粘弹性结构动力学分析的一种数值方法
波动问题中的三维时域粘弹性人工边界
波动问题中的三维时域粘弹性人工边界一、本文概述在波动问题研究中，粘弹性人工边界作为一种重要的数值模拟方法，被广泛应用于地震工程、岩土工程、结构动力学等领域。
本文将重点探讨三维时域粘弹性人工边界在波动问题中的应用。
我们将对粘弹性人工边界的基本理论进行介绍，包括其发展历程、基本原理以及在波动问题中的应用背景。
随后，我们将详细介绍三维时域粘弹性人工边界的建模方法、数值实现过程以及关键参数的选取。
我们还将分析三维时域粘弹性人工边界在波动问题中的优势和局限性，以及在实际应用中可能遇到的问题和解决方法。
我们将通过具体案例来展示三维时域粘弹性人工边界在波动问题中的实际应用效果，并总结其在实际工程中的应用前景。
本文旨在为从事波动问题研究的学者和工程师提供一种有效的数值模拟方法，以更好地理解和解决实际工程中的波动问题。
通过本文的介绍和分析，读者可以深入了解三维时域粘弹性人工边界的基本原理、数值实现方法以及实际应用效果，为相关研究提供有益的参考和借鉴。
二、波动问题基本理论波动问题，作为物理学和工程学中的核心领域，主要研究波在介质中的传播规律。
波的传播受介质特性、波的初始条件和边界条件等多种因素影响。
波动问题涉及弹性力学、动力学、波动方程等多个学科分支，其基本理论为理解和分析复杂波动现象提供了基础。
在波动问题中，波动方程是描述波传播行为的关键。
一维情况下，波动方程可以表示为 (\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2})，其中 (u) 是波的位移，(t) 是时间，(x) 是空间坐标，(c) 是波速。
这一方程描述了波在均匀、无阻尼介质中的传播行为。
对于三维情况，波动方程需要考虑三个空间维度，形式更为复杂。
同时，波动方程还需要结合具体的介质特性，如弹性模量、密度等，来求解特定问题的波动行为。
在波动问题中，边界条件对于波的传播具有重要影响。
粘弹性阻尼结构的试验与研究
粘弹性阻尼结构的试验与研究粘弹性阻尼结构是一种结构控制技术，在吊塔、桥梁、建筑物等领域得到广泛应用。
粘弹性阻尼结构能够通过增加粘弹性材料的阻尼特性来改变结构的动力响应，提高结构的抗震能力。
本文将系统介绍粘弹性阻尼结构的试验与研究。
粘弹性材料是一种同时具有固体和液体特性的材料，具有较高的粘滞性和弹性。
粘弹性材料在结构振动中能够将振动能量转化为热能耗散，从而减小结构的振动幅值，降低结构的振动响应。
首先，研究粘弹性材料特性的试验包括黏弹性材料的动态力学特性试验和材料本身的粘弹性特性试验。
动态力学特性试验是通过施加不同频率和振幅的力来探测材料的应变-应力关系。
这些试验可以帮助研究者了解材料的动力学响应特性，从而确定性能参数。
粘弹性特性试验则是通过施加不同应变速率和应变幅值的荷载来研究材料的粘弹性性能。
这些试验可以测量材料的粘弹性模量、损耗因子等重要参数。
其次，结构控制试验是为了研究粘弹性阻尼结构在实际结构中的应用效果。
结构控制试验通常通过加装粘弹性材料阻尼器来改变结构的动力响应。
试验者首先会对结构进行灵敏度分析，确定结构的最佳阻尼器位置和类型。
然后，在实验室或实际工程中，将粘弹性阻尼器装配到结构中，并根据设计要求进行试验。
试验过程中会记录结构的位移、加速度、振动幅值等响应参数，并与未加装阻尼器的结构进行对比。
通过试验数据的分析，可以评估粘弹性阻尼器的控制效果，并确定最佳的设计参数。
粘弹性阻尼结构研究领域的一项重要内容是模型验证。
模型试验是一种常见的方法，通过缩小结构的尺寸，将大型结构的动力响应特性放大到小尺寸实验模型上进行试验。
模型试验可以在实验室中对结构的控制效果进行研究和验证，从而为实际工程的应用提供参考。
在模型试验中，试验数据的准确性非常重要，因此试验仪器的校准和试验方法的设计都需要仔细考虑。
此外，最近几十年来，随着计算机技术和数值模拟能力的发展，数值模拟成为粘弹性阻尼结构研究的另一个重要手段。
数值模拟可以通过建立结构的数学模型，并采用合适的数值方法来模拟结构的动力响应。
黏弹性流体性能的理论解析
