2021年上海市浦东新区中考数学一模试卷
上海市浦东新区名校2021-2022学年中考一模数学试题含解析
上海市浦东新区名校2021-2022学年中考一模数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．在0.3，﹣3，0，﹣3这四个数中，最大的是（ ）A ．0.3B ．﹣3C ．0D ．﹣32．已知关于x 的方程x 2+3x +a =0有一个根为﹣2，则另一个根为（ ）A ．5B ．﹣1C ．2D ．﹣53．不等式组312840x x ->⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示为（ ） A ． B ． C ． D ．4．如图，将Rt ABC △绕直角顶点C 顺时针旋转90，得到A B C ''，连接'A A ，若120︒∠=，则B 的度数是（ ）A ．70︒B ．65︒C ．60︒D ．55︒5．如图，已知点 P 是双曲线 y ＝2x上的一个动点，连结 OP ，若将线段OP 绕点 O 逆时针旋转 90°得到线段 OQ ，则经过点 Q 的双曲线的表达式为（ ）A ．y ＝ 3xB ．y ＝﹣ 13xC ．y ＝ 13xD ．y ＝﹣3x6．下列说法正确的是（ ）A ．2a 2b 与–2b 2a 的和为0B ．223a b π的系数是23，次数是4次C ．2x 2y –3y 2–1是3次3项式D ．3x 2y 3与–3213x y 是同类项 7．若关于x 的一元二次方程ax 2+2x ﹣5=0的两根中有且仅有一根在0和1之间（不含0和1），则a 的取值范围是（ ）A ．a ＜3B ．a ＞3C ．a ＜﹣3D ．a ＞﹣38．将一把直尺与一块三角板如图所示放置，若140∠=︒则∠2的度数为( )A ．50°B ．110°C ．130°D ．150°9．在银行存款准备金不变的情况下，银行的可贷款总量与存款准备金率成反比例关系．当存款准备金率为7.5%时，某银行可贷款总量为400亿元，如果存款准备金率上调到8%时，该银行可贷款总量将减少多少亿（ ） A ．20 B ．25 C ．30 D ．3510．如图，已知直线//AB CD ，点E ，F 分别在AB 、CD 上，:3:4CFE EFB ∠∠=，如果∠B ＝40°，那么BEF ∠=（ ）A ．20°B ．40°C ．60°D ．80°二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图，O 是坐标原点，菱形OABC 的顶点A 的坐标为（﹣3，﹣4），顶点C 在x 轴的负半轴上，函数y ＝k x（x ＜0）的图象经过菱形OABC 中心E 点，则k 的值为_____．12．如图，在⊙O 中，点B 为半径OA 上一点，且OA ＝13，AB ＝1，若CD 是一条过点B 的动弦，则弦CD 的最小值为_____．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A、C在坐标轴上，点B的坐标是(2,2)．将△ABC沿x轴向左平移得到△A1B1C1，点1B落在函数y=-6x．如果此时四边形11AAC C的面积等于552，那么点1C的坐标是________．14．如图，将边长为1的正方形的四条边分别向外延长一倍，得到第二个正方形，将第二个正方形的四条边分别向外延长一倍得到第三个正方形，…，则第2018个正方形的面积为_____．15．我们知道方程组345456x yx y+=⎧⎨+=⎩的解是12xy=-⎧⎨=⎩，现给出另一个方程组3(23)4(2)54(23)5(2)6x yx y++-=⎧⎨++-=⎩，它的解是____．16．小红沿坡比为1：3的斜坡上走了100米，则她实际上升了_____米．17．抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴只有一个交点，则m的值为_____．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）某公司销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示A B进价（万元/套） 1.5 1.2售价（万元/套） 1.8 1.4该公司计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润12万元．（1）该公司计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？（2）通过市场调研，该公司决定在原计划的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量，已知B 种设备增加的数量是A种设备减少的数量的1.5倍．若用于购进这两种教学设备的总资金不超过68万元，问A种设备购进数量至多减少多少套？19．（5分）解方程21=122xx x---20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=6x的图象相交于点A（m，3）、B（–6，n），与x轴交于点C．（1）求一次函数y=kx+b的关系式；（2）结合图象，直接写出满足kx+b>6x的x的取值范围；（3）若点P在x轴上，且S△ACP=32BOCS△，求点P的坐标．21．（10分）下面是小星同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程：已知：如图，直线l和直线l外一点A求作：直线AP，使得AP∥l作法：如图①在直线l上任取一点B（AB与l不垂直），以点A为圆心，AB为半径作圆，与直线l交于点C．②连接AC，AB，延长BA到点D；③作∠DAC的平分线AP．所以直线AP就是所求作的直线根据小星同学设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）完成下面的证明证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（填推理的依据）∵∠DAC是△ABC的外角，∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB（填推理的依据）∴∠DAC＝2∠ABC∵AP平分∠DAC，∴∠DAC＝2∠DAP∴∠DAP＝∠ABC∴AP∥l（填推理的依据）22．（10分）如图，在△ABC中，D为BC边上一点，AC=DC，E为AB边的中点，（1）尺规作图：作∠C的平分线CF，交AD于点F（保留作图痕迹，不写作法）；（2）连接EF，若BD=4，求EF的长．23．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OD⊥AB，与AC交于点E，与过点C的⊙O的切线交于点D．若AC=4，BC=2，求OE的长．试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由．24．（14分）如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是BC的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若OF=4，求AC的长度．参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、A【解析】根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数，比较即可【详解】∵-3＜30＜0.3∴最大为0.3故选A．【点睛】本题考查实数比较大小，解题的关键是正确理解正数大于0，0大于负数，正数大于负数，本题属于基础题型．2、B【解析】根据关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．【详解】∵关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，设另一个根为m，∴-2+m=−31，解得，m=-1，故选B ．3、A【解析】分别求得不等式组中两个不等式的解集，再确定不等式组的解集，表示在数轴上即可.【详解】312840x x ->⎧⎨-≤⎩①② 解不等式①得，x>1；解不等式②得，x>2；∴不等式组的解集为：x≥2，在数轴上表示为：故选A.【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，正确求得不等式组中每个不等式的解集是解决问题的关键.4、B【解析】根据旋转的性质可得AC ＝A′C ，然后判断出△ACA′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CAA′＝45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A′B′C ，最后根据旋转的性质可得∠B ＝∠A′B′C ．【详解】解：∵Rt △ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°得到△A′B′C ，∴AC ＝A′C ，∴△ACA′是等腰直角三角形，∴∠CAA′＝45°，∴∠A′B′C ＝∠1＋∠CAA′＝20°＋45°＝65°，∴∠B ＝∠A′B′C ＝65°．故选B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．5、D【解析】过P ，Q 分别作PM ⊥x 轴，QN ⊥x 轴，利用AAS 得到两三角形全等，由全等三角形对应边相等及反比例函数k 的几何意义确定出所求即可．【详解】过P ，Q 分别作PM ⊥x 轴，QN ⊥x 轴，∵∠POQ=90°，∴∠QON+∠POM=90°，∵∠QON+∠OQN=90°，∴∠POM=∠OQN ，由旋转可得OP=OQ ，在△QON 和△OPM 中，90QNO OMP OQN POMOQ OP ＝＝＝＝∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩， ∴△QON ≌△OPM （AAS ），∴ON=PM ，QN=OM ，设P （a ，b ），则有Q （-b ，a ），由点P 在y=3x上，得到ab=3，可得-ab=-3， 则点Q 在y=-3x 上． 