第22章一元二次方程的解法
华师版九年级上册数学作业课件 第22章一元二次方程 一元二次方程的解法 一元二次方程的根与系数的关系
2x1x2 的值为 2
.
17．已知一元二次方程 x2－ax－2a＝0 的两根之和为 4a－3，则两根之积为
－2 .
18．(2018·达州)已知：m2－2m－1＝0，n2＋2n－1＝0 且 mn≠1，则
mn＋nn＋1的值为 3
.
19．(2018·遂宁)已知关于 x 的一元二次方程 x2－2x＋a＝0 的两实数根 x1， x2 满足 x1x2＋x1＋x2＞0，求 a 的取值范围．
A．－4
B．3
C．－34
4 D.3
3．一元二次方程 x2－3x－2＝0 的两根为 x1，x2，则下列结论正确的是 ( C)
A．x1＝－1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝－2
C．x1＋x2＝3 D．x1x2＝2
4．如果关于 x 的一元二次方程 x2＋px＋q＝0 的两根分别为 x1＝2，x2＝－ 1，那么 p，q 的值分别是( B )
(1)(x1＋1)(x2＋1)； 解：x1＋x2＝－2，x1x2＝－12，∴(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＝－32
(2)x12－3x1x2＋x22. 解：x12－3x1x2＋x22＝(x1＋x2)2－5x1x2＝6.5
易错点：忽视判断 b2－4ac 的符号而出错 13．若关于 x 的一元二次方程 x2＋kx＋4k2－3＝0 的两个实数根分别是 x1，
解：(1)∵(x1－1)(x2－1)＝28，∴x1x2－(x1＋x2)＋1＝28，∴m2＋5－2(m＋1) ＋1＝28，解得 m＝－4 或 6，又 b2－4ac≥0，∴m≥2，∴m＝6
(2)当 7 为底边时，此时方程 x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0 有两个相等的实数 根，∴Δ＝4(m＋1)2－4(m2＋5)＝0，解得 m＝2，∴方程变为 x2－6x＋9＝0，解 得 x1＝x2＝3，∵3＋3<7，∴不能构成三角形；当 7 为腰时，设 x1＝7，代入方程 得 49－14(m＋1)＋m2＋5＝0，解得 m1＝10，m2＝4，当 m＝10 时方程变为 x2－ 22x＋105＝0，解得 x1＝7，x2＝15，∵7＋7<15，不能构成三角形；当 m＝4 时方 程变为 x2－10x＋21＝0，解得 x1＝3，x2＝7，此时三角形的周长为 7＋7＋3＝17
华师版九年级数学上册课件(HS)第22章 一元二次方程 一元二次方程的解法 直接开平方法和因式分解法
17．(湘潭中考)由多项式乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到 左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋ a)(x＋b) 示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3) (1)尝试：分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋________)(x＋________)； (2)应用：请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.
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22．2 一元二次方程的解法
第1课时 直接开平方法和因式分解法
知识点❶：用直接开平方法解一元二次方程
1．(徐州中考)方程 x2－4＝0 的解是_±_2__．
2．下列方程能用直接开平方法求解的是( B )
A．2x2－x＋1＝5
B．x2－41 ＝3
C．x2－x＋1＝4 D．x2－3x＝5
3．用直接开平方法解下列方程： (1)(教材 P21 例题 1 变式)2x2－32＝0；
解：x1＝4，x2＝－4
(2)(教材 P23 例题 3 变式)(2020·扬州)(x＋1)2＝9；
解：x1＝2，x2＝－4
(3)16y2－40y＋25＝72.
