正余弦诱导公式
三角函数诱导公式

判断正弦、余弦、正切关系
已知三角形中两个角的正弦、余弦、正切关系,利用诱导公式求第三个角的大小,并求出其余角的正弦、余弦、正切值。
01
02
03
边角转换
已知三角形的三边,利用三角函数诱导公式将其转换为角度,再利用三角函数公式求解角度大小。
求解最值
通过三角函数诱导公式,可以将一些较为复杂的三角函数值计算问题转化为简单的角度和三角函数值之间的关系问题,从而简化计算。
要点一
要点二
拓扑性质
三角函数诱导公式还可以用于证明一些三角函数的拓扑性质,例如周期性、单调性等。
应用领域
三角函数诱导公式在数学、物理、工程、计算机等领域都有广泛的应用。
要点三
三角函数诱导公式记忆技巧
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多项选择题
VS
总结词:综合应用
详细描述:解答题主要考察学生对三角函数诱导公式的综合应用能力,例如通过给定的角度和函数类型,正确推导并应用诱导公式解决问题等。
解答题
三角函数诱导公式应用实例
05
在解三角形中的应用
判断象限
利用诱导公式,将任意角转换为锐角,判断其所在象限,进而求出其余角和补角。
求解角度
2023
三角函数诱导公式
目录
contents
三角函数诱导公式基本概念三角函数诱导公式记忆技巧常见三角函数诱导公式总结三角函数诱导公式练习题三角函数诱导公式应用实例总结与展望
三角函数诱导公式基本概念
01
正弦函数(sine function)
余弦函数(cosine function)
正切函数(tangent function)
正弦余弦的诱导公式

1.诱导公式sin(-a)=-sin(a)cos(-a)=cos(a)sin(2π-a)=cos(a)cos(2π-a)=sin(a)sin(2π+a)=cos(a)cos(2π+a)=-sin(a)sin(π-a)=sin(a)cos(π-a)=-cos(a)sin(π+a)=-sin(a)cos(π+a)=-cos(a)tgA=tanA=sinAcosA2.两角和与差的三角函数sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)tan(a+b)=tan(a)+tan(b)1-tan(a)tan(b)tan(a-b)=tan(a)-tan(b)1+tan(a)tan(b)3.和差化积公式sin(a)+sin(b)=2sin(a+b2)cos(a-b2)sin(a)−sin(b)=2cos(a+b2)sin(a-b2)cos(a)+cos(b)=2cos(a+b2)cos(a-b2)cos(a)-cos(b)=-2sin(a+b2)sin(a-b2)4.积化和差公式(上面公式反过来就得到了) sin(a)sin(b)=-12⋅[cos(a+b)-cos(a-b)]cos(a)cos(b)=12⋅[cos(a+b)+cos(a-b)]sin(a)cos(b)=12⋅[sin(a+b)+sin(a-b)]5.二倍角公式sin(2a)=2sin(a)cos(a)cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a) 6.半角公式sin2(a2)=1-cos(a)2cos2(a2)=1+cos(a)2tan(a2)=1-cos(a)sin(a)=sina1+cos(a)7.万能公式sin(a)=2tan(a2)1+tan2(a2)cos(a)=1-tan2(a2)1+tan2(a2)tan(a)=2tan(a2)1-tan2(a2)8.其它公式(推导出来的)a⋅sin(a)+b⋅cos(a)=a2+b2sin(a+c)其中tan(c)=baa⋅sin(a)-b⋅cos(a)=a2+b2cos(a-c)其中tan(c)=ab1+sin(a)=(sin(a2)+cos(a2))21-sin(a)=(sin(a2)-cos(a2))22-csc(a)=1sin(a)sec(a)=1cos(a)三、正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R其中R是三角形外接圆半径正弦定理可以解决下列三角问题:①已知两角和任一边,求其它两边和一角。
正弦余弦的诱导公式1

例3. 化简
sin( 2π α ) cos(π + α ) cos(π α ) sin(3π α ) sin( α π ) ( sin α )( cosα ) 解: 原式= 原式 ( cosα ) sin(π α )[ sin(π + α )] sin α cosα = ( cosα ) sin α [( sin α )] 1 = sin α
