中考数学培优(含解析)之圆与相似及详细答案.docx

中考数学培优 (含解析 )之圆与相似及详细答案一、相似1．如图，在四边形ABCD 中， AD//BC，， BC=4， DC=3， AD=6.动点P 从点 D 出发，沿射线 DA 的方向 ,在射线 DA 上以每秒 2 两个单位长的速度运动，动点发，在线段 CB 上以每秒 1 个单位长的速度向点 B 运动，点 P、 Q 分别从点Q从点C D,C 同时出发出,当点 Q 运动到点 B 时，点 P 随之停止运动.设运动的时间为t(秒 ).（ 1）设的面积为，直接写出与之间的函数关系式是________（不写取值范围） .（2）当 B,P,Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求出此时的值.（3）当线段PQ 与线段 AB 相交于点O，且 2OA=OB 时，直接写出=________.（4）是否存在时刻，使得若存在，求出的值；若不存在,请说明理由 .【答案】（1）（2）解：如图1，过点 P 作 PH⊥ BC 于点 H，∴∠ PHB=∠ PHQ=90 ，°∵∠ C=90 ，°AD∥ BC，∴∠ CDP=90 ，°∴四边形 PHCD是矩形，∴PH=CD=3， HC=PD=2t，∵CQ=t， BC=4，∴H Q=CH-CQ=t，BH=BC-CH=4-2t，BQ=4-t，∴BQ2=，BP2=，PQ2=，由 BQ2=BP2可得：，解得：无解；由 BQ2=PQ2可得：，解得：；由 BP2= PQ2可得：，解得：或，∵当时， BQ=4-4=0，不符合题意，∴综上所述，或；（3）（4）解：如图 3，过点 D 作 DM∥ PQ 交 BC的延长线于点 M，则当∠ BDM=90°时， PQ⊥ BD，即当 BM2=DM2+BD2时， PQ⊥ BD，∵AD∥ BC， DM∥ PQ，∴四边形 PQMD 是平行四边形，∴Q M=PD=2t ，∵QC=t,∴CM=QM-QC=t，∵∠ BCD=∠MCD=90 °，∴BD2=BC2+DC2=25， DM2=DC2 +CM2=9+t 2，∵B M2=(BC+CM)2=(4+t)2，∴由 BM2=BD2+DM2可得：，解得：，∴当时，∠ BDM=90 °，即当时， PQ⊥ BD.【解析】【解答】解：（1）由题意可得BQ=BC-CQ=4-，t点 P 到 BC 的距离 =CD=3，∴S△PBQ= BQ × 3=；（ 3 ）解：如图2，过点 P 作 PM⊥ BC交 CB的延长线于点M ，∴∠ PMC=∠ C=90 ，°∵AD∥ BC，∴∠ D=90 ，°△ OAP∽ △ OBQ，，∴四边形PMCD 是矩形，∴PM=CD=3，CM=PD=2t，∵AD=6， BC=4，CQ=t，∴P A=2t-6， BQ=4-t， MQ=CM-CQ=2t-t=t,∴，解得：，∴MQ=，又∵ PM=3，∠ PMQ=90°，∴tan ∠ BPQ=；【分析】（ 1）点 P 作 PM⊥ BC，垂足为M，则四边形PDCM 为矩形，根据梯形的面积公式就可以利用t 表示，就得到s 与 t 之间的函数关系式。

（2）以B、 P、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分PQ=BQ、 BP=BQ、 PB=PQ 三种情况，在Rt△ PMQ 中根据勾股定理，就得到一个关于t 的方程，就可以求出t。

（3）根据相似三角形对应边比例可列式求出t，从而根据正切的定义求出值；（4）首先假设存在，然后根据相似三角形对应边成比例求证。