解：y1＝－21 ，y2＝3
知识点❷：用因式分解法解一元二次方程 4．(2020·镇江)一元二次方程 x2－2x＝0 的两根分别为_x_1_＝__0_，__x_2_＝__2__．
7．若实数 x，y 满足(x2＋y2＋1)(x2＋y2－2)＝0， 则 x2＋y2 的值为( B ) A．－1 B．2 C．2 或－1 D．－2 或－1
8．(凉山州中考)若关于 x 的方程 x2＋2x－3＝0 与x＋2 3 ＝x－1 a 有一个解相同，
九年级数学第二十二章降次—解一元二次方程人教实验版知识精讲
初三数学第二十二章降次—解一元二次方程人教实验版【本讲教育信息】一. 教学内容：用因式分解法解一元二次方程1. 用因式分解（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程．2. 根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．体会解决问题方法的多样性．二. 知识要点： 1. 因式分解法解方程x 2－x ＝0．方程左边x 2－x 可以分解因式：x 2－x ＝x （x －1），于是： x ＝0或x －1＝0．所以x 1＝0，x 2＝1． 上述解法过程中，不是不用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解法叫做因式分解法． 2. 因式分解法解一元二次方程的主要步骤： （1）将方程化成右边等于0的形式；（2）将方程左边分解因式（两个一次因式的积），方程化成（ax ＋m ）（bx ＋n ）＝0的形式；（3）由ax ＋m ＝0或bx ＋n ＝0得出方程的根．3. 直接开方法、配方法、公式法、因式分解法的对比形如x 2＝a （a ≥0）或（ax ＋b ）2＝c （c ≥0）的用直接开方法解．因为一元二次方程的求根公式是由配方法推导出来的，对一般形式的一元二次方程一般不用配方法求根，可考虑因式分解法或公式法．三. 重点难点：因式分解法把一个一元二次方程化为两个一元一次方程来解，体现了“降次”的思想，这种思想不但是本节的重点，而且在以后处理其他方程时也是非常重要的．【典型例题】例1. 用因式分解法解下列方程：（1）5x 2＋3x ＝0；（2）7x （3－x ）＝4（x －3）；（3）9（x －2）2＝4（x ＋1）2． 分析：（1）左边＝x （5x ＋3），右边＝0；（2）先把右边化为0，7x （3－x ）－4（x －3）＝0，找出（3－x ）与（x －3）的关系；（3）应用平方差公式．解：（1）因式分解，得x （5x ＋3）＝0， 于是得x ＝0或5x ＋3＝0，x 1＝0，x 2＝－35；（2）原方程化为7x （3－x ）－4（x －3）＝0， 因式分解，得（x －3）（－7x －4）＝0， 于是得x －3＝0或－7x －4＝0，x 1＝3，x 2＝－47；（3）原方程化为9（x －2）2－4（x ＋1）2＝0， 因式分解，得[3（x －2）＋2（x ＋1）][3（x －2）－2（x ＋1）]＝0， 即（5x －4）（x －8）＝0， 于是得5x －4＝0或x －8＝0，x 1＝45，x 2＝8．评析：（1）用因式分解法解一元二次方程的关键有两个：一是要将方程右边化为0，二是熟练掌握多项式的因式分解．（2）对原方程变形时不一定要化为一般形式，要从便于分解因式的角度考虑，但各项系数有公因数时可先化简系数．例2. 选择合适的方法解下列方程．（1）2x 2－5x ＋2＝0； （2）（1－x ）（x ＋4）＝（x －1）（1－2x ）；（3）3（x －2）2＝x 2－2x ． 分析：（1）题宜用公式法；（2）题中找到（1－x ）与（x －1）的关系用因式分解法；（3）题中x 2－2x ＝x ·（x －2）用因式分解法．