2009至2018年北京高考真题分类汇编之函数
2009至2018年北京高考真题分类汇编之向量
2009至2018年北京高考真题分类汇编之向量精心校对版题号一二总分得分△注意事项：1.本系列试题包含2009年-2018年北京高考真题的分类汇编。
2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。
3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科一、填空题（本大题共6小题，共0分）1.（2013年北京高考真题数学(文)）向量(1,1)A ，(3,0)B ，(2,1)C ，若平面区域D 由所有满足AP AB AC （12，01）的点P 组成，则D 的面积为。
2.（2012年北京高考真题数学(文)）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB uuu r uu r 的值为；DE DC uuu r uuu r 的最大值为．3.（2011年北京高考真题数学(文)）已知向量a=（3，1），b=（0，-1），c=（k ，3）.若a-2b 与c 共线，则k=________________. 4.（2016年北京高考真题数学(文)）已知向量=(1,3),(3,1)a b ，则a 与b 夹角的大小为_________. 5.（2017年北京高考真题数学(文)）已知点P 在圆22=1x y 上，点A 的坐标为(-2,0)，O 为原点，则AO AP 的最大值为_________．6.（2018年北京高考真题数学(文)）设向量a =（1,0），b =（-1,m ）,若()m a a b ，则m =_________. 二、选择题（本大题共6小题，每小题0分，共0分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）7.（2009年北京高考真题数学(文)）已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ，姓名：__________班级：__________考号：__________●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●。
北京市高考数学试题汇编-函数
北京市2009届高考数学试题汇编－函数1、（2009崇文区）函数2()log 3f x x =-（）的定义域为 C （A ）{}3,x x x R ≤∈ （B ） {}3,x x x R ≥∈ （C ） {}3,x x x R >∈ （D ） {}3,x x x R <∈ 2、（2009石景山区）函数x x f ln 21)(=的反函数是（ ）C A ．21)(x e x f=-B ．2110)(x x f=- C ．xe xf 21)(=-D ．x x f2110)(=-3、（2009石景山区）设函数⎩⎨⎧>≤++=)0(2)0()(2x x c bx x x f ，若)0()4(f f =-，2)2(-=-f ，则关于x 的方程x x f =)(的解的个数为（ ）C A ．1B ．2C ．3D ．44、（2009东城区）已已知函数f (x )=在区间M 上的反函数是其本身，则M 可以是 （ ）BA ．[-2，-1]B [-2，0]C ．[0，2]D ．[]1,0- 5、（2009海淀区）已知定义域为R 的函数1)21(,2)21()1()(=+-=+∈f x f x f R x x f 且满足对任意的，那么)62(f 等于 （ ）DA ．1B ．62C ．64D ．836、（2009西城区）已知函数()3x f x =，那么函数()f x 的反函数1()f x -的定义域为（ ）B A.{|1}x x > B. {|0}x x > C.{|01}x x x >≠且 D. R7、（2009崇文区）下列命题中：①若函数()f x 的定义域为R ，则()()()g x f x f x =+-一定是偶函数；②若()f x 是定义域为R 的奇函数,对于任意的x ∈R 都有()(2)0f x f x +-=,则函数()f x 的图象关于直线1x =对称；③已知1x ,2x 是函数()f x 定义域内的两个值，且12x x <，若12()()f x f x >，则()f x 是减函数；④若f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x +2)也为奇函数，则f (x )是以4为周期的周期函数. 其中正确的命题序号是________．①④8、（2009丰台区）函数f ( x ) = 2–x ( 0＜x ≤3 )的反函数的定义域为____________________⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤181|x x 9、（2009昌平区）函数1)(--=x a x f 的图象过点（２，３），则=a ，)1(1-f ＝ ． 4,1010、（2009宣武区）设函数,)0(log )0(2)(⎩⎨⎧>≤=x x x x f x 则)]21([f f =_________2111、（2009崇文区）已知函数321()23f x x bx x a =-++，2x =是)(x f 的一个极值点． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若当[1, 3]x ∈时，22()3f x a ->恒成立，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）'2()22f x x bx =-+. --------------------------------------------------------------1分∵2x =是)(x f 的一个极值点，∴2x =是方程2220x bx -+=的一个根，解得32b =. ---------------------------3分 令'()0f x >，则2320x x -+>，解得1x <或2x >. ------------------------5分∴函数()y f x =的单调递增区间为(, 1)-∞，(2, +)∞. -----------------------6分 （Ⅱ）∵当(1,2)x ∈时'()0f x <，(2,3)x ∈时'()0f x >，∴()f x 在（1，2）上单调递减，()f x 在（2，3）上单调递增. --------8分∴(2)f 是()f x 在区间[1，3]上的最小值，且 2(2)3f a =+. --------------10分 若当[1, 3]x ∈时，要使22()3f x a ->恒成立，只需22(2)3f a >+， ----12分即22233a a +>+，解得 01a <<. ---------------------------------13分 12、（2009丰台区）已知函数f ( x ) =16632--+x x x 。
2009年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(03函数的性质及其应用)
2009年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(03函数的性质及其应用)、选择题1 . (2009北京文、理)为了得到函数y的图像，只需把函数 10A .向左平移3个单位长度，再向上平移B .向右平移3个单位长度，再向上平移C .向左平移3个单位长度，再向下平移 1个单位长度D .向右平移3个单位长度，再向下平移 1个单位长度 1.【解析】本题主要考查函数图象的平移变换 .属于基础知识、基本运算的考查A y =lg x 3 1 =lg10 x 3 ,B . y =lg x 「3iT=lg10 x -3C .x +3 y -lg x 3 -1 一 lg 10D.x —3y =lg x -3 -1 =lg故应选C.12. (2009福建文)下列函数中，与函数 y有相同定义域的是J x1XA .f(x)=lnxB. f (x)C. f(x)=|x|D. f (x)二 ex112.解析 解析 由y可得定义域是x • 0. f (x) =ln x 的定义域x 0 ； f (x) 的定义域是xV x x丰0; f (x) =| x |的定义域是 x R ；f(x)=e x 定义域是R 。
故选A.3. (2009福建文)定义在R 上的偶函数f x 的部分图像如右图所示，则在-2,0上，下列函数中与f x 的单调性不同的是2A . y =x 1 B. y =| x | 12x 1,x — 0e x ,x _oC. y =3D . y x[x 3+1,x v 0[e ,xv03.解析解析根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反， 故可知求在-2,0上单调递减，注意到要与f x 的单调性不同， 故所求的函数在 -2,0上应单调递增。
而函数 y =x 2，1在(-°°,1】上递减；函数y = x +1在(—°°,0】时单调递减；函数 y =递减，理由如下y'=3x 2>0(x<0),故函数单调递增，显然符合题意；而函数y =lg x 的图像上所有的点1个单位长度一1个单位长度 N+1,xA 0，有在―,0］上单调y'=-e"x<0(x<0),故其在(-°°,0]上单调递减，不符合题意，综上选C。
2009至2018年北京高考真题分类汇编之程序框图
2009至2018年北京高考真题分类汇编之程序框图精心校对版题号一总分得分△注意事项：1.本系列试题包含2009年-2018年北京高考真题的分类汇编。
2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。
3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科一、选择题（本大题共8小题，每小题0分，共0分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.（2013年北京高考真题数学(文)）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）A ．1 B ．23C ．1321 D ．6109872.（2012年北京高考真题数学(文)）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为3.（2011年北京高考真题数学(文)）执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输入的P 值为A ．2B ．3C ．4D ．5 （A ）2（B ）4（C ）8（D ）16姓名：__________班级：__________考号：__________●-------------------------密--------------封-
-------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●S=S?2k k=k+1k=0, S=1k<3是否输出S 结束开始。
(北京卷)十年真题(-)高考数学真题分类汇编 专题04 导数及其应用 文(含解析)-人教版高三全册数
专题04导数及其应用历年考题细目表题型年份考点试题位置解答题2019 导数综合问题2019年文科20解答题2018 导数综合问题2018年文科19解答题2017 导数综合问题2017年文科20解答题2016 导数综合问题2016年文科20解答题2015 导数综合问题2015年文科19解答题2014 导数综合问题2014年文科20解答题2012 导数综合问题2012年文科18解答题2011 导数综合问题2011年文科18解答题2010 导数综合问题2010年文科18历年高考真题汇编1．【2019年文科20】已知函数f（x）x3﹣x2+x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）的斜率为l的切线方程；（Ⅱ）当x∈[﹣2，4]时，求证：x﹣6≤f（x）≤x；（Ⅲ）设F（x）＝|f（x）﹣（x+a）|（a∈R），记F（x）在区间[﹣2，4]上的最大值为M（a）．当M（a）最小时，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x），由f′（x）＝1得x（x）＝0，得．又f（0）＝0，f（），∴y＝x和，即y＝x和y＝x；（Ⅱ）证明：欲证x﹣6≤f（x）≤x，只需证﹣6≤f（x）﹣x≤0，令g（x）＝f（x）﹣x，x∈[﹣2，4]，则g′（x），可知g′（x）在[﹣2，0]为正，在（0，）为负，在[]为正，∴g（x）在[﹣2，0]递增，在[0，]递减，在[]递增，又g（﹣2）＝﹣6，g（0）＝0，g（）6，g（4）＝0，∴﹣6≤g（x）≤0，∴x﹣6≤f（x）≤x；（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，F（x）＝|f（x）﹣（x+a）|＝|f（x）﹣x﹣a|＝|g（x）﹣a|∵在[﹣2，4]上，﹣6≤g（x）≤0，令t＝g（x），h（t）＝|t﹣a|，则问题转化为当t∈[﹣6，0]时，h（t）的最大值M（a）的问题了，①当a≤﹣3时，M（a）＝h（0）＝|a|＝﹣a，此时﹣a≥3，当a＝﹣3时，M（a）取得最小值3；②当a≥﹣3时，M（a）＝h（﹣6）＝|﹣6﹣a|＝|6+a|，∵6+a≥3，∴M（a）＝6+a，也是a＝﹣3时，M（a）最小为3．综上，当M（a）取最小值时a的值为﹣3．2．【2018年文科19】设函数f（x）＝[ax2﹣（3a+1）x+3a+2]e x．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为0，求a；（Ⅱ）若f（x）在x＝1处取得极小值，求a的取值X围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝[ax2﹣（3a+1）x+3a+2]e x的导数为f′（x）＝[ax2﹣（a+1）x+1]e x．曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为0，可得（4a﹣2a﹣2+1）e2＝0，解得a；（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）＝[ax2﹣（a+1）x+1]e x＝（x﹣1）（ax﹣1）e x，若a＝0则x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞1，f′（x）＜0，f（x）递减．