宁夏银川一中2019届高三数学第二次模拟考试试题理

频率
组距
0.024
0.018 0.015 0.012 0.010 0.008
0.005 0.003
0
60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 分数
(1)根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩 u0 (精确到个位) ; (2)研究发现，本次检测的理科数学成绩 X 近似服从正态分布 N(u, 2 )(u= u0 , 约为 19.3)，
21．(12 分)
已知函数
f
(x)

ln
x
1
，
g(x)

x ln
x

1
ax 2

a
，
(
a

R
)
.
x
22
(1)讨论函数 f (x) 的单调性；
(2)若函数 g(x) 有两个极值点，试判断函数 g(x) 的零点个数.
(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的
D．16 2 2
2
7.
下列函数中，最小正周期为
，且图象关于直线 x=
对称的函数是
3
A．y=2sin(2x+ )
3
B．y=2sin(2x- )
C．y=2sin( x )
6
23
)
3
D．y=2sin(2x-
-1-
8．我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，
日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截
ln x2
x
，
当 x (0,1) 时： f (x) 0 ，所以 f (x) 单调递增；
③
A1FB1
=
2
，④AB
的中点到抛物线的准线的距离的最小值为
2
其中正确的个数为
A．1
B．2
C．3
D． 4
12．已知函数
f (x) ex x
ax ， x (0, ) ，当 x2
x1 时，不等式
f (x1) x2
f (x2 ) 恒成立， x1
则实数 a 的取值范围为
A． (, e] B． (, e)
B.yy y y
C. yy y y
yyDy. y
11．已知抛物线 x 2 =4y 焦点为 F,经过 F 的直线交抛物线于 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ),点 A,B 在抛
物线准线上的射影分别为 A 1 ,B 1 ,以下四个结论：①x 1 x 2 = 4 , ② AB =y 1 +y 2 +1，
按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占 40%； (i)估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？(精确到个
位)； (ii)从该市高三理科学生中随机抽取 4 人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人
-3-
数为 Y，将频率近似看作概率，求 Y 的分布列及数学期望 E(Y).
(一)必考题：共 60 分)
17．(12 分)
设数列 {an } 满足
an1

1 3
a
n
2
，
a1

4
(1)求证：数列{an -3}是等比数列；
(2)求数列{an}的前 n 项和 Tn .
18．(12 分)
为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了
部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.
A
求二面角 N-MD-C 的正弦值.
20．(12 分)
M
B
动点 M(x,y)满足 (x 2 2)2 y2 (x 2 2)2 y2 6
(1)求动点 M 轨迹 C 的标准方程；
(2)已知 D( 2 2 ,0),直线 l： y kx 2 2k ，直线 l 交 C 于 A,B 两点，设 AD = DB 且 1< <2，求 k 的取值范围.
5．有 6 名男医生、5 名女医生，从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组，
则不同的选法共有
A．60 种
B．70 种
C．75 种
D．150 种
6．已知某个几何体的三视图如下，根据图中
标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是 2
A．16 2
B．12 2 2 2 6
4
2
C．18 2 2
第一题记分。
22．[选修 4－4：坐标系与参数方程](10 分)
以直角坐标系原点 O 为极点， x 轴正方向为极轴建立极坐标系，已知曲线 C1 的方程为
(x 1)2 y2 1， C2 的方程为 x y 3 ， C3 是一条经过原点且斜率大于零的直线.
（1）求 C1 与 C2 的极坐标方程；
16．一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分别是 A（0，0， 5 ），
B（ 3 ，0，0），C（0，1，0），D（ 3 ，1， 5 ），则该四面体的外接球的体积
为______.
三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答；第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（ 2） 若 C1 与 C3 的 一 个 公 共 点 为 A （ 异 于 点 O ） ， C2 与 C3 的 一 个 公 共 点 为 B ， 求
OA

3 OB
的取值范围.
23．[选修 4-5：不等式选讲](10 分)
-4-
（1） 且且 （2） 且且
a,b,c R ,且
a b c 1, 证明 1 1 1 9且 abc
有一项是符合题目要求的．
1
1．如果复数
ai
(
a

R
,
i
为虚数单位)的实部与虚部相等，则
a
的值为
2i
A．1
B．-1
C．3
D．-3
2．若 A 0,1, 2, B x | x 2a , a A ，则 A B
A．{0,1, 2}
B. {0,1, 2，3} C. {0,1, 2，4}
取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图
所示的程序框图的功能就是计算截取 20 天后所剩木棍的
长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是
A． i 20, S S 1 ,i 2i i
B． i 20, S S 1 ,i 2i i
C． i 20, S S ,i i 1 D． i 20, S S ,i i 1
k
9
显然的判别式 >0 恒成立
由根与系数的关系得
y
1
+y
2
=

4 1
2k 9k 2
......
y1y2 =
k2 1 9k 2
......④
由得
y1

(1
4 2k )(1 9k 2 )
，
y2
4 2k (1 )(1 9k 2 )
代入④
整理得
1 9k 2

32 (1 )2
(说明：
P(X

x1 )

1
(
x1 ) 表示
X>x1 的概率.参考数据： (0.7257)

0.6, (0.6554)

0.4)
19．(12 分)
如图，PA⊥矩形 ABCD 所在平面，PA=AD，M、N 分别
P N
是 AB、PC 的中点.
（1）求证：MN 平面 PCD;
D
C
（2）若直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为 10 , 10


32 1 2

设 f( )=
1
2 ,则利用导数可以证明 f( )在（1,2）上为增函数故得 0<
f(
1
)<

2
所以1 9k 2 >64 即 k 的取值范围是 k> 7 或 k< 7
21
解：（1）：由题意可知函数
f
(x)
的定义域为 (0,) ，
f
( x)

D. {1, 2，4}


3. 向量 a (2,t),b (1,3) ，若 a,b 的夹角为钝角，则 t 的范围是
2
A．t<
3
2
B．t>
3
2
C．t< 且 t≠-6
3
D．t<-6
4．直线 kx-2y+1=0 与圆 x 2 +(y-1) 2 =1 的位置关系是
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
程为
-7-
x2 y2 1 9
2 解：设 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 )，由 AD = DB 得 y 1 = y 2 ......
由 1< <2 得 k 0
由 y=kx- 2 2 k 得 x= y 2 2k 代入 x2 y2 1 整理(1+9k 2 )y 2 +4 2 ky-k 2 =0......
13. 40
14.5
15. 2n 1
9
16.
2
三、解答题：
17：解：（1）
an1

1 3
a
n
2
，
a1

4

an1