河南河北山西2015届高三高考考前质量监测(二)数学(理)Word版含答案
河南、河北、山西三省2015届高考考前复习效果监测试题
2015年高考考前质量监测试题（三）理科数学试题参考答案评分说明：1． 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则.2． 对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3． 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4． 只给整数分数.选择题不给中间分.一、选择题（每题5分）1. A2. C3. A4. B5. D6. B7. A 8. D 9. D 10. C 11. B 12. C二、填空题（每题5分）13．2－2i 14．24x ＋y 2＝1 15. -2 16. 43三、解答题17． 解：(Ⅰ)由A C A CB cos cos sin sin sin 2=-，可得AC A C A B sin cos cos sin cos sin 2=-， 即B C A A C A C A B sin )sin(sin cos cos sin cos sin 2=+=+=.又0sin ≠B ，所以21cos =A ．由0πA <<可得π3A =. ⋯⋯6分 （Ⅱ）由215-=⋅AC BA ，可得2π115cos 322bc bc =-=-，15=∴bc ．又A bc c b a cos 2222-+=，且a =6，所以5122=+c b ．则81)(2=+c b ，即9=+c b ． ⋯⋯12分18．（Ⅰ）证明：取PD 的中点E ，连接AE ，EF ，则EF ∥CD ，EF =CD ．又AB ∥CD ，AB =CD ，所以EF ∥AB ，EF =AB ，所以四边形ABFE 为平行四边形，所以BF ∥AE .由侧面PAD 为正三角形，可得AE ⊥PD .由AB ∥CD ，CD AD ⊥，PA AB ⊥，可得CD ⊥平面P AD .⋯⋯4分所以CD ⊥AE ，所以AE ⊥平面PCD .所以BF ⊥平面PCD . ⋯⋯6分 (Ⅱ)解：取AD 的中点O ，连接PO ，则PO ⊥平面ABCD ，取BC 的中点G ，连接OG ．以点O 为坐标原点，OD ，OG ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．则A （-1,0,0），B （-1，2，0），C （1，4，0），P (0，0，3)．设平面APB 的法向量为111(,,)x y z =n ，则0,0,AP AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以1110,0.x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩取1x =，则1)=-n ；设平面PBC 的法向量为222(,,)x y z =m ，则0,0,PB BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m所以2222220,0.x y x y ⎧-+-=⎪⎨+=⎪⎩ 取21x =，则(1,1,=-m ；则cos ,⋅<>==m n m n m n ，所以二面角A PB C --的正弦值为.⋯⋯12分 19．解：(Ⅰ)由题意可知，若选甲题，则得0分、10分的概率均为0.5，0.5；若选乙题，则得5分、7分、8分、9分、10分的概率分别为0.2，0.1，0.4，0.1，0.2.⋯⋯2分又选择甲或乙题的概率均为，故得分X 的分布列如下：于是00.2550.170.0580.290.05100.35 6.4EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.⋯⋯6分(Ⅱ)设A 同学选择方案一、二后的得分分别为,Y Z ，则,Y Z 的分布列分别为⋯⋯10分故50.5100.57.5EY =⨯+⨯=；50.270.180.490.1100.27.8EZ =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.因此选择方案二更有利于A 同学取得更高的分数.⋯⋯12分 20. 解：（Ⅰ）设l ：x =my +1， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将x = my +1代入抛物线方程y 2=4x ，得y 2-4my -4=0.⋯⋯2分 ∵Δ>0，∴y 1+ y 2= 4m ，y 1y 2=－4.则x 1+x 2=4m 2+2，x 1x 2=1.由MA MB⋅=0可得x 1x 2+（x 1+x 2）+ y 1y 2+1=0，∴m =0.则l ：x =1，所以AB =4. ⋯⋯6分（Ⅱ）由于∆ NFB 与∆ NF A 有公共底NF ，可得|FB |=2|F A |，由相似可得y 2=－2y 1由（Ⅰ）知y 1y 2= -2y 12=－4，∴12=y y ⎧⎪⎨-⎪⎩ 或12=y y ⎧⎪⎨⎪⎩ ⋯⋯9分由y 1+y 2= -= 4m ，得m = －；或由y 1+y 2== 4m ，得m = .故直线l 的方程为4x ±y -4＝0． ⋯⋯12分 21．（Ⅰ）解：函数()lg x a =，则'(g x 1a a x x x --=．当0a ≤时，'()0g x <,函数()gx 在定义域上单调递减；当0a >时，由g '(x )<0得x a >，此时()gx 单调递减；由g '(x )>0得0x a <<，此时()gx 单调递增；综上，当0a ≤时，()gx 单调递增区间为（0，)∞+；当0a >时，函数()g x 的单调递增区间为(0,a )，单调递减区间为(a ,+∞). ⋯⋯4分（Ⅱ）证明：()(1ln )f x x x =+，'()ln 2f x x =+．因为对任意的0(,21x x <总存在0>x ，使得0'()fx =成立， 所以12012()()ln 2f x f x x x x -+=-，即1122012ln ln ln 21x x x x x x x -+=+-. ∴112202212ln ln ln ln 1ln x x x x x x x x x --=---11122112ln ln x x x x x x x x -+-=-11ln 121212--+=x x x x x x ．⋯⋯9分 由(Ⅰ)得，当1a =时，()ln g x =，当且仅当1x =时，等号成立. 2221111,ln 10x x x x x x >∴-+<．又0112>-x x ，所以02ln ln 0x x -<，即02x x <．⋯⋯12分 选做题22．（Ⅰ）直线PC 与圆O 相切．⋯⋯1分 证明：连接OC ，OD ，则∠OCE =∠ODE ．∵CD 是∠ACB 的平分线，∴=，∴∠BOD =90°，即∠OED +∠ODE =90°．∵PC =PE ，∴∠PCE =∠PEC =∠OED ．∴∠OCE +∠PCE =90°，即∠OCP =90°，∴直线PC 与圆O 相切． ⋯⋯5分（Ⅱ）解：因为AB =10，BC =6，∴AC =8．由CE 为∠ACB 的平分线，可得34==BC ACEB AE ，EB AE 34=∴，1037===+∴AB EB EB AE ，解得BE =．⋯⋯10分 23.解：(Ⅰ)曲线C 的普通方程为22x +y 2=1，其右焦点为（1，0），而直线l 过该点，所以直线l 与曲线C 相交.⋯⋯5分 (Ⅱ)将代入椭圆方程+y 2=1得3t 2+2t -2=0，设A ，B 对应的参数为t 1，t 2,则t 1t 2=－，∴|P A |⋅|PB |=.由对称性可知，|PE |⋅|PF |＝ .∴|P A |⋅|PB |＋|PE |⋅|PF |＝．⋯⋯10分24．解：（Ⅰ）∵|x +3|+|x +2|≥|(x +3)－(x +2)|=1，当(x +3)(x +2)≤0，即-3≤x ≤－2时取等号，∴a+b+c≤1，即a+b+c的取值范围是（-∞，1]．⋯⋯5分（Ⅱ）∵a+b+c最大值是1，∴取a+b+c=1时．∵a²+ b²+c²=(a+b+c)²-(2ab+2bc+2ca)≥1-2( a²+ b²+c²)，∴a²+ b²+c²≥．⋯⋯10分。
2015年高考全国新课标卷Ⅱ理科数学真题含答案解析(超完美版)