x＝1处f（x）取得极大值，不符题意；若a＞0，且a＝1，则f′（x）＝（x﹣1）2e x≥0，f（x）递增，无极值；若a＞1，则1，f（x）在（，1）递减；在（1，+∞），（﹣∞，）递增，可得f（x）在x＝1处取得极小值；若0＜a＜1，则1，f（x）在（1，）递减；在（，+∞），（﹣∞，1）递增，可得f（x）在x＝1处取得极大值，不符题意；若a＜0，则1，f（x）在（，1）递增；在（1，+∞），（﹣∞，）递减，可得f（x）在x＝1处取得极大值，不符题意．综上可得，a的X围是（1，+∞）．3．【2017年文科20】已知函数f（x）＝e x cos x﹣x．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）函数f（x）＝e x cos x﹣x的导数为f′（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，可得曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k＝e0（cos0﹣sin0）﹣1＝0，切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1；（2）函数f（x）＝e x cos x﹣x的导数为f′（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，令g（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，则g（x）的导数为g′（x）＝e x（cos x﹣sin x﹣sin x﹣cos x）＝﹣2e x•sin x，当x∈[0，]，可得g′（x）＝﹣2e x•sin x≤0，即有g（x）在[0，]递减，可得g（x）≤g（0）＝0，则f（x）在[0，]递减，即有函数f（x）在区间[0，]上的最大值为f（0）＝e0cos0﹣0＝1；最小值为f（）cos．4．【2016年文科20】设函数f（x）＝x3+ax2+bx+c．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）设a＝b＝4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值X围；（3）求证：a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．【解答】解：（1）函数f（x）＝x3+ax2+bx+c的导数为f′（x）＝3x2+2ax+b，可得y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k＝f′（0）＝b，切点为（0，c），可得切线的方程为y＝bx+c；（2）设a＝b＝4，即有f（x）＝x3+4x2+4x+c，由f（x）＝0，可得﹣c＝x3+4x2+4x，由g（x）＝x3+4x2+4x的导数g′（x）＝3x2+8x+4＝（x+2）（3x+2），当x或x＜﹣2时，g′（x）＞0，g（x）递增；当﹣2＜x时，g′（x）＜0，g（x）递减．即有g（x）在x＝﹣2处取得极大值，且为0；g（x）在x处取得极小值，且为．由函数f（x）有三个不同零点，可得c＜0，解得0＜c，则c的取值X围是（0，）；（3）证明：若f（x）有三个不同零点，令f（x）＝0，可得f（x）的图象与x轴有三个不同的交点．即有f（x）有3个单调区间，即为导数f′（x）＝3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，可得△＞0，即4a2﹣12b＞0，即为a2﹣3b＞0；若a2﹣3b＞0，即有导数f′（x）＝3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，当c＝0，a＝b＝4时，满足a2﹣3b＞0，即有f（x）＝x（x+2）2，图象与x轴交于（0，0），（﹣2，0），则f（x）的零点为2个．故a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．5．【2015年文科19】设函数f（x）klnx，k＞0．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．【解答】解：（1）由f（x）f'（x）＝x由f'（x）＝0解得xf（x）与f'（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：X（0，）（）f'（x）﹣ 0 +f（x）↓↑所以，f（x）的单调递增区间为（），单调递减区间为（0，）；f（x）在x处的极小值为f（），无极大值．（2）证明：由（1）知，f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为f（）．因为f（x）存在零点，所以，从而k≥e当k＝e时，f（x）在区间（1，）上单调递减，且f（）＝0所以x是f（x）在区间（1，）上唯一零点．当k＞e时，f（x）在区间（0，）上单调递减，且，所以f（x）在区间（1，）上仅有一个零点．综上所述，若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．6．【2014年文科20】已知函数f（x）＝2x3﹣3x．（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，求t的取值X围；（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y＝f（x）相切？（只需写出结论）【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝2x3﹣3x得f′（x）＝6x2﹣3，令f′（x）＝0得，x或x，∵f（﹣2）＝﹣10，f（），f（），f（1）＝﹣1，∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为．（Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y＝f（x）相切于点（x0，y0），则y0＝23x0，且切线斜率为k＝63，∴切线方程为y﹣y0＝（63）（x﹣x0），∴t﹣y0＝（63）（1﹣x0），即46t+3＝0，设g（x）＝4x3﹣6x2+t+3，则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”．∵g′（x）＝12x2﹣12x＝12x（x﹣1），∴g（x）与g′（x）变化情况如下：x（﹣∞，0） 0 （0，1） 1 （1，+∞）g′（x）+ 0 ﹣ 0 +g（x）↗t+3 ↘t+1 ↗∴g（0）＝t+3是g（x）的极大值，g（1）＝t+1是g（x）的极小值．当g（0）＝t+3≤0，即t≤﹣3时，g（x）在区间（﹣∞，1]和（1，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．当g（1）＝t+1≥0，即t≥﹣1时，g（x）在区间（﹣∞，0]和（0，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．当g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1时，∵g（﹣1）＝t﹣7＜0，g（2）＝t+11＞0，∴g（x）分别在区间[﹣1，0），[0，1）和[1，2）上恰有1个零点，由于g（x）在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上单调，故g（x）分别在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上恰有1个零点．综上所述，当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切时，t的取值X围是（﹣3，﹣1）．（Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切；过点B（2，10）存在2条直线与曲线y＝f（x）相切；过点C（0，2）存在1条直线与曲线y＝f（x）相切．7．【2012年文科18】已知函数f（x）＝ax2+1（a＞0），g（x）＝x3+bx．（1）若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处有公共切线，求a，b的值；（2）当a＝3，b＝﹣9时，函数f（x）+g（x）在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值X围．【解答】解：（1）f（x）＝ax2+1（a＞0），则f′（x）＝2ax，k1＝2a，g（x）＝x3+bx，则g′（x）＝3x2+b，k2＝3+b，由（1，c）为公共切点，可得：2a＝3+b①又f（1）＝a+1，g（1）＝1+b，∴a+1＝1+b，即a＝b，代入①式，可得：a＝3，b＝3．（2）当a＝3，b＝﹣9时，设h（x）＝f（x）+g（x）＝x3+3x2﹣9x+1则h′（x）＝3x2+6x﹣9，令h'（x）＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1；∴k≤﹣3时，函数h（x）在（﹣∞，﹣3）上单调增，在（﹣3，1]上单调减，（1，2）上单调增，所以在区间[k，2]上的最大值为h（﹣3）＝28﹣3＜k＜2时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值小于28所以k的取值X围是（﹣∞，﹣3]8．【2011年文科18】已知函数f（x）＝（x﹣k）e x．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝（x﹣k+1）e x，令f′（x）＝0，得x＝k﹣1，f′（x）f（x）随x的变化情况如下：x（﹣∞，k﹣1）k﹣1 （k﹣1，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）↓﹣e k﹣1↑∴f（x）的单调递减区间是（﹣∞，k﹣1），f（x）的单调递增区间（k﹣1，+∞）；（Ⅱ）当k﹣1≤0，即k ≤1时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递增，∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（0）＝﹣k；当0＜k﹣1＜1，即1＜k＜2时，由（I）知，f（x）在区间[0，k﹣1]上单调递减，f（x）在区间（k﹣1，1]上单调递增，∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（k﹣1）＝﹣e k﹣1；当k﹣1≥1，即k≥2时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递减，∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（1）＝（1﹣k）e；综上所述f（x）min．9．【2010年文科18】设定函数f（x）x3+bx2+cx+d（a＞0），且方程f′（x）﹣9x＝0的两个根分别为1，4．（Ⅰ）当a＝3且曲线y＝f（x）过原点时，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）在（﹣∞，+∞）无极值点，求a的取值X围．【解答】解：由得f′（x）＝ax2+2bx+c因为f′（x）﹣9x＝ax2+2bx+c﹣9x＝0的两个根分别为1，4，所以（*）（Ⅰ）当a＝3时，又由（*）式得解得b＝﹣3，c＝12又因为曲线y＝f（x）过原点，所以d＝0，故f（x）＝x3﹣3x2+12x．（Ⅱ）由于a＞0，所以“在（﹣∞，+∞）内无极值点”等价于“f′（x）＝ax2+2bx+c≥0在（﹣∞，+∞）内恒成立”．由（*）式得2b ＝9﹣5a ，c ＝4a ． 又△＝（2b ）2﹣4ac ＝9（a ﹣1）（a ﹣9）解得a ∈[1，9]即a 的取值X 围[1，9] 考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：导数的概念及运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题.历年考题主要以解答题题型出现，重点考查的知识点为：导数的运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题，预测明年本考点题目会比较稳定.备考方向以知识点导数的运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知函数，若有3个零点，则k 的取值X 围为( )A ．(21e -，0) B ．(12e-，0) C ．(0，12e) D ．(0，21e ) 【答案】C 【解析】由题意，函数，要使得函数在R 上有3个零点，当0x >时，令，可得2ln xk x =， 要使得()0F x =有两个实数解，即y k =和()2ln xg x x=有两个交点，又由，令，可得x e =，当(0,)x e ∈时，()0g x '>，则()g x 单调递增； 当时，()0g x '<，则()g x 单调递减，所以当x e =时，，若直线y k =和()2ln x g x x=有两个交点，则1(0,)2k e ∈， 当0x <时，y k =和()1g x x=有一个交点，则0k >，综上可得，实数k 的取值X 围是1(0,)2e，故选C.2．已知，，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．2παβ+<B ．2παβ+=C ．αβ<D ．αβ>【答案】C 【解析】由题意，，，设，，设，，()g x ∴在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，且，()'0f x ∴<,所以()sin x f x x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭递减，αβ∴<，故选C.3．已知函数（a 为大于1的整数），若()y f x =与的值域相同，则a 的最小值是（）（参考数据：，，） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】A 【解析】，当x a >时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当0x a <<时，'()0f x >，函数()f x 单调递增，故，又当，所以函数()f x 的值域为，令因此()t a 是单调递增函数，因此当2,a a Z ≥∈时， ，令由上可知：，，由上可知函数(n)f 在0x a <<时，单调递增，在x a >时，单调递减，要想的值域为，只需，即，设，2,a a Z ≥∈，，所以当3,a a Z ≥∈时，函数()g a 单调递增，，，所以a 的最小值是5，故本题选A.4．