神奇的数学——第一章 数的魔法

对数型的理解越深入，它就越美丽。不过，有时这些模型可能 会带来很实际的应用。 我很高兴在我年轻时发现一个简单的数型（即使我不是第 一个发现的人）。当时，我在和为 20 的几组数（比如 10 和 10，或者 9 和 11）中，寻找乘积最大的一组。看起来当两个 数都等于 10 时，乘积最大，通过下面的列表我们可以确认这 一点。
换句话说，前 n 个数的立方之和是前 n 个数之和的平方。 我们现在还没有准备好证明这一结论，我们将在第 6 章看到关 于它的两个证明。
快速心算
有些人看着这些数型并说：“好吧，那很好。但是他们有 什么好处呢？”大多数数学家可能会像任何一位艺术家一样回 应：美丽的图案除了它的美丽之外不需要任何理由。随着我们
将从 1 到 100 的数分成两行；每一对数之和是 101。
高斯最终能成为十九世纪最伟大的数学家，并不是因为他 能快速心算，而是因为他能够让数舞蹈。在本章中，我们将探 索许多有趣的数型，并开始了解数如何舞蹈。其中一些模型可 用于更快速地进行心算，有些模型只是为自己而美丽。 我们用高斯的逻辑求前 100 个数之和，但如何求前 17 或 1000 或 100 万个数之和呢？事实上，我们可以用他的逻辑求 前 n 个数之和，其中 n 可以是任何你想要的数！有些人发现数 在能被图像化时不太抽象。我们将 1、3、6、10 和 15 称为三 角形数，因为我们可以使用这些数量的点创建下面的三角形 （你可能会拒绝接受 1 个点能构成三角形，但是 1 被认为是三 角形数）。官方定义第 n 个三角形数是 1+2+3+...+n。
这些立方数的和都是平方数
当我们开始为立方数求和时，我们得到的和为 1、9、 36、100、225 等，这些都是平方数。他们可不是普通的平方 数，它们是 1、3、6、10、15 等的平方，这些都是三角形数！ 前文中，我们看到它们是连续整数的和，例如，
13 + 23 + 33 + 43 + 53 = 225 = 152 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2
让我们应用奇数和的模型来寻找更美丽的模型。如果我们 的目标是让数跳舞，那么你可能会说我们即将做一些平方舞。
请仔细查看这个有趣的等式金字塔：
你看到了什么样的模型？每行中数的个数统计起来十分 容易：3、5、7、9、11……。接下来是一个意外的模型：每行 的第一个数是什么？从前 5 行(1、4、9、16、25）来看，它们 似乎都是平方数。为什么呢？我们来看第 5 行。第 5 行之前出 现了多少数？如果我们统计前面四行中的数，我们得到 3 + 5 + 7 + 9。为了得到第 5 行的第一个数，我们只需给这个和加 1。这样我们实际得到的是前 5 个奇数的和，我们现在知道它 是 52。 现在让我们不通过求和的方式来验证第五个等式。试想一 下高斯会怎么做？如果我们暂时忽略该行开头的 25，则等号 左边剩下的 5 个数，每个数比右边对应的数少 5。
第一章
1 + 2 + 3 + 4 + ꞏꞏꞏ + 100 = 5050
数的魔法
数型
数学的研究始于数。学校里，在我们学习如何用文字、数 字或物理对象来计算和表示数之后，我们花了很多年的时间学 习通过加、减、乘、除和其他算术过程来操纵数。然而，如果 我们只是从表面看，我们往往不会看到这些数自身拥有能够娱 乐我们的魔力。 让我们从数学家高斯（Karl Friedrich Gauss）孩童时遇到 的一个问题开始。高斯的老师让高斯和他的同学把从 1 到 100 所有的数加起来，这是一项繁琐的任务，旨在让学生在老师做 其他工作时很忙碌。高斯立即写下了答案：5050，这让他的老 师和同学们大吃一惊。他是怎么做到的呢？如下图所示，高斯 把 1 到 100 分成两行，最上面的数是 1 到 50，51 到 100 写在 下面。高斯观察到，50 列中的每一列合计为 101，所以它们的 总和就是 50×101，即 5050。
552 = (50 × 60) + 52 = 3000 + 25 = 3025 852 = (80 × 90) + 52 = 7200 + 25 = 7225 现在尝试计算 592。使用相同的办法，你得到 59 × 59 = (60 × 58) + 12。但是如何心算 60 × 58 呢？一句话：从左至 右。让我们先把个位的 0 忽略，从左开始计算 6 × 58。现在 6 × 50 = 300，6×8 = 48。将两者加起来等于 348。这样 60 × 58 = 3480，进一步 59 × 59 = (60 × 58) + 1 × 1 = 3480 + 1 = 3481。
正方形中有多少个点？
这个正方形有 5×5=25 个点，但我们以另一种方式来计算 点数。从左上角的 1 个点开始。它被 3 个点、5 个点、7 个 点、9 个点围绕。 所以， 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52 如果我们从一个 n×n 的正方形开始，那么我们可以将它分 解成尺寸为 1、3、5、...(2n-1)的 n 个 L 形区域。当用这种方 式观察时，我们得到一个表示前 n 个奇数总和的公式： 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2