2015年高考全国新课标卷Ⅱ理科数学真题(青海;西藏;甘肃;贵州;内蒙古;新疆;宁夏;吉林;黑龙江;云南;辽宁;广西;海南)一、选择题1.已知集合A={-2,-1,0,1,2}，B={X|（X-1）（X+2）<0}，则AB=（ ） A ．{-1,0} B ．{0,1} C ．{-1,0,1} D ．{0,1,2}2.若a 为实数，且（2+ai ）（a-2i ）= - 4i ，则a=（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．23.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（ ）A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫排放量与年份正相关4.已知等比数列{a n } 满足a 1=3，a 1+a 3+a 5=21，则a 3+a 5+a 7=（ ）A ．21B ．42C ．63D ．845.设函数f （x ）=f (x )={1+log 2,(2−x ),x <12x−1,x ≥1则f （-2）+f （log 212）=（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12 6.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A ．18B ．17C ．16D ．157.过三点A （1,3），B （4,2），C （1，-7）的圆交y 轴于M ，N 两点，则IMNI=（ ）A ．2√6B ．8C ．4√6D ．108.下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。
执行该程序框图，若输入的a , b 分别为14 ，18，则输出的a=（ ）A ．0B ．2C ．4D ．149.已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90o ，C 为该球上的动点，若三棱锥O-ABC 的体积最大值为36，则球O 的表面积为（ ）A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π10.如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=，将动点P 到,A B 两点距离之和表示为x 的函数，则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．11.已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）A B ．2 C D 12.设函数f ’(x)是奇函数f(x)(x ∈R)的导函数，f(-1)=0，当x>0时，x f ’(x)- f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是（ ）A ．（−∞，-1）∪（0,1）B ．（−1，0）∪（1,+∞）C ．（−∞，-1）∪（-1,0）D ．（0，1）∪（1,+∞）二、填空题13.设向量a,b 不平行，向量λ a+b 与a+2b 平行，则实数 λ =14.若x ，y 满足约束条件，则z=x+y 的最大值为 15.4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a=16.设S n 是数列｛a n ｝的前n 项和，且1111,n n n a a s s ++=-=，则S n =三、解答题17.△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍（I ）求Csin B sin ∠∠ （II ）若AD=1，DC=22，求BD 和AC 的长18.某公司为了了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机抽查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C ：“A 地区用户的满意等级高于B 地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果互相独立。
河北省石家庄市2015届高三复习教学质量检测二数学理
石家庄市2015届高三复习教学质量检测(二)高三数学（理科）(时间120分钟，满分150分) 注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷(选择题，60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在复平面内，复数iiz 42+=(i 为虚数单位)对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．如果0a b <<，那么下列不等式成立的是A ．11a b-<- B ．2ab b < C ．2ab a -<- D ．b a < 3．某校为了研究“学生的性别”和“对待某一活动的态度”是否有关，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算069.7=k ，则认为“学生性别与支持活动有关系”的犯错误的概率不超过A ．0.1%B ．1%C ．99%D ．99.9% 附：4．已知实数,x y 满足条件11y xx y x ≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值为A ．3B ．2C ．32D ．0 5．运行如图所示的程序框图，如果输出的(2,2]t ∈-，则输入x 的范围是A ．[-B ．(-C ．[4]D ．(4]6．已知等差数列{}n a 中，100720144,2014a S ==，则2015S =A ．2015-B ．2015C ．4030-D ．40307．一排有6个座位，三个同学随机就坐，任何两人不相邻的坐法种数为A ．120B ．36C ．24D ．728．若圆222)1()5(r y x =-+-上有且仅有两点到直线0234=++y x 的距离等于1，则r 的取值范围为A ．[4,6]B ．(4,6)C ．[5,7]D ．(5,7)10．某几何体的三视图如图所示（网格中的小正方形边长为1），则该几何体的表面积为B ．4+C ．2+D ．4+11.已知函数()f x 的定义域为2(43,32)a a --，且(23)y f x =-是偶函数．又321()24x g x x ax =+++，存在0x 1(,),2k k k Z ∈+∈，使得00)(x x g =，则满足条件的k 的个数为A ．3B ．2C ．4D ．112．已知定义在R 上的函数()f x 满足：21)()()1(2+-=+x f x f x f ，数列{}n a 满足 *2),()(N n n f n f a n ∈-=，若其前n 项和为1635-，则n 的值为 A ．16 B ．17 C ．18 D ．19第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．双曲线2241x y -=的渐近线方程为_____.14．已知212(1)4k dx ≤+≤⎰，则实数k 的取值范围是_____.15．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，2=AB ，3=AC ，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u r u u r u u u r________.16．三棱锥中有四条棱长为4，两条棱长为a ，则a 的取值范围为_____.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边长，且222cos ()a bc A b c -=+. （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若sin sin 1,2B C b +==，试求ABC ∆的面积． 18.（本小题满分12分）我国城市空气污染指数范围及相应的空气质量类别见下表：我们把某天的空气污染指数在0-100时称作A 类天，101--200时称作B 类天，大于200时称作C 类天．