复数的基本概念和几何意义(最新整理)
复数的概念及其几何意义
复数的概念及其定义复数是数学中一种特殊的数，它由实部和虚部组成。
一个复数可以用以下形式表示：z = a + bi其中，a是实部，b是虚部，而i是虚数单位，满足i^2 = -1。
在复平面上，我们可以将复数z = a + bi表示为一个有序对(a, b)。
其中实部a对应于 x 轴的坐标，虚部b对应于 y 轴的坐标。
这样，在复平面上，每个点都对应着唯一的一个复数。
复数的重要性和应用1. 扩展了实数域复数扩展了实数域，使得我们可以处理更多的问题。
例如，在求解方程时，有些方程在实数域中无解，但在复数域中却有解。
2. 描述振荡和周期性现象振荡和周期性现象在科学和工程领域中非常常见。
通过使用复数来描述这些现象，我们可以更方便地进行分析和计算。
3. 信号处理在信号处理领域中，复数广泛用于描述和分析信号。
例如，在频域中使用傅里叶变换将信号从时域转换为频域时，复数起到了重要的作用。
4. 电路分析在电路分析中，复数被用来描述电压和电流的相位关系。
通过使用复数，我们可以方便地进行交流电路的计算和分析。
5. 分形和动力系统复数在分形和动力系统研究中也扮演着重要角色。
通过使用复数，我们可以更好地理解这些系统的行为和性质。
复数的几何意义中的关键概念在复平面上，有几个重要的概念与复数的几何意义密切相关。
1. 模长（Magnitude）一个复数z = a + bi的模长表示为|z|，它等于实部a和虚部b的平方和的平方根。
模长表示了一个复数到原点的距离。
|z| = √(a^2 + b^2)2. 辐角（Argument）辐角是一个与复数相关的角度，在极坐标系中表示。
辐角通常用 Greek 字母θ表示。
对于一个非零复数z = a + bi，其辐角定义如下：θ = arctan(b/a)需要注意的是，在计算辐角时需要考虑a的正负和a=0的特殊情况。
3. 共轭复数（Conjugate）对于一个复数z = a + bi，其共轭复数定义为z* = a - bi。
复数的基本概念和几何意义
复数的基本概念和几何意义复数是数学中的一个重要概念，它包含实数和虚数部分，可以用a+bi的形式表示，其中a是实数部分，bi是虚数部分，i是虚数单位，它满足i^2 = -复数的几何意义可以通过复平面来理解。
复平面是一个二维平面，横轴表示实数轴，纵轴表示虚数轴。
复数可以在复平面上表示为一个点。
实数部分决定了复数的横坐标，虚数部分决定了复数的纵坐标。
复数的模长表示复数到原点的距离，即复数的绝对值，用，z，表示。
复数的几何意义可以表现在以下几个方面：1.向量：复数可以看作是向量，实部表示向量在横轴上的投影，虚部表示向量在纵轴上的投影。
复数的加减法对应了向量的加减法，复数的乘法对应了向量的缩放和旋转。
2. 极坐标：复数可以用极坐标表示，在复平面上，复数z可以表示为z = r(cosθ + isinθ)，其中r表示模长，θ表示与正实数轴的夹角。
复数的极坐标形式可以简化复数的运算。
3.旋转：复数的乘法可以表示复平面中的旋转。
如果复数z1表示一个向量，复数z2代表一个旋转角度，那么z1×z2的结果就表示了z1绕原点旋转z2对应的角度后的位置。
4.平移：将一个向量加上一个复数的结果就是将这个向量沿着复平面的一些方向平移。
平移是复数的加法对应的几何意义。
5. 共轭复数：共轭复数是将复数的虚数部分取负得到的，即z的共轭复数为z* = a - bi。
在复平面中，共轭复数对应于复数关于实数轴的对称点。
复数的几何意义在多个学科中都得到了广泛的应用。
在工程和物理学中，复数用于描述交流电路的电压和电流，光学中的波长和波矢也可以用复数表示。
在信号处理和通信领域，复数被用于分析和处理信号的频谱特性。
在数学中，复数进一步推广了实数域，使得更多的方程和函数都能够得到解析解。
而在几何学中，复数以及复数的扩展形式，如四元数和八元数等，被用于描述高维空间中的旋转和变换。
总之，复数不仅是数学中的重要概念，也具有丰富的几何意义。
它不仅可以用于解决实数域无法处理的问题，还能够用于表示各种向量、旋转和变换等几何概念。
