不定积分的性质与基本积分公式
定积分和不定积分的计算方法总结
定积分和不定积分的计算方法总结一、不定积分的定义和基本性质不定积分是函数积分的一种形式，表示为∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数，dx表示自变量。
1.不定积分的定义不定积分是求导运算的逆运算。
如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么F(x) + C也是f(x)的一个原函数，其中C为常数。
因此，∫f(x)dx = F(x) + C。
2.基本性质(1) 常数因子法则：若c是常数，则有∫cf(x)dx = c∫f(x)dx。
(2) 线性法则：若f(x)和g(x)都有原函数，则有∫(f(x) ±g(x))dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx。
(3) 逐项积分法则：若f(x)的原函数为F(x)，g(x)的原函数为G(x)，则有∫(f(x) ± g(x))dx = F(x) ± G(x)。
(4) 分部积分法则：若f(x)和g(x)都具有原函数，则有∫f(x)g(x)dx = F(x)g(x) - ∫(F(x)g'(x))dx，其中F(x)为f(x)的一个原函数，g'(x)为g(x)的导数。
二、定积分的定义和计算方法定积分是计算函数在一个有限区间上的面积的数值，表示为∫[a,b]f(x)dx，其中f(x)为被积函数，[a,b]为积分区间。
1.定积分的定义设f(x)在区间[a,b]上有定义，将[a,b]分为n个小区间，长度为Δx，选择每个小区间上一点ξi，记为Δx = (b-a)/n，ξi = a + iΔx (i = 0,1,2,...,n)。
定义Riemann和为S(f, Δx, ξ) = Σf(ξi)Δx =f(ξ1)Δx + f(ξ2)Δx + ... + f(ξn)Δx。
当n趋于无穷大时，Riemann和的极限称为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记为∫[a,b]f(x)dx。
2.计算方法(1)几何意义：定积分表示函数f(x)在区间[a,b]上曲线与x轴之间的面积。
不定积分的15个基本公式
不定积分的15个基本公式不定积分是微积分中的一个重要概念，它是对一个函数的不定积分时求出它的原函数。
在计算不定积分时，有一些基本公式可以帮助我们简化计算。
下面是关于不定积分的15个基本公式：1. 常数公式：对于任意常数k，∫kdx = kx + C，其中C为任意常数。
2. 幂函数公式：对于任意常数n，∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中C为任意常数。
3. 倒数公式：∫1/x dx = ln|x| + C，其中C为任意常数。
4. 正弦函数公式：∫sin(x) dx = -cos(x) + C，其中C为任意常数。
5. 余弦函数公式：∫cos(x) dx = sin(x) + C，其中C为任意常数。
6. 正切函数公式：∫tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C，其中C为任意常数。
7. 余切函数公式：∫cot(x) dx = ln|sin(x)| + C，其中C为任意常数。
8. 指数函数公式：∫e^x dx = e^x + C，其中C为任意常数。
9. 对数函数公式：∫ln(x) dx = xln(x) - x + C，其中C为任意常数。
10. 反正弦函数公式：∫arcsin(x) dx = xarcsin(x) + sqrt(1-x^2) + C，其中C为任意常数。
11. 反余弦函数公式：∫arccos(x) dx = xarccos(x) - sqrt(1-x^2) + C，其中C为任意常数。
12. 反正切函数公式：∫arctan(x) dx = xarctan(x) - ln|1+x^2| + C，其中C为任意常数。
13. 反余切函数公式：∫arccot(x) dx = xarccot(x) + ln|1+x^2| + C，其中C为任意常数。
14. 双曲正弦函数公式：∫sinh(x) dx = cosh(x) + C，其中C为任意常数。
15. 双曲余弦函数公式：∫cosh(x) dx = sinh(x) + C，其中C为任意常数。
不定积分的概念与性质及基本积分公式
2 tan xdx
x sin 2 dx
2
sec x(tan x sec x)dx
四、 小结
F ( x ) f ( x ) 原函数的概念：
不定积分的概念： f ( x )dx F ( x ) C
基本积分表(1)
求微分与求积分的互逆关系
三、 y ln x C .
arctan x ln x C .
1 2x dx . 例7 求积分 2 2 x (1 x )
解
2
1 2x 1 x2 x2 x 2 (1 x 2 )dx x 2 (1 x 2 ) dx
2
1 1 2 dx dx 2 x 1 x 1 arctan x C . x
等式成立.