解：（1）a ＝2，b ＝－5，c ＝2， b 2－4ac ＝（－5）2－4×2×2＝9＞0， x ＝－（－5）±92×2＝5±34，x 1＝2，x 2＝12；（2）原方程化为（1－x ）（x ＋4）＋（1－x ）（1－2x ）＝0， 因式分解，得（1－x ）（5－x ）＝0， 即（x －1）（x －5）＝0， x －1＝0或x －5＝0， x 1＝1，x 2＝5；（3）原方程变形为3（x －2）2－x （x －2）＝0， 因式分解，得（x －2）（2x －6）＝0， x －2＝0或2x －6＝0， x 1＝2，x 2＝3． 评析：（1）解一元二次方程的几种方法中，如果不能直接由平方根定义解得，首先考虑的方法通常是因式分解法，对于不易分解的应考虑公式法，而配方法比较麻烦．公式法、配方法一般可以解所有一元二次方程．例3. 已知（a 2＋b 2）2－（a 2＋b 2）－6＝0，求a 2＋b 2的值．分析：若把（a 2＋b 2）看作一个整体，则已知条件可以看作是以（a 2＋b 2）为未知数的一元二次方程．解：设a 2＋b 2＝x ，则原方程化为x 2－x －6＝0．a ＝1，b ＝－1，c ＝－6，b 2－4ac ＝12－4×（－6）×1＝25＞0， x ＝1±252，∴x 1＝3，x 2＝－2．即a 2＋b 2＝3或a 2＋b 2＝－2， ∵a 2＋b 2≥0，∴a 2＋b 2＝－2不合题意应舍去，取a 2＋b 2＝3．评析：（1）本题求的是a 2＋b 2，而题中条件是关于a 2＋b 2的，把a 2＋b 2看成一个整体是一个朴素的数学思想，能帮助我们解决一些较“麻烦”的问题．（2）根据非负数的性质有a 2＋b 2≥0，在做题时要注意隐含条件．例4. （1）当代数式x 2＋7x ＋6的值与x ＋1的值相同时，x 的值为多少？（2）方程x 2＋2x －8＝0的正整数解为几？分析：（1）两个代数式值相等，即x 2＋7x ＋6＝x ＋1，解这个方程可得x 的值；（2）先解出方程的两个根再看其中的正整数根．解：（1）x 2＋7x ＋6＝x ＋1， x 2＋6x ＋5＝0，a ＝1，b ＝6，c ＝5，b 2－4ac ＝16＞0．所以x ＝－6±162，x 1＝－1，x 2＝－5，所以x 的值为－1或－5．（2）解方程x 2＋2x －8＝0， a ＝1，b ＝2，c ＝－8，b 2－4ac ＝22－4×1×（－8）＝36＞0， x ＝－2±362＝－1±3， x 1＝2，x 2＝－4．所以方程x 2＋2x －8＝0的正整数解为2．评析：（1）题中涉及代数式的值的问题，实质上方程就是表示含有未知数的两个代数式的值相等的式子；（2）题中方程用了公式法，用因式分解法也很方便．例5. 用一根长40cm 的铁丝围成一个面积为91cm 2的矩形，问这个矩形长是多少？若围成一个正方形，它的面积是多少？分析：设长为xcm ，则宽为（402－x ）cm ，由相等关系长×宽＝面积列出方程．解：设长为xcm ，则宽为（402－x ）cm ，由矩形面积等于91cm 2，得x ·（402－x ）＝91，解这个方程，得x 1＝7，x 2＝13．当x ＝7cm 时，402－x ＝20－7＝13（cm ）（舍去）；当x ＝13cm 时，402－x ＝20－13＝7（cm ）．当围成正方形时，它的边长为404＝10（cm ），面积为102＝100（cm 2）．答：矩形的长为13cm ，若围成正方形，则这个正方形的面积为100cm 2．评析：有一些几何面积问题用到一元二次方程，解这类题时要注意一些条件，如习惯上矩形中较长的边称为长，而较短的边称为宽，故本题中取长为13cm ，宽为7cm 较合适．例6. 解方程2（12－x ）2－（x －12）－1＝0．分析：因为（12－x ）2＝（x －12）2，如果把（x －12）看成一个整体，并设x －12＝y ，则原方程化为2y 2－y －1＝0，先求出y 的值，再反过来求x 的值． 解：设x －12＝y ，原方程化为2y 2－y －1＝0，a ＝2，b ＝－1，c ＝－1，b 2－4ac ＝9＞0，y ＝－（－1）±92×2＝1±34．y 1＝1，y 2＝－12．当y ＝1时，x －12＝1，x ＝32；当y ＝－12时，x －12＝－12，x ＝0．