2．如图，在△ ABC 中，已知AB=AC=10cm， BC=16cm， AD⊥ BC 于 D，点 E、 F 分别从 B、C 两点同时出发，其中点E沿 BC向终点 C 运动，速度为4cm/s ；点F 沿CA、 AB 向终点 B 运动，速度为5cm/s ，设它们运动的时间为x（ s）．（1）求 x 为何值时，△ EFC和△ ACD相似；x （2）是否存在某一时刻，使得△EFD被AD分得的两部分面积之比为3:5 ，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；（3）若以 EF为直径的圆与线段AC只有一个公共点，求出相应x 的取值范围．【答案】（1）解：如图 1 中，点 F 在 AC 上，点 E 在 BD 上时，①当时，△CFE∽△ CDA，∴=，∴t=，②当时，即=，∴t=2 ，当点 F 在 AB 上，点 E 在 CD上时，不存在△ EFC和△ ACD相似，综上所述， t=s 或 2s 时，△ EFC和△ ACD相似．（2）解：不存在．理由：如图 2 中，当点 F 在 AC 上，点 E 在 BD 上时，作 FH⊥ BC于 H， EF交 AD 于 N．∵C F=5t． BE=4t，∴C H=CF?cosC=4t，∴B E=CH，∵AB=AC， AD⊥ BC，∴B D=DC，∴DE=DH，∵DN∥ FH，∴=1，∴E N=FN，∴S△END=S△FND，∴△ EFD被 AD 分得的两部分面积相等，同法可证当点 F 在 AB 上，点 E 在 CD 上时，△ EFD被 AD 分得的两部分面积相等，∴不存在某一时刻，使得△ EFD被 AD 分得的两部分面积之比为3： 5．（3）解：①如图 3 中，当以 EF 为直径的⊙ O 经过点 A 时，⊙ O 与线段 AC 有两个交点，连接AE，则∠ EAF=90°．由=cosC= ，可得=，∴t= ，∴0≤t＜时，⊙ O 与线段 AC 只有一个交点．②如图 4 中，当⊙ O 与 AC 相切时，满足条件，此时t=．③如图 5 中，当⊙ O 与 AB 相切时， cosB=，即=，解得t=．④如图 6 中，⊙O 经过点 A 时，连接AE，则∠EAF=90°．由 cosB==，即=，t=，∴＜ t ≤4时，⊙ O 与线段 AC 只有一个交点．综上所述，当⊙ O 与线段 AC 只有一个交点时，0≤t＜或或或＜ t ≤4【解析】【分析】（ 1）分类讨论：根据路程等于速度乘以时间，分别表示出BE,,CE,CF的长，①当时，△ CFE∽ △ CDA，②当时△ CEF∽ △ CDA，根据比例式，分别列出方程，求解t 的值；当点 F 在 AB 上，点 E 在 CD 上时，不存在△EFC 和△ ACD 相似，综上所述，即可得出答案；（2）不存在．理由：如图 2 中，当点 F在 AC上，点 E 在 BD 上时，作 FH⊥BC于 H，EF交AD 于 N．由题意知CF=5t． BE=4t，根据余弦函数的定义由CH=CF?cosC，表示出 CH 的长，从而得出BE=CH，根据等腰三角形的三线合一得出BD=DC，根据等量减等量差相等得出DE=DH，根据平行线分线段成比例定理得出=1 得出 EN=FN，根据三角形中线的性质得出 S△END△FND，△ EFD被 AD 分得的两部分面积相等，同法可证当点F在 AB上，点=SE 在 CD上时，△EFD被 AD 分得的两部分面积相等，故不存在某一时刻，使得△ EFD被 AD 分得的两部分面积之比为3：5；（3）①如图 3 中，当以 EF 为直径的⊙ O 经过点 A 时，⊙O 与线段 AC 有两个交点，连接AE，则∠ EAF=90°．根据余弦函数的定义，由，结论列出方程，求解得出t 的值，故 0≤t时，⊙ O 与线段 AC 只有一个交点；②如图 4 中，当⊙O 与 AC 相切时，满足条件，此时t=；③如图 5中，当⊙O与 AB 相切时，根据余弦函数的定义，由cosB=，列出方程，求解得出t 的值；④如图 6 中，⊙ O 经过点 A 时，连接 AE，则∠EAF=90 ．°由 cosB=，列出方程求出 t 的值，故＜ t ≤4时，⊙ O 与线段 AC 只有一个交点；综上所述，得出答案。