我们看到 3 + 5 = 8，7 + 9 + 11 = 27，13 + 15 + 17 + 19 = 64。数 1、8、27 和 64 有什么共同点？他们是立方数！例如，
将第五行中的五个数相加，我们可以得到 21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125 = 5 × 5 × 5 = 53 该模型似乎表明，第 n 行的总和为 n3。是否会一直如此 呢？是否仅仅是一些奇怪的巧合？为了帮助我们理解这种模 型，请查看第 1、3 和 5 行的中位数。您看到了什么？立方数 1、9 和 25。第 2 行和第 4 行没有中位数，但围绕中位的是 3 和 5，平均数为 4。而 15 和 17 的平均数为 16。让我们看看该 如何利用这种模型。 再看第 5 行。注意，这五个数以 25 为中心对称，我们不 需要将它们相加便可知总和为 53。由于这五个数的平均值为 52，因此它们的和必然是 52 + 52 + 52 + 52 + 52 = 5 × 52，也就是 53。同样，第 4 行四个数的平均值是 42，所以它们和必然是 43。使用一点代数知识（在这里我们没有使用），你可以证明 第 n 行 n 个数的平均值是 n2，所以它们的总和必是 n3，正如 预期的一样。 既然我们在谈论立方数和平方数，我忍不住要向你展示更 多的模型。当你从 13 开始，将立方数相加时，你所得到的和 会是什么样呢？
旁白 在本书随后的章节里，我们将看到不同的数点方法 （以及回答同一问题的两种不同方式）如何在高等数学中 产生一些有趣的结果。但它也可以用于理解初等数学。例 如，为什么 3 × 5 = 5 × 3？我敢肯定你从来没有对这种说法提 出过质疑，因为打小时候你就被告知，乘法顺序并不重要 （数学家说两个数相乘，其先后顺序可交换）。但是为什 么 3 个装有 5 个弹珠的口袋与 5 个装有 3 个弹珠的口袋， 弹珠的总量相等呢？解释很简单：如果你只是在 3×5 的矩 形中计算点数，一行一行地数，我们看到 3 行，每行 5 个 点，总共 3 × 5 个点。另一方面，我们也有 5 列，每列 3 个 点，所以也有 5 × 3 个点。
一旦你熟悉了如何求两位数的平方，你可以使用同样的方 法来求三位数的平方。例如，如果你知道 12 × 12 = 144，那么 112 × 112 = (100 × 124) + 122 = 12400 + 144 = 12544 类似的方法可用于求任意两个接近 100 的数的乘积。当你 第一次看到该方法时，它看起来像纯粹的魔法。看看 104 × 109。在每个数旁边，我们写下它和 100 的差距，如下图所 示。 现在将第二个差距添加到第一个数，这将是 104 + 9 = 113。然后将两个差距相乘，即 104 + 9 = 113。将这些数拼在 一起，你的答案神奇地出现了。
前 n 个奇数的总和是多少？ 右边的数是平方数：1×1、2×2、3×3 等。不难发现前 n 个 奇数的总和似乎是 n×n，通常写成 n2。但我们怎么能确定这并 非一时的巧合呢？我们将在第 6 章看到推导这个公式的方法， 但是这样一个简单的模型应该有一个简单的解释。我最喜欢的 证明再次使用了点数策略，并提醒我们为什么像 25 这样的数 被称为正方形数。为什么前 5 个奇数之和是 52？看看下面 5×5 的正方形的图片。
这个模型很明显：随着两个数相差越来越大，它们的乘积 变得越来越小。它们会比 100 少多少呢？ 1、4、9、16、 25……，即 12、22、32、42、52 等。这种模型总是起作用吗？ 我决定尝试另一个例子，通过查看和为 26 的数。
再一次，当我们选择两个相等的数时，我们得到最大的乘 积，然后积减少 1，然后是 4，然后是 9，依此类推。通过另 外几个例子，我确信这种模式是正确的（稍后我会告诉你这背 后隐藏的代数知识）。然后，我看到了这种模式可以被用来更 快地求一个数的平方。 假设我们想要求 13 的平方。我们不是直接执行 13 × 13， 而是先计算较容易的 10 × 16 = 160。这几乎就是答案，但是由 于我们将两个因子分别加减了 3，这个值与真正的答案还差 32。因此，132 = (10 × 16) + 32 = 160 + 9 = 169 我们来试试另一个例子。尝试使用这种方法求 98 × 98。 我们将一个因子增加 2，另一个因子减少 2，将他们的乘积加 上 22。新的算式是，982 = (100 × 96) + 22 = 9600 + 4 = 9604。 个位是 5 的数求平方特别简单。当两个因子分别增加和减 少 5 后，我们用来相乘的都是整十数。例如 352 = (30 × 40) + 52 = 1200 + 25 = 1225