已知实数a ，b ，c ，d 满足，则的最小值为（ ）A ．8B ．4C ．2D 2【答案】D 【解析】，∴可以看成()ln f x x =和()1g x x =+之间的最小值'1()f x x= ∴当时，即点()1,0到直线()1g x x =+的距离最小∴5．若函数在区间()1,+∞上存在零点，则实数a 的取值X 围为( )A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,∞+D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 因为函数，所以令，因为，当(1,)x ∈+∞时，，所以()0g x '>所以()g x 在(1,)+∞上为增函数，则，当120a -≥时，()0g x >，所以()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞上为增函数， 则，所以()f x 在(1,)+∞上没有零点.当120a -<时，即12a >，因为()g x 在(1,)+∞上为增函数，则存在唯一的0(1,)x ∈+∞，使得0()0g x =，且当0(1,)x x ∈时，()0g x <，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >；所以当0(1,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数，当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数，当0x x =时，，因为，当x 趋于+∞时，()f x 趋于+∞，所以在0(,)x x ∈+∞内，()f x 一定存在一个零点. 所以1(,)2a ∈+∞， 故答案选D.6．已知函数，若对任意(0,)x ∈+∞，都有成立，则实数a 的取值X 围是（ ）A ．3,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．,2eC ．3,2e D ．2,e【答案】D 【解析】 令，则，因为对任意(0,)x ∈+∞，都有成立，所以在(0,)x ∈+∞上恒成立； 即在(0,)x ∈+∞上恒成立；即在(0,)x ∈+∞上恒成立；令，(0,)x ∈+∞，则，由()0h x '=得，解得1x =-（舍）或12x =，所以，当102x <<时，，单调递减；当12x >时，，单调递增；所以，因为在(0,)x ∈+∞上恒成立，所以只需24a e -≤，解得2a e ≥-. 故选D7．已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时，有，则不等式的解集为( ) A ．B ．C ．(),2018-∞-D ．()2016,0-【答案】A 【解析】 设， 因为()f x 为R 上奇函数， 所以，即()g x 为R 上奇函数 对()g x 求导，得， 而当0x >时，有故0x >时，()0g x '>，即()g x 单调递增， 所以()g x 在R 上单调递增 不等式，即所以，解得2016x <-故选A 项.8．已知函数，则使不等式(1)0f x ->成立的x 的最小整数为（ ） A ．-3 B ．-2C ．-1D ．0【答案】D 【解析】根据题意，函数，其导数，0x ≠时，()f x '可以看成是1为首项，2x -为公比的等比数列，则有，函数()f x 在R 上为增函数， 又由， ，则函数()f x 在(2,1)--上存在唯一的零点，设其零点为t ，，又由21t -<<-，则，故不等式(1)0f x ->成立的x 的最小整数为0；故选：D ．9．直线y ax =是曲线1ln y x =+的切线，则实数a =____． 【答案】1 【解析】解：∵1ln y x =+，∴1y x'=设切点为(,1ln )m m +，得切线的斜率为1m， 所以曲线在点(),1ln m m +处的切线方程为：．即：它过原点，∴ln 0m -=，∴1m =， ∴11a m==． 故答案为：1． 10．函数与的图象上存在关于x 轴的对称点，则实数a 的取值X 围为_________． 【答案】1a 【解析】关于x 轴对称的函数为，因为函数与的图象上存在关于x 轴的对称点， 所以与的图象有交点，方程有解，即1x ae x =+有解，0a =时符合题意， 0a ≠时转化为有解， 即的图象有交点，是过定点()1,0-的直线，其斜率为1a， 设相切时，切点的坐标为(),mm e，则111m m e m ae a ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩，解得1a =，切线斜率为11a =，由图可知，当11a≥，即1a ≤且0a ≠时，的图象有交点，此时，与的图象有交点，函数与的图象上存在关于x 轴的对称点，综上可得，实数a 的取值X 围为1a ≤，故答案为1a ≤. 11．已知函数，若存在实数,()a b a b <使得，则2+a b 的最大值为________.【答案】32ln 27【解析】 作出函数图像如下：由题意，令,a b 为方程()f x m =的两个根，由图像易得01m <<； 由1xe m -=得1x e m =±，解得或，因为a b <，所以，，因此，令，01m <<， 则，因为01m <<，所以由()0g m '>得103m <<；由()0g m '<得113m <<，即函数()g m 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；所以，因此2+a b 的最大值为32ln 27. 故答案为32ln2712．已知实数a ，b ，c 满足（e 为自然对数的底数），则22a b +的最小值是_______．【答案】15【解析】 设，则，所以函数u(x)的增区间为（0，+∞），减区间为(-∞,0), 所以，即e 1x x ≥+；可知，当且仅当时取等； 因为 所以，．所以，解得，当且仅当15c =时，取等号．故答案为：1513．已知直线x t =与曲线分别交于,M N 两点，则MN 的最小值为________【答案】1. 【解析】 令，，显然为增函数，且'(0)0h =所以当(1,0)t ∈-时，单调递减； 当(1,)t ∈+∞时，单调递增.所以.故答案为1.14．曲线cos y a x =在6x π=处的切线l 的斜率为12，则切线l 的方程为_____． 【答案】【解析】解：曲线cos y a x =，可得，曲线cos y a x =在6x π=处的切线l 的斜率为12， 可得，所以1a =-. 所以切点坐标为：3(,)62π-， 则切线l 的方程为：.即：．故答案为：．15．已知函数若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的最大值是______．【答案】3ln 22- 【解析】作出()f x 的函数图象如图所示， 由，可得，即1a >，不妨设12x x <，则，令，则，，令，则，∴当18t <<时，()'0g t >，g t 在()1,8上递增；当8t 时，()'0g t <，g t 在()8,+∞上递减；∴当8t =时，g t 取得最大值,故答案为3ln 22-. 16．已知函数的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值X 围______.【答案】0a <或2a > 【解析】（1）当0a <时，()f x 在(,0]-∞上单调递减，又(0)1f =-，所以函数()f x 的图象经过第二、三象限，当0x >时，，所以，①若1a -时，()0f x '>恒成立，又当0x +→时，()2f x →，所以函数()f x 图象在0x >时，经过第一象限，符合题意；②若10a -<<时，()0f x '>在[2,)+∞上恒成立，当02x <<时，令()0f x '=，解，所以()f x 在10,3a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,23a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增， 又所以函数()f x 图象在0x >时，经过第一象限，符合题意；（2）当0a =时，()f x 的图象在(,0)-∞上，只经过第三象限，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 的图象在(0,)+∞上，只经过第一象限，故不符合题意；（3）当0a >时，()f x 在(,0)-∞上单调递增，故()f x 的图象在(,0)-∞上只经过第三象限，所以()f x 在(0,)+∞上的最小值min ()0f x <，当02x <<时，令()0f x '=，解得13a x +=， 若123a +<时，即11a <时，()f x 在(0,)+∞上的最小值为 ，令.若时，则()f x 在02x <<时，单调递减，当2x ≥时，令()0f x '=，解得13a x -=， 若，()f x 在(2,)+∞上单调递增，故()f x 在(0,)+∞上的最小值为，令，所以1113a ≤<；若，()f x 在12,3a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在上单调递增，故()f x 在(0,)+∞上的最小值为，显然，故13a ≥；结上所述：0a <或2a >. 17．已知函数.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）比较与的大小(n N +∈且)2n >，并证明你的结论.【答案】（I ）见解析；（II ）见解析 【解析】（Ⅰ）函数()f x 可化为，当0x a <<时，，从而()f x 在(0,)a 上总是递减的，当x a ≥时，，此时要考虑a 与1的大小.若1a ≥，则()0f x '≥，故()f x 在[,)a +∞上递增，若01a <<，则当1a x ≤<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，故()f x 在[,1)a 上递减， 在(1,)+∞上递增，而()f x 在x a =处连续，所以 当1a ≥时，()f x 在(0,)a 上递减，在[,)a +∞上递增；当01a <<时，()f x 在(0,1)上递减，在[1,)+∞上递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知当1a =，1x >时，，即ln 1x x >-，所以ln 11x x x<-.所以.18．已知函数．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若12,x x 为()f x 的两个极值点，证明：.【答案】（1）当2a <-时，()f x 在为增函数，减函数，为增函数；当2a ≥-时，()f x 在()0,∞+为增函数．（2）证明见解析．【解析】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，，对于函数，①当时，即22a -≤≤时，在0x >恒成立．在()0,∞+恒成立，()f x ∴在()0,∞+为增函数；②当∆>0，即2a <-或2a >时， 当2a <-时，由()0f x '>，得或，，()f x ∴在为增函数，减函数，为增函数，当2a >时，由在()0,∞+恒成立，()f x ∴在()0,∞+为增函数．综上，当2a <-时，()f x 在为增函数，减函数，为增函数；当2a ≥-时，()f x 在()0,∞+为增函数． （2）由（1）知2a <-，且，故故只需证明，令2a t =-，故1t >，原不等式等价于ln 1t t 对1t >成立， 令，所以单调递减，有得证. 19．已知函数.（Ⅰ）当1a =时，求()f x 的最大值； （Ⅱ）若1()ef x e+对恒成立，某某数a 的取值X 围.【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）[1,e] 【解析】（Ⅰ）当1a =时，，定义域为(1,)-+∞..令()0f x '=，得0x =.当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减. 所以.（Ⅱ），1x a >-.令()0f x '=，得1a x a-=. 当时，()0f x '>，()f x 单调递增；当时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以.依题意有，设，则，所以()g a 在[1,)a ∈+∞上单调递增.又，故1e a ⇒，即实数a 的取值X 围为[1,e].20．对于函数()y f x =的定义域D ，如果存在区间[],m n D ⊆，同时满足下列条件：①()f x 在上是单调函数；②当[],x m n ∈时，()f x 的值域为[]2,2m n ，则称区间是函数()f x 的“单调倍区间”．已知函数（1）若2a =，求()f x 在点()(),e f e 处的切线方程；（2）若函数()f x 存在“单调倍区间”，求a 的取值X 围．【答案】（1）；（2）【解析】 （1）当2a =时，∴当0x >时，，则：，又()f x ∴在()(),e f e 处的切线方程为：即：（2）列表如下：x(),0-∞0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭ 2a ,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x '-+-()f x极大值设函数()f x 存在“单调倍区间”是①当0m n <≤时，由()f x 在(),0-∞上单调递减，则有两式相减得：即，代入得：要使此关于,m n 的方程组在0m n <≤时有解，则使得2y a =与的图象有两个公共点当14x =时，min 38y =，当0x =时，12y =结合两函数图象，则31282a <≤，即：31164a <≤ 即此时满足()f x 存在“单调倍区间”的a 的取值X 围是31,164⎛⎤⎥⎝⎦ ②当时，由()f x 在0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则有即：1ln 41ln 4m a mn a n⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩设()ln 4xg x x=，则当()0,x e ∈时，()0g x '>，()g x 为增函数 当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，()g x 为减函数要使方程1ln 4x a x =有两解，则1y a =与()ln 4x g x x =的图象在0,2a ⎛⎤ ⎥⎝⎦有两个交点 结合两函数图象，则，即：2ln 122114ae a a a a e ⎧>⎪⎪⎪⎪≤⎨⎪⎪<⎪⎪⎩解得：即此时满足()f x 存在“在单调倍区间”的a 的取值X 围是(24,2e e ⎤⎦③当2a m n <<时，由()f x 在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，则有两式相减得：，此式不成立，即此时()f x 不存在“单调倍区间”综上，函数()f x 存在“单调倍区间”的a 的取值X 围是21．