海淀区高三年级第二学期理科数学期中练习及答案

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北京市海淀区高三数学第二学期期中练习参考答案与评分标准（理科）

北京市海淀区高三数学第二学期期中练习参考答案与评分标准（理科）2001.5一、选择题：（1）C ；（2）D ；（3）A ；（4）A ；（5）C ；（6）B ；（7）C ；（8）C ；（9）B ；（10）C ；（11）D ；（12）D .二、填空题：（13）12；（14）};12|{<<-x x （15）x ∈（0，2]；（16）123122242、、中选一即可三、解答题：（17）解：（Ⅰ）设z=x + yi （x ，y ∈R ）依题意，xyi y x yi x z 2)(222+-=+= ∴⎪⎩⎪⎨⎧==+②① 22 222xy y x …………………………………………3分故0)(2=-y x∴22,2==x y x 得代入②∴x =±1，∴⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==1111y x y x 或 ∴z =1+i 或z = –1–i ………………………………………………5分45arg 4arg ππz z 或= ∴)45sin 45(cos 2)4sin 4(cos 2ππππi z i z +=+=或……………7分（Ⅱ）当z =1+i 时，i z z i z -=-=1,222∴A （1，1）、B （0，2）、C （1，–1）∴|AC |=212121=⨯⨯=∆ABC S ………………………………………………10分当z =–1–i 时，i z z i z 31,222--=-=A （–1，–1）、B （0，2）、C （–1，–3）则1=∆ABC S综上△ABC 的面积为1.…………………………………………12分（18）解：（Ⅰ）∵△ABC 是正三角形，AF 是BC 边的中线∴AF ⊥BC又D 、E 分别是AB 、AC 的中点∴BE BC 21 ∴AF ⊥DE ，AF ∩DE =G ……………………2分∴G A '⊥DE ，GF ⊥DE∴DE ⊥平面FG A '…………………………4分又DE BCED 平面⊂∴平面FG A '⊥平面BCED ……………6分（Ⅱ）∵G A '⊥DE ，GF ⊥DE∴∠GF A '是二面角A ′–DE –B 的平面角……………………7分∵平面GF A '∩平面BCED =AF作H A '⊥AG 于H∴H A '⊥平面BCED ………………………………………………9分假设E A '⊥BD ，连EH 并延长交AD 于Q∴EQ ⊥AD ……………………………………………………………10分∵AG ⊥DE∴H 是正三角形ADE 的垂心，也是中心.∵AD =DE =AE =2a ∴a AG HG a AG G A 12331,43====' 在Rt △HG A '中，31cos ='='∠G A HG GH A ∵∠GF A '=π–∠A 'GH∴31cos -='∠GF A∴)31arccos(-='∠GF A 时…………………………………………11分即当.,)31arccos(BD E A GF A ⊥'-='∠时……………………………12分（19）解：（Ⅰ）∵当n ≥2时，232,,431---n n n S a S 成等差数列 ∴1232432--+-=n n n S S a ∴)2(43≥-=n S a n n ………………………………………………2分∴,4)(3212-+=a a a ∵11=a ，∴212-a 类似地4)(33213-++=a a a a ∴413-=a 4)(343214-+++=a a a a a ∴ 814=a ……………………………4分（Ⅱ）∵当≥2时，43-=n n S a ，即43+=n n a S∴⎩⎨⎧+=+=++②①434311n n n n a S a S ②–①，得n n n a a a -=++113 ∴211-=+n n a a 为常数………………………………………………6分 ∴2a ，3a ，4a ，…，n a ，…成等比数列. 其中21,212-==q a ………………………………………………7分故1222)21()21(21,2-----=-=⋅=≥n n n n q a a n∴⎪⎩⎪⎨⎧≥==-)2( )21(--1)(n 11n a n n …………………………………………9分（Ⅲ）∵n n a a a S +++= 21=)(132n a a a ++++∴)(lim 1lim 32n n n n a a a S ++++=∞→∞→ =34311)21(1211=+=--+………………………………12分（20）解：（Ⅰ）由已知数据，易知函数y =f （t ）的周期T =12 ……………………1分振幅A =3………………………………………………………………2分b =10……………………………………………………………………3分 ∴106sin 3+=ty π……………………………………………………4分（Ⅱ）由题意，该船进出港时，水深应不小于5+6.5=11.5（米） ∴5.11106sin 3≥+tπ…………………………………………………6分 ∴216sin ≥tπ 解得，Z)(k 652662∈+≤≤+πππππk t k …………………………8分 Z)(k 512112∈+≤≤+k t k在同一天内，取k =0或1∴1≤t ≤5或13≤t ≤17………………………………………………10分∴该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港口内最多停留16个小时 …………………………………………………………………………12分（21）解：（Ⅰ）∵y =f （x ）是以5为周期的周期函数∴f （4）=f （4–5）=f （–1）……………………………………………1分又y =f （x ），（–1≤x ≤1）是奇函数∴f （1）= –f （–1）= –f （4）∴f （1）+f （4）=0…………………………………………………3分（Ⅱ）当x ∈[1，4]时，由题意，可设f （x ）=5)2(2--x a （a ≠0）……………………………………………………5分由f （1）+f （4）=0得05)24(5)21(22=--+--a a解得a =2∴5)2(2)(2--=x x f （1≤x ≤4）…………………………………………7分（Ⅲ）∵y =f （x ）（–1≤x ≤1）是奇函数∴f （0）= –f （–0） ∴f （0）=0………………………………………………8分又y =f （x ）（0≤x ≤1 ）是一次函数∴可设f （x ）=kx （0≤x ≤1）∵35)21(2)1(2-=--=f又f （1）=k ·1=k∴ k =–3∴当0≤x ≤1时 f （x ）=–3x ……………………………………………………9分当–1≤x <0时，0<–x ≤1∴f （x ）= –f （–x ）= –3x∴当–1≤x ≤1时，f （x ）=–3x ………………………………………………11分当4≤x ≤6时，–1≤x –5≤1∴f （x ）=f （x –5）=–3（x –5）=–3x +15当6<x ≤9时 1<x –5≤45]2)5[(2)5()(2---=-=x x f x f5)7(22--x∴f （x ）=⎩⎨⎧≤<--≤≤+-96 ,5)7(264 ,1532x x x x …………………………………………12分（22）解：（Ⅰ）∵5||||||22=+=OD CO CD ，且圆D 与圆C 外切（O 为原点）.∴圆D 半径r =5–2=3此时，A 、B 坐标分别为（0，0）、（0，6）P A 在x 轴上，BP 斜率k =2∴tg ∠APB =2…………………………3分（Ⅱ）设D 点坐标为（0，a ），圆D 半径为r ，则① 16)2(22a r +=+A 、B 坐标分别为（0，a –r ）、（0，a +r ）设P A 、PB 斜率分别为1k ，2k ，则3,321r a k r a k +=-=② 963313322+-=-⋅++--+=∠r a r r a r a r a r a APB tg …………………………………………………6分由①解出2a 代入②，得68923346-+=-=∠r r r APB tg ，而8r –6为单调增函数，[)+∞∈,2r .∴]512,23(∈∠APB tg ∠APB 的最大值为512arctg ；……………………………………9分（Ⅲ）假设存在Q 点，设Q （b ，0），QA 、QB 斜率分别为1k ，2k ，则br a k b r a k -+=--=21, |2||1||1|2221212r a b br br a b r a b r a b r a k k k k AQB tg -+-=--⋅-++---+=+-=∠……………………11分将16)2(22-+=r a 代入上式，得|4122|4122|22+--=+--=∠r b b r b br AQB tg 欲使∠AQB 大小与r 无关，当且仅当122=b ，即32±=b ，此时︒=∠=∠60,3AQB AQB tg∴存在Q 点，当圆D 变动时，∠AQB 为定值︒60，Q 点坐标为（0,32±）…………………………………………………………………………………………14分注：其他正确解法可按相应步骤给分。