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
(3)
kf (x)dx k f ( x )dx .
（k 是常数，k 0 )
3 2 )dx . 例5 求积分 ( 2 2 1 x 1 x 3 2 解 ( )dx 2 2 1 x 1 x 1 1 3 dx 2 dx 2 2 1 x 1 x 3 arctan x 2 arcsin x C
由c(0) 20
c 19
c(x) ex 19
例5 设f(x)的导数为sinx,且f(0)=0,则f(x)=____) (A) 1 sinx; (B) 1-sinx; (C) 1 cosx ;(D) 1-cosx
例6 若 f(x)dx x 2 e 2 x c, 则f ( x) _____ 例7 若f x 的一个原函数是 cos x , 则 f ' x dx _____
不定积分常用的16个基本公式
不定积分常用的16个基本公式近年来，随着数学研究的深入发展，不定积分及其应用在许多领域发挥着重要作用。
它不仅可以在数学方面发挥重要作用，而且可以在工程，物理，经济学等多个学科中得到应用。
不定积分可以根据它的定义和它的公式来求解，其中有16个主要的基本公式。
首先，不定积分的定义是什么？它是用来表示一个函数的增量的定义，就是说，它是一个函数f（x）的“梯形”，得到这个梯形的面积，可以用不定积分法来进行计算。
其中，有16个主要的基本公式，分别是：1）不定积分公式：intf（x）dx=f（x）+ c2）乘积公式：intu（x）v（x）dx=intu（x）dx intv（x）dx 3）反函数公式：int（1/U）dx=ln|U（x）|+c4）倍拆公式：int（f（x）+g（x））dx=intf（x）dx+intg（x）dx5）定积分公式：int_a^bf（x）dx=intf（x）dx|_a^b6）分部积分公式：intf（x）dx=f（x）intf（x）dx+c7）牛顿-洛克（N）公式：int_a^bf（x）dx=intf（x）dx|_a^b + (b-a) intf（x）dx|_a^b8）级数积分：int[f（x）+ fi（x）]dx= intf（x）dx+ intf （x）dx|_a^b9）变量变换：intu（x）dx= intu（u）du10）定积分变换：int_a^bf（x）dx= int_a^bf（u）du11）约瑟夫-马尔科夫（J-M）公式：intf（x）dx=intf（x）dx+f （x） intf（x）dx|_a^b12）奇拆公式：intf（x）dx=intf（x）dx+f（x） intf（x）dx|_a^b 13）展开与积分公式：intu（x）v（x）dx= intu（x）dx intv （x）dx+intv（x）dx intu（x）dx14）矩形公式：int_a^bf（x）dx=frac{f（a）+f（b）}{2} int_a^b1dx 15）双曲函数公式：intfrac{1}{u（x）}dx=intfrac{1}{u（x）}dx+c 16）椭圆曲线公式：intfrac{1}{u（x）v（x）}dx= intfrac{1}{u （x）}dx+ intfrac{1}{v（x）}dx上述16个基本公式，构成了不定积分的基础，是解决不定积分问题不可缺少的重要部分。
不定积分与定积分
不定积分与定积分积分是数学分析中重要的概念和工具，在微积分中具有广泛的应用。
其中不定积分和定积分是常见的两种类型。
它们分别具有不同的定义和性质，对于解决实际问题和求解函数的面积等概念都有着重要的作用。
一、不定积分1.1 定义不定积分是函数的原函数的集合。
给定一个连续函数f(x)，其不定积分可以表示为∫f(x)dx = F(x) + C，其中F(x)是f(x)的一个原函数，C为常数。
1.2 性质不定积分具有线性性质，即∫[af(x) + bg(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx，其中a、b为常数。
同时，不定积分满足微积分基本定理，即对于函数f(x)的原函数F(x)，有∫f'(x)dx = F(x) + C。
1.3 计算方法求解不定积分的方法有很多，最常用的方法是换元法和分部积分法。
换元法是通过引入新的变量替代原变量，将原函数转换成更容易积分的形式。
分部积分法则是通过对乘积的两个函数进行积分，得到原函数的表达式。
二、定积分2.1 定义定积分是对函数在一个闭区间上的积分。
给定函数f(x)在[a, b]区间上连续，定积分可以表示为∫[a, b]f(x)dx。
定积分表示函数在该区间上的面积或曲线与x轴所围成的面积。
2.2 性质定积分具有线性性质和可加性质，即对于函数f(x)和g(x)，有∫[a, b][f(x) ± g(x)]dx = ∫[a, b]f(x)dx ± ∫[a, b]g(x)dx。