故选D ．【点睛】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，以及坐标与图形变化，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．6、C【解析】根据多项式的项数和次数及单项式的系数和次数、同类项的定义逐一判断可得．【详解】A 、2a 2b 与-2b 2a 不是同类项，不能合并，此选项错误；B 、23πa 2b 的系数是23π，次数是3次，此选项错误； C 、2x 2y-3y 2-1是3次3项式，此选项正确；D 、3x 2y 3与﹣3213x y 相同字母的次数不同，不是同类项，此选项错误； 故选C ．【点睛】本题主要考查多项式、单项式、同类项，解题的关键是掌握多项式的项数和次数及单项式的系数和次数、同类项的定义．7、B【解析】试题分析：当x=0时，y=－5；当x=1时，y=a －1，函数与x 轴在0和1之间有一个交点，则a －1＞0，解得：a ＞1．考点：一元二次方程与函数8、C【解析】如图，根据长方形的性质得出EF ∥GH ，推出∠FCD=∠2，代入∠FCD=∠1+∠A 求出即可．【详解】∵EF ∥GH ，∴∠FCD=∠2，∵∠FCD=∠1+∠A ，∠1=40°，∠A=90°，∴∠2=∠FCD=130°，故选C.【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等，准确识图是解题的关键．9、B【解析】设可贷款总量为y ，存款准备金率为x ，比例常数为k ，则由题意可得：k y x=，4007.5%30k =⨯=， ∴30y x=， ∴当8%x =时，303758%y ==（亿）， ∵400-375=25，∴该行可贷款总量减少了25亿.故选B.10、C【解析】根据平行线的性质，可得CFB ∠的度数，再根据:3:4CFE EFB ∠∠=以及平行线的性质，即可得出BEF ∠的度数．【详解】∵//AB CD ，40ABF ︒∠=，∴180140CFB B ︒︒∠=-∠=，∵:3:4CFE EFB ∠∠=， ∴3607CFE CFB ︒∠=∠=， ∵//AB CD ，∴60BEF CFE ︒∠=∠=，故选C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补，且内错角相等．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、8【解析】根据反比例函数的性质结合点的坐标利用勾股定理解答.【详解】解：菱形OABC 的顶点A 的坐标为（-3，-4），5,=则点B 的横坐标为-5-3=-8，点B 的坐标为（-8，-4），点C 的坐标为（-5,0）则点E 的坐标为（-4，-2），将点E 的坐标带入y=k x （x ＜0）中，得k=8. 给答案为：8.【点睛】此题重点考察学生对反比例函数性质的理解，掌握坐标轴点的求法和菱形性质是解题的关键.12、10【解析】连接OC，当CD⊥OA时CD的值最小，然后根据垂径定理和勾股定理求解即可.【详解】连接OC，当CD⊥OA时CD的值最小，∵OA=13，AB=1，∴OB=13-1=12，∴BC=2213-12=5，∴CD=5×2=10.故答案为10.【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理，垂径定理是:垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧 .13、(-5,112)【解析】分析：依据点B的坐标是（2，2），BB2∥AA2，可得点B2的纵坐标为2，再根据点B2落在函数y=﹣6x的图象上，即可得到BB2=AA2=5=CC2，依据四边形AA2C2C的面积等于552，可得OC=112，进而得到点C2的坐标是（﹣5，112）．详解：如图，∵点B的坐标是（2，2），BB2∥AA2，∴点B2的纵坐标为2．又∵点B2落在函数y=﹣6x的图象上，∴当y=2时，x=﹣3，∴BB2=AA2=5=CC2．又∵四边形AA2C2C的面积等于552，∴AA2×OC=552，∴OC=112，∴点C2的坐标是（﹣5，112）．故答案为（﹣5，112）．点睛：本题主要考查了反比例函数的综合题的知识，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及平移的性质．在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度．14、1【解析】先分别求出第1个、第2个、第3个正方形的面积，由此总结规律，得到第n个正方形的面积，将n=2018代入即可求出第2018个正方形的面积．【详解】：∵第1个正方形的面积为：1+4××2×1=5=51；第2个正方形的面积为：5+4××2×=25=52；第3个正方形的面积为：25+4××2×=125=53；…∴第n个正方形的面积为：5n；∴第2018个正方形的面积为：1．故答案为1．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，解题的关键是得到第n个正方形的面积．15、24 xy=-⎧⎨=⎩【解析】观察两个方程组的形式与联系，可得第二个方程组中23122xy+=-⎧⎨-=⎩，解之即可.【详解】解：由题意得23122xy+=-⎧⎨-=⎩，解得24xy=-⎧⎨=⎩.故答案为：24xy=-⎧⎨=⎩.【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，用整体代入法解决这种问题比较方便.16、50【解析】根据题意设铅直距离为x ，根据勾股定理求出x 的值，即可得到结果．【详解】解：设铅直距离为x ，根据题意得：222)100x +=，解得：50x =（负值舍去），则她实际上升了50米，故答案为：50【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，此题关键是用同一未知数表示出下降高度和水平前进距离.17、1【解析】由抛物线y=x 2-2x+m 与x 轴只有一个交点可知，对应的一元二次方程x 2-2x+m=2，根的判别式△=b 2-4ac=2，由此即可得到关于m 的方程，解方程即可求得m 的值．【详解】解：∵抛物线y=x 2﹣2x+m 与x 轴只有一个交点，∴△=2，∴b 2﹣4ac=22﹣4×1×m=2；∴m=1．故答案为1．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，注：①抛物线与x 轴有两个交点，则△＞2；②抛物线与x 轴无交点，则△＜2；③抛物线与x 轴有一个交点，则△=2．三、解答题（共7小题，满分69分）18、（1）该公司计划购进A 种品牌的教学设备20套，购进B 种品牌的教学设备30套；（2）A 种品牌的教学设备购进数量至多减少1套．【解析】（1）设该公司计划购进A 种品牌的教学设备x 套，购进B 种品牌的教学设备y 套，根据花11万元购进两种设备销售后可获得利润12万元，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设A 种品牌的教学设备购进数量减少m 套，则B 种品牌的教学设备购进数量增加1.5m 套，根据总价=单价×数量结合用于购进这两种教学设备的总资金不超过18万元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其中最大的整数即可得出结论．【详解】解：（1）设该公司计划购进A 种品牌的教学设备x 套，购进B 种品牌的教学设备y 套，根据题意得：()()1.5 1.2661.8 1.5 1.4 1.212x y x y +⎧⎨-+-⎩＝＝ 解得：2030x y =⎧⎨=⎩． 答：该公司计划购进A 种品牌的教学设备20套，购进B 种品牌的教学设备30套．（2）设A 种品牌的教学设备购进数量减少m 套，则B 种品牌的教学设备购进数量增加1.5m 套，根据题意得：1.5（20﹣m ）+1.2（30+1.5m ）≤18，解得：m≤203， ∵m 为整数，∴m≤1．答：A 种品牌的教学设备购进数量至多减少1套．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．19、x=-1．【解析】解：方程两边同乘x-2，得2x=x-2+1解这个方程，得x= -1检验：x= -1时，x-2≠0∴原方程的解是x= -1首先去掉分母，观察可得最简公分母是（x ﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解20、（1）122y x =+；（1）-6＜x ＜0或1＜x ；（3）（-1,0）或（-6,0） 【解析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，再利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；（1）根据函数图像判断即可；（3）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，设点P的坐标为（x，0），根据三角形的面积公式结合S△ACP=32S△BOC，即可得出|x+4|=1，解之即可得出结论．【详解】（1）∵点A（m，3），B（-6，n）在双曲线y=6x上，∴m=1，n=-1，∴A（1，3），B（-6，-1）．将（1，3），B（-6，-1）带入y=kx+b，得：3216k bk b+⎧⎨--+⎩＝＝，解得，122kb＝＝⎧⎪⎨⎪⎩．∴直线的解析式为y=12x+1．（1）由函数图像可知，当kx+b>6x时，-6＜x＜0或1＜x；（3）当y=12x+1=0时，x=-4，∴点C（-4，0）．