2022-2023学年第二学期海淀区高三数学期中练习参考答案

海淀区2022—2023学年第二学期期中练习高三数学参考答案一、选择题二、填空题（11）(,2)(1,)−∞−+∞ （12）2（13）2π （答案不唯一，[,]62ϕππ∈）（14）1；(,0][2,)−∞+∞（15）①③三、解答题共6小题，共85分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（16）（本小题13分）解：（Ⅰ）由直三棱柱111−ABC A B C 可知1BC CC ⊥，又因为AC BC ⊥，且1ACCC C =,所以BC ⊥平面11CC A A .由1C D ⊂平面11CC A A ，所以1BC C D ⊥.在矩形11CC A A 中，111,2AD DA CC ===，所以1DC DC == 可得22211C C C D CD =+，所以1C D CD ⊥.又因为BCCD C =，所以1C D ⊥平面BCD .（Ⅱ）由题意可知，1,,CA CB CC 两两垂直，如图建立空间直角坐标系C xyz −，则(0,0,0)C ，(1,0,1)D ，(0,1,0)B ，1(0,0,2)C ， (1,1,1)BD =−，1(0,1,2)BC =−,(1,0,1)CD =.设平面1BC D 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则10,0,BD BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,20.x y z y z −+=⎧⎨−+=⎩令1z =，则2y =，1x =，得(1,2,1)=n .设直线CD 与平面1BC D 所成角为θ，则sin |cos ,|θ⋅=<>==CD CD CD n n n，所以直线CD 与平面1BC D 所成角的正弦值为3.（17）（本小题14分）解：（Ⅰ）由sin 23sin b Aa B 及正弦定理，得sin sin 23sin sin B AA B .由倍角公式得2sin sin cos 3sin sin B A A A B .在ABC △中，sin 0,sin 0A B，得3cos 2A .因为π(0,)2A ，所以π6A.（Ⅱ）记ABC △的面积为ABC S △.选条件②：由（Ⅰ）知π6A ，又由题知33ABC S △，可得1sin 2△ABC S bc A 得123bc.又由条件②，即334b c，解得33,4b c .由余弦定理，得2222cos 32716233427a b c bc A ，所以7.a选条件③：又由条件③，即cos C =(0,π)C ∈，可得sin C =. 所以sin sin()sin cos cos sinB AC A C A C=+=+12=+= 由（Ⅰ）知π6A ，又由题知33ABC S △，可得1sin 2△ABCS bc A . 得123bc.由正弦定理得::sin :sin :sin 7:a b cA B C ==.可设7,,a kbc ===.由bc =k =.得a =（18）（本小题14分）解：（Ⅰ）设该户网购生鲜蔬菜次数超过20次为事件C ，在A 组10户中超过20次的有3户，由样本频率估计总体概率，则3()10P C =.（Ⅱ）由样本频率估计总体概率，一单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为310，二单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为710. X 的取值范围为{}0,1,2.3721(0)(1)(1)1010100P X ==−⨯−=， 373729(1)(1)(1)1010101050P X ==⨯−+−⨯=， 3721(2)1010100P X ==⨯=. 212921()012110050100E X =⨯+⨯+⨯=.（Ⅲ）12()()D D ξξ=.19. （本小题14分）解：（Ⅰ）依题意可得：22,b =⎧⎪⎨=⎪⎩解得 1.a b ⎧⎪⎨=⎪⎩椭圆E 的方程为2215x y +=.（Ⅱ）依题意, 可设直线l 方程为(0)y kx m km =+≠，1122(,),(,)M x y N x y .联立方程221,5.x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(51)10550k x kmx m +++−=.22222(10)4(51)(55)10020200km k m k m ∆=−⋅+−=−+>，即2251k m >−.1221051km x x k +=−+，21225551m x x k −=+.在直线l 方程y kx m =+中，令0y =，得mx k=−，得(,0)m P k −.依题意得11'(,)M x y −，得直线'M N 方程为211121()y y y x x y x x −=+++. 令0x =，得122112Q x y x y y x x +=+.所以△OPQ 的面积为1221121122OPQ P Q x y x y m S x y k x x ∆+=⋅=⋅+. 122112211212()()2()x y x y x kx m x kx m kx x m x x +=+++=++222225510102515151m km k k k k k −−=⋅−=+++.即1102210OPQ m k S k km=⋅=△，解得14k =±，经检验符合题意.所以k 的值为14±.解：（Ⅰ）当1a =时，()e x f x x =−.则(0)1f =.求导得'()e 1x f x =−，得'(0)0f =.所以曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为1y =.（Ⅱ）求导得'()e 1ax f x a =−.当0a ≤时，'()0f x <恒成立，此时()f x 在R 上单调递减.当0a >时，令'()0f x =，解得ln =ax a−.()f x 与()f x '的变化情况如下：由上表可知，()f x 的减区间为ln (,)aa−∞−，增区间为ln (,)a a −+∞. 综上，当0a ≤时，()f x 的减区间为(,)−∞+∞，无增区间；当0a >时，()f x 的减区间为ln (,)aa−∞−，增区间为ln (,)a a −+∞. （Ⅲ）将()f x 在区间[1,1]−上的最大值记为max ()f x ，最小值记为min ()f x .由题意，若[1,1]x ∃∈−，使得|()|3f x ≥成立，即max ()3f x ≥或min ()3f x ≤−. 当[1,1]x ∈−时，()e 1ax f x x x =−>−≥−.所以若[1,1]x ∃∈−，使得|()|3f x ≥成立，只需max ()3f x ≥.由（Ⅱ）可知()f x 在区间[1,1]−上单调或先减后增，故max ()f x 为(1)f −与(1)f 中的较大者，所以只需当(1)3f −≥或(1)3f ≥即可满足题意. 即(1)e 13a f −−=+≥或(1)e 13a f =−≥.解得ln2a ≤−或ln 4a ≥.综上所述，a 的取值范围是(,ln 2][ln 4,)−∞−+∞.解：（Ⅰ）（ⅰ）不满足.令3i j ==，16i j a a =不是数列{}n a 中的项.（ⅱ）满足. 对于任意()i j b b i j ,≥，(21)(21)2(21)1i j b b i j ij i j =−−=−−+−.由于211ij i j −−+≥，故令21k ij i j =−−+即可.（Ⅱ）（1）对于有穷数列{}n a 记其非零项中，绝对值最大的一项为p a ，绝对值最小的一项为q a .故令i j p ==时，存在一项2||||k i j p a a a a ==.又p a 是数列{}n a 非零项中绝对值最大的，所以2||p p a a ≥，即0||1p a <≤. 再令i j q ==时，存在一项2||||k i j q a a a a ==.又q a 是数列{}n a 非零项中绝对值最小的，所以2||q q a a ≤，即||1q a ≥. 又1||||1q p a a ≤≤≤,所以数列所有非零项的绝对值均为1.又数列{}n a 的各项均不相等，所以其至多有0,1,1−共3项. 所以3m ≤.（2）构造数列{}:0,1,1n a −.其任意两项乘积均为0,1,1−之一，满足性质①. 其连续三项满足0(1)10−−−=，满足性质②.又其各项均不相等，所以该数列满足条件，此时3m =. （3）由（1）（2），m 的最大值为3.（Ⅲ）（1）首先证明：当120,1a a ><−时，数列满足2120,0,t t a a −><且2||||,1,2,3,t t a a t +<=.（*）因为对于任意数列的连续三项12,,n n n a a a ++，总有12121()()02n n n n n n a a a a a a ++++−−−−=.即21n n n a a a ++=−或2112n n n a a a ++=−. 不论是哪种情形，均有当10n n a a +>>时，21102n n n n a a a a ++≥−>>，即2||||n n a a +>.当10n n a a +<<时，21102n n n n a a a a ++≤−<<，亦有2||||n n a a +>.又1201a a >>−>，故性质（*）得证.（2）考虑123,,a a a 三项，有312a a a =−或31212a a a =−.若312a a a =−, 则1321a a a =+<，此时令1i j ==，有211a a <，由性质（*）知不存在k 使得0k a >，且211k a a a =<.故只有31212a a a =−，此时1321322a a a =+<.因为534323311155()22242a a a a a a a ≥−≥−−>=,所以令1i j ==时，21594a a <<. 由性质（*）知，只有211a a =或213a a =.当213a a =时，12132()4a a a a ==−=，此时令2,1i j ==，214a a =−但423152a a a ≤−=，即421||||a a a >，由性质（*）知不存在k 使得21k a a a =.所以211a a =，即11a =，从而22a =−.（3）经验证，数列{}n a ：1222,2,n n n n a n −⎧⎪=⎨⎪−⎩是奇数，是偶数满足条件，下面证这是唯一满足条件的数列.假设s a 是第一个不满足上述通项公式的项，4s ≥.当21,2s t t =+≥时，只能为11212122(2)32t t t t t t a a a −−+−=−=−−=⋅. 令21,3i t j =−=，则2t i j a a =.但21212t t t a a −+<<，由性质（*），不存在k 使得i j k a a a =.当2,2s t t =≥时，只能为11222221112232222t t t t t t t a a a −−−−−=−=−−=−⋅>−.则2222122122211115119()222224216t t t t t t t t t t a a a a a a a a ++−−≤−≤−−=−=−⋅<−.令22,3i t j =−=，则2t i j a a =−，但2222t t t a a +>−>，由性质（*），不存在k 使得i j k a a a =. 故不存在不满足上述通项公式的项.综上，数列{}n a 的通项公式为1222,2,n n n n a n −⎧⎪=⎨⎪−⎩是奇数,是偶数.。

北京市海淀区高三下册期中练习数学(理)试题及答案(经典版)

海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习数学试卷（理科） 2016.4本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．函数()f x =A ．［0，＋∞）B ．［1，＋∞）C ．（－∞，0］ D ．（－∞，1］ 2．某程序的框图如图所示，若输入的z ＝i （其中i 为虚数单位），则输出的S 值为 A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i3．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为A ．52 B ．3 C ．72D ．44．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为A．3 B．2 C．3 D．35．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，则“ {}n a 为常数列”是“*,n n n N S na ∀∈=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在极坐标系中，圆C 1 :2cos ρθ=与圆C 2:2sin ρθ=相交于 A ，B 两点，则｜AB ｜＝ A ．1 BCD ． 27．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数，则下列结论可能成立的是A ．,44a b ππ==-B ．2,36a b ππ== C ．,36a b ππ== D ．52,63a b ππ==8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是A ．甲只能承担第四项工作B ．乙不能承担第二项工作C ．丙可以不承担第三项工作D ．丁可以承担第三项工作二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．已知矢量(1,),(,9)a t b t ==，若a b ，则t ＝ _______． 10．在等比数列{}n a 中，a 2＝2，且131154a a +=，则13a a +的值为_______． 11．在三个数1231,2.log 22-中，最小的数是_______．12．已知双曲线C ：22221x y a b -=的一条渐近线l 的倾斜角为3π，且C 的一个焦点到l 的距离，则C 的方程为_______．13．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3 中的一个．（ⅰ）当每条边上的三个数字之和为4 时，不同的填法有_______种；（ⅱ）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_______种．14．已知函数()f x ，对于实数t ，若存在a ＞0，b ＞0 ，满足：[,]x t a t b ∀∈-+，使得|()()|f x f t -≤2，则记a ＋b 的最大值为H （t ）．（ⅰ）当 ()f x ＝2x 时，H （0）＝ _______．（ⅱ）当()f x 2x =且t [1,2]∈时，函数H （t ）的值域为_______．三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13 分）如图，在△ABC 中，点D 在边 AB 上，且13AD DB =．记∠ACD ＝α ，∠BCD ＝β．（Ⅰ）求证：sin 3sin AC BC βα=；（Ⅱ）若,,62AB ππαβ===BC 的长．16．（本小题满分13 分）2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推广．2015 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了100 株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4 株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：（Ⅰ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；（Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为21s ，22s ，根据样本数据，试估计21s 与22s 的大小关系（只需写出结论）；（Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株，记这2 株的产量总和为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．17．（本小题满分14 分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点M ，N 分别为线段PB ，PC 上的点，MN ⊥PB ．（Ⅰ）求证： BC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M ，N ，D ， A 四个点在同一个平面内；（Ⅲ）当PA ＝AB ＝2，二面角C －AN －D 的大小为3π时，求PN 的长．18．（本小题满分13 分）已知函数f (x ) ＝ln x ＋1x－1，1()ln x g x x -=（Ⅰ）求函数 f (x )的最小值；（Ⅱ）求函数g (x )的单调区间；（Ⅲ）求证：直线 y ＝x 不是曲线 y ＝g (x )的切线。

2019-2020学年海淀高三年级第二学期数学期中练习试题-附详细答案(理)