复数运算的几何意义解读
复数运算的几何意义解读复数是由实数和虚数构成的数学概念，具有实部和虚部两个部分。
在复平面中，复数可以表示为一个有序数对(a,b)，其中a为实部，b为虚部。
复数运算的几何意义可以通过复平面的几何解释来理解。
首先，复数可以用来表示平面上的点。
复平面以实轴为x轴，以虚轴为y轴，每个复数可以对应平面上的一个点。
实部表示该点在x轴上的位置，虚部表示该点在y轴上的位置。
例如，复数z=3+4i表示平面上的一个点，该点在x轴上的位置是3，在y轴上的位置是4加法运算是复数运算中的一种基本操作。
两个复数相加得到的结果是一个新的复数，其实部等于两个复数的实部之和，虚部等于两个复数的虚部之和。
在几何上，两个复数的加法可以理解为将两个平面上的点进行向量相加，得到一个新的点。
减法运算也是复数运算中的一种基本操作。
两个复数相减得到的结果是一个新的复数，其实部等于第一个复数的实部减去第二个复数的实部，虚部等于第一个复数的虚部减去第二个复数的虚部。
在几何上，两个复数的减法可以理解为将第二个复数对应的点作为向量，进行与第一个复数对应的点的相反方向的向量相加。
乘法运算是复数运算中的另一种基本操作。
两个复数相乘得到的结果是一个新的复数，其实部等于两个复数的实部的乘积减去两个复数的虚部的乘积，虚部等于第一个复数的实部与第二个复数的虚部之积加上第一个复数的虚部与第二个复数的实部之积。
在几何上，两个复数的乘法可以理解为将两个平面上的点进行相乘得到一个新的点。
除法运算是复数运算中的一种特殊操作。
两个复数相除得到的结果是一个新的复数，其实部等于两个复数相乘的实部之和除以两个复数相乘的模的平方，虚部等于两个复数相乘的虚部之差除以两个复数相乘的模的平方。
在几何上，两个复数的除法可以理解为将第二个复数对应的点作为向量，进行与第一个复数对应的点的相反方向的向量相加。
复数的模是复数到原点的距离，可以用勾股定理计算。
复数的模平方等于复数实部的平方加上虚部的平方。
复数的基本概念与运算例题和知识点总结
复数的基本概念与运算例题和知识点总结一、复数的基本概念复数是指形如＄a ＋ bi$ 的数，其中＄a$ 和＄b$ 都是实数，＄i$ 是虚数单位，满足＄i^2 ＝－1$。
在复数＄a ＋ bi$ 中，＄a$ 被称为实部，记作＄Re(z)＄；＄b$ 被称为虚部，记作＄Im(z)＄。
当＄b ＝ 0$ 时，复数＄a ＋ bi$ 就变成了实数＄a$；当＄a ＝0$ 且＄b ＼neq 0$ 时，复数＄a ＋ bi$ 就被称为纯虚数。
复数的模长定义为：对于复数＄z ＝ a ＋ bi$，其模长为＄｜z| ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＄。
复数的辐角定义为：以＄x$ 轴正半轴为始边，向量＄＼overrightarrow{OZ}＄（其中＄O$ 为原点，＄Z$ 为复数＄z ＝ a ＋bi$ 对应的点）为终边的角＄＼theta$ 叫做复数＄z$ 的辐角。
二、复数的运算（一）复数的加法设＄z_1 ＝ a ＋ bi$，＄z_2 ＝ c ＋ di$，则它们的和为：＄z_1 ＋z_2 ＝（a ＋ c) ＋（b ＋ d)i$ 。
例如：＄z_1 ＝ 2 ＋ 3i$，＄z_2 ＝ 1 2i$，则＄z_1 ＋ z_2 ＝（2 ＋1) ＋（3 2)i ＝ 3 ＋ i$ 。
复数加法满足交换律和结合律，即＄z_1 ＋ z_2 ＝ z_2 ＋ z_1$，＄（z_1 ＋ z_2) ＋ z_3 ＝ z_1 ＋（z_2 ＋ z_3)＄。
（二）复数的减法设＄z_1 ＝ a ＋ bi$，＄z_2 ＝ c ＋ di$，则它们的差为：＄z_1 z_2 ＝（a c) ＋（b d)i$ 。
例如：＄z_1 ＝ 5 ＋ 4i$，＄z_2 ＝ 2 i$，则＄z_1 z_2 ＝（5 2) ＋（4 ＋ 1)i ＝ 3 ＋ 5i$ 。