所以原方程的解是x 1＝32，x 2＝0．评析：本题如果化成一般形式再求解可能要麻烦些，这里使用了把x －12设为y 的做法，回避了很多计算，这种方法叫做换元法．【方法总结】1. 对某些方程而言因式分解法比较快捷，一般选择方法时应先考虑因式分解法，不适合因式分解法的再考虑其它方法．2. 注意体验类比、转化、降次的数学思想方法．解一元一次方程的基本思路是整理后把未知数的系数化成1；解一元二次方程的基本思路是通过开平方或因式分解把一元二次方程降次、转化成一元一次方程．【预习导学案】（实际问题与一元二次方程） 一. 预习前知1. 两个数的差等于3，积等于18，则这两个数是__________．2. 三个连奇数的平方和等于155，则这三个数是__________．3. 矩形的长比宽大4厘米，面积等于60厘米2，则它的周长为__________．4. 经实验，某物体运动规律满足等式s ＝40t －5t 2，问t ＝__________时，s ＝60． 二. 预习导学1. 两个数的和为2，且积为－15，那么求其中一个数x ，列方程为（ ）A ．x 2－2x －15＝0B ．x 2＋2x ＋15＝0C ．x 2－2x ＋15＝0D ．x 2＋2x －15＝02. 某厂2008年总产值达1493万元，比2007年增长11.8%，下列说法： ①2007年总产值为1493（1－11.8%）万元； ②2007年总产值为1493÷（1－11.8%）万元； ③2007年总产值为1493÷（1＋11.8%）万元；④若按11.8%的年增长率计算，2010年总产值预计为1493（1＋11.8%）万元．其中正确的是（ ） A ．③④ B ．②④ C ．①④ D ．①②③3. 在一块长12m ，宽10m 的长方形平地中央划出一块地，砌成面积为48m 2的长方形花台，使花台四周的空地的宽度一样，①则花台面积占长方形平地面积的__________；②空地面积与花台面积的比是__________；③如果求花台四周空地的宽度x ，则所列方程为__________． 反思：（1）列一元二次方程解实际问题的一般步骤是怎样的？（2）用一元二次方程解实际问题应该注意什么？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一. 选择题1. 方程x （x －1）＝0的根是（ ） A. 0 B. 1 C. 0，－1 D. 0，12. 方程9（x ＋1）2－4（x －1）2＝0的正确解法是（ ） A. 直接开方得3（x ＋1）＝2（x －1）B. 化为一般形式13x 2＋5＝0C. 分解因式得[3（x ＋1）＋2（x －1）][3（x ＋1）－2（x －1）]＝0D. 直接得x ＋1＝0或x －1＝03. 解方程（5x －1）2＝3（5x －1）的适当方法是（ ） A. 直接开方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法 4. 若实数x 、y 满足（x ＋y ＋2）（x ＋y －1）＝0，则x ＋y 的值为（ ） A. 1 B. －2 C. 2或－1 D. －2或1 5. 方程3x （x －2）＝0的解是（ ）A. x 1＝3，x 2＝2B. x 1＝0，x 2＝2C. x 1＝13，x 2＝2 D. x 1＝0，x 2＝－2*6. 若a 使得x 2＋4x ＋a ＝（x ＋2）2－1成立，则a 的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2*7. 如果x 2＋x －1＝0，那么代数式x 3＋2x 2－7的值是（ ） A. 6 B. 8 C. －6 D. －8 **8. 已知（x ＋y ）（1－x －y ）＋6＝0，则x ＋y 的值为（ ） A. 2 B. －3 C. －2或3 D. 2或－3二. 填空题1. 一元二次方程x 2－2x ＝0的根是__________． 2. 方程（x －1）（x ＋2）＝2（x ＋2）的根是__________． *3. 