天津一中2017届高三第一次月考数学(理)试卷
【天津市第一中学】2017届高三上学期第三次月考数学(理科)试卷
（2）若 ，当 时，求数列 的前 项和 的最小值；
（3）若 ，问是否存在实数 ，使得 是递增数列？若存在，求出 的范围；若不存在，说明理由。
19．已知椭圆 的焦距为 ，其上下顶点分别为 ，点 ， ，
。
（1）求椭圆 的方程及离心率；
（2）点 的坐标为 ，过点 任意作直线 与椭圆 相交于点 两点，设直线 的斜率依次成等差数列，探究 之间是否满足某种数量关系，若是，请给出 的关系式，并证明；若不是，请说明理由。
D．命题“ ， 使得”的否定是“ ”
3．设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为）
A．5B．4C．3D．2
4．如图所示的程序框图输出的所有点都在函数（）
A． 的图像上B． 的图像上
C． 的图像上D． 的图像上
5．在 中， ， ， 分别为角 ， ， 所对的边， ， ，面积 ，则 为（）
A． B． C． D．
天津市第一中学2017届高三上学期第三次月考数学（理科）试卷
第Ⅰ卷（本卷共8道题，每题5分，共40分）
一、选择题：
1．设全集 ，集合 ， ，则 （）
A． B．
C． D．
2．下列说法正确的是（）
A．若 ，则“ ”是“ ”的必要不充分条件
B．“ 为真命题”是“ 为真命题”的必要不充分条件
C．若命题 “ ”，则 是真命题
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（本卷共12道题，共110分）
二、填空题：
9．若复数 （ ， 为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，则_____________。
10．某几何体的三视图如图所示（单位： ），则该几何体的体积是_____________ 。
11．若 ，则二项式 的展开式各项系数的和为_____________。
2017-2018年天津一中高三(下)4月月考数学试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年天津一中高三（下）4月月考数学试卷（理科）一、选择题：1．（5分）已知集合A＝{x|3x2+x﹣2≤0}，B＝{log2（2x﹣1）≤0}，则A∩B＝（）A．[﹣1，]B．[]C．（]D．（]2．（5分）若实数x，y满足，则3x+y的最大值为（）A．9B．10C．11D．123．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的i＝（）A．4B．5C．6D．74．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＝a2﹣2bc，A＝，则角C为（）A．B．或C．D．5．（5分）已知正项等差数列{a n}中，若a1+a2+a3＝15，若a1+2，a2+5，a3+13成等比数列，则a10等于（）A．21B．23C．24D．256．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦距为10，点P（2，1）在C的一条渐近线上，则C的方程为（）A．﹣＝1B．﹣＝1C．﹣＝1D．﹣＝17．（5分）设e是自然对数的底，a＞0，且a≠1，b＞0且b≠1，则“log a2＞log b e”是“0＜a＜b＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知函数f（x）＝，若函数y＝f（x）+|x﹣1|﹣kx在定义域内有且只有三个零点，则实数k的取值范围是（）A．[）B．[]C．[﹣）D．[﹣]二、填空题9．（5分）对于复数z＝a+bi（a，b∈R），若z+i＝，则b＝10．（5分）若二项式（x2+）6的展开式中的常数项为m，则∫1m x2dx＝11．（5分）在极坐标系中，A为曲线ρ+2cosθ＝0上的动点，B的直线上的动点，则|AB|的最小值为12．（5分）已知一个公园的形状如图所示，现有4种不同的植物要种在此公园的A，B，C，D，E这五个区域内（四种植物均要使用），要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有种．13．（5分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2，M是线段AD上一点，（可与A，D重合），若•＝﹣3，则•的取值范围是．14．（5分）已知a，b∈R，a+b＝4，则+的最大值为三、解答题：15．（13分）已知函数f（x）＝sin x cos（x+），x∈R（1）将f（x）的图象向右平移的单位，得到g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间（2）若f（α）＝﹣，且0＜α＜，求sin2α的值16．（13分）共享单车因绿色、环保、健康的出行方式，在国内得到迅速推广．最近，某机构在某地区随机采访了10名男士和10名女士，结果男士、女士中分别有7人、6人表示“经常骑共享单车出行”，其他人表示“较少或不选择骑共享单车出行”．（1）从这些男士和女士中各抽取一人，求至少有一人“经常骑共享单车出行”的概率；（2）从这些男士中抽取一人，女士中抽取两人，记这三人中“经常骑共享单车出行”的人数为X，求X的分布列与数学期望．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD ＝CD＝，BC＝2，P A＝2．（1）取PC中点N，求证：DN∥平面P AB（2）求直线AC与PD所成角的余弦值（3）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为45°，如果存在，求BM与平面MAC所成角，如果不存在，请说明理由．18．（13分）已知首项均为1的数列{a n}，{b n}（b n≠0，n∈N*），满足b n+1＝（1）令c n＝，求数列{c n}的通项公式（2）若数列{b n}为各项均为正数的等比数列，且b4b6＝4b5b7，设p n＝，求数列{p n}的前2n项和S2n19．（14分）过椭圆C：+＝1（0＜b＜3）的上顶点A作相互垂直的两条直线，分别交椭圆于不同的两点M，N（点M，N与点A不重合）（1）设椭圆的下顶点为B（0，﹣b），当直线AM的斜率为时，若S△ANB＝2S△AMB，求b 的值；（2）若存在点M，N，使得|AM|＝|AN|，且直线AM，AN斜率的绝对值都不为1，求e的取值范围．20．（14分）已知a≠0，函数f（x）＝|e x﹣e|+e x+ax（1）讨论f（x）的单调性（2）若对∀x∈（﹣，+∞），不等式f（x）≥恒成立，求a的取值范围（3）已知当a＜﹣e时，函数f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），求证：f（x1x2）＞a+e2017-2018学年天津一中高三（下）4月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：1．（5分）已知集合A＝{x|3x2+x﹣2≤0}，B＝{log2（2x﹣1）≤0}，则A∩B＝（）A．[﹣1，]B．[]C．（]D．（]【解答】解：集合A＝{x|3x2+x﹣2≤0}＝{x|﹣1≤x≤}，B＝{log2（2x﹣1）≤0}＝{x|0＜2x﹣1≤1}＝{x|＜x≤1}，则A∩B＝{x|＜x≤}＝（，]．故选：D．2．（5分）若实数x，y满足，则3x+y的最大值为（）A．9B．10C．11D．12【解答】解：作出实数x，y满足对应的平面区域如图：由z＝3x+y得y＝﹣3x+z，平移直线y＝﹣3x+z，由图象可知当直线y＝﹣3x+z，经过点A时，直线的截距最大，此时z最大．由，解得即A（3，2），此时z max＝3×3+2＝11，故选：C．3．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的i＝（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：模拟执行程序框图，可得S＝0，i＝1S＝4，i＝2不满足条件S＞90，S＝S+2×2+22＝12，i＝3不满足条件S＞90，S＝26，i＝4不满足条件S＞90，S＝50，i＝5不满足条件S＞90，S＝92，i＝6满足条件S＞90，退出循环，输出i的值为6．故选：C．4．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＝a2﹣2bc，A＝，则角C为（）A．B．或C．D．【解答】解：∵b2＝a2﹣2bc，A＝，∴由余弦定理可得：a2＝b2+2bc＝b2+c2﹣2bc cos A＝b2+c2+bc，可得：b＝c，∴a＝b＝，∴cos C＝＝＝，∵C∈（0，π），∴C＝．故选：A．5．（5分）已知正项等差数列{a n}中，若a1+a2+a3＝15，若a1+2，a2+5，a3+13成等比数列，则a10等于（）A．21B．23C．24D．25【解答】解：设公差为d，a3＝a1+2d由a1+a2+a3＝15，即3a2＝15，∴a2＝5，∴a1＝5﹣d，a3＝5+d又a1+2，a2+5，a3+13成等比数列，可得：（a2+5）2＝（a1+2）（a3+13）∴100＝（7﹣d）（18+d）解得：d＝2或d＝﹣13∵等差数列{a n}是正项数列∴d＝﹣13（舍去）．∴a1＝3．a n＝a1+（n﹣1）d．∴a10＝21故选：A．6．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦距为10，点P（2，1）在C的一条渐近线上，则C的方程为（）A．﹣＝1B．﹣＝1C．﹣＝1D．﹣＝1【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦距为10，点P（2，1）在C的一条渐近线上，可得：并且2b﹣a＝0，解得a＝2，b＝．所求的双曲线方程为：﹣＝1．故选：D．7．（5分）设e是自然对数的底，a＞0，且a≠1，b＞0且b≠1，则“log a2＞log b e”是“0＜a＜b＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：a＞1，0＜b＜1时，“log a2＞0，log b e＜0，推不出0＜a＜b＜1，不是充分条件，0＜a＜b＜1时，log a2＞log b2＞log b e，是必要条件，故选：B．8．（5分）已知函数f（x）＝，若函数y＝f（x）+|x﹣1|﹣kx在定义域内有且只有三个零点，则实数k的取值范围是（）A．[）B．[]C．[﹣）D．[﹣]【解答】解：函数y＝f（x）+|x﹣1|﹣kx在定义域内有且只有三个零点，即为方程f（x）+|x﹣1|＝kx在[﹣3，+∞）内有3个不等实根，可令g（x）＝f（x）+|x﹣1|＝，作出g（x）的图象（如右），直线y＝kx，当k＝0时，y＝g（x）和y＝0显然有3个交点，符合题意；当直线y＝kx与y＝x2+3x+1相切，可得x2+（3﹣k）x+1＝0，△＝（3﹣k）2﹣4＝0，解得k＝1（k＝5舍去），由k＝1时，y＝g（x）和y＝x有两个交点，可得0≤k＜1时，符合题意；当k＜0时，且直线y＝kx经过点（﹣3，1）时，直线y＝kx与y＝g（x）有3个交点，此时k＝﹣，由y＝kx绕着原点旋转，可得﹣≤k＜0，综上可得，k的范围是[﹣，1）．故选：A．二、填空题9．（5分）对于复数z＝a+bi（a，b∈R），若z+i＝，则b＝﹣2【解答】解：由z＝a+bi，且z+i＝，得a+（b+1）i＝，∴b+1＝﹣1，则b＝﹣2．故答案为：﹣2．10．（5分）若二项式（x2+）6的展开式中的常数项为m，则∫1m x2dx＝【解答】解：二项式（x2+）6的展开式的通项公式为：＝，令12﹣3r＝0，则r＝4．即有m＝．则∫1m x2dx＝＝，故答案为：．11．（5分）在极坐标系中，A为曲线ρ+2cosθ＝0上的动点，B的直线上的动点，则|AB|的最小值为1【解答】解：∵曲线ρ+2cosθ＝0，∴ρ2+2ρcosθ＝0，∴曲线的直角坐标方程为x2+y2+2x＝0，是圆心为（﹣1，0），半径r＝＝1的圆，∵直线，∴直线的普通方程为3x+4y+13＝0，∵A为曲线ρ+2cosθ＝0上的动点，B的直线上的动点，圆心到直线的距离d＝＝2，∴|AB|的最小值为：d﹣r＝2﹣1＝1．故答案为：1．12．（5分）已知一个公园的形状如图所示，现有4种不同的植物要种在此公园的A，B，C，D，E这五个区域内（四种植物均要使用），要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有96种．【解答】解：由题意知本题可以分类来解，先排A，有4种结果；再排B，有3种结果；再排C，有2种结果；E与A相同有2种结果，最后排D有两种结果，共有4×3×2×（1×2+1×1+1×1）＝96种结果，共有96种结果，故答案为：96．13．（5分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2，M是线段AD上一点，（可与A，D重合），若•＝﹣3，则•的取值范围是[﹣5，8]．【解答】解：以A为原点，以AB为x轴建立坐标系如图所示：设∠BAD＝α，AM＝λ（0≤λ≤3），则A（0，0），B（4，0），M（λcosα，λsinα），D（3cosα，3sinα），C（3cosα+2，3sinα），∴＝（3cosα+2，3sinα），＝（λcosα﹣4，λsinα），∴•＝（3cosα+2）（λcosα﹣4）+3λsin2α＝3λ+（2λ﹣12）cosα﹣8＝﹣3，∴cosα＝，∴•＝12cosα＝＝﹣18﹣．设f（λ）＝﹣18﹣，则f（λ）在[0，3]上单调递增，∴当λ＝0时，f（λ）取得最小值﹣5，当λ＝3时，f（λ）取得最大值8．故答案为：[﹣5，8]．14．（5分）已知a，b∈R，a+b＝4，则+的最大值为【解答】解：∵a+b＝4，∴+＝＝，＝，＝，＝，设ab﹣1＝t，∵a+b＝4，∴t＝ab﹣1＝a（4﹣a）﹣1＝﹣a2+4a﹣1＝﹣（a﹣2）2+3≤3，令f（t）＝，∴f′（t）＝，令f′（t）＝0，解得t＝8﹣4，t＝8+4（舍去），当f′（t）＞0时，即t＜8﹣4，函数f（t）单调递增，当f′（t）＜0时，即8﹣4＜t≤3，函数f（t）单调递减，∴f（t）max＝f（8﹣4）＝＝＝，故则+的最大值为，故答案为：三、解答题：15．（13分）已知函数f（x）＝sin x cos（x+），x∈R（1）将f（x）的图象向右平移的单位，得到g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间（2）若f（α）＝﹣，且0＜α＜，求sin2α的值【解答】解：（1）函数f（x）＝sin x cos（x+）＝sin x（cos x cos﹣sin x sin）＝sin x cos x﹣sin2x＝sin2x+cos2x﹣＝sin（2x+）﹣，x∈R将f（x）的图象向右平移的单位，得y＝sin[2（x﹣）+]﹣＝sin（2x﹣）﹣，∴g（x）＝sin（2x﹣）﹣，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z；解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴g（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（2）若f（α）＝﹣，则sin（2α+）﹣＝﹣，∴sin（2α+）＝﹣，又0＜α＜，∴＜2α+＜，∴cos（2α+）＝﹣＝﹣；∴sin2α＝sin[（2α+）﹣]＝sin（2α+）cos﹣cos（2α+）sin＝﹣×﹣（﹣）×＝．