（三）复数的乘法设＄z_1 ＝ a ＋ bi$，＄z_2 ＝ c ＋ di$，则它们的乘积为：＼＼begin{align}z_1z_2&＝（a ＋ bi)（c ＋ di)＼＼＆＝ac ＋ adi ＋ bci ＋ bdi^2\＼＆＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i＼end{align}＼例如：＄z_1 ＝ 3 ＋ 2i$，＄z_2 ＝ 1 ＋ 4i$，则＼＼begin{align}z_1z_2&＝（3 ＋ 2i)（1 ＋ 4i)＼＼＆＝3 ＋ 12i ＋ 2i ＋ 8i^2\＼＆＝3 ＋ 14i 8\＼＆＝－5 ＋ 14i＼end{align}＼（四）复数的除法设＄z_1 ＝ a ＋ bi$，＄z_2 ＝ c ＋ di$（＄c ＋ di ＼neq 0$），则它们的商为：＼＼begin{align}＼frac{z_1}｛z_2}＆＝＼frac{a ＋ bi}｛c ＋ di}＼＼＆＝＼frac{（a ＋ bi)（c di)｝｛（c ＋ di)（c di)｝＼＼＆＝＼frac{ac ＋ bd ＋（bc ad)i}｛c^2 ＋ d^2}＼＼＆＝＼frac{ac ＋ bd}｛c^2 ＋ d^2} ＋＼frac{bc ad}｛c^2 ＋ d^2}i＼end{align}＼例如：＄z_1 ＝ 6 ＋ 8i$，＄z_2 ＝ 2 ＋ 2i$，则＼＼begin{align}＼frac{z_1}｛z_2}＆＝＼frac{6 ＋ 8i}｛2 ＋ 2i}＼＼＆＝＼frac{（6 ＋ 8i)（2 2i)｝｛（2 ＋ 2i)（2 2i)｝＼＼＆＝＼frac{12 12i ＋ 16i 16i^2}｛4 ＋ 4}＼＼＆＝＼frac{28 ＋ 4i}｛8}＼＼＆＝＼frac{7}｛2} ＋＼frac{1}｛2}i＼end{align}＼三、复数运算的例题例 1：计算＄（2 ＋ 3i) ＋（4 5i)＄解：原式＄＝（2 ＋ 4) ＋（3 5)i ＝ 6 2i$例 2：计算＄（3 2i) （1 ＋ 4i)＄解：原式＄＝（3 1) ＋（－2 4)i ＝ 2 6i$例 3：计算＄（1 ＋ 2i)（3 4i)＄解：＼＼begin{align}＆（1 ＋ 2i)（3 4i)＼＼＝＆3 4i ＋ 6i 8i^2\＼＝＆3 ＋ 2i ＋ 8\＼＝＆11 ＋ 2i＼end{align}＼例 4：计算＄＼frac{2 ＋ 3i}｛1 i}＄解：＼＼begin{align}＆＼frac{2 ＋ 3i}｛1 i}＼＼＝＆＼frac{（2 ＋ 3i)（1 ＋ i)｝｛（1 i)（1 ＋ i)｝＼＼＝＆＼frac{2 ＋ 2i ＋ 3i ＋ 3i^2}｛1 i^2}＼＼＝＆＼frac{－1 ＋ 5i}｛2}＼＼＝＆＼frac{1}｛2} ＋＼frac{5}｛2}i＼end{align}＼四、复数在几何中的应用复数可以用平面直角坐标系中的点来表示，实部对应＄x$ 轴坐标，虚部对应＄y$ 轴坐标。
复数知识点总结
复数知识点总结一、复数的定义形如\（a ＋ bi\）（＼（a,b\in R\），＼（i\）为虚数单位）的数叫做复数，其中\（a\）叫做复数的实部，＼（b\）叫做复数的虚部。
当\（b ＝ 0\）时，复数\（a ＋ bi\）为实数；当\（b ＼neq 0\）时，复数\（a ＋bi\）为虚数；当\（a ＝ 0\）且\（b ＼neq 0\）时，复数\（a ＋ bi\）为纯虚数。
二、虚数单位\（i\）虚数单位\（i\）满足\（i^2 ＝－1\）。
三、复数的代数形式复数的代数形式为\（z ＝ a ＋ bi\）（＼（a,b\in R\））。
四、复数的几何意义1、复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，＼（x\）轴叫做实轴，＼（y\）轴叫做虚轴。
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
2、复数的模复数\（z ＝ a ＋ bi\）的模\（｜z| ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼）。
3、复数与向量复数\（z ＝ a ＋ bi\）对应复平面内的向量\（＼overrightarrow{OZ} ＝（a,b)＼）。