海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科） 2019.4选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1、已知集合{}30<<∈=x x A R ，{}42≥∈=x x B R ，则=B AA. {}32<<x xB. {}32<≤x xC. {}322<≤-≤x x x 或D. R2．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是它的前n 项和.若21=a ，123=S ，则=4S A ．10 B ．16 C ．20 D ．243. 在极坐标系下，已知圆C 的方程为2cos ρθ=，则下列各点在圆C 上的是 A ．1,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ． 1,6π⎛⎫⎪⎝⎭C．34π⎫⎪⎭D ．54π⎫⎪⎭4．执行如图所示的程序框图，若输出x 的值为23，则输入的x 值为A ．0 B．1 C ．2 D ．11 5．已知平面l =αβ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误．．的是 A ．若β//m ，则l m // B ．若l m //，则β//m C ．若β⊥m ，则l m ⊥ D ．若l m ⊥，则β⊥m 6. 已知非零向量,,a b c 满足++=a b c ０，向量,a b 的夹角为120，且||2||=b a ，则向量a 与c 的夹角为A ．︒60B ．︒90C ．︒120D ． ︒1507.如果存在正整数ω和实数ϕ使得函数)(cos )(2ϕω+=x x f （ω，ϕ为常数）的图象如图所示（图象经过点（1,0）），那么ω的值为A ．1B ．2C ． 3 D. 48．已知抛物线M ：24y x =，圆N ：222)1(r y x =+-（其中r 为常数，0>r ）.过点（1，0）的直线l 交圆N 于C 、D 两点，交抛物线M 于A 、B 两点，且满足BD AC =的直线l 只有三条的必要条件是A ．(0,1]r ∈B ．(1,2]r ∈C ．3(,4)2r ∈D ．3[,)2r ∈+∞非选择题（共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9．复数3i1i-+= . 10.为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s ，2s ，3s ，则它们的大小关系为 . （用“>”连接）11．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，BE 切⊙O 于点B ，D 是CE 与⊙O 的交点.若︒=∠70BAC ，则=∠CBE ______；若2=BE ，4=CE ，则=CD .12.已知平面区域}11,11|),{(≤≤-≤≤-=y x y x D ，在区域D 内任取一点，则取到的点位于直线y kx =（k R ∈）下方的概率为____________ .13.若直线l 被圆22:2C x y +=所截的弦长不小于2，则在下列曲线中：乙丙0.0002甲①22-=x y ② 22(1)1x y -+= ③ 2212x y += ④ 221x y -=与直线l 一定有公共点的曲线的序号是 . （写出你认为正确的所有序号）14．如图，线段AB =8，点C 在线段AB 上，且AC =2，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设CP =x ， △CPD 的面积为()f x .则()f x 的定义域为； '()f x 的零点是 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，已知1tan 2B =，1tan 3C =，且1c =. (Ⅰ)求tan A ；(Ⅱ)求ABC ∆的面积.16. （本小题共14分）在如图的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE EB ⊥,//AD EF ，//EF BC ，24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==，G 是BC 的中点．(Ⅰ) 求证：//AB 平面DEG ； (Ⅱ) 求证：BD EG ⊥；(Ⅲ) 求二面角C DF E --的余弦值.17. （本小题共13分）某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为23.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品. (Ⅰ) 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；ACP BD A DFEB G C(Ⅱ)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列； (Ⅲ) 随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.18. （本小题共13分）已知函数()ln f x x a x =-，1(), (R).ag x a x+=-∈ （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；(Ⅲ)若在[]1,e （e 2.718...=）上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，求a 的取值范围.19. （本小题共14分）已知椭圆2222:1x y C a b += (0)a b >>经过点3(1,),2M 其离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线1:(||)2l y kx m k =+≤与椭圆C 相交于A 、B 两点，以线段,OA OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点.求OP 的取值范围.20. （本小题共13分）已知每项均是正整数的数列A ：123,,,,n a a a a ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i =⋅⋅⋅，设j j k k k b +++= 21 (1,2,3)j =，12()m g m b b b nm =+++-(1,2,3)m =⋅⋅⋅.（Ⅰ）设数列:1,2,1,4A ，求(1),(2),(3),(4),(5)g g g g g ；（Ⅱ）若数列A 满足12100n a a a n +++-=，求函数)(m g 的最小值.海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理）答案及评分参考 2019．4选择题（共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9.12i - 10. s 1>s 2>s 3 11. 70； 3 12.1213. ① ③ 14. (2,4); 3 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.（共13分）解：（I ）因为1tan 2B =，1tan 3C =,tan tan tan()1tan tan B CB C B C ++=-, …………………1分代入得到，1123tan()111123B C ++==-⨯ . …………………3分因为180A B C =-- , …………………4分所以tan tan(180())tan()1A B C B C =-+=-+=-. …………………5分（II ）因为0180A <<，由（I ）结论可得：135A = . …………………7分因为11tan tan 023B C =>=>，所以090C B <<< . …………8分所以sin B=sin C =. …………9分由sin sin a cA C=得a =， …………………11分所以ABC ∆的面积为：11sin 22ac B =. ………………13分16. （共14分）解：(Ⅰ)证明：∵//,//AD EF EF BC ，∴//AD BC .又∵2BC AD =,G 是BC 的中点， ∴//AD BG ，∴四边形ADGB 是平行四边形，∴ //AB DG . ……………2分 ∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ，∴//AB 平面DEG . …………………4分 (Ⅱ) 解法1证明：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ， ∴EF AE ⊥，又,AE EB EBEF E ⊥=，,EB EF ⊂平面BCFE ，∴AE ⊥平面BCFE . ………………………5分过D 作//DH AE 交EF 于H ，则DH ⊥平面BCFE .∵EG ⊂平面BCFE ， ∴DH EG ⊥. ………………………6分 ∵//,//AD EF DH AE ，∴四边形AEHD 平行四边形， ∴2EH AD ==，∴2EH BG ==，又//,EH BG EH BE ⊥， ∴四边形BGHE 为正方形，∴BH EG ⊥， ………………………7分H ADFEBGC又,BH DH H BH =⊂平面BHD ，DH ⊂平面BHD ,∴EG ⊥平面BHD . ………………………8分 ∵BD ⊂平面BHD ,∴BD EG ⊥. ………………………9分解法2∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ，∴EF AE ⊥，EF BE ⊥，又AE EB ⊥,∴,,EB EF EA 两两垂直. ……………………5分以点E 为坐标原点，,,EB EF EA 分别为,,x y z 轴建立如图的空间直角坐标系.由已知得，A （0，0，2），B （2，0，0）， C （2，4，0），F （0，3，0），D （0，2，2）， G （2，2，0）. …………………………6分∴(2,2,0)EG =，(2,2,2)BD =-，………7分 ∴22220BD EG ⋅=-⨯+⨯=, ………8分 ∴BD EG ⊥. …………………………9分(Ⅲ)由已知得(2,0,0)EB =是平面EFDA 的法向量. …………………………10分设平面DCF 的法向量为(,,)x y z =n ，∵(0,1,2),(2,1,0)FD FC =-=，∴00FD n FC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y z x y -+=⎧⎨+=⎩，令1z =,得(1,2,1)=-n . …………………………12分设二面角C DF E --的大小为θ，则cos cos ,6EB =<>==-θn ， …………………………13分 ∴二面角C DF E --的余弦值为 …………………………14分 17. （共13分）解：(Ⅰ)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A …………………………1分事件A 等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ……………2分151332104106)(=⨯+=A p …………………………4分 (Ⅱ) 由题可知X 可能取值为0,1,2,3.30463101(0)30C C P X C ===,21463103(1)10C C P X C ===, 12463101(2)2C C P X C ===,03463101(3)6C C P X C ===. ………………8分……………9分(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B ……………10分事件B 等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测” 所以，3111()()303810P B =⋅=. ……………13分18. （共13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞， ………………………1分当1a =时，()ln f x x x =-，11()1x f x x x-'=-=， ………………………2分………………………3分所以()f x 在1x =处取得极小值1. ………………………4分（Ⅱ）1()ln ah x x a x x+=+-， 22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=--==………………………6分 ①当10a +>时，即1a >-时，在(0,1)a +上()0h x '<，在(1,)a ++∞上()0h x '>，所以()h x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增； ………………………7分 ②当10a +≤，即1a ≤-时，在(0,)+∞上()0h x '>，所以，函数()h x 在(0,)+∞上单调递增. ………………………8分（III ）在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，即在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()0h x <，即函数1()ln ah x x a x x+=+-在[]1,e 上的最小值小于零. ………………………9分由（Ⅱ）可知①即1e a +≥，即e 1a ≥-时， ()h x 在[]1,e 上单调递减，所以()h x 的最小值为(e)h ，由1(e)e 0eah a +=+-<可得2e 1e 1a +>-，因为2e 1e 1e 1+>--，所以2e 1e 1a +>-； ………………………10分 ②当11a +≤，即0a ≤时， ()h x 在[]1,e 上单调递增，所以()h x 最小值为(1)h ，由(1)110h a =++<可得2a <-； ………………………11分 ③当11e a <+<，即0e 1a <<-时，可得()h x 最小值为(1)h a +，因为0ln(1)1a <+<，所以，0ln(1)a a a <+< 故(1)2ln(1)2h a a a a +=+-+>此时，(1)0h a +<不成立. ………………………12分综上讨论可得所求a 的范围是：2e 1e 1a +>-或2a <-. ………………………13分19. （共14分）解：（Ⅰ）由已知可得222214a b e a -==，所以2234a b = ① ……………1分又点3(1,)2M 在椭圆C 上，所以221914a b+= ② ……………2分由①②解之，得224,3a b ==.故椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分 (Ⅱ) 当0k =时，(0,2)P m 在椭圆C上，解得2m =±，所以||OP = ……6分当0k ≠时，则由22,1.43y kx m x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 化简整理得：222(34)84120k x kmx m +++-=，222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ∆=-+-=+-> ③ ……………8分设,,A B P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则012012122286,()23434km mx x x y y y k x x m k k =+=-=+=++=++. ……………9分由于点P 在椭圆C 上，所以 2200143x y +=. ……………10分从而222222216121(34)(34)k m m k k +=++，化简得22434m k =+，经检验满足③式. ………11分又||OP ===== ………………………12分因为102k <≤，得23434k <+≤，有2331443k ≤<+，2OP <≤. ………………………13分综上，所求OP的取值范围是. ………………………14分 (Ⅱ)另解：设,,A B P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，由,A B 在椭圆上，可得2211222234123412x y x y ⎧+=⎨+=⎩①② ………………………6分 ①—②整理得121212123()()4()()0x x x x y y y y -++-+=③ ………………………7分由已知可得OP OA OB =+，所以120120x x x y y y +=⎧⎨+=⎩④⑤……………………8分由已知当1212y y k x x -=- ,即1212()y y k x x -=- ⑥ ………………………9分把④⑤⑥代入③整理得0034x ky =- ………………………10分与22003412x y +=联立消0x 整理得202943y k =+ ……………………11分由22003412x y +=得2200443x y =-，所以222222000002413||4443343OP x y y y y k =+=-+=-=-+ ……………………12分因为12k≤，得23434k≤+≤，有2331443k≤≤+，2OP≤≤. ………………………13分所求OP的取值范围是. ………………………14分20. （共13分）解：（1）根据题设中有关字母的定义，12342,1,0,1,0(5,6,7)jk k k k k j======12342,213,2103,4,4(5,6,7,)mb b b b b m==+==++====112123123412345(1)412(2)423,(3)434,(4)444,(5)45 4.g bg b bg b b bg b b b bg b b b b b=-⨯=-=+-⨯=-=++-⨯=-=+++-⨯=-=++++-⨯=-（2）一方面，1(1)()mg m g m b n++-=-，根据“数列A含有n项”及jb的含义知1mb n+≤，故0)()1(≤-+mgmg，即)1()(+≥mgmg①…………………7分另一方面，设整数{}12max,,,nM a a a=，则当m M≥时必有mb n=，所以(1)(2)(1)()(1)g g g M g M g M≥≥≥-==+=所以()g m的最小值为(1)g M-. …………………9分下面计算(1)g M-的值：1231(1)(1)Mg M b b b b n M--=++++--1231()()()()Mb n b n b n b n-=-+-+-++-233445()()()()M M M M k k k k k k k k k k =----+----+----++-23[2(1)]Mk k M k=-+++-12312(23)()M Mk k k Mk k k k=-++++++++123()n Ma a a a b=-+++++123()na a a a n=-+++++…………………12分∵123100na a a a n++++-=，∴(1)100,g M-=-∴()g m最小值为100-. …………………13分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。