方程 （x －1）（x ＋2）（x －3）＝0的根是__________． 4. 方程x （2x －1）＝3（2x －1）的根是__________．*5. 使代数式x 2＋x －2的值为0的x 的值是__________．6. 一个数平方的2倍等于这个数的7倍，这个数是__________．**7. 三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程x 2－12x ＋20＝0的一个实数根，则三角形的周长是__________．*8. 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，若b ＝a ＋c ，则这个方程必有一根为__________．三. 解答题1. 用因式分解法解下列方程：（1）（x －2）2－9＝0；（2）3y 2＋y ＝0；（3）2x （3x ＋2）＝9x ＋6；（4）（3x －1）2＝4（x ＋2）2．2. 用适当的方法解下列方程：（1）（5－8x ）2＝2；（2）x 2＋8x ＝20；（3）3x 2＋2x －3＝0；（4）（x －1）（x ＋2）＝70．3. 试求使代数式（x －7）（x ＋3）的值比（x ＋5）大10的x 的值．4. 审查下面解方程（x －1）2＝2（x －1）的过程回答问题． 方程两边都除以（x －1）得x －1＝2， ∴x ＝3．上述过程对不对，为什么？*5. 直角三角形的三边长是三个连续整数，求这个直角三角形的斜边的长．试题答案一. 选择题1. D2. C3. D4. D5. B6. C7. C8. C二. 填空题1. x 1＝0，x 2＝22. x 1＝－2，x 2＝33. x 1＝1，x 2＝－2，x 3＝34. x 1＝12，x 2＝3 5. x 1＝－2，x 2＝1 6. 0或72 7. 24 提示：方程的解为2或10，当x ＝2时，与另两边8和6不能组成三角形应舍去．所以x ＝10，三角形周长为24． 8. x ＝－1三. 解答题1. （1）x 1＝－1，x 2＝5；（2）y 1＝0，y 2＝－33；（3）x 1＝32，x 2＝－23；（4）x 1＝5，x 2＝－35． 2. （1）x 1＝5－28，x 2＝5＋28；（2）x 1＝2，x 2＝－10；（3）x 1＝－1＋103，x 2＝；（4）x 1＝8，x 2＝－9．3. 根据题意（x －7）（x ＋3）－（x ＋5）＝10，解得x 1＝9，x 2＝－4．4. 不对．当x －1＝0时，原方程成立，此时x ＝1；当x －1≠0时，两边同除以x －1得x －1＝2．即x ＝3．所以原方程的解是x 1＝1，x 2＝3．5. 设斜边长为x ，则两直角边分别为x －2，x －1．根据题意可得（x －2）2＋（x －1）2＝x 2，解得x 1＝1，x 2＝5．当x ＝1时x －2＝－1，x －1＝0，不符合题意舍去；当x ＝5时x －2＝3，x －1＝4，所以三角形的斜边长为5．。
第22章 一元二次方程及其解法
第22章 一元二次方程及其解法：1、定义：形如：ax 2+bx+c=0(a≠0)的方程叫一元二次方程。
① 是整式方程，②未知数的最高次数是二次，③只含有一个未知数，④二次项系数不为零。
2、化为一元二次方程的一般形式：按降幂排列，二次项系数通常为正，右端为零。
3、一元二次方程的根：一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
代入使方程成立。
解一元二次方程，实际上是把一元二次方程“降次”转化为两个一元一次方程。
4、一元二次方程的解法：①配方法：移项→二次项系数化为一→两边同时加上一次项系数的一半→配方→开方→写出方程的解。
②公式法：x=(-b±√b 2-4ac)/2a.一元二次方程的根的判别式：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，②当△=0时，方程有两个相等的实数根，③当△＜0时，方程没有实数根。
