高中数学棱柱、棱锥和棱台总结练习含答案解析S
高中数学必修二 8 1 基本几何图形(第1课时)棱柱、棱锥、棱台 练习(含答案)
8.1 基本几何图形第1课时 棱柱、棱锥、棱台一、选择题1．下图代表未折叠正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】将其折叠起来，变成正方体后的图形中，相邻的平面中三条线段是平行线，排除A ，C ；相邻平面只有两个是空白面，排除D ；故选B2．一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥必不是( )A ．三棱锥B ．四棱锥C ．五棱锥D ．六棱锥【答案】D【解析】正六棱锥的底面是个正六边形，正六边形共由6个等边三角形构成，设每个等边三角形的边长为 r ，正六棱锥的高为h ，正六棱锥的侧棱长为 l ，由正六棱锥的高h 、底面的半径r 、侧棱长l 构成直角三角形得，222h r l += ，故侧棱长 l 和底面正六边形的边长r 不可能相等.故选D.3．下列几何体中棱柱有( )A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】D【解析】由棱柱的定义及几何特征，①③为棱柱．故选D.4．用一个平面去截一个四棱锥，截面形状不可能的是()A．四边形B．三角形C．五边形D．六边形【答案】D【解析】根据一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，而四棱锥最多只有5个面，则截面形状不可能的是六边形，故选D.5．（多选题）给出下列命题，其中假命题是（）A.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；B.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；C.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；D.棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形.【答案】ABD【解析】对于A，棱柱的侧面不一定全等，故错误；对于B，由棱台的定义可知只有当平面与底面平行时，所截部分才是棱台，故错误；对于C，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直，比如正方体中共点的三个相邻平面，故正确；对于D，棱台的侧面不一定是等腰三角形，故错误；故选ABD .6．（多选题）正方体的截面可能是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．菱形D．正六边形【答案】CD【解析】 如图所示截面为三角形ABC ，OA =a ，OB =b ，OC =c ，∴222222222,,AC a c AB a b BC b c =+=+=+， ∴222202AB AC BC cos CAB AB AC +-∠==>⋅ ∴∠CAB 为锐角，同理∠ACB 与∠ABC 也为锐角，即△ABC 为锐角三角形，∴正方体的截面若是三角形，则一定是锐角三角形，不可能是钝角三角形和直角三角形，A 、B 错误；若是四边形，则可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形、正方形，但不可能是直角梯形，C 正确；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，如图为正六边形，故若是六边形，则可以是正六边形，D 正确.故选：CD .二、填空题7．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm ，则每条侧棱长为________cm.【答案】12【解析】该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，∴每条侧棱长为12 cm.8.如图，M 是棱长为2 cm 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，沿正方体表面从点A 到点M 的最短路程是________cm.【答案】 13【解析】由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是13 cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1，4，故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.9.下列说法中正确的为________（填序号）.（1）棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形：（2）各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；（3）正棱锥的侧面是等边三角形；（4）有两个面互相平行，其余各面都是等腰梯形的几何体是棱台.【答案】（1）【解析】（1）正确，由棱柱定义可知，棱柱的侧棱相互平行且相等，所以侧面均为平行四边形；（2）不正确，上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体；（3）不正确，正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形；（4）不正确，用反例去检验，如图，显然错误图.故答案为：（1）10.一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．【答案】569【解析】面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱．三、解答题11．如图所示是一个三棱台ABC－A′B′C′，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．【答案】见解析【解析】过A′，B，C三点作一个平面，再过A′，B，C′作一个平面，就把三棱台ABC－A′B′C′分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A′－ABC，B－A′B′C′，A′－BCC′.(答案不唯一)12.如图在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为2a，则每个面的三角形面积为多少？【答案】（1）三棱锥（2）见解析【解析】(1)如图折起后的几何体是三棱锥．(2)S△PEF＝12a2，S△DPF＝S△DPE＝12×2a×a＝a2，S△DEF＝3 2a2.。
高中数学(人教A版)必修第二册课后习题：棱柱、棱锥、棱台的结构特征【含答案及解析】
第八章立体几何初步8.1基本立体图形第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征课后篇巩固提升必备知识基础练1.(多选题)关于简单几何体的结构特征,下列说法正确的是()A.棱柱的侧棱长都相等B.棱锥的侧棱长都相等C.三棱台的上、下底面是相似三角形D.有的棱台的侧棱长都相等,棱锥的侧棱相交于一点但长度不一定相等.2.下面多面体中,是棱柱的有()A.1个B.2个C.3个D.4个,知这4个图都满足.3.如图,在三棱台A'B'C'-ABC中,截去三棱锥A'-ABC,则剩余部分是()A.三棱锥B.四棱锥C.三棱柱D.三棱台A'-BCC'B'.4.下列说法错误的有()①有一个面是多边形,其余各面都是三角形,由这些面围成的多面体是棱锥;②如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形,那么这个棱锥可能为六棱锥;③如果一个棱柱的所有面都是长方形,那么这个棱柱是长方体.A.0个B.1个C.2个D.3个,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥,即其余各面的三角形必须有公共的顶点,故①错误;当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360°时,各侧面构成平面图形,故②错误;若每个侧面都是长方形,则说明侧棱与底面垂直,又底面也是长方形,符合长方体的定义,故③正确.5.在下列四个平面图形中,每个小四边形皆为正方形,其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的图形是(),看哪一个可以折叠围成正方体即可.6.如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A.棱柱B.棱台C.棱柱与棱锥的组合体D.不能确定.∵平面AA1D1D∥平面BB1C1C,∴有水的部分始终有两个平面平行,而其余各面都是平行四边形(水面与两平行平面的交线),因此呈棱柱形状.7.一个棱柱有10个顶点,所有的侧棱长的和为60 cm,则每条侧棱长为cm.棱柱有2n个顶点,因为此棱柱有10个顶点,所以此棱柱为五棱柱.又棱柱的侧棱都相等,五条侧棱长的和为60 cm,可知每条侧棱长为12 cm.8.一个几何体的平面展开图如图.(1)该几何体是哪种几何体;(2)该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面?与“你”字面相对的是哪个面?该几何体是四棱台.(2)与“祝”字面相对的面是“前”字面,与“你”字面相对的面是“程”字面.9.按下列条件分割三棱台ABC-A1B1C1(不需要画图,各写出一种分割方法即可).(1)一个三棱柱和一个多面体;(2)三个三棱锥.在AC上取点D,使DC=A1C1,在BC上取点E,使EC=B1C1,连接A1D,B1E,DE,则得三棱柱A1B1C1-DEC与一个多面体A1B1BEDA.(答案不唯一)(2)连接AB1,AC1,BC1,则可分割成三棱锥A-A1B1C1,三棱锥A-BCC1,三棱锥A-BB1C1.