#北京市朝阳区2013年高三4月第一次综合练习数学文试题

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
数学学科测试（文史类） 2013.4
（测试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项. （1）i 为虚数单位，复数
1
1i
-的虚部是 A ．12 B ．12- C ．1i 2- D . 1i 2
（2）若集合{}
23M x x =-<<，{
}
1
2
1x N x +=≥，则M
N =
A. (3,)+∞
B. (1,3)-
C. [1,3)-
D. (2,1]-- （3）已知向量()()3,4,6,3OA OB =-=-，()2,1OC m m =+.若//AB OC ，则实数m 的
值为 A ．
15 B ．3- C ．35- D ．17
- （4）已知命题p ：x ∀∈R ，2
10x x +->；命题q ：x ∃∈R
，sin cos x x +=
则下列判断正确的是
A ．p ⌝是假命题
B ．q 是假命题
C ．p q ∨⌝是真命题
D ．()p q ⌝∧是真命题 （5）若直线y x m =+与圆2
2
420x y x +++=有两个不同的公共点，则实数m 的取值范围是
A
．(2 B ．()4,0-
C
．(22-- D . ()0,4
（6）“3m ≥”是“关于,x y 的不等式组0,20,10,0
x x y x y x y m ≥⎧⎪-≤⎪
⎨-+≥⎪⎪+-≤⎩表示的平面区域为三角形”的
A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
（7）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为
A. 4
B. C.
20
3
D. 8
（8）已知函数*
()21,f x x x =+∈N .若
0,x n ∃，使000()(1
)()63
f x f x f x n +++++=，则
称0(,)x n 为函数()f x 的一个“生成点”.()f x 的“生成点”共有
A. 1个 B .2个 D .4个
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.
（9）以双曲线2213
x y -=的右焦点为焦点，顶点在原点的抛物线的标准方程是 .
（10）执行如图所示的程序框图，输出结果S= . （11） 在等比数列{}n a 中，32420a a a -=，则3a = ，的前5项和等于 . （12）在ABC ∆中，a ,b ,c 分别为角A ,B ,C
若60B =，则sin C = .
（13） 函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且满足(f x 在区间[2,2]-上方程()0ax a f x +-=（14A 是半圆2
4x x -+在线段OA 的延长线上．当20OA OC ⋅=时，则点三、解答题：本大题共6小题，共80分.（15）（本小题满分13分）
正视图
侧视图
俯视图
已知函数21()sin 22
x f x x ωω=
-+（0ω>）的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）当[0,]2
x π∈时，求函数()f x 的取值范围.
（16） （本小题满分13分）
国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表：
由全国重点
城市环境监测网获得2月份某五天甲城市和乙城市的空气质量指数数据用 茎叶图表示如下：
（Ⅰ）试根据上面的统计数
据，判断甲、乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系
（只需写出结果）；
（Ⅱ）试根据上面的统计数
据，估计甲城市某一
天空气质量等级为2级良的概率；
（Ⅲ）分别从甲城市和乙城
市的统计数据中任取一个，试求这两个城市空气质量等级相同
的概率． (注：
])()()[(1
222212x x x x x x n
s n -++-+-= ，其中x 为数据n x x x ,,,21 的平均数.)
（17） （本小题满分14分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面ABCD ，且P A A C ⊥， 2PA AD ==．四边形ABCD 满足BC AD ，AB AD ⊥，1AB BC ==．E 为侧棱PB 的中点，F 为侧棱PC 上
的任意一点.
（Ⅰ）若F 为PC 的中点，求证：EF
平面PAD ；
（Ⅱ）求证：平面AFD ⊥平面PAB ；
（Ⅲ）是否存在点F ，使得直线AF 与平面PCD 垂直？若存在，
写出证明过程并求出线段PF 的长；若不存在，请说明理由． （18） （本小题满分13分）
空气质量指数
0-50
51-100
101-150
151-200
201-300
300以上
空气质量等级 1级优 2级良 3级轻度污染 4级中度污染 5级重度污染 6级严重污染
甲城市
2 4 5
7
10
9 7 3
5 6
3 1 5 8 8
乙城市
P
D
A
F
E
已知函数2
()(2)ln f x x a x a x =-++，其中a ∈R ．
（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线的斜率为1，求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间. （19） （本小题满分14分）
已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>过点(2,0)A ,（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过点(1,0)B 且斜率为k （0k ≠）的直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，直线AE ，AF 分别交
直线3x = 于M ，N 两点,线段MN 的中点为P .记直线PB 的斜率为k '，求证: k k '⋅为定值.
