河北省廊坊市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析

河北省廊坊市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）设全集U=R，集合A={x|x≥2}，B={x|0≤x＜5}，则集合（∁U A）∩B=（）A．{x|0＜x＜2} B．{x|0≤x＜2} C．{x|0＜x≤2} D．{x|0≤x≤2}2．（4分）函数f（x）=的定义域为（）A．（1，+∞）B．4．（4分）tan（﹣570°）+sin240°=（）A．B．C．D．5．（4分）三个数70.3，0.37，ln0.3从大到小的顺序是（）A．70.3，ln0.3，0.37B．70.3，0.37，ln0.3C．l n0.3，70.3，0.37D．0.37，70.3，ln0.36．（4分）已知向量=（1，1），=（2，x），若+与4﹣2平行，则实数x的值是（）A．﹣2 B．0C．1D．27．（4分）根据表格内的数据，可以断定方程e x﹣x﹣2=0的一个根所在的区间是（）x ﹣1 0 1 2 3e x0.37 1 2.72 7.39 20.08x+2 1 2 3 4 5A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）8．（4分）函数y=sin（ωx+φ）的部分图象如图，则φ、ω可以取的一组值是（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=C．ω=，φ=D．ω=，φ=9．（4分）若，则f（﹣1）的值为（）A．1B．2C．3D．410．（4分）将进货单价为80元的商品按90元出售时，能卖出400个．若该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚取最大的利润，售价应定为每个（）A．115元B．105元C．95元D．85元11．（4分）函数f（x）=1+log2x与g（x）=2﹣x+1在同一直角坐标系下的图象大致是（）A．B．C．D．12．（4分）设D、E、F分别是△A BC的三边BC、C A、A B上的点，且=2，=2，=2，则++与（）A．互相垂直B．既不平行也不垂直C．同向平行D．反向平行二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）13．（4分）已知tanα=3，则的值．14．（4分）已知f（x）=ax5+bx3+cx+1（a，b，c都不为零），若f（3）=11，则f（﹣3）=．15．（4分）若log a≥1，则a的取值范围是．16．（4分）下面有五个命题：①函数y=﹣sin4x+cos4x的最小正周期是π；②终边在y轴上的角的集合是{α|α=，k∈Z}}；③把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移得到y=3sin2x的图象；④函数y=sin（x﹣）在上是单调递减的；⑤直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanωx（ω＞0）相交的相邻两点间的距离是．其中真命题的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（8分）已知全集U=R，集合A={x|x＜﹣1}，B={x|2a＜x＜a+3}，且B⊆∁R A，求a的取值范围．18．（8分）已知α、β均为锐角，且cos（α+β）=，cos（2α+β）=，求cosα的值．19．（10分）已知向量=（﹣1，2），=（1，1），t∈R．（1）求向量与夹角的余弦值；（2）求|+t|的最小值及相应的t值．20．（10分）已知定义在R+上的函数f（x）同时满足下列三个条件：①f（3）=﹣1；②对任意x、y∈R+都有f（xy）=f（x）+f（y）；③x＞1时，f（x）＜0．（1）求f（9）、的值；（2）证明：函数f（x）在R+上为减函数；（3）解关于x的不等式f（6x）＜f（x﹣1）﹣2．21．（10分）廊坊市某所中学有一块矩形空地，学校要在这块空地上修建一个内接四边形的花坛（如图所示），该花坛的四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知A B=a（a＞2），BC=2，且A E=A H=CF=CG，设 A E=x，花坛面积为y．（1）写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；（2）当A E为何值时，花坛面积y最大？22．（10分）已知=（sin2x，cos2x），=（cos2x，﹣cos2x）．（Ⅰ）若当x∈（，）时，•+=﹣，求cos4x的值；（Ⅱ）cosx≥，x∈（0，π），若关于x的方程•+=m有且仅有一个实根，求实数m的值．河北省廊坊市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）设全集U=R，集合A={x|x≥2}，B={x|0≤x＜5}，则集合（∁U A）∩B=（）A．{x|0＜x＜2} B．{x|0≤x＜2} C．{x|0＜x≤2} D．{x|0≤x≤2}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：根据全集U=R，集合A={x|x≥2}，易知C U A={x|x＜2}再根据交集定义即可求解解答：解：∵全集U=R，集合A={x|x≥2}∴C U A={x|x＜2}∵B={x|0≤x＜5}∴（C U A）∩B={x|0≤x＜2}故选B点评：本题考查了补集、交集及其运算，属于基础题．