(答案不唯一)关键能力提升练10.(多选题)(2021江苏宜兴期中)一个多面体的所有棱长都相等,那么这个多面体一定不可能是()A.三棱锥B.四棱台C.六棱锥D.六面体,满足题意,所以A可能.棱台的上底面与下底面的边长不相等,所以不满足题意,所以B不可能.假设六棱锥的所有棱长都相等,则它的每个侧面均为等边三角形,每个侧面的顶角均为60°,所以六棱锥的顶点会在底面上,所以C不可能.当六面体是正方体时,满足题意,所以D 有可能.故选BC.11.设集合M={正四棱柱},N={长方体},P={直四棱柱},Q={正方体},则这四个集合之间的关系是()A.P⊆N⊆M⊆QB.Q⊆M⊆N⊆PC.P⊆M⊆N⊆QD.Q⊆N⊆M⊆P,正方体是特殊的正四棱柱,正四棱柱是特殊的长方体,长方体是特殊的直四棱柱,所以{正方体}⊆{正四棱柱}⊆{长方体}⊆{直四棱柱},故选B.12.下图代表未折叠正方体的展开图,将其折叠起来,变成正方体后的图形是(),变成正方体后的图形中,相邻的平面中三条线段是平行线,排除A,C;相邻平面只有两个是空白面,排除D;故选B.13.下列说法正确的有个.①棱台的侧棱都相等;②正棱锥的侧面是等边三角形;③底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.错误,根据棱台的定义可知,棱台的侧棱不一定都相等,故此说法是错误的;②错误,正棱锥的侧面都是等腰三角形,不一定是等边三角形,故错误;③错误,由已知条件知,此三棱锥的三个侧面未必全等,所以不一定是正三棱锥.如图所示的三棱锥中有AB=AD=BD=BC=CD,满足底面△BCD为等边三角形,三个侧面△ABD,△ABC,△ACD都是等腰三角形,但AC长度不一定,三个侧面不一定全等,故错误.14.如图,在边长为2a的正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后记为点P.问:(1)折起后形成的几何体是什么几何体?(2)这个几何体共有几个面,每个面的三角形有何特点?(3)每个面的三角形面积为多少?如图,折起后的几何体是三棱锥.(2)这个几何体共有4个面,其中△DEF 为等腰三角形,△PEF 为等腰直角三角形,△DPE 和△DPF 均为直角三角形.(3)S △PEF =12a 2,S △DPF =S △DPE =12×2a×a=a 2,S △DEF =S 正方形ABCD -S △PEF -S △DPF -S △DPE =(2a )2-12a 2-a 2-a 2=32a 2.学科素养创新练15.如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=3,BC=4,A 1A=5,现有一只甲壳虫从点A 出发沿长方体表面爬行到点C 1来获取食物,试画出它的最短爬行路线,并求其路程的最小值.,如图,有三种情况.对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC 1的长分别为√90,√74,√80,由此可见乙是最短线路,所以甲壳虫可以先在长方形ABB 1A 1内由A 到E BE=157,再在长方形BCC 1B 1内由E 到C 1,也可以先在长方形AA1D1D内由A到F D1F=15,再在长方形DCC1D1内由F到C1,其最短路程为7√74.。
高中数学 第八章 立体几何初步 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积习题(含解析)新人教A版必
8.3简单几何体的表面积与体积8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课后篇巩固提升基础达标练1.(多选题)长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别为3,2,1,则()A.长方体的表面积为20B.长方体的体积为6C.沿长方体的表面从A到C1的最短距离为3D.沿长方体的表面从A到C1的最短距离为22×(3×2+3×1+2×1)=22,A错误.长方体的体积为3×2×1=6,B正确.如图①所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=2,BB1=1.在表面上求最短距离可把几何体展开成平面图形,如图②所示,将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开,则有AC1=,即当经过侧面ABB1A1和侧面BCC1B1时的最短距离是;如图③所示,将侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1展开,则有AC1==3,即当经过侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是3;如图④所示,将侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1展开,则有AC1==2,即当经过侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是2.因为3<2,所以沿长方体表面从A到C1的最短距离是3,C正确,D不正确.2.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则三棱锥D-ACD1的体积是()A. B. C. D.1D-ACD1的体积等于三棱锥D1-ACD的体积,三棱锥D1-ACD的底面ACD是直角边长为1的等腰直角三角形,高D1D=1,∴三棱锥D-ACD1的体积为V=×1×1×1=.3.一个正四棱锥的底面边长为2,高为,则该正四棱锥的表面积为()A.8B.12C.16D.20=2,所以该四棱锥的表面积为22+4××2×2=12.4.正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为()A.3πB.C.πD.1,由图可知,该几何体由两个四棱锥构成,并且这两个四棱锥体积相等.四棱锥的底面为正方形,且边长为,故底面积为()2=2;四棱锥的高为1,则四棱锥的体积为×2×1=.故几何体的体积为2×.5.正三棱锥的底面周长为6,侧面都是直角三角形,则此棱锥的体积为()A. B. C. D.,正三棱锥的底面周长为6,所以正三棱锥的底面边长为2,侧面均为直角三角形,可知侧棱长均为,三条侧棱两两垂直,所以此三棱锥的体积为.6.(2020全国高一课时练习)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是.ABCD-A1B1C1D1的体积为120,所以AB·BC·CC1=120,因为E为CC1的中点,所以CE=CC1,由长方体的性质知CC1⊥底面ABCD,所以CE是三棱锥E-BCD的底面BCD上的高,所以三棱锥E-BCD的体积V=AB·BC·CE=AB·BC·CC1=×120=10.7.正四棱柱的一条体对角线长为9,表面积为144,适合这些条件的正四棱柱有个.a,高为h,由题意得这个方程组有两个解,所以适合条件的正四棱柱有2个.8.已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成,如图所示,其中长方体的长、宽、高分别为4,3,3,三棱柱底面是直角边分别为4,3的直角三角形,侧棱长为3,则此几何体的体积是,表面积是.V=4×6×3+×4×3×3=90,表面积S=2(4×6+4×3+6×3)-3×3+×4×3×2+×3+3×4=138.9.在正四棱锥S-ABCD中,点O是底面中心,SO=2,侧棱SA=2,则该棱锥的体积为.侧棱SA=2,高SO=2,∴AO==2,因此,底面正方形的边长AB=AO=4,底面积为AB2=16.该棱锥的体积为V=AB2·SO=×16×2=.10.有一个正四棱台形状的油槽,可以装油190 L,假如它的两底面边长分别等于60 cm和40 cm,则它的深度为 cm.S',S.由V=(S++S')h,得h==75(cm).能力提升练1.(2020某某某某检测)我国古代名著《X丘建算经》中记载:“今有方锥下广二丈,高三丈,欲斩末为方亭,令上方六尺,问亭方几何?”大致意思为“有一个正四棱锥下底面边长为二丈,高三丈,现从上面截去一段,使之成为正四棱台状方亭,且正四棱台的上底面边长为六尺,问该正四棱台的体积是多少立方尺?”(注:1丈=10尺)()A.1 946立方尺B.3 892立方尺C.7 784立方尺D.11 676立方尺,正四棱锥的高为30,所截得正四棱台的下底面棱长为20,上底面棱长为6, 设棱台的高为OO1=h,由△PA1O1∽△PAO可得,解得h=21,可得正四棱台的体积为×21×(62+202+6×20)=3892(立方尺),故选B.2.(2020某某某某检测)如图所示,在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中,过上底面的一边A1B1和AC,BC的中点F,E作一个平面A1B1EF,记平面分三棱台两部分的体积为V1(三棱柱A1B1C1-FEC),V2两部分,那么V1∶V2=.h,上底面的面积是S,则下底面的面积是4S,∴V棱台=h(S+4S+2S)=Sh,V1=Sh,∴.∶43.(2020全国高一课时练习)如图,AA1,BB1,CC1相交于点O,形成两个顶点相对、底面水平的三棱锥容器,AO=A1O,BO=B1O,CO=C1O.设三棱锥高均为1,若上面三棱锥中装有高度为0.5的液体,且液体能流入下面的三棱锥,则液体流下去后液面高度为.,流下去后,液体上方空出的三棱锥的体积为三棱锥体积的.设空出的三棱锥的高为x,则,所以x=,所以液面高度为1-.-4.已知一个三棱柱的三视图如图所示,求这个三棱柱的侧面积.,该三棱柱的底面为正三角形,各侧面为矩形,侧棱长为4cm,如图所示.因为正三角形ABC和正三角形A'B'C'的高为2cm,所以正三角形ABC的边长AB==4(cm).故三棱柱的侧面积为S侧=4×4×3=48(cm2).5.一个正三棱锥P-ABC的底面边长为a,高为h.一个正三棱柱A1B1C1-A0B0C0的顶点A1,B1,C1分别在三条棱上,A0,B0,C0分别在底面△ABC上,何时此三棱柱的侧面积取到最大值?O,连接PO,图略,则PO为三棱锥的高,设A1,B1,C1所在的底面与PO交于O1点,则,令A1B1=x,而PO=h,则PO1=x,于是OO1=h-PO1=h-x=h.所以所求三棱柱的侧面积为S=3x·h(a-x)x=.当x=时,S有最大值为ah,此时O1为PO的中点,即A1,B1,C1分别是三条棱的中点.素养培优练在正三棱台ABC-A1B1C1中,已知AB=10,棱台一个侧面梯形的面积为,O1,O分别为上、下底面正三角形的中心,连接A1O1,AO并延长,分别交B1C1,BC于点D1,D,∠D1DA=60°,求上底面的边长.AB=10,∴AD=AB=5,OD=AD=.设上底面的边长为x(x>0),则O1D1=x.如图所示,连接O1O,过D1作D1H⊥AD于点H,则四边形OHD1O1为矩形,且OH=O1D1=x.∴DH=OD-OH=x,在Rt△D1DH中,D1D==2x.∵四边形B1C1CB的面积为(B1C1+BC)·D1D,∴(x+10)×2x,即40=(x+10)(10-x),∴x=2,故上底面的边长为2.。