五、复数的四则运算1、加法＼（（a ＋ bi) ＋（c ＋ di) ＝（a ＋ c) ＋（b ＋ d)i\）2、减法＼（（a ＋ bi) （c ＋ di) ＝（a c) ＋（b d)i\）3、乘法＼（（a ＋ bi)（c ＋ di) ＝ ac ＋ adi ＋ bci ＋ bdi^2 ＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i\）4、除法＼＼begin{align}＼frac{a ＋ bi}｛c ＋ di}＆＝＼frac{（a ＋ bi)（c di)｝｛（c ＋ di)（c di)｝＼＼＆＝＼frac{ac adi ＋ bci bdi^2}｛c^2 ＋ d^2}＼＼＆＝＼frac{（ac ＋ bd) ＋（bc ad)i}｛c^2 ＋ d^2}＼end{align}＼六、共轭复数当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数互为共轭复数。
复数的知识点总结
复数的知识点总结一、基本概念复数是指由实数和虚数构成的数，形式为 a + bi，其中a 和b 都是实数，i 是虚数单位，满足 i² = -1。
实数是指具有有限位小数的数或无理数，而虚数是不能用实数表示的数。
二、复数的表示法复数有一般式、三角式和指数式三种表示法。
1. 一般式：a + bi其中 a 表示实部，b 表示虚部。
2. 三角式：r(cosθ + i sinθ)其中 r 表示复数的模，θ 表示复数的辐角或幅角。
3. 指数式：re^(iθ)其中 r 表示复数的模，e 是自然对数的底数，θ 表示复数的幅角。
三、基本运算1. 加法(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i即实部相加，虚部相加。
2. 减法(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i即实部相减，虚部相减。
3. 乘法(a + bi) × (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i即实数部分按照常规乘法规则计算，虚数部分交叉相乘。
4. 除法(a + bi) ÷ (c + di) = (ac + bd)/(c² + d²) + (bc - ad)/(c² + d²)i即分子分母同除以 c + di，然后将分子分母分别展开并化简。
5. 共轭复数(a + bi) 的共轭复数为 (a - bi)，共轭复数满足以下性质：a. 它们的实部相等。
b. 它们的虚部相等，但符号相反。
c. 一个复数与它的共轭复数的积等于这个复数的模的平方。
d. 两个复数的积的共轭等于它们的共轭的积。
四、复数的模和幅角1. 复数模|r|复数的模是指复数与原点之间的距离，可以用勾股定理求出。
|r| = √(a² + b²)2. 复数的幅角θ复数的幅角是指复数与正实轴正方向的夹角，可以用反正切函数求出。
复数的概念及几何意义
复数的概念及几何意义复数是数学中一种形式的数，包括实数和虚数。
它们一般有两个部分组成：实部和虚部。
复数的一般形式为a+bi，其中a和b分别是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1复数的几何意义可以通过将它们表示为平面上的点来理解。
实部表示复数在实轴上的位置，虚部则表示复数在虚轴上的位置。
复数a+bi可以被视为复平面上的一个点(x, y)，其中x是实部，y是虚部。
这个点与坐标原点形成的直角坐标系中的位置坐标。
复数的模是指复数与原点(0, 0)之间的距离，可以通过勾股定理计算。
给定复数a+bi，它的模记作，a+bi，定义为sqrt(a^2 + b^2)。
复数的模可以用来衡量复数的大小。
复数的幅角或辐角表示复数相对于正实轴的旋转角度。
可以使用三角函数来计算复数的幅角。
例如，对于复数a+bi，其幅角记作arg(a+bi)，可以通过求解tan(theta) = b/a来计算，其中theta是幅角。
复数的几何意义在很多数学和物理领域都有广泛应用。
