AB ⊥，求证：11AB A C ⊥.16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知52c =. （1）若2C B =，求cos B 的值； （2）若AB AC CA CB ⋅=⋅，求cos()4B π+的值．A第13题图ABCA 1B 1C 1MN第15题图有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB 长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD （如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好．．能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF 是以O 为圆心、120EOF ∠=︒的扇形，且弧EF ,GH 分别与边BC ,AD 相切于点M ,N ． （1）当BE 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的下顶点为B ，点,M N 是椭圆上异于点B 的动点，直线,BM BN 分别与x 轴交于点,P Q ，且点Q 是线段OP 的中点．当点N 运动到点2处时，点Q的坐标为(,0)3． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点,M N 均在y 轴右侧，且2DN NM =时，求直线BM 的方程．第17题-图甲 FH 第17题-图乙设数列{}n a 满足221121()n n n a a a a a λ+-=+-，其中2n ，且n N ∈，λ为常数.（1）若{}n a 是等差数列，且公差0d ≠，求λ的值；（2）若1231,2,4a a a ===，且存在[3,7]r ∈，使得n m a n r ⋅-对任意的*n N ∈都成立，求m 的最小值；（3）若0λ≠，且数列{}n a 不是常数列，如果存在正整数T ，使得n T n a a +=对任意的*n N ∈均成立.求所有满足条件的数列{}n a 中T 的最小值.20．(本小题满分16分)设函数()ln f x x =，()bg x ax c x=+-（,,a b c R ∈）. （1）当0c =时，若函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，求,a b 的值；（2）当3b a =-时，若对任意0(1,)x ∈+∞和任意(0,3)a ∈，总存在不相等的正实数12,x x ，使得120()()()g x g x f x ==，求c 的最小值；（3）当1a =时，设函数()y f x =与()y g x =的图象交于11(,),A x y 2212(,)()B x y x x <两点．求证：122121x x x b x x x -<<-.南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知AB 为⊙O 的直径，直线DE 与⊙O 相切于点E ，AD 垂直DE 于点D . 若4DE =，求切点E 到直径AB 的距离EF ．B .（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵 2 00 1⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，求圆221x y +=在矩阵M 的变换下所得的曲线方程.C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=(0r >)相切，求r 的值.D ．(选修4-5：不等式选讲）已知实数,x y 满足2231x y +=，求当x y +取最大值时x 的值.A B E D F O · 第21(A)图[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，OP ⊥底面ABCD ，点M 为PC 中点，4,2,4AC BD OP ===.（1）求直线AP 与BM 所成角的余弦值；（2）求平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值．23．（本小题满分10分）已知n N *∈，()0112112r r n nn n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．（1）求()1,f ()2,f ()3f 的值；（2）试猜想()f n 的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．M A BC D O P 第22题图南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1．{}1 2．1 3．1200 4．1 5．236．6 7．(,2]-∞ 8．34π 9．1(0,]4 10．4034 11．9[1,)412．3- 13．24 14．100 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．证明：（1）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以11//AB A B ，且11AB A B =，又点,M N 分别是11,AB A B 的中点，所以1MB A N =，且1//MB A N ．所以四边形1A NBM 是平行四边形，从而1//A M BN ． ……………4分 又BN ⊄平面1A MC ，1A M ⊂平面1A MC ，所以BN ∥面1A MC ． ……………6分 （2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AA ⊥底面ABC ，而1AA ⊂侧面11ABB A ，所以侧面11ABB A ⊥底面ABC ．又CA CB =，且M 是AB 的中点，所以CM AB ⊥．