47.高一数学导学案棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(解析版)
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积导学案【学习目标】1.会求棱柱、棱锥、棱台的表面积2.会求棱柱、棱锥、棱台的体积【自主学习】知识点1 棱柱、棱锥、棱台的表面积 1．棱柱的表面积棱柱的表面积：S 表＝S 侧＋2S 底．①其中底面周长为C ，高为h 的直棱柱的侧面积：S 侧＝Ch ；①长、宽、高分别为a ，b ，c 的长方体的表面积：S 表＝2(ab ＋ac ＋bc)； ①棱长为a 的正方体的表面积：S 表＝6a 2. 2．棱锥的表面积棱锥的表面积：S 表＝S 侧＋S 底；底面周长为C ，斜高(侧面三角形底边上的高)为h ′的正棱锥的侧面积：S 侧＝12Ch ′.3．棱台的表面积棱台的表面积：S 表＝S 侧＋S 上底＋S 下底．多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和． 知识点2 棱柱、棱锥、棱台的体积 1．棱柱的体积(1)棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．(2)棱柱的底面积S ，高为h ，其体积V ＝Sh .2．棱锥的体积(1)棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离． (2)棱锥的底面积为S ，高为h ，其体积V ＝13Sh .3．棱台的体积(1)棱台的高是指两个底面之间的距离．(2)棱台的上、下底面面积分别是S ′、S ，高为h ，其体积V 3【合作探究】探究一多面体的表面积【例1】已知正三棱台(上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心)的上、下底面边长分别为2 cm和4 cm，侧棱长是 6 cm，则该三棱台的表面积为________．【答案】(53＋95) cm2[分析]利用侧面是等腰梯形求出棱台的侧面积，再求出其表面积．[解析]正三棱台的表面积即上下两个正三角形的面积与三个侧面的面积和，其中三个侧面均为等腰梯形，易求出斜高为 5 cm，故三棱台的表面积为3×12×(2＋4)×5＋12×2＋3＋12×4×23＝53＋9 5.归纳总结：在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式的基础上，对于一些较简单的组合体，能够将其分解成柱、锥、台体，再进一步分解为平面图形正多边形、三角形、梯形等，以求得其表面积，要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理【练习1】如图所示，有一滚筒是正六棱柱形(底面是正六边形，每个侧面都是矩形)，两端是封闭的，筒高1.6 m，底面外接圆的半径是0.46 m，问：制造这个滚筒需要5.6 m2铁板(精确到0.1 m2)．解析：因为此正六棱柱底面外接圆的半径为0.46 m，所以底面正六边形的边长是0.46 m.所以S侧＝Ch＝6×0.46×1.6＝4.416(m2)．所以S 表＝S 侧＋2S 底＝4.416＋2×34×0.462×6≈5.6(m 2)． 故制造这个滚筒约需要5.6 m 2铁板．探究二 多面体的体积【例2】如图所示，在多面体ABCDE F 中，已知底面ABCD 是边长为3的正方形，E F①AB ，E F ＝32，E F 与面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( )A.92B ．5C ．6D.152【答案】 D[解析] 如图，连接EB ，EC ，AC ，则V E ABCD ＝13×32×2＝6.①AB ＝2E F ，E F①AB ，①S①EAB＝2S①BE F.①V FEBC＝V CE F B＝12V CABE＝12V EABC＝12×12V EABCD＝32.①V＝V EABCD＋V FEBC＝6＋32＝152.归纳总结：求几何体体积的常用方法1公式法：直接代入公式求解.2等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可.3补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等.4分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.【练习2】三棱台ABCA1B1C1中，AB：A1B1＝1：2，则三棱锥A1ABC，BA1B1C，CA1B1C1的体积之比为()A．111B．112C．124D．144【答案】C解析：如图，设棱台的高为h ， S ①ABC ＝S ，则S ①A 1B 1C 1＝4S . ①VA 1ABC ＝13S ①ABC ·h ＝13Sh ，VC A 1B 1C 1＝13S ①A 1B 1C 1·h ＝43Sh .又V 三棱台ABC A 1B 1C 1＝13h (S ＋4S ＋2S )＝73Sh ，①VB A 1B 1C ＝V 三棱台ABC A 1B 1C 1－VA 1ABC －VC A 1B 1C 1 ＝73Sh －Sh 3－4Sh 3＝23Sh . ①体积比为124， ①应选C.课后作业A 组 基础题一、选择题1．如图，ABC A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C AA ′B ′B 的体积是( )A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】C [①V C A ′B ′C ′＝13V ABC A ′B ′C ′＝13，①V C AA ′B ′B ＝1－13＝23.]2．正方体的表面积为96，则正方体的体积为( )A ．486B ．64C ．16D ．96【答案】B3．棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成1∶2(从顶点到截面与从截面到底面)两部分，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比等于( )A ．1∶9B ．1∶8C ．1∶4D ．1∶3【答案】B [两个锥体的侧面积之比为1①9，小锥体与台体的侧面积之比为1①8，故选B ．]4．若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是( )A ． 3B ． 2C ．23D ．32【答案】A [如图所示，正方体的A ′、C ′、D 、B 的四个顶点可构成一个正四面体，设正方体边长为a ，则正四面体边长为2a . ①正方体表面积S 1＝6a 2， 正四面体表面积为S 2＝4×34×(2a )2＝23a 2， ①S 1S 2＝6a 223a 2＝ 3.] 5．四棱台的两底面分别是边长为x 和y 的正方形，各侧棱长都相等，高为z ，且侧面积等于两底面积之和，则下列关系式中正确的是( )A ．1x ＝1y ＋1zB ．1y ＝1x ＋1zC ．1z ＝1x ＋1yD ．1z ＝1x ＋y【答案】C [由条件知，各侧面是全等的等腰梯形，设其高为h ′，则根据条件得，⎩⎪⎨⎪⎧4·x ＋y 2·h ′＝x 2＋y 2，z 2＋⎝⎛⎭⎫y －x 22＝h ′2，消去h ′得，4z 2(x ＋y )2＋(y －x )2(y ＋x )2＝(x 2＋y 2)2. ①4z 2(x ＋y )2＝4x 2y 2， ①z (x ＋y )＝xy ， ①1z ＝1x ＋1y.] 二、填空题6．已知一个长方体的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的体积为________．【答案】6 [设长方体从一点出发的三条棱长分别为a ，b ，c ，则⎩⎨⎧ab ＝2，ac ＝3，bc ＝6，三式相乘得(abc )2＝6，故长方体的体积V ＝abc ＝ 6.]7．已知棱长为1，各面均为等边三角形的四面体，则它的表面积是________，体积是________．【答案】3212 [S 表＝4×34×12＝3， V 体＝13×34×12×12－⎝⎛⎭⎫33 2＝212.]8.如图，在棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，则点A 到平面A 1BD 的距离d ＝________.【答案】33a [在三棱锥A 1ABD 中，AA 1是三棱锥A 1ABD 的高，AB ＝AD ＝AA 1＝a ，A 1B ＝BD ＝A 1D ＝2a ，①V 三棱锥A 1ABD ＝V 三棱锥A A 1BD ， ①13×12a 2×a ＝13×12×2a ×32×2a ×d ， ①d ＝33a . ①点A 到平面A 1BD 的距离为33a .]三、解答题9．