下图是某市2014年全年监测数据中随机抽取的18天数据作为样本，其茎叶图如下：（百位为茎，十、个位为叶）80907873635267934738386730121290683243210（Ⅰ）从这18天中任取3天，求至少含2个A 类天的概率；（Ⅱ）从这18天中任取3天，记X 是达到A 类或B 类天的天数，求X 的分布列及数学期望．19.（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A A AB =，90ABC ∠=︒，侧面11A ABB ⊥底面ABC ． （I ）求证：1AB ⊥平面1A BC ；（II ）若5AC =，3BC =，160A AB ∠=︒，求二面角11B A C C --的余弦值．B 1C 120.（本小题满分12分）已知椭圆22122:1(0)4x y C b b b+=>，抛物线22:4()C x y b =-．过点(01)F b +，作x 轴的平行线，与抛物线2C 在第一象限的交点为G ，且该抛物线在点G 处的切线经过坐标原点O ． （Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）设直线:l y kx =与椭圆1C 相交于两点C 、D 两点，其中点C 在第一象限，点A 为椭圆1C 的右顶点，求四边形ACFD 面积的最大值及此时l 的方程．21.（本小题满分12分） 已知21()ln ,2f x x x mx x m R =--∈． (Ⅰ)当2m =-时，求函数()f x 的所有零点；(Ⅱ)若()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，求证：212x x e >(e 为自然对数的底数).请考生在22～24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.几何证明选讲（本小题满分10分）如图：已知PA 与圆O 相切于点A ，经过点O 的割线PBC 交圆O 于点B C 、，APC ∠的平分线分别交AB AC 、于点D E 、，.点G 是线段ED 的中点,AG 的延长线与CP 相交于点F ．（Ⅰ）证明：AF ED ⊥；（Ⅱ）当F 恰为PC 的中点时，求PCPB的值.C23．坐标系与参数方程(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为24(4x t y t⎧=⎨=⎩其中t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线2C 的极坐标方程为cos()42πρθ+=．(Ⅰ)把曲线1C 的方程化为普通方程，2C 的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线1C ，2C 相交于B A ,两点，AB 的中点为P ，过点P 做曲线2C 的垂线交曲线1C 于F E ,两点，求PE PF ⋅.24.不等式选讲（本小题满分10分） 已知1()33f x x x a a=++-. (Ⅰ)若1a =，求8)(≥x f 的解集；（Ⅱ）对任意()+∞∈,0a ，任意R x ∈，()m x f ≥恒成立，求实数m 的最大值.2014-2015学年度高三数学质检二答案（理科）一、 选择题1-5 DABAD 6-10 CCBCB 11-12 AB 二、填空13. 20x y ±= 14. ［1，3］ 15 -1016. ()2262,0+ 注意：此题如果写成(也可以 三、解答题（解答题如果和标准答案不一样，可依据本标准酌情给分） 17．解：（Ⅰ）∵222cos ()a bc A b c -=+， 又根据余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，∴22222cos 2cos 2b c bc A bc A b bc c +--=++，…………………………2分 化简得4cos 2bc A bc -=，可得1cos 2A =-， ……………………………………………………………………4分 ∵0A π<<，∴23A π=.……………………………………………………………………5分（Ⅱ）∵1sin sin =+C B ， ∴1)3sin(sin =-+B B π，∴1sin 3cos cos 3sin sin =-+B B B ππ， ∴1sin 3cos cos 3sin=+B B ππ，∴1)3sin(=+πB ， ……………………………………………………………………8分又∵B 为三角形内角， 故6B C π==,所以2==c b ， ……………………………………………………………………………10分所以3sin 21==∆A bc S ABC . …………………………………………………………12分18. 解：（Ⅰ） 从这18天中任取3天，取法种数有 318816C =，3天中至少有2个A 类天的取法种数213315346C C C += ， ..... ....2分 所以这3天至少有2个A 类天的概率为23408； .............................. ..4分 （Ⅱ）X 的一切可能的取值是3,2,1,0. ……………… 5分当X=3时，1027)3(31838===C C X P …………………… 6分当X=2时，10235)2(31811028===C C C X P …………………… 7分 当X=1时，341510245)1(31821018====C C C X P ……………… 8分 当X=0时，34510215)0(318310====C C X P …………… 9分数学期望为34102136102457021==++ ． ……………12分 19.解：（Ⅰ）证明：在侧面A 1ABB 1中，因为A 1A=AB ，所以四边形A 1ABB 1为菱形，所以对角线AB 1⊥A 1B ，…………………………………2分 因为侧面A 1ABB 1⊥底面ABC ，∠ABC=900，所以CB ⊥侧面A 1ABB 1， 因为AB 1⊂平面A 1ABB 1内，所以CB ⊥AB 1，…………………………4分又因为A 1B ∩BC=B ，所以AB 1⊥平面A 1BC ． …………………………………6分（Ⅱ）在Rt △ABC 中, AC=5, BC=3, 所以AB=4, 又菱形A 1ABB 1中,因为∠A 1AB=600，所以△A 1AB 为正三角形,如图，以菱形A 1ABB 1的对角线交点O 为坐标原点OA 1方向为x 轴，OA 方向为y 轴，过O 且与BC 平行的方向为z 轴建立如图空间直角坐标系， 则1(2,0,0)A ，(2,0,0)B -，(2,0,3)C -，1(0,B -，1(0,C -，所以1(C C =-，113)C A =-，设(,,)n x y z =为平面11ACC 的法向量，则11100n C C n C A ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以20230x x z ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩，令3x =，得(3,3,4)n =为平面11ACC 的一个法向量，…………………………………9分又1(0,OB =-为平面1A BC 的一个法向量，111cos ,142723n OB n OB n OB <>===-，……………………………11分所以二面角B —A 1C —C 1的余弦值为12分法2：在平面BC A 1中过点O 作OH ⊥C A 1于H ，连接AH ，则C A 1⊥平面AOH ，所以∠AHO 即为二面角B —A 1C —A 的平面角，……………………………………………………8分在△BC A 1中5611=⋅=C A BC O A OH ， 又Rt △AOH 中32=AO ，所以521422=+=OH AO AH ， 所以1421cos =∠AHO ， (11)分 ABCA 1C 1B 1OH因为二面角B —A 1C —C 1与二面角B —A 1C —A 互补，所以二面角B —A 1C —C 1的余弦值为二面角B —A 1C —A 的余弦值的相反数， 则二面角B —A 1C —C 1的余弦值为1421-．………………………………12分 20.解：（Ⅰ）由24()x y b =-得214y x b =+，当1y b =+得2x =±， ∴ G 点的坐标为(2,1)b +，则1'2y x =，2'|1x y ==，过点G 的切线方程为(1)2y b x -+=-即1y x b =+-，………………………2分 令0y =得10x b =-=，∴ 1b =。