（20）（本小题满分13分）
由1,2,3,4,5,6,7,8,9,10按任意顺序组成的没有重复数字的数组，记为1210(,,,)x x x τ=，
设10
11
()|23|k
k k S x
x τ+==
-∑，其中111x x =.
（Ⅰ）若(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)τ=，求()S τ的值； （Ⅱ）求证：()55S τ≥； （Ⅲ）求()S τ的最大值.
(注：对任意,a b ∈R ，a b a b a b -≤±≤+都成立.)
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
数学学科测试答案（文史类） 2013.4
（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：
（15）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）1cos 1
()22x f x x ωω-=
-+ ……………………………………………1分
1
cos 22
x x ωω=
+ sin()6
x ωπ
=+. ……………………………………………………4分 因为()f x 最小正周期为π，所以2ω=.………………………………………………5分 于是()sin(2)6
f x x π=+.
由222262k x k ππππ-
≤+≤π+，k ∈Z ，得36
k x k πππ-≤≤π+. 所以()f x 的单调递增区间为[,36
k k ππ
π-π+]，k ∈Z .……………………………8分
（Ⅱ）因为[0,]2x π∈，所以72[,]666
x πππ
+∈， …………………………………10分
则1sin(2)126
x π
-≤+≤. …………………………………………………12分
所以()f x 在[0,]2π上的取值范围是[1
,12
-]. ………………………………………13分
（16）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）甲城市的空气质量指数的方差大于乙城市的空气质量指数的方差.……………3分 （Ⅱ）根据上面的统计数据，可得在这五天中甲城市空气质量等级为2级良的频率为
3
5
， 则估计甲城市某一天的空气质量等级为2级良的概率为
3
5
．………………6分, （Ⅲ）设事件A ：从甲城市和乙城市的上述数据中分别任取一个，这两个城市的空气质量等级相
同，由题意可知，从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个，共有25个结果，分别记为：
（29，43），（29，41），（29，55），（29，58）（29，78） （53，43），（53，41），（53，55），（53，58），（53，78）， （57，43），（57，41），（57，55），（57，58），（57，78）， （75，43），（75，41），（75，55），（75，58），（75，78）， （106，43），（106，41），（106，55），（106，58），（106，78）.
其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为1级优的为甲29，乙41，乙43，同为2级良的为甲53，甲57，甲75，乙55，乙58，乙78. 则空气质量等级相同的为：
（29，41），（29，43）， （53，55），（53，58），（53，78）, （57，55），（57，58），（57，78）， （75，55），（75，58），（75，78）.共11个结果. 则11
()25
P A =
. 所以这两个城市空气质量等级相同的概率为
1125
． …………………………………………………………………13分
（17）（本小题满分14分） 证明：（Ⅰ）因为,E F 分别为侧棱,PB PC 的中点， 所以 EF BC ． 因为BC
AD ，所以EF
AD ．
而EF ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以EF
平面PAD ． ……………………………………………………4分 （Ⅱ）因为平面ABCD ⊥平面PAC ，
平面ABCD
平面PAC AC =，且PA AC ⊥，PA ⊂平面PAC .
所以PA ⊥平面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥． 又因为AB AD ⊥，PA AB A =，所以AD ⊥平面PAB ，
而AD ⊂平面AFD ，
所以平面AFD ⊥平面PAB ．……………………………………………………8分 （Ⅲ）存在点F ，使得直线AF 与平面PCD 垂直.