已知四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝13，BC ＝AD ＝25，BD ＝AC ＝5，求四面体ABCD 的体积．[解] 以四面体的各棱为对角线还原为长方体，如图． 设长方体的长、宽、高分别为x ，y ，z ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝13，y 2＋z 2＝20，x 2＋z 2＝25，①⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，z ＝4.①V D ABE ＝13DE ·S ①ABE ＝16V 长方体，同理，V C ABF ＝V D ACG ＝V D BCH ＝16V 长方体，①V 四面体ABCD ＝V 长方体－4×16V 长方体＝13V 长方体．而V 长方体＝2×3×4＝24，①V 四面体ABCD ＝8.10．如图，已知正三棱锥S ABC 的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO ＝3，求此正三棱锥的表面积．[解] 如图，设正三棱锥的底面边长为a ，斜高为h ′，过点O 作OE ①AB ，与AB 交于点E ，连接SE ，则SE ①AB ，SE ＝h ′.①S 侧＝2S 底， ①12·3a ·h ′＝34a 2×2. ①a ＝3h ′.①SO ①OE ，①SO 2＋OE 2＝SE 2.①32＋⎝⎛⎭⎫36×3h ′2＝h ′2. ①h ′＝23，①a ＝3h ′＝6.①S 底＝34a 2＝34×62＝93，S 侧＝2S 底＝18 3. ①S 表＝S 侧＋S 底＝183＋93＝27 3.11．建造一个容积为16 m 3，深为2 m ，宽为2 m 的长方体无盖水池，如果池底的造价为120元/m 2，池壁的造价为80元/m 2，求水池的总造价．解：设长方体的长、宽、高分别为a m ，b m ，h m ，水池的总造价为y 元．①V ＝ab h ＝16，h ＝2，b ＝2，①a ＝4.则有S 底＝4×2＝8 (m 2)，S 壁＝2×(2＋4)×2＝24 (m 2)，y ＝S 底×120＋S 壁×80＝120×8＋80×24＝2 880(元)．B 组 能力提升一、选择题1．正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为( )A ．3πB ．43C ．32πD ．1 【答案】B [如图所示，由图可知，该几何体由两个四棱锥构成，并且这两个四棱锥体积相等．四棱锥的底面为正方形，且边长为2，故底面积为(2)2＝2；四棱锥的高为1，故四棱锥的体积为13×2×1＝23.则几何体的体积为2×23＝43.] 2．正三棱锥的底面周长为6，侧面都是直角三角形，则此棱锥的体积为( )A ．423B ． 2C ．223D ．23【答案】D [由题意，正三棱锥的底面周长为6，所以正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，可知侧棱长均为2，三条侧棱两两垂直，所以此三棱锥的体积为13×12×2×2×2＝23.] 二、填空题3．已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成，如图所示，其中长方体的长、宽、高分别为4,3,3，三棱柱底面是直角边分别为4,3的直角三角形，侧棱长为3，则此几何体的体积是________，表面积是________．【答案】90 138 [该几何体的体积V ＝4×6×3＋12×4×3×3＝90，表面积S ＝2(4×6＋4×3＋6×3)－3×3＋12×4×3×2＋32＋42×3＋3×4＝138.] 三、解答题4．如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为4的正方形，EF ∥AB ，EF ＝2，EF 上任意一点到平面ABCD 的距离均为3，求该多面体的体积．[解] 如图，连接EB ，EC ．四棱锥E ABCD 的体积V 四棱锥E ABCD ＝13×42×3＝16. ①AB ＝2EF ，EF ①AB ，①S ①EAB ＝2S ①BEF .①V 三棱锥F EBC ＝V 三棱锥C EFB ＝12V 三棱锥C ABE ＝12V 三棱锥E ABC ＝12×12V 四棱锥E ABCD ＝4. ①多面体的体积V ＝V 四棱锥E ABCD ＋V 三棱锥F EBC ＝16＋4＝20.5．一个正三棱锥P ABC 的底面边长为a ，高为h .一个正三棱柱A 1B 1C 1A 0B 0C 0的顶点A 1，B 1，C 1分别在三条棱上，A 0，B 0，C 0分别在底面△ABC 上，何时此三棱柱的侧面积取到最大值？[解] 设三棱锥的底面中心为O ，连接PO (图略)，则PO 为三棱锥的高，设A 1，B 1，C 1所在的底面与PO 交于O 1点，则A 1B 1AB ＝PO 1PO ，令A 1B 1＝x ，而PO ＝h ，则PO 1＝h ax ， 于是OO 1＝h －PO 1＝h －h ax ＝h ⎝⎛⎭⎫1－x a . 所以所求三棱柱的侧面积为S ＝3x ·h ⎝⎛⎭⎫1－x a ＝3h a (a －x )x ＝3h a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 24－⎝⎛⎭⎫x －a 22.当x ＝a 2时，S 有最大值为34ah ，此时O 1为PO 的中点．。
高考数学复习典型题型专题讲解与练习39 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
高考数学复习典型题型专题讲解与练习 专题39棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积题型一 棱柱的表面积【例1】已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为（ ）A ．(483+B ．(483+C ．24D ．144【答案】A【解析】由题知侧面积为664144⨯⨯=，两底面积之和为22464⨯⨯⨯=所以表面积(483S =.【变式1-1】长方体的高为2，底面积等于12，过不相邻两侧棱的截面（对角面）的面积为10，则此长方体的侧面积为( )A ．12B ．24C ．28D ．32 【答案】C【解析】设长方体底面矩形的长与宽分别为,a b ，则12ab =，210=，解得4,3a b ==或3,4a b ==. 故长方体的侧面积为()243228⨯+⨯=.【变式1-2】已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ）A ．B ．C ．135D ．135【答案】A【解析】由菱形的对角线长分别是9和15=则这个直棱柱的侧面积为.45=【变式1-3】已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为3cm ，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的表面积为( )A ．290cmB ．2C ．272cmD ．254cm 【答案】A6=．所以表面积为：224362390()S cm =⨯⨯+⨯=．【变式1-4】（多选题）长方体1111ABCD A B C D -的长、宽、高分别为3，2，1，则（ ） A ．长方体的表面积为20 B ．长方体的体积为6C ．沿长方体的表面从A 到1C 的最短距离为D ．沿长方体的表面从A 到1C 的最短距离为【答案】BC【解析】长方体的表面积为2(323121)22⨯⨯+⨯+⨯=，A 错误.长方体的体积为3216⨯⨯=，B 正确.如图（1）所示，长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，2BC =，11BB =. 求表面上最短（长）距离可把几何体展开成平面图形，如图（2）所示， 将侧面11ABB A 和侧面11BCC B 展开，则有1AC ==，即经过侧面11ABB A 和侧面11BCC B 时的最短距离是如图（3）所示，将侧面11ABB A 和底面1111D C B A 展开，则有1AC ==， 即经过侧面11ABB A 和底面1111D C B A 时的最短距离是 如图（4）所示，将侧面11ADD A 和底面1111D C B A 展开，则有1AC ==即经过侧面11ADD A 和底面1111D C B A 时的最短距离是因为<<，所以沿长方体表面由A 到1C 的最短距离是C 正确，D 不正确.题型二 棱锥的表面积【例2】已知正四棱锥的底面边长是2，则该正四棱锥的表面积为（ ）A ．3B ．12C ．8D ．43 【答案】B【解析】如图所示，在正四棱锥-S ABCD 中，取BC 中点E ，连接SE ，则SBE △为直角三角形，所以22512SE SB BE =-=-=，所以表面积1422422122SBC ABCD S S S =+⨯=⨯+⨯⨯⨯=正方形△.【变式2-1】棱长为1的正四面体的表面积为（ ） A ．3 B ．23 C ．33 D ．43 【答案】A【解析】如图，由正四面体的概念可知，其四个面均是全等的等边三角形，由其棱长为1，所以13sin 6024=⋅⋅=ABCSAB AC ， 所以可知：正四面体的表面积为43=ABCS.【变式2-2】正三棱锥底面边长为a ，高为6，则此正三棱锥的侧面积为（ ）A ．234aB ．232aC ．24aD ．22a【答案】A【解析】因为底面正三角形中高为2a ，其重心到顶点距离为2233⨯=a a ，， 22632632a a a ， 2221222aa a ，所以侧面积为21133224S a a a .选A.【变式2-3】如图，已知正三棱锥SABC 的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO ＝3，求此正三棱锥的表面积． 【答案】27 3.【解析】如图，设正三棱锥的底面边长为a ，斜高为h ′，过点O 作OE ⊥AB ，与AB 交于点E ，连接SE ，则SE ⊥AB ，SE ＝h ′.∵S 侧＝2S 底，∴12·3a ·h ′＝34a 2×2.