以下是一些常见的应用领域：1.电路分析：复数在电路分析中起着重要的作用，特别是在交流电路的分析中。
复数可以表示电路元件的阻抗和容抗，并且可以通过复数运算来计算电路中电流和电压的相位关系。
2.信号处理：复数在信号处理领域中用于分析和处理复杂波形。
通过将信号表示为复数的幅角和频率，可以进行频域分析和滤波等操作。
3.控制理论：复数在控制系统理论中用于表示系统的频率响应和稳定性。
复数的幅角和模可以用于设计控制系统的稳定性条件。
4.波动理论：复数在波动理论中用于描述波的传播和干涉。
复数的幅角和模可以用于计算波的相位差和振幅。
5.分形几何：复数在分形几何中用于描述复杂图形的生成和变换。
复数的幅角可以用于旋转和缩放图形。
总结起来，复数是一种数学工具，它可以通过几何方法来理解和解释。
复数的几何意义涵盖了电路分析、信号处理、控制理论、波动理论和分形几何等多个领域。
通过了解复数的几何意义，可以更好地应用和理解复数的数学概念。
复数的概念及复数的几何意义
复数的概念及复数的几何意义复数是数学中一种特殊的数形式，由实数和虚数组成。
在复数形式中，虚数单位i满足i²=-1、一个典型的复数可以表示为a+bi，其中a是实部，b是虚部。
复数的几何意义可以通过使用复平面来解释。
复平面是由实数轴和虚数轴组成的平面，将复数表示为平面上的点。
实部对应于横坐标，虚部对应于纵坐标。
根据这个表示法可以将复数表示为平面上的点。
实部和虚部可以是任意实数，因此复数在平面上可以表示为平面上的任意点。
平面上的坐标点(a,b)对应于复数a+bi。
平面上的原点(0,0)对应于复数0，纵坐标为0的点(0,b)对应于纯虚数bi，而横坐标为0的点(a,0)对应于纯实数a。
复数的运算可以通过在复平面上进行向量运算来实现。
两个复数的加法就是将两个向量叠加在一起，而减法就是将一个向量从另一个向量中减去。
乘法可以通过将复数旋转和缩放来实现。
复数的模可以用勾股定理推导得出：对于复数a+bi，它的模等于√(a²+b²)，表示为，a+bi。
模是复数的长度或距离原点的距离。
两个复数的模的乘积等于它们的乘积的模，即，a+bi， * ，c+di， = ，(a+bi)(c+di)。
复数的共轭是将虚部取负得到的，即a-bi是复数a+bi的共轭。
共轭复数在复平面上呈镜像关系，共轭对称于实轴。
复数的实部是自身的共轭，虚部取负是自身的共轭。
通过使用复数，可以解决许多实数范围内无法解决的问题。
例如，求根公式中的虚数单位i是由复数域推导而来。
复数也广泛应用于工程学、物理学和信号处理等领域。
实际上，电路和信号可以使用复数进行建模和分析。
总之，复数是数学中重要的概念之一，它由实数和虚数组成，并可以通过复平面表示。
复数的几何意义在于将复数表示为平面上的点，实部对应于横坐标，虚部对应于纵坐标。
复数可以进行向量运算，包括加法、减法、乘法和取共轭。
复数的模是其到原点的距离，模的乘积等于乘积的模。
复数的共轭是虚部取负得到的。
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B.线段
C.两点
D.两个圆
解析:∵|z|2-2|z|-3=0,
∴(|z|-3)(|z|+1)=0,
∴|z|=3,表示一个圆,故选 A.
答案:A
6.已知在△ABC 中,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,则对应的复数为____________.
解析:因为对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,
（2）已知复数 1，－1＋2i，－3i，6－7i，在复平面内画出这些复数对应的向量；
（3）在复平面内的长方形 ABCD 的四个顶点中，点 A，B，C 对应的复数分别是 2＋3i，3＋2i，－2－3i，求
点 D 对应的复数.
→
→
→
【解】 （1）OM表示的复数为 1＋3i；ON表示的复数为 4－i；OP表示的复数为 2i；
6.复数的模
→→ 复数 z＝a＋bi（a，b∈R）对应的向量为OZ，则OZ的模叫做复数 z 的模，记作|z|，且|z|＝
a2＋b2.