北京市海淀区高三数学下学期期中练习试题理(扫描版)

海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（理科） 2016.4DABC阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ADCACBCB二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．解：（Ⅰ）在ACD ∆中，由正弦定理,有sin sin AC ADADC α=∠ …………………2分在BCD ∆中，由正弦定理,有sin sin BC BDBDC β=∠ …………………4分因为πADC BDC ∠+∠=,所以sin sin ADC BDC ∠=∠ …………………6分因为13AD DB =, 所以sin 3sin AC BC βα=…………………7分（Ⅱ）因为π6α=，π2β=, 由（Ⅰ）得πsin32π23sin 6AC BC == …………………9分设2,3,0AC k BC k k ==>,由余弦定理,2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅⋅∠ …………………11分代入,得到222π1949223cos3k k k k =+-⋅⋅⋅, 解得1k =,所以3BC =. …………………13分9． 3± 10． 511.1212．2213y x -=13．4,6 14． 2,[62,2)[23,4]- U16解: (I)由山下试验田4株青蒿样本青蒿素产量数据，得样本平均数 3.6 4.4 4.4 3.644x +++== …………………2分则山下试验田100株青蒿的青蒿素产量S 估算为100400S x ==g …………………3分（Ⅱ）比较山上、山下单株青蒿素青蒿素产量方差21s 和22s ，结果为21s >22s .…………………6分（Ⅲ）依题意，随机变量ξ可以取7.27.488.28.69.4，，，，，， …………………7分1(7.2)4P ξ==, 1(7.4)8P ξ== 1(8)4P ξ==, 1(8.2)8P ξ== 1(8.6)8P ξ==, 1(9.4)8P ξ== …………………9分随机变量ξ的分布列为…………………11分随机变量ξ的期望111111()7.27.4+8+8.2+8.6+9.4=8484888E ξ=⨯+⨯⨯⨯⨯⨯. …………………13分 17解:（Ⅰ）证明：在正方形ABCD 中，AB BC ⊥, …………………1分因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥. …………………2分因为AB PA A =I ，且AB ，PA ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB …………………4分（Ⅱ）证明：因为BC ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ,所以BC PB ⊥ …………………5分ξ 7.2 7.4 88.2 8.6 9.4p14 18 14 18 18 18在PBC ∆中，BC PB ⊥，MN PB ⊥，所以MN BC P . …………………6分在正方形ABCD 中，AD BC P , 所以MN AD P ， …………………7分所以 MN AD ，,可以确定一个平面，记为α所以,,,M N D A 四个点在同一个平面α内 …………………8分（Ⅲ）因为PA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ，所以PA AB ⊥,PA AD ⊥. 又AB AD ⊥,如图，以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz -, …………………9分所以(2,2,0),(0,2,0),(2,0,0),(0,0,2)C D B P .设平面DAN 的一个法向量为(,,)n x y z =r，平面CAN 的一个法向量为(,,)m a b c =u r,设PN PC λ=u u u r u u u r, [0,1]λ∈，因为(2,2,2)PC =-u u u r ，所以(2,2,22)AN λλλ=-u u u r，又(0,2,0)AD =u u u r ，所以0AN n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r ，即22(22)020x y z y λλλ++-=⎧⎨=⎩，…………………10分取1z =, 得到1(,0,1)n λλ-=r , …………………11分因为(0,0,2)AP =u u u r ，(2,2,0)AC =u u u r所以00AP m AC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u r u u u r u r ，即20220c a b =⎧⎨+=⎩，取1a =得, 到(1,1,0)m =-u r, (12)分因为二面C AN D --大小为3π, 所以π1|cos ,|cos 32m n <>==u r r ,z xNM DCB AP所以211|cos ,|2||||12()1m nm n m n λλλλ-⋅<>===-+u r ru r r u r u u r 解得12λ=, 所以3PN = …………………14分 18解: （Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， …………………1分22111'()x f x x x x -=-=…………………2分当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：x(0,1)1 (1,)+∞'()f x -+()f x]极小值Z…………………4分函数()f x 在(,)+∞0上的极小值为1()ln1101f a =+-=，所以()f x 的最小值为0 …………………5分（Ⅱ）解：函数()g x 的定义域为(0,1)(1,)+∞U ， …………………6分22211ln (1)ln 1()'()ln ln ln x x x f x x x g x x x x--+-=== …………………7分由（Ⅰ）得，()0f x ≥，所以'()0g x ≥…………………8分所以()g x 的单调增区间是(0,1),(1,)+∞，无单调减区间. …………………9分（Ⅲ）证明：假设直线y x =是曲线()g x 的切线. ………………10分设切点为00(,)x y ，则0'()1g x =，即00201ln 11ln x x x +-= …………………11分又000001,ln x y y x x -==，则0001ln x x x -=. …………………12分所以000011ln 1x x x x -==-, 得0'()0g x =，与 0'()1g x =矛盾所以假设不成立，直线y x =不是曲线()g x 的切线 …………………13分19解：（Ⅰ）由题意可得，1b =， …………………1分2c e a ==， …………………2分得22134a a -=， …………………3分解24a =， …………………4分椭圆C 的标准方程为2214x y +=. …………………5分（Ⅱ）设000(,)(02)P x y x <≤，(0,1)A ，(0,1)B -，所以001PA y k x +=，直线PA 的方程为0011y y x x +=-， …………………6分同理：直线PB 的方程为0011y y x x -=+，直线PA 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y M x -+， …………………7分直线PB 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y N x +-，线段MN 的中点04(4,)y x ， …………………8分所以圆的方程为22200044(4)()(1)y x y x x -+-=-， …………………9分令0y =，则222002016(4)(1)4y xx x -+=-， …………………10分因为220014x y +=，所以 2020114y x -=-， …………………11分所以28(4)50x x -+-=，因为这个圆与x 轴相交,该方程有两个不同的实数解，所以 0850x ->，解得08(,2]5x ∈. …………………12分设交点坐标12(,0),(,0)x x，则12||x x -=0825x <≤）所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为 2. …………………14分方法二：（Ⅱ）设000(,)(02)P x y x <≤，(0,1)A ，(0,1)B -，所以001PA y k x +=，直线PA 的方程为0011y y x x +=-， …………………6分同理：直线PB 的方程为0011y y x x -=+，直线PA 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y M x -+， …………………7分直线PB 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y N x +-，若以MN 为直径的圆与x 轴相交，则004(1)[1]y x -+⨯004(1)[1]0y x +-<， …………………9分即2000200016(1)4(1)4(1)10,y y y x x x --+-+-< 即2020016(1)810.y x x -+-< …………………10分因为 220014x y +=，所以 2020114y x -=-, …………………11分代入得到 0850x ->，解得08(,2]5x ∈. …………………12分该圆的直径为000004(1)4(1)8|+1(1)|=|2|y y x x x -+---，圆心到x 轴的距离为0000004(1)4(1)41|+1+(1)|=||2y y y x x x -+-，该圆在x 轴上截得的弦长为22000044882(1)()25,(2)5y x x x x --=-<≤；所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为 2. …………………14分方法三：（Ⅱ）设000(,)(02)P x y x <≤，(0,1)A ，(0,1)B -，所以001PA y k x +=，直线PA 的方程为0011y y x x +=-， …………………6分同理：直线PB 的方程为0011y y x x -=+，直线PA 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y M x -+， …………………7分直线PB 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y N x +-，所以000004(1)4(1)8||=|+1(1)|=|2|y y MN x x x -+---， …………………8分圆心到x 轴的距离为0000004(1)4(1)41|+1+(1)|=||2y y y x x x -+-， …………………9分若该圆与x 轴相交，则 04|1|x ->004||y x ， …………………10分即2200044(1)()0y x x -->，因为 220014x y +=，所以2020114y x -=-, …………………11分所以0850x ->，解得08(,2]5x ∈ …………………12分该圆在x 轴上截得的弦长为22000044882(1)()2525=22y x x x --=-≤-；所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2. …………………14分方法四：记(20)D ，, (40)H ，，设00(,) (4,) (4,)P x y M m N n 由已知可得(0,1) (0,1)A B -，所以AP的直线方程为0011y y x x -=+， ……………………….6分 BP 的直线方程为0011y y x x +=-，令4x =，分别可得004(1)1y m x -=+， 004(1)1y n x +=- ， ……………………….8分所以004(1)(4,1),y M x -+004(1)(41)y N x +-，若以MN 为直径的圆与x 轴相交于,E F ，因为EH MN ⊥，所以2EH HN HM =⋅， ……………………….9分200004(1)4(1)(1)(1)y y EH HN HM x x -+=⋅=-+⋅-22000216168()y x x x -+-=- ……………………….10分因为220014x y +=，所以2020114y x -=-, ……………………….11分代入得到2EH =20020850x x x -=> 所以08(,2]5x ∈， ……………………….12分所以22EF EH ==≤=所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2. …………………14分方法五：设直线 OP 与4x =交于点T 因为//MN y 轴，所以有,,AP AO OP BP BO OP PN TN PT PM TM PT==== 所以AO BOTN TM=，所以TN TM =，所以T 是MN 的中点. ……………………….6分又设000(,)(02)P x y x <≤, 所以直线OP方程为y y x x =, ……………………….7分令4x =,得004y y x =, 所以004(4)yT x ， ……………………….8分而41r TN x ==- ……………………….9分若以MN 为直径的圆与x 轴相交于,E F 则00044||1y d r x x =<=- ……………………….10分所以220016(4)y x <-因为220014x y +=，所以2020114y x -=-,代入得到 ……………………….11分所以200580x x ->，所以085x >或00x < 因为点002x <≤，所以0825x <≤ ……………………….12分而22220004422(1)()y EF r d x x =-=-- 088252522x =-≤-= 所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为 2. …………………14分 20解：（I ）依照题意，可以取{}5,7A =，{}4,8B =，{}1,2,3,6C = …………………3分（II ）假设存在n 是3的倍数且n U 是可分集合. 设3n k =，则依照题意{3,6,,3}k C ⋅⋅⋅⊆，故C S ≥2333632k kk +++⋅⋅⋅+=，而这n 个数的和为(1)2n n +，故21(1)3322C n n k k S ++=⋅=2332k k+<, 矛盾，所以n 是3的倍数时，n U 一定不是可分集合 …………………7分 (Ⅲ)n =35. …………………8分因为所有元素和为(1)2n n +，又B S 中元素是偶数，所以(1)32B n n S +==6m (m 为正整数) 所以(1)12n n m +=，因为,1n n +为连续整数，故这两个数一个为奇数，另一个为偶数由（Ⅱ）知道，n 不是3的倍数，所以一定有1n +是3的倍数. 当n 为奇数时，1n +为偶数，而(1)12n n m +=，所以一定有1n +既是3的倍数，又是4的倍数，所以112n k +=,所以*121,n k k =-∈N . …………………10分定义集合{1,5,7,11,...}D =，即集合D 由集合n U 中所有不是3的倍数的奇数组成，定义集合{2,4,8,10,...}E =，即集合E 由集合n U 中所有不是3的倍数的偶数组成，根据集合,,A B C 的性质知道，集合,A D B E ⊆⊆，此时集合,D E 中的元素之和都是224k ，而21(1)24232A B C n n S S S k k +====-，此时n U 中所有3的倍数的和为2(3123)(41)2462k k k k +--=-，2224(242)2k k k k --=,22(242)(246)4k k k k k ---=显然必须从集合,D E 中各取出一些元素，这些元素的和都是2k ，所以从集合{1,5,7,11,...}D =中必须取偶数个元素放到集合C 中，所以26k ≥, 所以3k ≥，此时35n ≥而令集合{7,11,13,17,19,23,25,29,31,35}A =，集合{8,10,14,16,20,22,26,28,32,34}B =，集合{3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,1,5,2,4}C =，检验可知，此时35U 是可分集合, 所以n 的最小值为35. …………………13分。