已知函数.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）当[0,1)b ∈时，设函数有最小值()h b ，求()h b 的值域.【答案】(1)见解析；(2)【解析】解：（1）()f x 定义域为，.令，①，1︒当04a ≤≤时，0∆≤，，即'()0f x ≥且不恒为零，故()f x 单调递增区间为(,4)-∞-，(4,)-+∞，2︒当4a >时，∆>0，方程①两根为，，由于，.故124x x <-<，因此当1(,)x x ∈-∞时，'()0f x >，()f x 单调递增，1(,4)x x ∈-，'()0f x <，()f x 单调递减， 2(4,)x x ∈-，'()0f x <，()f x 单调递减， 2(,)x x ∈+∞，'()0f x >，()f x 单调递增，综上，当04a ≤≤时，()f x 在(,4)-∞-单调递增，(4,)-+∞单调递增， 当4a >时，()f x 在单调递增，，单调递减；在单调递增.（2），设，由（1）知，0a =时，在(2,)-+∞单调递增， 由于(0)0k b =≥，，故在(2,0]-存在唯一0x ，使0()0k x =，，又当0(2,)x x ∈-，()0k x <，即'()0g x <，()g x 单调递减，0(,)x x ∈+∞，()0k x >，即'()0g x >，()g x 单调递增，故时，0204x e x +=+，0(2,0]x ∈-. 又设，(2,0]x ∈-，，故()m x 单调递增，故，即，即.22．已知函数（无理数 2.718e =…）．（1）若()f x 在(1,)+∞单调递增，某某数a 的取值X 围：（2）当0a =时，设，证明：当0x >时，．【答案】（1）2]-∞（，； （2）见解析.【解析】（1）解：由题意可得在1（，）+∞上恒成立． ∴， 令，则，∴函数在1（，）+∞上单调递增． ∴12a h ≤=（）． ∴实数a 的取值X 围是2]-∞（，． （2）证明：当0a =时，． ，令， 则，可得2x ln =时，函数u x （）取得极小值，． ∵00g '=（），又． ∴存在，使得． 由单调性可得：0x x =时，函数()g x 取得极小值，即最小值， ∴． 由，可得函数0y g x =（）单调递减，故． ∴当0x >时，．。
2018年北京市高考期末理科数学试题分类汇编之解析几何、极坐标参数方程
十四、圆锥曲线（一）试题细目表（二）试题解析1.（2018·海淀区期末·9）点到双曲线的渐近线的距离是．【答案】2.（2018·海淀区期末·11）设抛物线的顶点为，经过抛物线的焦点且垂直于轴的直线和抛物线交于两点，则.【答案】23.（2018·丰台区期末·13）能够说明“方程的曲线是椭圆”为假命题的一个的值是．【答案】中任取一值即为正确答案4.（2018·海淀期末·5）已知直线与圆相交于两点，且为正三角形，则实数的值为 A.B.C.或D.或【答案】D5.（2018·海淀期末·8）已知点为抛物线的焦点，点为点关(2,0)2:4C y x =O C x C ,A B ()()()()221313m x m y m m -+-=--m (]{}[),123,m ∈-∞+∞U U 0x y m -+=22:1O x y +=,A B AOB ∆m F 2:2(0)C y px p = K F于原点的对称点，点在抛物线上，则下列说法错误．．的是 A.使得为等腰三角形的点有且仅有4个 B.使得为直角三角形的点有且仅有4个 C. 使得的点有且仅有4个D. 使得的点有且仅有4个【答案】C6.（2018·丰台区期末·7）过双曲线的一个焦点作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为为坐标原点，若，则此双曲线的离心率为（ ）A．2 D【答案】C7.（2018·通州区期末·2）已知点为抛物线上一点，那么点到抛物线准线的距离是A ．B ．C ．D ． 【答案】C7.（2018·昌平区期末·11）已知直线，点是圆上的点，那么点到直线的距离的最小值是. 【答案】28.（2018·朝阳区期末·6）已知圆的圆心为.直线过点且与轴不重合，交圆于两点，点在点，之间.过作直线的平行线交直线于点，则点的轨迹是 A.椭圆的一部分B.双曲线的一部分 C.抛物线的一部分D.圆的一部分 【答案】B9.（2018·朝阳区期末·9）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线，M C MFK ∆M MFK ∆M M M F ,A O 22y px =P 234:4350l x y ++=P 22(1)(2)1x y -+-=P l 22(2)9x y -+=C l (2,0)M -x l C ,A B A M B M AC BC P P C则双曲线的渐近线方程为.【答案】10.（2018·东城区期末·13）双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为1，则；若双曲线与不同，且与有相同的渐近线，则的方程可以是. 【答案】；十五、极坐标与参数方程（一）试题细目表（二）试题解析1.（2018•西城期末·4）已知为曲线：（为参数）上的动点．设为原点，则的最大值是（A）（B）（C）（D）【答案】D2.（2018·海淀期末·2）在极坐标系中，方程表示的圆为【答案】DCy x=±b=1C C C1C1b=22(0)x yλλ-=≠M CθO OM1234Ox2sinρθ=3.（2018·丰台期末·3）在极坐标系中，方程表示的曲线是（ ） A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线 【答案】B4.（2018·通州区期末·11）在极坐标系中，已知点是以为圆心，为半径的圆上的点，那么点到极点的最大距离是_______.【答案】35.(2018·通州区期末·12)已知点的坐标是，将绕坐标原点顺时针旋转至，那么点的横坐标是_______.【答案】6.（2018·昌平区期末·10）已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，那么曲线的直角坐标方程为.【答案】7.（2018·东城区期末·12）在极坐标系中，若点在圆外，则的取值范围为. 【答案】>1十六、解析几何综合题（一）试题细目表Ox sin ρθ=A 1A P OP O OQ Q C θρsin 2=x C 22(1)1x y +-==2cos ρθmm（二）试题解析1.（2018·西城区期末·19）（本小题满分14分）已知椭圆过点，且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线交于两点．若直线上存在点，使得四边形是平行四边形，求的值．【答案】解：（Ⅰ）由题意得，，所以．[ 2分]因为，[ 3分] 所以，[ 4分] 所以椭圆的方程为．[ 5分]（Ⅱ）若四边形是平行四边形，则 ，且 .[ 6分] 所以 直线的方程为，所以 ，．[ 7分]设，．由得， [ 8分]由，得 ．且，．[ 9分]所以.．[10分](2,0)A C y kx =+C ,M N 3x =P PAMN k 2a =3c =222a b c =+1b =C PAMN //PA MN ||||PA MN =PA (2)y k x =-(3,)P k ||PA 11(,)M x y 22(,)N x y 22(41)8380k x kx +++=0∆>因为 ， 所以．整理得 ， [12分]解得 ，或 ．[13分]经检验均符合，但时不满足是平行四边形，舍去．所以 ，或 ．[14分]2. (2018·海淀区期末·18)已知椭圆，点 （Ⅰ）求椭圆的短轴长和离心率；（Ⅱ）过的直线与椭圆相交于两点，设的中点为，判断与的大小，并证明你的结论. 【答案】解：（Ⅰ）：，故，，，有，. ……………..3分椭圆的短轴长为，离心率为.……………..5分（Ⅱ）结论是：. ……………..6分设直线：，，，整理得：……………..8分故，……………..10分||||PA MN =421656330k k -+=0∆>PAMN 22:29C x y +=(2,0)P C (1,0)l C ,M N MN T C 29a =3a =C 232b =||||TP TM <l 1x my =+11(,)M x y 22(,)N x y 22(2)280m y my ++-=222(2)32(2)36640m m m ∆=++=+>……………..11分……………..12分故，即点在以为直径的圆内，故 ………..13分3.（2018·丰台区期末·19）在平面直角坐标系中，动点到点的距离和它到直线的距离相等，记点的轨迹为. （Ⅰ）求得方程；（Ⅱ）设点在曲线上，轴上一点（在点右侧）满足.平行于的直线与曲线相切于点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】解：（Ⅰ）因为动点到点的距离和它到直线的距离相等， 所以动点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线. 设的方程为，则，即.所以的轨迹方程为.（Ⅱ）设，则，所以直线的斜率为.PM PN ⋅uuu r uuu r 1212(2)(2)x x y y =--+1212(1)(1)my my y y =--+21212(1)()1m y y m y y =+-++0<90MPN ∠>︒P MN ||||TP TM <xOy P ()1,0F 1x =-P C C A C x B F AF FB =AB C D AD P ()1,0F 1x =-P ()1,0F 1x =-C 22y px =2p =C 24y x =AB设与平行，且与抛物线相切的直线为，由得，由得，所以，所以点.当，即时，直线的方程为，整理得，所以直线过点.当，即时，直线的方程为，过点，综上所述，直线过定点.4.（2018·石景山期末·19）已知椭圆离心率等于，、是椭圆上的两点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是椭圆上位于直线两侧的动点.当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说AB C 2880my y b +-=64480m b ∆=-⋅⋅=2m ≠±AD AD ()1,02m =±AD 1x =()1,0AD ()1,0(2,3)P (2,3)Q -C ,A B PQ ,A B APQ BPQ ∠=∠AB明理由.【答案】解：（Ⅰ）因为，又，所以………2分 设椭圆方程为,代入,得……4分椭圆方程为…………5分（Ⅱ）当时，斜率之和为…………6分 设斜率为，则斜率为…………7分 设方程为，与椭圆联立得代入化简得：，同理，，即直线的斜率为定值. …………14分5.（2018·通州区期末·18）已知椭圆过点，离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知点，过点作斜率为直线，与椭圆交于，两点，若轴平分，求的值．【答案】解：（Ⅰ）因为椭圆的焦点在轴上，过点，离心率，222a b c =+22224,3a c b c ==(2,3)2224,16,12c a b ===APQ BPQ ∠=∠,PA PB 0PA k PB k -PA 3(2)y k x -=-2222(34)8(32)4(4912)480k x k k x k k ++-++--=(2,3)P AB ()0,1-()1,0l M N x MPN ∠m x ()0,1-所以，……………………2分所以由，得……………………3分所以椭圆的标准方程是……………………4分（Ⅱ）因为过椭圆的右焦点作斜率为直线，所以直线的方程是.联立方程组消去，得显然 设点，，所以，……………………7分因为轴平分，所以. 所以……………………9分 所以所以所以所以所以所以……………………12分所以 因为，所以……………………13分6.（2018·房山区期末·18）已知直线过点，圆:,直线与1b =222a b c =+22.a =C F k l l (1)y k x =-y 0.∆>()22,N x y x MPN ∠MPO NPO ∠=∠0.MP NP k k +=420.k km -+=0k ≠2.m =l )1,0(P C 08622=+-+x y x l圆交于两点.（）求直线的方程；（）求直线的斜率的取值范围；（Ⅲ）是否存在过点且垂直平分弦的直线?若存在，求直线斜率的值，若不存在，请说明理由．【答案】（）设圆,圆心为， 故直线的方程为，即…………………5分（）法1：直线的方程为，则由得 由得 故…………………10分法2：直线的方程为，即，圆心为，圆的半径为1则圆心到直线的距离因为直线与有交于两点，故，故（Ⅲ）假设存在直线垂直平分于弦,此时直线过，，则 ，故的斜率，由（）可知，不满足条件所以，不存在存在直线垂直于弦。
2009至2018年北京高考真题分类汇编之集合
2009至2018年北京高考真题分类汇编之集合精心校对版△注意事项：1.本系列试题包含2009年-2018年北京高考真题的分类汇编。
2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。