黏弹性流体性能的理论解析黏弹性流体是一种特殊的液体，它不仅具有流体的流动性，还具有固体的弹性。
这种流体在工业生产中得到了广泛应用，比如塑料、涂料、乳胶、胶粘剂等等。
在液态流动时，黏弹性流体具有特殊的性能，比如流变性、挤出性、流动曲线等。
本文将从理论方面对黏弹性流体的性能进行解析。
1.黏度与流变性黏度是黏弹性流体的一个重要参数。
它指的是液体在不同切应力下的流动性能。
黏度与流变性存在一定的关系。
流变性是指液体在承受外力时所表现出的流动行为和变形特征。
黏弹性流体具有复杂的流变性，这主要源于其非牛顿性质。
黏弹性流体的非牛顿性是指，它在承受应力时，其黏度不像牛顿流体一样保持不变，而是会随着应力的变化而发生改变。
这种特别的流动性质可以用流变学进行研究。
而流变学实际上就是研究物质在外力作用下的变形和流动行为的学科。
所以说，黏度与流变性是黏弹性流体的两个重要性能参数。
研究这两个参数，可以更好地了解黏弹性流体的流动特性和流动规律。
2.表观黏度的描述在实际应用中，我们经常会遇到黏弹性流体的表观黏度。
表观黏度是指黏弹性流体在承受应力时，实际上所表现出来的黏度。
这个黏度可能会受到多种因素的影响，比如温度、剪切应力、应变速率等等。
因此，对于黏弹性流体的表观黏度，我们需要采用不同的测量方法和描述。
常用的表观黏度描述方法包括：(1)剪切带速率控制的流变仪测量法。
这个方法主要用于黏度较高的黏弹性流体，可以比较精确地测量其流动性能。
(2)直接计算法。
这个方法一般用于黏度较低的黏弹性流体。
因为低黏度液体在流变杯中的转动较快，可能会出现“加速”现象，影响精度。
此时，可以直接计算其表观黏度，得出更准确的测量结果。
(3)多步切变法。
这个方法也是常用的一种。
它的原理是对黏弹性流体施加不同的切应力，在不同速率下测量黏度，以得到其表观黏度的流变曲线。
通过曲线上每个速率点处的切应力与剪应力之比，可以得到黏性指数。
3.黏弹性流体的挤出性黏弹性流体的挤出性是指其在经过挤压过程之后所呈现出的流动性。
粘弹性流体力学的理论与实验研究
粘弹性流体力学的理论与实验研究引言粘弹性流体力学是研究流体在同时具有粘性和弹性特性时的行为的学科。
这一领域的研究在多个领域具有重要的应用，包括材料科学、生物医学以及地球科学等领域。
本文将深入探讨粘弹性流体力学的理论基础，并介绍一些经典的实验研究。
理论基础粘弹性流体的概念粘弹性流体是指既具有粘性又具有弹性的液体或软固体。
粘性是指流体内部分子之间相互摩擦的现象，而弹性是指流体内部分子在外力作用下出现回弹的现象。
粘弹性流体的宏观性质在很大程度上取决于物质的微观结构与分子间力的相互作用。
粘弹性流体的模型粘弹性流体的模型通常基于两种基本模型：弹性体模型和粘性流体模型。
弹性体模型可以用弹簧和阻尼器串联的方式来描述，而粘性流体模型则可以用牛顿黏滞定律来表示。
实际的粘弹性流体通常需要综合考虑这两种模型。
粘弹性流体的本构方程粘弹性流体的本构方程用于描述物质的应力-应变关系。
最常用的本构方程是Maxwell模型和Kelvin模型。
Maxwell模型将弹性元素和粘性元素串联起来，可以较好地描述物质的粘弹性行为。
而Kelvin模型通过并联弹性元素和粘性元素来描述物质的行为。
粘弹性流体的流变特性粘弹性流体的流变特性包括黏度、屈服应力、流变曲线等。
黏度是指流体流动时所表现出的阻力大小，是刻画流体流动难易程度的物理量。
屈服应力是指流体在外力作用下开始产生可观测的流动行为所需要的最小应力。
流变曲线则是描述流体在剪切应力施加下产生的剪切应变与时间的关系。
实验研究粘弹性流体的流变性能测试粘弹性流体的流变性能可以通过实验测试来获得。
常见的实验方法有旋转粘度计法、振荡剪切法、迎风试验法等。
旋转粘度计法是通过测量粘弹性流体在旋转圆盘上产生的剪切应力与剪切速率的关系来确定其黏度。
振荡剪切法则是通过频率和振幅的变化来研究粘弹性流体的流变特性。
迎风试验法则是在流体流动中施加外界气流压力来研究粘弹性流体的变形和流动行为。
粘弹性流体的微观结构表征粘弹性流体的微观结构对其宏观行为具有重要影响。
结构设计知识：结构设计中的粘-弹性行为分析