设点P的坐标为（x，0），如图，∵S△ACP=32S△BOC，A（1，3），B（-6，-1），∴12×3|x-（-4）|=32×12×|0-（-4）|×|-1|，即|x+4|=1，解得：x1=-6，x1=-1．∴点P的坐标为（-6，0）或（-1，0）．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次（反比例）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式；（1）根据函数图像判断不等式取值范围；（3）根据三角形的面积公式以及S△ACP=32S△BOC，得出|x+4|=1．21、(1)详见解析；（2）（等边对等角），（三角形外角性质），（同位角相等，两直线平行）．【解析】（1）根据角平分线的尺规作图即可得；（2）分别根据等腰三角形的性质、三角形外角的性质和平行线的判定求解可得．【详解】解：（1）如图所示，直线AP即为所求．（2）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角），∵∠DAC是△ABC的外角，∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB（三角形外角性质），∴∠DAC＝2∠ABC，∵AP平分∠DAC，∴∠DAC＝2∠DAP，∴∠DAP＝∠ABC，∴AP∥l（同位角相等，两直线平行），故答案为（等边对等角），（三角形外角性质），（同位角相等，两直线平行）．【点睛】本题主要考查作图能力，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图、等腰三角形的性质、三角形外角的性质和平行线的判定．22、(1)见解析；（1）1【解析】（1）根据角平分线的作图可得；（1）由等腰三角形的三线合一，结合E为AB边的中点证EF为△ABD的中位线可得．【详解】（1）如图，射线CF即为所求；（1）∵∠CAD=∠CDA，∴AC=DC，即△CAD为等腰三角形；又CF是顶角∠ACD的平分线，∴CF是底边AD的中线，即F为AD的中点，∵E是AB的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴EF=BD=1．【点睛】本题主要考查作图-基本作图和等腰三角形的性质、中位线定理，熟练掌握等腰三角形的性质、中位线定理是解题的关键．23、（15；（2）∠CDE=2∠A．【解析】（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得到AB的长，从而得到半径AO ．再由△AOE∽△ACB，得到OE的长；（2）连结OC，得到∠1=∠A，再证∠3=∠CDE，从而得到结论．【详解】（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：222242AC BC+=+=25∴AO=125∵OD⊥AB，∴∠AOE=∠ACB=90°，又∵∠A=∠A，∴△AOE∽△ACB，∴OE AO BC AC=，∴OE=254 BC AOAC⋅==52.（2）∠CDE=2∠A．理由如下：连结OC，∵OA=OC，∴∠1=∠A，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∴∠2+∠CDE=90°，∵OD⊥AB，∴∠2+∠3=90°，∴∠3=∠CDE．∵∠3=∠A+∠1=2∠A，∴∠CDE=2∠A．考点：切线的性质；探究型；和差倍分．24、（1）DE与⊙O相切,证明见解析；（2）AC=8. 【解析】(1)解：（1）DE与⊙O相切．证明：连接OD、AD，∵点D是的中点，∴=，∴∠DAO=∠DAC，∵OA=OD，∴∠DAO=∠ODA，∴∠DAC=∠ODA，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE与⊙O相切．（2）连接BC,根据△ODF与△ABC相似，求得AC的长．AC=8。
2020-2021学年最新上海市中考数学一模试卷及答案
中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1.下列函数中，y关于x的二次函数是（） A．y=ax2+bx+c B．y=x（x﹣1）C．D．y=（x﹣1）2﹣x2【分析】根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论．【解答】解：A、当 a=0 时，y=bx+c 不是二次函数；B、y=x（x﹣1）=x2﹣x 是二次函数；C、y=不是二次函数；D、y=（x﹣1）2﹣x2=﹣2x+1 为一次函数．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键．2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，下列结论中，正确的是（）A．AB=2sinA B．AB=2cosA C．BC=2tanA D．BC=2cotA【分析】直接利用锐角三角函数关系分别计算得出答案．【解答】解：∵∠C=90°，AC=2，∴cosA==，故AB=，故选项 A，B 错误；tanA= = ，则 BC=2tanA，故选项 C 正确；则选项 D 错误．故选：C．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确将记忆锐角三角函数关系是解题关键．3.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC的反向延长线上，下面比例式中，不能判断ED∥BC的是（）B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例定理，对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A．当时，能判断ED∥BC；B.当时，能判断ED∥BC；C.当时，不能判断ED∥BC；D.当时，能判断ED∥BC；故选：C．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．4.已知，下列说法中，不正确的是（）A．B．与方向相同C．D．【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．【解答】解：A、错误．应该是﹣5=；B、正确．因为，所以与的方向相同；C、正确．因为，所以∥；D、正确．因为，所以||=5||；故选：A．【点评】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．5.如图，在平行四边形ABCD中，F是边AD上的一点，射线CF和BA的延长线交于点E，如果，那么的值是（）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的性质进行解答即可．【解答】解：∵在平行四边形 ABCD 中，∴AE∥CD，∴△EAF∽△CDF，∵，∴，∴，∵AF∥BC，∴△EAF∽△EBC，∴=，故选：D．【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，综合运用了平行四边形的性质和相似三角形的性质是解题关键．6.如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM ⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：①；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO，正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】如图连接 OB、OD，只要证明 Rt△OMB≌Rt△OND，Rt△OPM≌Rt△OPN 即可解决问题．【解答】解：如图连接 OB、OD；∵AB=CD，∴=，故①正确∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴AM=MB，CN=ND，∴BM=DN，∵OB=OD，∴Rt△OMB≌Rt△OND，∴OM=ON，故②正确，∵OP=OP，∴Rt△OPM≌Rt△OPN，∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，∵AM=CN，∴PA=PC，故③正确，故选：D．【点评】本题考查垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．二．填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）7．如果 =，那么= ．【分析】利用比例的性质由=得到=，则可设a=2t，b=3t，然后把a=2t，b=3t代入中进行分式的运算即可．【解答】解：∵=，∴=，设 a=2t，b=3t，∴==．故答案为．【点评】本题考查了比例的性质：常用的性质有：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．8．已知线段a=4厘米，b=9厘米，线段c是线段a和线段b的比例中项，线段c的长度等于6厘米．【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．所以c2=4×9，解得c=±6（线段是正数，负值舍去），∴c=6cm，故答案为：6．【点评】本题考查比例线段、比例中项等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．9．化简：=﹣4+7 ．【分析】根据屏幕绚丽的加法法则计算即可【解答】解：：=﹣4+6=﹣4+7，故答案为；【点评】本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则．10.