16．（13分）共享单车因绿色、环保、健康的出行方式，在国内得到迅速推广．最近，某机构在某地区随机采访了10名男士和10名女士，结果男士、女士中分别有7人、6人表示“经常骑共享单车出行”，其他人表示“较少或不选择骑共享单车出行”．（1）从这些男士和女士中各抽取一人，求至少有一人“经常骑共享单车出行”的概率；（2）从这些男士中抽取一人，女士中抽取两人，记这三人中“经常骑共享单车出行”的人数为X，求X的分布列与数学期望．【解答】解：（1）记“从这些男士和女士中各抽取一人，至少有一人“经常骑共享单车出行”为事件A，则．（2）显然X的取值为0，1，2，3，，，，，故随机变量X的分布列为X的数学期望．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD ＝CD＝，BC＝2，P A＝2．（1）取PC中点N，求证：DN∥平面P AB（2）求直线AC与PD所成角的余弦值（3）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为45°，如果存在，求BM与平面MAC所成角，如果不存在，请说明理由．【解答】证明：（1）取BC中点E，连结DN、DE、NE，∵在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，AD＝CD＝，BC＝2，P A＝2，N是PC中点，∴DE∥AB，EN∥PB，∵EN∩DE＝E，PB∩AB＝B，EN、DE⊂平面DNE，PB、AB⊂平面P AB，∴平面DEN∥平面P AB，∵DN⊂平面DEN，∴DN∥平面P AB．解：（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角系，A（，0，0），C（0，，0），P（，0，2），D（0，0，0），＝（﹣，0），＝（﹣，0，﹣2），设直线AC与PD所成角为θ，则cosθ＝＝＝．∴直线AC与PD所成角的余弦值为．（3）假设在线段PD上，存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为45°，设M（a，b，c），，0≤λ≤1，则（a﹣，b，c﹣2）＝（﹣，0，﹣2λ），∴，∴M（﹣，0，2﹣2λ），＝（﹣，，0），＝（﹣，0，2﹣2λ），设平面AMC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，，平面ACD的法向量＝（0，0，1），∵二面角M﹣AC﹣D的大小为45°，∴cos45°＝＝＝，则0≤λ≤1，解得λ＝，∴＝（1，1，），M（，0，），B（2，，0），＝（﹣，﹣，），设BM与平面MAC所成角为θ，则sinθ＝＝＝，∴θ＝30°，∴BM与平面MAC所成角为30°．18．（13分）已知首项均为1的数列{a n}，{b n}（b n≠0，n∈N*），满足b n+1＝（1）令c n＝，求数列{c n}的通项公式（2）若数列{b n}为各项均为正数的等比数列，且b4b6＝4b5b7，设p n＝，求数列{p n}的前2n项和S2n【解答】解：（1）首项均为1的数列{a n}，{b n}（b n≠0，n∈N*），满足b n+1＝，整理得：b n+1a n﹣a n+1b n＝﹣3b n+1b n，则：（常数）所以：数列{}是以为首项，3为公差的等差数列．则：，即：c n＝3n﹣2．（2）数列{b n}为各项均为正数的等比数列，设公比为去q，且b4b6＝4b5b7，则：，所以：，解得：q＝．所以：．由于：，则：，由于：，则：．则：S2n＝++，＝（）+（），设：T n＝，解得：．设：①，所以：②，①﹣②得：H n＝﹣1．解得：．故：S2n＝．19．（14分）过椭圆C：+＝1（0＜b＜3）的上顶点A作相互垂直的两条直线，分别交椭圆于不同的两点M，N（点M，N与点A不重合）（1）设椭圆的下顶点为B（0，﹣b），当直线AM的斜率为时，若S△ANB＝2S△AMB，求b 的值；（2）若存在点M，N，使得|AM|＝|AN|，且直线AM，AN斜率的绝对值都不为1，求e的取值范围．【解答】解：（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线的AM的斜率为k，由条件可知，直线AM的方程为y＝kx+b，于是，消去y可得（9k2+b2）x2+18kbx＝0，解得x1＝﹣，同理可得x2＝，∵S△ANB＝2S△AMB，∴x2＝﹣2x1，∴＝2×，即2b2k2+18＝b2+9k2，当k＝时，代入可得b＝，（2）由（1）可得|AM|＝•|x1|＝•，|AN|＝•|x2|＝•||，∵|AM|＝|AN|，∴•＝•||，即b2+9k2＝b2k2+9k，整理可得（k﹣1）[b2k2+（b2﹣9）k+b2]＝0，不妨设k＞0，且k≠1，则b2k2+（b2﹣9）k+b2＝0有不为1的正根，∴，解得0＜b＜，∵a＝3，∴c2＝a2﹣b2，∴6＜c2＝a2﹣b2＜9，∴＜c＜3，∴＜e＜1故e的取值范围为（，1）20．（14分）已知a≠0，函数f（x）＝|e x﹣e|+e x+ax（1）讨论f（x）的单调性（2）若对∀x∈（﹣，+∞），不等式f（x）≥恒成立，求a的取值范围（3）已知当a＜﹣e时，函数f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），求证：f（x1x2）＞a+e 【解答】解：（1）函数f（x）＝|e x﹣e|+e x+ax＝，∴f′（x）＝，当a＞0时，f（x）在R上是增函数；当a＜0时，x≥1时，令f′（x）＞0，⇒e x＞﹣⇒x＞ln（﹣），①ln（﹣）≤1，即﹣2e≤a＜0，f（x）在（﹣∞，1）是减函数；在（1，+∞）是增函数；②ln（﹣）＞1，即a＜﹣2e，f（x）在（﹣∞，ln（﹣））是减函数；在（ln（﹣），+∞）是增函数；（2）函数f（x）＝|e x﹣e|+e x+ax＝，若x∈（﹣，1），ax+e，∴可得﹣，当x∈[1，+∞）时，，即2a，设g（x）＝，g′（x）＝，所以g（x）在[1，+∞）上是减函数，所以g（x）min＝g（1）＝﹣e，所以a．综上．（3）证明：∵f（1）＝a+e，∴不等式f（x1x2）＞a+e转化为f（x1x2）＞f（1），∵a＜﹣e，∴f（1）＝a+e＜0，∴f（x）的两个零点x1＜1＜x2，∴，∴，∴x1x2＝，令h（x）＝，h′（x）＝，令t（x）＝e x﹣xe x﹣e，t′（x）＝（1﹣x）e x＜0，∴t（x）在（1，+∞）上是减函数，t（x）＜t（1）＝0，即h′（x）＜0，h（x）在（1，+∞）是减函数，h（x）＜h（1）＝1，即x1x2＜1，∵a＜﹣e时，f（x）在（﹣∞，1）是减函数，∴f（x1x2）＞a+e．。
【数学】天津市第一中学2017届高三上学期第三次月考(理)
天津市第一中学2017届高三上学期第三次月考（理）第Ⅰ卷（本卷共8道题,每题5分,共40分）一、选择题：1.设全集U R =，集合2{|log 2}A x x =≤，{|(3)(1)0}B x x x =-+≥，则()U C B A =∩（） A ．(,1]-∞- B ．(,1](0,3)-∞-∪ C ．[0,3) D ．(0,3)2.下列说法正确的是（）A ．若a R ∈，则“11a<”是“1a >”的必要不充分条件 B ．“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的必要不充分条件C ．若命题:p “sin cos 2x R x x ∀∈+≤，”，则p ⌝是真命题D ．命题“0x R ∃∈，200230x x ++<使得”的否定是“2230x R x x ∀∈++>，”3.设变量,x y 满足约束条件2024x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则目标函数23z x y =+的最小值为（）A ．5B ．4 C. 3 D ．2 4.如图所示的程序框图输出的所有点都在函数（）A ．1y x =+的图象上B ．2y x =的图象上 C. 2xy =的图象上 D ．12x y -=的图象上5. 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，4cos 5A =，2b =，面积3S =，则a 为（）A ．35B ．13 C.21 D ．176.数列{}n a 满足11a =，对任意的*n N ∈都有11n n a a a n +=++，则122016111a a a +++= （） A ．20152016 B ．20162017 C. 40342017 D ．403220177.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的交点为A B 、，直线AB 经过抛物线的焦点F ，且线段AB 的长等于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率为（） A ．21+ B ．3 C.2 D ．28.已知函数2ln 2,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是（）A ．1(,1)2 B ．13(,)24 C. 1(,1)3 D ．1(,2)2第Ⅱ卷（本卷共12道题，共110分）二、填空题： 9.若复数212bii-+（b R ∈，i 为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，则b =． 10.某几何体的三视图如图所示（单位:cm ），则该几何体的体积是___________3cm ．11.若1(21)6mx dx -=⎰，则二项式3(12)m x -的展开式各项系数的和为．12.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线M的极坐标方程为2cos()14πρθ+=，曲线N 的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数）.若曲线M与N 相交于A B ，两点，则线段AB 的长等于．13.ABC ∆是边长为23的正三角形，P 是以C 为圆心，半径为1的圆上任意一点，则AP BP•的取值范围是．14.若关于x 的不等式|||1|||x x x a +->>对x R ∀∈恒成立，则a 的取值范围是． 三、解答题（共6题，80分） 15.函数()cos()(0)2f x x ππϕϕ=+<<的部分图象如图所示.（1）求ϕ及图中0x 的值；（2）设1()()()3g x f x f x =++，求函数()g x 在区间11[,]23-上的最大值和最小值. 16.从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球（不放回），则实验结束.（1）求第一次实验恰好摸到1个红球和1个白球的概率； （2）记实验次数为X ，求X 的分布列及数学期望.17. 如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，2AB BE ==.（1）求证：//EG 平面ADF ； （2）求二面角O EF C --的正弦值； （3）设H 为线段AF 上的点，且23AH HF =，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值. 18. 已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠），且数列{()}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列.（1）求证:数列{}n a 是等比数列； （2）若()n n n b a f a =+，当12k =时，求数列{}n b 的前n 项和n S 的最小值； （3）若lg n n n c a a =，问是否存在实数k ，使得{}n c 是递增数列？若存在，求出k 的范围；若不存在，说明理由.19. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的焦距为22，其上下顶点分别为12C C ，，点12(1,0)(3,2)A B AC AC ⊥，，.（1）求椭圆E 的方程及离心率；（2）点P 的坐标为(,)(3)m n m ≠，过点A 任意作直线l 与椭圆E 相交于点,M N 两点，设直线MB BP NB ，，的斜率依次成等差数列，探究,m n 之间是否满足某种数量关系，若是，请给出,m n 的关系式，并证明；若不是，请说明理由.20. 已知函数()2ln h x ax x =-+.（1）当1a =时，求()h x 在(2,(2))h 处的切线方程； （2）令2()()2a f x x h x =+，已知函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1212x x >•，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若存在02[1,2]2x ∈+，使不等式20()ln(1)(1)(1)2ln 2f x a m a a ++>--++对任意a （取值范围内的值）恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案一、选择题1-4: DAAD 5-8:BDBA 二、填空题 9. 23-10. 16311. -1 12.8 13.[1,13] 14.(0,1) 三、解答题15.解：（1）由题图得3(0)2f =，所以3cos 2ϕ=，因为02πϕ<<，故6πϕ=. 由于()f x 的最小正周期等于2，所以由题图可知012x <<，故0713666x ππππ<+<，33cos sin 3sin()226x x x ππππ=-=-. 当11[,]23x ∈-时，2663x ππππ-≤-≤.所以1sin()126x ππ-≤-≤， 故62x πππ-=，即13x =-时，()g x 取得最大值3； 当66x πππ-=-，即13x =时，()g x 取得最小值32-.16.解：（1）1126283()7C C P A C ==； （2）∵1122622813(1)28C C C P X C +===2112642222869(2)28C C C C P X C C +==⨯=；； 22112642222228645(3)28C C C C C P X C C C +==⨯⨯=；22226422222286421(4)28C C C C P X C C C C ==⨯⨯⨯=. ∴X 的分布列为X 1 2 3 4P1328 928528 1281395125()12342828282814E x =⨯+⨯+⨯+⨯=. 