结构设计知识：结构设计中的粘-弹性行为分析在结构设计中，粘-弹性行为分析是非常重要的一部分。
这是因为所考虑的结构都是由材料构成的，而在这些材料中，有些是粘-弹性的。
因此，在进行结构设计时，需要考虑这些材料的性质，以便正确地预测结构的行为。
粘-弹性行为是指材料在承受一定的应力后，会产生一定的变形，并且在应力卸载后，材料并不能回到原来的形状。
这种行为可以解释为材料内部的分子或原子之间存在微弱的吸附力，这种吸附力可以改变材料的几何形状，且会在卸载后留下一定的残余形变。
在进行结构设计时，粘-弹性行为分析通常用于分析具有非线性行为的结构。
这些结构通常包括横杆、钢梁、垂直支撑和桥梁等。
这些结构在承受大量应力时会出现非线性行为，而这些行为不能通过线性弹性理论来完全解释。
在进行粘-弹性行为分析时，需要使用一种称为粘塑性模型的模型来描述材料的行为。
这个模型基于弹性塑性模型，但加入了粘性元素。
这些粘性元素可以在应力卸载时留下一定的残余形变，从而产生粘-弹性行为。
当进行粘-弹性分析时，第一个要考虑的是材料本身的性质。
这些性质包括Young's模量、泊松比和屈服强度等。
通过这些参数，可以得出材料在受到应力时产生的变形量以及在卸载时残留下的形变量。
接下来，需要确定所考虑的结构模型。
这个模型应该包括所有的几何形状和约束条件。
例如，在分析钢梁时，需要考虑梁的长度、宽度、厚度和支撑方式等。
通过建立这些模型和参数，可以使用数值计算方法来计算结构的强度和变形。
这些方法包括有限元法、差分法和积分法等。
通过对这些方法的使用，可以准确地预测结构的行为，从而在设计过程中做出正确的选择。
但是，需要注意的是这种方法在分析非线性弹性问题时，通常会涉及到相当复杂的数学和计算。
因此，在进行粘-弹性行为分析时，需要借助专业的计算机程序来辅助工作。
总之，进行粘-弹性行为分析是结构设计中的一个非常重要的步骤。
它可以帮助我们理解材料的性质和结构的行为，以便正确地预测结构的强度和变形。
物理实验技术中的粘弹性测量与分析
物理实验技术中的粘弹性测量与分析引言：物理实验技术是研究物质性质的重要工具之一，而粘弹性则是一个涉及材料力学性质和变形响应的重要领域。
粘弹性测量与分析是物理实验技术中的一个关键内容，它有助于我们理解材料的性能和应用。
本文将介绍一些常见的粘弹性测量方法和分析技术，以及它们在材料研究和应用中的重要性。
一、粘弹性的概念和特征粘弹性是材料力学性质的一种特性，指材料在受力后的弹性变形和粘性变形。
粘弹性材料具有两个主要特征：弹性变形和粘性变形。
弹性变形是指材料在受力后能够恢复到原始形状，而粘性变形是指材料在受力后会出现持久性变形。
二、常见的粘弹性测量方法1. 动态力学分析动态力学分析方法通常使用粘弹仪、万能材料试验机等设备来测量材料的动态力学响应。
通过施加周期性载荷和位移，测量材料的动态应力、应变和相位差等参数，可以获得材料的动态粘弹性参数，如储能模量、损耗模量以及阻尼系数等。
2. 拉伸和压缩实验拉伸和压缩实验是常见的测量材料粘弹性的方法之一。
通过在标准加载条件下施加拉伸或压缩载荷，测量材料的应力-应变曲线，可以获得材料的弹性模量、屈服强度以及屈服延伸率等参数。
3. 微观力学实验近年来，随着纳米技术和扫描探针技术的发展，微观力学实验成为研究粘弹性的重要手段。
通过在纳米或微米尺度上应用微观力学实验，可以获得材料的纳米弹性模量、纳米硬度以及纳米摩擦系数等参数，从而揭示材料的粘弹性特征。
三、粘弹性分析技术1. 流变学分析流变学是研究物质流动和变形的一门学科，通过流变学分析方法可以揭示材料的粘弹性特征。
常见的流变学分析方法包括旋转流变法、挤出流变法以及剪切流变法等。
通过测量应力和应变之间的关系，可以获得材料的流变应力、流变率以及流变指数等参数，进而分析材料的粘弹性特征。
2. 轮廓仪测量轮廓仪是一种常用的表面形貌测量仪器，通过测量材料的表面形貌和变形情况，可以获得材料的变形形貌以及应变分布特征。
通过分析材料的表面形貌变化和形貌参数，可以揭示材料的粘弹性特征和变形机制。
流体动力学中的黏弹性流体研究