2．（4分）函数f（x）=的定义域为（）A．（1，+∞）B．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．解答：解：原式=tan（﹣540°﹣30°）+sin（180°+60°）=﹣tan30°﹣sin60°=﹣﹣=﹣，故选：A．点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．5．（4分）三个数70.3，0.37，ln0.3从大到小的顺序是（）A．70.3，ln0.3，0.37B．70.3，0.37，ln0.3C．l n0.3，70.3，0.37D．0.37，70.3，ln0.3考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．解答：解：∵70.3＞1，0＜0.37＜1，ln0.3＜0．∴三个数70.3，0.37，ln0.3从大到小的顺序是：70.3，0.37，ln0.3．故选：B．点评：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．6．（4分）已知向量=（1，1），=（2，x），若+与4﹣2平行，则实数x的值是（）A．﹣2 B．0C．1D．2考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．分析：写出要用的两个向量的坐标，由+与4﹣2平行，根据向量共线的坐标形式的充要条件可得关于X的方程，解方程可得结果．解答：解：∵=（1，1），=（2，x），∴+=（3，x+1），4﹣2=（6，4x﹣2），由于+与4﹣2平行，得6（x+1）﹣3（4x﹣2）=0，解得x=2．故选D点评：本题也可以这样解：因为+与4﹣2平行，则存在常数λ，使+=λ（4﹣2），即（2λ+1）=（4λ﹣1），根据向量共线的条件知，向量与共线，故x=2．7．（4分）根据表格内的数据，可以断定方程e x﹣x﹣2=0的一个根所在的区间是（）x ﹣1 0 1 2 3e x0.37 1 2.72 7.39 20.08x+2 1 2 3 4 5A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）考点：二分法求方程的近似解．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：令f（x）=e x﹣x﹣2，求出选项中的端点函数值，从而由根的存在性定理判断根的位置．解答：解：由上表可知，令f（x）=e x﹣x﹣2，则f（﹣1）≈0.37+1﹣2＜0，f（0）=1﹣0﹣2=﹣1＜0，f（1）≈2.72﹣1﹣2＜0，f（2）≈7.39﹣2﹣2＞0，f（3）≈20.09﹣3﹣2＞0．故f（1）f（2）＜0，故选：C．点评：考查了二分法求方程近似解的步骤，属于基础题．8．（4分）函数y=sin（ωx+φ）的部分图象如图，则φ、ω可以取的一组值是（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=C．ω=，φ=D．ω=，φ=考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由图象观察可知周期的值，由周期公式即可求ω的值．又因为图象过点（1，1），即可解得φ的值，从而得解．解答：解：由图象观察可知：3﹣1=，可解得：T=8=，从而有ω=．又因为图象过点（1，1），所以有：sin（φ）=1，故可得：φ=2k，k∈Z，可解得：φ=2kπ，k∈Z当k=0时，有φ=．故选：B．点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，属于基础题．9．（4分）若，则f（﹣1）的值为（）A．1B．2C．3D．4考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．专题：计算题；分类法．分析：根据题意，﹣1∈（﹣∞，6），代入f（x）=f（x+3），求得f（﹣1）=f（2）=f（5）=f（8），8＞6，由此f（﹣1）的值求出．解答：解：当x＜6时，f（x）=f（x+3），则f（﹣1）=f（2）=f（5）=f（8）当x≥6时，f（x）=log2x，所以，f（﹣1）=f（8）=log28=3故选C．点评：本题考查分段函数求值，对于分段函数求值问题关键是找准不同范围的自变量对应着不同的函数解析式．代入相应的解析式求值，10．（4分）将进货单价为80元的商品按90元出售时，能卖出400个．若该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚取最大的利润，售价应定为每个（）A．115元B．105元C．95元D．85元考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：根据题意，设售价定为（90+x）元，由利润函数=（售价﹣进价）×销售量可得关于x的函数方程，由二次函数的性质可得答案．解答：解：设售价定为（90+x）元，卖出商品后获得利润为：y=（90+x﹣80）（400﹣20x）=20（10+x）=20（﹣x2+10x+200）；∴当x=5时，y取得最大值；即售价应定为：90+5=95（元）；故应选：C．点评：本题考查了商品销售中的利润关系，是二次函数模型，属于基础题．11．（4分）函数f（x）=1+log2x与g（x）=2﹣x+1在同一直角坐标系下的图象大致是（）A．B．C．D．考点：函数的图象与图象变化．专题：数形结合．