逐步回归分析
逐步回归分析
逐步回归分析引言逐步回归分析是一种回归分析的方法，它通过逐步加入和删除自变量，来选择最佳的自变量子集，以建立最佳的回归模型。
在统计学和数据分析中广泛应用，尤其在多变量分析中，逐步回归可以帮助我们确定对目标变量有较强预测能力的自变量。
逐步回归的基本原理在逐步回归中，我们首先选择一个自变量作为基础模型，并对其进行回归分析。
然后，我们逐步地加入剩余的自变量，并根据一定的准则来评估加入自变量后模型的性能。
如果加入自变量后模型的性能显著提升，那么就将该自变量加入模型中。
反之，如果加入自变量后模型的性能没有显著提升，那么就将该自变量排除在外。
这样反复进行，直到所有可能的自变量都被考虑过，得到最佳的回归模型。
逐步回归的基本原理可以用以下步骤总结：1.初始化一个基础模型，选定第一个自变量。
2.对基础模型进行回归分析并评估其性能。
3.遍历剩余的自变量，依次加入到基础模型中，并评估加入自变量后模型的性能。
4.根据一定准则（如F统计量、AIC、BIC等）来判断加入自变量后模型的性能是否显著提升。
5.如果加入自变量后模型的性能显著提升，那么将该自变量加入模型中。
6.反之，如果加入自变量后模型的性能没有显著提升，那么将该自变量排除在外。
7.重复步骤3-6，直到所有可能的自变量都被考虑过，得到最佳的回归模型。
逐步回归的优缺点逐步回归作为一种特定的变量选择方法，具有以下优点：•可以帮助我们快速确定对目标变量有较强预测能力的自变量，避免了将所有自变量都加入模型中的复杂性和冗余性。
•可以降低模型的复杂度，减少过拟合的可能性。
•可以提高模型的解释能力，筛选出与目标变量相关性高的自变量。
然而，逐步回归也存在一些缺点：•过于依赖于原始数据的初始情况，可能导致不同初始情况下得到不同的最终模型。
•不能保证得到全局最优解，只能得到局部最优解。
•在特征空间较大的情况下，计算复杂度较高。
逐步回归的应用场景逐步回归适用于以下情况：1.当自变量较多时，希望从中选出对目标变量有较强预测能力的子集。
逐步回归分析
逐步回归分析逐步回归分析１、逐步回归分析的主要思路在实际问题中, ⼈们总是希望从对因变量有影响的诸多变量中选择⼀些变量作为⾃变量, 应⽤多元回归分析的⽅法建⽴“最优”回归⽅程以便对因变量进⾏预报或控制。
所谓“最优”回归⽅程, 主要是指希望在回归⽅程中包含所有对因变量影响显著的⾃变量⽽不包含对影响不显著的⾃变量的回归⽅程。
逐步回归分析正是根据这种原则提出来的⼀种回归分析⽅法。
它的主要思路是在考虑的全部⾃变量中按其对的作⽤⼤⼩, 显著程度⼤⼩或者说贡献⼤⼩, 由⼤到⼩地逐个引⼊回归⽅程, ⽽对那些对作⽤不显著的变量可能始终不被引⼈回归⽅程。
另外, ⼰被引⼈回归⽅程的变量在引⼊新变量后也可能失去重要性, ⽽需要从回归⽅程中剔除出去。
引⼈⼀个变量或者从回归⽅程中剔除⼀个变量都称为逐步回归的⼀步, 每⼀步都要进⾏检验, 以保证在引⼈新变量前回归⽅程中只含有对影响显著的变量, ⽽不显著的变量已被剔除。
逐步回归分析的实施过程是每⼀步都要对已引⼊回归⽅程的变量计算其偏回归平⽅和(即贡献), 然后选⼀个偏回归平⽅和最⼩的变量, 在预先给定的⽔平下进⾏显著性检验, 如果显著则该变量不必从回归⽅程中剔除, 这时⽅程中其它的⼏个变量也都不需要剔除(因为其它的⼏个变量的偏回归平⽅和都⼤于最⼩的⼀个更不需要剔除)。
相反, 如果不显著, 则该变量要剔除, 然后按偏回归平⽅和由⼩到⼤地依次对⽅程中其它变量进⾏检验。
将对影响不显著的变量全部剔除, 保留的都是显著的。
接着再对未引⼈回归⽅程中的变量分别计算其偏回归平⽅和, 并选其中偏回归平⽅和最⼤的⼀个变量, 同样在给定⽔平下作显著性检验, 如果显著则将该变量引⼊回归⽅程, 这⼀过程⼀直继续下去, 直到在回归⽅程中的变量都不能剔除⽽⼜⽆新变量可以引⼊时为⽌, 这时逐步回归过程结束。