3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科一 、选择题（本大题共10小题，每小题0分，共0分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1.（2013年北京高考真题数学(文)）已知集合{}1,0,1A =-，{}|11B x x =-≤<，则AB =（ ）A ．{}0B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,0,1- 2.（2012年北京高考真题数学(文)）已知集合{320}A x x =∈+>R ，{(1)(3)0}B x x x =∈+->R ，则A B =3.（2011年北京高考真题数学(文)）已知全集U=R,集合P=｛x ︱x 2≤1｝,那么A ．(-∞, -1]B ．[1, +∞）C ．[-1，1]D ．（-∞，-1] ∪[1，+∞） 4.（2009年北京高考真题数学(文)）设集合21{|2},{1}2A x xB x x =-<<=≤，则A B = （ ）A ．{12}x x -≤<B ．1{|1}2x x -<≤ C ．{|2}x x < D ．{|12}x x ≤<5.（2010年北京高考真题数学(文)）集合，则=(A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){x|0≤x<3} (D) {x|0≤x ≤3}2{03},{9}P x Z x M x R x =∈≤<=∈≤PM（A ）(,1)-∞- （B ）2(1,)3--（C ）2(,3)3-（D ）(3,)+∞姓名：__________班级：__________考号：__________ ●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●6.（2014年北京高考真题数学(文)）若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则AB =（ ）（A ）{}0,1,2,3,4 （B ）{}0,4 （C ）{}1,2 （D ）{}37.（2015年北京高考真题数学(文)）若集合A={x|﹣5＜x ＜2}，B={x|﹣3＜x ＜3}，则A∩B=（ ）A ． {x|﹣3＜x ＜2}B ． {x|﹣5＜x ＜2}C ． {x|﹣3＜x ＜3}D ． {x|﹣5＜x ＜3}8.（2016年北京高考真题数学(文)）已知集合{|24},{|3>5}A x x B x x x =<<=<或，则AB =（A ）{|2<<5}x x （B ）{|<45}x x x >或（C ）{|2<<3}x x （D ）{|<25}x x x >或 9.（2017年北京高考真题数学(文)）已知U =R ，集合{|22}A x x x =<->或，则（A ）(2,2)- （B ）(,2)(2,)-∞-+∞（C ）[2,2]- （D ）(,2][2,)-∞-+∞ 10.（2018年北京高考真题数学(文)）已知集合A ={x||x |<2},B ={−2,0,1,2},则AB =（A ）{0,1}（B ）{−1,0,1} （C ）{−2,0,1,2}（D ）{−1,0,1,2}二 、填空题（本大题共2小题，每小题0分，共0分）11.（2009年北京高考真题数学(文)）设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A-∉且1k A +∉，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定{1,2,3,4,5,6,7,8,}S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.12.（2015年北京高考真题数学(文)）如图，△ABC 及其内部的点组成的集合记为D ，P （x ，y ）为D 中任意一点，则z=2x+3y 的最大值为 ．2009至2018年北京高考真题分类汇编之集合答案解析一、选择题1.B2.D3.D4.A5.B6.C7.A8.C9.C10.A二、填空题11.612.7。
[2014-2018]北京高考数学真题分类汇编 专题三 导数及其应用
专题三 导数及其应用1．（2018北京）设函数f （x ）＝[ax 2﹣（4a +1）x +4a +3]e x ．（Ⅰ）若曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线与x 轴平行，求a ； （Ⅱ）若f （x ）在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围． 2．（2017北京）已知函数f （x ）＝e x cos x ﹣x ．（1）求曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； （2）求函数f （x ）在区间[0，]上的最大值和最小值．3. （2016北京）设函数f （x ）＝xe a ﹣x +bx ，曲线y ＝f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为y ＝（e ﹣1）x +4， （Ⅰ）求a ，b 的值； （Ⅱ）求f （x ）的单调区间． 4. （2015北京）已知函数f （x ）＝ln，（Ⅰ）求曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； （Ⅱ）求证，当x ∈（0，1）时，f （x ）；（Ⅲ）设实数k 使得f （x ）对x ∈（0，1）恒成立，求k 的最大值．5. （2014北京）已知函数f （x ）＝x cos x ﹣sin x ，x ∈[0，] （1）求证：f （x ）≤0； （2）若ab 对x ∈（0，）上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值．6. （2013北京）设l 为曲线:lnxC y x=在点(1,0)处的切线． （Ⅰ）求l 的方程；（Ⅱ）证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方．7. （2012北京）已知函数2()1(0)f x ax a =+>，3()g x x bx =+（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求a 、b 的值； （2）当24a b =时，求函数()()f x g x +的单调区间，并求其在区间(,1)-∞-上的最大值 8. （2011北京）已知函数2()()x kf x x k e =-． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有1()f x e，求k 的取值范围 9. （2010北京）已知函数2()(1)(0)2k f x ln x x x k =+-+． （Ⅰ）当2k =时，求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 的单调区间．专题三 导数及其应用答案部分1．（2018北京）（Ⅰ）函数f （x ）＝[ax 2﹣（4a +1）x +4a +3]e x 的导数为 f ′（x ）＝[ax 2﹣（2a +1）x +2]e x ．由题意可得曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线斜率为0， 可得（a ﹣2a ﹣1+2）e ＝0，且f （1）＝3e ≠0， 解得a ＝1；（Ⅱ）f （x ）的导数为f ′（x ）＝[ax 2﹣（2a +1）x +2]e x ＝（x ﹣2）（ax ﹣1）e x ， 若a ＝0则x ＜2时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增；x ＞2，f ′（x ）＜0，f （x ）递减． x ＝2处f （x ）取得极大值，不符题意； 若a ＞0，且a，则f ′（x ）（x ﹣2）2e x ≥0，f （x ）递增，无极值；若a ，则2，f （x ）在（，2）递减；在（2，+∞），（﹣∞，）递增，可得f （x ）在x ＝2处取得极小值；若0＜a，则2，f（x）在（2，）递减；在（，+∞），（﹣∞，2）递增，可得f（x）在x＝2处取得极大值，不符题意；若a＜0，则2，f（x）在（，2）递增；在（2，+∞），（﹣∞，）递减，可得f（x）在x＝2处取得极大值，不符题意．综上可得，a的范围是（，+∞）．2．（2017北京）（1）函数f（x）＝e x cos x﹣x的导数为f′（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，可得曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k＝e0（cos0﹣sin0）﹣1＝0，切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1；（2）函数f（x）＝e x cos x﹣x的导数为f′（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，令g（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，则g（x）的导数为g′（x）＝e x（cos x﹣sin x﹣sin x﹣cos x）＝﹣2e x•sin x，当x∈[0，]，可得g′（x）＝﹣2e x•sin x≤0，即有g（x）在[0，]递减，可得g（x）≤g（0）＝0，则f（x）在[0，]递减，即有函数f（x）在区间[0，]上的最大值为f（0）＝e0cos0﹣0＝1；最小值为f（）cos．3．（2016北京）（Ⅰ）∵y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y＝（e﹣1）x+4，∴当x＝2时，y＝2（e﹣1）+4＝2e+2，即f（2）＝2e+2，同时f′（2）＝e﹣1，∵f（x）＝xe a﹣x+bx，∴f′（x）＝e a﹣x﹣xe a﹣x+b，则，即a＝2，b＝e；（Ⅱ）∵a＝2，b＝e；∴f（x）＝xe2﹣x+ex，∴f′（x）＝e2﹣x﹣xe2﹣x+e＝（1﹣x）e2﹣x+e＝（1﹣x+e x﹣1）e2﹣x，∵e2﹣x＞0，∴1﹣x+e x﹣1与f′（x）同号，令g（x）＝1﹣x+e x﹣1，则g′（x）＝﹣1+e x﹣1，由g′（x）＜0，得x＜1，此时g（x）为减函数，由g′（x）＞0，得x＞1，此时g（x）为增函数，则当x＝1时，g（x）取得极小值也是最小值g（1）＝1，则g（x）≥g（1）＝1＞0，故f′（x）＞0，即f（x）的单调区间是（﹣∞，+∞），无递减区间．4. （2015北京）（1）因为f（x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x）所以又因为f（0）＝0，所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝2x．（2）证明：令g（x）＝f（x）﹣2（x），则g'（x）＝f'（x）﹣2（1+x2），因为g'（x）＞0（0＜x＜1），所以g（x）在区间（0，1）上单调递增．所以g（x）＞g（0）＝0，x∈（0，1），即当x∈（0，1）时，f（x）＞2（x）．（3）由（2）知，当k≤2时，f（x）对x∈（0，1）恒成立．当k ＞2时，令h （x ）＝f （x ），则h '（x ）＝f '（x ）﹣k （1+x 2），所以当时，h '（x ）＜0，因此h （x ）在区间（0，）上单调递减．当时，h （x ）＜h （0）＝0，即f （x ）．所以当k ＞2时，f （x ）并非对x ∈（0，1）恒成立．综上所知，k 的最大值为2． 6. （2013北京）（Ⅰ）lnxy x=∴21lnxy x -'=l ∴的斜率1|1x k y =='= l ∴的方程为1y x =-证明：（Ⅱ）令()(1)f x x x lnx =--，(0)x > 曲线C 在直线l 的下方，即()(1)0f x x x lnx =-->， 则1(21)(1)()21x x f x x x x+-'=--=()f x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，又f （1）0= (0,1)x ∴∈时，()0f x >，即1lnxx x <- (1,)x ∈+∞时，()0f x >，即1lnxx x<- 即除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方7. （2012北京）（1）2()1(0)f x ax a =+>，则()2f x ax '=，12k a =，3()g x x bx =+，则2()3g x x b '=+，23k b =+， 由(1,)c 为公共切点，可得：23a b =+① 又f （1）1a =+，g （1）1b =+，11a b ∴+=+，即a b =，代入①式可得：33a b =⎧⎨=⎩． （2）由题设24a b =，设3221()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++则221()324h x x ax a '=++，令()0h x '=，解得：12ax =-，26a x =-；0a >，∴a a-<-，∴原函数在(,)2a -∞-单调递增，在(,)26a a --单调递减，在(,)6a -+∞上单调递增①若12a--，即02a <时，()h x 在(-∞，1]-递增，无最大值； ②若126a a -<-<-，即26a <<时，最大值为()12ah -=；③若16a --时，即6a 时，最大值为()12ah -=． 综上所述：当(0a ∈，2]时，无最大值；当(2,)a ∈+∞时，最大值为()12ah -=．8. （2011北京）（Ⅰ）22211()2()()()x x xkk k f x x k e x k e x k e k k'=-+-=-，令()0f x '=，得x k =±当0k >时，()()f x f x '随x 的变化情况如下：所以，()f x 的单调递增区间是(,)k -∞-，和(,)k +∞，单调递减区间是(,)k k -； 当0k <时，()()f x f x '随x 的变化情况如下：所以，()f x 的单调递减区间是(,)k -∞，和(,)k -+∞，单调递增区间是(,)k k -； （Ⅱ）当0k >时，有11(1)k kf k ee++=>，不合题意， 当0k <时，由()I 知()f x 在(0,)+∞上的最大值是24()k f k e-=，∴任意的(0,)x ∈+∞，1()f x e，241()k f k e e ⇔-=，解得102k -<，故对于任意的(0,)x ∈+∞，都有1()f x e ，k 的取值范围是102k -<．9. （2010北京）()I 当2k =时，21()(1),()121f x ln x x x f x x x'=+-+=-++ 由于3(1)(2),(1)2f ln f '==所以曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为 32(1)2y ln x -=-．即322230x y ln -+-=1()()1(1)1II f x kx x x'=-+>-+ 当0k =时，()1x f x x'=-+ 因此在区间(1,0)-上，()0f x '>；在区间(0,)+∞上，()0f x '<； 所以()f x 的单调递增区间为(1,0)-，单调递减区间为(0,)+∞； 当01k <<时，(1)()01x kx k f x x +-'==+，得1210,0kx x k-==>；因此，在区间(1,0)-和1(,)k k -+∞上，()0f x '>；在区间1(0,)kk -上，()0f x '<；即函数()f x 的单调递增区间为(1,0)-和1(,)k k -+∞，单调递减区间为1(0,)kk-；当1k =时，2()1x f x x'=+．()f x 的递增区间为(1,)-+∞当1k >时，由(1)()01x kx k f x x +-'==+，得1210,(1,0)kx x k-==∈-；因此，在区间1(1,)k k --和(0,)+∞上，()0f x '>，在区间1(,0)k k-上，()0f x '<； 即函数()f x 的单调递增区间为1(1,)k k --和(0,)+∞，单调递减区间为1(,0)kk-．。