北京海淀区下学期高三数学(理科)月考考试试卷参考答案

海淀区高三年级第二学期期中练习数学(理科) 参考答案及评分标准2012.04二、填空题：本大题6小题，每小题5分，共30分． 9．210．4x －3y －20＝0 11．－54 12．(10，20) 13．60°13133 14．1 ①③三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)解：(Ⅰ)因为A ，B ，C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C ．因为A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝3π． ………2分因为b ＝13，a ＝3， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，所以c 2－3c －4＝0． ………5分所以c ＝4或c ＝－1(舍去)． ………6分 (Ⅱ)因为A ＋C ＝32π，所以t ＝sin A sin (32π－A )＝sin A (23·cos A ＋21 sin A )＝43sin2A ＋)22cos 1(21A - ＝2141+sin (2A －6π)． ………10分因为0＜A ＜32π，所以－6π＜2A －6π＜67π．所以当2A －6π＝2π，即A ＝3π时，t 有最大值43．………13分16．(本小题满分14分)(Ⅰ)证明：因为AB ∥CD ，CD ⊄ 平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD ∥平面PAB ． ………2分因为CD ⊂平面PCD ，平面PAB ∩平面PCD ＝m ，所以CD ∥m ． ……4分(Ⅱ)证明：因为AP ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，所以以A为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则B (4，0，0)，P (0，0，4)，D (0，22，0)， C (2，22，0)．……5分所以BD ＝(－4，22，0)，AC ＝(2，22，0)，AP ＝(0，0，4)，所以AC BD ⋅＝(－4)×2＋22×22＋0×0＝0，0400220)4(=⨯+⨯+⨯-=⋅AP BD ．所以BD ⊥AC ，BD ⊥AP ．因为AP ∩AC ＝A ，AC ⊂平面PAC ， PA ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ．……9分 (Ⅲ)解：设PBPQ＝λ(其中0≤λ≤1)，Q (x ，y ，z )，直线QC 与平面PAC 所成角为θ．所以PB PQ λ=．所以(x ，y ，z －4)＝λ(4，0，－4)．所以⎪⎩⎪⎨⎧+-===,440,λ,4λz y x 即Q (4λ，0，－4λ＋4)．所以CQ ＝(4λ－2，－22，－4λ＋4)． ………11分由(Ⅱ)知平面PAC 的一个法向量为BD ＝(－4，22，0)．………12分因为|,cos |sin BD CQ =><=θ所以3322)44(8)24(628)24(4+-++-⋅---=λλλ．解得λ＝127∈[0，1]．所以127=PB PQ ． ……14分 17．(本小题满分13分)解：(Ⅰ)由直方图可得：20×x ＋0.025×20＋0.0065×20＋0.003×2×20＝1．所以x ＝0.0125． ………2分(Ⅱ)新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.003×2×20＝0.12， ………4分因为600×0.12＝72，所以600名新生中有72名学生可以申请住宿．………6分 (Ⅲ)X 的可能取值为0，1，2，3，4． ………7分由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为41， 2568143)0(4=⎪⎭⎫ ⎝⎛==X P ，64274341)1(314=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ， 22241327(2)44128P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，334133(3)4464P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，256141)4(4=⎪⎭⎫⎝⎛==X P ．所以X 的分布列为：分EX ＝0×25681125614643312827264271=⨯+⨯+⨯+⨯+．(或EX ＝4×41＝1) 所以X 的数学期望为1． ………13分18．(本小题满分13分)解：(Ⅰ)f (x )的定义域为R ．f '(x )＝－ke－kx(x 2＋x －k1)＋e －kx (2x ＋1)＝e －kx [－kx 2＋(2－k )x ＋2]，即f '(x )＝－e－kx(kx －2)(x ＋1)(k ＜0)． ………2分令f '(x )＝0，解得：x ＝－1或x ＝k2．当k ＝－2时，f '(x )＝2e 2x (x ＋1)2≥0，故f (x )的单调递增区间是(－∞，＋∞)．……3分当－2＜k ＜0时，所以，函数f (x )的单调递增区间是(－∞，k)和(－1，＋∞)，单调递减区间是(k2，－1)．………5分当k ＜－2时，所以，函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)和(k，＋∞)，单调递减区间是(－1，k2)．………7分 (Ⅱ)当k ＝－1时，f (x )的极大值等于3e －2．理由如下：当k ＝－2时，f (x )无极大值．当－2＜k ＜0时，f (x )的极大值为f (k 2)＝e －2(kk 142+)，………8分令e －2(k k 142+)＝3e －2，即kk 142+＝3，解得k ＝－1或k ＝34(舍)．………9分当k ＜－2时，f (x )的极大值为f (－1)＝－ke k．………10分因为e k ＜e －2，0＜－k 1＜21，所以－ke k＜21e －2．因为21e －2＜3e －2，所以f (x )的极大值不可能等于3e －2． ………12分综上所述，当k ＝－1时，f (x )的极大值等于3e －2．………13分19．(本小题满分13分)(Ⅰ)解：设椭圆G 的标准方程为2222by a x +＝1(a ＞b ＞0)．因为F 1(－1，0)，∠PF 1O ＝45°，所以b ＝c ＝1．所以a 2＝b 2＋c 2＝2． ………2分所以椭圆G 的标准方程为22x ＋y 2＝1． ………3分(Ⅱ)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．(ⅰ)证明：由122,1.2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：(1＋2k 2)x 2＋4km 1x ＋221m －2＝0．则Δ＝8(2k 2－21m ＋1)＞0，1122211224,122212km x x km x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩.………5分所以|AB |＝221221)()(y y x x -+-2122124)(1x x x x k -++== 221222112122k m k k++-+⋅=．同理|CD |＝．………7分因为|AB |＝|CD |，所以= 因为m 1≠m 2，所以m 1＋m 2＝0．………9分(ⅱ)解：由题意得四边形ABCD 是平行四边形，设两平行线AB ，CD 间的距离为d ，则d ＝2211||km m +-．因为m 1＋m 2＝0，所以d ＝211|2|km +． ………10分所以S ＝|AB |·d＝211|2|km +＝2221121k m m -++≤=(或S＝=m时，所以当2k2＋1＝221四边形ABCD的面积S取得最大值为22．……13分20．(本小题满分14分)解：(Ⅰ)f A(1)＝1，f B(1)＝－1，AΔB＝{1，6，10，16}．………3分(Ⅱ)根据题意可知：对于集合C，X，①若a∈C且a∉X，则Card(CΔ(X∪{a})＝Card(CΔX)－1；②若a∉C且a∉X，则Card(CΔ(X∪{a})＝Card(CΔX)＋1．所以要使Card(XΔA)＋Card(XΔB)的值最小，2，4，8一定属于集合X；1，6，10，16是否属于X不影响Card(XΔA)＋Card(XΔB)的值；集合X不能含有A∪B之外的元素．所以当X为集合{1，6，10，16}的子集与集合{2，4，8}的并集时，Card(XΔA)＋Card(XΔB)取到最小值4．………8分(Ⅲ)因为AΔB＝{x|f A(x)·f B(x)＝－1}，所以AΔB＝BΔA．由定义可知：f AΔB(x)＝f A(x)·f B(x)．所以对任意元素x，f(AΔB)ΔC(x)＝f AΔB(x)·f C(x)＝f A(x)·f B(x)·f C(x)，f AΔ(BΔC)(x)＝f A(x)·f BΔC(x)＝f A(x)·f B(x)·f C(x)．所以f(AΔB)ΔC(x)＝f AΔ(BΔC)(x)．所以(AΔB)ΔC＝AΔ(BΔC)．由(PΔA)Δ(QΔB)＝AΔB知：(PΔQ)Δ(AΔB)＝AΔB．所以(PΔQ)Δ(AΔB)Δ(AΔB)＝(AΔB)Δ(AΔB)．所以PΔQΔ∅＝∅．所以PΔQ＝∅，即P＝Q．因为P：Q⊆A∪B，所以满足题意的集合对(P，Q)的个数为27＝128．………14分。