２、逐步回归分析的主要计算步骤(1) 确定检验值在进⾏逐步回归计算前要确定检验每个变量是否显若的检验⽔平, 以作为引⼈或剔除变量的标准。
第一讲 逐步回归分析讲解
2 1 4 2
A(0)
1
1.5
3
4
4
3
10
5
0.5 0.5 2 1
A(1)
0.5
1
1 3
2
1 2 1
1.5-1×0.5=1 3-1×2=1 4-1×1=3
0.5-0.5×（-0.5）=0.75 2-0.5×1=1.5 1-0.5×3=2.5
SS
1b1
SP12 b2
SP13b3
SP1y
SP21b1 SS 2b2 SP23b3 SP2 y
SP31b1 SP32b2 SS 3b3 SP3y
2b1 1b2 4b3 2 1b1 1.5b2 3b3 4 4b1 3b2 10b3 5
x5
y，%
68.6
70.9
62.2
66.7
57.3
60.5
56.7
60.5
58.0
58.9
x
17.2
13.3
10.3
64.4
62.5
63.4
s
4.1
3.8
4.4
7.0
5.6
3.8
一、计算相关系数阵
1、计算各变量的平均数（为表1—1） 设自变量x1，x2，…，xm与依变量y存在线性关系，m元线性回归 方程为：
由x估测y的估计值 yˆ 的直线回归方程： yˆ =a+bx
第一节 逐步回归分析的基本方法
逐步回归分析的基本方法可以通过一个实例介绍其分析步骤。 例1 为考察舍内干球温度（x1）、湿球温度（x2）、露点温度（x3）、相对湿 度（x4）及舒适度指数（x5）对罗曼蛋鸡产蛋率（y）的影响。随机抽测12个位点 各64只鸡在56—67周令的平均周产蛋率如表1—1。
逐步回归分析
逐步回归分析１、逐步回归分析的主要思路在实际问题中, 人们总是希望从对因变量有影响的诸多变量中选择一些变量作为自变量, 应用多元回归分析的方法建立“最优”回归方程以便对因变量进行预报或控制。
所谓“最优”回归方程, 主要是指希望在回归方程中包含所有对因变量影响显著的自变量而不包含对影响不显著的自变量的回归方程。
逐步回归分析正是根据这种原则提出来的一种回归分析方法。
它的主要思路是在考虑的全部自变量中按其对的作用大小, 显著程度大小或者说贡献大小, 由大到小地逐个引入回归方程, 而对那些对作用不显著的变量可能始终不被引人回归方程。
另外, 己被引人回归方程的变量在引入新变量后也可能失去重要性, 而需要从回归方程中剔除出去。
引人一个变量或者从回归方程中剔除一个变量都称为逐步回归的一步, 每一步都要进行检验, 以保证在引人新变量前回归方程中只含有对影响显著的变量, 而不显著的变量已被剔除。
逐步回归分析的实施过程是每一步都要对已引入回归方程的变量计算其偏回归平方和(即贡献), 然后选一个偏回归平方和最小的变量, 在预先给定的水平下进行显著性检验, 如果显著则该变量不必从回归方程中剔除, 这时方程中其它的几个变量也都不需要剔除(因为其它的几个变量的偏回归平方和都大于最小的一个更不需要剔除)。
相反, 如果不显著, 则该变量要剔除, 然后按偏回归平方和由小到大地依次对方程中其它变量进行检验。
将对影响不显著的变量全部剔除, 保留的都是显著的。
接着再对未引人回归方程中的变量分别计算其偏回归平方和, 并选其中偏回归平方和最大的一个变量, 同样在给定水平下作显著性检验, 如果显著则将该变量引入回归方程, 这一过程一直继续下去, 直到在回归方程中的变量都不能剔除而又无新变量可以引入时为止, 这时逐步回归过程结束。
２、逐步回归分析的主要计算步骤(1) 确定检验值在进行逐步回归计算前要确定检验每个变量是否显若的检验水平, 以作为引人或剔除变量的标准。
逐步回归分析
值都近似相等。