注意：应用的前提条件是：a≠0.③直接开平方法④因式分解法：右端为零，左端分解为两个因式的乘积。
（提取公因式；完全平方公式；平方差公式）22.1 一元二次方程一、回顾：1.判断题（下列方程中，是一元二次方程的在括号内划“√”，不是一元二次方程的，在括号内划“×”）1．5x 2+1=0 （ ）2．3x 2+x 1+1=0 （ ） 3．4x 2=ax (其中a 为常数) （ ）4．2x 2+3x =0 （ ） 5．5132+x =2x （ ） 6．22)(x x + =2x （ ）7．｜x 2+2x ｜=4 （ ）2.关于x 的方程（k －2）x ∣k ∣－3=0是一元二次方程，则k 的值为( )A.±2B.2C.－2D.－13.绿苑小区住宅设计，准备在每两栋楼房之间开辟面积为900 m 2的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？如果设其长为x 米，那么所列的方程是( )A.x(10+x)=900B.x(10－x)=900C.x 2－10x+900=0D.x 2－10x －900=04.一元二次方程x 2－4=0的根为( )A.x=2B.x=－2C.x 1=2,x 2=－2D.x=45．关于x 2=－2的说法，正确的是（ ）A ．由于x 2≥0，故x 2不可能等于－2，因此这不是一个方程B ．x 2=－2是一个方程，但它没有一次项，因此不是一元二次方程C ．x 2=－2是一个一元二次方程D ．x 2=－2是一个一元二次方程，但不能解6.方程（x+4）2=2x －3化为一般式是____________,二次项系数是____________,一次项系数是____________,常数项是____________.二、强化训练：1.下列关于x 的方程中，一元二次方程的个数有( ) 2x 2－32x=0 x x 1 =2x －1 x 2－3y=0 x 2－x 2(x 2+1)－3=0 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个2.已知关于x 的方程（k+3）x 2－3kx+2k －1=0,它一定是( )A.一元二次方程B.一元一次方程C.一元二次方程或一元一次方程D.无法确定3.方程（x －1）（x+3）=12化为ax 2+bx+c=0形式后，a,b,c 的值为( )A.1，－2，－15B.1，－2，－15C.1，2，－15D.－1，2，－154.如果a 的值使x 2+4x+a=(x+2)2－1成立，那么，a 的值为( )A.5B.4C.3D.25.关于x 的方程（m 2－4）x 2－（m －2）x －1=0，当m__________时,是一元二次方程；当m=_________时是一元一次方程.6.关于x 的方程ax 2－2m －3=x （2－x ）是一元二次方程，则a 的取值范围是____________.7.列方程解应用题：两连续偶数的积是120，求这两个数.设其中一个较大的偶数为x ，可列方程为____________,化为一般式为____________三、巩固与加强1.方程3x 2－4=－2x 化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )A.3，－4，－2B.3，2，－4C.3，－2，－4D.2，－2，0 2.若方程（m －1）x 2+m x=1是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是( )A.m≠1B.m≥0C.m≥0且m≠1D.m 为任意实数3.若x=1－m1是方程mx －2m+2=0的根,则x －m 的值为( ) A.0 B.1 C.－1 D.24.关于x 的一元二次方程(a －1)x 2+x+a 2－1=0的一个根是0,则a 的值为( )A.1B.－1C.1或－1D.21 5.px 2－3x+p 2－p=0是关于x 的一元二次方程，则( )A.p=1B.p ＞0C.p≠0D.p 为任意实数6.