3．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．（1）已知△ ABC 是比例三角形，（ 2）如图1，在四边形ABCD 证：△ ABC是比例三角形；AB=2， BC=3．请直接写出所有满足条件的AC 的长；中， AD∥BC，对角线BD 平分∠ ABC，∠BAC=∠ ADC．求（3）如图 2，在（ 2）的条件下，当∠ ADC=90°时，求的值。

【答案】（1）或或.（2）证明：∵ AD∥ BC，∴∠ ACB =∠ CAD，又∵∠ BAC=∠ADC，∴△ ABC∽ △ DCA，∴=，即 CA2=BC·AD，又∵ AD∥ BC，∴∠ ADB=∠ CBD，∵BD 平分∠ ABC，∴∠ ABD=∠ CBD，∴∠ADB=∠ABD，∴AB=AD，∴CA2=BC·AB，∴△ ABC是比例三角形.（3）解：如图，过点 A 作 AH⊥ BD 于点 H,∵A B=AD,∴B H= BD,∴AD∥ BC，∠ADC=90 ,°∴∠ BHA=∠ BCD=90 ,°又∵∠ ABH=∠ DBC,∴△ ABH∽△ DBC,∴=,∴AB·BC=DBBH,·∴AB·BC=BD2,又∵ AB·BC=AC2,∴BD2=AC2,∴=.【解析】【解答】解：（1）∵已知△ ABC是比例三角形，依题可得：2∵AB=2，BC=3．∴4=3AC，∴A C= ；②CB 2=AB·AC，∵AB=2，BC=3．∴9=2AC，∴A C= ；③AC 2=BC·AB，∵A B=2， BC=3．∴AC2=2×3，∴AC= .综上所述： AC 的长为：或或.【分析】（ 1）由比例三角形的定义分三种情况讨论：①当 AB2=BC·AC 时，② CB 2=AB·AC，③AC 2=BC·AB，代入 CB、 AB 的数值分别求得 AC长 .（ 2 ）根据平行线的性质和相似三角形的判定得△ABC∽△ DCA，由相似三角形的性质得CA2=BC·AD；根据平行线的性质和角平分线的定义得∠ ADB=∠ ABD，根据等腰三角形等角对等边得 AB=AD，将此代入上式即可得证 .（3）如图，过点 A 作 AH⊥ BD 于点 H,根据等腰三角形三线合一的性质可知BH=BD,由相似三角形的判定和性质得AB·BC=DB·BH,即 AB·BC= BD2,联立（1）中的结论即可得出答案.4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=（x-a）（ x-3）的图像与 x 轴交于点 A、 B（点 A 在点B 的左侧），与 y 轴交于点 D，过其顶点 C 作直线 CP⊥ x 轴，垂足为点 P，连接AD、 BC.（1）求点 A、 B、 D 的坐标；（2）若△ AOD 与△BPC相似，求 a 的值；（3）点 D、 O、C、 B 能否在同一个圆上，若能，求出 a 的值，若不能，请说明理由.【答案】（1）解：∵y=（ x-a）（ x-3）（ 0<a<3）与x 轴交于点A、 B（点 A 在点 B 的左侧）∴A（a，0 ）， B（ 3,0），当 x=0 时， y=3a，∴D（ 0,3a） .（2）解：∵ A（ a， 0）， B（ 3,0）， D（ 0,3a）.∴对称轴 x=,AO=a， OD=3a，当 x=时，y=-，∴C（，-），∴PB=3- = ①当△ AOD∽ △，PC=BPC时，，∴,即，解得： a=3（舍去）；② △AOD∽ △ CPB，∴,即，解得： a1 =3（舍）， a2=.