17.试题解析：依题意，OF ⊥平面ABCD ，如图，以O 为点，分别以AD BAOF，，的方向为x 轴，y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0)O ，(1,1,0)A -，(1,1,0)B --，(1,1,0)C -，(1,1,0)D ，(1,1,2)E --，(0,0,2)F ，(1,0,0)G -.（1）证明：依题意(2,0,0)AD = ，(1,1,2)AF =-.设1(,,)n x y z = 为平面ADF 的法向量，则1100n AD n AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩••，即2020x x y z =⎧⎨-+=⎩. 不妨设1z =，可得1(0,2,1)n = ，又(0,1,2)EG =- ，可得10EG n =•，又因为直线EG ⊄平面ADF ，所以//EG 平面ADF .（2）解：易证：(1,1,0)OA =-为平面OEF 的一个法向量. 依题意(1,1,0)EF = ，(1,1,2)CF =-.设2(,,)n x y z = 为平面CEF 的法向量，则2200n EF n CF ⎧=⎪⎨=⎪⎩••，即020x y x y z +=⎧⎨-++=⎩. 不妨设1x =，可得2(1,1,1)n =-.因此有2226cos ,3|||OA n OA n OA n ==-•|?，于是23sin ,3OA n = ，所以，二面角O EF C --的正弦值为33.（3）解：由23AH HF =，得25AH AF =.因为(1,1,2)AF =- ，所以2224(,,)5555AH AF ==- ，有334(,,)555H -，从而284(,,)555BH = ，因此2227cos ,21||BH n BH n BH n ==-•|?|.所以直线BH 与平面CEF 所成角的正弦值为721. 18.解：（1）证明：由题意可得()42(1)22n f a n n =+-=+， 即log 22k n a n =+， ∴22n n a k+=，∴2(1)22122n n n n a k k a k++++==. ∵常数0k >且1k ≠， ∴2k 为非零常数，∴数列{}n a 是以4k 为首项，2k 为公比的等比数列. （2）当12k =时，112n n a +=，()22n f a n =+，所以2111(1)22411423122212n n n n S n n n +-++=+=++--， 因为1n ≥，所以2111322n n n +++-是递增数列，因而最小值为1111713244S =++-=.由（1）知，22lg (22)lg n n n n c a a n k k +==+•，要使1n n c c +<对一切*n N ∈成立，即2(1)lg (2)lg n k n k k +<+••对一切*n N ∈恒成立； 当1k >时，lg 0k <，21(2)n n k +>+对一切*n N ∈恒成立，只需2min 1()2n k n ++<. ∵11122n n n +=-++单调递增，∴当1n =时，min 12()23n n +=+. ∴223k <，且01k <<，∴603k <<.综上所述，存在实数6(0,)(1,)3k ∈+∞∪满足条件. 19.解：（1）∵12AC AC ⊥，1(0,)C b ，2(0,)C b -，(1,0)A ，∴21210AC AC b =-= •，∴21b =.∵222c =，解得2c =，∴2223a b c =+=.∴椭圆E 的方程为2213x y +=. 离心率2633c e a ===. （2）,m n 之间满足数量关系1m n =+.下面给出证明： ①当取(3,0)M ，(3,0)N -时，233MB k =-，23BP nk m -=-，233NB k =+.∵直线MB BP NB ，，的斜率依次成等差数列，∴222233333n m -⨯=+--+，化为：1m n =+.②当直线MN 的斜率不为0时，设直线MN 的方程为：1ty x +=，11(,)M x y ，22(,)N x y .联立22113ty x x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，化为：22(3)220t y ty ++-=， ∴12223t y y t -+=+，12223y y t -=+. 1123MB y k x -=-，23BP n k m-=-,2223NB y k x -=-. ∵直线,,MB BP NB 的斜率依次成等差数列，∴12122222333y y n m x x ---⨯=+---， 由于121221121122(2)(2)(2)(2)33(2)(2)y y y ty y ty x x ty ty ----+--+=---- 1212212122(22)()822()4ty y t y y t y y t y y -+++==-++， ∴213nm-=-，化为：1m n =+. 20.解：（1）1'()2h x a x=-+，1a =时，()2ln h x x x =-+，1'()2h x x =-+，(2)4ln 2h =-+，3'(2)2h =-. ()h x 在(2,(2))g 处的切线方程为322ln 220x y +-+=.（2）2121'()2(0)ax ax f x ax a x x x -+=-+=>， 2'()0210f x ax ax =⇔-+=， 所以212124402112a a x x x x a ⎧⎪∆=->⎪+=⎨⎪⎪=>⎩，所以12a <<.（3）由2210ax ax -+=，解得21a a a x a --=，22a a ax a+-=，∵12a <<，∴2121112x a =+-<+. 而()f x 在2()x +∞上单调递增，∴()f x 在2[12]2+，上单调递增. ∴在2[12]2+，上，max ()(2)2ln 2f x f a ==-+. 所以，“存在02[12]2x ∈+，，使不等式20()ln(1)(1)(1)2ln 2f x a m a a ++>--++恒成立”等价于“不等式22ln 2ln(1)(1)(1)2ln 2a a m a a -+++>--++恒成立”，即，不等式2ln(1)ln 210a ma a m +--+-+>对任意的(12)a a <<恒成立. 令2()ln(1)ln 21g a a ma a m =+--+-+，则(1)0g =.2122'()2111ma ma ag a ma a a ---=--=++.①当0m ≥时，222'()01ma ma ag a a ---=<+，()g a 在(1,2)上递减. ()(1)0g a g <=，不合题意.②当0m <时，12(1)2'()1ma a m g a a -++=+.若11(1)2m <-+，记1min(2,1)2t m=--，则()g a 在(1,)t 上递减. 在此区间上有()(1)0g a g <=，不合题意.因此有01112m m <⎧⎪⎨--≤⎪⎩，解得14m ≤-， 所以，实数m 的取值范围为1(,]4-∞-.安徽省江南十校2017年高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若，则|z |=（ ） A ．B ．1C ．5D ．252．设集合A ={x ∈Z ||x |≤2}，，则A ∩B =（ ） A ．{1，2}B ．{﹣1，﹣2}C ．{﹣2，﹣1，2}D ．{﹣2，﹣1，0，2}3．已知平面向量=（1，m ），=（2，5），=（m ，3），且（+）∥（﹣），则m =（ ）A．B．C．D．4．已知，则sinα（sinα﹣cosα）=（）A．B．C．D．5．已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD（n，m），其结果为n除以m的余数，例如MOD（8，3）=2．下面是一个算法的程序框图，当输入的值为36时，则输出的结果为（）A．4 B．5 C．6 D．76．质地均匀的正四面体表面分别印有0，1，2，3四个数字，某同学随机的抛掷次正四面体2次，若正四面体与地面重合的表面数字分别记为m，n，且两次结果相互独立，互不影响．记m2+n2≤4为事件A，则事件A发生的概率为（）A．B．C．D．7．《九章算术》是我国古代的数字名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各德几何．”其意思为“已知A、B、C、D、E五人分5钱，A、B两人所得与C、D、E三人所得相同，且A、B、C、D、E每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．在这个问题中，E所得为（）A．钱B．钱C．钱D．钱8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．20 B．22 C．24 D．269．设△ABC的面积为S1，它的外接圆面积为S2，若△ABC的三个内角大小满足A：B：C=3：4：5，则的值为（）A．B．C．D．10．若函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．B．C．D．11．已知球的直径SC=6，A、B是该球球面上的两点，且AB=SA=SB=3，则棱锥S﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．12．设⌈x⌉表示不小于实数x的最小整数，如⌈2.6⌉=3，⌈﹣3.5⌉=﹣3．已知函数f（x）=⌈x⌉2﹣2⌈x⌉，若函数F（x）=f（x）﹣k（x﹣2）+2在（﹣1，4]上有2个零点，则k的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知实x，y数满足关系，则|x﹣2y+2|的最大值是．14．若（x+y）3（2x﹣y+a）5的展开式中各项系数的和为256，则该展开式中含字母x且x 的次数为1的项的系数为．15．已知双曲线﹣=1上一点P（x，y）到双曲线一个焦点的距离是9，则x2+y2的值是．16．将函数y=sin2x﹣cos2x的函数图象向右平移m个单位以后得到的图象与y=k sin x cos x（k ＞0）的图象关于对称，则k+m的最小正值是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知S n是数列{a n}的前n项和，且满足S n﹣2a n=n﹣4．（1）证明{S n﹣n+2}为等比数列；（2）求数列{S n}的前n项和T n．18．美团外卖和百度外卖两家公司其“骑手”的日工资方案如下：美团外卖规定底薪70元，每单抽成1元；百度外卖规定底薪100元，每日前45单无抽成，超出45单的部分每单抽成6元，假设同一公司的“骑手”一日送餐单数相同，现从两家公司个随机抽取一名“骑手”并记录其100天的送餐单数，得到如下条形图：（Ⅰ）求百度外卖公司的“骑手”一日工资y（单位：元）与送餐单数n的函数关系；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答下列问题：②记百度外卖的“骑手”日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；②小明拟到这两家公司中的一家应聘“骑手”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．19．如图，四边形ABCD是边长为的正方形，CG⊥平面ABCD，DE∥BF∥CG，DE=BF= CG．P为线段EF的中点，AP与平面ABCD所成角为60°．在线段CG上取一点H，使得GH=CG．（1）求证：PH⊥平面AEF；（2）求二面角A﹣EF﹣G的余弦值．20．在平面直角坐标系中，直线不过原点，且与椭圆有两个不同的公共点A，B．（Ⅰ）求实数m取值所组成的集合M；（Ⅱ）是否存在定点P使得任意的m∈M，都有直线P A，PB的倾斜角互补．若存在，求出所有定点P的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=e x﹣1+a，函数g（x）=ax+ln x，a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）与直线y=x相切，求a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：f（x）≥g（x）+1；（Ⅲ）若函数f（x）与函数g（x）的图象有且仅有一个公共点P（x0，y0），证明：x0＜2．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知P为曲线上的动点，直线C2的参数方程为（t为参数）求点P到直线C2距离的最大值，并求出点P的坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的方程在x∈[0，3]上有解．（Ⅰ）求正实数a取值所组成的集合A；（Ⅱ）若t2﹣at﹣3≥0对任意a∈A恒成立，求实数t的取值范围．参考答案一、选择题1．B【解析】==，则|z|==1．故选：B．2．C【解析】A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x≥或x＜0}，故A∩B={﹣2，﹣1，2}，故选：C．3．D【解析】根据题意，向量=（1，m），=（2，5），=（m，3），则；若（+）∥（﹣），（m+1）×（m﹣5）=（m+3）×（﹣1）解可得：；故选：D．4．A【解析】，故选：A．5．D【解析】模拟执行程序框图，可得：n=36，i=2，MOD（36，2）=0，j=1，i=3满足条件i＜n，MOD（36，3）=0，j=2，i=4满足条件i＜n，MOD（36，4）=0，j=3，i=5满足条件i＜n，MOD（36，5）=1，i=6…∵∈N*，可得i=2，3，4，6，9，12，18，∴共要循环7次，故j=7．故选：D．6．B【解析】质地均匀的正四面体表面分别印有0，1，2，3四个数字，某同学随机的抛掷次正四面体2次，正四面体与地面重合的表面数字分别记为m，n，且两次结果相互独立，互不影响．基本事件总数N=42=16，记m2+n2≤4为事件A，则事件A包含听基本事件有：（1，1），（0，1），（1，0），共3个，∴事件A发生的概率为．故选：B．7．D【解析】由题意：设A=a﹣4d，B=a﹣3d，C=a﹣2d，D=a﹣d，E=a，则，解得a=，故E所得为钱．故选：D．8．C【解析】由三视图可知：该几何体是一个棱长为3正方体去掉3个棱长为1的小正方体剩下的部分．该几何体的体积V=33﹣3×13=24．故选：C．9．D【解析】在△ABC中，∵△ABC的三个内角大小满足A：B：C=3：4：5，∴A=45°，B=60°，C=75°，那么△ABC的面积为S1=ac sin B=a2=a2外接圆面积为S2=πR2，R=，∴=．故选D．10．B【解析】由题意，x=0，y＜0，排除A，0＞x＞﹣1，x→﹣1，y→﹣∞，排除C，D选项中，f（﹣2）=5，f（﹣3）=，不符合，排除D．故选：B．11．D【解析】∵球的直径SC=6，A、B是该球球面上的两点，且AB=SA=SB=3，∴由条件：S﹣OAB为棱长为3的正四面体，其体积为=，同理，故棱锥S﹣ABC的体积为．