流体动力学中的黏弹性流体研究引言流体动力学是研究流体运动规律的物理学科，黏弹性流体是其中的一个重要分支。
黏弹性流体具有介于液体和固体之间的特性，既具有流体的流动性，又具有固体的弹性。
在工程领域中，黏弹性流体的研究在物料加工、油田开发、生物医学等多个方面具有重要应用价值。
本文将探讨黏弹性流体的定义、性质、流动行为以及相关研究方法与应用领域。
一、黏弹性流体的定义与分类1.1 定义黏弹性流体是指在外力作用下具有应力和应变关系不仅取决于变形速度和应变量，而且还取决于变形历史的流体。
与牛顿流体和非牛顿流体相比，黏弹性流体展现出了更为复杂的性质。
1.2 分类黏弹性流体按照性质可分为两类：线性黏弹性流体和非线性黏弹性流体。
线性黏弹性流体的应力与应变呈线性关系，而非线性黏弹性流体的应力与应变则不是线性关系。
二、黏弹性流体的性质与特点黏弹性流体具有以下几个基本性质与特点：2.1 弹性本质黏弹性流体具有固体的形变回复能力，即具有弹性本质。
当外力停止作用时，黏弹性流体会恢复到初始状态，这与牛顿流体和非牛顿流体在停止外力作用后无法恢复的特性有所区别。
2.2 流变性黏弹性流体的应力-应变关系与变形速率密切相关，即流体的黏度会随着变形速度的变化而发生变化。
这种特性使得黏弹性流体具有复杂的流变性质。
2.3 液体性质与固体相比，黏弹性流体更接近液体，具有流动性。
黏弹性流体的流动性使得其在流体力学中具有重要地位，并广泛应用于工程领域。
黏弹性流体的流动行为比较复杂，受多个因素的影响。
主要包括应变速率、外力作用、温度等因素。
3.1 应变速率的影响黏弹性流体的黏度随应变速率的变化而变化。
当应变速率较低时，黏弹性流体呈现出较低的黏度值；当应变速率增加时，黏度也会随之增加。
这种应变速率对黏度的敏感性使得黏弹性流体在实际应用中需要进行合适的设定与控制，以满足不同流动条件的要求。
3.2 外力作用的影响外力的作用对黏弹性流体的流动行为具有重要影响。
粘弹性名词解释
粘弹性名词解释粘弹性就是物体受力产生形变后，恢复原状的难易程度。
即有“滞后”特点的“弹性”，在受外力作用下发生变形（受力），产生新应力（形变）时会“滞后”一段时间。
反映这种滞后性的量称为粘弹性系数。
弹性表征一个物体或系统抵抗变形的能力。
在粘弹性力学中，将其定义为当外界作用力去掉时，材料可以回复到原始状态的能力，即：n（牛顿） =弹性极限以上解释说明了实验中所得到的粘弹性系数都是与几何因素相关的，属于材料力学范畴。
下面介绍一下当受到粘性或弹性应力的作用时，材料内部会引起应变，外部引起应力。
内外应力的差别叫做应变，在弹性力学中，应变是衡量材料力学性能的重要指标之一。
在材料力学中，应变计算方法分为应变硬化法和粘弹性法两种。
本论文以粘弹性、复变函数和数学建模为主线，首先讨论了粘弹性中关于应变集中的问题；然后引入复变函数来研究应力分布情况，根据具体问题来选择相应的函数类型和应用；最后利用数学建模方法分析并解决了涉及物理规律的计算问题。
我们认为，目前的物理现象多采用数学模型进行描述。
将这些数学模型的解析解输入计算机后，由于计算机的存储容量有限，常常不能完全求解出该物理现象的精确解。
因此，使用数值方法来求解物理问题比较经济、方便，从而推动了物理现象数值模拟的发展。
对于弹性、粘性与流体运动之间的关系，将其简单归纳为：将粘性大小作为系数，根据流体速度的变化而自动调节变形，并依此获得良好的物理效果；而流体速度增大时，必须增大变形才能维持流体的运动。
从本质上讲，我们是希望粘弹性系数的大小跟随着流体的速度大小而改变，这样粘弹性系数也会跟随着流体速度的变化而发生变化，从而可以获得更好的物理效果。
而且在研究各种物理现象时，能够预测系数变化的情况，是非常有意义的。
总而言之，粘弹性理论体系已经初步形成，基本满足了人们对粘弹性的需求，但尚存在着许多不足之处，还有待进一步探讨。
我国科技工作者将继续对粘弹性体系进行深入地探讨，为未来的研究提供更加充实的理论基础，争取在不远的将来取得更大的进展。