综上所述： a 的值为.（3）解：能；连接BD，取 BD 中点 M ，∵D、 B、 O 三点共圆，且 BD 为直径，圆心为 M（， a），若点 C也在此圆上，∴MC=MB，∴，化简得： a4-14a2+45=0，∴（ a2-5）（ a2-9） =0,∴a2=5 或 a2=9,∴a1=，a2=-，a3=3（舍），a4=-3（舍），∵0<a<3,∴a=，∴当 a=时，D、O、C、B四点共圆.【解析】【分析】（ 1 ）根据二次函数的图像与x 轴相交，则y=0,得出A（ a， 0）， B （3,0），与 y 轴相交，则 x=0,得出 D（ 0,3a） .（2）根据（ 1）中A、 B、 D 的坐标，得出抛物线对称轴x=,AO=a， OD=3a，代入求得顶点C（，-），从而得PB=3-=，PC=；再分情况讨论：①当△ AOD∽ △ BPC 时，根据相似三角形性质得，解得：a= 3（舍去）；② △AOD∽ △ CPB，根据相似三角形性质得（ 3）能；连接BD，取BD 中点M ，根据已知得D、B、O ，解得：在以BDa1=3（舍），为直径， Ma2=.为圆心（，a）的圆上，若点 C 也在此圆上，则MC=MB，根据两点间的距离公式得一个关于a 的方程，解之即可得出答案.5．在矩形 ABCD 中， AB＝ 6， AD＝8，点 E 是边 AD 上一点， EM⊥ EC交 AB 于点 M ，点 N 在射线 MB 上，且 AE 是 AM 和 AN 的比例中项 .（1）如图 1，求证：∠ANE＝∠ DCE；（2）如图 2，当点 N 在线段 MB 之间，联结 AC，且 AC与 NE 互相垂直，求MN 的长；（3）连接 AC，如果△ AEC与以点 E、 M、 N 为顶点所组成的三角形相似，求DE的长 .【答案】（ 1）解：∵ AE 是 AM 和 AN 的比例中项∴，∵∠ A＝∠ A，∴△ AME∽ △ AEN，∴∠ AEM＝∠ ANE，∵∠ D＝ 90 °，∴∠ DCE＋∠DEC＝ 90 °，∵EM⊥BC，∴∠ AEM＋∠ DEC＝90 °，∴∠ AEM＝∠ DCE，∴∠ ANE＝∠ DCE（2）解：∵AC 与NE 互相垂直，∴∠ EAC＋∠ AEN＝90 °，∵∠ BAC＝ 90 °，∴∠ ANE＋∠ AEN＝90 °，∴∠ ANE＝∠ EAC，由（ 1）得∠ ANE＝∠ DCE，∴∠ DCE＝∠EAC，∴t an ∠ DCE＝ tan ∠DAC，∴，∵DC＝AB＝ 6，AD＝ 8，∴DE＝，∴AE＝ 8﹣＝，由（ 1）得∠ AEM＝∠ DCE，∴t an ∠ AEM＝ tan ∠ DCE，∴，∴AM＝，∵，∴AN＝，∴MN ＝（3）解：∵ ∠ NME＝∠ MAE＋∠ AEM，∠AEC＝∠ D＋∠ DCE，又∠ MAE＝∠ D＝90°，由（ 1）得∠ AEM＝∠ DCE，∴∠ AEC＝∠ NME，当△ AEC与以点 E、 M、 N 为顶点所组成的三角形相似时① ∠ENM＝∠ EAC，如图 2，∴∠ ANE＝∠ EAC，由（ 2）得： DE＝；② ∠ENM＝∠ ECA，如图 3，过点 E 作 EH⊥ AC，垂足为点H，由（ 1）得∠ ANE＝∠ DCE，∴∠ ECA＝∠ DCE，∴HE＝ DE，又 tan∠ HAE＝，设 DE＝3x，则 HE＝ 3x， AH＝4x， AE＝ 5x，又 AE＋ DE＝ AD，∴5x＋ 3x＝8，解得 x＝ 1，∴D E＝3x＝ 3，综上所述， DE 的长分别为或 3【解析】【分析】（ 1 ）由比例中项知，据此可证△ AME∽ △ AEN得∠AEM＝∠ANE，再证∠ AEM＝∠ DCE 可得答案；（ 2）先证∠ ANE＝∠ EAC，结合∠ANE＝∠ DCE 得∠DCE＝∠ EAC，从而知，据此求得AE＝ 8﹣＝，由（1）得∠ AEM＝∠ DCE，据此知，求得 AM ＝＝∠ ECA两种情况分别求解可得，由求得.MN＝；（ 3）分∠ ENM＝∠EAC 和∠ ENM6．