故选：D．12．C【解析】令F（x）=0得f（x）=k（x﹣2）﹣2，作出函数y=f（x）和y=k（x﹣2）﹣2的图象如下图所示：若函数F（x）=f（x）﹣k（x﹣2）+2在（﹣1，4]上有2个零点，则函数f（x）和g（x）=k（x﹣2）﹣2的图象在（﹣1，4]上有2个交点，经计算可得k P A=5，k PB=10，k PO=﹣1，k PC=﹣，∴k的范围是[﹣1，﹣）∪[5，10）．故选：C二、填空题13．5【解答】5 由条件可知：z=x﹣2y+2过点M（﹣1，3）时z=﹣5，|z|max=5，解：作出不等式组，对应的平面区域如图：由解得M（﹣1，3），由条件可知：z=x﹣2y+2过点M（﹣1，3）时z=﹣5，|z|max=5，故答案为：5．14．﹣7【解析】（x+y）3（2x﹣y+a）5的展开式中各项系数的和为256，令x=y=1，得23×（a+1）5=256，解得a=1，所以（x+y）3（2x﹣y+1）5的展开式中含字母x且x的系数为：．故答案为：﹣7．15．133【解析】双曲线﹣=1的a=4，b=6，c==2，不妨设点P（x，y）在右支上，由条件可知P点到右焦点（2，0）的距离为9，即为=9，且﹣=1，解出x=2，y=±9，则x2+y2=52+81=133．故答案为：133．16．2+【解析】将函数y=sin2x﹣cos2x=﹣cos2x的函数图象向右平移m个单位以后得到y=﹣cos2（x ﹣m）=﹣cos（2x﹣2m）的图象，根据所得图象与y=k sin x cos x=sin2x（k＞0）的图象关于对称，设点P（x0，y0）为y=﹣cos（2x﹣2m）上任意一点，则该点关于对称点为在y=sin2x（k＞0）的图象上，故有，求得k=2，sin（2x0﹣）=cos（2x0﹣2m），即cos（2x0﹣）=cos（2x0﹣2m），∴﹣2m=﹣+2kπ，k∈Z，即2m=﹣2kπ，k∈Z，故m的最小正值为，则k+m的最小正值为2+．三、解答题17．（1）证明：当n=1时，a1=S1，S1﹣2a1=1﹣4，可得a1=3，S n﹣2a n=n﹣4转化为：S n﹣2（S n﹣S n﹣1）=n﹣4（n≥2），即S n=2S n﹣1﹣n+4，所以S n﹣n+2=2[S n﹣1﹣（n﹣1）+2]注意到S1﹣1+2=4，所以{S n﹣n+2}为首项为4，公比为2等比数列；（2）由（1）知：，所以，于是==．18．解：（Ⅰ）∵百度外卖规定底薪100元，每日前45单无抽成，超出45单的部分每单抽成6元，∴当送餐单数n≤45，n∈N*时，百度外卖公司的“骑手”一日工资y=100，当送餐单数n＞45，n∈N*时，百度外卖公司的“骑手”一日工资y=100+（n﹣45）×6=6n﹣170，n∈N*，∴百度外卖公司的“骑手”一日工资y（单位：元）与送餐单数n的函数关系为：（Ⅱ）①记百度外卖的“骑手”日工资为X（单位：元），由条形图得X的可能取值为100，106，118，130，P（X=100）==0.2，P（X=106）==0.3，P（X=118）==0.4，P（X=130）==0.1，∴X的分布列为：X100 106 118 130P0.2 0.3 0.4 0.1E（X）=100×0.2+106×0.3+118×0.4+130×0.1=112（元）．②美团外卖“骑手”日平均送餐单数为：42×0.2+44×0.4+46×0.2+48×0.1+50×0.1=45所以美团外卖“骑手”日平均工资为：70+45×1=115（元）由①知，百度外卖“骑手”日平均工资为112元．故推荐小明去美团外卖应聘．19．证明：（1）连接AC，BD交于点O，连接OP，则O为BD中点，∴OP∥DE，∴OP⊥面ABCD．∴∠P AO为AP与面ABCD所成角，∵AP与平面ABCD所成角为60°，∴∠P AO=60°．在Rt△AOP中，．Rt△AHC中，．梯形OPHC中，．∴AP2+PH2=AH2，∴AP⊥PH，又EH=FH，∴PH⊥EF，又AP∩EF=P，∴PH⊥面AEF．解：（2）∵CG面ABCD，ABCD为正方形，∴如图所示建立空间直角坐标系．G（0，0，），E（，0，），F（0，，），H（0，0，），P（，，），=（﹣，，0），=（﹣，0，），，∵PH⊥面AEF，∴面AEF的法向量为，设面EFG法向量为，则，取x=，得，设二面角A﹣EF﹣G的平面角为θ，由题意θ为钝角，则cosθ=﹣=﹣．故二面角A﹣EF﹣G的余弦值为．20．解：（1）因为直线不过原点，所以m≠0，将与联立，消去y得：，因为直线与椭圆有两个不同的公共点A，B，所以△=8m2﹣16（m2﹣4）＞0，解得，所以实数m的范围组成的集合M是；（2）假设存在定点P（x0，y0）使得任意的m∈M，都有直线P A，PB的倾斜角互补，即k P A+k PB=0，令，所以，整理得：，由（1）知x1，x2是的两个根，所以，代入（*）化简得，由题意解得或所以定点P的坐标为或，经检验，满足题意，所以存在定点P使得任意的m∈M，都有直线P A，PB的倾斜角互补，坐标为或．21．解：（Ⅰ）设曲线y=f（x）在Q（x1，y1）点处切线是y=x，则由于所以x1=1，y1=1，由题意知：，于是a=0．（Ⅱ）证明：令，当x∈（0，1）时，0＜e x﹣1＜1，所以，即，当x∈（1，+∞）时，1＜e x﹣1，所以，即，于是F（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣1﹣ln x在（0，1）单调递减，（1，+∞）单调递增，其最小值是F（1）=1，所以F（x）=f（x）﹣g（x）≥1，于是原不等式成立．（Ⅲ）令G（x）=e x﹣1﹣ln x﹣ax+a（x＞0），则函数f（x）与函数g（x）的图象有且仅有一个公共点P（x0，y0）等价于函数G（x）有且只有一个零点x0，，注意到为（0，+∞）上的增函数且值域为R，所以在（0，+∞）上有唯一零点x1，且G'（x）在（0，x1）上为负，（x1，+∞）上为正，所以G（x1）为极小值，又函数G（x）有唯一零点x0，结合G（x）的单调性知x1=x0，所以，即，即，即．令，显然，x0是H（x）的零点，，H'（x）在（0，1）上为正，（1，+∞）上为负，于是H（x）在（1，+∞）上单调递减，注意到，所以H（x）在（1，2）内有一个零点，在[2，+∞）内无零点，所以H（x）的零点一定小于2，从而函数f（x）与函数g（x）的图象有且仅有一个公共点P（x0，y0）时一定有x0＜2．22．解：由条件：．设点，点P到C2之距离.．此时cosθ=﹣，此时点．23．解：（Ⅰ）当x∈[0，3]时，2≤|2a﹣1|≤3且，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，设g（a）=t•a+t2﹣3，则，可得或t≥3．。
天津市河北区2017届高三总复习质量检测一数学理试题Word版含答案
河北区2016—2017学年度高三年级总复习质量检测（一）数学（理工类）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设集合{|lg(3)},{|2,}xA x y xB y y x R ==-==∈，则A B U 等于 A ．φ B ．RC ．{|1}x x >D ．{|0}x x >2、若变量,x y 满足约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数22z x y =+的最大值等于A ．9B ．36C ．41D ．813、已知非零向量,m n u r r ，满足143,cos ,3m n m n ==u r r u r r ，若()n m n ⊥+r u r r，则实数t 的值为A ．94-B ．94C ．4-D ．4 4、执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 A ．98 B ．99 C ．100 D ．1015、如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条 相互垂直的半径，若该几何体的体积是283π，则它的表面积是 A ．17π B ．18π C ．20π D ．28π6、已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，111sin 3MF F ∠=，则E 的离心率为 A ．2 B ．32 C ．3 D ．2 7、函数()1()cos (f x x x x xππ=--≤≤且0x ≠）的图象可能为8、已知函数()21(,f x a x x e e e=-≤≤为自然对数的底数）与()2ln g x x =的图象上，存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是 A ．21[1,2]e + B ．2[1,2]e - C ．221[2,2]e e+- D ．2[2,)e -+∞ 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.. 9、已知121,1,(z i z i i =+=-是虚数单位），则1221z z z z += 10、在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c，已知2,4b c C π===，则ABC ∆的面积为11、在51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是12、已知函数，把函数的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的对称轴为 13、在平面直角坐标系下，曲线122:(x t a C t y t =+⎧⎨=-⎩为参数），曲线22sin :(12cos x C y θθθ=⎧⎨=+⎩为参数）若曲线12,C C 有公共点，则实数a 的取值范围是14、已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件()3()2f x f x +=-，且函数3()4y f x =-为奇函数，给出以下四个命题：①函数()f x 是周期函数； ②函数()f x 的图象关于点3(,0)4-对称； ③函数()f x 为R 上的偶函数； ④函数()f x 为R 上的单调函数. 其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）.三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15、（本小题满分12分） 已知函数()sin(),(0,0)6f x A wx A w π=+>>的最小正周期为6T π=，且(2)2f π=.（1）求()f x 的表达式；（2）若()()2g x f x =+，求()g x 的单调区间及最大值. 16、（本小题满分12分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）. （1）求选出的3名同学是来自不相同学院的概率；（2）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望. 19、（本小题满分13分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，直线AF ⊥平面,//,2,ABCD EF AB AD =21AB AF EF ===，点P 在棱DF 上.（1）求证：AD BF ⊥；（2）若P 是DF 的中点，求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值；（3）若12FP FD =u u u r u u u r，求二面角D AP C --的余弦值.20、（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22，右焦点到直线2a x c=的距离为1.（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点（点P 不在轴上），过点O 作OP 的垂线 交直线2y =于点Q ，求2211OPOQ+的值.19、（本小题满分14分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且248,40a S ==，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且230,n n T b n N +-+=∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设,,n n n a n c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前n 项和n P .20、（本小题满分14分）设函数()ln ()f x x ax a R =-∈.（1）若直线31y x =-是函数()f x 图象的一条切线，求实数的值；（2）若函数()f x 在2[1,]e 上的最大值为1(ae e -为自然底数的底数），求实数a 的值.。
【天津市第一中学】2017届高三上学期第三次月考数学(理科)试卷-答案
只需 ．
∵ 单调递增，
∴当 时， ．
∴ ，且 ，∴ ．
综上所述，存在实数 满足条件．
19．解：（1）∵ ， ， ， ，
∴ ，∴ ．
∵ ，解得 ，∴ ．
∴椭圆 的方程为 ．
离心率 ．
（2） 之间满足数量关系 ．下面给出证明：
当取 ， 时， ， ， ．
∵直线 的斜率依次成等差数列，∴ ，化为： ．
因此 ．
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
18．解：（1）证明：由题意可得 ，
即 ，
∴ ，
∴ ．
∵常数 且 ，
∴ 为非零常数，
∴数列 是以 为首项， 为公比的等比数列．
（2）当 时， ， ，
所以 ，
因为 ，所以 是递增数列，
因而最小值为 ．
由（1）知， ，
要使 对一切 成立，
即 对一切 恒成立；
∴在 上， ．
所以，“存在 ，使不等式 恒成立”等价于“不等式 恒成立”，
即，不等式 对任意的 恒成立．
令 ，则 ．
．
当 时， ， 在 上递减．
，不合题意．
当 时， ．
若 ，记 ，则 在 上递减．
在此区间上有 ，不合题意．
因此有 ，解得 ，
所以，实数 的取值范围为 ．
当直线 的斜率不为0时，设直线 的方程为： ， ， ．
联立 ，化为： ，
∴ ， ．
， ， ．
∵直线 的斜率依次成等差数列，
∴ ，
由于
，
∴ ，化为： ．
20．解：（1） ，
时， ， ， ， ．
在 处的切线方程为 ．
（2） ，
，
所以 ，所以 ．