∴a ＝3h ′. ∵SO ⊥OE ，∴SO 2＋OE 2＝SE 2. ∴32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫36×3h ′2＝h ′2.∴h ′＝23，∴a ＝3h ′＝6.∴S 底＝34a 2＝34×62＝93，S 侧＝2S 底＝18 3. ∴S 表＝S 侧＋S 底＝183＋93＝27 3.题型三 棱台的表面积【例3】已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16，侧棱长为10，则该棱台的侧面积为（ ）.A ．80B ．240C ．320D ．640 【答案】B【解析】由题意可知，该棱台的侧面为上下底边长为4和16，腰长为10的等腰梯形∴221641082-⎛⎫-= ⎪⎝⎭等腰梯形的面积为：()14168802'=⨯+⨯=S ∴棱台的侧面积为：3380240'==⨯=S S .【变式3-1】已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2，其侧面积恰好等于两底面面积之和，则该正四棱台的高为. 【答案】23【解析】设正四棱台的高、斜高分别为h 、h'.由题意得，4×12×(1+2)×h'=12+22，解得h'=56.根据棱台的高、斜高、边心距构成直角梯形，可得h 2+(1−12)2=(56)2，解得h=23.【变式3-2】若正三棱台上、下底面边长分别是a 和2a 33，则此正三棱台的侧面积为（ ）A ．2aB ．212aC ．292a D ．232a【答案】C【解析】如图，1,O O 分别为上、下底面的中心，1,D D 分别是AC ，11A C 的中点，过1D 作1D E OD ⊥于点E .在直角梯形11ODD O 中，13323OD a ==，1113O D a ==，116∴=-=DE OD O D a .在1Rt DED 中，16=D E a ，则1=D D ==a . 2193(2)22∴=⨯+=侧S a a a a .【变式3-3】已知正五棱台的上、下底面边长分别为4 cm 和6 cm ，侧棱长为5 cm ，则它的侧面积为________cm 2. 【答案】50 6【解析】侧面等腰梯形的高为52－1＝26(cm)，所以侧面积S ＝5×(4＋6)×262＝506(cm 2)．题型四 棱柱的体积【例4】底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是（ ）A B ．1 C D ．13【答案】A【解析】底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是23(2)134⨯⨯=.【变式4-1】已知一个长方体的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的体积为________． 【答案】 6【解析】设长方体从一点出发的三条棱长分别为a ，b ，c ，则{ab ＝2，ac ＝3，bc ＝6，三式相乘得(abc )2＝6，故长方体的体积V ＝abc ＝ 6.【变式4-2】如图，在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是平行四边形，点E 是棱BB 1的中点，点F 是棱CC 1上靠近C 1的三等分点，且三棱锥A 1-AEF 的体积为2，则四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为( )A ．12B ．8C ．20D ．18 【答案】A【解析】设点F 到平面ABB 1A 1的距离为h ，由题意得V A 1-AEF ＝V F -A 1AE ＝13S △A 1AE ·h ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12AA 1·AB ·h ＝16(AA 1·AB )·h ＝16·S 四边形ABB 1A 1·h ＝16V ABCD -A 1B 1C 1D 1， 所以V ABCD -A 1B 1C 1D 1＝6V A 1-AEF ＝6×2＝12. 所以四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为12.故选A.【变式4-3】正方体的全面积为18cm 2，则它的体积是_________ 3cm 【答案】【解析】设该正方体的棱长为a cm ，由题意可得，2618=a ，解得=a 所以该正方体的体积为3==V a 3cm .题型五 棱锥的体积【例5】如图，已知高为3的棱柱111-ABC A B C 的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥1-B ABC 的体积为（ ）A ．14 B ．12C D【答案】C【解析】三棱锥1-B ABC 的体积为：111113332⋅⋅=⨯⨯⨯=ABCSh .【变式5-1】正四棱锥的底面边长和高都等于2，则该四棱锥的体积为（ ）A B ．3C ．83D ．8【答案】C【解析】∵正四棱锥的底面边长和高都等于2，∴该四棱锥的体积211822333==⨯⨯=V Sh .【变式5-2】已知棱长均为4，底面为正方形的四棱锥S ABCD -如图所示，求它的体积.322【解析】如图所示：连接AC ，BD 交于点O ，连接SO ，因为四棱锥的棱长均为4，所以⊥SO 平面ABCD ，即SO 为四棱锥的高， 所以4,22==SA OA ，所以2222-SO SA OA ，所以113224422333=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯V AB AD SO .【变式5-3】如图，正三棱锥P ABC -的底面边长为2，侧棱长为3.（1）求正三棱锥P ABC -的表面积； （2）求正三棱锥P ABC -的体积.【答案】（1）623；（223. 【解析】（1）取BC 的中点D ，连接PD ，在Rt △PBD 中，可得2222=-=PD PB BD ∴1222=⋅=△PBC S BC PD . ∵正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形， ∴正三棱锥-P ABC 的侧面积是362=△PBC S .∵正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，∴122sin 6032=⨯⨯⨯︒=△ABC S 则正三棱锥-P ABC 的表面积为623；（2）连接AD ，设O 为正三角形ABC 的中心，则⊥PO 底面ABC .且1333==OD AD . 在Rt POD 中，2269=-=PO PD OD .∴正三棱锥-P ABC 的体积为13⋅=△ABC S PO题型六 棱台的体积【例6】正三棱台ABC-A 1B 1C 1中，O 1，O 分别是上底面A 1B 1C 1、下底面ABC 的中心，已知A 1B 1=O 1O=√3，AB=2√3.求正三棱台ABC-A 1B 1C 1的体积; 【答案】214【解析】由题意得，正三棱台ABC-A 1B 1C 1的上底面面积为√34×(√3)2=3√34， 下底面面积为√34×(2√3)2=3√3， 所以正三棱台ABC-A 1B 1C 1的体积为13×(3√34+√3√34×3√3+3√3)×√3=214.【变式6-1】我国古代名著《张邱建算经》中记载:“今有方锥，下广二丈，高三丈.欲斩末为方亭，令上方六尺.问:斩高几何?”大致意思是:有一个正四棱锥的下底面边长为二丈，高为三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底面边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是多少如果我们把求截去的正四棱锥的高改为求剩下的正四棱台的体积，则该正四棱台的体积是(注:1丈=10尺) ( )A.1 946立方尺B.3 892立方尺C.7784立方尺D.11 676立方尺【答案】B【解析】如图所示，正四棱锥S-ABCD 的底面边长为2丈，即AB=20尺，高3丈，即SO=30尺. 截去一段后，得正四棱台ABCD-A 1B 1C 1D 1， 且上底面边长A 1B 1=6尺，∴30−OO 130=12×612×20，解得OO 1=21，∴该正四棱台的体积是13×21×(202+20×6+62)=3 892(立方尺).【变式6-2】如图所示，已知三棱台ABC-A 1B 1C 1的体积为V ，AB=2A 1B 1，截去三棱锥A 1-ABC 后，剩余部分的体积为 ( )A.14V B.23V C.37V D.35V 【答案】C【解析】设三棱台的高为h ，上底面A 1B 1C 1的面积为S 上，下底面ABC 的面积为S 下.因为AB=2A 1B 1，所以S 下=4S 上，所以三棱台的体积V=13(S 上+S 下+√S 上S 下)h=13(5S 上+√4S 上2)h=73S 上h.三棱锥A 1-ABC 的体积为13S 下h=43S 上h ， 所以剩余部分的体积为37V .【变式6-3】（多选题）已知四棱台1111ABCD A B C D -的上下底面均为正方形，其中AB =11A B =1112AA BB CC ===，则下述正确的是（ ）．A B ．11AA CC ⊥C ．该四棱台的表面积为26D ．该四棱台体积为【答案】AD【解析】由棱台性质，画出切割前的四棱锥，由于=AB11=A B △11SA B 与∆SAB 相似比为1:2；则124==SA AA ，2=AO ，则=SO 1OO ， ，A 对；因为4===SA SC AC ，则1AA 与1CC 夹角为60︒，不垂直，B 错；该四棱台的表面积为844122=++=++⨯=+侧上底下底S S S S C 错； 11(S )(822)33'==++=V h S D 对.。
高中试卷-8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积(含答案)
所以在 RtVDOB 中， OD = OB ， ∴直线 BD 和平面 ABC 所成的角大小为45°.