北京市海淀区高三年级第二学期期中练习数学理科

北京市海淀区高三年级第二学期期中练习数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.不能答在试卷上.一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．若ααα则角且,0cos ,02sin <>是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 2．函数12)(+=x x f 的反函数的图象大致是（）3．若向量a 、b 满足b a a b a 与则向量),2,1(),1,2(=-=+的夹角等于（） A ．45° B ．60° C ．120° D ．135°4．已知l 是直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中的真命题是（）A ．若βαβα//,//,//则l lB ．若βαβα⊥⊥l l 则,//,C ．若βαβα⊥⊥则,//,l lD ．若ββαα//,//,//l l 则5．已知实数a ，b ，c 成公差不为零的等差数列，那么下列不等式不成立．．．的是（） A ．2|1|≥-+-bc a b B ．444333c b a a c c b b a ++≥++C ．ac b ≥2D ．||||||||b c a b -≤-6．“4=ab ”是“直线022012=-+=-+y bx ay x 与直线”的（）A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．已知实数)0,0(1,2222>>=-b a by a x y x 满足，则下列不等式中恒成立的是（）A ．x a b y <|| B ．||2x a b y -> C ．x a b y ->|| D ．||2x aby < 8．对于数列}{n a ，若存在常数M ，使得对任意1*,+∈n n a a n 与N 中至少有一个不小于M ，则记：,}{M a n 那么下列命题正确的是（） A ．若}{,}{n n a M a 则数列的各项均大于或等于M B ．若M b a M b M a n n n n 2}{,}{,}{ +则C ．若22}{,}{M a M a n n 则D ．若12}12{,}{++M a M a n n 则第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．在复平面内，复数)(1R ∈+a iai对应的点位于虚轴上，则a = . 10．在)()11(*N ∈+n xn 的展开式中，所有项的系数之和为64，则其展开式中x 1的系数是.（用数字作答）11．已知A 、B 、C 三点在球心为O 的球面上，AB=AC=2，∠BAC=90°，球心O 到平面ABC 的距离为2，则异面直线OA 与BC 所成角的大小是，球O 的表面积为 . 12．已知n S n na S n a S n n n n n 关于则若项和的前是数列),,3,2,1(1,}{ =-=的表达式为n S = .13．已知圆x y C P y x A 4:,2)3(:222==+-是抛物线点上的动点，过点P 作圆A 的两条切线，则两切线夹角的最大值为 .14．已知函数.)22)(1(sin )(22+-+=x x x xx f π 那么方程0)(=x f 在区间[—100，100]上的根的个数是；对于下列命题：①函数)(x f 是周期函数；②函数)(x f 既有最大值又有最小值；③函数)(x f 的定义域是R ，且其图象有对称轴；④对于任意),0,1(-∈x 函数)(x f 的导函数.0)(<'x f 其中真命题的序号是 .（填写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题共13分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知.60,7,2 ===B b a（I ）求c 的值及△ABC 的面积S ；（II ）求.)2sin(的值C A + 16．（本小题共13分）已知函数.ln 2)(x x x f -= （I ）写出函数)(x f 的定义域，并求其单调区间；（II ）已知曲线.,2))(,()(00的值求处的切线是在点k kx y x f x x f y -== 17．（本小题共14分）如图，在Rt △ABC 中，AB=BC=4，点E 、F 分别在线段AB 、AC 上，且EF//BC ，将△AEF 沿EF 折起到△PEF 的位置，使得二面角P —EF —B 的大小为60°. （I ）求证：EF ⊥PB ；（II ）当点E 为线段AB 的中点时，求PC 与平面BCFE 所成角的大小；（III ）求四棱锥P —EFCB 体积的最大值.18．（本小题共13分）3名志愿者在10月1号至10月5号期间参加社区服务工作.（I ）若每名志愿者在5天中任选一天参加社区服务工作，且各志愿者的选择互不影响，求3名志原者恰好连续3天参加社区服务工作的概率；（II ）若每名志愿者在这5天中任选两天参加社区服务工作，且各志愿者的选择互不影响，记ξ表示这3名志愿者在10月1号参加社区服务工作的人数，求随机变量ξ的分布列.19．（本小题共14分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，短轴两个端点为A 、B ，且四边形F 1AF 2B 是边长为2的正方形.（I ）求椭圆的方程；（II ）若C 、D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足MD ⊥CD ，连结CM ，交椭圆于点P ，证明：⋅为定值；（III ）在（II ）的条件，试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP ，MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.20．（本小题共13分）对于各项均为正数且各有m 项的数列}{},{n n b a ，按如下方法定义数列,0:}{0=l t n}{}{),,,2,1(,111n n n n nnn n n n n b a m n a t b a t b a t t 到并规定数列 =⎩⎨⎧<≥+-=---的“并和”为.21m m ab t a a a S ++++=（I ）若m =3，数列}{n a 为3，7，2，数列}{n b 为5，4，6，试求出t 1、t 2、t 3的值以及数列ab n n S b a 的并和到}{}{；（II ）若}{,4n a m 数列=为3，2，3，4，数列5:,17,,,1,6}{≤=y S y x b ab n 求证且为；（III ）若}{},{,6b a m 下表给出了数列=；ab 试求S ab 的最小值，并说明理由.参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分. 1—5 CADCB 6—8 CDD二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分） 9．0 10．15 11．90°，16π 12．1+n n13．60° 14．201，②③ 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（本小题共13分）解：（I ） 60,7,2===B b a ，由余弦定理可得分分舍或分分6.233233221sin 214.3).(13.0323.212272.cos 222222 =⨯⨯⨯==∴=∴-==∴=--∴⨯⨯⨯-+=∴-+=B ac S c c c c c c c B ac c a b（II ）在△ABC 中， 60,7,2===B b a ，,12018011.772cos .,9.721sin 8.sin 260sin 7 =-=+=∴∴<=∴=∴B C A A A b a A A分为锐角分分.1421sin 21cos 23)120sin()2sin(=-=+=+∴A A A C A…………13分 16．（本小题共13分）解：（I ）函数).,0(:)(+∞=的定义域为x f y ………………1分分则令3.2,0)(.12)(,ln 2)( =='-='∴-=x x f xx f x x x f当)(),(,),0(x f x f x '+∞上变化时在的变化情况如下表的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是……6分（II ）由题意可知：000ln 2)(x x x f -=， …………7分曲线.12)())(,()(000-='==ax x f k x f x x f y 处的切线斜率为在点 …………8分).)(12()(:000x x x x f y --=-∴切线方程为 …………9分分10.2ln 2)12().)(12()ln 2(000000 -+-=∴--=--∴x x x y x x x x x y由题意知，切线方程为.2-=kx y .22ln 20-=-∴x .10=∴x.112))(,()(000=-==∴x k x f x x f y 处的切线的斜率在点曲线 …………13分 17．（本小题共14分）（I ）证明：在Rt △ABC 中，EF//BC ， ∴EF ⊥AB.∴EF ⊥EB ，EF ⊥EP. 又∵EB ∩EP=E ，∴EF ⊥平面PEB. ………………2分又∵PB ⊂平面PEB ，∴EF ⊥PB. ………………4分（II ）解法一：过点P 作PD ⊥EB 交EB 于D ，连结DC ，∵EF ⊥平面PEB ，PD ⊂平面PEB ， ∴EF ⊥PD.∵EF ∩EB=E ，∴PD ⊥平面BCFE. ∴DC 是PC 在平面BCFE 内的射影，∴∠PCD 是PC 与平面BCFE 所成的角 …………6分∵点E 为线段AB 的中点，AB=BC=4， ∴PE=EB=2.∵EF ⊥EB ，EF ⊥EP ，∴∠PEB 是二面角P —EF —B 的平面角. …………8分 ∵二面角P —EF —B 的大小为60°， ∴∠PEB=60°.在Rt △PDE 中，PD=PE 360sin =⋅ ， DE=PE .160cos =⋅∴BD=1，在Rt △DBC 中，.174122=+=DC 在Rt △PCD 中，.1751tan ==DC PD PCD ∴PC 与平面BCFE 所成角的大小为.1751arctan………………19分解法二：如图，以E 为原点建立空间直角坐标系E —xyz. ∵点E 为线段AB 的中点，AB=BC=4， ∴PE=EB=2.∵EF ⊥EB ，EF ⊥EP ，∴∠PEB 是二面角P —EF —B 的平面角， ∵二面角P —EF —B 的大小为60°， ∴∠PEB=60°. ………………6分分所成角的大小为与平面的法向量且平面则可得9.1015arcsin.1015,cos ).1,0,0(),3,4,1().0.4,2(),3,0,1( BCFE PC n CP n BCFE C P ∴=>=<∴=--=（III ）设)4,0(,∈=x x AE 则，同（II ）可求得.23x PD =分的体积取得最大值为四棱锥时当单调递减时当单调递增时当得由则设分中在等腰直角三角形14.932,334.)16()(,4334;)16()(,3340.3340)(,316)(),4,0(),16()(11).16(12331).16(21,,222222 EFCB P x x x x f x x x x f x x x f x x f x x x x f x x PD S V x S S S x AE EF AEF BCFE EFCB P ABF ABC BCFE -=∴-⋅=<<-⋅=<<=='-='∈-⋅=-⋅=⋅=∴-=-=∴==-∆∆ 18．（本小题共13分）解：（1）3名志愿者每人任选一天参加社区服务，共有53种不同的结果，这些结果出现的可能性都相等. ………………1分设“3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作”为事件A ，则该事件共包括333A 种不同的结果， ………………3分所以.1251853)(333==A A P ………………5分答：3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作的概率为.12518………………6分（II ）解法1：随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3 ………………7分分11.1258)()()3(,12536)()()1(,12554)()()1(,12527)()()0(22531432524214234232241413323324 ============C C P C C C C P C C C C P C C P ξξξξ解法2：每名志愿者在10月1日参加社区服务的概率均为.522514==C C P (7)分则三名志愿者在10月1日参加社区服务的人数).52,3(~B ξ .3,2,1,0,)53()52()(33===-i C i P iiiξ ………………11分19．（本小题共14分）解：（I ）如图，由题意得，.2222==c b .2,2===∴a c b∴所求的椭圆方程为.12422=+y x ………………3分（II ）由（I ）知，).0,2(),0,2(D C - ………………4分分分分得得整理由分由题意可设9.421)21(42144214228).214,2142(.214)2(72142.21482.0488)21(,,)2(1245).4,2(,).,(),2(:2222222221122122122222211 =++=+⋅++-⋅=⋅∴++-+=+=∴+-=+-=-=-+++⎪⎩⎪⎨⎧+==+∴⊥+=k k k k k k k kk k k P kkx k y k k x k k x k x k x k x k y y x k M CD MD y x P x k y CM（III ）设.2),0,(00-≠x x Q 且若以MP 为直径的圆恒过DP ，MQ 的交点，则0,=⋅∴⊥DP MQ 恒成立. ………………10分由（II ）可知).214,218(),4,2(2220k kk k k x ++-=-= ………………12分.0.0218.02144218)2(00222220=∴=⋅+=+⋅++-⋅-=⋅∴x x k k kkk k k x 恒成立即 ∴存在Q （0，0），使得以MP 为直径的圆恒过直线DP ，MQ 的交点. (14)分 20．（本小题共13分）解：（I ）由数列,5:}{11==b t t n 的定义可知分4.20,8,43321332322 =+++==+-===t a a a S b a t t b t ab（II ）证法一：分成立必有综上所述则有时即当则有时即当分而分得由9.5,.5277,2,2,;5,,2,6,2,5,65.5)(172434434443332322121143214 ≤=-≤-=+-=+-=≥≥===<<+=+-==+-====+++-==y x y y x b a t t x a t y y b t x a t x b a t t b a t t b t a a a a S t S ab ab证法二：分故得由可见有时即当有时即当9.5}4,max{,5)(17},,max{,,;,4343214111111 ==+-≤=+++-==+-=+-=≥+-≥=<+=<------t y t y y a a a a S t S b a t b t b a t t b b a t a t b t b b a t a t ab ab n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n（III ）S 的最小值为51，当表格如下排列（记作排列※）时可取到最小值：证法一： ,61时当≤≤n 由（II ）知,},,max{11n n n n n n n n n b a t t b a t b t +-≥+-=--则即,,,,,33234434554566561a b t t a b t t a b t t a b t t a b t t n n n n -≥--≥--≥--≥--≥--于是.2212a b t t -≥-综上述不等式相加得).()(63263216a a a b b b t t ++--+++≥- …………11分).()()(.)(63263216216621a a a b b b t a a a S t a a a S ab ab +++-++++++++≥∴++++=.46)(163211a b b b b a S ab +=+++++≥∴ ①将前4个不等式相加得).()(6543654326a a a a b b b b t t +++-+++≥- 类似地，可整理得.)46(21212a a b b t S ab ++--+≥ ② 若5,311≥≠a a 可见，由①得51461≥+≥a S ab ；若.,1,1,32221111b t a b t b a =<====故那么则此时由②得.534846)46(221121212≥+=++-=++--+≥a a a b a a b b t S ab 综上所述，51≥ab S 总是成立的. ………………13分证法二：对于由表格排列得到的数列},min{},min{},{},{11i i i i n n b a b a b a --<若存在（其中62≤≤i ），则交换表格的第}.{},{,1n n B A i i 得到新数列列列与第-则对原数列，有},max{},max{}.,,max{},,max{,},,,max{},max{111112111112111211i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i a b b b b a b b b a b a t b a b b B A B A T B A B B T b a b a t b a b b b a t b t --++=+-+-+-+-=+-+-+-=+-+-+-=+-=------------------注意到有而对新数列},max{},min{},min{1111111--------++=-+>-+=i i i i i i i i i i i a b b b a b b b a b b b}.,max{111---+-=i i i i b a b b这就说明.},max{},max{,11111111++-+++++=+-≥+-=≥i i i i i i i i i i i i T b a T b b a t b t T t 那么依此类推可得.,66AB ab S S T t ≥≥则可见，交换第1-i i 列与第列后，新数列的并和不会增加. ………………12分对于任何一种由表格排列得到的数列}{},{n n b a ，可以通过上述有限次调整，得到排列※，这是因为考查表格中最小的数，可以经过有限次调整，将它调整到※中的位置，固定该列后再考察余下数中最小的那一个，依此类推即可.在调整的过程中，数列}{}{n n b a 到的并和ab S 没有增加，因此调整前的ab S 一定不小于51.由}{},{n n b a 初始状态的任意性，可知ab S 的最小值就是51. …………13分说明：其他正确解法按相应步骤给分.。