2017年天津卷理科数学高考试卷(原卷 答案)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学本试卷共20题，共150分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．（5分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=（）A．{2}B．{1，2，4}C．{1，2，4，5}D．{x∈R|﹣1≤x≤5}2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（）A．B．1C．D．33．（5分）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（）A．0B．1C．2D．34．（5分）设θ∈R，则“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为．若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）A．=1B．=1C．=1D．=16．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log25.1），b=g（20.8），c=g （3），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜x．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=8．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣，2]B．[﹣，]C．[﹣2，2]D．[﹣2，]二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为．10．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．11．（5分）在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为．12．（5分）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为．13．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为．14．（5分）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有个．（用数字作答）三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=．（Ⅰ）求b和sinA的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．16．（13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．17．（13分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长．18．（13分）已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N+），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．19．（14分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为．（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为，求直线AP的方程．20．（14分）设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求g（x）的单调区间；（Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，x0）∪（x0，2]，满足|﹣x0|≥．2017年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学(参考答案)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：∵A={1，2，6}，B={2，4}，∴A∪B={1，2，4，6}，又C={x∈R|﹣1≤x≤5}，∴（A∪B）∩C={1，2，4}．故选：B．2．【解答】解：变量x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x+y结果可行域的A点时，目标函数取得最大值，由可得A（0，3），目标函数z=x+y的最大值为：3．故选：D．3．【解答】解：第一次N=24，能被3整除，N=≤3不成立，第二次N=8，8不能被3整除，N=8﹣1=7，N=7≤3不成立，第三次N=7，不能被3整除，N=7﹣1=6，N==2≤3成立，输出N=2，故选：C4．【解答】解：|θ﹣|＜⇔﹣＜θ﹣＜⇔0＜θ＜，sinθ＜⇔﹣+2kπ＜θ＜+2kπ，k∈Z，则（0，）⊂[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z，可得“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的充分不必要条件．故选：A．5．【解答】解：设双曲线的左焦点F（﹣c，0），离心率e==，c=a，则双曲线为等轴双曲线，即a=b，双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，则经过F和P（0，4）两点的直线的斜率k==，则=1，c=4，则a=b=2，∴双曲线的标准方程：；故选B．6．【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，当x＞0，f（x）＞f（0）=0，且f′（x）＞0，∴g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）单调递增，且g（x）=xf（x）偶函数，∴a=g（﹣log25.1）=g（log25.1），则2＜﹣log25.1＜3，1＜20.8＜2，由g（x）在（0，+∞）单调递增，则g（20.8）＜g（log25.1）＜g（3），∴b＜a＜c，故选C．7．【分析】由题意求得，再由周期公式求得ω，最后由若f（）=2求得φ值．【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得，又f（）=2，f（）=0，得，∴T=3π，则，即．∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（x+φ），由f（）=，得sin（φ+）=1．∴φ+=，k∈Z．取k=0，得φ=＜π．∴，φ=．故选：A．8．【解答】解：当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为﹣x2+x﹣3≤+a≤x2﹣x+3，即有﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3，由y=﹣x2+x﹣3的对称轴为x=＜1，可得x=处取得最大值﹣；由y=x2﹣x+3的对称轴为x=＜1，可得x=处取得最小值，则﹣≤a≤①当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为﹣（x+）≤+a≤x+，即有﹣（x+）≤a≤+，由y=﹣（x+）≤﹣2=﹣2（当且仅当x=＞1）取得最大值﹣2；由y=x+≥2=2（当且仅当x=2＞1）取得最小值2．则﹣2≤a≤2②由①②可得，﹣≤a≤2．故选：A．9．【解答】解：a∈R，i为虚数单位，===﹣i由为实数，可得﹣=0，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．10．【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为a，∵这个正方体的表面积为18，∴6a2=18，则a2=3，即a=，∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，∴正方体的体对角线等于球的直径，即a=2R，即R=，则球的体积V=π•（）3=；故答案为：．11．【解答】解：直线4ρcos（θ﹣）+1=0展开为：4ρ+1=0，化为：2x+2y+1=0．圆ρ=2sinθ即ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2y，配方为：x2+（y﹣1）2=1．∴圆心C（0，1）到直线的距离d==＜1=R．∴直线4ρcos（θ﹣）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为2．故答案为：2．12．【解答】解：a，b∈R，ab＞0，∴≥==4ab+≥2=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．故答案为：4．13．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，=2，∴=+=+=+（﹣）=+，又=λ﹣（λ∈R），∴=（+）•（λ﹣）=（λ﹣）•﹣+λ=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4，∴λ=1，解得λ=．故答案为：．14．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9种任选4个，组成一共四位数即可，有A54=120种情况，即有120个没有一个偶数数字四位数；②、四位数中只有一个偶数数字，在1、3、5、7、9种选出3个，在2、4、6、8中选出1个，有C53•C41=40种取法，将取出的4个数字全排列，有A44=24种顺序，则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数；则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个；故答案为：1080．15．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，故由sinB=，可得cosB=．由已知及余弦定理，有=13，∴b=．由正弦定理，得sinA=．∴b=，sinA=；（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=1﹣2sin2A=﹣．故sin（2A+）==．16．【解答】解：（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3；则P（X=0）=（1﹣）×（1﹣）（1﹣）=，P（X=1）=×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×=，P（X=2）=（1﹣）××+×（1﹣）×+××（1﹣）=，P（X=3）=××=；随机变量X的数学期望为E（X）=0×+1×+2×+3×=；（Ⅱ）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P（Y+Z=1）=P（Y=0，Z=1）+P（Y=1，Z=0）=P（Y=0）•P（Z=1）+P（Y=1）•P（Z=0）=×+×=；所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为．17．【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点F，连接MF、NF，∵M为AD中点，∴MF∥BD，∵BD⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，∴MF∥平面BDE．∵N为BC中点，∴NF∥AC，又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE．∵DE⊂平面BDE，NF⊄平面BDE，∴NF∥平面BDE．又MF∩NF=F．∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵PA=AC=4，AB=2，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），则，，设平面MEN的一个法向量为，由，得，取z=2，得．由图可得平面CME的一个法向量为．∴cos＜＞=．∴二面角C﹣EM﹣N的余弦值为，则正弦值为；（Ⅲ）解：设AH=t，则H（0，0，t），，．∵直线NH与直线BE所成角的余弦值为，∴|cos＜＞|=||=||=．解得：t=4．∴当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为，此时线段AH的长为4．18．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由已知b2+b3=12，得b1（q+q2）=12，而b1=2，所以q+q2﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，b n=2n．由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8①．由S11=11b4，可得a1+5d=16②，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n=3n﹣2．所以，数列{a n}的通项公式为a n=3n﹣2，数列{b n}的通项公式为b n=2n．（II）设数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为T n，由a2n=6n﹣2，b2n﹣1=4n，有a2n b2n﹣1=（3n﹣1）4n，故T n=2×4+5×42+8×43+…+（3n﹣1）4n，4T n=2×42+5×43+8×44+…+（3n﹣1）4n+1，上述两式相减，得﹣3T n=2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣（3n﹣1）4n+1==﹣（3n﹣2）4n+1﹣8得T n=．所以，数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为．19．【解答】（Ⅰ）解：设F的坐标为（﹣c，0）．依题意可得，解得a=1，c=，p=2，于是b2=a2﹣c2=．所以，椭圆的方程为x2+=1，抛物线的方程为y2=4x．（Ⅱ）解：直线l的方程为x=﹣1，设直线AP的方程为x=my+1（m≠0），联立方程组，解得点P（﹣1，﹣），故Q（﹣1，）．联立方程组，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my=0，解得y=0，或y=﹣．∴B（，）．∴直线BQ的方程为（﹣）（x+1）﹣（）（y﹣）=0，令y=0，解得x=，故D（，0）．∴|AD|=1﹣=．又∵△APD的面积为，∴×=，整理得3m2﹣2|m|+2=0，解得|m|=，∴m=±．∴直线AP的方程为3x+y﹣3=0，或3x﹣y﹣3=0．20．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a，可得g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6，进而可得g′（x）=24x2+18x﹣6．