同时，定积分也满足中值定理，即在区间[a, b]上存在一个点c，使得∫[a, b]f(x)dx = f(c)·(b - a)。
2.3 计算方法计算定积分可以使用几何意义的面积计算法、代数意义的换元法和分段函数积分法等。
其中，面积计算法是将曲线区间划分成若干个小矩形，再对这些小矩形的面积求和。
而换元法和分段函数积分法则是通过转换变量或分别对函数在不同区间求积分。
不定积分基本公式
不定积分基本公式不定积分是微积分中的一个重要概念，它是函数的定义域上的一族原函数。
在计算不定积分时，我们使用的是不定积分的基本公式，也叫做不定积分的运算法则，下面是一些常用的不定积分基本公式。
1.一次幂函数的不定积分公式：∫x^n dx = 1/(n+1) * x^(n+1) + C，其中n不等于-12.常数函数的不定积分公式：∫a dx = ax + C，其中a是常数。
3.幂函数的不定积分公式：∫(a^x) dx = 1/(lna) * a^x + C，其中a是正常数且不等于14.指数函数的不定积分公式：∫e^x dx = e^x + C。
5.对数函数的不定积分公式：∫(1/x) dx = ln，x， + C，其中x不等于0。
6.三角函数的不定积分公式：∫sin(x) dx = -cos(x) + C∫cos(x) dx = sin(x) + C∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C∫cot(x) dx = ln，sin(x)， + C∫sec(x) dx = ln，sec(x) + tan(x)， + C∫csc(x) dx = ln，csc(x) - cot(x)， + C7.反三角函数的不定积分公式：∫arcsin(x) dx = x*arcsin(x) + sqrt(1-x^2) + C∫arccos(x) dx = x*arccos(x) - sqrt(1-x^2) + C∫arctan(x) dx = x*arctan(x) - 1/2ln(1+x^2) + C∫arccot(x) dx = x*arccot(x) + 1/2ln(1+x^2) + C∫arcsec(x) dx = x*arcsec(x) + ln，sec(x)+tan(x)， + C∫arccsc(x) dx = x*arccsc(x) - ln，csc(x)+cot(x)， + C8.双曲函数的不定积分公式：∫sinh(x) dx = cosh(x) + C∫cosh(x) dx = sinh(x) + C∫tanh(x) dx = ln，cosh(x)， + C∫coth(x) dx = ln，sinh(x)， + C∫sech(x) dx = arcsin(e^x) + C∫csch(x) dx = ln，tanh(x/2)， + C以上是一些常用的不定积分基本公式，但请注意，不定积分是一个广义的概念，有很多特殊函数的不定积分无法用基本公式表示，需要通过其他的方法进行求解，比如换元法、分部积分法、特殊函数等。
不定积分24个基本公式
不定积分24个基本公式一、原函数不定积分的概念原函数的定义：如果区间I上，可导函数F(x)的导函数为f'(x),即对任一x∈I都有 F'(x)=f(x) 或 dF(x)=f(x) dx 那么函数F(x)就称为f(x)(或 f(x) dx)在区间 I 内的一个原函数。
原函数存在定理：如果函数f(x)在区间 I 上连续，那么在区间 I 上存在可导函数F(x)，使对任一x∈I都有 F'(x)=f(x).简单地说：连续函数一定有原函数。
不定积分的定义：在区间 I 上，函数f(x)的带有任意常数项的的原函数称为f(x)( f(x)dx ) 在区间 I 上的不定积分，记作∫ f(x)dx . 其中记号∫ 称为积分号，f(x)称为被积函数 f(x)dx 称为被积表达式，x 称为积分变量。
二、基本积分公式三、不定积分的性质设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则∫ [ f(x) ± g(x)]dx= ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx 。
记：合拢的加减积分可以分开加减积分2. 设函数f(x)及g(x)的原函数存在，k为非零常数，则∫ k f(x) dx=k ∫ f(x) dx记者:非零常数乘以积分，可以把常数拿出来，乘以不定积分。
四、第一类换元积分法设f(u)具有原函数，u=φ(x)可导，则有换元公式：也叫做凑微分法五、第二类换元积分法设x=ψ(t)是单调的可导函数，并且ψ'(t)≠0，又设f[ψ(t)]ψ'(t)具有原函数，则有换元公式是x=ψ(x)的反函数。