2015届高三质检二数学(理)试卷及答案剖析
石家庄市2015届高三复习教学质量检测(二)高三数学（理科）(时间120分钟，满分150分)第I 卷 (选择题，60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数iiz 42+=(i 为虚数单位)对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．如果0a b <<，那么下列不等式成立的是A ．11a b-<- B ．2ab b < C ．2ab a -<- D ．b a < 3．某校为了研究“学生的性别”和“对待某一活动的态度”是否有关，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算069.7=k ，则认为“学生性别与支持活动有关系”的犯错误的概率不超过 A ．0.1% B ．1% C ．99% D ．99.9% 附：4．已知实数,x y 满足条件11y x xy x ≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值为A ．3B ．2C ．32D ．05．运行如图所示的程序框图，如果输出的(2,2]t ∈-，则输入x 的范围是A ．[-B ．(-C ．[D ．( 6．已知等差数列{}n a 中，100720144,2014a S ==，则2015S =A ．2015-B ．2015C ．4030-D ．40307．一排有6个座位，三个同学随机就坐，任何两人不相邻的坐法种数为 A ．120 B ．36 C ．24 D ．728．若圆222)1()5(r y x =-+-上有且仅有两点到直线0234=++y x 的距离等于1，则r 的取值范围为A ．[4,6]B ．(4,6)C ．[5,7]D ．(5,7)10．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 B ．4+ C ．2+ D ．4+11.已知函数()f x 的定义域为2(43,32)a a --，且(23)y f x =-是偶函数． 又321()24x g x x ax =+++，存在0x 1(,),2k k k Z ∈+∈，使得00)(x x g =，则满足条件的k 的个数为A ．3B ．2C ．4D ．112．已知定义在R 上的函数()f x 满足：21)()()1(2+-=+x f x f x f ，数列{}n a 满足 *2),()(N n n f n f a n ∈-=，若其前n 项和为1635-，则n 的值为 A ．16 B ．17 C ．18 D ．19第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．双曲线2241x y -=的渐近线方程为_____. 14．已知212(1)4k dx ≤+≤⎰，则实数k 的取值范围是_____.16．三棱锥中有四条棱长为4，两条棱长为a ，则a 的取值范围为_____.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边长，且222cos ()a bc A b c -=+.（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若sin sin 1,2B C b +==，试求ABC ∆的面积． 18.（本小题满分12分）我国城市空气污染指数范围及相应的空气质量类别见下表：我们把某天的空气污染指数在0-100时称作A 类天，101--200时称作B 类天，大于200时称作C类天．右图是某市2014年全年监测数据中随机抽取的18天数据作为样本，其茎叶图如下：（百位为茎，十、个位为叶） （Ⅰ）从这18天中任取3天，求至少含2个A 类天的概率；（Ⅱ）从这18天中任取3天，记X 是达到A 类或B 类天的天数，求X 的分布列及数学期望． 19.（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A A AB =，90ABC ∠=︒，侧面11A ABB ⊥底面ABC ． （I ）求证：1AB ⊥平面1A BC ；（II ）若5AC =，3BC =，160A AB ∠=︒，求二面角11B AC C --的余弦值．20.（本小题满分12分）已知椭圆22122:1(0)4x y C b b b+=>，抛物线22:4()C x y b =-．过点(01)F b +，作x 轴的平行线，与抛物线2C 在第一象限的交点为G ，且该抛物线在点G 处的切线经过坐标原点O ． （Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）设直线:l y kx =与椭圆1C 相交于两点C 、D 两点，其中点C 在第一象限，点A 为椭圆1C 的右顶点，求四边形ACFD 面积的最大值及此时l 的方程． 21.（本小题满分12分） 已知21()ln ,2f x x x mx x m R =--∈． (Ⅰ)当2m =-时，求函数()f x 的所有零点； (Ⅱ)若()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，求证：212x x e >(e 为自然对数的底数). 请考生在22～24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.几何证明选讲（本小题满分10分） 如图：已知PA 与圆O 相切于点A ，经过点O 的割线PBC 交圆O 于点B C 、，APC ∠的平分线分别交AB AC 、于点D E 、，.点G 是线段ED 的中点,AG 的延长线与CP 相交于点F ．（Ⅰ）证明：AF ED ⊥； （Ⅱ）当F 恰为PC 的中点时，求PCPB的值. 23．坐标系与参数方程(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为24(4x t y t⎧=⎨=⎩其中t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线2C 的极坐标方程为cos()42πρθ+=． (Ⅰ)把曲线1C 的方程化为普通方程，2C 的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线1C ，2C 相交于B A ,两点，AB 的中点为P ，过点P 做曲线2C 的垂线交曲线1C 于F E ,两点，求PE PF ⋅.24.不等式选讲（本小题满分10分） 已知1()33f x x x a a=++-.(Ⅰ)若1a =，求8)(≥x f 的解集；（Ⅱ）对任意()+∞∈,0a ，任意R x ∈，()m x f ≥恒成立，求实数m 的最大值.80907873635267934738386730121290683243210B 1C 1C2014-2015学年度高三数学质检二答案（理科）一、 选择题1-5 DABAD 6-10 CCBCB 11-12 AB 二、填空13. 20x y ±= 14. ［1，3］ 15 -1016. ()2262,0+注意：此题如果写成(也可以 三、解答题（解答题如果和标准答案不一样，可依据本标准酌情给分） 17．解：（Ⅰ）∵222cos ()a bc A b c -=+，又根据余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，∴22222cos 2cos 2b c bc A bc A b bc c +--=++，…………………………2分 化简得4cos 2bc A bc -=，可得1cos 2A =-， ……………………………………………………………………4分 ∵0A π<<，∴23A π=.……………………………………………………………………5分（Ⅱ）∵1sin sin =+C B ， ∴1)3sin(sin =-+B B π，∴1sin 3cos cos 3sin sin =-+B B B ππ， ∴1sin 3cos cos 3sin =+B B ππ，∴1)3sin(=+πB ， ……………………………………………………………………8分又∵B 为三角形内角， 故6B C π==,所以2==c b ， ……………………………………………………………………………10分 所以3sin 21==∆A bc S ABC . …………………………………………………………12分 18. 