关于x 的方程mx 2－3x=x 2－mx+2是一元二次方程的条件是____________.7.以下各方程:①2x 2－x －3=0 ②4y －y 2=0 ③x 3－x 2=1 ④t 2=0 ⑤x 2－y －1=0 ⑥21x －3=0,其中不是一元二次方程的是___________(只需填序号即可).8.若x=1是一元二次方程ax 2=bx+2的一个根，则a －b 的值为____________.9.使分式242+-x x 的值等于零的x 是____________. 10.依据下列条件，分别编写两个关于x 的一元二次方程:(1)方程有一个根是－1，一次项系数是－5；(2)有一个根是2，二次项系数为1.22.2 降次——解一元二次方程 达标训练一、基础训练：1．将下列方程各根分别填在后面的横线上：（1）x 2=169, x 1= ，x 2= ;（2）45－5x 2=0, x 1= ，x 2= .2.填空：（1）x 2+6x +（ ）＝（x + ）2；（2）x 2－8x +（ ）＝（x －）2；（3）x 2+23x +（ ）＝（x + ）2. 3.方程x 2+6x －5=0的左边配成完全平方后所得方程为（ ）A.（x +3）2=14B.(x －3)2=14C.(x +6)2=12D.以上答案都不对4.用配方法解下列方程，配方错误的是（）A.x 2+2x －99=0，化为（x +1）2=100B.t 2－7t －4=0，化为 (t －27)2=465 C.x 2+8x +9=0，化为（x +4）2=25 D.3x 2－4x －2=0，化为(x －32)2=910 5.方程2x 2－8x －1=0 应用配方法时，配方所得方程为 .6.如果x 2－2(m +1)x +m 2+5=0是一个完全平方公式，则m .7.当m 为 时，关于x 的方程(x －p )2+m =0有实数解.8.解下列方程：（1）9x 2=8； （2）9(x +31)2=4； （3）4x 2+4x +1=25.二、巩固加强:9．解下列方程：（选择合适的方法）x 2+x －1=0 2x 2－5x +2=0 2x 2－4x +1=0.（x －1）2=4. x 2－4x +1=0.10．（1）用配方法证明2x 2－4x +7恒大于零；（2）由第（1）题的启发，请你再写出三个恒大于零的二次三项式.。
九年级数学上册第22章一元二次方程的解法2配方法pptx课件新版华东师大版
16 ． 将 代 数 式 x2 － 10x ＋ 5 配 方 后 ， 发 现 它 的 最 小 值 为 __－__2_0___．
第22章 一元二次方程
2．配方法
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新知笔记
1 见习题
2 完全平方式； 非负常数
1D 2B 3A
4C
5 见习题
答案显示
6 见习题 7A 8C 9D 10 见习题
11 见习题 12 D 13 A 14 A 15 181
答案显示
16 －20 17 1或－3
18 见习题
19 见习题
1．一元二次方程配方的方法：(1)当二次项系数为1时，方 程两边都加上___一__次__项__系__数__一__半_______的平方；(2)当二 次项系数不为1时，方程两边同时除以 ____二__次__项__系__数____，将二次项系数化为1后再配方．
4．用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的 是( C ) A．x2－2x＝5 B．x2－8x＝4 C．x2－4x＝3 D．x2＋2x＝5
5．【教材改编题】将下列各式配方：
(1)x2－4x＋___4___＝(x－__2____)2；
(2)x2＋12x＋__3_6___＝(x＋___6___)2；
(3)x2－
3 2
9
3
x＋___16___＝(x－___4___)2；
(4)x2＋2 2 x＋___2___＝(x＋____2__)2.