在直角坐标系平面内，抛物线y=3x2+2x在对称轴的左侧部分是下降的（填“上升”或“下降”）【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向，再结合二次函数的增减性则可求得答案．【解答】解：∵在 y=3x2+2x 中，a=3＞0，∴抛物线开口向上，∴在对称轴左侧部分 y 随 x 的增大而减小，即图象是下降的，故答案为：下降．【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用二次函数的解析式求得抛物线的开口方向是解题的关键．11.二次函数y=（x﹣1）2﹣3的图象与y轴的交点坐标是（0，﹣2）．【分析】求自变量为0时的函数值即可得到二次函数的图象与y轴的交点坐标．【解答】解：把x=0代入y=（x﹣1）2﹣3得y=1﹣3=﹣2，所以该二次函数的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2），故答案为（0，﹣2）．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，在y轴上的点的横坐标为0．12.将抛物线y=2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是y=2（x+3）2+1 ．【分析】由于抛物线平移前后二次项系数不变，然后根据顶点式写出新抛物线解析式．【解答】解：抛物线 y=2x2 平移，使顶点移到点 P（﹣3，1）的位置，所得新抛物线的表达式为 y=2（x+3）2+1．故答案为：y=2（x+3）2+1．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．13.在直角坐标平面内有一点A（3，4），点A与原点O的连线与x轴的正半轴夹角为α，那么角α的余弦值是．【分析】利用锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解．【解答】解：∵在直角坐标平面内有一点A（3，4），∴OA==5，∴cosα= ．故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识，此题比较简单，易于掌握．14.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边BC、AB上，且∠ADE=∠B，如果DE：AD=2：5，BD=3，那么AC= ，．【分析】根据∠ADE=∠B，∠EAD=∠DAB，得出△AED∽△ABD，利用相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵∠ADE=∠B，∵∠EAD=∠DAB，∴△AED∽△ABD，∴，即，∴AB=，∵AB=AC，∴AC=，故答案为：，【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．15.如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽AD=6米，坝高是20 米，背水坡AB的坡角为30°，迎水坡CD的坡度为1：2，那么坝底BC 的长度等于（46+20）米（结果保留根号）【分析】过梯形上底的两个顶点向下底引垂线AE、DF，得到两个直角三角形和一个矩形，分别解 Rt△ABE、Rt△DCF求得线段BE、CF的长，然后与EF 相加即可求得 BC 的长．【解答】解：如图，作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，则四边形ADFE 是矩形．由题意得，EF=AD=6 米，AE=DF=20 米，∠B=30°，斜坡 CD 的坡度为 1： 2，在 Rt△ABE 中，∵∠B=30°，∴BE=AE=20米．在Rt△CFD中，∵=，∴CF=2DF=40 米，∴BC=BE+EF+FC=20+6+40=46+20（米）．所以坝底BC的长度等于（46+20）米．故答案为（46+20）．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．16.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=，CD⊥AB，垂足为点D，以点D为圆心作⊙D，使得点A在⊙D外，且点B在⊙D内．设⊙D的半径为r，那么r的取值范围是．【分析】先根据勾股定理求出AB的长，进而得出CD的长，由点与圆的位置关系即可得出结论．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=3，BC=，∴AB==4．∵CD⊥AB，∴CD=．∵AD•BD=CD2，设AD=x，BD=4﹣x．解得x=∴点 A 在圆外，点 B 在圆内，r的范围是，故答案为：．【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．17.如图，点D在△ABC的边BC上，已知点E、点F分别为△ABD和△ADC 的重心，如果BC=12，那么两个三角形重心之间的距离EF的长等于4 ．【分析】连接AE并延长交BD于 G，连接AF并延长交CD于 H，根据三角形的重心的概念、相似三角形的性质解答．【解答】解：如图，连接 AE 并延长交 BD 于 G，连接 AF 并延长交 CD 于 H，∵点 E、F 分别是△ABD 和△ACD 的重心，∴DG=BD，DH=CD，AE=2GE，AF=2HF，∵BC=12，∴GH=DG+DH= （BD+CD）= BC= ×12=6，∵AE=2GE，AF=2HF，∠EAF=∠GAH，∴△EAF∽△GAH，∴==，∴EF=4，故答案为：4．【点评】本题考查了三角形重心的概念和性质，三角形的重心是三角形中线的交点，三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍．18.如图，△ABC中，AB=5，AC=6，将△ABC翻折，使得点A落到边BC 上的点A′处，折痕分别交边AB、AC于点E，点F，如果A′F∥AB，那么BE= ．【分析】设BE=x，则AE=5﹣x=AF=A'F，CF=6﹣（5﹣x）=1+x，依据△A'CF∽△BCA，可得=，即=，进而得到BE=．【解答】解：如图，由折叠可得，∠AFE=∠A'FE，∵A'F∥AB，∴∠AEF=∠A'FE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，由折叠可得，AF=A'F，设 BE=x，则 AE=5﹣x=AF=A'F，CF=6﹣（5﹣x）=1+x，∵A'F∥AB，∴△A'CF∽△BCA，∴=，即=，解得x=，∴BE=，故答案为：．【点评】本题主要考查了折叠问题以及相似三角形的判定与性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）19．（10分）计算：45°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入化简得出答案．【解答】解：原式=﹣×= ﹣= ．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20．（10分）已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣3），B（1，0），C（m，2m+3），D（﹣1，﹣2）四点，求这个函数解析式以及点C的坐标．【分析】设一般式y=ax2+bx+c，把A、B、D点的坐标代入得，然后解法组即可得到抛物线的解析式，再把 C（m，2m+3）代入解析式得到关于 m 的方程，解关于 m 的方程可确定 C 点坐标．【解答】解：设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，把A（0，﹣3），B（1，0），D（﹣1，﹣2）代入得，解得，∴抛物线的解析式为 y=2x2+x﹣3，把C（m，2m+3）代入得2m2+m﹣3=2m+3，解得m1=﹣，m2=2，∴C点坐标为（﹣，0）或（2，7）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．21．（10分）如图，已知⊙O经过△ABC的顶点A、B，交边BC于点D，点A恰为的中点，且BD=8，AC=9，sinC=，求⊙O的半径．【分析】如图，连接OA．交BC于H．首先证明OA⊥BC，在Rt△ACH中，求出AH，设⊙O的半径为r，在Rt△BOH中，根据BH2+OH2=OB2，构建方程即可解决问题；【解答】解：如图，连接 OA．交 BC 于 H．∵点A为的中点，∴OA⊥BD，BH=DH=4，∴∠AHC=∠BHO=90°，∵sinC==，AC=9，∴AH=3，设⊙O 的半径为 r，在 Rt△BOH 中，∵BH2+OH2=OB2，∴42+（r﹣3）2=r2，∴r=，∴⊙O的半径为．【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．22．（10分）下面是一位同学的一道作图题：已知线段a、b、c（如图），求作线段x，使a：b=c：x他的作法如下：（1）、以点O为端点画射线OM，ON．（2）、在OM上依次截取OA=a，AB=b．（3）、在ON上截取OC=c．（4）、联结AC，过点B作BD∥AC，交ON于点D．所以：线段CD就是所求的线段x．①试将结论补完整②这位同学作图的依据是平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例③如果OA=4，AB=5，，试用向量表示向量．【分析】①根据作图依据平行线分线段成比例定理求解可得；②根据“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例”可得；③先证△OAC∽△OBD得= ，即BD= AC，从而知= =﹣=﹣．