十年高考分类北京高考数学试卷精校版含详解3函数部分
十年高考分类北京高考数学试卷精校版含详解——3函数部分一、选择题（共41小题；共205分）1. 若集合M=y y=2x，P= y y=x−1，则M∩P= A. y y>1B. y y≥1C. y y>0D. y y≥02. 下列函数中为偶函数的是 A. y=x2sin xB. y=x2cos xC. y=ln xD. y=2−x3. 设集合A=x x2−1>0，B=x log2x>0，则A∩B等于 A. x x>1B. x x>0C. x x<−1D. x x<−1或x>14. 给定函数：①y=x 12，②y=log1x+1，③y= x−1，④y=2x+1，其中在区间0,1上单调递减的函数序号是 A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④5. 函数f x=x和g x=x2−x的递增区间依次是 A. −∞,0，−∞,1B. −∞,0，1,+∞C. 0,+∞，−∞,1D. 0,+∞，1,+∞6. 已知x∈R，y∈R，且x>y>0，则 A. 1x −1y>0 B. sin x−sin y>0C. 12x−12y<0 D. ln x+ln y>07. 下列函数中，既是偶函数又在区间0,+∞上单调递减的是 A. y=1xB. y=e−xC. y=−x2+1D. y=lg x8. 函数y=−1−x x≤1的反函数是 A. y=x2−1−1≤x≤0B. y=x2−10≤x≤1C. y=1−x2x≤0D. y=1−x20≤x≤19. 若f x=x−1x，则方程f4x=x的根是 A. −2B. 2C. −12D. 1210. 函数y=lg x A. 是偶函数，在区间−∞,0上单调递增B. 是偶函数，在区间−∞,0上单调递减C. 是奇函数，在区间0,+∞上单调递增D. 是奇函数，在区间0,+∞上单调递减11. 已知f x6=log2x，那么f8等于 A. 43B. 8C. 18D. 1212. 已知函数 f x =6x −log 2x ，在下列区间中，包含 f x 零点的区间是 A. 0,1B. 1,2C. 2,4D. 4,+∞13. 下列函数中，在区间 0,+∞ 上为增函数的是 A. y = x +1B. y = x −1 2C. y =2−xD. y =log 0.5 x +114. 下列函数中，定义域是 R 且为增函数的是 A. y =e −xB. y =x 3C. y =ln xD. y = x15. 如果 log 1x <log 1y <0，那么 A. y <x <1B. x <y <1C. 1<x <yD. 1<y <x16. 若 a =20.5,b =log π3,c =log 2sin2π5，则 A. a >b >cB. b >a >cC. c >a >bD. b >c >a17. 根据统计，一名工人组装第 x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为f x =x x <AAx ≥AA ,c 为常数 ．已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟，组装第 A 件产品用时15 分钟，那么 c 和 A 的值分别是 A. 75，25B. 75，16C. 60，25D. 60，1618. "函数 f x x ∈R 存在反函数"是"函数 f x 在 R 上为增函数"的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件19. 函数 f x = x −1 2+1 x <1 的反函数为 A. f −1 x =1+ x −1 x >1B. f −1 x =1− x −1 x >1C. f −1 x =1+ x −1 x ≥1D. f −1 x =1− x −1 x ≥1 20. 若 a =log 3π，b =log 76，c =log 20.8，则 A. a >b >cB. b >a >cC. c >a >bD. b >c >a21. 函数 f x =a x a >0 且 a ≠1 对于任意的实数 x ,y 都有 A. f xy =f x f yB. f xy =f x +f yC. f x +y =f x f yD. f x +y =f x +f y 22. 若集合 M = y y =2−x ，P = y y = x −1 ，则 M ∩P = A. y y >1B. y y ≥1C. y y >0D. y y ≥023. 设 y 1=40.9，y 2=80.44，y 3= 12−1.5，则 A. y 3>y 1>y 2B. y 2>y 1>y 3C. y 1>y 2>y 3D. y 1>y 3>y 224. 如图，函数 f x 的图象为折线 ACB ，则不等式 f x ≥log 2 x +1 的解集是 A. x−1<x≤0B. x−1≤x≤1C. x−1<x≤1D. x−1<x≤225. 若a，b是非零向量，且a⊥b，a≠b，则函数f x= xa+b⋅ xb−a是 A. 一次函数且是奇函数B. 一次函数但不是奇函数C. 二次函数且是偶函数D. 二次函数但不是偶函数26. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48）A. 1033B. 1053C. 1073D. 109327. 已知函数f x=3x−13x，则f x A. 是奇函数，且在R上是增函数B. 是偶函数，且在R上是增函数C. 是奇函数，且在R上是减函数D. 是偶函数，且在R上是减函数28. 已知函数f x=3x−13x，则f x A. 是偶函数，且在R上是增函数B. 是奇函数，且在R上是增函数C. 是偶函数，且在R上是减函数D. 是奇函数，且在R上是减函数29. 为了得到函数y=lg x+310的图象，只需把函数y=lg x的图象上所有的点 A. 向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B. 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C. 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D. 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度30. 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为"可食用率"．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a,b,c是常数），下图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为 A. 3.50分钟B. 3.75分钟C. 4.00分钟D. 4.25分钟31. 函数f x的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x关于y轴对称，则f x=A. e x+1B. e x−1C. e−x+1D. e−x−132. 函数f x=x 12−12x的零点个数为 A. 0B. 1C. 2D. 333. 已知f x=3a−1x+4a,x<1log a x,x≥1是−∞,+∞上的减函数，那么a的取值范围是 A. 0,1B. 0,13C. 17,13D. 17,134. 函数f x=11−x1−x的最大值是 A. 45B. 54C. 34D. 4335. 某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量升加油时的累计里程千米2015 年 5 月 1 日12350002015 年 5 月 15 日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 A. 6升B. 8升C. 10升D. 12升36. 函数f x=x2−2ax−3在区间1,2上存在反函数的充分必要条件是 A. a∈−∞,1B. a∈2,+∞C. a∈1,2D. a∈−∞,1∪2,+∞37. 若实数x,y满足x−y+1≥0,x+y≥0,x≤0,则z=3x+2y的最小值是 A. 0B. 1C. 3D. 938. 函数f x=3x0<x≤2的反函数的定义域为 A. 0,+∞B. 1,9C. 0,1D. 9,+∞39. 汽车的“燃油效率”，是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是 A. 消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油40. 对于函数①f x=lg x−2+1；②f x=x−22；③f x=cos x+2，判断如下三个命题的真假：命题甲：f x+2是偶函数；命题乙：f x在−∞,2上是减函数，在2,+∞上是增函数；命题丙：f x+2−f x在−∞,+∞上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是 A. ①③B. ①②C. ③D. ②41. 设不等式组x+y−11≥0,3x−y+3≥0,5x−3y+9≤0表示的平面区域为D，若指数函数y=a x的图象上存在区域D内的点，则a的取值范围是 A. 1,3B. 2,3C. 1,2D. 3,+∞二、填空题（共26小题；共130分）42. 已知函数f x，g x分别由下表给出x123f x211x123g x321则f g1的值为；当g f x=2时，x=．43. 方程lg x2+2=lg x+lg3的解是．44. 函数f x=lg1+x2，g x=2− x， x=lg2x中，其中是偶函数．45. 已知函数f(x)=a x−4a+3的反函数的图象经过点(−1,2)，那么a的值等于．46. 若f−1(x)为函数f(x)=lg(x+1)的反函数，则f−1(x)的值域是．47. 若f−1(x)为函数f(x)=lg(x−1)的反函数，则f−1(x)的值域是．48. 函数f x=xx−1x≥2的最大值为．49. 已知函数f x=3x,x≤1−x,x>1，若f x=2，则x=．50. 函数f x=log12x,x≥1,2x,x<1,的值域为．51. 2−3，312，log25三个数中最大的数是．52. 已知函数f x=lg x，若f ab=1，则f a2+f b2=．53. 设f x是偶函数．若曲线y=f x在点1,f1处的切线的斜率为1，则该曲线在点−1,f−1处的切线的斜率为．54. 在函数f x=ax2+bx+c中，若a,b,c成等比数列，且f0=−4，则f x有最值（填＂大＂或＂小＂），且该值为．55. 方程lg(4x+2)=lg2x+lg3的解是．56. 已知函数f x=2x,x≥2,x−13,x<2,若关于x的方程f x=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是．57. 据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b，2003年产生的垃圾量为a吨．由此预测，该区下一年的垃圾量为吨，2008年的垃圾量为吨．58. 已知函数f x=x2−cos x，对于 −π2,π2上的任意x1、x2，有如下条件：①x1>x2；②x12>x22；③x1>x2．其中能使f x1>f x2恒成立的条件序号是．59. 若函数f x=1x,x<0,13x,x≥0,则不等式f x≥13的解集为．60. 设函数f x=x3−3x,x≤a,−2x,x>a,①若a=0，则f x的最大值；②若f x无最大值，则实数a的取值范围是．61. 将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为．62. 已知函数f x=2x,x≥2,x−1,x<2,若关于x的方程f x=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是．63. 在函数f x=lg1+x2，g x=x+2,x<−1,0,x ≤1,−x+2,x>1,x=tan2x中，为偶函数的是．64. 对于函数f x定义域中任意的x1,x2x1≠x2，有如下结论：①f x1+x2=f x1⋅f x2；②f x1⋅x2=f x1+f x2；③f x1−f x2x1−x2>0；④f x1+x22<f x1+f x22．当f x=lg x时，上述结论中正确结论的序号是．65. 函数f x=2x−a,x<1, 4x−a x−2a,x≥1.①若a=1，则f x的最小值为；②若f x恰有2个零点，则实数a的取值范围是．66. 如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点P x,y的纵坐标与横坐标的函数关系是y=f x，则f x的最小正周期为；y=f x在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为．说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包含沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动是指以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形PABC可以沿着x轴负方向滚动．67. 已知f x=m x−2m x+m+3，g x=2x−2．若同时满足条件：①∀x∈R，f x<0或g x<0；②∃x∈−∞,−4,f x g x<0，则m的取值范围是．三、解答题（共17小题；共221分）68. 解不等式：log12x2−x−2>log12x−1−1．69. 某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车?（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?70. 设函数f x=x22−k ln x，k>0．（1）求f x的单调区间和极值；（2）证明：若f x存在零点，则f x在区间1,e上仅有一个零点．71. 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x0<x<1，则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x．