sin
11π 617π 3Fra biblioteksin(
)
例2
cos(180 + α ) sin(α + 360 ) 化简: 化简: sin(α 180o ) cos(180o α )
o o
cosα sinα 解 : 原式 = sin(180o + α ) cos(180o + α )
cos α sin α = =1 sin α ( cos α )
诱导公式一
sin(α+ 2kπ ) = sinα cos(α+
2kπ)
= cosα
其中 k∈Z
tan(α+ 2kπ ) = tanα
终边相同的角的相应三角函数值相等
引入新课
Л-α的终边 的终边
y
1
α的终边 的终边
sinα=y cosα=x tanα=y/x
x
-α的终边 的终边
o
Л+α的终边 的终边
练习
诱导公式用途: 诱导公式用途 把求任意角的三角函数值,转化为 任意角的三角函数值 把求任意角的三角函数值 转化为 锐角的三角函数值 的三角函数值: 锐角的三角函数值:
任意负角的 任意负角的 负角 三角函数 0°到360° 角 ° ° 的三角函数
完整版)三角函数诱导公式总结

完整版)三角函数诱导公式总结三角函数诱导公式与同角的三角函数知识点1】诱导公式及其应用诱导公式是指通过一些特定的公式,将三角函数中的某些角度转化为其他角度,从而简化计算。
以下是常用的诱导公式:公式一:sin(-α) = -sinα;cos(-α) = cosα;tan(-α) = -tanα公式二:sin(π+α) = -sinα;cos(π+α) = -cosα;tan(π+α) =tanα公式三:sin(π-α) = sinα;cos(π-α) = -cosα;tan(π-α) = -tanα公式四:sin(2π-α) = -sinα;cos(2π-α) = cosα;tan(2π-α) = -tanα公式五:sin(π/2-α) = cosα;cos(π/2-α) = sinα公式六:sin(π/2+α) = cosα;cos(π/2+α) = -sinα公式七:sin(-π/2-α) = -cosα;cos(-π/2-α) = -sinα公式八:sin(-π/2+α) = -cosα;cos(-π/2+α) = sinα公式九:sin(α+2kπ) = sinα;cos(α+2kπ) = cosα;tan(α+2kπ) = tanα(其中k∈Z)。
以上公式可以总结为两条规律:1.前四组诱导公式可以概括为:函数名不变,符号看象限。
2.公式五到公式八总结为一句话:函数名改变,符号看象限(原函数所在象限)。
另外,还有一个规律是:奇变偶不变,符号看象限。
也就是说,将三角函数的角度全部化成kπ/2+α或是kπ/2-α的形式,如果k是奇数,那么符号要改变;如果k是偶数,符号不变。
例1、求值:(1)cos(2916π)= ________;(2)tan(-855)= ________;(3)sin(-π)= ________。
例2、已知tan(π+α)=3,求:(2cos(-α)-3sin(π+α))/(4cos(-α)+sin(2π-α))的值。
三角函数诱导公式大全

三角函数诱导公式大全三角函数诱导公式是数学中的重要内容,常用的诱导公式有以下几组:公式一:对于任意角α,终边相同的角的同一三角函数的值相等,即sin(2kπ+α)=sinα,cos(2kπ+α)=cosα,tan (2kπ+α)=tanα,cot(2kπ+α)=cotα。
公式二:对于任意角α,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系,即sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα,cot(π+α)=cotα。
公式三:对于任意角α,α与-α的三角函数值之间的关系,即sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα,cot(-α)=-cotα。
公式四:利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系,即sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα,cot(π-α)=-cotα。
公式五:利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系,即sin(2π-α)=-sinα,cos(2π-α)=cosα,tan(2π-α)=-tanα,cot(2π-α)=-cotα。