在△ ABC 中，∠ACB＝ 90°， AB＝25， BC＝ 15．（1）如图 1，折叠△ ABC 使点 A 落在 AC 边上的点 D 处，折痕交AC、AB 分别于 Q、 H，若△ABC＝9S△DHQ ，求HQ的长．S（2）如图 2，折叠△ ABC 使点 A 落在 BC 边上的点 M 处，折痕交 AC、 AB 分别于 E、 F．若FM∥ AC，求证：四边形 AEMF 是菱形；（3）在 (1)(2)的条件下，线段 CQ 上是否存在点P，使得△ CMP 和△ HQP 相似？若存在，求出 PQ 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（ 1）解：如图 1 中，在△ ABC中，∵∠ ACB＝ 90°， AB＝ 25， BC＝15，∴AC＝＝20，设HQ＝x，∵HQ∥BC ，∴，∴AQ＝x ，∵S△ABC＝ 9S△DHQ，∴× 20 ×＝ 915××x× x，∴x＝ 5 或﹣ 5 （舍弃），∴H Q＝5，故答案为 5 ．（2）解：如图 2 中，由翻折不变性可知：AE＝ EM ， AF＝ FM ，∠ AFE＝∠ MFE ，∵FM∥ AC ，∴∠ AEF＝∠ MFE ，∴∠ AEF＝∠ AFE ，∴AE＝ AF ，∴AE＝ AF＝ MF＝ ME ，∴四边形 AEMF 是菱形．（3）解：如图 3 中，设 AE＝ EM＝ FM＝AF＝4m ，则 BM＝ 3m ， FB＝ 5m ，∴4m+5m＝ 25，∴m＝，∴AE＝ EM＝，∴EC＝ 20﹣＝，∴CM＝，∵QG＝ 5， AQ＝，∴QC＝，设PQ＝x，当时，△ HQP∽ △ MCP ，∴，解得： x＝，当＝时，△ HQP∽ △ PCM ，∴解得： x＝10 或，经检验： x＝ 10 或是分式方程的解，且正确，综上所，满足条件长QP的值为或10或．【解析】【分析】（ 1）利用勾股定理求出AC，设 HQ=x，根据 S△ABC=9S△DHQ，构建方程即可解决问题；（2）想办法证明四边相等即可解决问题；（3）设AE=EM=FM=AF=4m，则BM=3m ， FB=5m，构建方程求出m 的值，分两种情形分别求解即可解决问题.7．在直角坐标系中，过原点O 及点 A（8， 0）， C（ 0，6）作矩形OABC、连结OB，点 D 为OB的中点，点 E 是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥ DE，交OA于点F，连结EF．已知点 E 从A 点出发，以每秒 1 个单位长度的速度在线段AB 上移动，设移动时间为t 秒．（1）如图 1，当 t=3 时，求 DF 的长．（2 ）如图2，当点 E 在线段AB 上移动的过程中，∠ DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠ DEF的值．（3）连结 AD，当 AD 将△DEF分成的两部分的面积之比为1： 2 时，求相应的t 的值．