已知年利润=（出厂价−投入成本）×年销售量．（1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；（2）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内?72. 某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元?（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=f x的表达式；（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元?如果订购1000个，利润又是多少元?（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价−成本）73. 某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．（1）设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P=f x的表达式；（2）当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元?（服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价−成本）74. 设函数f x=lg x，若0<a<b且f a>f b，证明：ab<1．a>b>0，求f x的单调区间，并证明f x在其单调区间上的单调性．75. 设函数f x=x+ax+b76. 解不等式：log2x2−x−2>log22x−2.77. 某地区上年度电价为0.8 元 /kw⋅h，年用电量为a kw⋅h．本年度计划将电价降到0.55 元 /kw⋅h至0.75 元 /kw⋅h之间，而用户期望电价为0.4 元 /kw⋅h．经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）．该地区电力的成本价为0.3 元 / kw⋅h．（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；（2）设k=0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20% ?注：（收益=实际用电量×（实际电价−成本价））．78. 已知函数y=kx与y=x2+2x≥0的图象相交于不同两点A x1,y1，B x2,y2，l1,l2分别是y=x2+2x≥0的图象在A,B两点的切线，M,N分别是l1,l2与x轴的交点．（1）求k的取值范围；（2）设t为点M的横坐标，当x1<x2时，写出t以x1为自变量的函数式，并求其定义域和值域；（3）试比较 OM 与 ON 的大小，并说明理由（O是坐标原点）．79. 某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费200元．（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车?（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少元?80. 有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=13 km，BC=10 km．今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处．（建立坐标系如图）（1）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处?（2）若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处?81. 当0<a<1时，解关于x的不等式a2x−1<a x−2．82. 已知函数f x=6cos4x+5sin2x−4cos2x，求f x的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域．83. 已知函数f x=2x3−3x．（1）求f x在区间−2,1上的最大值；（2）若过点P1,t存在3条直线与曲线y=f x相切，求t的取值范围；（3）问过点A−1,2，B2,10，C0,2分别存在几条直线与曲线y=f x相切?（只需写出结论）84. 函数f x是定义在0,1上的增函数，满足f x=2f x2且f1=1，在每个区间1 2i ,12i−1i=1,2,⋯上，y=f x的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分．（1）求f0及f12，f14的值，并归纳出f12i=1,2,⋯的表达式；（2）设直线x=12，x=12，x轴及y=f x的图象围成的梯形的面积为a i i=1,2,⋯，记S k=limn→∞a1+a2+⋯+a n，求S k的表达式，并写出其定义域和最小值．答案第一部分1. C 【解析】y=2x的值域为y>0，y=x−1的值域为y≥0．所以M∩P=y y>0．2. B3. A4. B5. C【解析】首先作出函数f x= x 与g x=x2−x=−x2+2x=−x−12+1的图象（如图所示），利用图象分别确定其单调区间．y= x 的递增区间为0,+∞，y=x2−x的单调递增区间为−∞,1．6. C 【解析】A 取x=2，y=1排除；B 取x=2π，y=π排除；D 取x=1，y=12排除；C 由单调性可知12x<12y移项正确．7. C 8. C 9. D 【解析】f4x=4x−14x ，依题意，有4x−14x=x．解得：x=12．10. B【解析】由函数图象的变换能画出y=\lg{|x|}的图象，如下图所示：由图象可看出选B．11. D 【解析】由题可知，x>0，令x6=8，得x=816=212，所以f8=log2212=12．12. C 13. A 14. B 15. D【解析】由log12x<log12y<0=log121，根据对数函数的单调性可得x>y>1．16. A 【解析】a>1>b>0>c．17. D 【解析】f x=x 在0,A上是减函数，所以由题意可得f4=4=30,f A=A=15,解得c=60，A=16．18. B 19. B 20. A【解析】a>1>b>0>c．21. C 22. C 23. D 24. C 【解析】方法一：由图象可得f x=2x+2,−1≤x≤0−x+2,0<x≤2，所以f x≥log2x+1等价于−1≤x≤0,2x+2≥log2x+1或0<x≤2,−x+2≥log2x+1.当−1≤x≤0时，0≤2x+2≤2，则log2x+1≤0,x+1>0,所以−1<x≤0．当0<x≤2时，令y1=−x+2，y2=log2x+1，则由y1=y2，得x=1．结合函数y=−x+2−log2x+1的单调性（该函数在定义域上单调递减）知0<x≤1．综上，原不等式的解集为x−1<x≤1．方法二：令g x=log2x+1，作出g x的图象，如图．当f x=g x时，x=1，又x+1>0，所以由f x≥g x，得−1<x≤1．25. A【解析】f x= − a2+b 2⋅x，因此f x为一次函数且为奇函数．26. D 【解析】由题意：M≈3361，N≈1080，根据对数性质有：3=10lg3≈100.48，所以M≈3361≈100.48361≈10173，所以MN ≈1017310=1093．27. A 【解析】f x=3x−13x=3x−3−x，所以f−x=3−x−3x=−f x，即函数f x为奇函数，又由函数y=3x为增函数，y=13x为减函数，故函数f x=3x−13x为增函数．28. B 【解析】f x=3x−13x=3x−3−x，所以f−x=3−x−3x=−f x，即函数f x为奇函数，又由函数y=3x为增函数，y=13x为减函数，故函数f x=3x−13x为增函数．29. C 【解析】提示：函数可化为y=lg x+310=lg x+3−1．30. B【解析】答案：B31. D 【解析】依题意，f x向右平移1个单位之后得到的函数应为y=e−x，于是f x相当于y=e−x向左平移1个单位的结果，所以f x=e−x−1．32. B 【解析】可以转化为求两个函数图象的交点个数．33. C 【解析】3a−1<0 0<a<1 7a−1≥0⇔17≤a<1334. D 【解析】∵x1−x≤x+1−x22=14，∴−x1−x≥−14，1−x1−x≥34，∴0<11−x1−x≤43．当且仅当x=1−x时，函数取得最大值．35. B【解析】汽车每次加油时把油箱加满，第二次加油48升，说明这段时间总消耗油量为48升，这段时间内汽车行驶的里程为600千米，所以每100千米平均耗油量为48÷6=8升．36. D 【解析】提示：函数存在反函数的充要条件是函数是单调的．37. B 【解析】x+2y的最小值在0,0处取到，故z的最小值为1．38. B 39. D 【解析】乙车的燃油效率可以大于5，即消耗1升汽油可以行驶大于5千米的路程，故A错误；以相同的速度行驶相同的里程，甲车的燃油消耗率最高，因此以相同的的速度行驶相同的里程，甲车的消耗汽油最少，B错误；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故C错误；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此在相同的条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，所以D正确．40. D【解析】对于①f x=lg x−2+1：可使命题甲、乙为真．∵f x+2−f x=lg x+1−lg x−2+1在−∞,+∞上不是增函数，∴不能使命题丙为真；对于③f x=cos x+2：∵f x+2=cos x+4不是偶函数，∴③不能使命题甲为真．（③亦不能使命题乙、丙为真）41. A 【解析】作出不等式组x+y−11≥0,3x−y+3≥0,5x−3y+9≤0所表示的平面区域D，如图阴影部分所示：要使指数函数y=a x的图象上存在区域D内的点，则有a>1，当指数函数y=a x的图象过点B2,9时，相应的a值最大，此时a=3，即a∈1,3．第二部分42. 1，143. x1=1,x2=244. f x、g x45. 246. (−1,+∞)47. (1,+∞)48. f2=2【解析】f x=xx−1=x−1+1x−1=1+1x−1，所以f x在2,+∞上是单调递减的，最大值是f2=2．49. log3250. −∞,2【解析】当x≥1时，log1x≤0，当x<1时，0<2x<2，故函数的值域是−∞,2．51. log2552. 253. −1【解析】由偶函数的图象关于y轴对称知，在对称点处的切线也关于y轴对称，故所求切线的斜率为−1．54. 大，−355. x1=0,x2=156. 0,1【解析】函数f x的图象如图所示，原方程有两个不同根等价于f x的图象与直线y=k有两个不同的交点，结合图形，得0<k<1．57. a(1+b)，a(1+b)558. ②【解析】f x为偶函数，且当x∈0,π2时，y=x2与y=−cos x都是增函数，故f x在0,π2上单调递增，故在 −π2,0上单调递减．所以要使f x1>f x2，则x1>x2，故②正确．59. −3,1【解析】画出f(x)图象，根据图象与函数值为±13的点求得解集．结合图象知当−3≤x<0或0≤x≤1时，有f x≥13．60. ①2，②−∞,−1【解析】①当a=0时，函数变为f x=x3−3x,x≤0,−2x,x>0,当x≤0时，fʹx=3x2−3，在−∞,−1单增，在−1,0单减．所以x≤0时，f x的最大值是f−1=2；x>0时，f x单减，f x<0，所以若a=0，则f x的最大值为2．②函数的最大值只会在三个位置取到——极大值点、端点以及断点．fʹx=3x 2−3,x≤a,−2,x>a,因为fʹx=3x2−3，在−∞,−1单增，存在最大值为2，所以当a≥−1时，f−1=2，在−1,+∞上，f x<2．所以会有最大值为2．而题目要求不存在最大值，所以f−1=2是无法取到的，所以−∞,−1．61. 4π+4【解析】设正方形的边长为a，圆的半径为r，则4a+2πr=1，于是r=1−4a2π．面积之和S=a2+πr2=14π16+4πa2−8a+1．于是当a=14+π时，面积之和有最小值．62. 0,1【解析】方程f x=k的根就是函数y=f x与y=k图象交点的横坐标，当0<k<1时，它们有两个交点，从而方程f x=k有两个不同的实根．63. f x和g x【解析】用定义判断y=f x为偶函数；画出y=g x的图象，其图象关于y轴对称，则y=g x为偶函数；用定义判断y= x为奇函数．64. ②③【解析】对于①中的函数方程适合指数函数；对于②中的函数方程，类似对数的运算法则，f x=lg x满足它；对于③的形式，实际上是增函数的等价定义，f x=lg x满足它；对于④的形式，体现函数图像的下凸性，而f x=lg x的图像是上凸的，所以f x=lg x不满足它．65. −1， a12≤a<1 或a≥2【解析】①当a=1时，f x=2x−1,x<1,4x−1x−2,x≥1.，当x<1时，f x∈−1,1；当x≥1时，f x∈−1,+∞，所以a=1时，f x的最小值为−1．②因为2x−a=0最多有一个零点，所以f x恰有两个零点，包括：x<1时无零点，x≥1时有两个零点a,2a；x<1与x≥1时各有一个零点．前者需满足a≥1，且log2a≥1，解得a≥2；后者需满足log2a<1，a<1，且2a≥1，解得12≤a<1．综上知，a的取值范围是 a12≤a<1 或a≥2．66. 4，π+1【解析】当0≤x≤1时，x−12+y2=1；当1<x≤3时，x−22+y2=2；当3<x≤4时，x−32+y2=1．故其在一个周期内的函数y=f x的图象如图所示，所以y=f x在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为S=14×π×1×2+14×π×22+12×1×1×2=π+1.67. −4,−2【解析】满足题意的大致图象如下：对于①，当x<1时，g x<0．因为∀x∈R，f x<0或g x<0，所以f x=m x−2m x+m+3<0在x≥1时恒成立．由二次函数的性质，可知抛物线开口只能向下，且与x轴的交点都在1,0的左侧，于是m<0,−m−3<1,2m<1,解得−4<m<0．又因为∃x∈−∞,−4,f x g x<0，而此时g x=2x−2<0恒成立，所以f x=m x−2m x+m+3>0在x∈−∞,−4时有成立的可能，从而只要−4比x1、x2中的较小的根大即可．（1）当−1<m<0时，−m−3<−4不成立；（2）当m=−1时，有两个等根，不成立；（3）当−4<m<−1时，2m<−4，即m<−2成立．综上，可得①②成立时，则有−4<m<−2．第三部分68. 