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粘弹性结构动力学分析中的一种数值方法彭 凡 傅 衣 铭(湖南大学工程力学系, 长沙 410082, 中国)摘要：针对材料具积分型本构关系，及松弛模量为Prony 级数形式的粘弹性结构动力学问题，本文结合Newmark 方法与Taylor 方法，建立了计算该类问题的一种数值算法。
且以简支梁为例，应用该方法具体地分析了考虑线性与非线性粘弹性时梁的强迫振动响应。
关键词：粘弹性 动力学 数值方法 响应1 引言随着人们对结构材料物理与力学性质了解的不断深入，以及新型材料的广泛应用，粘弹性结构的动力学研究受得了愈来愈多的重视，数值计算已成为一种主要的分析手段。
文[1]基于Newmark 方法建立了粘弹性结构动力学响应的有限元法，但只涉及到线性问题，而且在每一计算步，卷积积分的计算量较大。
桂洪斌等[2]提出将粘弹性结构的动力学方程进行Laplace 变换，然后在相域中求解问题，显然这种处理方式同样只适应于线性情况。
当考虑几何，物理包括损伤等非线性因素时，粘弹性结构动力学的数值分析就变得十分复杂与困难了。
文[3,4]通过将微分－积分型非线性动力学方程化成高阶的微分方程，最终由Runge-Kutta 法来获得数值解，但只有当材料为标准线性固体或Prony 级数取较少项数时，这种方法才比较容易实现。
本文针对材料服从积分型本构关系，且松弛模量为Prony 级数形式的粘弹性结构动力学问题，建立了从时域内直接求解的数值算法，它是基于Newmark 方法与Taylor 方法而得出的。
其中Taylor 方法为卷积积分的递规算法，能使计算量显著降低[5]。
文中通过对粘弹性梁的受迫振动分析来说明方法的应用。
2 简支粘弹性梁受迫振动的动力学方程考虑一简支梁，其跨度为L ，高为h ，中点受横向周期激励t H θsin 。
设材料具非线性粘弹性，可由Leaderman [6]本构关系描叙，则有00()()(())(())()tE t t E g t g d t τσεετττ∂-=+∂-⎰(1)式中)0(0E E =，)(t E 为松弛函数，)(εg 为应变ε的非线性函数：23()g εεβεγε=++ (2) 其中β与γ为常数。
在小挠度情况下，梁的受迫振动方程为：()3234522024223345224220(,)(,)(,) 1280()(,)(,) sin ()1280tw x t h w x t h w x t A E t x x x E t h w x h w x d H x L t t x x x ργτττγτδθτ⎡⎤⎛⎫∂∂∂∂⎢⎥++ ⎪∂∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫∂-∂∂∂⎢⎥++=- ⎪∂-∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰ （3）式中A ,ρ分别为梁的质量密度及横截面面积，δ为Dirac 函数，满足两个简支端条件，即,,(0,)(0,)(,)(,)0xx xx w t w t w L t w L t ====的挠度),(t x w 取为1(,)()sink k k xw x t f t Lπ∞==∑ （4） 为说明问题起见，式(4)中只考虑1=k 的项，且令)()(1t f t f =。
将式(4)代入式(3)后，作Galerkin 积分，并记)()(E t E t D =，且取无量纲位移h t f t q )()(=，经运算和整理后得到：t H dq D dq D qθκωsin 032=*+*+ （5） 式中430212⎪⎭⎫⎝⎛=L A h E πρω，842809⎪⎭⎫⎝⎛=L h γπωκ，AhL HH ρ20=；⎰-∂-∂+=*td q t t D t q dq D 0)()()()(ττττ， ⎰-∂-∂+=*td q t t D t q dq D 0333 )()()()( ττττ当材料为线粘弹性时，简支梁的受迫振动方程为t H dq D qθωsin 02=*+ （6） 式(5)与式(6)中的)(t D 可表为Prony 级数的形式∑=-+=Kk t c k k e X X t D 10)( （7）其中材料参量0,,0>k k c X X ，且110=+∑=Kk k X X 。