【解答】解：①根据作图知，线段 CD 就是所求的线段 x，故答案为：CD；②这位同学作图的依据是：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；故答案为：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；③∵OA=4、AB=5，且 BD∥AC，∴△OAC∽△OBD，∴=，即=，∴BD=AC，∴= =﹣=﹣．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理及向量的计算．23．（12分）已知：如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，AD=DC，DC2=DE•DB，求证：（1）△BCE∽△ADE；（2）AB•BC=BD•BE．【分析】（1）由∠DAC=∠DCA，对顶角∠AED=∠BEC，可证△BCE∽△ADE．（2）根据相似三角形判定得出△ADE∽△BDA，进而得出△BCE∽△BDA，利用相似三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵AD=DC，∴∠DAC=∠DCA，∵DC2=DE•DB，∴=，∵∠CDE=∠BDC，∴△CDE∽△BDC，∴∠DCE=∠DBC，∴∠DAE=∠EBC，∵∠AED=∠BEC，∴△BCE∽△ADE，（2）∵DC2=DE•DB，AD=DC∴AD2=DE•DB，同法可得△ADE∽△BDA，∴∠DAE=∠ABD=∠EBC，∵△BCE∽△ADE，∴∠ADE=∠BCE，∴△BCE∽△BDA，∴= ，∴AB•BC=BD•BE．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+2ax+c（其中a、c为常数，且a＜0）与x轴交于点A，它的坐标是（﹣3，0），与y轴交于点B，此抛物线顶点C到x轴的距离为4（1）求抛物线的表达式；（2）求∠CAB的正切值；（3）如果点P是抛物线上的一点，且∠ABP=∠CAO，试直接写出点P的坐标．【分析】（1）先求得抛物线的对称轴方程，然后再求得点 C 的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+4，将点（﹣3，0）代入求得a的值即可；（2）先求得A、B、C的坐标，然后依据两点间的距离公式可得到BC、AB、AC的长，然后依据勾股定理的逆定理可证明∠ABC=90°，最后，依据锐角三角函数的定义求解即可；（3）记抛物线与x轴的另一个交点为D．先求得D（1，0），然后再证明∠DBO= ∠CAB，从而可证明∠CAO=ABD，故此当点P与点D重合时，∠ABP=∠CAO；当点P在AB的上时．过点P作PE∥AO，过点B作BF∥AO，则PE∥BF．先证明∠EPB=∠CAB，则tan∠EPB=，设BE=t，则PE=3t，P（﹣3t，3+t），将P（﹣3t，3+t）代入抛物线的解析式可求得t的值，从而可得到点P的坐标．【解答】解：（1）抛物线的对称轴为x=﹣=﹣1．∵a＜0，∴抛物线开口向下．又∵抛物线与 x 轴有交点，∴C 在 x 轴的上方，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）．设抛物线的解析式为 y=a（x+1）2+4，将点（﹣3，0）代入得：4a+4=0，解得：a=﹣1，∴抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣2x+3．（2）将x=0代入抛物线的解析式得：y=3，∴B（0，3）．∵C（﹣1，4）、B（0，3）、A（﹣3，0），∴BC=，AB=3，AC=2，∴BC2+AB2=AC2，∴∠ABC=90°．∴tan∠CAB= =．（3）如图1所示：记抛物线与x轴的另一个交点为D．∵点 D 与点 A 关于 x=﹣1 对称，∴D（1，0）．∴tan∠DBO=．又∵由（2）可知：tan∠CAB=．∴∠DBO=∠CAB．又∵OB=OA=3，∴∠BAO=∠ABO．∴∠CAO=∠ABD．∴当点 P 与点 D 重合时，∠ABP=∠CAO，∴P（1，0）．如图2所示：当点P在AB的上时．过点P作PE∥AO，过点B作BF∥AO，则PE∥BF．∵BF∥AO，∴∠BAO=∠FBA．又∵∠CAO=∠ABP，∴∠PBF=∠CAB．又∵PE∥BF，∴∠EPB=∠PBF，∴∠EPB=∠CAB．∴tan∠EPB=．设BE=t，则PE=3t，P（﹣3t，3+t）．将P（﹣3t，3+t）代入抛物线的解析式得：y=﹣x2﹣2x+3得：﹣9t2+6t+3=3+t，解得t=0（舍去）或t=．∴P（﹣，）．综上所述，点P的坐标为P（1，0）或P（﹣，）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、锐角三角函数的定义，用含 t 的式子表示点 P 的坐标是解题的关键．25．（14分）如图1，∠BAC的余切值为2，AB=2，点D是线段AB上的一动点（点D不与点A、B重合），以点D为顶点的正方形DEFG的另两个顶点E、F都在射线AC上，且点F在点E的右侧，联结BG，并延长BG，交射线EC于点P．（1）点D在运动时，下列的线段和角中，④⑤是始终保持不变的量（填序号）；①AF；②FP；③BP；④∠BDG；⑤∠GAC；⑥∠BPA；（2）设正方形的边长为x，线段AP的长为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△PFG与△AFG相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．【分析】（1）作BM⊥AC于M，交DG于N，如图，利用三角函数的定义得到=2，设BM=t，则AM=2t，利用勾股定理得（2t）2+t2=（2）2，解得t=2，即BM=2，AM=4，设正方形的边长为x，则AE=2x，AF=3x，由于tan∠GAF==，则可判断∠GAF为定值；再利用DG∥AP得到∠BDG=∠BAC，则可判断∠BDG为定值；在Rt△BMP中，利用勾股定理和三角函数可判断PB在变化，∠BPM在变化，PF在变化；（2）易得四边形DEMN为矩形，则NM=DE=x，证明△BDG∽△BAP，利用相似比可得到y与x的关系式；（3）由于∠AFG=∠PFG=90°，△PFG与△AFG相似，且面积不相等，利用相似比得到PF=x，讨论：当点P在点F点右侧时，则AP=x，所以=x，当点P在点F点左侧时，则AP= x，所以=x，然后分别解方程即可得到正方形的边长．【解答】解：（1）作BM⊥AC于M，交DG于N，如图，在Rt△ABM中，∵cot∠BAC==2，设 BM=t，则 AM=2t，∵AM2+BM2=AB2，∴（2t）2+t2=（2）2，解得t=2，∴BM=2，AM=4，设正方形的边长为 x，在Rt△ADE中，∵cot∠DAE==2，∴AE=2x，∴AF=3x，在Rt△GAF中，tan∠GAF===，∴∠GAF 为定值；∵DG∥AP，∴∠BDG=∠BAC，∴∠BDG 为定值；在Rt△BMP中，PB=，而PM在变化，∴PB 在变化，∠BPM 在变化，∴PF 在变化，所以∠BDG 和∠GAC 是始终保持不变的量；故答案为④⑤；（2）易得四边形DEMN为矩形，则NM=DE=x，∵DG∥AP，∴△BDG∽△BAP，∴=，即=，∴y= （1≤x＜2）（3）∵∠AFG=∠PFG=90°，△PFG与△AFG相似，且面积不相等，∴=，即=，∴PF=x，当点P在点F点右侧时，AP=x，∴=x，解得x=，当点P在点F点左侧时，AP=AF﹣PF=3x﹣x=x，∴=x，解得x=，综上所述，正方形的边长为或．【点评】本题考查了相似形综合题：熟练掌握锐角三角函数的定义、正方形的性质和相似三角形的判定与性质．。
2021年中考数学一模试题(含解析)
2021年中考数学一模试题(含解析)2021年上海市浦东新区中考数学一模试卷一.选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（） A．y=2x B．y=2x ﹣2 C．y=ax D．2．如果向量、、满足+=（﹣A．B．C．22），那么用、表示正确的是（）D．3．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，BC=2，那么AB的长等于（） A． B．2sinα C．D．2cosα4．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=2，BD=4，那么由下列条件能够判断DE∥BC的是（） A．B．C．D．5．如图，△ABC的两条中线AD、CE交于点G，且AD⊥CE，联结BG并延长与AC交于点F，如果AD=9，CE=12，那么下列结论不正确的是（）A．AC=10 B．AB=15 C．BG=10 D．BF=156．如果抛物线A：y=x2﹣1通过左右平移得到抛物线B，再通过上下平移抛物线B得到抛物线C：y=x﹣2x+2，那么抛物线B的表达式为（） A．y=x+2二.填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）7．已知线段a=3cm，b=4cm，那么线段a、b的比例中项等于 cm． 8．已知点P是线段AB上的黄金分割点，PB＞PA，PB=2，那么PA= ． 9．已知||=2，||=4，且和反向，用向量表示向量= ． 10．如果抛物线y=mx2+（m﹣3）x﹣m+2经过原点，那么m= ． 11．如果抛物线y=（a﹣3）x2﹣2有最低点，那么a的取值范围是．22B．y=x﹣2x﹣1 C．y=x﹣2x D．y=x﹣2x+122212．在一个边长为2的正方形中挖去一个边长为x（0＜x＜2）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是．13．如果抛物线y=ax2﹣2ax+1经过点A（﹣1，7）、B（x，7），那么x= ． 14．二次函数y=（x﹣1）的图象上有两个点（3，y1）、（，y2），那么y1 y2（填“＞”、“=”或“＜”）15．如图，已知小鱼同学的身高（CD）是1.6米，她与树（AB）在同一时刻的影子长分别为DE=2米，BE=5米，那么树的高度AB= 米．216．