海淀区高三年级第二学期期中练习(理)答案

海淀区高三年级第二学期期中练习（理）答案数学（理）答案及评分参考2022．4选择题（共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号答案1B2C3A4C5D6B7B8D非选择题（共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分.共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9.12i10.1>2>311.70；312.1213.①③14.(2,4);3三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.（共13分）解：（I）因为tanB12，tanC13,tan(BC)1121313tanBtanC1tanBtanC,1分代入得到，tan(BC)211.3分所以inB由ainAc55,inC1010.9分inC得a5，11分所以ABC的面积为：16.（共14分）12acinB12.13分AD解：(Ⅰ)证明：∵AD//EF,EF//BC，∴AD//BC.又∵BC2AD,G是BC的中点，∴AD//BG，∴四边形ADGB是平行四边形，∴AB//DG.2分∵AB平面DEG，DG平面DEG，∴AB//平面DEG.4分(Ⅱ)解法1证明：∵EF平面AEB，AE平面AEB，∴EFAE，又AEEB,EBEFE，EB,EF 平面BCFE，∴AE平面BCFE.5分过D作DH//AE交EF于H，则DH平面BCFE.∵EG平面BCFE，∴DHEG.6分∵AD//EF,DH//AE，∴四边形AEHD平行四边形，∴EHAD2，∴EHBG2，又EH//BG,EHBE，∴四边形BGHE为正方形，∴BHEG，7分又BHDHH,BH平面BHD，DH平面BHD,∴EG⊥平面BHD.8分∵BD平面BHD,∴BDEG.9分解法2∵EF平面AEB，AE平面AEB，BE平面AEB，∴EFAE，EFBE，又AEEB,∴EB,EF,EA两两垂直.5分以点E为坐标原点，EB,EF,EA分别为某,y,z轴建立如图的空间直角坐标系.由已知得，A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），F（0，3，0），D（0，2，2），G（2，2，0）.6分∴EG(2,2,0)，BD(2,2,2)，7分某BEEHFBGCzADFyGC∴BDEG22220,8分∴BDEG.9分(Ⅲ)由已知得EB(2,0,0)是平面EFDA的法向量.10分设平面DCF的法向量为n(某,y,z)，∵FD(0,1,2),FC(2,1,0)，y2z0FDn0∴，即，令z1,得n(1,2,1).12分2某y0FCn0设二面角CDFE的大小为，则cocon,EB22666，13分∴二面角CDFE的余弦值为17.（共13分）新课标第一网66.14分解：(Ⅰ)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A1分事件A等于事件“选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测”2分p(A)6104102313154分(Ⅱ)由题可知某可能取值为0,1,2,3.P(某0)C4C6C10C4C6C3101233013012,P(某1)C4C6C10C4C6C3100332131016,P(某2),P(某3).8分某P013013102123169分(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B10分事件B等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”所以，P(B)18.（共13分）解：（Ⅰ）f(某)的定义域为(0,)，1分131().13分3038101当a1时，f(某)某ln某，f(某)1某f(某)f(某)(0,1)1某某1某，2分10极小(1,)3分—+所以f(某)在某1处取得极小值1.4分（Ⅱ）h(某)某h(某)11a某21a某2aln某，(某1)[某(1a)]某2a某某a某(1a)某26分①当a10时，即a1时，在(0,1a)上h(某)0，在(1a,)上h(某)0，所以h(某)在(0,1a)上单调递减，在(1a,)上单调递增；7分②当1a0，即a1时，在(0,)上h(某)0，所以，函数h(某)在(0,)上单调递增.8分（III）在1,e上存在一点某0，使得f(某0)g(某0)成立，即在1,e上存在一点某0，使得h(某0)0，即函数h(某)某1a某aln某在1,e上的最小值小于零.9分由（Ⅱ）可知①即1ae，即ae1时，h(某)在1,e上单调递减，所以h(某)的最小值为h(e)，由h(e)e因为e1e121aea0可得ae1e12，e1，所以ae1e12；10分②当1a1，即a0时，h(某)在1,e上单调递增，所以h(某)最小值为h(1)，由h(1)11a0可得a2；11分③当11ae，即0ae1时，可得h(某)最小值为h(1a)，因为0ln(1a)1，所以，0aln(1a)a 故h(1a)2aaln(1a)2此时，h(1a)0不成立.12分综上讨论可得所求a的范围是：a19.（共14分）e1e12或a2.13分解：（Ⅰ）由已知可得e322aba222141，所以3a24b2①1分94b2又点M(1,)在椭圆C上，所以a21②2分由①②解之，得a24,b23.某2故椭圆C的方程为4y231.5分(Ⅱ)当k0时，P(0,2m)在椭圆C上，解得m32，所以|OP|3.6分yk某m,当k0时，则由22某y1.34消y化简整理得：(34k2)某28km 某4m2120，64km4(34k)(4m12)48(34km)0③8分(某2,y2)、(某0,y0)，则设A,B,P点的坐标分别为(某1,y1)、某0某1某28km34k2222222,y0y1y2k(某1某2)2m6m34k2.9分由于点P在椭圆C上，所以某042y0321.10分从而16km2222(34k)12m222(34k)1，化简得4m34k，经检验满足③式.11分22又|OP|某y202264km2222(34k)36m222(34k)4m(16k9)(34k)34k3122222216k94k3224.12分3434k32因为0k，得34k34，有21，故3OP132.13分综上，所求OP的取值范围是[3,132].14分(Ⅱ)另解：设A,B,P点的坐标分别为(某1,y1)、(某2,y2)、(某0,y0)，3某124y1212①由A,B在椭圆上，可得6分223某24y212②①—②整理得3(某1某2)(某1某2)4(y1y2)(y1y2)0③7分某1某2某0④由已知可得OPOAOB，所以8分yyy⑤201由已知当ky1y2某1某2,即y1y2k(某1某2)⑥9分把④⑤⑥代入③整理得3某04ky010分22与3某04y012联立消某0整理得y0294k3211分22由3某04y012得某042432y0，22所以|OP|某0y04因为k12222243y0y043413y041，234k3212分，得34k34，有13234k32故3OP.13分所求OP的取值范围是[3,20.（共13分）132].14分解：（1）根据题设中有关字母的定义，k12,k21,k30,k41,kj0(j5,6,7)b12,b2213,b32103,b44,bm4(m5,6,7,)g(1)b1412g(2)b1b2423,g(3)b1b2b3434,g(4)b1b2b3b4444,g(5)b1b2b 3b4b5454.（2）一方面，g(m1)g(m)bm1n，根据“数列A含有n项”及bj的含义知bm1n，故g(m1)g(m)0，即g(m)g(m1)①7分另一方面，设整数Mma某a1,a2,,an，则当mM时必有bmn，所以g(1)g(2)g(M1)g(M)g(M1)所以g(m)的最小值为g(M1).…………………9分下面计算g(M1)的值：g(M1)b1b2b3bM1n(M1)(b1n)(b2n)(b3n)(bM1n)(k2k3kM)(k3k4kM)(k4k5kM)(kM)[k22k3(M1)kM](k12k23k3MkM)(k1k2kM)(a1a2a3an)bM(a1a2a3an)n…………………12分∵a1a2a3ann100，∴g(M1)100,∴g(m)最小值为100.…………………13分说明：其它正确解法按相应步骤给分.新课标第一网。