3 数值算法对式(5)进行数值求解，设时间增量步为t ∆，基于Newmark [7] 方法，t t ∆+时刻的运动方程为)sin()()(032t t H dq D dq D qt t t t t t ∆+=*+*+∆+∆+∆+κω （8） 又()t t t t t t t qq t q q t q⎪⎭⎫ ⎝⎛--∆--∆=∆+∆+12111ααα （9）式中α和λ是按积分精度及稳定性要求而决定的参数。
再由Taylor [8]的卷积积分数值递规算法有())1(11)(+∆++∆++-=*n t t t n t t q q dq D ψμ （10）())3(133113])()[(+++∆++-=*n t n n tt q q dq D ψμ （11）式中 ∑=+++=Kk n k k n hX X 1)1(01μ，其中 )()1(1n k k t c n kh tc e hk =∆-=-+；(1)(1)1011 K n n t k k X q ψξ++==+∑(3)3(1)1031() Kn n tk k X q ψξ++==+∑ 其中 ()(1)()()11kc t n n n k k k k t t t X h q q e ξξ-∆+-∆⎡⎤=+-⎣⎦，()(1)()()3333()()kc t n n n k k k k t t t X h q q eξξ-∆+-∆⎡⎤=+-⎣⎦ 而t t q ∆-为t t ∆-时刻q 的值。
且当1=n ，即0=t 时，0)0(3)0(1==k k ξξ。
将式(9)~(12)代入式(8)后得到0)(3=++∆+∆+F Bq q A t t t t （12） 式中1+=n A κμ；120++=n B μωγ；232(1)(3)00231111sin()()t t t n t n t n n F H t t q q q q q γγγωμκμωψκψ++++⎡⎤=-+∆+++++--⎣⎦在计算步t ，A ,B 及F 已知，通过Newton 法解非线性方程(12)来求出t t ∆+时刻q 的值。
然后再反过来计算tt ∆+时刻q及q 的值 t t t t t t t q q q q q320)(γγγ---=∆+∆+，t t t t t t q q q q ∆+∆+++= 76γγ （13）这里 21t ∆=αγ，t ∆=αγ12，1213-=αγ，14-=αλγ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-∆=225αλγt ，()λγ-∆=16t ，t ∆=λγ7。
对线粘弹性情形B F q t t '=∆+ (16)式中 )1(12123200)sin(++-++++∆+='n t n t t t q q q q t t H F ψωμωγγγ 。
以上算法的具体计算步骤可参考文献[7]，这里为节省篇幅，不再叙述。
4 算例及分析首先取材料为标准线性固体t c e X X t D 110)(-+=，此时，通过对式(6)微分及消去积分项的运算后，得到)cos sin ()1()1(310311112221t t c H q X c q X c q q q q c qθθθκωκω+=-+-++++ （17） 为对比结果，本文同时对式(18)用二级三阶Runge-Kutta 法进行计算。
算例中，取05.0 ,5.0110===c X X ，1=θ，25.00=H ，0)0(=q ，(0)0q =,05.0=∆t ，243293.0ωκ-=，45.0=α，65.0=λ，图1为8.0=ω时非线性粘弹性梁的受迫振动响应，图2为8.0=ω时线粘弹性梁的受迫振动响应，可以看出依本文方法得出的数值结果与依Runge-Kutta 法得出的结果基本吻合，对比表明无量纲振动幅值的最大相对差值约为6%。