公式六:对于π/2±α与α的三角函数值之间的关系,即sin(π/2+α)=cosα,cos(π/2+α)=-sinα,tan(π/2+α)=-cotα,cot(π/2+α)=-tanα,sin(π/2-α)=cosα,cos (π/2-α)=sinα,tan(π/2-α)=cotα,cot(π/2-α)=tanα。
为了更好地记忆这些公式,可以使用以下口诀:奇变偶不变,符号看象限。
具体来说,对于k·π/2±α(k∈Z)的个三角函数值,当k是偶数时,得到α的同名函数值,函数名不改变;当k是奇数时,得到α相应的余函数值,即sin→cos,cos→sin,tan→cot,cot→tan。
三角函数诱导公式全集

三角函数诱导公式全集三角函数诱导公式一:任意角α与-α的三角函数值之间的关系:sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα三角函数诱导公式二:设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα三角函数诱导公式三:利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα三角函数诱导公式四:设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)三角函数诱导公式五:利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα三角函数诱导公式六:π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)注意:在做题时,将a看成锐角来做会比较好做。
正弦和余弦的诱导公式

①sin(180°+α)=sinαcos(180°+α)=cosα②sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα1,利用单位圆表示任意角α的正弦值和余弦值xyoP(x,y)(1,0).α的终边.yxoP(x,y)(1,0).α的终边.xyoP(x,y)(1,0).α的终边.xyoP(x,y)(1,0).α的终边.如左图,由定义,都有:sinα= y cosα= x1,利用单位圆表示任意角α的正弦值和余弦值xyoP(x,y)(1,0).α的终边.yxoP(x,y)(1,0).α的终边.如左图,由定义,都有:sinα= y cosα= x2,诱导公式一及其用途sin(α+k·360°) = sinαcos(α+k·360°) = cosαtan(α+k·360°) = tanα 其中k ∈Z任意角的三角函数值公式一的用途0 °~ 360 °角的三角函数值本单元的内容0 °~ 90 °角的三角函数值(1)0 °~ 90 °角的正弦值、余弦值用何法可求得?(2)90 °~ 360 °的角β能否与锐角α相联系?设0°≤α≤90 °,那么,对于90°~ 180 °间的角,可表示成:180 °-α;180°~ 270 °间的角,可表示成:180 °+α;270°~ 360 °间的角,可表示成:360 °-α;(1)锐角α的终边与180 °+α角的终边,位置关系如何?(2)任意角α与180 °+α呢?yxoP(x,y)(1,0).α的终边.xyoP(x,y)(1,0).α的终边.α180 °+α的终边180 °+α的终边.P’.P’由分析可得:角α180 °+α终边关系关于原点对称点的关系P(x,y)P’(-x,-y)函数关系sinα= ycosα= xsin(180 °+α)= -ycos(180 °+α)= -x因此,可得:sin(180 °+α) = -sinαcos(180 °+α) = -cosα公式二2,同理可研究-α与α的三角函数值的关系yxoP(x,y)(1,0).α的终边.-α的终边.P’角α-α终边关系关于X 轴对称点的关系P(x,y)P’(x,-y)函数关系sinα= y cosα= xsin(-α) = -y cos(-α) = x因此,可得:sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosα公式三sin(180 °+α) = -sinαcos(180 °+α) = -cosα公式二:公式二与公式三的成立条件,以及它们的特点,用途。
正弦余弦正切的诱导公式 三角函数

正弦、余弦、正切的诱导公式【知识点精析】1. 三角函数的诱导公式 诱导公式(一): sin()sin 2k παα+= cos()cos 2k παα+= tan()tan 2k παα+=cot()cot 2k παα+=公式含义:终边相同的角的正弦、余弦、正切、余切值相等。