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海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）2012.04一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}1A x x =>，{}B x x m =<，且A B =R ，那么m 的值可以是（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2 （2）在等比数列{}n a 中，14358a a a a ==，，则7a =（A ）116（B ）18 （C ）14 （D ）12（3）在极坐标系中，过点3(2,)2π且平行于极轴的直线的极坐标方程是（A ）sin 2ρθ=- （B ）cos 2ρθ=- （C ）sin 2ρθ= （D ）cos 2ρθ=（4）已知向量=(1)=(1)x x ，a b ，，-，若2-a b 与b 垂直，则=a（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）4 （5）执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（6）从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是（A ）12 （B ）24 （C ）36 （D ）48（7）已知函数2,1,()1,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩ 若1212,,x x x x ∃∈≠R ，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是2n n =31n n =+开始 n =5，k =0 n 为偶数n =1输出k 结束k =k +1 是否是否（A ）2a < （B ）2a > （C ）22a -<< （D ）2a >或2a <- （8）在正方体''''ABCD A B C D -中，若点P （异于点B ）是棱上一点，则满足BP 与'AC 所成的角为45°的点P 的个数为（A ）0 （B ）3 （C ）4 （D ）6二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. （9）复数2i1ia +-在复平面内所对应的点在虚轴上，那么实数a = . （10）过双曲线221916x y -=的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 . （11）若1tan 2α=，则cos(2)απ2+= . （12）设某商品的需求函数为1005Q P =-，其中,Q P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性EQ EP 大于1（其中'EQ Q P EP Q=-，'Q 是Q 的导数），则商品价格P 的取值范围是 .（13）如图，以ABC ∆的边AB 为直径的半圆交AC 于点D ，交BC 于点E ，EF AB ^于点F ，3AF BF =，22BE EC ==，那么CDE Ð= ，CD = .（14）已知函数1,,()0,,x f x x ìÎïï=íïÎïîR Q Q ð则（ⅰ）(())f f x = ；（ⅱ）给出下列三个命题： ①函数()f x 是偶函数； ②存在(1,2,3)i x i?R ，使得以点(,())(1,2,3)i i x f x i =为顶点的三角形是等腰直角三角形； FEDCBAA'B'C'D'ABCD③存在(1,2,3,4)i x i?R ，使得以点(,())(1,2,3,4)i i x f x i =为顶点的四边形为菱形.其中，所有真命题的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且A ，B ， C 成等差数列. （Ⅰ）若13b =，3a =，求c 的值；（Ⅱ）设sin sin t A C =，求t 的最大值.(16)（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，AB //CD ，AB AD ^，4,22,2AB AD CD ===，PA ^平面A B C D，4PA =.（Ⅰ）设平面PAB 平面PCD m =，求证：CD //m ；（Ⅱ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅲ）设点Q 为线段PB 上一点，且直线QC 与平面PAC所成角的正弦值为33，求PQ PB 的值．(17)（本小题满分13分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；（Ⅲ）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望.（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）频率/组距时间x0.0030.00650.02510080604020OPDCBA(18)（本小题满分13分）已知函数21()e()(0)kxf x x x k k-=+-<.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得函数()f x 的极大值等于23e -？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.(19)（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为1(1,0)F -， P 为椭圆G 的上顶点，且145PFO ∠=︒. （Ⅰ）求椭圆G 的标准方程；（Ⅱ）已知直线1l ：1y kx m =+与椭圆G 交于A ，B 两点，直线2l ：2y kx m =+（12m m ≠）与椭圆G 交于C ，D 两点，且||||AB CD =，如图所示.（ⅰ）证明：120m m +=;（ⅱ）求四边形ABCD 的面积S 的最大值.(20)（本小题满分14分）对于集合M ，定义函数1,,()1,.M x M f x x M -∈⎧=⎨∉⎩对于两个集合M ，N ，定义集合{()()1}M N M N x f x f x ∆=⋅=-. 已知{2,4,6,8,10}A =，{1,2,4,8,16}B =.（Ⅰ）写出(1)A f 和(1)B f 的值，并用列举法写出集合A B ∆；（Ⅱ）用Card (M )表示有限集合M 所含元素的个数，求()()Card X A Card X B ∆+∆的最小值；（Ⅲ）有多少个集合对（P ，Q ），满足,P Q A B ⊆ ，且()()P A Q B A B ∆∆∆=∆？l 2l 1yxODC BA海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）参考答案及评分标准 2012．04一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案DBACBDAB二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）2 （10）43200x y --= （11）45-（12）(10,20) （13）60°31313（14）1 ①③ 三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为,,A B C 成等差数列，所以2B A C =+. 因为A B C ++=π，所以3B π=. ………………………………………2分因为13b =，3a =，2222cos b a c ac B =+-，所以2340c c --=. ………………………………………5分所以4c =或1c =-（舍去）. ………………………………………6分（Ⅱ）因为23A C +=π，所以2sin sin()3t A A π=- 31sin (cos sin )22A A A =+ 311cos2sin 2()422A A -=+11sin(2)426A π=+-. ………………………………………10分因为203A π<<，所以72666A πππ-<-<.所以当262A ππ-=，即3A π=时，t 有最大值34.………………………………………13分(16)（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为AB //CD ，CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD //平面PAB . ………………………………………2分因为CD ⊂平面PCD ，平面PAB 平面PCD m =，所以CD //m . ………………………………………4分（Ⅱ）证明：因为AP ^平面ABCD ，AB AD ^，所以以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(4,0,0)B ，(0,0,4)P ，(0,22,0)D ，(2,22,0)C .………………………………………5分所以 (4,22,0)BD =- ，(2,22,0)AC =， (0,0,4)AP =，所以(4)22222000BD AC ⋅=-⨯+⨯+⨯=， (4)0220040BD AP ⋅=-⨯+⨯+⨯=.所以 BD AC ⊥，BD AP ⊥.因为 AP AC A = ，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以 BD ⊥平面PAC .………………………………………9分（Ⅲ）解：设PQPB λ=（其中01λ＃），(,,)Qxyz ，直线QC 与平面PAC 所成角为θ.所以 PQ PB λ= .所以 (,,4)(4,0,4)x y z λ-=-.z yxPD C B A所以 4,0,44,x y z λλì=ïïï=íïï=-+ïïî即(4,0,44)Q λλ-+.所以 (42,22,44)CQ λλ=---+. ………………………………………11分由（Ⅱ）知平面PAC 的一个法向量为(4,22,0)BD =-.………………………………………12分因为 sin cos ,CQ BDCQ BD CQ BDθ×=<>=×，所以2234(42)8326(42)8(44)λλλ---=⋅-++-+. 解得 7[0,1]12λ=∈. 所以 712PQ PB =. ………………………………………14分(17)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由直方图可得：200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.所以 0.0125x =. ………………………………………2分（Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.0032200.12⨯⨯=， ………………………………………4分因为6000.1272⨯=，所以600名新生中有72名学生可以申请住宿.………………………………………6分（Ⅲ）X 的可能取值为0，1，2，3，4. ………………………………………7分由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为14， 4381(0)4256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 3141327(1)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 22241327(2)C 44128P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,334133(3)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 411(4)4256P X ⎛⎫===⎪⎝⎭.所以X 的分布列为：X 0 1 2 3 4P81256 2764 27128 3641256………………………………………12分812727310123412566412864256EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（或1414EX =⨯=）所以X 的数学期望为1. ………………………………………13分(18)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为R . 221'()e()e (21)e [(2)2]kxkx kx f x k x x x kx k x k---=-+-++=-+-+，即 '()e (2)(1)(0)kx f x kx x k -=--+<. ………………………………………2分令'()0f x =，解得：1x =-或2x k=. 当2k =-时，22'()2e (1)0x f x x =+≥，故()f x 的单调递增区间是(,)-? . ………………………………………3分当20k -<<时，()f x ，'()f x 随x 的变化情况如下：x 2(,)k -∞2k 2(,1)k - 1- (1,)-+∞'()f x + 0-+ ()f x极大值极小值所以，函数()f x 的单调递增区间是2(,)k-∞和(1,)-+∞，单调递减区间是2(,1)k-.………………………………………5分当2k <-时，()f x ，'()f x 随x 的变化情况如下：x (,1)-∞-1- 2(1,)k -2k 2(,)k+∞ '()f x + 0-+ ()f x极大值极小值所以，函数()f x 的单调递增区间是(,1)-∞-和2(,)k +∞，单调递减区间是2(1,)k-.………………………………………7分（Ⅱ）当1k =-时，()f x 的极大值等于23e -. 理由如下：当2k =-时，()f x 无极大值.当20k -<<时，()f x 的极大值为22241()e ()f kk k-=+， ………………………………………8分令22241e ()3e k k--+=，即2413,k k += 解得 1k =-或43k =（舍）.………………………………………9分当2k <-时，()f x 的极大值为e (1)kf k-=-.………………………………………10分因为 2e e k-<，1102k <-<，所以 2e 1e 2k k --<. 因为221e 3e 2--<，所以 ()f x 的极大值不可能等于23e -. ………………………………………12分综上所述，当1k =-时，()f x 的极大值等于23e -.………………………………………13分(19)（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设椭圆G 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>.因为1(1,0)F -，145PFO ∠=︒，所以1b c ==.所以 2222a b c =+=. ………………………………………2分所以椭圆G 的标准方程为2212x y +=. ………………………………………3分（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y .（ⅰ）证明：由122,1.2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：22211(12)4220k x km x m +++-=. 则2218(21)0k m ∆=-+>，1122211224,1222.12km x x km x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩………………………………………5分所以 221212||()()AB x x y y =-+-2212121()4kx x x x =++-22211224221()41212km m kk k-=+--⋅++ 221222122112k m k k -+=++.同理 2222221||22112k m CD k k-+=++. ………………………………………7分因为 ||||AB CD =,所以 222212222221212212211212k m k m k k k k -+-++=+++.因为 12m m ≠，所以 120m m +=. ………………………………………9分（ⅱ）解：由题意得四边形ABCD 是平行四边形，设两平行线,AB CD 间的距离为d ,则 1221m m d k-=+.因为 120m m +=，所以 1221m d k=+. ………………………………………10分所以 2221122221||221121m k m S AB d kk k-+=⋅=+⋅++ 22211222112221(21)24242221212k m m k m m k k-++-+=≤=++. （或22422111222(21)114242()22(12)1224k m m m S k k +-==--+≤++）所以当221212k m +=时，四边形ABCD 的面积S 取得最大值为22.………………………………………13分(20)（本小题满分14分）解：（Ⅰ）(1)=1A f ，(1)=1B f -，{1,6,10,16}A B ∆=.………………………………………3分（Ⅱ）根据题意可知：对于集合,C X ，①若a C Î且a X Ï，则(({})(C a r d C X a C a r d C X ∆=∆- ；②若a C Ï且a XÏ，则(({})Ca rdC X a C a r dCX∆=∆+.所以要使()()Card X A Card X B ∆+∆的值最小，2，4，8一定属于集合X ；1，6，10，16是否属于X 不影响()()Card X A Card X B ∆+∆的值；集合X 不能含有A B 之外的元素. 所以当X 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时，()()Card X A Card X B ∆+∆取到最小值4. ………………………………………8分（Ⅲ）因为 {()()1}A B A B x f x f x ∆=⋅=-，所以 A B B A ∆=∆.由定义可知：()()()A B A B f x f x f x ∆=⋅.所以对任意元素x ，()()()()()()()A B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x ∆∆∆=⋅=⋅⋅， ()()()()()()()A B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x ∆∆∆=⋅=⋅⋅. 所以 ()()()()A B C A B C f x f x ∆∆∆∆=. 所以 ()()A B C A B C ∆∆=∆∆.由 ()()P A Q B A B ∆∆∆=∆知：()()P Q A B A B ∆∆∆=∆. 所以 ()()()()()P Q A B A B A B A B ∆∆∆∆∆=∆∆∆. 所以 P Q ∆∆∅=∅. 所以 P Q ∆=∅，即P Q =. 因为 ,P Q A B ⊆ ，所以满足题意的集合对（P ，Q ）的个数为72128=.………………………………………14分。