4.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）
2
A．
3
【答案】C 【解析】
B．1
4
C．
3
8
D．
3
该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，体积V
=
1 3
´
æ çè
1 2
C． 2 6 3
因为PC=AB= 5 ，PA=BC= 3 ，AC=PB=2，
构造长方体如图所示：
D． 6 4
则 PC，AB，PA，BC，AC，PB 为长方体的面对角线，
ìa2 + b2 = 5 设 AD = a, BD = b,CD = c ，则 ïíc2 + b2 = 3 ，
ïîa2 + c2 = 4
【答案】C 【详解】 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则正方体ABCD-A1B1C1D1的表面积为S2=6a2，且三棱锥D1-
AB1C为各棱长均为 2a 的正四面体，
其中一个面的面积为 S = 1 ´ 3 ´ 2a ´ 2a = 3 a2，所以三棱锥D1-AB1C的表面积为：
22
2
S1 = 4 ´
C．16
D．20
由题得侧面三角形的斜高为 32 +12 =2 ， 所以该四棱锥的全面积为 22 +4 × 1 × 2 × 2=12 .
2 3．如图所示，已知正三棱柱 ABC - A1B1C1 的所有棱长均为1，则三棱锥 B1 - ABC1 的体积为（ ）
A． 3 12
B． 3 4
C． 6 12
【三维设计】人教版高中数学必修2练习：1.1.1棱柱、棱锥、棱台的结构特征(含答案解析)
第一章1.1第一课时一、选择题1．以下图形中，不是三棱柱的睁开图的是()答案： C2.如右图所示，在三棱台ABC-A′ B′C′中，截去三棱锥A′ -ABC，则节余部分是 ()A．三棱锥C．三棱柱B ．四棱锥D ．组合体答案： B3．以下说法正确的选项是()①棱锥的各个侧面都是三角形；②三棱柱的侧面为三角形；③四周体的任何一个面都能够作为棱锥的底面；④棱锥的各侧棱长都相等．A．①② B ．①③C．②③ D ．②④答案： B4．正五棱柱中，不一样在任何侧面且不一样在任何底面的两极点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有()A． 20B．15C． 12D．10答案： D5．以下命题正确的选项是()A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台B．棱柱中两个相互平行的面必定是棱柱的底面C．棱台的底面是两个相像的正方形D．棱台的侧棱延伸后必交于一点答案： D二、填空题6．面数最少的棱柱为________棱柱，共有 ________个面围成．答案：三57.如右图所示， M 是棱长为 2 cm 的正方体 ABCD -A1B1C1D 1的棱 CC1的中点，沿正方体表面从点 A 到点 M 的最短行程是 ________ cm.答案：138．侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱．底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体．底面是矩形的直平行六面体叫做长方体．棱长都相等的长方体叫做正方体．请依据上述定义，回答下边的问题：(1)直四棱柱 ________是长方体；(2)正四棱柱 ________是正方体．(填“必定”“不必定”或“必定不”)答案： (1) 不必定(2)不必定三、解答题9．如右图所示，长方体ABCD -A1B1C1D 1.(1)这个长方体是棱柱吗？假如是，是几棱柱？为何？(2)用平面 BCNM 把这个长方体分红两部分，各部分形成的几何体仍是棱柱吗？假如是，是几棱柱，并用符号表示；假如不是，请说明原因．解：(1)是棱柱，而且是四棱柱，由于长方体相对的两个面是相互平行的四边形(作底面 )，其他各面都是矩形(作侧面 )，且相邻侧面的公共边相互平行，切合棱柱的定义．(2)截面 BCNM 的上方部分是三棱柱BB1M-CC1N，下方部分是四棱柱ABMA 1-DCND 1.10．给出两块正三角形纸片 ( 如下图 )，要求将此中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱分别锥模型，另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪拼方案，用虚线标示在图中，并作简要说明．解：如图①所示，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个底面为正三角形的三棱锥．如图②所示，正三角形三个角上剪出三个同样的四边形，其较长的一组邻边边长为三角1形边长的4，有一组对角为直角，余下部分按虚线折成，可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱，而剪出的三个同样的四边形恰巧拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底.。
《棱柱、棱锥和棱台》课时同步详解
《棱柱、棱锥和棱台》课时同步详解问题情境导入同学们，在我们生活的空间中有各式各样的空间图形，你能找出一些具体例子并说出分别是哪种空间图形吗？新课自主学习自学导引1.棱柱的相关概念及特点（1）棱柱的相关概念一般地，由一个平面多边形沿某一方向________形成的空间图形叫作______.平移起止位置的两个面叫作棱柱的________，多边形的边平移所形成的面叫作棱柱的______，相邻侧面的公共边叫作_________.（2）棱柱的特点两个底面是________的多边形，且对应边互相平行，侧面都是_______.2.棱锥的概念及特点（1）棱锥的概念.当棱柱的一个_______收缩为一个点时，得到的空间图形叫作_______.（2）棱锥的特点.底面是_______,侧面是_______的三角形.3.棱台的概念及特点（1）棱台的概念.用一个_______于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分称之为_______.（2）棱台的特点.棱台的两个底面是_______的多边形，侧面都是______，侧棱延长后都______于一点.4.多面体的概念棱柱、棱锥和棱台都是由一些_______围成的空间图形.由若干个平面多边形围成的空间图形叫作________.答案1.（1）平移棱柱底面侧面侧棱（2）全等平行四边形2.（1）底面棱锥（2）多边形有一个公共顶点3.（1）平行棱台（2）相似梯形相交4.平面多边形多面体预习测评1.下面多面体中，是棱柱的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个空间图形为（）A.四棱柱B.四棱锥C.三棱柱D.三棱锥3.三棱柱的平面展开图是（）A.B.C.D.4.下列叙述，其中正确的有（）①两个底面平行且相似，其余的面都是梯形的多面体是棱台；②如图所示，截正方体所得的几何体是棱台；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.A.0个B.1个C.2个D.3个答案1.答案：D解析：根据棱柱的定义进行判定知，这4个图都满足.2.答案：D解析：四个面都是三角形的空间图形只能是三棱锥.3.答案;B解析：两个全等的三角形，在侧面三个长方形的两侧，这样的图形围成的是三棱柱.4.答案;A解析：①不正确，因为不能保证各侧棱的延长线交于一点，如图（1）所示.②不正确，因为侧棱延长后不能交于一点，还原后也并非棱锥.③不正确，如图（2）所示，用一个过顶点的平面截四棱锥得到的是两个三棱锥.新知合作探究探究点多面体知识详解多面体定义图形及表示相关概念棱柱一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形叫作棱柱如图可记作：棱柱ABCDEFG-''''''A B C D E F 底面（底）：平移起止位置的两个面侧面：多边形的边平移所形成的面侧棱：相邻侧面的公共边顶点;侧面与底面的公共顶点棱锥当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的空间图形叫作棱锥如图可记作：棱锥S-ABCD 底面（底）：多边形面侧面：有公共顶点的各个三角形面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：由棱柱的一个底面收缩而成的点棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分称之为棱台如图可记作：棱台上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面侧面：其余各面ABCD-''''A B C D侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与上（下）底面的公共顶点特别提醒1.对于多面体概念的理解，注意以下两个方面：（1）多面体是由若干个平面多边形围成的，围成一个多面体至少要四个面.一个多面体由几个面围成，就称为几面体.（2）多面体是一个“封闭”的空间图形，包括其内部的部分.2.棱柱具有以下结构特征和特点：（1）侧棱互相平行且相等，侧面都是平行四边形.（2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形，如图（1）所示.（3）过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形，如图（2）所示.（4）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的空间图形不一定是棱柱，如图（3）所示.3.对于棱锥要注意有一个面是多边形，其余各面都是三角形的空间图形不一定是棱锥，必须强调其余各面是有一个公共顶点的三角形，如图所示.4.棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台.