令g′（x）=0，解得x=﹣1，或x=．，所以，g（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（，+∞），单调递减区间是（﹣1，）．（Ⅱ）证明：由h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），得h（m）=g（m）（m﹣x0）﹣f（m），h（x0）=g（x0）（m﹣x0）﹣f（m）．令函数H1（x）=g（x）（x﹣x0）﹣f（x），则H′1（x）=g′（x）（x﹣x0）．由（Ⅰ）知，当x∈[1，2]时，g′（x）＞0，故当x∈[1，x0）时，H′1（x）＜0，H1（x）单调递减；当x∈（x0，2]时，H′1（x）＞0，H1（x）单调递增．因此，当x∈[1，x0）∪（x0，2]时，H1（x）＞H1（x0）=﹣f（x0）=0，可得H1（m）＞0即h（m）＞0，令函数H2（x）=g（x0）（x﹣x0）﹣f（x），则H′2（x）=g′（x0）﹣g（x）．由（Ⅰ）知，g（x）在[1，2]上单调递增，故当x∈[1，x0）时，H′2（x）＞0，H2（x）单调递增；当x∈（x0，2]时，H′2（x）＜0，H2（x）单调递减．因此，当x∈[1，x0）∪（x0，2]时，H2（x）＞H2（x0）=0，可得得H2（m）＜0即h（x0）＜0，．所以，h（m）h（x0）＜0．（Ⅲ）对于任意的正整数p，q，且，令m=，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m）．由（Ⅱ）知，当m∈[1，x0）时，h（x）在区间（m，x0）内有零点；当m∈（x0，2]时，h（x）在区间（x0，m）内有零点．所以h（x）在（1，2）内至少有一个零点，不妨设为x1，则h（x1）=g（x1）（﹣x0）﹣f（）=0．由（Ⅰ）知g（x）在[1，2]上单调递增，故0＜g（1）＜g（x1）＜g（2），于是|﹣x0|=≥=．因为当x∈[1，2]时，g（x）＞0，故f（x）在[1，2]上单调递增，所以f（x ）在区间[1，2]上除x 0外没有其他的零点，而≠x 0，故f（）≠0．又因为p，q，a均为整数，所以|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|是正整数，从而|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．所以|﹣x0|≥．所以，只要取A=g（2），就有|﹣x0|≥．11/ 11。
天津一中2017-2018学年高三下学期11月月考数学试卷(理科) Word版含解析
天津一中2017-2018学年高三下学期月考数学试卷（理科）一、选择题：1．若复数z满足z（1+i）=4﹣2i（i为虚数单位），则|z|=( )A．B．C．D．2．以下说法错误的是( )A．“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否是“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假，则p，q均为假D．若p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则﹁p：∀x∈R，都有x2+x+1≥03．若x，y满足则下列不等式恒成立的是( )A．y≥1 B．x≥2 C．x+2y+2≥0 D．2x﹣y+1≥04．执行如图的程序框图，若输出的S=48，则输入k的值可以为( )A．4 B．6 C．8 D．105．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是( )A．2cm2B．cm3C．3cm3D．3cm36．已知m∈R，“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=log m x在（0，+∞）上为减函数”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．设x1，x2，x3均为实数，且=log2（x1+1），=log3x2，=log2x3，则( )A．x1＜x3＜x2B．x3＜x2＜x1C．x3＜x1＜x2D．x3＜x1＜x28．已知正数x、y、z满足x2+y2+z2=1，则S=的最小值为( )A．3 B．C．4 D．2（+1）二、填空题：9．已知二项式的展开式中各项二项式系数和是16，则n=__________，展开式中的常数项是__________．10．曲线y=sinx（0≤x≤π）与x轴围成的封闭区域的面积为__________．11．如图，在圆内接四边形ABCD中，AB∥DC，过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E．若AB=AD=BC=5，AE=6，则DC=__________．12．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|__________．13．在边长为2的等边三角形ABC中，D是AB的中点，E为线段AC上一动点，则•的取值范围为__________．14．已知函数g（x）=，若方程g（x）﹣mx﹣m=0有且仅有两个不等的实根，则实数m的取值范围是__________．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜|φ|＜为奇函数，且函数y=f（x）的图象的两相邻对称轴之间的距离为．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）的单调递增区间．16．一对父子参加一个亲子摸奖游戏，其规则如下：父亲在装有红色、白色球各两个的甲袋子里随机取两个球，儿子在装有红色、白色、黑色球各一个的乙袋子里随机取一个球，父子俩取球相互独立，两人各摸球一次合在一起称为一次摸奖，他们取出的三个球的颜色情况与他们获得的积分对应如下表：所取球的情况三个球均为红色三个球均不同色恰有两球为红色其他情况所获得的积分180 90 60 0（Ⅰ）求一次摸奖中，所取的三个球中恰有两个是红球的概率；（Ⅱ）设一次摸奖中，他们所获得的积分为X，求X的分布列及均值（数学期望）E（X）．17．在如图所示的多面体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE=2，M是AB的中点．（Ⅰ）求证：CM⊥EM；（Ⅱ）求平面EMC与平面BCD所成的锐二面角的余弦值；（Ⅲ）在棱DC上是否存在一点N，使得直线MN与平面EMC所成的角为60°．若存在，指出点N的位置；若不存在，请说明理由．18．设F1，F2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P（1，）在椭圆E上，且点P和F1关于点C（0，）对称．（1）求椭圆E的方程；（2）过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另一点Q，问是否存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．19．设数列S n为数列{a n}的前n项和，且S n=2a n﹣2n+1，n=1，2，3…（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设2，数列{b n}的前n项和B n，若存在整数m，使得对任意n∈N*且n≥2都有B3n﹣B n＞成立，求m的最大值（Ⅲ）设C n=﹣1，证明：++…+＜（n∈N*）20．已知函数f（x）=（其中m为常数）．（Ⅰ）当m=0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当0＜m＜时，设函数f（x）的3个极值点为a，b，c，且a＜b＜c．证明：a+c＞．天津一中2015届高三下学期5月月考数学试卷（理科）一、选择题：1．若复数z满足z（1+i）=4﹣2i（i为虚数单位），则|z|=( )A．B．C．D．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算．解答：解：由z（1+i）=4﹣2i，得，∴．故选：D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．2．以下说法错误的是( )A．“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否是“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假，则p，q均为假D．若p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则﹁p：∀x∈R，都有x2+x+1≥0考点：四种．专题：简易逻辑．分析：写出原的逆否，可判断A；根据充要条件的定义，可判断B；根据复合真假判断的真值表，可判断C；根据特称的否定方法，可判断D．解答：解：“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否是“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，故A正确；“x=1”时，“x2﹣3x+2=0”成立，故“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分条件；“x2﹣3x+2=0”时，“x=1或x=2”，即“x=1”不一定成立，故“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的不必要条件，故B正确；若p∧q为假，则p，q存在至少一个假，不一定全为假，故C错误；p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则﹁p：∀x∈R，都有x2+x+1≥0，故D正确；故选：C点评：本题考查的知识点是四种，充要条件，复合，特称，是简单逻辑的综合考查，难度不大，属于基础题．3．若x，y满足则下列不等式恒成立的是( )A．y≥1 B．x≥2 C．x+2y+2≥0 D．2x﹣y+1≥0考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，然后逐一分析四个选项得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，平面区域内的点不满足不等式y≥1，x≥2，x+2y+2≥0成立，只有选项D中的不等式2x﹣y+1≥0对平面区域内的点都成立．故选：D．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．4．执行如图的程序框图，若输出的S=48，则输入k的值可以为( )A．4 B．6 C．8 D．10考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当S=48时，由题意，此时应该满足条件n=10＞k，退出循环，输出S的值为48，故应有：7＜k＜10．解答：解：模拟执行程序框图，可得n=1，S=1不满足条件n＞k，n=4，S=6不满足条件n＞k，n=7，S=19不满足条件n＞k，n=10，S=48由题意，此时应该满足条件n=10＞k，退出循环，输出S的值为48，故应有：7＜k＜10故选：C．点评：本题主要考查了程序框图和算法，根据退出循环的条件分析k的取值范围是解题的关键，属于基础题．5．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是( )A．2cm2B．cm3C．3cm3D．3cm3考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由几何体的三视图得到原几何体的底面积与高，进而得到该几何体的体积．解答：解：由几何体的三视图可知，该几何体为底面是直角梯形，高为的四棱锥，其中直角梯形两底长分别为1和2，高是2．故这个几何体的体积是××=（cm3）．故选：B．点评：本题考查由几何体的三视图求原几何体的体积问题，属于基础题．6．已知m∈R，“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=log m x在（0，+∞）上为减函数”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据函数的性质求出m的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若函数y=f（x）=2x+m﹣1有零点，则f（0）=1+m﹣1=m＜1，当m≤0时，函数y=log m x在（0，+∞）上为减函数不成立，即充分性不成立，若y=log m x在（0，+∞）上为减函数，则0＜m＜1，此时函数y=2x+m﹣1有零点成立，即必要性成立，故“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=log m x在（0，+∞）上为减函数”的必要不充分条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数零点和对数函数的性质求出等价条件是解决本题的关键．7．设x1，x2，x3均为实数，且=log2（x1+1），=log3x2，=log2x3，则( )A．x1＜x3＜x2B．x3＜x2＜x1C．x3＜x1＜x2D．x3＜x1＜x2考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数函数与对数函数的图象与性质画出图象，即可得出结论．解答：解：如图所示，由图象可知：x1＜x3＜x2．故选：A．点评：本题考查了指数函数与对数函数的图象与性质，属于基础题．8．已知正数x、y、z满足x2+y2+z2=1，则S=的最小值为( )A．3 B．C．4 D．2（+1）考点：基本不等式；二维形式的柯西不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得1﹣z2=x2+y2≥2xy，从而可得≥，由基本不等式和不等式的性质可得≥≥4解答：解：由题意可得0＜z＜1，0＜1﹣z＜1，∴z（1﹣z）≤（）2=，当且仅当z=（1﹣z）即z=时取等号，又∵x2+y2+z2=1，∴1﹣z2=x2+y2≥2xy，当且仅当x=y时取等号，∴≥1，∴≥1，∴≥，∴≥≥4，当且仅当x=y=且z=时取等号，∴S=的最小值为4故选：C点评：本题考查基本不等式，涉及不等式的性质和配凑的方法，属中档题．二、填空题：9．已知二项式的展开式中各项二项式系数和是16，则n=4，展开式中的常数项是24．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：由题意知：得2n=16，即可求出n；利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出r的值，将r的值代入通项求出常数项．