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD与中位线EF交于点G，若AD=2，EF=5，那么FG= ．17．如图，点M是△ABC的角平分线AT的中点，点D、E分别在AB、AC边上，线段DE过点M，且∠ADE=∠C，那么△ADE和△ABC的面积比是．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，点B、C分别落在点B'、C'处，联结BC'与AC边交于点D，那么= ．三.解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分）19．计算：2cos30°﹣sin30°+2．20．如图，已知在平行四边形ABCD中，点E是CD上一点，且DE=2，CE=3，射线AE与射线BC相交于点F；（1）求（2）如果的值； =，=，求向量；（用向量、表示）21．如图，在△ABC中，AC=4，D为BC上一点，CD=2，且△ADC与△ABD的面积比为1：3；（1）求证：△ADC∽△BAC；（2）当AB=8时，求sinB．22．如图，是某广场台阶（结合轮椅专用坡道）景观设计的模型，以及该设计第一层的截面图，第一层有十级台阶，每级台阶的高为0.15米，宽为0.4米，轮椅专用坡道AB的顶端有一个宽2米的水平面BC；《城市道路与建筑物无障碍设计规范》第17条，新建轮椅专用坡道在不同坡度的情况下，坡道高度应符合以下表中的规定：坡度最大高度（米） 1：20 1.50 1：16 1.00 1：12 0.75 （1）选择哪个坡度建设轮椅专用坡道AB是符合要求的？说明理由；（2）求斜坡底部点A与台阶底部点D的水平距离AD．23．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E是边BC上的两个点，且BD=DE=EC，过点C作CF∥AB交AE延长线于点F，连接FD并延长与AB交于点G；（1）求证：AC=2CF；（2）连接AD，如果∠ADG=∠B，求证：CD2=AC?CF．24．已知顶点为A（2，﹣1）的抛物线经过点B（0，3），与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧）；（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB、BD、DA，求△ABD的面积；（3）点P在x轴正半轴上，如果∠APB=45°，求点P的坐标．25．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是射线CB上的动点，点F是射线CD上一点，且AF⊥AE，射线EF与对角线BD交于点G，与射线AD交于点M；（1）当点E在线段BC上时，求证：△AEF∽△ABD；（2）在（1）的条件下，联结AG，设BE=x，tan∠MAG=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）当△AGM与△ADF相似时，求BE的长．2021年上海市浦东新区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（） A．y=2x2 B．y=2x ﹣2 C．y=ax2 D．【考点】二次函数的定义．【分析】根据二次函数的定义形如y=ax+bx+c （a≠0）是二次函数．【解答】解：A、是二次函数，故A符合题意； B、是一次函数，故B错误；C、a=0时，不是二次函数，故C错误；D、a≠0时是分式方程，故D错误；故选：A．【点评】本题考查二次函数的定义，形如y=ax+bx+c （a≠0）是二次函数． 2．如果向量、、满足+=（﹣A．B．C．），那么用、表示正确的是（）22D．【考点】*平面向量．【分析】利用一元一次方程的求解方法，求解此题即可求得答案．【解答】解：∵ +=（﹣∴2（+）=3（﹣∴2+2=3﹣2，∴2=﹣2，解得： =故选D．【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握一元一次方程的求解方法是解此题的关键．﹣．），），3．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，BC=2，那么AB的长等于（） A． B．2sinα C．D．2cosα【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据锐角三角函数的定义得出sinA=，代入求出即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，BC=2，∴sinA=∴AB=故选A．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键，注意：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，则sinA=4．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=2，BD=4，那么由下列条件能够判断DE∥BC的是（） A．B．C．D．，cosA=，tanA=．， =，【考点】平行线分线段成比例；平行线的判定；相似三角形的判定与性质．【分析】先求出比例式，再根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC，根据相似推出∠ADE=∠B，根据平行线的判定得出即可．【解答】解：只有选项C正确，理由是：∵AD=2，BD=4，∴==，=，∵∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC，根据选项A、B、D的条件都不能推出DE∥BC，故选C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．5．如图，△ABC的两条中线AD、CE交于点G，且AD⊥CE，联结BG并延长与AC交于点F，如果AD=9，CE=12，那么下列结论不正确的是（）A．AC=10 B．AB=15 C．BG=10 D．BF=15【考点】三角形的重心．【分析】根据题意得到点G是△ABC的重心，根据重心的性质得到AG=AD=6，CG=CE=8，EG=CE=4，根据勾股定理求出AC、AE，判断即可．【解答】解：∵△ABC的两条中线AD、CE交于点G，∴点G是△ABC的重心，∴AG=AD=6，CG=CE=8，EG=CE=4，∵AD⊥CE，∴AC=AE=∴AB=2AE=4=2=10，A正确；，，B错误；∵AD⊥CE，F是AC的中点，∴GF=AC=5，∴BG=10，C正确； BF=15，D正确，故选：B．【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．6．如果抛物线A：y=x﹣1通过左右平移得到抛物线B，再通过上下平移抛物线B得到抛物线C：y=x﹣2x+2，那么抛物线B的表达式为（） A．y=x2+2B．y=x2﹣2x﹣1 C．y=x2﹣2x D．y=x2﹣2x+122【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】平移不改变抛物线的开口方向与开口大小，即解析式的二次项系数不变，根据抛物线的顶点式可求抛物线解析式．【解答】解：抛物线A：y=x﹣1的顶点坐标是（0，﹣1），抛物线C：y=x﹣2x+2=（x﹣1）222+1的顶点坐标是（1，1）．则将抛物线A向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到抛物线C．所以抛物线B是将抛物线A向右平移1个单位得到的，其解析式为y=（x﹣1）2﹣1=x2﹣2x．故选：C．【点评】本题考查了抛物线的平移与解析式变化的关系．关键是明确抛物线的平移实质上是顶点的平移，能用顶点式表示平移后的抛物线解析式．二.填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）7．已知线段a=3cm，b=4cm，那么线段a、b的比例中项等于 2【考点】比例线段．【分析】根据线段的比例中项的定义列式计算即可得解．【解答】解：∵线段a=3cm，b=4cm，∴线段a、b的比例中项=故答案为：2．=2cm．cm．【点评】本题考查了比例线段，熟记线段比例中项的求解方法是解题的关键，要注意线段的比例中项是正数．8．已知点P是线段AB上的黄金分割点，PB＞PA，PB=2，那么PA= 【考点】黄金分割．﹣1 ．【分析】根据黄金分割的概念和黄金比值是计算即可．【解答】解：∵点P是线段AB上的黄金分割点，PB＞PA，∴PB=解得，AB= AB， +1， +1﹣2=﹣1．﹣1，∴PA=AB﹣PB=故答案为：【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，把线段AB分成两条线段AC 和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割． 9．已知||=2，||=4，且和反向，用向量表示向量= ﹣2 ．【考点】*平面向量．【分析】根据向量b向量的模是a向量模的2倍，且和反向，即可得出答案．【解答】解：||=2，||=4，且和反向，故可得： =﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了平面向量的知识，关键是得出向量b向量的模是a向量模的2倍．10．如果抛物线y=mx+（m﹣3）x﹣m+2经过原点，那么m= 2 ．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据图象上的点满足函数解析式，可得答案．【解答】解：由抛物线y=mx+（m﹣3）x﹣m+2经过原点，得﹣m+2=0．解得m=2，故答案为：2．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，把原点代入函数解析式是解题关键．11．