【精选】2020中考数学结合专题：圆中的相似问题(含答案)

2020中考数学结合专题：圆中的相似问题（含答案）1. 已知：如图，ABC △内接于O e ，AB 为直径，弦CE AB ⊥于F ，C 是AD 的中点，连结BD 并延长交EC 的延长线于点G ，连结AD ，分别交CE 、BC 于点P 、Q ． （1）求证：P 是ACQ △的外心；（2）若3tan 4ABC ∠=，8CF =，求CQ 的长；（3）求证：2()FP PQ FP FG +=⋅．（1）证明CP AP QP ==；（2）152CQ =；（3）AFP GFB △∽△.2. 已知：如图，以矩形ABCD 的对角线AC 的中点O 为圆心，OA 长为半径作O e ，O e 经过B 、D 两点，过点B 作BK AC ⊥，垂足为K ．过D 作DH ∥KB ，DH 分别与AC 、AB 、O e 及CB 的延长线相交于点E 、F 、G 、H ．（1）求证：AE CK =；（2）如果AB a =，13AD a =（a 为大于零的常数），求BK 的长：（3）若F 是EG 的中点，且6DE =，求O e 的半径和GH 的长．（1）证明AED CKB △≌△；（2； （3）2OA =，6HG =． 3. 如图，四边形ABCD 内接于O e ，AB 是O e 的直径，AC 和BD 相交于点E ，且2BC CE CA =⋅． （1）求证：BC CD =；（2）分别延长AB ，DC 交于点P ，过点A 作AF CD ⊥交CD 的延长线于点F ，若PB OB =，CD =DF 的长．（1）证明CDE CAD △∽△；（2.G A C D Q P F g OB H ADEg O KFGB CAFg ODCEB4. 如图，C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，CH AB ⊥于点H ，直线AC 与过B点的切线相交于点D ，E 为CH 中点，连接AE 并延长交BD 于点F ，直线CF 交直线AB 于点G . （1）求证：点F 是BD 中点； （2）求证：CG 是O e 的切线；（3）若2FB FE ==，求O e 的半径.（1）线束定理；（2）证明90OCF OBF ∠=∠=︒；（3）5. 如图，O e 是ABC △的外接圆，点E 在劣弧»BC 上，连接AE 交BC 于点D ，经过点B 、C 两点的圆弧交AE 于点I ，已知2BE AE DE =⋅，BI 平分ABC ∠. （1）求证：BE EI =；（2）若O e 的半径为5，8BC =，45BDE ∠=︒；i ）求¼BIC的半径和AD 的长； ii ）求sin ABC ∠的值.BO gED CAIBO gE D CAI备用图（1）证明~BED BAE △△；（2）i）E 为¼BIC的圆心，BE =AD =ii ）sin ABC ∠=D A CF EO g HB G6. 如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，AC 的垂直平分线分别与AC ，BC 及AB的延长线相交于点D ，E ，F ，且BF BC =. O e 是BEF △的外接圆，EBF ∠的平分线交EF 于点G ，交O e 于点H ，连接BD 、FH . （1）求证：ABC EBF △≌△；（2）试判断BD 与O e 的位置关系，并说明理由； （3）若1AB =，求HG HB ⋅的值.（1）在Rt ABC △和Rt EBF △中C EFB BC BFABC EBF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(ASA)ABC EBF ∴△≌△ （2）连结BO ，BD 为O e 的切线FD Q 垂直平分AC ，D ∴为AC 的中点 DCB DBC ∴∠=∠ ABC EBF Q △≌△ EFB ACB ∴∠=∠DBC DFB DBF ∴∠=∠=∠ BH Q 平分EBF ∠45EBH HBF ∴∠=∠=︒ 45HBO OBF ∴∠+∠=︒ 45DBC HBO ∴∠+∠=︒90DBC HBO CBH ∴∠+∠+∠=︒ BD ∴为O e 的切线（3）连结HO ，设O e 的半径为R ，CE x = 45HFE EBH ∠=∠=︒Q HFG HBF ∴△∽△ 2HF HG HB ∴=⋅ 45BHF ∠=︒Q 90HDF ∴∠=︒ HDF ∴△为等腰直角三角形 222HF R ∴= 又CDE CBA Q △∽△CD DA DB BO R ====Q ，90DBO ∠︒＝ DBO ∴△为等腰Rt △DO ∴=1)DE DO ED R =-=C D H F A B O E GCD CE DECB CA∴==12R xx R ==+得x =，21R =即CE =222HF R ∴==+即2HG HB ⋅=.7. 