典例探究例1下列关于棱柱的说法（1）所有的面都是平行四边形；（2）每一个面都不会是三角形；（3）两底面平行，并且各侧棱也平行；（4）被平面截成的两部分可以都是棱柱.其中正确说法的序号是_______.解析（1）错误，棱柱的底面不一定是平行四边形.（2）错误，棱柱的底面可以是三角形.（3）正确，由棱柱的定义易知.（4）正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱.所以说法正确的序号是（3）（4）.答案（3）（4）类题通法有关棱柱的结构特征问题的解题策略:（1）紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析.①两个面互相平行；②其余各面是四边形；③相邻两个四边形的公共边互相平行.求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征.（2）多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除.变式训练1下列四个命题中，假命题为（）A.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面B.棱柱的各个侧面都是平行四边形C.棱柱的两底面是全等的多边形D.棱柱的面中，至少有两个面互相平行答案 A点拨A错，正六棱柱的两个相对的侧面互相平行，但不是棱柱的底面，B、C、D是正确的.例2下列关于棱锥、棱台的说法：（1）用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的空间图形叫棱台；（2）棱台的侧面一定不会是平行四边形；（3）棱锥的侧面只能是三角形；（4）由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；（5）棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥，其中正确说法的序号是解析（1）错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台.（2）正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形.（3）正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形.（4）正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥.（5）错误，如图所示的四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.答案（2）（3）（4）类题通法判断棱锥、棱台形状的两个方法：（1）举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确（2）直接法.变式训练2试判断下列说法正确与否：（1）由六个面围成的封闭图形只能是五棱锥；（2）两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台.答案（1）不正确.（2）不正确.点拨（1）不正确，由六个面围成的封闭图形有可能是四棱柱.（2）不正确，两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体，侧棱延长后不一定相交于一点，所以不一定是棱台.易错易混解读例判断下图中所示物体是不是棱台，为什么？A B C D与面ABCD，在图（1）中平行，在图（2）中不平行）（其中面1111错解是棱台错因分析错解原因是对空间图形的主观判断，对棱台的结构特征不够了解，实际上这两个空间图形均不满足棱台的定义.A B C D平行于底面ABCD，但各侧棱延长后不交于一点，原正解对于图（1），虽然截面1111空间图形不是棱锥.图（2）虽然原空间图形是锥体，但截面不与底面平行，故不是棱台.纠错心得解决这类题目的关键是要明确棱台是如何形成的，根据定义，是用平行于棱锥底面的截面去截棱锥得来的.所以截面和底面平行且侧棱延长后交于一点是关键点.课堂快速检测1.下列几何体中棱柱有（）A.5个B.4个C.3个D.2个2.下列几何体中，________是棱柱，_______是棱锥，______是棱台.（仅填相应符号）3.下列叙述是棱台性质的是__________（填所有正确的序号）①两底面相似；②侧面都是梯形；③侧棱都平行；④侧棱延长后交于一点4.三棱锥是______面体.答案1.答案:D解析：由棱柱定义知，①③为棱柱.2.答案：①③④⑥⑤解析：根据棱柱、棱锥、棱台的定义即可判断.3.答案：①②④解析：根据棱台的定义可知棱台侧棱不平行，故③不正确. 4.答案：四解析：因为三棱锥有四个面，故三棱锥是四面体.要点概括整合。
2020-2021高中数学人教版第二册学案：8.1 第1课时棱柱、棱锥、棱台含解析
新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第二册学案：8.1 第1课时棱柱、棱锥、棱台含解析第八章立体几何初步8．1基本立体图形第1课时棱柱、棱锥、棱台［目标］1。
记住棱柱、棱锥、棱台的定义及结构特征；2。
理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系；3.能用棱柱、棱锥、棱台的定义及结构特征解答一些简单的有关问题．［重点］棱柱、棱锥、棱台的定义及结构特征．[难点］棱柱、棱锥、棱台之间关系的理解．要点整合夯基础知识点一空间几何体[填一填]1．空间几何体的定义空间中的物体都占据着空间的一部分,如果只考虑这些物体的形状和大小,而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．2．空间几何体的分类(1）多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．(2)旋转体：一条平面曲线（包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴．［答一答］1．多面体与旋转体的主要区别是什么?提示：多面体是由多个多边形围成的几何体，旋转体是由平面图形绕轴旋转而形成的几何体．2．多面体最少有几个面，几个顶点,几条棱？提示：多面体最少有4个面、4个顶点和6条棱．知识点二棱柱的结构特征［填一填］1．有两个面互相平行，其余各面都是四边形,并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．在棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形；其余各面叫做棱柱的侧面,它们都是平行四边形;相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．2．一般地，我们把侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体．[答一答]3．棱柱的各侧棱是什么关系?各侧面是什么样的多边形？两个底面的关系是怎样的?提示：根据棱柱的定义，棱柱的各侧棱互相平行，侧面是平行四边形，两个底面是全等的多边形．4．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱吗？提示：不一定,因为“其余各面都是平行四边形”并不等价于“相邻两个四边形的公共边都互相平行”，如图所示．知识点三棱锥的结构特征［填一填]有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱;各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥．［答一答]5．棱锥的侧面是什么样的多边形?有什么特征？提示：根据棱锥的定义，棱锥的侧面一定是三角形，且各个三角形有公共顶点．6．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥吗？提示：不一定,因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图所示．知识点四棱台的结构特征[填一填]用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台．在棱台中，原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面．［答一答]7．棱台的各侧棱是什么关系？各侧面是什么样的多边形？两个底面是什么关系？提示:棱台的各侧棱延长后交于一点，各侧面是梯形，两个底面是相似的多边形．8．观察下面的几何体,思考问题：图①是棱台吗？图②用任意一个平面去截棱锥，一定能得到棱台吗？提示:题图①不是棱台，因为各侧棱延长后不交于一点．不一定,题图②中只有用平行于底面的平面去截才能得到棱台。
8.1-第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征(习题)-高一下学期人教A版(2019)必修第二册课件
底面(底)：多边形 按 底 面 面．
各面都是有一个
侧面：有公共顶点 多 边 形
公共顶点的
的各个三角形面．的 边 数
__三__角__形__ ， 由这
如图可记作：棱锥
侧棱：相邻侧面的 公共边．
分：三棱 锥、四棱
些面所围成的多 S-ABCD
顶点：各侧面的公 锥……
面体叫做棱锥
共顶点
多面体 定义
图形及表示
2．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是
()
【答案】D 【解析】A，B，C中底面图形的边数与侧面的个数不一致，故不能 围成棱柱．故选D．
3．下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________ 是棱台．(仅填相应序号)
【答案】①③④ ⑥ ⑤ 【解析】结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱 锥，⑤是棱台．
①若延 A1B1 展开，使面 AB1 与面 A1C1 共面，可求得 AC1＝ 42＋5＋32＝ 80＝4 5.