分析：根据函数f（x）=1+log2x与g（x）=2﹣x+1解析式，分析他们与同底的指数函数、对数函数的图象之间的关系，（即如何变换得到），分析其经过的特殊点，即可用排除法得到答案．解答：解：∵f（x）=1+log2x的图象是由y=log2x的图象上移1而得，∴其图象必过点（1，1）．故排除A、B，又∵g（x）=2﹣x+1=2﹣（x﹣1）的图象是由y=2﹣x的图象右移1而得故其图象也必过（1，1）点，及（0，2）点，故排除D故选C点评：本题主要考查对数函数和指数函数图象的平移问题，属于容易题．12．（4分）设D、E、F分别是△A BC的三边BC、C A、A B上的点，且=2，=2，=2，则++与（）A．互相垂直B．既不平行也不垂直C．同向平行D．反向平行考点：平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的三角形法则、共线定理即可得出．解答：解：∵=2，=2，=2，∴++=++=，因此++与反向共线．故选：D．点评：本题考查了向量的三角形法则、共线定理，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）13．（4分）已知tanα=3，则的值．考点：弦切互化．专题：计算题．分析：把分子分母同时除以cosα，把弦转化成切，进而把tanα的值代入即可求得答案．解答：解：===故答案为：点评：本题主要考查了弦切互化的问题．解题的时候注意把所求问题转化成与题设条件有关的问题．14．（4分）已知f（x）=ax5+bx3+cx+1（a，b，c都不为零），若f（3）=11，则f（﹣3）=﹣9．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据已知条件可求出a•35+b•33+3c=10，所以便可求出f（﹣3）=﹣（a•35+b•33+3c）+1=﹣9．解答：解：由f（3）=11得：a•35+b•33+3c=10；∴f（﹣3）=﹣（a•35+b•33+3c）+1=﹣9．故答案为：﹣9．点评：考查奇函数的定义，知道要求f（﹣3）需求a•35+b•33+c•3．15．（4分）若log a≥1，则a的取值范围是≤a＜1．考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：函数的性质及应用．分析：根据对数的运算性质进行求解即可．解答：解：log a≥1等价为log a≥log a a，若a＞1，则等价为≥a，此时不成立，若0＜a＜1，则等价为≤a，即≤a＜1，故答案为：≤a＜1点评：本题主要考查对数不等式的求解，根据对数函数的单调性是解决本题的关键．16．（4分）下面有五个命题：①函数y=﹣sin4x+cos4x的最小正周期是π；②终边在y轴上的角的集合是{α|α=，k∈Z}}；③把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移得到y=3sin2x的图象；④函数y=sin（x﹣）在上是单调递减的；⑤直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanωx（ω＞0）相交的相邻两点间的距离是．其中真命题的序号是①③．考点：命题的真假判断与应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：①，利用三角函数间的关系式与二倍角的余弦，化简可得函数y=cos2x，可知其最小正周期是π，可判断①；②，写出终边在y轴上的角的集合，可判断②；③，利用三角恒等变换把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移，求得其解析式，可判断③；④，利用诱导公式化简得y=﹣cosx，再利用复合函数的单调性质，可判断④；⑤，利用正切函数的周期性质，可知直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanωx（ω＞0）相交的相邻两点间的距离是，可判断⑤．解答：解：对于①，因为y=﹣sin4x+cos4x=（sin2x+cos2x）（﹣sin2x+cos2x）=cos2x，其最小正周期是π，所以①正确；对于②，终边在y轴上的角的集合是{α|α=kπ+，k∈Z}，故②错误；对于③，把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移得到y=3sin=3sin2x的图象，故③正确；对于④，函数y=sin（x﹣）=﹣cosx在上是单调递增的，故④错误；对于⑤，直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanωx（ω＞0）相交的相邻两点间的距离是，故⑤错误．综上所述，以上5个选项中，只有①③正确，故答案为：①③．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查三角函数的恒等变换与图象变换，考查正弦函数、正切函数的周期性、余弦函数的单调性的应用，熟练掌握三角函数的图象与性质是关键，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（8分）已知全集U=R，集合A={x|x＜﹣1}，B={x|2a＜x＜a+3}，且B⊆∁R A，求a的取值范围．考点：集合的包含关系判断及应用；补集及其运算．专题：计算题；集合．分析：先求出∁R A，再由题意讨论集合B是否是空集，从而求a的取值范围．解答：解：由题意得∁R A={x|x≥﹣1}．∵B⊆∁R A．（1）若B=∅，即a+3≤2a，a≥3时，满足B⊆∁R A．（2）若B≠∅，则2a≥﹣1且2a＜a+3，即﹣≤a＜3．