则由侧面11ABB A ⊥底面ABC ，侧面11ABB A 底面ABC AB =，CM AB ⊥，且CM ⊂底面ABC ，得CM ⊥侧面11ABB A ． ……………8分 又1AB ⊂侧面11ABB A ，所以1AB CM ⊥． ……………10分又11AB A M ⊥，1,A M MC ⊂平面1A MC ，且1A MMC M =，所以1AB ⊥平面1A MC ． ……………12分又1AC ⊂平面1A MC ，所以11AB A C ⊥． ……………14分 16．解：（1）因为5c =，则由正弦定理，得5sin C B =． ……………2分 又2C B =，所以5sin 22B B =，即4sin cos 5B B B =． ……………4分 又B 是ABC ∆的内角，所以sin 0B >，故5cos 4B =． ……………6分（2）因为AB AC CA CB ⋅=⋅， 所以cos cos cb A ba C =，则由余弦定理，得222222b c a b a c +-=+-，得a c =． ……………10分从而2222()35cos 25c c c a c b B ac +-+-===， ……………12分又0B π<<，所以24sin 1cos 5B B =-=．从而32422cos()cos cos sin sin 444525210B B B πππ+=-=⨯-⨯=-． ……………14分17．解：（1）在图甲中，连接MO 交EF 于点T ．设OE OF OM R ===，在Rt OET ∆中，因为1602EOT EOF ∠=∠=︒，所以2ROT =，则2R MT OM OT =-=．从而2RBE MT ==，即22R BE ==. ……………2分 故所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形22114sin120323R R ππ=-︒=- ……………4分又所得柱体的高4EG =，所以V S EG =⨯=163π-答：当BE 长为1分米时，折卷成的包装盒的容积为163π-. …………………6分（2）设BE x =，则2R x =，所以所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形222114sin120(323R R x ππ=-︒=.又所得柱体的高62EG x =-，所以V S EG =⨯=328(3)3x x π--+，其中03x <<. …………………10分令32()3,(0,3)f x x x x =-+∈，则由2()363(2)0f x x x x x '=-+=--=，解得2x =. …………………12分列表如下：所以当x =答：当BE 的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大. …………………14分18．解：（1）由2NQ ，得直线NQ的方程为32y x = (2)分 令0x =，得点B 的坐标为(0,． 所以椭圆的方程为22213x y a +=． …………………4分 将点N 的坐标2213=，解得24a =． 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．…………………8分 （2）方法一：设直线BM 的斜率为(0)k k >，则直线BM 的方程为y kx =-在y kx =0y =，得P x =，而点Q 是线段OP的中点，所以Q x = 所以直线BN 的斜率2BN BQk k k ===． ………………10分联立22143y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y，得22(34)0k x +-=，解得M x =． 用2k 代k，得2316N x k =+． ………………12分又2DN NM =，所以2()N M N x x x =-，得23M N x x =． ………………14分故222334316k k ⨯=⨯++，又0k >，解得2k =． 所以直线BM的方程为2y x =． ………………16分 方法二：设点,M N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ．由(0,B ，得直线BN的方程为1y x =0y =，得P x =同理，得Q x =．而点Q 是线段OP 的中点，所以2P Q x x ==…………………10分 又2DN NM =，所以2122()x x x =-，得21203x x =>4=，解得2143y y =． …………………12分将21212343x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入到椭圆C的方程中，得2211(41927x y +=． 又22114(1)3y x =-，所以214(1)319y -+=21120y +=，解得1y =1y =．又10x >，所以点M的坐标为(3M ．……………14分 故直线BM的方程为y x =-． …………………16分 19．解：（1）由题意，可得22()()n n n a a d a d d λ=+-+，化简得2(1)0d λ-=，又0d ≠，所以1λ=. ………………4分 （2）将1231,2,4a a a ===代入条件，可得414λ=⨯+，解得0λ=，所以211n n n a a a +-=，所以数列{}n a 是首项为1，公比2q =的等比数列，所以12n n a -=. ……6分欲存在[3,7]r ∈，使得12n m n r -⋅-，即12n r n m --⋅对任意*n N ∈都成立，则172n n m --⋅，所以172n n m--对任意*n N ∈都成立. ………………8分 令172n n n b --=，则11678222n n n n n n n n b b +-----=-=，所以当8n >时，1n n b b +<；当8n =时，98b b =；当8n <时，1n n b b +>．所以n b 的最大值为981128b b ==，所以m 的最小值为1128. ………………10分（3）因为数列{}n a 不是常数列，所以2T ．