如果抛物线y=（a﹣3）x2﹣2有最低点，那么a的取值范围是 a＞3 ．【考点】二次函数的最值．【分析】由于原点是抛物线y=（a+3）x2的最低点，这要求抛物线必须开口向上，由此可以22确定a的范围．【解答】解：∵原点是抛物线y=（a﹣3）x2﹣2的最低点，∴a﹣3＞0，即a＞3．故答案为a＞3．【点评】本题主要考查二次函数的最值的知识点，解答此题要掌握二次函数图象的特点，本题比较基础．12．在一个边长为2的正方形中挖去一个边长为x（0＜x＜2）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是 y=﹣x2+4（0＜x＜2）．【考点】函数关系式．【分析】根据剩下部分的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积得出y与x 的函数关系式即可．【解答】解：设剩下部分的面积为y，则： y=﹣x+4（0＜x＜2），故答案为：y=﹣x2+4（0＜x＜2）．【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积得出是解题关键．13．如果抛物线y=ax﹣2ax+1经过点A（﹣1，7）、B（x，7），那么x= 3 ．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】首先求出抛物线的对称轴方程，进而求出x的值．【解答】解：∵抛物线的解析式为y=ax﹣2ax+1，∴抛物线的对称轴方程为x=1，∵图象经过点A（﹣1，7）、B（x，7），∴∴x=3，故答案为3．【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出抛物线的对称轴，=1，222此题难度不大．14．二次函数y=（x﹣1）2的图象上有两个点（3，y1）、（，y2），那么y1 ＜ y2（填“＞”、“=”或“＜”）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】把两点的横坐标代入函数解析式分别求出函数值即可得解．【解答】解：当x=3时，y1=（3﹣1）2=4，当x=时，y2=（﹣1）2=y1＜y2，故答案为＜．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据函数图象上的点满足函数解析式求出相应的函数值是解题的关键．15．如图，已知小鱼同学的身高（CD）是1.6米，她与树（AB）在同一时刻的影子长分别为DE=2米，BE=5米，那么树的高度AB= 4 米．，【考点】相似三角形的应用．【分析】由CD⊥BE、AB⊥BE知CD∥AB，从而得△CDE∽△ABE，由相似三角形的性质有将相关数据代入计算可得．【解答】解：由题意知CD⊥BE、AB⊥BE，∴CD∥AB，∴△CDE∽△ABE，∴ =，即=，=，解得：AB=4，故答案为：4．【点评】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．16．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD与中位线EF交于点G，若AD=2，EF=5，那么FG= 4 ．【考点】梯形中位线定理．【分析】根据梯形中位线性质得出EF∥AD∥BC，推出DG=BG，则EG是△ABD 的中位线，即可求得EG的长，则FG即可求得．【解答】解：∵EF是梯形ABCD 的中位线，∴EF∥AD∥BC，∴DG=BG，∴EG=AD=×2=1，∴FG=EF﹣EG=5﹣1=4．故答案是：4．【点评】本题考查了梯形的中位线，三角形的中位线的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力．17．如图，点M是△ABC的角平分线AT的中点，点D、E分别在AB、AC边上，线段DE过点M，且∠ADE=∠C，那么△ADE和△ABC的面积比是 1：4 ．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：∵AT是△ABC的角平分线，∵点M是△ABC的角平分线AT的中点，∴AM=AT，∵∠ADE=∠C，∠BAC=∠BAC，∴△ADE∽△ACB，∴=（）=（）=1：4，22故答案为：1：4．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，点B、C分别落在点B'、C'处，联结BC'与AC边交于点D，那么=．【考点】旋转的性质．【分析】根据直角三角形的性质得到BC=AB，根据旋转的性质和平行线的判定得到AB∥B′C′，根据平行线分线段成比例定理计算即可．【解答】解：∵∠C=90°，∠B=60°，∴∠BAC=30°，∴BC=AB，由旋转的性质可知，∠CAC′=60°，AB′=AB，B′C′=BC，∠C′=∠C=90°，∴∠BAC′=90°，∴AB∥B′C′，∴∴==，==，∵∠BAC=∠B′AC，∴==，又=，∴=，故答案为：．【点评】本题考查的是旋转变换的性质，掌握对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角、旋转前、后的图形全等是解题的关键．三.解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分） 19．计算：2cos230°﹣sin30°+【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：原式=2×（=1+ +．）﹣+2．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 20．如图，已知在平行四边形ABCD中，点E是CD上一点，且DE=2，CE=3，射线AE与射线BC相交于点F；（1）求（2）如果的值； =，=，求向量；（用向量、表示）【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；*平面向量．【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AB=5、AB∥EC，证△FEC∽△FAB得=；（2）由△FEC∽△FAB得质及向量可得===，==，从而知FC=BC，EC=AB，再由平行四边形性，最后根据向量的运算得出答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，DE=2，CE=3，∴AB=DC=DE+CE=5，且AB∥EC，∴△FEC∽△FAB，∴（2）∵△FEC∽△FAB，∴=，==；∴FC=BC，EC=AB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，EC∥AB，∴∴则===+=， ==，=．=，【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质及向量的运算，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．21．如图，在△ABC中，AC=4，D为BC上一点，CD=2，且△ADC与△ABD的面积比为1：3；（1）求证：△ADC∽△BAC；（2）当AB=8时，求sinB．【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形．【分析】（1）作AE⊥BC，根据△ADC与△ABD的面积比为1：3且CD=2可得BD=6，即BC=8，从而得，结合∠C=∠C，可证得△ADC∽△BAC；，求出AD的长，根据AE⊥BC得DE=CD=1，由勾股定理（2）由△ADC∽△BAC得求得AE的长，最后根据正弦函数的定义可得．【解答】解：（1）如图，作AE⊥BC于点E，∵===，∴BD=3CD=6，∴CB=CD+BD=8，则∴=，，，∵∠C=∠C，∴△ADC∽△BAC；（2）∵△ADC∽△BAC，∴，即，∴AD=AC=4，∵AE⊥BC，∴DE=CD=1，∴AE=∴sinB===．，【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质及勾股定理、等腰三角形的性质、三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．22．如图，是某广场台阶（结合轮椅专用坡道）景观设计的模型，以及该设计第一层的截面图，第一层有十级台阶，每级台阶的高为0.15米，宽为0.4米，轮椅专用坡道AB的顶端有一个宽2米的水平面BC；《城市道路与建筑物无障碍设计规范》第17条，新建轮椅专用坡道在不同坡度的情况下，坡道高度应符合以下表中的规定：坡度最大高度（米） 1：20 1.50 1：16 1.00 1：12 0.75 （1）选择哪个坡度建设轮椅专用坡道AB是符合要求的？说明理由；（2）求斜坡底部点A与台阶底部点D的水平距离AD．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】（1）计算最大高度为：0.15×10=1.5（米），由表格查对应的坡度为：1：20；（2）作梯形的高BE、CF，由坡度计算AE和DF的长，相加可得AD 的长．【解答】解：（1）∵第一层有十级台阶，每级台阶的高为0.15米，∴最大高度为0.15×10=1.5（米），由表知建设轮椅专用坡道AB选择符合要求的坡度是1：20；（2）如图，过B 作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，∴BE=CF=1.5，EF=BC=2，∵∴==，，∴AE=DF=30，∴AD=AE+EF+DF=60+2=62，答：斜坡底部点A与台阶底部点D的水平距离AD为62米．【点评】本题考查了坡度坡角问题，在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，利用三角函数的定义列等式即可．23．