解：（Ⅰ） 从这18天中任取3天，取法种数有 318816C =，3天中至少有2个A 类天的取法种数213315346C C C += ， ..... ....2分所以这3天至少有2个A 类天的概率为23408； .............................. ..4分 （Ⅱ）X 的一切可能的取值是3,2,1,0. ……………… 5分当X=3时，1027)3(31838===C C X P …………………… 6分当X=2时，10235)2(31811028===C C C X P …………………… 7分 当X=1时，341510245)1(31821018====C C C X P ……………… 8分 当X=0时，34510215)0(318310====C C X P …………… 9分数学期望为34102136102457021==++ ． ……………12分 19.解：（Ⅰ）证明：在侧面A 1ABB 1中，因为A 1A=AB ，所以四边形A 1ABB 1为菱形，所以对角线AB 1⊥A 1B ，…………………………………2分 因为侧面A 1ABB 1⊥底面ABC ，∠ABC=900，所以CB ⊥侧面A 1ABB 1， 因为AB 1⊂平面A 1ABB 1内，所以CB ⊥AB 1，…………………………4分 又因为A 1B ∩BC=B ，所以AB 1⊥平面A 1BC ． …………………………………6分（Ⅱ）在Rt △ABC 中, AC=5, BC=3, 所以AB=4,又菱形A 1ABB 1中,因为∠A 1AB=600，所以△A 1AB 为正三角形,如图，以菱形A 1ABB 1的对角线交点O 为坐标原点OA 1方向为x 轴，OA 方向为y 轴，过O 且与BC 平行的方向为z 轴建立如图空间直角坐标系，则1(2,0,0)A ，(2,0,0)B -，(2,0,3)C -，1(0,B -，1(0,C -，所以1(2,0)C C =-，113)C A =-，设(,,)n x y z =为平面11ACC的法向量，则11100n C C n C A ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以20230x x z ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩，令3x =，得(3,3,4)n =为平面11ACC 的一个法向量，…………………………………9分又1(0,OB =-为平面1A BC 的一个法向量，111cos ,2723n OB n OB n OB <>===，……………………………11分所以二面角B —A 1C —C 1的余弦值为．…………………………………12分 法2：在平面BC A 1中过点O 作OH ⊥C A 1于H ，连接AH ，则C A 1⊥平面AOH ，所以∠AHO 即为二面角B —A 1C —A 的平面角，……………………………………………………8分在△BC A 1中5611=⋅=C A BC O A OH ， 又Rt △AOH 中32=AO ，所以521422=+=OH AO AH ， 所以1421cos =∠AHO ，………………………………………………………………11分 因为二面角B —A 1C —C 1与二面角B —A 1C —A 互补，所以二面角B —A 1C —C 1的余弦值为二面角B —A 1C —A 的余弦值的相反数，则二面角B —A 1C —C 1的余弦值为1421-．………………………………12分 20.解：（Ⅰ）由24()x y b =-得214y x b =+，当1y b =+得2x =±， ∴ G 点的坐标为(2,1)b +，则1'2y x =，2'|1x y ==，过点G 的切线方程为(1)2y b x -+=-即1y x b =+-，………………………2分 令0y =得10x b =-=，∴ 1b =。
河南河北山西2015届高三高考考前质量监测(二)数学(理)试题及答案
A． 5
2
2． ( x 0
B． 10
1 1)dx
2
A． -l
B．0
C． 15
1
C．
2
D． 20 D． 1
3．已知集合 A y | y a,或 y a2 1 , B y | y 2x 1, 2 x 3 ，若 A B
，则实数
a 的取值范围是A． 来自 ,2)D．2
6．设函数 f (x) 2cos 2 (x ) sin(2 x ) ，则
6
3
A． f ( x) 在区间 ( , ) 内单调递减 B． f (x) 在区间 ( , ) 内单调递减
2
44
C． f ( x) 在区间 ( , ) 内单调递增 2
7．已知向量 a，b 的夹角为 2 ， b 3
D． f ( x) 在区间 ( , ) 【 _孚， 4 ）内单调递增 44
( I)求证 ： EF AC1；
(Ⅱ )求直线 A1C 与平面 A1 AB 所成角的正弦值．
19.（本小题满分 12 分）
如图，一个靶子由四个同心圆组成，且半径分别为
l ， 3， 5，7．
规定：击中 A，B，C，D 区域分别可获得 5 分， 3 分， 2 分， 1 分，脱靶（即击中最大圆之
外的某点）得 0 分．
于点 B）是点 B 关于 x 轴的对称点，求△ AOC面积的取值范围， 请考生在 22、23、 24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请
写清题号． 22.（本小题满分 10 分）选修 4-1:几何证明选讲
如图，在△ ABC中，点 D 为线段 BA 延长线上的一点， 且 BDC = A CB， O 为△ ADC 的外接圆． (I)隶证： BC是 O 的切线；
2015年全国高考数学试卷理科新课标2卷(完美版含完美答案)
CB1表示事件“B地区用户满意度等级为不满意”
CB2表示事件“B地区用户满意度等级为满意”
则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥，C＝CA1CB1∪CA2CB2
P(C)=P(CA1CB1∪CA2CB2)=P(CA1CB1)+P(CA2CB2)=P(CA1)P(CB1)+P(CA2)P(CB2)
2.若a为实数且（2+ai）（a-2i）=－4i，则a=
（A）-1（B）0（C）1（D）2
3.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是
（A）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
（B）2007年我国治理二氧化硫排放显现
（C）2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
截去部分体积与剩余部分体积的与剩余部分体积的比值为
（A） （B） （C） （D）
7.过三点A（1,3），B（4,2），C（1,7）的圆交于y轴于M、N两点，则 =
（A）2 （B）8 （C）4 （D）10
8.右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》
中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18，
2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科
（新课标卷二Ⅱ）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A=｛-2，-1,0,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=
（A）｛－1，0｝（B）｛0，1｝（C）｛-1，0，1｝（D）｛0，1，2｝
上的高AD交于点G，且与AB、AC分别相切于E、F两点.
2014-2015学年度高三晋冀豫三省联考数学理答案
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数学_2015年河南、河北、山西三省高考数学一模试卷(理科)(含答案)