①若2T =，则2n n a a +=恒成立，从而31a a =，42a a =，所以22221212221221()()a a a a a a a a λλ⎧=+-⎪⎨=+-⎪⎩， 所以221()0a a λ-=，又0λ≠，所以21a a =，可得{}n a 是常数列．矛盾．所以2T =不合题意. ………………12分②若3T =，取*1,322,31()3,3n n k a n k k N n k =-⎧⎪==-∈⎨⎪-=⎩（*），满足3n n a a +=恒成立． ………………14分由2221321()a a a a a λ=+-，得7λ=． 则条件式变为2117n n n a a a +-=+．由221(3)7=⨯-+，知223132321()k k k a a a a a λ--=+-；由2(3)217-=⨯+，知223313121()k k k a a a a a λ-+=+-； 由21(3)27=-⨯+，知223133221()k k k a a a a a λ++=+-．所以，数列（*）适合题意．所以T 的最小值为3. ………………16分20．解：（1）由()ln f x x =，得(1)0f =，又1()f x x'=，所以(1)1f '=，. 当0c =时，()b g x ax x =+，所以2()bg x a x'=-，所以(1)g a b '=-. ………………2分 因为函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，所以(1)(1)(1)(1)f g f g ''=⎧⎨=⎩，即10a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ………………4分（2）当01x >时，则0()0f x >，又3b a =-，设0()t f x =，则题意可转化为方程3(0)aax c t t x-+-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ． ………………6分 即关于x 的方程2()(3)0(0)ax c t x a t -++-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ．所以2121203()4(3)030a c t a a c t x x a ax x a <<⎧⎪∆=+-->⎪⎪+⎨+=>⎪⎪-=>⎪⎩，得203()4(3)0a c t a a c t <<⎧⎪+>-⎨⎪+>⎩，所以c t >对(0,),(0,3)t a ∈+∞∈恒成立． ………………8分因为03a <<，所以)2(3a +⨯=（当且仅当32a =时取等号）， 又0t -<，所以t 的取值范围是(,3)-∞，所以3c ．故c 的最小值为3. ………………10分 （3）当1a =时，因为函数()f x 与()g x 的图象交于,A B 两点，所以111222ln ln b x x cx b x x cx ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式相减，得211221ln ln (1)x x b x x x x -=--. ………………12分 要证明122121x x x b x x x -<<-，即证211221212121ln ln (1)x x x x x x x x x x x x --<-<--， 即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-，即证1222111ln 1x x x x x x -<<-. ………………14分 令21x t x =，则1t >，此时即证11ln 1t t t-<<-． 令1()ln 1t t t ϕ=+-，所以22111()0t t t t tϕ-'=-=>，所以当1t >时，函数()t ϕ单调递增．又(1)0ϕ=，所以1()ln 10t t t ϕ=+->，即11ln t t-<成立；再令()ln 1m t t t =-+，所以11()10tm t t t-'=-=<，所以当1t >时，函数()m t 单调递减，又(1)0m =，所以()ln 10m t t t =-+<，即ln 1t t <-也成立．综上所述， 实数12,x x 满足122121x x x b x x x -<<-. ………………16分附加题答案21．（A ）解：如图，连接AE ，OE ，因为直线DE 与⊙O 相切于点E ，所以DE OE ⊥，又因为AD 垂直DE 于D ，所以//AD OE ，所以DAE OEA ∠=∠，① 在⊙O 中OE OA =，所以OEA OAE ∠=∠，② ………………5分 由①②得DAE ∠OAE =∠，即DAE ∠FAE =∠， 又ADE AFE ∠=∠，AE AE =，所以ADE AFE ∆≅∆，所以DE FE =，又4DE =，所以4FE =， 即E 到直径AB 的距离为4. ………………10分（B ）解：设()00,P x y 是圆221x y +=上任意一点，则22001x y +=，ABE DF O · 第21(A)图设点()00,P x y 在矩阵M 对应的变换下所得的点为(),Q x y ，则002 00 1x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即002x x y y =⎧⎨=⎩，解得0012x x y y⎧=⎪⎨⎪=⎩， ………………5分代入2201x y +=，得2214x y +=，即为所求的曲线方程. ………………10分 （C ）解：以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴建立平面直角坐标系，由cos()13πρθ+=，得(cos cossin sin )133ππρθθ-=，得直线的直角坐标方程为20x --=． ………………5分曲线r ρ=，即圆222x y r +=，所以圆心到直线的距离为1d ==．