综上可得a≥﹣．点评：本题考查了集合的运算及集合之间的包含关系，注意讨论B是否是空集，属于基础题．18．（8分）已知α、β均为锐角，且cos（α+β）=，cos（2α+β）=，求cosα的值．考点：两角和与差的余弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由α=（2α+β）﹣（α+β），利用两角和的余弦公式可求cosα的值．解答：解：∵α、β均为锐角，∴0＜α+β＜π，0＜2α+β＜∵cos（α+β）=，cos（2α+β）=，∴sin（α+β）=，sin（2α+β）=，∴cosα=cos=cos（2α+β）cos（α+β）+sin（2α+β）sin（α+β）==．点评：把“待求角”用“已知角”的和、差、倍、补、余表示出来是常用角的变换，也是本题解题的关键，属于基本知识的考查．19．（10分）已知向量=（﹣1，2），=（1，1），t∈R．（1）求向量与夹角的余弦值；（2）求|+t|的最小值及相应的t值．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：（1）利用向量的数量积变形公式解答；（2）将|+t|表示为t的式子，利用二次函数求最值．解答：解：（1）设向量与夹角为θ，则cosθ=；（2）|+t|=，当t=﹣时，|+t|的最小值为．点评：本题考查了向量的数量积的坐标运算以及模的最值的求法，关键是熟练运用数量积公式解答．20．（10分）已知定义在R+上的函数f（x）同时满足下列三个条件：①f（3）=﹣1；②对任意x、y∈R+都有f（xy）=f（x）+f（y）；③x＞1时，f（x）＜0．（1）求f（9）、的值；（2）证明：函数f（x）在R+上为减函数；（3）解关于x的不等式f（6x）＜f（x﹣1）﹣2．考点：抽象函数及其应用．专题：综合题；转化思想．分析：（1）给已知中的等式中的x，y都赋值3求出f（9）；给x，y都赋值求出f（3）．（2）利用函数单调性的定义证明，只要将，利用已知中的等式及x＞1时，函数值的符号证出．（3）将不等式中的﹣2用f（9）代替；利用已知等式将f（x﹣1）+f（9）用一个函数值f（9x﹣9）代替，利用函数的单调性脱去f，求出不等式的解集．解答：（1）解：令x=y=3得f（9）=f（3×3）=f（3）+f（3）=﹣2令x=y=得（2）证明：设0＜x1＜x2，x1，x2∈R+∴f（x1）＞f（x2）∴f（x）在R+上为减函数．（3）不等式等价于，解得1＜x＜3．点评：本题考查求抽象函数的函数值常用的方法是赋值法、判断抽象函数的单调性常用的方法是函数单调性的定义、利用函数单调性解抽象不等式首先要将不等式写出f（m）＞f（n）的形式．21．（10分）廊坊市某所中学有一块矩形空地，学校要在这块空地上修建一个内接四边形的花坛（如图所示），该花坛的四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知A B=a（a＞2），BC=2，且A E=A H=CF=CG，设 A E=x，花坛面积为y．（1）写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；（2）当A E为何值时，花坛面积y最大？考点：函数最值的应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（1）先求得四边形ABCD，△AHE的面积，再分割法求得四边形EFGH的面积，即建立y关于x的函数关系式；（2）由（1）知y是关于x的二次函数，用二次函数求最值的方法求解．解答：解：（1）S△AEH=S△CFG=x2，（1分）S△BEF=S△DGH=（a﹣x）（2﹣x）．（2分）∴y=S ABCD﹣2S△AEH﹣2S△BEF=2a﹣x2﹣（a﹣x）（2﹣x）=﹣2x2+（a+2）x．（5分）由，得0＜x≤2（6分）∴y=﹣2x2+（a+2）x，0＜x≤2（7分）（2）当＜2，即a＜6时，则x=时，y取最大值．（9分）当≥2，即a≥6时，y=﹣2x2+（a+2）x，在（0，2]上是增函数，则x=2时，y取最大值2a﹣4（11分）综上所述：当a＜6时，AE=时，绿地面积取最大值；当a≥6时，AE=2时，绿地面积取最大值2a﹣4（12分）．点评：本题主要考查实际问题中的建模和解模能力，注意二次函数求最值的方法．22．（10分）已知=（sin2x，cos2x），=（cos2x，﹣cos2x）．（Ⅰ）若当x∈（，）时，•+=﹣，求cos4x的值；（Ⅱ）cosx≥，x∈（0，π），若关于x的方程•+=m有且仅有一个实根，求实数m的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（1）首先根据向量的数量积，进一步对三角函数进行恒等变换，结合题中的定义域，求出cos4x 的值．（2）根据函数的单调性和函数的交点情况，利用函数的图象求出参数m的值．解答：解：（1）∵已知=（sin2x，cos2x），=（cos2x，﹣cos2x）．∴===sin（4x﹣），∵•+=﹣，∴sin（4x﹣）=﹣，∵x∈（，），∴4x﹣∈（π，），∴cos（4x﹣）=﹣，∴cos4x=cos=cos（4x﹣）cos﹣sin（4x﹣）sin）=．（2）∵x∈（0，π），cosx在（0，π）上是单调递减函数．∴0＜x≤令f（x）=•+=sin（4x﹣）g（x）=m根据在同一坐标系中函数的图象求得：m=1或m=﹣．故答案为：（1）cos4x=；（2）m=1或m=﹣．点评：本题考查的知识点：向量的数量积，三角函数式的恒等变换，三角函数的求值，函数的单调性，三角函数的图象，以及参数的取值问题．。