故为方便起见，可取一个定数F*作为F检验的标准。
2. 计算每个变量的均数 j、离均差平方和(l ii、l jj)，每两个变量的离均差积和l ij，以及相关系数r ij，并以求得的rij为元素列出原始相关矩阵R(0)(阵中r ij(0)=r ij)：以后每引入或剔除一个变量都计为一步运算。
设R(0)经L步所得的R(L)为对于每一步，R(L)均同样按式(2)变换成R(L+1)。
设引入或剔除的变量为Xg(g为该变量的下标)，按式(2)作变换Lg，则R(L)成R(L+1)时，两矩阵中的各元素rij，有如下关系式：3. 选自变量。
(1) 引入未选量。
按式(3)计算各未选量的偏回归平方和V j(L+1)，找出其中最大者，记作Va(L+1)，就它所对应的自变量Xa按式(4)作F检验：式中m′为已引入变量的个数。
当F1>F*时引入变量X a，并对R(L)按式(2)作变换La，得R(L+1);当F1≤F*时挑选变量工作就此结束。
(2)剔除已选量。
引入新变量后，对原先引入的已选量分别计算其偏回归平方和Vj(L)：找出V j(L)中最小者，记作Vb(L)。
就Vb(L)所对应的自变量X b按式(6)作F检验。
当F2≤F*时，剔除Xb，并对R(L)按式(2)作变换Lb得R(L+1);下一步对其余已选量再按式(5)、(6)求Vj并作F检验，直到已选量中没有可剔除时为止;当F2>F*时，已选量都不能被剔除，于是再考虑从未选量中能否引入新变量。
如此反复进行到第L步，若已选量都不能被剔除，未选量都不能引入时，逐步运算结束。
4. 求回归方程。
由相关矩阵R(L)求得的回归方程称为标准回归方程，式中b′j是标准偏回归系数，按式(7)求得。
b'j=rj.m+1(L)。
(7)实用中多元线性回归方程常用变量Xj的原单位，因此须再按式(8)求化成原单位后X j的偏回归系数b j，＝l YY，即Y的离均差平方和，l jj为X j的离均差平方和。
逐步回归分析
第6节逐步回归分析逐步回归分析实质上就是建立最优的多元线性回归方程，显然既实用而应用又最广泛。
逐步回归分析概述1 概念逐步回归模型是以已知地理数据序列为基础，根据多元回归分析法和求解求逆紧凑变换法及双检验法而建立的能够反映地理要素之间变化关系的最优回归模型。
逐步回归分析是指在多元线性回归分析中，利用求解求逆紧奏变换法和双检验法，来研究和建立最优回归方程的并用于地理分析和地理决策的多元线性回归分析。
它实质上就是多元线性回归分析的基础上派生出一种研究和建立最优多元线性回归方程的算法技巧。
主要含义如下： 1）逐步回归分析的理论基础是多元线性回归分析法；2）逐步回归分析的算法技巧是求解求逆紧奏变换法；3）逐步回归分析的方法技巧是双检验法，即引进和剔除检验法； 4）逐步回归分析的核心任务是建立最优回归方程；5）逐步回归分析的主要作用是降维。
主要用途：主要用于因果关系分析、聚类分析、区域规划、综合评价等等。
2 最优回归模型1）概念最优回归模型是指仅包含对因变量有显著影响的自变量的回归方程。
逐步回归分析就是解决如何建立最优回归方程的问题。
2）最优回归模型的含义 最优回归模型的含义有两点： （1）自变量个数自变量个数要尽可能多，因为通过筛选自变量的办法，选取自变量的个数越多，回归平方和越大，剩余平方和越小，则回归分析效果就越好，这也是提高回归模型分析效果的重要条件。
（2）自变量显著性自变量对因变量y 有显著影响，建立最优回归模型的目的主要是用于预测和分析，自然要求自变量个数尽可能少，且对因变量y 有显著影响。
若自变量个数越多，一方面预测计算量大，另一方面因n 固定，所以Q S k n Q→--1增大，即造成剩余标准差增大，故要求自变量个数要适中。
且引入和剔除自变量时都要进行显著性检验，使之达到最优化状态，所以此回归方程又称为优化模型。