【答案】（1）解：当 t=3 时，点 E 为 AB 的中点，∵A（8， 0）， C（ 0，6），∴O A=8，OC=6，∵点 D 为 OB 的中点，∴DE∥ OA， DE=OA=4，∵四边形 OABC是矩形，∴OA⊥AB，∴DE⊥AB，∴∠ OAB=∠ DEA=90 ，°又∵ DF⊥ DE，∴∠ EDF=90 ，°∴四边形 DFAE是矩形，∴D F=AE=3（2）解：∠ DEF的大小不变；理由如下：作 DM⊥OA 于 M，DN⊥AB 于 N，如图 2 所示：∵四边形 OABC是矩形，∴OA⊥AB，∴四边形 DMAN 是矩形，∴∠ MDN=90 °，DM ∥AB， DN∥OA，∴，，∵点 D 为 OB 的中点，∴M 、 N 分别是 OA、 AB 的中点，∴DM= AB=3， DN=OA=4，∵∠ EDF=90 ，°∴∠ FDM=∠ EDN，又∵∠ DMF=∠ DNE=90°，∴△ DMF∽ △ DNE，∴，∵∠ EDF=90，°∴t an ∠ DEF=（3）解：作 DM⊥OA 于 M ，DN⊥AB 于 N，若 AD 将△ DEF的面积分成 1： 2 的两部分，设 AD 交 EF于点 G，则点 G 为 EF的三等分点；①当点 E 到达中点之前时，如图 3 所示， NE=3﹣ t，由△ DMF∽ △ DNE 得： MF=（3﹣t），∴A F=4+MF=﹣ t+ ，∵点 G 为 EF 的三等分点，∴G（设直线），AD 的解析式为y=kx+b，把 A（ 8， 0）， D（ 4， 3）代入得：，解得：，∴直线 AD 的解析式为 y=x+6，把 G（② 当点）代入得：E 越过中点之后，如图t=4；所示， NE=t﹣ 3，由△ DMF∽ △ DNE 得： MF=（t﹣3），∴A F=4﹣MF=﹣ t+ ，∵点 G 为 EF 的三等分点，∴G（），代入直线AD 的解析式y=﹣x+6 得： t=；综上所述，当 AD 将△ DEF分成的两部分的面积之比为1： 2 时， t 的值为或【解析】【分析】（ 1）由 t=3 可得此时 E 为 AB 的中点，进而可得DE 为△ ABO 的中位线，从而可得 DE∥ OA，DE 的长，再由矩形的性质和判断可得四边形DFAE是矩形，，进而求出 DF 的长；（ 2）作 DM⊥OA 于 M ， DN⊥ AB 于 N，可证得四边形DMAN 是矩形，则 DM ∥ AB，DN∥OA，再由平行线分线段成比例和已知可求出DM和 DN 的长，由两角相等可证△DMF∽△ DNE，可得 DF： DE=DM： DN，由三角函数可求出tan∠DEF 的值；（3）作 DM⊥ OA 于 M， DN⊥ AB 于 N，若 AD 将△ DEF 的面积分成1：2的两部分，设 AD 交 EF 于点 G，则点 G 为 EF 的三等分点；分点 E 到达中点之前、点 E 越过中点之后两种情况来求 .都先求出直线 AD 的解析式，由△DMF∽△ DNE 求出用 t 的代数式表示的点 G 的坐标，代入直线 AD 的解析式可求出 t 的值 .8．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，弦 CD 与 AB 交于点 E， F 为 CD 的延长线上一点，连接AF，且 FA2=FD?FC．（1）求证： FA 为⊙O 的切线；（2）若 AC=8， CE： ED=6： 5， AE： EB=2： 3，求 AB 的值．【答案】（1）证明：连接 BD、 AD，如图，∵∴∵∠ F=∠ F，∴△ FAD∽ △ FCA.∴∠ DAF=∠ C.∵∠ DBA=∠ C，∴∠ DBA=∠ DAF.∵AB 是⊙ O 的直径，∴∴∴∴即 AF⊥AB.∴FA为⊙O 的切线.（2）解：设 CE=6x， AE=2y，则 ED=5x， EB=3y.由相交弦定理得：EC?ED=EB?EA.∴∴∴∵∴∴∴∴F D=5x.∴∴∵∴∵△ FAD∽ △ FCA.∴∵∴解得：∴∴AB 的值为 10【解析】【分析】（ 1）连接BD、 AD，根据两边成比例且夹角相等可得△ FAD∽ △ FCA；由△FAD∽△ FCA 及同弧所对的圆周角相等可得∠ DBA=∠ DAF；再根据直径所对的圆周角是直角即可得出结论。