6．用配方法解方程： (1)【2021·厦门期末】x2－2x－5＝0；
2023九年级数学上册第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法3公式法教案(新版)华东师大版
作用与目的：
-巩固学生在课堂上学到的“一元二次方程的解法--公式法”知识点和技能。
-通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。
-通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。
学生学习效果
1.知识与技能：
-学生能够理解一元二次方程的解法--公式法的基本概念和原理。
重点难点及解决办法
重点：一元二次方程的公式法及其应用。
难点：理解并运用公式法求解实际问题，掌握公式法与判别式之间的关系。
解决办法：
1.通过具体实例，引导学生理解一元二次方程的公式法，让学生在实际问题中体会公式的运用。
2.利用数形结合，让学生直观地理解公式法与判别式之间的关系，突破难点。
3.设计梯度性练习题，让学生在练习中逐步掌握公式法的运用，巩固知识点。
-学生能够运用公式法求解一元二次方程，并正确运用判别式判断方程的解的情况。
-学生能够在实际问题中运用公式法，求解实际问题，并能够解释结果的实际意义。
2.过程与方法：
-学生能够通过自主探索和小组合作的方式，积极主动地参与课堂学习和实践活动。
-学生能够通过听讲、思考和讨论，深入理解一元二次方程解法--公式法的内涵和应用。
3.在线学习平台：利用在线学习平台，提供丰富的学习资源和练习题，方便学生自主学习和巩固知识。
4.实物教具：使用实物教具，如数学模型、图形展示等，帮助学生更好地理解和掌握一元二次方程的解法。
5.练习册与评价工具：提供练习册和评价工具，及时检测学生的学习效果，为学生提供反馈和指导。
教学实施过程
1.课前自主探索
-提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。
人教版九年级上册数学第22章 二次函数 用二次函数的图象解一元二次方程 (不等式)
(2)解法二：利用二次函数的图象与坐标轴的交点求解．如图①，方程x2－x－1＝ 0的根是二次函数y＝______________的图象与x轴交点的横坐标，即x1，x2 就是方程的解．
x2－x－1
(3)解法三：利用两个函数图象的交点求解．
①方程x2－x－1＝0的根是二次函数y＝________的图象与直线y＝________的交
12．(2019·温州)如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝－12x2 ＋2x＋6 的图象交 x 轴于点 A，B.
(1)求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值 范围．
解：令 y＝0，则－12x2＋2x＋6＝0，解得 x1＝－2，x2＝6. ∴A(－2，0)，B(6，0)． 由函数图象得，当 y≥0 时，－2≤x≤6.
人教版九年级上
第22章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程 第2课时 用二次函数的图象解一元二
次方程 (不等式)
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1 见习题 2D 3C 4B 5D
答案显示
6 x1＜x＜x2；x<x1或x＞x2 7D 8B 9 x＜－3或x＞1 10 见习题
11 见习题 12 见习题
答案显示
【答案】x＜－3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx＞1
10．小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”总结了以下几种方法，请 你将有关内容补充完整．
例题：求一元二次方程x2－x－1＝0的两个根． (1)解法一：选择一种合适的方法(公式法、配方法、因式分解法)求解．
解：公式法：∵a＝1，b＝－1，c＝－1， ∴Δ＝b2－4ac＝(－1)2－4×1×(－1)＝5＞0. ∴x＝1±2 5，即 x1＝1＋2 5，x2＝1－2 5.(所选方法不唯一)
华东师大版九年级数学上册《22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 公式法》公开课课件_24
2a
2 1
2
即 x1 2, x2 3.
四、巩固练习
用公式法解下列方程：（课本第12页练习1）
(1)x2 x 6 0; (4)4x2 6x 0;
解（：4）a 4, b 6, c 0.
b2 4ac (6)2 4 4 0 36 0.
解：（1）a 1, b 4, c 7.
b2 4ac (4)2 4 1 (7) 44 0.
方程有两个不等的实数根
x b b2 4ac (4) 44 4 2 11 ,
2a
2 1
2
即 x1 2 11, x2 2 11.
(2)求出 b2-4ac 的值（若b2-4ac<0 ，方程无实数根）；
一般步骤：
(3)在b2-4ac≥0的前提下,把 a,b,c 的值代入求根公式进行计算；
(4)写出方程的根: x1=?, x2=?
八、课堂反思
1、这节课你获得了哪些知识与方法？ 2、这节课你在解决问题的过程中，有哪些 易错点？ 3、这节课你还有哪些疑惑未解决？
有两个不等的实数根，则m的取值范围 是 m<1 .
解： b2 4ac (2)2 4 1 m 4 4m 0,
m 1.
2、已知关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有
两个不等的实数根，则k的取值范围是（ B ）
A.k>-1
B. k>-1 且k≠0
C.k<1
4.如果分式 x2 x 2 的值为零， 那么x= -2 . x 1
七、总结提高
根的判别式:∆=b2-4ac
∆>0 有两个不等的实数根 ∆=0 有两个相等的实数根 ∆<0 无实数根