图18.0=ω时非线性粘弹性梁的响应(K=1) 图2 8.0=ω时线性粘弹性梁的响应(K=1)图38.0=ω时非线性粘弹性梁的响应(K=5) 图4 8.0=ω时线性粘弹性梁的响应(K=5)取K=5的Prony 级数来表述松弛模量，其参数如表1所示表1 Prony级数中的各项参数分别考虑非线性与线性粘弹性时，梁的强迫振动响应计算示于图3与图4。
值得指出的是，本文的方法能被推广到含多种非线性因素的问题，以及多自由度系统的求解。
由于该方法是以Newmark方法为基础，具有较好的数值稳定性。
参考文献1吴琪泰. 粘弹性结构动力学响应的一个数值方法. 计算结构力学与应用, 1989, 6(4):21～272桂洪斌, 赵德有, 金咸定. 关于粘弹性结构和复合结构有限元动力学方程的探讨. 非线性动力学学报,2002, 9(1~2):1~53陈立群, 程昌均. 非线性粘弹性柱的稳定性和混沌运动. 应用数学与力学, 2000, 21(9):890~8964陈立群, 程昌均. 非线性粘弹性梁的动力学行为. 应用数学与力学, 2000, 21(9):897~9015Bradshaw RD, Brinson LC. Mechanical response of linear viscoelastic composite laminates incorporating nonisothermal physical aging effects. Comp. Sci. Tech., 1999, 59(8):1411~14276Leaderman H. Large longitudinal retareded elastic deformation of rubberlike network polymers. Polymer Trans Soc Rheol,1962,6(4):361~3827王瑁成, 劭敏. 有限单元法基本原理和数值方法. 北京: 清华大学出版社, 19978Taylor RL,Pister KS and Goudreau GL. Thermomechanical analysis of viscoelastic solids. Int. J. Numerical Method in Eng., 1970,2(1):45~51A NUMERICAL METHOD OF DYNAMIC ANALYSIS FORVISCOELASTIC STRUCTURESPeng Fan Fu Yiming(Dept. of Engineering Mechanics, Hunan University, Changsha, 410082, China) Abstract:Based on Newmark method for dynamic problems and Taylor algorithm for convolution integrals, a numerical method is constructed to treat the dynamic analysis of viscoelastic structures with hereditary constitutive relationship, and the relaxation modulus expressed in Prony series as well. To scheme the procedure of the method, the calculation of the responses of forced vibration for simply supported beams, which are modeled by Leaderman constitutive equation, is presented, and the validity of the numerical approach is verified by comparing the calculation results with ones obtained by applying Runge-Kutta method.Key Words: viscoelasticity; structural dynamics; numerical method; response。