解答：解：由题意知：得2n=16，∴n=4；展开式的通项为T r+1=，令4﹣2r=0得r=2∴展开式中的常数项为24故答案为：4，24点评：本题考查二项式系数和问题、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．10．曲线y=sinx（0≤x≤π）与x轴围成的封闭区域的面积为2．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：先确定积分区间，进而求定积分，即可求得曲线y=sinx（0≤x≤π）与x轴围成的封闭图形的面积．解答：解：曲线y=sinx（0≤x≤π）与x轴围成的封闭区域的面积为==﹣cosπ+cos0=2．故答案为：2．点评：本题考查了定积分，关键是求出被积函数的原函数，是基础题．11．如图，在圆内接四边形ABCD中，AB∥DC，过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E．若AB=AD=BC=5，AE=6，则DC=．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：利用切割线定理求出BE，进而根据三角形相似对应边成比例，求出DC．解答：解：设BE=x，∵BC=5，AE=6，AE是切线，故AE2=BE•CE，即36=x（x+5），解得：x=4，或x=﹣9（舍），故BE=4，∵AB=AD=5，∴∠ABD=∠ADB，∵AB∥DC，∴∠ABD=∠CDB，∠C=∠ABE，又∵∠BAE=∠ADB，∴∠BAE=∠CBD，∴△BCD∽△EBA，∴DC：AB=BC：BE，∴CD==．故答案为：．点评：本题考查的知识点是切割线定理，三角形相似的判定及性质，难度中档．12．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|5．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用抛物线的定义，设Q到l的距离为d，求出斜率，求得直线PF的方程，与y2=8x 联立可得x=3，利用|QF|=d可求．解答：解：设Q到l的距离为d，则由抛物线的定义可得，|QF|=d，∵=4，则Q在PF的延长线上，∴|PQ|=5d，∴直线PF的斜率为﹣=﹣2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），与y2=8x联立可得x=3，（由于Q的横坐标大于2）∴|QF|=d=3+2=5，故答案为：5点评：本题考查抛物线的定义和简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．13．在边长为2的等边三角形ABC中，D是AB的中点，E为线段AC上一动点，则•的取值范围为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得和的夹角为60°，设||=x，x∈，根据的向量的之间的关系得到•的表达式，借助于二次函数求出最值，即得它的取值范围．解答：解：由题意可得和的夹角为60°，设||=x，x∈，∵•=（﹣）•（﹣）=﹣﹣+=2×1﹣2xcos60°﹣xcos60°+x2=x2﹣x+2=+，故当x=时，•取得最小值为，当x=2时，•取得最大值为3，故•的取值范围为，点评：本题题主要考查两个向量的加减法的法则、其几何意义、两个向量的数量积的定义以及二次函数配方求最值，属于基础题．14．已知函数g（x）=，若方程g（x）﹣mx﹣m=0有且仅有两个不等的实根，则实数m的取值范围是．考点：利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：g（x）﹣mx﹣m=0可化为g（x）=m（x+1），从而化为函数y=g（x）与y=m（x+1）的图象有两个不同的交点；再讨论以确定实数m的取值范围．解答：解：由g（x）﹣mx﹣m=0得g（x）=m（x+1），原方程有两个相异的实根等价于两函数y=g（x）与y=m（x+1）的图象有两个不同的交点．当m＞0时，易知临界位置为y=m（x+1）过点（0，2）和（1，0），分别求出这两个位置的斜率k1=2和k2=0，由图可知此时m∈的图象作切线的切点为（x0，y0），则由函数的导数为g′（x）=﹣得：，解得：得切线的斜率为k1=﹣，而过点（﹣1，0），（0，﹣2）的斜率为k1=﹣2，故可知m∈（﹣，﹣2]，则m∈（﹣，﹣2]∪专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由函数的奇偶性求出φ，由周期求出ω，可得函数的解析式，从而求得f（）的值．（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得函数g（x）的单调递增区间解答：解：（Ⅰ）==．因为f（x）为奇函数，所以，又，可得．所以f（x）=2sinωx，由题意得，所以ω=2．故f（x）=2sin2x，因此．（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象，所以．当（k∈Z），即（k∈Z）时，g（x）单调递增，因此g（x）的单调递增区间为（k∈Z）．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．16．一对父子参加一个亲子摸奖游戏，其规则如下：父亲在装有红色、白色球各两个的甲袋子里随机取两个球，儿子在装有红色、白色、黑色球各一个的乙袋子里随机取一个球，父子俩取球相互独立，两人各摸球一次合在一起称为一次摸奖，他们取出的三个球的颜色情况与他们获得的积分对应如下表：所取球的情况三个球均为红色三个球均不同色恰有两球为红色其他情况所获得的积分180 90 60 0（Ⅰ）求一次摸奖中，所取的三个球中恰有两个是红球的概率；（Ⅱ）设一次摸奖中，他们所获得的积分为X，求X的分布列及均值（数学期望）E（X）．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由条件利用相互独立事件的概率乘法公式，互斥事件的概率加法公式求得所取的三个球中恰有两个是红球的概率．（Ⅱ）由题意可得X可以取180，90，60，0，再求得X取各个值得概率，可得X的分布列及均值．解答：（Ⅰ）解：设所取三个球恰有两个是红球为事件A，则事件A包含两类基本事件：父亲取出两个红球，儿子取出一个不是红球，其概率为；父亲取出两球为一红一白，儿子取出一球为红色其概率为，故．（Ⅱ）解：X可以取180，90，60，0，取各个值得概率分别为：，P（X=60）=+=P（X=0）=1﹣﹣﹣，故X的分布为：X 180 90 60 0PX的均值为．点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，互斥事件的概率加法公式的应用，离散型随机变量的分布列和均值，属于中档题．17．在如图所示的多面体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE=2，M是AB的中点．（Ⅰ）求证：CM⊥EM；（Ⅱ）求平面EMC与平面BCD所成的锐二面角的余弦值；（Ⅲ）在棱DC上是否存在一点N，使得直线MN与平面EMC所成的角为60°．若存在，指出点N的位置；若不存在，请说明理由．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）证明CM⊥AB．CM⊥EA．即可证明CM⊥平面AEM，利用直线与平面垂直的性质定理证明CM⊥EM．（Ⅱ）以M为原点，分别以MB，MC为x，y轴，如图建立坐标系M﹣xyz，求出相关点的坐标以及平面EMC的一个法向量，设面DBC的一个法向量，通过空间向量的数量积求解平面EMC与平面BCD所成的锐二面角的余弦值．（Ⅲ）设N（x，y，z），，0≤λ≤1，利用若直线MN与平面EMC所成的角为60°，列出方程求出λ，即可得到点的位置．解答：（本小题共14分）（I）证明：∵AC=BC，M是AB的中点∴CM⊥AB．又EA⊥平面ABC，CM⊥EA．∵EA∩AB=A∴CM⊥平面AEM∴CM⊥EM…（Ⅱ）以M为原点，分别以MB，MC为x，y轴，如图建立坐标系M﹣xyz，则设平面EMC的一个法向量，则取所以设平面DBC的一个法向量，则取x1=1，y1=1，z1=0，所以所以平面EMC与平面BCD所成的锐二面角的余弦值．…（Ⅲ）在棱DC上存在一点N，设N（x，y，z）且，0≤λ≤1，，若直线MN与平面EMC所成的角为60°，则解得：，所以符合条件的点N存在，为棱DC的中点．…点评：本题考查直线与平面垂直的判断与性质定理的应用，二面角的平面角以及直线与平面所成角的处理方法，空间向量的数量积的应用．18．设F1，F2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P（1，）在椭圆E上，且点P和F1关于点C（0，）对称．（1）求椭圆E的方程；（2）过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另一点Q，问是否存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）先求F1（﹣1，0），再根据椭圆定义求得a、b即可；（2）设直线l的方程为y=k（x﹣1）、直线PQ的方程为y﹣=k（x﹣1），分别与椭圆方程联立，消去y，设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x3，y3），由韦达定理及PB与AQ的中点重合，可解得，从而直线l方程为3x﹣4y﹣3=0时，四边形PABQ的对角线互相平分．解答：解：（1）∵点P（1，）和F1关于点C（0，）对称，∴F1（﹣1，0），∴椭圆E的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），由椭圆定义，得2a=|PF1|+|PF2|=4，从而a=2，b==，故椭圆E的方程为；（2）结论：存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分．理由如下：由题可知直线l、直线PQ的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣1）、直线PQ的方程为y﹣=k（x﹣1），由消去y，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，根据题意可知△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理可知x1+x2=，x1x2=，由消去y，得（3+4k2）x2﹣（8k2﹣12k）x+4k2﹣12k﹣3=0，由△＞0，可知，设Q（x3，y3），又P（1，），则1+x3=，1•x3=，若四边形PABQ的对角线互相平分，则有PB与AQ的中点重合，所以，即x1﹣x2=1﹣x3，故，所以（）2﹣4•=（1﹣）2，解得，从而直线l方程为3x﹣4y﹣3=0时，四边形PABQ的对角线互相平分．点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意积累解题方法，联立方程组后利用韦达定理是解题的关键．19．设数列S n为数列{a n}的前n项和，且S n=2a n﹣2n+1，n=1，2，3…（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设2，数列{b n}的前n项和B n，若存在整数m，使得对任意n∈N*且n≥2都有B3n﹣B n＞成立，求m的最大值（Ⅲ）设C n=﹣1，证明：++…+＜（n∈N*）考点：数列的求和．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（Ⅰ）利用a n=S n﹣S n﹣1，计算整理可得，两边同时除以2n，可得数列{}的公差，进而可得结论；（Ⅱ）通过，利用对数的运算性质可得b n=，记f（n）=，利用放缩法可得f（n+1）﹣f（n）＞0，进而可知当n≥2时，f（n）的最小值为f（2），计算即得结论；（Ⅲ）通过，利用放缩法可得＜•，设，则，进而可得结论．解答：（Ⅰ）解：∵S n=2a n﹣2n+1，∴S n﹣1=2a n﹣1﹣2n（n≥2），两式相减得：a n=2a n﹣2a n﹣1﹣2n，∴，两边同时除以2n，可得：，又∵，∴a1=4，=2，∴=2+（n﹣1）=n+1，∴；（Ⅱ）解：∵，∴2==，∴，令，则f（n+1）﹣f（n）=++﹣=+﹣＞+﹣=0，即f（n+1）＞f（n），∴数列f（n）为递增数列，当n≥2时，f（n）的最小值为，由题意知，∴m＜19，∴m的最大整数值为18；（Ⅲ）证明：∵，∴，设，则，即．点评：本题是一道关于数列的综合题，考查通项、对数的运算性质、放缩法等基础知识，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．20．已知函数f（x）=（其中m为常数）．（Ⅰ）当m=0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当0＜m＜时，设函数f（x）的3个极值点为a，b，c，且a＜b＜c．证明：a+c＞．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）令f'（x）=0可得．从而求出函数的单调区间，（Ⅱ）由题，对于函数，有，从而函数h（x）在（0，m）上单调递减，在（m，+∞）上单调递增从而h min（x）=h（m）=2lnm+1＜0，所以，进而函数f（x）的递增区间有（a，2m）和（c，+∞），递减区间有（0，a），（2m，1），（1，c），解方程组求出函数g（x）=2xlnx﹣x 在上递减，在上递增，构造函数，只需要证明单调递减即可，从而解决问题．解答：解：（Ⅰ）令f'（x）=0可得．列表如下：x （0，1）f'（x）﹣﹣0 +f（x）减减极小值增单调减区间为（0，1），；增区间为．（Ⅱ）由题，对于函数，有∴函数h（x）在（0，m）上单调递减，在（m，+∞）上单调递增∵函数f（x）有3个极值点a＜b＜c，从而h min（x）=h（m）=2lnm+1＜0，所以，当时，h（2m）=2ln2m＜0，h（1）=m﹣1＜0，∴函数f（x）的递增区间有（a，2m）和（c，+∞），递减区间有（0，a），（2m，1），（1，c），此时，函数f（x）有3个极值点，且b=2m；∴当时，a，c是函数的两个零点，即有，消去m有2alna﹣a=2clnc﹣c令g（x）=2xlnx﹣x，g'（x）=2lnx+1有零点，且∴函数g（x）=2xlnx﹣x在上递减，在上递增要证明⇔⇔，∵g（a）=g（c），∴即证构造函数，∵=0，只需要证明单调递减即可．而，，∴F'（x）在上单调递增，∴．点评：本题考察了函数的单调性，函数的极值问题，导数的应用，不等式的证明，本题是一道综合题．。
2017市一中高三数学第一次月考试卷(理科)终版
2017市一中高三数学第一次月考试卷（理科）考试说明：本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题（每题5分，共12小题，满分60分，每小题只有一个选项正确。