因为直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=（0r >）相切，所以r d =，即1r =. ……………10分（D）解：由柯西不等式，得22222[)][1(](133x x ++≥⨯+⨯， 即2224(3)()3x y x y +≥+． 而2231x y +=，所以24()3x y +≤，所以x y ≤+≤ ………………5分由1x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎩，得2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩26x y ==时，max ()x y += 所以当x y +取最大值时x的值为2x =. ………………10分 22．解：（1）因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又OP ⊥底面ABCD ，以O 为原点，直线,,OA OB OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系． 则(2,0,0)A ,(0,1,0)B ,(0,0,4)P ,(2,0,0)C -,(1,0,2)M -．所以(2,0,4)AP =-，(1,1,2)BM =--，10AP BM ⋅=，||25AP =，||6BM =．则cos ,6||||2AP BM AP BM AP BM ⋅<>===． 故直线AP 与BM 所成角的余弦值为6. ………5分 （2）(2,1,0)AB =-，(1,1,2)BM =--．设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =，C第22题图则00n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2020x y x y z -+=⎧⎨--+=⎩，令2x =，得4y =，3z =．得平面ABM 的一个法向量为(2,4,3)n =．又平面PAC 的一个法向量为(0,1,0)OB =，所以n 4OB ⋅=，||29n =，||1OB =．则4cos ,||||29n OBn OB n OB ⋅<>===故平面ABM 与平面PAC ………………10分 23．解：（1）由条件，()0112112r r n nn n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ①，在①中令1n =，得()011111f C C ==． ………………1分 在①中令2n =，得()011222222226f C C C C =+=，得()23f =． ………………2分 在①中令3n =，得()011223333333332330f C C C C C C =++=，得()310f =． ………………3分（2）猜想()f n =21nn C -（或()f n =121n n C --）． ………………5分 欲证猜想成立，只要证等式011211212n r r n nn n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+成立．方法一：当1n =时，等式显然成立，当2n 时，因为11!!(1)!==!()!(1)!()!(1)!()!rr n n r n n n rC n nC r n r r n r r n r --⨯-=⨯=-----（），故11111()r r r r r r n n n n n n rC C rC C nC C -----==．故只需证明00111111211111n r r n n n n n n n n n n n nC nC C nC C nC C nC C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+． 即证00111111211111n r r n n n n n n n n n n nC C C C C C C C C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+． 而11r n r n n C C --+=，故即证0111111211111n n n r n r n n n n n n n n n n C C C C C C C C C ---+------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ②． 由等式211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++可得，左边nx 的系数为21n n C -．而右边1(1)(1)n n x x -++()()01221101221111n n n nnn n n n n n n C C x C x C x C C x C x C x ------=++++++++，所以nx 的系数为01111111111n n r n r n n n n n n n n n C C C C C C C C ---+-----++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++恒成立可得②成立.综上，()21n n f n C -=成立. ………………10分 方法二：构造一个组合模型，一个袋中装有21n -个小球，其中n 个是编号为1，2，…，n 的白球，其余n －1个是编号为1，2，…，n －1的黑球，现从袋中任意摸出n 个小球，一方面，由分步计数原理其中含有r 个黑球（n r -个白球）的n 个小球的组合的个数为1r n rn nC C --，01r n ≤≤-，由分类计数原理有从袋中任意摸出n 个小球的组合的总数为01111111n n n n n n nn n C C C C C C -----+++．另一方面，从袋中21n -个小球中任意摸出n 个小球的组合的个数为21nn C -．故0111121111n n n n n n n n n n n C C C C C C C ------=++，即②成立. 余下同方法一. ………………10分方法三：由二项式定理，得0122(1)n n n n n n n x C C x C x C x +=++++ ③． 