注意：复数 a＋bi（a，b∈R）的模|a＋bi|＝ a2＋b2，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以 比较大小.
二、典型例题
考点一、复数的概念 例 1、下列命题：
答案:D
2.已知集合 M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},N={-1,3},且 M∩N={3},则实数 m 的值为( )
A.4
B.-1
C.-1 或 4
D.-1 或 6
解析:由于 M∩N={3},故 3∈M,必有 m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3,
所以得 m=-1.
答案:B
4.复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除了 原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
5.复数的两种几何意义
一一对应
（1）复数 z＝a＋bi（a，b∈R）←――→复平面内的点 Z（a，b）.
一一对应
→
（2）复数 z＝a＋bi（a，b∈R）←――→平面向量OZ.
→ OQ表示的复数为－4.
→
→
（2）复数 1 对应的向量为OA，其中 A（1，0）；复数－1＋2i 对应的向量为OB，其中 B（－1，2）；
→
→
复数－3i 对应的向量为OC，其中 C（0，－3）；复数 6－7i 对应的向量为OD，其中 D（6，－7）.
如图所示.
→
→
→
→
→
（3）记 O 为复平面的原点，由题意得OA＝（2，3），OB＝（3，2），OC＝（－2，－3）.设OD＝（x，y），则AD＝（x－2，y
将|z|＝17 代入（*）式得 z＝－15＋8i.
变式训练 6、已知复数 z＝3＋ai（a∈R），且|z|<4，求实数 a 的取值范围. 解：法一：因为 z＝3＋ai（a∈R），所以|z|＝ 32＋a2， 由已知得 32＋a2<42，所以 a2<7，所以 a∈（－ 7，7）. 法二：由|z|<4 知 z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以 4 为半径的圆内（不包括边界），由 z＝3＋ai 知 z
是纯虚数，即①错误.两个虚数不能比较大小，则②错误.对于③，若 x＝－2，则 x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时（x2－4）
＋（x2＋3x＋2）i＝0，不是纯虚数，则③错误.显然，④正确.故选 D.
【答案】 D
变式训练 1、1.对于复数 a＋bi（a，b∈R），下列说法正确的是（ ）
A.若 a＝0，则 a＋bi 为纯虚数
2.复数的分类
{ { )) 实数（b＝0）
（1）复数
z＝a＋bi（a，b∈R）
虚数（b
≠
0）
纯虚数a＝0 非纯虚数a ≠ 0
（2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
3.复数相等的充要条件 设 a、b、c、d 都是实数，则 a＋bi＝c＋di⇔a＝c 且 b＝d，a＋bi＝0⇔a＝b＝0. 注意：（1）应用复数相等的充要条件时注意要先将复数化为 z＝a＋bi（a，b∈R）的形式，即分离实部和 虚部. （2）只有当 a＝c 且 b＝d 的时候才有 a＋bi＝c＋di，a＝c 和 b＝d 有一个不成立时，就有 a＋bi≠c＋di. （3）由 a＋bi＝0，a，b∈R，可得 a＝0 且 b＝0.
3 _____________.
解析：3－ 3i 对应向量为（3，－ 3），与 x 轴正半轴夹角为 30°，顺时针旋转 60°后所得向量终点在 y 轴 负半轴上，且模为 2 3.故所得向量对应的复数是－2 3i.
答案：－2 3i
考点六、复数的模
例 6、（1）设（1＋i）x＝1＋yi，其中 x，y 是实数，则|x＋yi|＝（ ）
B.z=2-3i
C.z=3+2i
D.z=-3-2i
解析:A 中|z|=<3;B 中对应点(2,-3)在第四象限;C 中对应点(3,2)在第一象限;D 中对应点(-3,-2)在第三象限,|z|=>3.
答案:D
5.已知复数 z 满足|z|2-2|z|-3=0,则复数 z 对应点的轨迹为( )
A.一个圆
（1）位于第二象限；
（2）位于直线 y＝x 上.
解：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数 z＝a2＋a－2＋（a2－3a＋2）i 的点就是点 Z（a2＋a－2，a2－
3a＋2）.