三种常见的换元公式(注：利用三角形理解去记)利用第二种换元积分法解出的常见的积分公式：六、分部积分法设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数，则两个函数乘积的导数公式为 (uv)'=u'v+uv',移项，得： u v'=(u v)'-u' v对这个等式两边求积分∫ u v' dx=u v- ∫ u' v dx 称为分部积分公式按零件的集成顺序集成:反对力量指的是三，意思是从后面集成容易，先集成那个。
不定积分的性质与基本积分公式
不定积分的性质与基本积分公式一、不定积分的性质：1.线性性质：设f(x)和g(x)是R上的两个函数，k1、k2是常数，则有∫(k1*f(x) + k2*g(x))dx = k1*∫f(x)dx + k2*∫g(x)dx2.区间可加性：如果函数f(x)在[a,b]上可积，而c是[a,b]上的一个点，则有∫(a到b)f(x)dx = ∫(a到c)f(x)dx + ∫(c到b)f(x)dx3.分部积分公式：设u(x)和v(x)是具有连续导数的函数，则有∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx4.递推公式：设F(x)是f(x)的一个原函数，则对于正整数n，有∫f(x)^(n)dx = F(x)f(x)^(n-1) - ∫(F(x)f(x)^(n-1))'dx其中^(n)表示f(x)的n次方5.替换积分变量：如果函数f(x)是R上的可积函数，x=g(t)是可导的一一映射，则有∫f(g(t))g'(t)dt = ∫f(x)dx6.对称性：如果函数f(x)在区间[a,b]上可积，则有∫(a到b)f(x)dx = -∫(b到a)f(x)dx7.常数项可提出：对于常数c，有∫c*f(x)dx = c*∫f(x)dx二、基本积分公式：1.基本初等函数的不定积分：∫dx = x + C（C为常数）∫x^a dx = (x^(a+1))/(a+1) + C（a≠-1，C为常数）∫e^x dx = e^x + C（C为常数）∫a^x dx = (a^x)/ln(a) + C（a>0且a≠1，C为常数）∫sin(x) dx = -cos(x) + C（C为常数）∫cos(x) dx = sin(x) + C（C为常数）∫sec^2(x) dx = ta n(x) + C（C为常数）∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C（C为常数）∫sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C（C为常数）∫csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C（C为常数）∫1/(1+x^2) dx = arctan(x) + C（C为常数）∫1/(a^2+x^2) dx = (1/a)*arctan(x/a) + C（a>0，C为常数）∫1/(√(a^2-x^2)) dx = arcsin(x/a) + C（a>0，C为常数）∫1/(√(x^2-a^2)) dx = arccos(x/a) + C（a>0，C为常数）2.基本初等函数的合成函数的不定积分：∫f'(x)f(x)g(f(x))dx = (1/2)g^2(f(x)) + C（C为常数）∫f'(x)f(x)^n g(f(x))dx = (1/(n+1))g(f(x))^(n+1) + C（n≠-1，C为常数）这些性质和基本积分公式是我们进行不定积分过程中经常使用的工具，根据这些性质和公式，我们可以更加方便地求解各种函数的不定积分。
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第一个问题由以下定理回答. 定理8.1 (原函数存在性定理) 若函数 f 在区间 I 上连续, 则 f 在 I 上存在原函 数 F, 即
若 F ( x) 是 f ( x) 的一个原函数, 则由定理 8.2,
∫ f (x) d x ={ F(x)+C C ∈R}.
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为方便起见, 我们记 ∫ f ( x)dx = F ( x) + C. 其中
C 为任意常数.
由此, 从例 1(ii) (iii) (iv)可得:
∫ x2dx = 1 x3 + C,
2
= arctan x + C
=
−arccot x + C.
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由导数线性运算法则可得到不定积分的线性运算
法则. 定理 8.3 (不定积分的线性运算法则)
若函数 f 与 g 在区间 I 上都存在原函数, k1, k2为
任意常数, 则 k1 f + k2g 在 I上也存在原函数, 且
∫ ∫ ∫ ( k1 f ( x) + k2g( x) )dx = k1 f ( x)dx + k2 g( x)dx.
则称 f 为 F 在区间 I 上的一个原函数.