原不等式变形为log12x2−x−2>log122x−2．所以，原不等式⇔x2−x−2>0x−1>0x2−x−2<2x−2⇔x−2x+1>0 x−1>0x2−3x<0⇔x>20<x<3⇔2<x<3故原不等式的解集为x2<x<3．69. （1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为3600−300050=12，所以这时租出了88辆车．（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为f x=100−x−300050x−150−x−300050×50，整理得f x=−x250+162x−21000=−150x−40502+307050.所以，当x=4050时，f x最大，最大值为f4050=307050，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元．70. （1）由f x=x22−k ln x（k>0），得x>0且fʹx=x−kx=x2−kx．由fʹx=0，解得x=f x与fʹx在区间0,+∞上的情况如下：x0, k k k,+∞fʹx−0+f x↘k1−ln k2↗所以，f x的单调递减区间是0,，单调递增区间是+∞ ．f x在x=处取得极小值f k =k1−ln k2．（2）由（1）知，f x在区间0,+∞上的最小值为f k =k1−ln k2．因为f x存在零点，所以k1−ln k2≤0，从而k≥e．当k=e时，f x在区间1,e上单调递减，且f e=0，所以x=e是f x在区间1,e上的唯一零点．当k>e时，f x在区间1,e上单调递减，且f1=12>0，f e=e−k2<0．所以f x在区间1,e上仅有一个零点．综上可知，若f x存在零点，则f x在区间1,e上仅有一个零点．71. （1）由题意得：y= 1.2×1+0.75x−1×1+x×1000×1+0.6x0<x<1，整理得：y=−60x2+20x+2000<x<1．（2）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当y− 1.2−1×1000>0,0<x<1,即−60x2+20x>0,0<x<1.解不等式得0<x<1 .答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足0<x<0.33．72. （1）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则x0=100+60−510.02=550.因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．（2）当0<x≤100时，P=60；当100<x<550时，P=60−0.02x−100=62−x50；当x≥550时，P=51，所以P=f x=60,0<x≤100,62−x50,100<x<550,x∈N 51,x≥550,（3）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则L=P−40x=20x,0<x≤100,22x−x250,100<x<550,x∈N 11x,x≥550,所以，当x=500时，L=6000；当x=1000时，L=11000．因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，则利润是11000元．73. （1）当0<x≤100时，P=60；当100<x≤500时，P=60−0.02x−100=62−x50．所以P=f x=60,0<x≤100,62−x50,100<x≤500.x∈N（2）设销售商的一次订购量为x件时，工厂获得的利润为L元，则L=P−40x=20x,0<x≤100,22x−x2,100<x≤500.x∈N当x=450时，L=5850．因此，当销售商一次订购了450件服装时，该厂获利的利润是5850元．74. 由已知f x=lg x=lg x x≥1,−lg x0<x<1.因为0<a<b,f a>f b，所以a,b不能同时在区间1,+∞上，又由于0<a<b，故必有a∈0,1；若b∈0,1，显然有ab<1；若b∈1,+∞，由f a−f b>0，有−lg a−lg b>0，故lg ab<0，所以ab<1．75. 函数f x=x+ax+b的定义域为−∞,−b∪−b,+∞．f x在−∞,−b内是减函数，f x在−b,+∞内也是减函数．证明f x在−b,+∞内是减函数．取x1,x2∈−b,+∞，且x1<x2，那么f x1−f x2=x1+a1−x2+a2=a−b x2−x112.因为a−b>0,x2−x1>0,x1+b x2+b>0,所以f x1−f x2>0,即f x在−b,+∞内是减函数．同理可证f x在−∞,−b内是减函数．76. 原不等式⇔x2−x−2>0x−1>0x2−x−2>2x−2⇔x−2x+1>0 x−1>0x2−3x>0⇔x>2x<0或x>3⇔x>3.故原不等式的解集是x x>3．77. （1）设下调后的电价为x元/kw⋅h，依题意知用电量增至kx−0.4+a，电力部门的收益为y=kx−0.4+a x−0.30.55≤x≤0.75.（2）依题意有0.2a x−0.4+a x−0.3≥a×0.8−0.31+20%,0.55≤x≤0.75.整理得x2−1.1x+0.3≥0,0.55≤x≤0.75.解此不等式组得0.60≤x≤0.75．答：当电价最低定为0.60 元 /kw⋅h仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%．78. （1）由方程组y=kx,y=x2+2,消y得x2−kx+2=0 ⋯⋯①依题意，该方程有两个不相等的正实根，故Δ=k2−8>0,x1+x2=k>0,解得k>22．（2）令f x=x2+2x≥0，由fʹx=2x，求得切线l1的方程为y=2x1x−x1+y1.由y1=x12+2，并令y=0，得t=x12−1x1．又x1,x2是方程①的两实根，且x1<x2，故x1=k− k2−82=4k+ k2−8k>2 2.x1是关于k的减函数，所以x1的取值范围是0,2．t是关于x1的增函数，定义域为0,，所以值域为−∞,0．（3）当x1<x2时，由（2）可知OM = t =−x12+1x1类似可得ON =x22−1x2,所以OM − ON =−x1+x2+x1+x212.由①可知x1x2=2,从而OM − ON =0.当x2<x1时，有相同的结果 OM − ON =0，所以OM = ON .79. （1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为3600−300050=12，所以这时租出了88辆车．（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：f x=100−x−300050x−200，整理得f x=18000−x x−200=−1x2+164x−32000=−1x−41002+304200.所以，当x=4100时，f x最大，最大值为f4100=304200，即当每辆车的月租金定为4100元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为304200元．80. （1）设P的坐标为0,y，则P到三镇距离的平方和为f y=225+y2+12−y2=3y−42+146.所以，当y=4时，函数f y取得最小值，此时点P的坐标是0,4．（2）由（1）可知，P到三镇的最远距离为g y=2,2≥ 12−y, 12−y,25+y2<12−y,由≥ 12−y,解得y≥119,记m=11924，于是g y=25+y2,y≥m,12−y,y<m.又25+y2在m,+∞上单调递增，而12−y在−∞,m上单调递减．所以y=m时，函数g y取得最小值，此时P点坐标是0,11924．81. 由0<a<1，结合指数函数性质可将原不等式可化为2x−1>x−2,这个不等式的解集是下面不等式组①及②的解集的并集2x−1≥0 x−2<0 ⋯⋯①,2x−1≥0x−2≥02x−1>x−22 ⋯⋯②;解不等式组①得解集x 1≤x<2解不等式组②得解集x2≤x<5所以原不等式的解集为x 12≤x<5.82. 由cos2x≠0得2x≠kπ+π,解得x≠kπ+π,k∈Z,所以f x的定义域为 x x∈R且x≠kπ2+π4,k∈Z ．因为f x的定义域关于原点对称，且f−x=6cos4−x+5sin2−x−4=6cos4x+5sin2x−4=f x,所以f x是偶函数．当x≠kπ2+π4,k∈Z时，f x=6cos4x+5sin2x−4cos2x=2cos2x−13cos2x−1=3cos2x−1,所以f x的值域为 y−1≤y<12或12<y≤2．83. （1）由f x=2x3−3x得fʹx=6x2−3,令fʹx=0，得x=−2 或 x=2,因为f−2=−10,f −2=2,f22=− 2, f1=−1,所以f x在区间−2,1上的最大值为f −22= 2.（2）设过点P1,t的直线与曲线y=f x相切于点x0,y0，则y0=2x03−3x0,且切线斜率为k=6x02−3，所以切线方程为y−y0=6x02−3x−x0,因此t−y0=6x02−31−x0，整理得4x03−6x02+t+3=0,设g x=4x3−6x2+t+3，则"过点P1,t存在3条直线与曲线y=f x相切"等价于g x有3个不同零点．gʹx=12x2−12x=12x x−1,g x与gʹx的情况如下：x−∞,000,111,+∞gʹx+0−0+g x↗t+3↘t+1↗所以g0=t+3是g x的极大值，g1=t+1是g x的极小值．当g0=t+3≤0，即t≤−3时，此时g x在区间−∞,1和1,+∞上分别至多有1个零点，所以g x至多有2个零点．当g1=t+1≥0，即t≥−1时，此时g x在区间−∞,0和0,+∞上分别至多有1个零点，所以g x至多有2个零点．当g0>0且g1<0，即−3<t<−1时，因为g−1=t−7<0,g2=t+11>0,所以g x分别在区间−1,0，0,1和1,2上恰有1个零点，由于g x在区间−∞,0和1,+∞上单调，所以g x分别在区间−∞,0和1,+∞上恰有1个零点．综上可知，当过点P1,t存在3条直线与曲线y=f x相切时，t的取值范围是−3,−1．（3）过点A−1,2存在3条直线与曲线y=f x相切；过点B2,10存在2条直线与曲线y=f x相切；过点C0,2存在1条直线与曲线y=f x相切．84. （1）由f0=2f0，得f0=0．由f1=2f12及f1=1，得f12=12f1=12．同理，f14=12f12=14．归纳得f12i =12ii=1,2,⋯．（2）当12i <x≤12i−1时，f x=12i−1+k x−12i−1,所以a n是首项为121−k4，公比为14的等比数列，所以S k=limn→∞a1+a2+⋯+a n=121−k41−14=231−k4.S k的定义域为0<k≤1，当k=1时取得最小值12．。
2009至2018年北京高考真题分类汇编之圆锥曲线
2009至2018年北京高考真题分类汇编之圆锥曲线精心校对版题号一二三总分得分△注意事项：1.本系列试题包含2009年-2018年北京高考真题的分类汇编。
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3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科一、填空题（本大题共10小题，共0分）1.（2013年北京高考真题数学(文)）若抛物线22y px 的焦点坐标为(1,0)，则p ，准线方程为。
2.（2011年北京高考真题数学(文)）已知双曲线2221y x b （b ＞0）的一条渐近线的方程为2y x ，则b = . 3.（2010年北京高考真题数学(文)）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为。
4.（2009年北京高考真题数学(文)）椭圆22192x y 的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF ，则2||PF ；12F PF 的大小为 . 5.（2014年北京高考真题数学(文)）设双曲线C 的两个焦点为2,0，2,0，一个顶点是1,0，则C 的方程为 . 6.（2015年北京高考真题数学(文)）已知（2，0）是双曲线x 2﹣=1（b ＞0）的一个焦点，则b= ．22221x y a b 221259x y 姓名：__________班级：__________考号：__________●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●。
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2009至2018年北京高考真题分类汇编之函数精心校对版题号一二总分得分△注意事项：1.本系列试题包含2009年-2018年北京高考真题的分类汇编。
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3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科一、填空题（本大题共11小题，共0分）1.（2013年北京高考真题数学(文)）函数12log ,1()2,1x x x f x x 的值域为。
2.（2012年北京高考真题数学(文)）已知函数()lg f x x ，若()1f a b ，则22()()f a f b ．3.（2012年北京高考真题数学(文)）已知()(2)(3)f x m x m x m ，()22x g x ．若x R ，()0f x 或()0g x ，则m 的取值范围是．4.（2011年北京高考真题数学(文)）已知函数32,2()(1),2x f x x x x 若关于x 的方程f （x ）=k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是_______ 5.（2011年北京高考真题数学(文)）设A （0,0）,B （4,0）,C （t+4,3），D （t,3）（t R ）.记N （t ）为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N （0）= N （t ）的所有可能取值为6.（2010年北京高考真题数学(文)）如图放置的边长为1的正方形PABC 沿轴滚动。
设顶点P （，y ）的轨迹方程是，则的最小正周x x ()y f x ()f x 姓名：__________班级：__________考号：__________●-------------------------密--------------封-
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