公式作用:把任意角的三角函数化为0°~360°(或0~2π)内的三角函数。
其方法是:先在0°~360°(或0~2π)内找出与角α终边相同的角,再将它分成诱导公式(一)的形式,然后得出结果。
如coscos()cos 25646632ππππ=+==诱导公式(二): sin()sin παα+=- cos()cos παα+=- tan()tan παα+=cot()cot παα+=公式结构特征:①同名函数关系②符号规律:右边符号是将α看作锐角时,πα+是第三象限角的原函数值符号。
即:“函数名不变,符号看象限”。
公式作用:可以把180°~270°(或ππ~32)内的角的三角函数转化为锐角三角函数。
例:sin210°=sin (180°+30°)=-sin30°=-12cos cos()cos 433312ππππ=+=-=- 诱导公式(三): sin()sin -=-ααcos()cos -=αα tan()tan -=-ααcot()cot -=-αα公式结构特征:①同名函数关系②符号规律:右边符号是将α看作锐角时,-α是第四象限角原函数值的符号。
即:“函数名不变,符号看象限”。
公式的作用:可以把负角的三角函数转化为正角三角函数。
例:sin()sin-=-=-ππ4422cos()cos -==606012诱导公式(四): sin()sin παα-= cos()cos παα-=-tan()tan παα-=-cot()cot παα-=-公式结构特征: ①同名函数关系②符号规律:右边符号是将α看作锐角时,πα-是第二象限角的原函数值的符号。
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正
余
弦
诱
导
公
式
院系:数学科学学院
班级:统计***
姓名:***
学号:***********
诱导公式教学设计
一、教学内容分析
“三角函数的诱导公式”是普通高中课程标准实验教科书人教A版必修4第一章第三节,其主要内容是三角函数的诱导公式中的公式二至公式六。
它是圆的对称性“代数表示”。
利用对称性,探究角的终边分别关于原点或坐标轴对称的角的三角函数值之间的关系,体现“数形结合”的数学思想;诱导公式的主要用途是把任意角的三角函数值问题转化为求锐角的三角函数值,体现“转化”的数学思想。
诱导公式学习还反映了从特殊到一般的归纳思维形式,对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力具有积极的作用。
二、教学目标
1.知识与技能
借助单位圆,推导出诱导公式,能正确运用诱导公式将任意角的三角
函数化为锐角的三角函数,掌握有关三角函数求值问题。
2.过程与方法
经历诱导公式的探索过程,体验未知到已知、复杂到简单的转化过程,养化归思想。
3.情感态度与价值观
感受数学探索的成功感,激发学习数学的热情,培养学习数学的兴趣,增强学习数学的信心。
三、重点与难点
1.重点:诱导公式二、三、四的探究,运用诱导公式进行简单三角函数式的求值,提高对数学内部联系的认识。
2.难点:发现圆的对称性与任意角终边的坐标之间的联系;诱导公式的合理运用。
四、学者分析
学生在前面诱导公式学习中感受了数形结合思想、对称变换思想在研究数学问题中的应用,初步形成用对称变换思想思考问题的习惯。
学生对高中数学知识有了一定了解和掌握,也形成了自己的学习方法和习惯,对学习高中数学有了一定兴趣和信心,且具有了一定的分析、判断、理解能力和交流沟通能力。
但由于诱导公式多,学生记忆困难,应用时易错,应该渗透归纳总结的学习方法,让学生找规律,体现自主探究、共同参与的新课改理念。
五、教学策略的选择和设计
一、课题引入
问题1:任意角α的正弦、余弦是怎样定义的?
口述三角函数的单位圆定义:x y ==ααcos ,sin 。
问题2:求下列三角函数值: (1)77sin
,(2)cos
66
ππ
给学生时间独立思考,教师在黑板上板演。
抓住学求6
7tan
π
的三角函数值时产生思维上认识的冲突,引出课题《三角函数的诱导公式》 根据教师的引导产生探索新知识的欲望
设计意图(三角函数的定义是学习诱导公式的基础,设置问题情境,产生知识冲突,引发思考,既调动学生学习积极性,激发探究欲望,又顺利导入新课。
) 二、合作探究公式 1.根据黑板上用公式求角
6
7π
的三角函数值的情况,引导学生思 考: 问题3:
(1)角6π
π+
和角
6π
的终边有何关系?
(2)设角6ππ+与角6π
的终边分别交单位圆于点21
P P ,点1P 的坐标为
),
(1y x P ,则点2P 的坐标如何表示?
(3)它们的三角函数值有何关系?