2015年河南、河北、山西三省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合A ={(x, y)|y =3x }，B ={(x, y)|y =2−x }，则A ∩B =( ) A {0} B {1} C {(0, 1)} D {(1, 0)}2. 已知复数z =1i(i+1)，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3. 函数f(x)=(x +1)|log 2x|−1的零点个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 4. 给定两个命题：p:∃a ∈R ，使y =x 2+ax+1为偶函数；q:∀x ∈R ，(sinx −1)(cosx −1)≥0恒成立． 其中正确的命题的为（ ）A p ∧qB p ∧￢qC p ∨￢qD ￢p ∨q5. 某商场根据甲、乙两种不同品牌的洗衣粉在周一至周五每天的销量绘成如图所示的茎叶图，若两种品牌销量的平均数为x 甲¯与x 乙¯，方差为S 甲2与S 乙2，则（ ） A x 甲¯<x 乙¯，s 甲2<S 乙2 B x 甲¯>x 乙¯，S 甲2<S 乙2 C x 甲¯>x 乙¯，S 甲2>S 乙2 D x 甲¯<x 乙¯，S 甲2>S 乙26. 已知数列{a n }是等比数列，且a 2+a 6＝3，a 6+a 10＝12，则a 8+a 12＝（ ） A 12√2 B 24 C 24√2 D 487. 执行如图所示的程序框图，若输出的k 值为5，则输入的整数p 的最大值为（ ）A 7B 15C 31D 638. 某几何体的三视图如图所示，若其正视图为等腰梯形，侧视图为正三角形，则该几何体的表面积为（ ） A 2√3+2 B 4√3+2 C 6 D 89. 若函数f(x)=sin(ωx −π4)(ω>0)在区间(0, π2)上单调递增，则ω的取值范围是（ ）A (0, 32] B [1, 32] C [1, 2] D (0, 2]10. 已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，且与抛物线y 2=x 交于A 、B 两点，若△OAB （O 为坐标原点）的面积为2√2，则椭圆C 的方程为（ ） Ax 28+y 24=1 Bx 22+y 2=1 Cx 212+y 26=1 Dx 212+y 28=111. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若△ABC 的面积为a 24，∠A =15∘，则b c+cb的值为（ ）A √2B 2√6C 2√2D √612. 已知a 、b ∈R ，当x >0时，不等式ax +b ≥lnx 恒成立，则a +b 的最小值为（ ） A −1 B 0 C 1e D 1本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 13. 若变量x 、y 满足条件{2x −y +2≥0x −2y +1≤0x +y −5<0，则z =2x −y 的最小值为________．14. 已知双曲线C 1:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)与C 2:y 2b 2−x 2a 2=1(a >0, b >0)，给出下列四个结论：①C 1与C 2的焦距相等； ②C 1与C 2的离心率相等； ③C 1与C 2的渐近线相同；④C 1的焦点到其渐近线的距离与C 2的焦点到其渐近线的距离相等． 其中一定正确的结论是________（填序号）．15. 已知D 、E 分别是△ABC 边AB 、AC 上的点，且BD =2AD ，AE =2EC ，点P 是线段DE 上的任意一点，若AP →=xAB →+yAC →，则xy 的最大值为________．16. 已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，M 、N 分别为棱BB 1，B 1C 1的中点，由M ，N ，A 三点确定的平面将该三棱柱分成体积不相等的两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤17. 已知S n 是首项不为零的等差数列{a n }的前n 项和，且a 1+a 2=a 3，a 1a 2=a 6． （1）求a n 和S n ；（2）求证：1S 1+1S 2+...+1S n<23．18. a、b、c、d四名运动员争夺某次赛事的第1、2、3、4名，比赛规则为：通过抽签，将4人分为甲、乙两个小组，每组2人，第一轮比赛（半决赛）：两组各进行一场比赛决出各组的胜者和负者；第二轮比赛（决赛）：两组中的胜者进行一场比赛争夺第1、2名，两组中的负者进行一场比赛争夺第3、4名，4名选手以往交手的胜负情况如表所示：若抽签结果为甲组：a、d，乙组：b、c，每场比赛中，以双方以往交手各自获胜的概率作为其获胜的概率．（1）求a获得第1名的概率；（2）求a的名次ξ的分布列及数学期望．19. 如图1，已知四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，∠A=60∘，∠C=90∘，CD=CB=2，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A′−BCD，如图2．（1）若二面角A′−BD−C的余弦值为√33，求证：A′C⊥平面BCD；（2）当三棱锥A′−BCD的体积最大时，求直线A′D与平面A′BC所成角的正弦值．20. 已知动点P到定点F(1, 0)的距离比到直线x+2=0的距离小1．（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）若曲线E上存在A、B两点关于直线l:2x+4y−9=0对称，且线段AB的延长线与直线x+1=0相交于点C，求：(I)直线AB的方程；(II)△FAB与△FCB的面积之比．21. 已知函数f(x)=xlnx−a2x2(a∈R)．（1）若a=2，求曲线y=f(x)在点[1, f(1)]处的切线方程；（2）若函数g(x)=f(x)−x有两个极值点x1、x2，求证：1lnx1+1lnx2>2ae．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22. 如图，P为圆外一点，PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，过点P作AB的垂线交圆于C、E两点（C、D两点在AB的同侧），垂足为F，连接AD交PE于点G．（1）证明：PC＝PD；（2）若AC＝BD，求证：线段AB与DE互相平分．【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】23. 已知曲线C 1的参数方程是{x =2cosθy =2+2sinθ （θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立平面直角坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=−4cosθ． (1)求曲线C 1和C 2交点的直角坐标；(2)A 、B 两点分别在曲线C 1与C 2上，当|AB|最大时，求△OAB 的面积．【选修4-5：不等式选讲】24. 设函数f(x)=|2x +1|+|x −a|(a ∈R)． （1）当a =2时，求不等式f(x)≤4；（2）当a <−12时，若存在x ≤−12使得f(x)+x ≤3成立，求a 的取值范围．2015年河南、河北、山西三省高考数学一模试卷（理科）答案1. C2. C3. B4. D5. A6. B7. C8. C9. A 10. A 11. D 12. B 13. −2 14. ①③ 15. 118 16. 132317. （1）解：设{a n }的公差为d ， 由已知得{2a 1+d =a 1+2da 1(a 1+d)=a 1+5d ，解得a 1=d =3，∴ a n =3+(n −1)×3=3n ． S n =3n +n(n−1)2×3=32n(n +1)．（2）1S n=23(1n −1n+1)，∴ 1S 1+1S 2+...+1S n=23(1−12+12−13+⋯+1n −1n +1) =23(1−1n+1)<23．18. 