②若延 BC 展开，使面 AC 与面 BC1 共面，可求得 AC1 ＝ 32＋5＋42＝ 90＝3 10.
③若延 BB1 展开，使面 BC1 与面 AB1 共面，可求得 AC1＝ 4＋32＋52 ＝ 74.
A′B′C．
图1
图2
题型2 棱锥、棱台的结构特征 下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图 形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
其中正确说法的序号是________． 素养点睛：本题考查了直观想象的核心素养．
【答案】①② 【解析】①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；② 正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③错误，如图所示四 棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．
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1.1.1 棱柱、棱锥和棱台
名称
定义、特点、分类及记法
图形
棱柱 1.一般地,由一个平面多边形① 形成的空间几何体叫做棱柱.平移② 叫做棱柱的底面,多边形的边③ 叫做棱柱的侧面,相邻④ 叫做棱柱的侧棱.
2.棱柱的特点:两个底面是⑤ ,且对应边
⑥ ,侧面都是⑦ .
3.底面为三角形、四边形、五边形……的棱柱分别称为⑧ ……
4.右图六棱柱记作⑨ .
棱锥 1.
当棱柱的一个底面⑩ 时,
得到的
几何体叫做棱锥.相邻侧面的 叫做棱锥的
侧棱,由棱柱的一个底面 的点叫做棱锥
的顶点.
2.棱锥的特点:
. 3.
的棱锥分别称为三棱锥、四棱
锥、五棱锥.
4.右图四棱锥记作 .
棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得到两个几
何体,一个仍然是棱锥,另一个称之为棱台.即棱台是
棱锥被 之间的部分.
多面体
1.棱柱、棱锥和棱台都是由
围成的几何体.
2.
叫做多面体.
3.多面体有几个面就称为几面体,如三棱锥是
.
一、填空题
1.下列几何体中, 是棱柱, 是棱锥, 是棱台.
2.下列命题中正确的序号是.
①棱柱的底面一定是平行四边形;
②棱柱的底面一定是三角形;
③棱锥被截面分成的两部分不可能都是棱锥;
④棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱.
3.一个棱柱至少有个面.
4.将梯形沿某一方向平移形成的几何体是.
5.一个棱锥被平行于底面的平面所截,若截面面积与底面面积之比为4∶9,则此棱锥的侧棱被分成上、下两部分之比为.
6.不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的体对角线,则六棱柱有条体对角线.
7.如图,三棱台ABC A'B'C',沿A'BC截去三棱锥A'ABC,则剩余部分是.
①四棱锥;②四棱台;③三棱柱;④三棱锥.
8.将图中所给出的平面图形,按虚线折痕折起并黏合,制作成几何体.你能说出得到的几何体的名称吗?请填在对应的横线上.
二、解答题
9.画一个三棱台,再把它分成:
(1)一个三棱柱和另一个多面体;
(2)三个三棱锥,并用字母表示.
10.甲乙两足球队决赛互罚点球时,罚球点离球门约10米,乙队守门员违例向前冲出3米,因而扑住了点球,不光彩地赢得了比赛.事实上,乙队守门员违例向前冲出了3米后,其要封堵的区域面积变小了.问此时乙队守门员需封堵的区域面积与原来球门的面积的比是多少?
11.如图,在正方体ABCD A
1B
1
C
1
D
1
各顶点处割去一个三棱锥,使三棱锥的底面三角形的顶点为正方体各棱
的中点(例如顶点A
1处割去了三棱锥A
1
EFG,E、F、G分别为A
1
A、A
1
B
1
、A
1
D
1
的中点),试问所得到的几何
体有多少个面?多少个顶点?多少条棱?
知识清单
①沿某一方向平移②起止位置的两个面③平移所形成的面④侧面的公共边⑤全等的多边形
⑥互相平行⑦平行四边形⑧三棱柱、四棱柱、五棱柱⑨六棱柱ABCDEF-A
1B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
⑩收缩为一个
点
公共边收缩而成底面是多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形底面为三角形、四边形、五边形四棱锥S-ABCD
平行于底面的一个平面所截后,截面和底面一些平面多边形由若干个平面多边形围成的几何体四面体
基础过关
一、填空题
1.答案①③④;⑥;⑤
解析由棱柱、棱锥和棱台的定义知,①③④符合棱柱的定义;②是一个三棱柱被截去了一部分;⑤符合棱台的定义;⑥符合棱锥的定义.故①③④是棱柱,⑥是棱锥,⑤是棱台.
2.答案④
解析根据棱柱、棱锥的几何特征作图判断可得答案.
3.答案 5
解析根据定义知底面边数最少的棱柱是三棱柱,有5个面.
4.答案四棱柱
解析多边形平移形成的几何体是棱柱,梯形是四边形.故填四棱柱.
5.答案2∶1
解析截得的小棱锥与原棱锥的侧棱之比为2∶3,故此棱锥的侧棱被分成上、下两部分之比为2∶1.
6.答案18
解析画出六棱柱,按照顺序找出体对角线,共18条.
7.答案①
解析在题图中,截去三棱锥A'-ABC后,剩余的是以四边形BCC'B'为底面,A'为顶点的四棱锥.
8.答案(1)四棱柱(2)三棱柱(3)六棱柱(4)四棱柱(5)三棱锥(6)四棱锥(7)正方体(8)八面体(9)四棱台
解析求解此类题目的关键是要熟悉各种几何体的结构特征.有条件的可以用硬纸卡片进行折叠操作.
二、解答题
9.解析(1)如图①所示,三棱柱AB
2C
2
A
1
B
1
C
1
与另一个多面体.
(2)如图②所示,三个三棱锥分别是A
1ABC,B
1
A
1
BC,C
1
A
1
B
1
C.
图①图②
10.解析从罚球点S向球门ABCD四个角引线,构成四棱锥S ABCD(如图),守门员从平面ABCD向前移动
3米至平面A'B'C'D',只需封堵A'B'C'D'即可,故S A'B'C'D'
S ABCD =(7
10
)
2
=49
100
.
11.解析正方体原来有6个面,现在8个顶点都被割去,因此增加了8个面,这样所得到的几何体一共有14个面;它的棱数正好是8个三角形边数之和,所以一共有24条棱;每个顶点引出了4条棱,但一条棱连着两个顶点,设顶点数为V,则有4V
2
=24,即V=12.故所得到的几何体一共有14个面,12个顶点,24条棱.。