在棱PC 上显然存在点F ,使得AF PC ⊥. 由已知，AB AD ⊥，BC
AD ，1AB BC ==，2AD =．
由平面几何知识可得 CD AC ⊥．
由（Ⅱ）知，PA ⊥平面ABCD ，所以PA CD ⊥， 因为PA
AC A =，所以CD ⊥平面PAC ．
而AF ⊂平面PAC ，所以CD AF ⊥． 又因为CD
PC C =,所以AF ⊥平面PCD .
P D
A
B
C
F
E
在PAC ∆中，2,90PA AC PAC ==∠=︒，
可求得，3
PC PF ==
．
可见直线AF 与平面PCD 能够垂直，此时线段PF 的长为
3
．……………14分 （18）（本小题满分13分）
解：(Ⅰ)由2()(2)ln f x x a x a x =-++可知，函数定义域为{}
0x x >， 且()2(2)a f x x a x '=-++
.由题意，(2)4(2)12
a
f a '=-++=， 解得2a =.……………………………………………………………………………4分
（Ⅱ）(2)(1)
()2(2)a x a x f x x a x x
--'=-++
=
(0)x >. 令()0f x '=，得11x =，22
a
x =.
（1）当0a ≤时，02
a
≤，令()0f x '>，得1x >;令()0f x '<，得01x <<.
则函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞.
（2）当012a <
<，即02a <<时，令()0f x '>，得02
a
x <<或1x >. 则函数()f x 的单调递增区间为(0,)2
a
，(1,)+∞.
令()0f x '<，得12
a
x <<.
则函数()f x 的单调递减区间为(,1)2
a
.
（3）当12a
=，即2a =时，()0f x '≥恒成立，则函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞.
（4）当12a >，即2a >时，令()0f x '>，得01x <<或2
a
x >，
则函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，(,)2
a
+∞.
令()0f x '<，得12
a
x <<.
则函数()f x 的单调递减区间为(1,)2
a
. ……………………………………13分
（19）（本小题满分14分）
解：
（Ⅰ）依题得222,,
22.a b c c a a ⎧=+⎪
⎪=⎨⎪=⎪⎩
解得24a =，2
1b =. 所以椭圆C 的方程为2
214
x y +=. …………………………………………………4分 （Ⅱ）根据已知可设直线l 的方程为(1)y k x =-.
由22
(1),440
y k x x y =-⎧⎨
+-=⎩得2222
(41)8440k x k x k +-+-=. 设1122(,),(,)E x y F x y ,则2212122
2844
,4141
k k x x x x k k -+==++. 直线AE ，AF 的方程分别为：12
12(2),(2)22
y y y x y x x x =-=---， 令3x =， 则1212(3,
),(3,)22y y M N x x --,所以12121(3,())222y y
P x x +--. 所以122112(1)(2)(1)(2)
4(2)(2)
k x x k x x k k k x x --+--'⋅=
⨯-- 21212121223()4
42()4k x x x x x x x x -++=⨯
-++ 22222222
28824164414416164
441
k k k k k k k k k --+++=⨯--+++ 2241
444
k k -=⨯=-. ……………………………………………………14分 （20）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）10
11
()|23|7654321012857k
k k S x
x τ+==
-=+++++++++=∑.………3分
（Ⅱ）证明：由a b a b +≥+及其推广可得，
12231011()232323S x x x x x x τ=-+-+
+-
121023112()3()x x x x x x ≥+++-+++
=121010(110)
552
x x x +++
+=
=. ……………………………7分 （Ⅲ）10,9,8,7,6,5,4,3,2,1的2倍与3倍共20个数如下：
20,18,16,14,12,10,8,6,4,2, 30,27,24,21,18,15,12,9,6,3
其中最大数之和与最小数之和的差为20372131-=，所以()131S τ≤， 对于0(1,5,6,7,2,8,3,9,4,10)τ=，0()131S τ=，
所以()S τ的最大值为131. ……………………………………………………13分
注：使得()S τ取得最大值的有序数组中，只要保证数字1，2，3，4互不相邻，数字7，8，9，10也互不相邻，而数字5和6既不在7，8，9，10之一的后面，又不在1，2，3，4之一的前面都符合要求.。