解：（1）设a 分别与b ，c ，d 比赛时，a 获胜为事件A b ，A c ，A d ， 则P(A b )=23，P(A c )=13，P(A d )=12，设b 分别与a ，c ，d 比赛时，b 获胜为事件B a ，B c ，B d ， 则P(B a )=13，P(B c )=23，P(B d )=12，设c 分别与a ，b ，d 比赛时，获胜为事件C a ，C b ，C d ， 则P(C a )=23，P(C b )=13，P(C d )=12，设d 分别与a ，b ，c 比赛时，d 获胜为事件D a ，D b ，D c ， 则P(D a )=12，P(D b )=12，P(D c )=12，若a 获得第一名，则甲组中a 胜，且a 与乙中的胜者比赛进仍获胜， ∴ a 获得第1名的概率：P =P(A d )P(B c )P(A b )+P(A d )P(C b )P(A c ) =12×23×23+12×13×13=518，∴ a 获得第1名的概率为518．（2）a 的名次ξ的可能取值为1，2，3，4，P(ξ=1)=P(A d )P(B c )P(A b )+P(A d )P(C b )P(A c )=12×23×23+12×13×13=518，ξ=2，表示甲组中a 胜，且a 与乙中的胜者比赛时负，∴ P(ξ=2)=P(A d )P(B c )P(B d )+P(A d )P(C b )P(A c )=12×23×13+12×13×23=418，ξ=3表示甲组中a 负，且a 与乙组的负者比赛时获胜，∴ P(ξ=3)=P(D a )P(B c )P(A c )+P(D a )P(C a )P(A b )=12×23×13+12×13×23=418，P(ξ=4)=1−P(ξ=1)−P(ξ=2)−P(ξ=3)=518，Eξ=1×518+2×418+3×418+4×518=52．19. 解：（1）证明：在图(1)中，设AC ，BD 交于点O ， ∵ 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 互相垂直， ∠A =60∘，∠C =90∘，CD =CB =2，∴ CO =BO =DO =√2，AB =AD =2√2，AO =√6，∴ 将△ABD 沿BD 折起，A′O ⊥BD ，CO ⊥BD ，A ′O =√6，CO =√2， ∴ ∠A′OC 是二面角A′−BD −C 的平面角， 设A′C =x ，∵ 二面角A′−BD −C 的余弦值为√33，∴ cos∠A ′OC =6+2−x 22√6×√2=√33，解得x =2，即A′C =2，∵ BC =DC =2，A′B =A′D =2√2，∴ BC 2+A′C 2=A′B 2，CD 2+A′C 2=A′D 2，∴ BC ⊥A′C ，DC ⊥A′C ，又BC ∩CD =C ，∴ A′C ⊥平面BCD ．（2）解：三棱锥A′−BCD 的体积最大时，A′C ⊥平面BCD ， 以C 为原点，CB 为x 轴，CD 为y 轴，CA′为z 轴， 建立空间直角坐标系，A′(0, 0, 2)，D(0, 2, 0)，A ′D→=(0, 2, −2)，平面A′BC 的法向量n →=(0, 1, 0)， 设直线A′D 与平面A′BC 所成角为θ， 则sinθ=|cos <A ′D →，n→>|=|2√8|=√22． ∴ 直线A′D 与平面A′BC 所成角的正弦值为√22．20. 解：（1）由题意可得动点P 到定点F(1, 0)的距离与到直线x +1=0的距离相等． ∴ 动点P 的轨迹E 是抛物线：点F 为焦点，直线x =−1为准线，可得方程为：y 2=4x ． (2)(I)设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，线段AB 的中点M(x 0, y 0)，把A ，B 的坐标代入抛物线方程可得：y 12=4x 1，y 22=4y 2， 相减可得(y 1−y 2)(y 1+y 2)x 1−x 2=4，∴ 2y 0⋅k AB =4， ∵ k AB ×(−12)=−1，∴ k AB =2．∴ 2y 0=2，解得y 0=1，代入方程2x +4y −9=0可得2x 0+4−9=0，解得x 0=52．∴ M(52，1)，可得直线AB 的方程为：y −1=2(x −52)，化为2x −y −4=0．(II)令x =−1，代入直线AB 的方程2x −y −4=0，解得y =−6，∴ C(−1, −6)．联立{2x −y −4=0y 2=4x ，解得{x =1y =−2或{x =4y =4， ∴ A(4, 4)，B(1, −2)，|AB|=√32+62=3√5，|BC|=√22+42=2√5． ∴S △FAB S △FBC=|AB||BC|=32．21. 解：（1）当a =2时，f(x)=xlnx −x 2，f′(x)=lnx +1−x 2， ∴ f(1)=−1，f′(1)=−1，曲线y =f(x)在（1, f(1)）处的切线方程为y =−x ；（2）g′(x)=f(x)′−1=lnx −ax ，函数g(x)=f(x)−x 有两个极值点x 1、x 2， 即g′(x)=lnx −ax =0有两个不同的实根，当a ≤0时，g′(x)单调递增，g′(x)=0不可能有两个不同的实根； 当a >0时，设ℎ(x)=lnx −ax ，ℎ′(x)=1−ax x，若0<x <1a 时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增， 若x >1a 时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减， ∴ ℎ(1a )=−lna −1>0，∴ 0<a <1e ．不妨设x 2>x 1>0，∵ g ′(x 1)=g ′(x 2)=0，∴ lnx 1−ax 1=0，lnx 2−ax 2=0，lnx 1−lnx 2=a(x 1−x 2)， 先证1lnx 1+1lnx 2>2，即证lnx 2−lnx 1x 2−x 1<x 1+x 22x 1x 2，即证lnx 2lnx 1<x 22−x 122x 1x 2=12(x2x 1−x1x 2)令t =x 2x 1>1，即证lnt <12(t −1t )设φ(t)=lnt −12(t −1t )，则φ′(t)=2t−t 2−12t 2=−(t−1)22t 2<0函数φ(t)在(1, +∞)上单调递减，∴ φ(t)<φ(1)=0，∴ 证：1lnx 1+1lnx 2>2，又∵ ae <1，∴1lnx 1+1lnx 2>2ae ．22. ∵ PD 为圆的切线，切点为D ，AB 为圆的一条直径，∴ ∠PDA ＝∠DBA ，∠BDA ＝90∘， ∴ ∠DBA +∠DAB ＝90∘， ∵ PE ⊥AB∴ 在Rt △AFG 中，∠FGA +∠GAF ＝90∘， ∴ ∠FGA +∠DAB ＝90∘， ∴ ∠FGA ＝∠DBA ． ∵ ∠FGA ＝∠DGP ，∴ ∠DGP ＝∠PDA ， ∴ ∠DGP ＝∠PDG ， ∴ PG ＝PD ； 连接AE ，则∵ CE ⊥AB ，AB 为圆的一条直径， ∴ AE ＝AC ＝BD ， ∴ ∠EDA ＝∠DAB ， ∵ ∠DEA ＝∠DBA ， ∴ △BDA ≅△EAD ， ∴ DE ＝AB ，∴ DE 为圆的一条直径， ∴ 线段AB 与DE 互相平分．23. 解：(1)由{x =2cosθy =2+2sinθ ，得{x =2cosθy −2=2sinθ， 两式平方作和得：x 2+(y −2)2=4， 即C 1：x 2+y 2−4y =0；由ρ=−4cosθ，得ρ2=−4ρcosθ，即x 2+y 2=−4x ． 两式作差得：x +y =0，代入C 1得交点为(0, 0)，(−2, 2)．(2)如图，由平面几何知识可知，A ，C 1，C 2，B 依次排列且共线时|AB|最大． 此时|AB|=2√2+4，O 到AB 的距离为√2．∴ △OAB 的面积为S =12×(2√2+4)×√2=2+2√2．24. 解：（1）当a =2时，f(x)=|2x +1|+|x −2|，当x ≥2时，f(x)≤4，即为(2x +1)+(x −2)≤4，即x ≤53成立，则有2≤x ≤53； 当x ≤−12时，f(x)≤4，即为−(2x +1)−(x −2)≤4，即x ≥−1，则−1≤x ≤−12； 当−12<x <2时，f(x)≤4，即为(2x +1)−(x −2)≤4，即x ≤1，则有−12<x ≤1．则原不等式的解集为[−1, 1]；（2）由a <−12，x ≤−12可得f(x)+x ={−2x +a −1,x <a−a −1,a ≤x ≤−12， ∵ 存在x ≤−12使得f(x)+x ≤3成立， ∴ 3≥|f(x)+x|min =−a −1， ∴ 求得a ≥−4，则a 的取值范围为[−4, −12)．。
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理科数学