3 最优回归模型的选择方法最优回归模型的选择方法是一种经验性发展方法，主要有以下四种：(1）组合优选法组合优选法是指从变量组合而建立的所有回归方程中选取最优着。
逐步回归方法
逐步回归方法
逐步回归是一种常用的回归分析方法,它通过逐步调整每个自变量的值来最小化残差平方和(sum of Squared Error,SSE)。
具体来说,逐步回归方法通过迭代计算每个自变量对目标变量的预测贡献,然后逐步调整每个自变量的值,直到
达到最小化SSE的目的。
逐步回归方法的基本原理是,通过逐步调整每个自变量的值,使得预测结果
与实际结果之间的残差平方和最小化。
在具体实现中,逐步回归方法通常包括以下步骤:
1. 确定目标变量和残差平方和的测量方式。
2. 初始化所有自变量的值,并计算每个自变量对目标变量的残差平方和的
贡献。
3. 确定每个自变量的最佳初始值,通常通过最小化残差平方和来寻找最佳值。
4. 逐步调整每个自变量的值,直到残差平方和不再发生变化。
5. 重复步骤3和4,直到所有自变量都被调整完毕。
逐步回归方法可以应用于多种回归分析场景,例如多元线性回归、多项式回归、逻辑回归等。
在实际应用中,逐步回归方法可以帮助研究人员更好地理解模型的结构,并优化模型的预测性能。
除了逐步回归方法,还有其他的回归分析方法,例如岭回归、局部线性回归等。
这些方法各有优缺点,应根据具体情况进行选择。
在回归分析中,还应该考虑数据预处理、特征选择等方法,以提高模型的预测性能和泛化能力。
逐步回归分析计算公式
逐步回归分析计算公式
1 什么是逐步回归分析
逐步回归分析是用于确定预测变量和因变量之间关系的一种统计
分析方法。
它是指在回归分析中，系统地添加或删除一组变量，然后
用残差（即预测可解释的差异）来衡量模型的拟合度。
它的优势在于，可以用一组解释变量构建解决模型，然后将预测乏味的变量剔除出去，从而减少不必要的参数，从而帮助我们构建更有用的模型。
2 逐步回归分析的步骤
逐步回归分析的步骤包括：
（1）选择变量：首先，将解释变量划分为完全回归和分步回归，
然后在完全回归变量上开展分析；
（2）运行完全回归：依据变量组合，在完全回归模型中运行变量，以检验哪些变量对预测因变量有显著影响；
（3）添加其他变量：根据完全回归模型，仔细检查模型中有哪些
变量，以便加入更多变量；
（4）删除不必要的变量：从有效的模型中移除不必要的变量，以
避免多重共线性；
（5）重复步骤2：重复步骤2并继续检验其中解释变量的有效性，测试将每个新变量添加到回归模型中是否可以改进拟合度。
3 逐步回归分析的优缺点
逐步回归分析的优点是，它有助于减少多重共线性的可能性；它也提高了模型的准确性和可解释性；它可以检查变量对主题的对照作用，以进一步框定研究的范围。
然而，它也有相应的缺点，如它的拟合评估可能不准确，主要由于它忽略了随机游走现象，因此受多重共线性和附加变量影响较大。
因此，利用逐步回归分析时，需要仔细考虑变量之间的关系，并严格观察模型的拟合度，以确保模型的准确性和可解释性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
该方法的特点是：自变量一旦被剔除，就不再进入 模型，
（1）建立全部自变量x1，x2，…，xm对因变
量y的回归方程，对方程中m个自变量的回归系 数b1，b2，…，bm进行F检验，相应的F值记
为：F
1 1
, F , , F
1 2
1 m
1 Fk11 min F11 , F21 , , Fm ，取最小值
该方法在前进法的基础上，引进后退法的思想。 即对每一个自变量随着其对回归方程贡献的变化， 随时地引入或剔除模型，使得最终回归方程中的 变量对y的影响都是显著的，而回归方程外的变 量对y的影响都是不显著的，该方法即通常所说 的逐步回归法。