例1 (i) 路程函数 s(t) 是速度函数 v(t) 的一个原函
数:
s′(t) = v(t).
(ii) x3 是 x2 的一个原函数:
3
⎛ ⎜ ⎝
x3 3
⎞′ ⎟ ⎠
=
x2.
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(iii)ln( x + 1 + x2 ) 是 1 的一个原函数: 1+ x2
10. ∫ csc2 xdx = −cot x + C .
11. ∫sec x ⋅ tan xdx = sec x + C.
12. ∫csc x ⋅ cot xdx = −csc x + C .
13. ∫
dx = arcsin x + C = −arccos x + C. 1− x2
14.
∫
1
dx +x
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证 (i) 由 (F ( x) + C )′ = F′( x) = f ( x), 知 F ( x) + C 也是 f ( x) 在 I 上的原函数. (ii) 设 F(x) 和 G(x) 是 f (x) 在 I 上的任意两个原 函数, 则
(F ( x) − G( x))′ = F ′( x) − G′( x) = f ( x) − f ( x) = 0.
( ) ln( x + 1 + x2 ) ′ = 1 . 1+ x2
( ) (iv)
1 2
x
1 − x2 + arcsin x 是
1 − x2 的一个原函数 :
( ) ⎡1
⎢⎣ 2
x
1−
x2
+ arcsin x
⎤ ⎥⎦
′
=
1− x2 .
从(iii) (iv)可以看出, 尽管象
1 和 1− x2 1+ x2
由第六章拉格朗日中值定理的推论, 即知 F(x) − G(x) ≡ C.
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二、不定积分
定义2 函数 f 在区间 I 上的全体原函数称为 f
在 I 上的不定积分, 记作
∫ f ( x)dx ,
其中称 x 为积分变量, f ( x) 为被积函数,
f ( x)dx 为积分表达式,∫ 为积分号.
α +1
4. ∫ 1xdx = ln | x | +C.
∫5. exdx = ex + C . ∫6. a xdx = a x + C .
ln a
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7. ∫ cos xdx = sin x + C.
8. ∫ sin xdx = −cos x + C.
9. ∫ sec2 xdx = tan x + C .
3
∫ dx = ln( x + 1 + x2 ) + C, 1+ x2
( ) ∫ 1 − x2dx = 1 x 1 − x2 + arcsin x + C. 2 前页 后页 返回
三、不定积分的几何意义
若F (x)是 f (x) 的一个原函数, 则称 y = F (x) 的图
像是 f (x) 的一条积分曲线.
§1 不定积分概念与 基本积分公式
不定积分是求导运算的逆运算.
一、原函数 二、不定积分 三、不定积分的几何意义 四、基本积分表
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一、原函数
微分运算的逆运算是由已知函数 f (x), 求函数F(x), 使
F ′( x) = f ( x). 例如 已知速度函数 v(t ), 求路程函数 s(t ). 即求
所有的积分曲线都是
y
y = F(x)+ C
由其中一条积分曲线 沿纵轴方向平移而得 到的.
y = F(x) i ( x0 , y0 )
O
x
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满足条件 F ( x0 ) = y0 的原函数正是在积分曲线中 通过点( x0 , y0 )的那一条积分曲线. 例如, 质点以匀速 v0 运动时, 其路程函数
F ′( x) = f ( x). 在第九章中将证明此定理.
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定理8.2 (原函数族的结构性定理) 设 F ( x) 是 f ( x) 在区间 I 上的一个原函数, 则 (i) F (x) + C 也是 f (x) 在 I 上的原函数, 其中 C 为任意常数. (ii) f (x) 在 I 上的任意两个原函数之间, 只可能相差 一个常数.
∫ s (t ) = v0 dt = v0 t + C .
若 t0 时刻质点在 s0 处, 且速度为 v0, 则有 s (t ) = v0(t − t0 ) + s0 .
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四、基本积分表
由基本求导公式可得以下基本积分公式:
1. ∫ 0dx = C.
2. ∫1dx = ∫dx =x + C. ∫3. xαdx = xα+1 + C (α ≠ −1, x > 0).
s(t), 使 s′(t) = v(t).
又如, 已知曲线在每一点处的切线斜率 k( x), 求 f ( x), 使 y = f ( x) 的图象正是该曲线, 即使得
f ′( x) = k( x).
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定义1 设函数 f 与 F 在区间 I 上都有定义,若
F ′( x) = f ( x)， x ∈ I ,