注意事项：
1．本试题分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第1卷l 至2贞，第Ⅱ卷：至4页．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置． 3．全部答案在答题卡卜-完成，答在本试题上无效． 4．考试结束后，将本试题和答题卡．一并交回．
第I 卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
l ． 5(2)x -的展开式中，二项式系数的最大值为 A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 2．
2
1(1)2
x dx -=
⎰
A ．-l
B ．0
C ．
1
2
D ．1 3．已知集合 {}{}
21
|,1,|2,23x A y y a y a B y y x -=<>+==≤≤或，若 A
B =∅，
则实数a 的取值范围是
A ． (,2)-∞ B. (
,3,2⎡⎤-∞⎣⎦
C. (,2)
3,2⎡⎤-∞⎣⎦ D ． ⎤⎦
4．设等差数列 {}n a 的前n 项和为n S ,若， 129288,162S S ==,则 6S = A ．18 B ．36 C ．54 D ．72
5．若直线 1)y x =
+与圆 221x y +=相交于A,B 两点，则 OA OB ⋅=
A. 12-
B ． 12
C ．
D ． 6．设函数 2
()2cos ()sin(2)6
3
f x x x π
π
=+++
，则
A ． ()f x 在区间 (,)2
π
π内单调递减 B ．()f x 在区间 (,)44
ππ
-
内单调递减
C ． ()f x 在区间(
,)2
π
π内单调递增 D ．()f x 在区间(,)44
ππ
-
【_孚，4）内单调递增
7．已知向量a ，b 的夹角为
23
π
，1b = ，且对任意实数x ，不等式 a xb a b +≥+恒成立，则 a =
A ．
B ．1
C ． 2
D ．
8．执行如图所示的程序框图，若输入的N 值为6，则输出的 所有S 值之和为
A ．26
B ．31
C ．32
D ．57
9． 12.,F F 分别为双曲线 22
22:1(0,)x y M a b a b
-=>>的左、右焦点，抛物线
2:2(0)N y px p =>的焦点为 2F ，点P 为双曲线M 与抛物线N 的一个交点，若线段 2PF 的中点在y 轴上，则该双曲线的离心率为
A ．
1 B ．
1
C ．
1
2
D ． 1
2
10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A ．8
B ． 83
C ．16
D ． 16
3
11．已知x ，y 满足约束条件 1,
210,
x y x y -≥⎧⎨-+≤⎩且目标函数 (0,0)z mx ny m n =-><的最大
值为-6，则
1
n
m -的取值范罔是 A. []
12,0,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ B. [)2,+∞ C. (,0)
(2,)-∞+∞ D. 1(,0)
,2⎡⎫
-∞+∞⎪⎢⎣⎭
12．已知 ()f x 为偶函数，当 0x ≥时 ()(21)(0)f x m x m =-->，若函数 [()]y f f x =恰有4个零点，则m 的取值范围为
A.(0,1)
B.(1,3)
C.(1,+∞)
D. ()3,+∞
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答， 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.设复数 12,z z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，且 121225,6z z z z ⋅=--=，则
12z z +=________.
14.已知定义在R 上的函数f(x)满足 (1)()1f x f x +=-当 [)0,1x ∈，则 (8)f -________. 15．已知四面体ABCD 的顶点都在球O 球面上，且球心O 在BC 上，平面ADC ⊥平面 BDC,A D=A C=BD ，∠DAC=90,若四面体ABCD 的体积为 4
3
，则球O 的体积为 ________. 16．设 811cos sin (sin )()33323
n n n n n a n n N πππ*+=
⋅⋅⋅-∈，则数列 {}n a 的前2015项的和 2015S =________.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分12分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且 sin cos a C A =
(1)求A ；
( II)若△ABC 的面积 S =ABC 周长的最小值．
18.（本小题满分12分）
如图，在三棱柱 111ABC A B C -中，侧面 11AA C C ⊥底面ABC ，
11
2,AA AC AC BC AC BC ====⊥，点S 是侧棱 1AA 延长线上一点，EF 是平面SBC 与平面 111A B C 的交线． ( I)求证 ：1EF AC ⊥；
(Ⅱ)求直线 1
AC 与平面 1A AB 所成角的正弦值． 19.（本小题满分12分）
如图，一个靶子由四个同心圆组成，且半径分别为l ，3，5，7．
规定：击中A ，B ，C ，D 区域分别可获得5分，3分，2分，1分，脱靶（即击中最大圆之外的某点）得0分．
( I)甲射击时脱靶的概率为0.02，若未脱靶则等可能地击中靶子上 的任意一点，求甲射击一次得分的数学期望；
(Ⅱ)已知乙每次射击击中的位置与圆心的距离不超过4，丙每次射击击中的位置与圆心的
距离不超过5．
(i)乙、丙二人各射击一次，且二人击中各自范围内每一点的可能性相等，求乙得分比丙高的概率；
(ii)乙、丙二人各射击一次，记U ，y 分别为乙、丙二人击中的位置到圆心的距离，且U ， V 取各自范围内的每个值的可能性相等，求乙获胜（即U<V ）的概率． 20.（本小题满分12分）
已知函数 ()ln ,()()()a
f x x
g x f x a R x
==-∈ ( I)判断函数g(x)的单调性；
(Ⅱ)是否存在实数m ，使得 1
()(1)x f x f m m x
++->-对任意x ≥1恒成立，若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 21.（本小题满分12分）
已知椭圆E 的两焦点分别为（-1,0），(1，0)，且点 2⎛ ⎝⎭
在椭圆E 上． (I)求椭圆E 的方程；
(Ⅱ)过点P （-2，0）的直线 l 交椭圆E 于两个不同的点A ，B ，且 (1)PB PA λλ=>，点C （不同于点B ）是点B 关于x 轴的对称点，求△AOC 面积的取值范围，
请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请 写清题号．
22.（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲
如图，在△ABC 中，点D 为线段BA 延长线上的一点， 且 ∠BDC = ∠A CB ， O 为△ADC 的外接圆．
(I)隶证：BC 是 O 的切线；
(Ⅱ)若 ∠B=45 ， ∠A CB=60，A B= AD 的长度． 23.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程选讲
已知点Q(2，0)和点 [)(2cos ,2sin 2),0,2P a a a π+∈．线段PQ 的中点为M.
( I)求点M 的轨迹的参数方程；
(Ⅱ)设点P 的轨迹与点M 的轨迹交于A ，B 两点，求△QAB 的面积． 24.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 已知 0,0,2a b a b >>+=． ( I)求
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a b
+=的最小值；
(Ⅱ)求证： 1≤。