设y是因变量，x1，x2，…，xm是所有自变量，
yi，xi1，xi2，…，xim（i＝1，2，…，n）是独 立抽取的n组样本。设自变量被选进模型的显著 性水平为 1 ，被剔除模型的显著性水平为 2 ， 且 0 1 2 1 。
1 k1
（3）分别将自变量组
x1 , x， x1 , x， …， 2 3
x1 , xm 与因变量y建立二元回归方程，计算回
归方程中x2，x3，…，xm的回归系数检验统计
量F，记为：
F
2 2
2 , F32 , , Fm ，取其最大值
F max F , F , , F ，若 F F进 F 1，n 2 1
(1) s mm
s (1) s k1 y (1 s my) s
(1) 1y (1) 2y
其中 s ij
1
s k1i 当i k1，j k1 s k1k1 s ik1 s k1 j 当i k1，j k1 s ij s k1k1 1 当i j k 1 s k1k1 s ik1 当i k1，j k1 s k1k1
y与x1，x2，…，xm-l 之间的回归
Fkll11 F 1, n m l 1 方程即为最优的回归方程；若
则剔除
筛选。
x kl 1 ，不妨设 x kl 1 为 x m l ，进行下一步
后退法的缺点：开始把全部自变量都引入模型，
计算量大。
4.6.3.3 逐步筛选法 原理：
相应的F值记为：F1
2
2 , F22 ,, Fm1 ，取最小值
F min F , F ,, F
2 k2 2 1 2 2
2 m1
，若
Fk2 F出 F 1，n (m 1) 1 2
则无自变量可剔除，此时的回归方程即最优的回
Fk2 F出 F 1，n (m 1) 1，将xk2 归方程； 若 2
（1）均方误差s2最小
s A
2
S E ( A)
n l 1
达到最小
（2）预测均方误差最小
n l 1 J ( A) S E A 达到最小 n l 1
（3） C p 统计量最小准则
C p A
S E A SE
2l n 达到最小
n m 1
2
计算
F
SE
2
Vk22
～F（1，n-2-1），
n 2 1
其中 S E2 S T Vk22 ，
若F
F1 1, n 2 1，则筛选结束，第一步中所 建立的回归方程即最优回归方程；
F1 1, n 2 1 ，则选
前进法的一般步骤： 假设已进行了l步筛选，并选入自变量x1， x2，…xl，现进行第l+1步筛选：
分别将自变量组 x1 , x2 , , xl , xl 1 ，x1 , x2 , , xl , xl 2 ， …，x1 , x2 , , xl , xm 与y建立l+1元回归方程；回归
第二步筛选:
①按
Sm m1 计算各自变量的贡献
2
1
模型外自变量的贡献： V 模型中自变量
i
s
iy
2
sii
xk1 的贡献：Vk
1
2
s
s
(1) k1k1
(1) 2 k1 y
②取模型外自变量的最大贡献值，即
V
(2) k2
max V j
一切j k1
F F (1, n (l 1) 1)，将 进行下一步筛选。
l 1 kl 1
若
x kl 1 选进模型，
前进法的缺点：不能反映自变量选进模型后的变
化情况 。
4.6.3.2 后退法（BACKWARD）
原理：
事先给定从方程中剔除自变量的显著性水平，开 始全部自变量都在模型中，然后按自变量对y的贡 献由小到大依次剔除，直至方程中没有不显著的 变量可剔除为止。
Fk11 F出 F 1，n m 1，没有自变量可剔除， 若
此时的回归方程就是最优的回归方程；
若
Fk11 F出 F 1，n m 1 ，剔除xk1，不妨设xk1
是xm，进入步骤（2）。
（2）建立x1，x2，…，xm-1与因变量y的回归
方程 ，对方程中自变量的回归系数进行F检验，