）1． 已知集合M= ， ， ，N=，则MN =（ ）A ．{11}-，B ．{0}C ．{1}-D ．{10}-，2．设复数z 满足（1+i ）z=2i ，则|z |=（ ）A ．12B．2C． D ．23．下列有关命题的叙述错误的是（ ）A. 对于命题 p ：2,10x R x x ∃∈++<，则P ⌝为： 2,10x R x x ∀∈++≥B. 命题“若 x 2－3x + 2 = 0，则 x = 1”的逆否命题为“若 x ≠1，则 x 2－3x+2≠0”C. 若 p ∧q 为假命题，则 p ，q 均为假命题D. “x > 2”是“ x 2－3x + 2 > 0”的充分不必要条件4．“p ∨q 为真”是“¬p 为假”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出 k 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ＞0x ＋1，x ≤0，若f(a)＋f(1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 7．下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（ ） A ．f （x ）=2xB ．f （x ）=xsinxC ．D ．f （x ）=﹣x |x |8．如果 ，则当x ≠0且x ≠1时，f （x ）=（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知f （x ）在R 上是奇函数，且满足f （x+2）= - f （x ），当x ∈（0，2）时，f （x ）=2x 2，则f （7）=（ ） A ．2B ．﹣2C ．﹣98D ．9810．若函数)(x f y =的定义域是[0,2]，则函数1)2()(-=x x f x g 的定义域是（ ）A ．[0,1]B ．[0,1)∪(1,4]C ．[0,1)D ．(0,1)11.若f （x ）=x 2+2（a ﹣1）x+2在区间（4，+∞）上是增函数，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≥3B ．a ≥﹣3C ．a ≤﹣3D ．a ≤512．若实数y x ,满足01ln|1|=--yx ,则y 是x 的函数的图象大致是( )第二卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）13．设y x ,满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤+,0,,1y x y y x 则y x z +=2的最大值是____________.14．函数y =的定义域为 ．15．函数223y x x =+-在区间[﹣3，0]上的值域为 ． 16．函数2()ln(43x )f x x =+-的单调递减区间是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（12分）已知命题P :A x ∈，且A {|11}x a x a =-<<+，命题q :B x ∈，且2B {|430}x x x =-+≥（1）若A B =∅，A B R =，求实数a 的值； （2）若P 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围.18.( 12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长分别为 ，b ，c ，且满足， .（1）求 的大小； （2）若ABC ∆的面积为b 的值． 19.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S 满足*131()22n n S a a n N =-∈，且13a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令*92log ()n n b a n N =∈，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．20．（12分）已知函数()lg(33)x f x =- （1）求函数()f x 的定义域和值域；（2）设函数()()lg(33)x h x f x =-+，若不等式()h x t >无解，求实数t 的取值范围. 21．（12分）已知关于x 的方程22log (25)210x x a -+--=在[]0,3x ∈上有解．（1）求正实数a 取值所组成的集合A ；（2）若230t at --≥对任意A a ∈恒成立，求实数t 的取值范围． 22.（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（θ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcosθ=﹣2．（1）求C 1和C 2在直角坐标系下的普通方程；（2）已知直线l ：y=x 和曲线C 1交于M ，N 两点，求弦MN 中点的极坐标．C. D.。
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天津一中2016-2017-1高三年级第一次月考数学（理）试卷 一、选择题： 1．设全集U=R,集合A={x|x2-2x≥0},B={x|y=log2(x2-1)},则(∁UA)∩B=（ B ） A. D.(-∞,-1)∪ 2. 在复平面上，复数2ii对应的点在（ D ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．设函数23()xxfxe（e为自然底数），则使()1fx成立的一个充分不必要条件是（ A ） A.01x B.04x C. 03x D. 34x 4．下列命题中是假命题的是（ C ）
A.mR，使243()(1)mmfxmx是幂函数 B. ,R，使cos()coscos C. R，函数()sin()fxx都不是偶函数 D. 0a，函数2()lnlnfxxxa有零点
5．设变量x，y满足：34,2yxxyx则z=|x-3y|的最大值为（ B ） A．3 B．8 C．134 D．92 6．在如图所示的程序框图中，若输出i的值是3，则输入x的取值范围是（A ） A．（4，10] B．（2，+∞） C．（2，4] D．（4，+∞） 7．函数f(x)=(x2-2x)ex的大致图象是（ A ）
A.B.C.D. 8．已知函数2,11,1xaxxfxaxx,若1212,,xxRxx,使得12fxfx成立, 则实数a的取值范围是（ A ） A．2a B．2a C．22a D．2a或2a
二、填空题：9.若（2x+）dx=3+ln2（a＞1），则a的值是 ．2 10.已知函数f(x)=224,0,4-,0,xxxxxx若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是 ▲ . 【答案】(-2,1)
11.在直角ABC中，90C，30A， 1BC ， D为斜边AB的中点，则 CDAB= . -1
12.如图，PB为△ABC外接圆O的切线，BD平分PBC，交圆O于D，C,D,P共线．若ABBD,PCPB,1PD，则圆O的半径是 ．-2 13.已知曲线1C、2C的极坐标方程分别为2cos()2，2cos()104，则曲线1C上的点与曲线2C上的点的最远距离为________.2-1
14.已知函数||)(xxexf，方程)(01)()(2Rtxtfxf有四个实数根， 则t的取值范围为
)12ee，（ 三、解答题： 15.已知函数2()=sin(2+)+sin(2)+2cos133fxxxx，xR. (Ⅰ)求函数()fx的最小正周期； （Ⅱ）求函数()fx在区间[,]44上的最大值和最小值. 解：(Ⅰ) ∵sin2coscos2sinsin2co()=333scos23sincos2fxxxxxx sin2cos2 2 sin24xxx（），……………………4分
∴函数()fx的最小正周期22T。 ……………………6分 （Ⅱ）∵函数()fx在区间48，上是增函数，在区间84，上是减函数，………8分 又()=()=2()11484=fff，，，……………………11分 ∴函数()fx在[,]44的最大值为 2，最小值为－1。……………………13分 16.在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手，各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手． (1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率； (2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望． 解：(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”，
则P(A)＝C12C23＝23，P(B)＝C24C35＝35. ∵事件A与B相互独立， ∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(AB)＝P(A)·P(B) ＝P(A)·＝23×25＝415.
或P（AB）＝C12·C34C23·C35＝4
15
(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，
则P(C)＝C24C35＝35. ∵X可能的取值为0，1，2，3，且取这些值的概率分别为 P(X＝0)＝P(ABC)＝13×25×25＝475，
P(X＝1)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)
＝23×25×25＋13×35×25＋13×25×35＝2075， P(X＝2)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)
＝23×35×25＋23×25×35＋13×35×35＝3375，
P(X＝3)＝P(ABC)＝23×35×35＝1875，
∴X的分布列为 X 0 1 2 3
P 475 2075 3375 1875
∴X的数学期望
E(X)＝0×475＋1×2075＋2×3375＋3×1875＝14075＝2815.
17.如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，且AE=BF=EF=2，DE=CF=2．将△AED和△BFC分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合，记为点M，得到一个四棱锥M﹣CDEF，点G，N，H分别是MC，MD，EF的中点． （1）求证：GH∥平面DEM； （2）求证：EM⊥CN； （3）求直线GH与平面NFC所成角的大小．
【解答】证明：（1）连结NG，EN， ∵N，G分别是MD，MC的中点，∴NG∥CD，NG=CD． ∵H是EF的中点，EF∥CD，EF=CD，∴EH∥CD，EH=CD， ∴NG∥EH，NG=EH， ∴四边形ENGH是平行四边形， ∴GH∥EN，又GH⊄平面DEM，EN⊂平面DEM， ∴GH∥平面DEM． （2）∵ME=EF=MF，∴△MEF是等边三角形， ∴MH⊥EF， 取CD的中点P，连结PH，则PH∥DE， ∵DE⊥ME，DE⊥EF，ME∩EF=E， ∴DE⊥平面MEF， ∴PH⊥平面MEF． 以H为原点，以HM，HF，HP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则E（0，﹣1，0），M（，0，0），C（0，1，2），N（，﹣，1）． ∴=（，1，0），=（﹣，，1）． ∴=+1×+0×1=0． ∴． ∴EM⊥NC． （3）F（0，1，0），H（0，0，0），G（，，1）， ∴=（，，1），=（0，0，2），=（﹣，，1），
设平面NFC的法向量为=（x，y，z），则，即． 令y=1得=（，1，0）， ∴cos＜＞==． ∴直线GH与平面NFC所成角的正弦值为， ∴直线GH与平面NFC所成角为．
18.已知首项为2,公比不等于1的等比数列{an}的前n项和为Sn,且S3,S2,S4成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)记bn=n|an|,数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn. 【答案】(1)通解 设数列{an}的公比为q,由题意得2S2=S3+S4,q≠1, 化简得q2+q-2=0,得q=-2, 又数列{an}的首项为,∴an=2×(-2)n-1. 又数列{an}的首项为,∴an=2×(-2)n-1. (2)bn=n|an|=n×2×2n-1=n×2n, ∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=(1×2+2×22+3×23+…+n×2n), ① 2Tn=(1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1), ② ① -②整理得 ∴Tn=2+(n-1)×2n. 19.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：)0(12222babyax的离心率为，直线y=x被
椭圆C截得的线段长为． （ I）求椭圆C的方程． （Ⅱ）直线l是圆O：222ryx的任意一条切线，l与椭圆C交于A、B两点，若以AB为
直径的圆恒过原点，求圆O的方程，并求出|AB|的取值范围． 解：（Ⅰ）椭圆方程+=1（a＞b＞0），a2=b2+c2， ∵， ∴a2=2c2， ∴a2=2b2， 设直线与椭圆交于P，Q两点．不妨设P点为直线和椭圆在第一象限的交点， 又∵弦长为， ∴， ∴， 又a2=2b2，
解得a2=8，b2=4，∴椭圆方程为． （Ⅱ）（i）当切线l的斜率不存在时，设x=r（或x=﹣r），代入椭圆方程得：y=± ∴A（r，），B（r，﹣）， ∵以AB为直径的圆恒过原点， ∴⊥， ∴r2﹣=0， ∴r2=， ∴圆O的方程为x2+y2=，
此时|AB|=2=（同理当x=﹣r时，上述结论仍然成立）， （ii）当切线l的斜率存在时，设l方程为：y=kx+m， ∵l与圆O相切
∴=r，即m2=（1+k2）r2， 将直线方程代入椭圆方程并整理得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，① △=8k2+4﹣m2＞0，② 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程①的两个解，由韦达定理得：
x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=， ∵以AB为直径的圆恒过原点， ∴⊥， ∴x1x2+y1y2=0，
∴+=0， ∴3m2﹣8﹣8k2=0，3m2=8（1+k2）， 又∵m2=（1+k2）r2， ∴3（1+k2）r2=8（1+k2）， ∴r2=， 此时m2=（1+k2），代入②式后成立， ∴圆O的方程为x2+y2=， 此时|AB|=•，