两边求导，得112111(1)2n r r n n n n n n n x C C x rC x nC x ---+=+++++ ④．③×④， 得21012212111(1)()(2)n n n r r n n n n n n n n n n n x C C x C x C x C C x rC x nC x ---+=+++++++++ ⑤．左边n x 的系数为21nn nC -．右边nx 的系数为121112n n r n r n n n n n n n n n C C C C rC C nC C --+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+1021112r r n n n n n n n n n n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+0112112r r n n n n n n n n n n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由⑤恒成立，可得011211212n r r n nn n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．故()21n n f n C -=成立. ………………10分。
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ABNMD C B A 南京市2018届高三数学考前综合题一．填空题1．已知l ，m 是空间两条不重合的直线，α，β是两个不同的平面．给出下列命题： ①若l ∥α，l ∥m ，则m ∥α；②若l ⊂α，m ⊂β，α∥β，则l ∥m ； ③若l ⊂α，m ⊂β，l ⊥m ，则α⊥β； ④若α⊥β，l ⊥α，m ⊥β，则l ⊥m ． 其中是真命题的有 ．（填所有真命题的序号）2．已知函数f (x )＝3sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)为偶函数，θ∈[0，π]，则角θ的值为 ．3．在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线x 2＝4y 焦点的直线l 交抛物线于M ，N 两点，若抛物线在点M ，N 处的切线分别与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线平行，则双曲线的离心率为 ．4．已知点P 是△ABC 内一点，满足AP →＝λAB →＋μAC →，且2λ＋3μ＝1，延长AP 交边BC 于点D ，BD ＝2DC ，则λ＋μ＝ ．5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，{a 2n －1}是公差为d 的等差数列，{a 2n }是公比为q 的等比数列，且a 1＝a 2＝a ，S 2：S 4：S 6＝1：3：6，则daq的值是 ．6．已知函数f (x )＝－34x ＋1x ，若直线l 1，l 2是函数y ＝f (x )图像的两条平行的切线，则直线l 1，l 2之间的距离的最大值是 ．7．在平面直角坐标系xOy 中，点P 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点，F 为椭圆C 的右焦点，直线FP 与圆O ：x 2＋y 2＝b 24相切于点Q ，若Q 恰为线段FP 的中点，则椭圆C 的离心率为 ． 8．实数x ，y 满足x 2＋2xy ＋4y 2＝1，则x ＋2y 的取值范围是 ．9．已知AB ＝4，点M ，N 是以AB 为直径的半圆上的任意两点，且MN ＝2，AM →·BN →＝1，则AB →·MN →＝ ．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (1，1)，若圆M ：(x －2)2＋y 2＝r 2(r ＞0)上存在两点A ，B 使得AP →＝2PB →，则r 的取值范围是 ．11．在平面四边形ABCD 中，AD ＝2，CD ＝4，△ABC 为等边三角形，则△BCD 面积的最大值是 ．12．已知函数f (x )＝x 2－[k 2＋(2－a )k ＋4－a ]x ＋1，a ，k ∈R ．对于任意k ＞0有：任意x 1∈[－1，0]，任意x 2∈[k ，k ＋2]，f (x 1)≥f (x 2)成立，则a 的最大值是 ．13．已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式ln x ≤a (x －2)＋b 对一切正实数x 恒成立，则当a ＋b 取最小值时，b 的值为 ．14．已知函数f (x )＝x 3－ax ＋1，g (x )＝3x －2，若函数F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )＜g (x )，有三个零点，则实数a 的取值范围是 ． 二．解答题15．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f '(x )是f (x )的导函数．（1）求函数F (x )＝f (x )f '(x )＋3f 2(x )的最大值和最小正周期； （2）若f (x )＝2f '(x )，求sin(2x ＋π4)的值．16．设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足(2a ＋c )BC →·BA →＋cCA →·CB →＝0． （1）求角B 的大小；（2）若b ＝23，试求AB →·CB →的最小值．17．四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ＝2AP ＝2，PD ＝3．求证：（1）P A ⊥平面PCD ；（2）求点C 到平面PBD 的距离．18．某地举行水上运动会，如图，岸边有A ，B 两点，相距2千米，∠BAC ＝30°．