2 S mm1
若F
x k 2进入模型，将
S mm1 化为
1
，进行第三步筛选；
2 S mm 1
2 s11 2 s 21 2 s k2 1 s 2 m1
s12
2
2 s 22
s1m
从模型中剔除，不妨设xk2就是xm-1，进入步骤 （3）；
（3）重复前面的做法，直至回归方程中各变量
回归系数的F值均大于临界值，即方程中没有变 量可剔除为止，此时的回归方程就是最优的回归 方程。
后退法的一般步骤：
假设已经进行了l步剔除，模型中的自变量为x1，
x2，…，xm-l ，现进行第l+1步剔除： 建立x1，x2，…，xm-l 对y的回归方程，对方程 中x1，x2，…，xm-l的回归系数进行F检验，相
§4.6 逐步回归分析
4.6.1最优选择的标准
最优回归方程的含义： （1）方程中包含所有对因变量影响显著的变量； （2）方程中所包含的自变量要尽可能地少。 设n为观测样本数，X {x1 , x 2 , , x m } 为所有自变量构成的集合， A
x
i1
, xi2 , , xil
为X的子集。
2 k2 2 2 2 3 2 m
2 k2
则停止筛选，y与
2
x1之间的回归方程就是最优的 回归方程；若 Fk2 F进 F 1，n 2 1 ，选进xk2 ， 不妨设xk2是 x2，进入步骤（4）。
（4）对已经选入模型的变量，x1，x2，如同前
面的方法做下去，直到所有未被选入模型 的自变量的F值都小于相应的临界值为止， 这时的回归方程就是最优回归方程。
（4）AIC或BIC准则
2l AIC ( A) ln S E A n l ln n BIC ( A) ln S E A n
2
或
达到最小
（5）修正 R 准则
ni 2 R 1 (1 R ) 达到最大 nl
2
4.6.2 选择最优回归子集的方法 （1）选择最优子集的简便方法： 逐步筛选法（STEPWISE） 向前引入法或 前进法（FORWARD） 向后剔除法或后退法（BACKWARD）
第三步：
从第三步开始，先检验已经引入方程中的自变量
是否满足显著性水平 2，若有不满足显著性水平 2 的自变量，依次剔除最不显著的，再从方程 外挑选满足著性水平的最显著的自变量进入模型 （即从第三步开始，先进行变量的剔除，再进行 变量的选进）。
1
s
2 jy
s jj
V
(1) k1
max V j
1 j m
1
x k1 的作用是否显著进行统计检验：
SE
1
F
1
Vk1
1
～F（1，n-1-1）
1
n 1 1
S E S T Vk1
若
F F1 1, n 1 1，则结束所有自变量皆与y无 关，不能建立回归方程；若 F F1 1, n 1 1 ，则 1 将xk1选入模型，并将S转化为S mm1 ，进行第
2
s 22 m
s k2 2 2
2
s k2m 2
sm2
2
s mm
s1 y s 22y s k2 y 2 2 s my
2
其中
s ij
2
s k12j 1 当i k 2，j k 2 s k2k2 1 1 s ik2 s k 2 j s ij1 1 当i k 2，j k 2 s k2k2 1 1 当i j k 2 s k2k2 1 s ik2 当i k ，j k 2 2 1 s k2k2
（2）计算量最大的全子集法：
R2选择法（RSQUARE） Cp选择法（CP） 修正R2选择法（ADJRSQ）。
（3）计算量适中的选择法： 最小R2增量法（MINR） 最大R2增量法（MAXR） 4.6.3逐步回归的基本思想与步骤 基本思想：逐个引入自变量，每次引入对y影响 最显著的自变量，并对方程中的老变量逐个进行 检验，把变得不显著的变量逐个从方程中剔除， 最终的回归方程中既不漏掉对y影响显著的变量， 又不包含对y影响不显著的变量。
逐步筛选法的步骤为：