（1）由点 Z 位于第二象限，得
{ ) a2＋a－2 < 0，
a2－3a＋2 > 0，
解得－2<a<1.
故满足条件的实数 a 的取值范围为（－2，1）.
（2）在第三象限.
【解】 （1）若对应的点在实轴上，则有
1 2a－1＝0，解得 a＝ .
2
（2）若 z 对应的点在第三象限，则有
{ ) ( ) a2－1 < 0， 2a－1 < 0.
1 解得－1<a<2.故
a
的取值范围是
1 －1பைடு நூலகம்2
.
变式训练 4、求实数 a 取什么值时，复平面内表示复数 z＝a2＋a－2＋（a2－3a＋2）i 的点
A.1
B. 2
C. 3
D.2
（2）已知复数 z 满足 z＋|z|＝2＋8i，求复数 z.
【解】 （1）选 B.因为 x＋xi＝1＋yi，所以 x＝y＝1，
所以|x＋yi|＝|1＋i|＝ 12＋12＝ 2.
（2）法一：设 z＝a＋bi（a，b∈R），
则|z|＝ a2＋b2，
代入原方程得 a＋bi＋ a2＋b2＝2＋8i，
复数
一、考点、热点回顾
1.复数的有关概念 （1）复数 ①定义：形如 a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中 i 叫做虚数单位，满足 i2＝－1. ②表示方法：复数通常用字母 z 表示，即 z＝a＋bi（a，b∈R），这一表示形式叫做复数的代数形式.a 叫做复 数 z 的实部，b 叫做复数 z 的虚部. 注意：复数 m＋ni 的实部、虚部不一定是 m、n，只有当 m∈R，n∈R 时，m、n 才是该复数的实部、虚部. （2）复数集 ①定义：全体复数所成的集合叫做复数集. ②表示：通常用大写字母 C 表示.
（1）纯虚数；（2）实数.
{ ) 解：（1）复数
lg（m2－2m－7）＋（m2＋5m＋6）i
是纯虚数，则
lg（m2－2m－7）＝0， m2＋5m＋6 ≠ 0，
解得 m＝4.
{ ) （2）复数
lg（m2－2m－7）＋（m2＋5m＋6）i
是实数，则
m2－2m－7 > 0， m2＋5m＋6＝0，
解得
m＝－2
对应的点在直线 x＝3 上， 所以线段 AB（除去端点）为动点 Z（3，a）的集合， 由图可知－ 7<a< 7.
三、课后练习
1.若(x+y)i=x-1(x,y∈R),则 2x+y 的值为( )
A.
B.2
C.0
D.1
解析:由复数相等的充要条件知,
x+y＝０，ｘ－１＝０
故 x+y=0.故 2x+y=20=1.
A.1
B.1 或－4
C.－4
D.0 或－4
{ ) 4－3a＝a2，
解析：选 C.易知 －a2＝4a， 解得 a＝－4.
考点二、复数的分类
m（m＋2）
例 2、已知 m∈R，复数 z＝
＋（m2＋2m－3）i，当 m 为何值时，
m－1
（1）z 为实数？（2）z 为虚数？（3）z 为纯虚数？
m（m＋2）
【解】 （1）要使 z 为实数，m 需满足 m2＋2m－3＝0，且
（2）由点 Z 位于直线 y＝x 上，得
a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得 a＝1.
故满足条件的实数 a 的值为 1.
考点五、复数与复平面内的向量 → →→ →
例 5、（1）已知 M（1，3），N（4，－1），P（0，2），Q（－4，0），O 为复平面的原点，试写出OM，ON，OP，OQ
所表示的复数；
【解】 （1）由复数相等的充要条件，得
x＋y＝0， y＝x＋1，
解得
2 1
y＝ .
2
{ ) { ) { ) （2）因为
a，m∈R，所以由
a2＋am＋2＋（2a＋m）i＝0，可得
a2＋am＋2＝0， 2a＋m＝0，
解得
a＝ 2， m＝－2 2
或
a＝－ m＝2
2， 2，
所以 a＝± 2.
（3）设方程的实根为 x＝m，
①若 a∈R，则（a＋1）i 是纯虚数； ②若 a，b∈R，且 a>b，则 a＋i>b＋i； ③若（x2－4）＋（x2＋3x＋2）i 是纯虚数，则实数 x＝±2； ④实数集是复数集的真子集.