如图，在半圆O 中，将一块含60︒的直角三角板的角顶点与圆心重合，角的两条边分别与半圆圆弧交于C ，D 两点（点在AOD ∠内部），AD 与BC 交于点E ，AD 与OC 交于点F . （1）求AEC ∠的度数； （2）若C 是»AD 的中点，求:AF ED 的值；（3）若2AF =，4ED =，求EF 的值.（1）60°； （2）3:2； （3）连接CA ，过F 作FH ⊥AG ，连接BD ，设GF x=，则可得AEx =，CH ，22EF x =-，22FD x =+，2244CF FE FD x =⋅=-，又∵2222236444CF CH HF x x x=+=-+=-，解得3x =，∴8EF =.A CEFO B D8. 如图，O e 和1O e 内切于点A ，AO 是1O e 的直径，O e 的弦AC 交1O e 于B ，弦DF 经过点B 且垂直于OC ，交OC 于点E ，连AF 、AD . （1）求证：DF 为1O e 的切线； （2）求证：22AB AD AF =⋅；（3）当AB =cos DBA ∠=时，求AF和AD 的长.（1）连接OB 、1O B ，证明190O BE ∠=︒； （2）证明DAB CAF △∽△；（3）连接OF ，证明CBF CFA △∽△，AF =AD =O g A 1O D B E FC9. 如图，已知O ⊙的弦AB ，CD 相交于点P ，4PA =，3PB =，6PC =，EA 切O⊙于点A ，AE 与CD 的延长线交于点E，EA =PE 的长．∵弦AB ，CD 交于点P ，∴由相交弦定理得PA PB PC PD ⋅=⋅， ∵4PA =，3PB =，6PC =，∴4326PA PB PD PC ⋅⨯===∵EA 为O ⊙切线，由切割线定理得：2()(8)AE ED EC ED ED DP PC ED ED =⋅=++=+．∵AE =2ED =，10ED =-（舍去）， ∴224PE PD DE =+=+=．10. 如图，ABC △内接于O ⊙，圆心为O ，AB BC =，AO BC ⊥于D .（1）若O ⊙的半径为3，求ABC △的面积；（2）若1AB =，P 是劣弧BC 上一动点（P 、B 、C 不重合），P A 交BC 于E ，令AE x =，EP y =，求y 与x 间的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若PAC α∠=，APC β∠=，当22sin sin 1αβ+=时，求y 的值.（1）ABC S △； （2）211x y x x ⎫-=≤<⎪⎪⎝⎭； （3.11. 如图，AB 为O e 的直径，点M 为半圆的中点，点P 为另一半圆上一点（不与A 、B 重合），点I 为ABP △的内心，IN BP ⊥于N . （1）求证：45APM ∠=︒；（2）求证：AB =；（3）试探究IN OBPM+的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，说明变化规律.（1）（2）略；O gAB CDPE O gA BNMP I（3）不变，IN OB PM +=.12. 如图，已知ABC △，以BC 为直径，O 为圆心的半圆交AC 于点F ，点E 为»CF的中点，连接BE 交AC 于点M ，AD 为ABC △的角平分线，且AD BE ⊥，垂足为点H ． （1）求证：AB 是半圆O 的切线；（2）若3AB =，4BC =，求BE 的长．（1）证明：连接EC ，∵BC 是直径∴90E ∠=o有∵AD BE ⊥于H ∴90AHM ∠=o∵12∠=∠ ∴34∠=∠ ∵AD 是ABC △的角平分线 ∴453∠=∠=∠又∵E 为»CF的中点 ∴375∠=∠=∠∵AD BE ⊥于H∵5690∠+∠=︒，即6790∠+∠=︒ 又∵BC 是直径，∴AB 是半圆O 的切线． （2）∵3AB =，4BC =．由（1）知，90ABC ∠=︒，∴5AC =．在ABM △中，AD BM ⊥于H ，AD 平分BAC ∠， ∴3AM AB ==，∴2CM =．由CME BCE △∽△，得12EC MC EB CB ==．∴2EB EC =，∴BE =A FEH M D gO C13.如图，AB是Oe的直径，直线BM经过点B，点C在右半圆上移动（与点A、B 不重合），过点C作CD AB⊥，垂足为D，连接CA、CB，CBM BAC∠=∠，点F在射线BM上移动（点M在点B的右边），在移动过程中始终保持OF//AC.（1）求证：BM为Oe的切线；（2）若CD、FO的延长线相交于点E，判断是否存在点E，是的点E恰好在Oe 上？若存在，求E∠，若不存在，请说明理由；（3）连接AF交CD于点G，记CGkCD=，试问：k的值是否随点C的移动而变化？并证明你的结论.（1）略；（2）30︒；（3）证明ADG ABF△∽△，ADC OBF△∽△，1 2k=.AE D CGOB F M。