小船从A 点以v 千米/小时的速度沿AC 方向匀速直线行驶，同一时刻运动员出发，经过t 小时与小船相遇．（1）若v ＝12，运动员从B 处出发游泳匀速直线追赶，为保证在15分钟内（含15分钟）能与小船相遇，试求运动员游泳速度的最小值；（2）若运动员先从A 处沿射线AB 方向在岸边跑步匀速行进 m (0＜m ＜t )小时后，再游泳匀速直线追赶小船，已知运动员在岸边跑步的速度为16千米/小时，在水中游泳的速度为8千米/小时，试求小船在能与运动员相遇的条件下v 的最大值．PABCDABC岸边30°rr h19. 某公司拟建造如图所示的蓄水池，其下方是高为h 的圆柱体，上方是半径为r 的半球体.设计要求，蓄水池总体积为64π3m 3，且h ≥2r .经测算，上方半球形部分每平方米建造费用为c (c ＞3)千元，下方圆柱体的侧面和底面部分平均每平方米建造费用为3千元，设该蓄水池的总建造费用为y 千元. （1）求y 关于r 的函数解析式，并指出该函数的定义域； （2）当该蓄水池的总建造费用y 最小时，求半径r 的值.20．某火山喷发停止后，为测量的需要，设距离喷口中心50米内的圆面为第1区，50米至100米的圆环面为第2区，…，50(n －1)米至50n 米的圆环面为第n 区，n ∈N *，n ≥2．现测得第1区火山灰平均每平方米的重量为1000千克，第2区火山灰平均每平方米的重量较第1区减少2%，…，第n ＋1区火山灰平均每平方米的重量较第n 区减少2%，n ∈N *．设第n 区火山灰的总重量为a n ，n ∈N *． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）第几区火山灰的总重量最大，说明理由．21．在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝64，以O 1(9，0)为圆心的圆记为圆O 1，已知圆O 1上的点与圆O上的点之间距离的最大值为21． （1）求圆O 1的标准方程；（2）求过点M (5，5)且与圆O 1相切的直线的方程；（3）已知直线l 与x 轴不垂直，且与圆O ，圆O 1都相交，记直线l 被圆O ，圆O 1截得的弦长分别为d ，d 1．若dd 1＝2，求证：直线l 过定点．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且两焦点F 1，F 2与椭圆的短轴顶点(0，1)构成直角三角形． （1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线l 1，l 2过右焦点F 2，且它们的斜率乘积为－12，设l 1，l 2分别与椭圆交于点A ，B 和C ，D ．①求AB ＋CD 的值；②设AB 的中点M ，CD 的中点为N ，求△OMN 面积的最大值．23．已知函数f(x)＝x3＋3|x－a|，a∈R．（1）当a＝1时，求曲线y＝f(x)在x＝2处的切线方程；（2）当x∈[－1，1]时，求函数f(x)的最小值；（3）已知a＞0，且任意x≥1有f(x＋a)－f(1＋a)≥15a2ln x，求实数a的取值范围．24．已知函数f(x)＝x－x ln x，g(x)＝ax1＋x2，a∈R．（1）当a＞0时，求g(x)单调区间；（2）若a＝2，设0＜n＜m＜1，证明：f(m)＞g(n)；（3）证明：关于x的方程f(x)＝g(x)有唯一的实数解．25．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意m ，n ∈N *，都有S mn ＝S m S n ，则称数列{a n }具有性质P ． （1）若数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，试判断数列{a n }是否具有性质P ； （2）若正项等差数列{b n }具有性质P ，求数列{b n }的公差；（3）已知正项数列{c n }具有性质P ，c 2＝3，且任意n ∈N *，有c n ＋c n ＋2≤2c n ＋1，求数列{c n }的通项公式．26．已知数列{a n }的前n 项和为S n ．（1）若数列{a n }为等差数列，求证：对任意m ，n ∈N *，且m ≠n ，都有2S m ＋n m ＋n ＝a m ＋a n ＋a m －a nm －n；（2）若数列{a n }对任意m ，n ∈N *，且m ≠n ，都有2S m ＋n m ＋n ＝a m ＋a n ＋a m －a nm －n ，求证：数列{a n }是等差数列．DCBA P三．理科附加题 27．在即将施行的新高考方案中，某科目可以每半年参加一次考试，然后取若干次考试的最高分作为最终成绩．某同学打算参加三次该科目考试，已知第一次考试达到优秀(得分大于或等于总分的80%)的概率为13，第二次考试达到优秀的概率为12，前两次考试相互独立，第三次考试受到前两次成绩的影响，如果前两次考试至少有一次达到优秀，则第三次考试达到优秀的概率为23，否则为12．（1）求该同学没能达到优秀的概率；（2）记该同学达到优秀的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布及期望．28．如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝3，AB ＝23，BC ＝6． （1）求异面直线PB 与AC 所成角的余弦值；（2）若二面角P －BD －C 的大小为2π3，求AD 的长．29．已知在数列{a n}中，a1＝1，a2＝1，a3＝2，a4＝4，且对于任意n∈N*有a n＋4＝a n＋3＋a n＋1＋a n．（1）求证：任意n∈N*，a2n＋1＝a2n＋a2n－1；（2）求证：任意n∈N*，a2n a2n＋2为整数．30．已知m∈N*，数列T：a1，a2，a3，…，a3m＋1满足如下条件：①a1，a2，a3，…，a3m＋1是1，2，3，…，3m＋1的一个全排列；②数列a1，a2，a3，…，a3m＋1的前n(1≤n≤3m＋1，n∈N*)项和S n均不能被3整除．（1）当m＝1时，写出所有符合条件的数列T；（2）写出满足条件的数列T的个数f (m)．。