2.教学用几何画板演示角α可以是任意角,引导学生体会 1.学生观察图形,结合教师的问题发现:角6
π
π+
和角
6
π
数量上相差π图形上它们的终边关于原点对称,与单位圆的交点坐标互为相反数。
在根据定义的出
6
π
π+
和角
6
π
三角函数之间的关系。
2.观察教师给出的动画演示,体会角α的任意性,得出任意角α与角απ+的终边关于原点对称,其三角函数值之间满足公式二。
特殊角到一般角的变化,归纳出公式二:
ααπsin )sin(-=+ cos()cos παα+=-
3.例:求0
225sin 的正弦值。
解:分析:把0255看成“锐角”利用上面公式,然后利用了公式及特殊角的三角函数值。
原式=00sin(18045)=+原式
0sin 452
==
自主探究公式三、公式四
1.引导学生回顾刚才探索公式的过程,明确研究三角函数诱导公式的路线图:
角间关系→对称关系→坐标关系→三角函数值间关系。
为学生指明探索公式三、四的方向。
2探究:给定一个角α。
①角απ-和角α的终边有什么关系?它们的三角函数之间有什么关系? ②角α-和角α的终边有什么关系?它们的三角函数之间有什么关系? 3自主探究
①组织学生分组探索角απ-和角α、角α-和角α的三角函数之间的关系。
先让学生先独立思考。
在学生交流时教师巡视,看下面学生做题的情况,在下面给学生以必要的引导。
②在学生解答后教师用几何画板演示其中的角α也可以为任意角,验证学生的结论。
1.体会研究诱导公式的线路图。
如上的图形,先独立思考尝试自主解答,一定时间后让学生展开讨论。
2.观察教师的动画演示,验证讨论的结论。
得到
公式三:
αsin
α
-,
)
sin(-
=
αcos
α
-,
)
=
cos(-
公式四:
πsin
α
α
-,
sin(=
)
πcos
α
α
)
-,
=
cos(-
3.学生自由发言,尝试归纳公式的特征。
然后教师的引导下小组交流讨论形成对公式的正确认识。
得出奇变偶不变,符号看象限
归纳出公式的特征:
α
π-
π
α
α
k
k的三角函数值,等于α的同名函数
2Z
),
±
∈
±,
(
六、教学资源与工具设备
(一)学习环境:多媒体教室 (二)用到的资源:
(1)圆规、三角尺子 (2)制作ppt 课件
练习:利用公式求下列各三角函数值: (1))945sin(0-;(2) )3
16cos(π-
分析:(1)是运用了弧度制。
(2)是运用了角度制 解:(1)方法一:
00945sin )945sin(-=-(把0945看成“锐角”利用了公式三)
=000=sin(2252360)sin 225-+⨯=-(把0225看成“锐角”利用了公式二) =2
2
45sin )45180sin(000==+-(利用诱导公式及特殊角的三角函数值) 方法二:
0000
=sin(945)sin(1353360)sin135-=-⨯=(把0135看成“锐角”利用公式二)
=2
2
45sin )45180sin(000==-(利用公式四及其特殊角的三角函数值) (2)方法一:
1616=cos()cos
33ππ-
=原式(把3
16π
看成“锐角”利用公式三) =34cos )434cos(πππ=+(把34π看成“锐角”利用公式二)
=21
3cos )3cos(-=-=+πππ(利用公式二及其特殊角的三角函数值)
方法二:
1622=cos()cos(6)cos
333ππππ-
=-=原式(把32π
看成“锐角”利用公式二) =21
3-cos )3cos(-==-πππ(利用公式四及其特殊角的三角函数值)
点评:正确的理解“口诀”,熟记并正确的应用“口诀”的解决此类题目的关键。
1.让学生说,教师根据学生说的步骤写出答案。
2.引导学生归纳用诱导公式 任意角的三角函数化为锐角的三角函数的一般步骤。
课堂小结:
本节课我们学习了什么知识? 谈谈您本节课学习的感想方法。
作业:
习题1.3A 组1、2;。