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E是边BC上的两个点，且BD=DE=EC，过点C作CF∥AB交AE延长线于点F，连接FD并延长与AB交于点G；（1）求证：AC=2CF；（2）连接AD，如果∠ADG=∠B，求证：CD=AC?CF．2【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．【分析】（1）由BD=DE=EC知BE=2CE，由CF∥AB证△ABE∽△FCE得根据AB=AC即可得证；（2）由∠1=∠B证△DAG∽△BAD得∠AGD=∠ADB，即∠B+∠2=∠5+∠6，结合∠B=∠5、∠2=∠3得∠3=∠6，再由CF∥AB得∠4=∠B，继而知∠4=∠5，即可证△ACD∽△DCF得CD=AC?CF．【解答】证明：（1）∵BD=DE=EC，∴BE=2CE，∵CF∥AB，∴△ABE∽△FCE，∴=2，即AB=2FC，2=2，即AB=2FC，又∵AB=AC，∴AC=2CF；（2）如图，∵∠1=∠B，∠DAG=∠BAD，∴△DAG∽△BAD，∴∠AGD=∠ADB，∴∠B+∠2=∠5+∠6，又∵AB=AC，∠2=∠3，∴∠B=∠5，∴∠3=∠6，∵CF∥AB，∴∠4=∠B，∴∠4=∠5，则△ACD∽△DCF，∴，即CD2=AC?CF．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形外角性质和平行线的性质得出三角形相似所需要的条件是解题的关键．24．已知顶点为A（2，﹣1）的抛物线经过点B（0，3），与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧）；（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB、BD、DA，求△ABD的面积；（3）点P在x轴正半轴上，如果∠APB=45°，求点P的坐标．【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）﹣1，把（0，3）代入可得a=1，即可解决问题．（2）首先证明∠ADB=90°，求出BD、AD的长即可解决问题．（3）由△PDB ∽△ADP，推出PD2=BD?AD=3=6，由此即可解决问题．2【解答】解：（1）∵顶点为A（2，﹣1）的抛物线经过点B（0，3），∴可以假设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，把（0，3）代入可得a=1，∴抛物线的解析式为y=x﹣4x+3．（2）令y=0，x﹣4x+3=0，解得x=1或3，∴C（1，0），D（3，0），∵OB=OD=3，∴∠BDO=45°，∵A（2，﹣1），D（3，0），∴∠ADO=45°，∴∠BDA=90°，∵BD=3，AD=，22∴S△ABD=?BD?AD=3．（3）∵∠BDO=∠DPB+∠DBP=45°，∠APB=∠DPB+∠DPA=45°，∴∠DBP=∠APD，∵∠PDB=∠ADP=135°，∴△PDB∽△ADP，∴PD2=BD?AD=3∴PD=∴OP=3+∴点P（3+，，，0）．=6，【点评】本题考查二次函数与x轴的交点、待定系数法．三角形的面积、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．25．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是射线CB上的动点，点F是射线CD上一点，且AF⊥AE，射线EF与对角线BD交于点G，与射线AD交于点M；（1）当点E在线段BC上时，求证：△AEF∽△ABD；（2）在（1）的条件下，联结AG，设BE=x，tan∠MAG=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）当△AGM与△ADF相似时，求BE的长．【考点】相似形综合题．【分析】（1）首先证明△ABE∽△ADF，推出=，推出=，因为∠BAD=∠EAF，即可证明△AEF∽△ABD．（2）如图连接AG．由△AEF∽△ABD，推出∠ABG=∠AEG，推出A、B、E、G四点共圆，推出∠ABE+∠AGE=180°，由∠ABE=90°，推出∠AGE=90°，推出∠AGM=∠MDF，推出∠AMG=∠FMD，推出∠MAG=∠EFC，推出y=tan∠MAG=tan∠EFC=x，由此即可解决问题．（3）分两种情形①如图2中，当点E在线段CB上时，②如图3中，当点E在CB的延长线上时，分别列出方程求解即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ADC=∠ADF=90°，∵AF⊥AE，∴∠EAF=90°，∴∠BAD=∠EAF，∴∠BAE=∠DAF，∵∠ABE=∠ADF=90°，∴△ABE∽△ADF，∴∴==，，∵∠BAD=∠EAF，，由△ABE∽△ADF，得=，得DF=∴△AEF∽△ABD．（2）解：如图连接AG．∵△AEF∽△ABD，∴∠ABG=∠AEG，∴A、B、E、G四点共圆，∴∠ABE+∠AGE=180°，∵∠ABE=90°，∴∠AGE=90°，∴∠AGM=∠MDF，∴∠AMG=∠FMD，∴∠MAG=∠EFC，∴y=tan ∠MAG=tan∠EFC=∵△ABE∽△ADF，∴=，，∴DF=x，∴y=，即y=（0≤x≤4）．（3）解：①如图2中，当点E在线段CB上时，∵△AGM∽ADF，∴tan∠MAG==，∴=，解得x=．②如图3中，当点E在CB的延长线上时，由△MAG∽△AFD∽△EFC，∴=，∴=，解得x=1，∴BE的长为或1．【点评】本题考查相似形综合题、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、四点共圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．21/ 21。
2021年浦东新区初三数学一模试卷加答案(精准校对完整版)
2021年浦东新区初三数学一模试卷加答案（精准校对完整版）浦东新区2021年一模数学试卷（含答案详解）（总分150）2021一、选择题：（本大题共6小题，每题4分，满分24分）1.如果两个相似三角形对应边之比是1:4，那么它们的对应边上的中线之比是（）A. 1:2B. 1:4C. 1:8D. 1:162.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则sinA的值为（）A 3344A. B. C. D. 4553 DE3.如图，点D、E分别在AB、AC上，以下能推得DE//BC的条件是（） A. AD:AB=DE:BC； B.AD:DB=DE:BC；CBC. AD:DB=AE:EC； D. AE:AC=AD:DB. y 24.已知二次函数y=ax+bx+c的图像如图所示，那么a、b、c的符号为（） A. a＜0，b＜0，c＞0； B. a＜0，b＜0，c＜0；o C. a＞0，b＞0，c＞0； D. a＞0，b＞0，c＜0. x5.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（） A. AC2=AD・AB； B. CD2=CA・CB；CC. CD2=AD・DB； D. BC2=BD・BA.6.下列命题是真命题的是（）A. 有一个角相等的两个等腰三角形相似； BADB. 两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似；C. 四个内角都对应相等的两个四边形相似；D. 斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似.二、填空题（本大题共12小题，每题4分，满分48分）x1x7.已知，那么 . ==y3x+y 18.计算： . 2 a-3(a+b)=39.上海与杭州的实际距离约200千米，在比例尺1:5000 000的地图上，上海与杭州的图上距离约厘米.10.某滑雪运动员沿着坡比为1：3 的斜坡向下滑行了100m，则运动员下降的垂直高度是米.11.将抛物线y=(x+1)2向下平移2个单位，得到新抛物线的函数解析式是 .12.二次函数y=ax2+bx+c 的图像如图所示，对称轴为直线x=2，若此抛物线与x轴的一个交点为（6,0），则抛物线与x轴的另一个交点坐标是 .13.如图，已知AD是△ABC的中点，点G是△ABC的重心， AB = a，那么用向量表示向量为. a AG14.如图，在△ABC中，AC=6，BC=9，D是△ABC的边BC上的点，且∠CAD=∠B，那么CD的长是.AB115.如图，直线AA1//BB1//CC1，如果 ,AA1=2，CC1=6，那么线段BB1的长为 . = BC3AABAA1B1GBDCCDBCC1第12题图第13题图第14题图第15题16.如图是小明在建筑物AB上用激光仪测量另一建筑物CD高度的示意图，在地面点P 处水平放置一平面镜.一束激光从点A射出经平面镜上的点P反射后刚好射到建筑物CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=15米，BP=20米，PD=32米，B、P、D在一条直线上，那么建筑物CD的高度是米.17.若抛物线y=ax2+c与x轴交于点A（m，0），B（n，0），与y轴交于点C（0，c），则称△ABC为“抛物三角形”.特别地，当mnc＜0时，称△ABC为“倒抛物三角形”时，a、c应分别满足条件 .18.在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，D是边AB上的一点，E是边AC上的一点（D、E均与端点不重合），如果△CDE与△ABC相似，那么CE= .三、解答题（本大题共7小题，满分78分） 19.（本题满分10分）计算：sin45°+6tan30°-2cos30°. 220.（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）二次函数y=ax2+bx+c的变量x与变量y的部分对应值如下表： x ? -3 -2 -1 0 1 5 ? y ? 7 0 -5 -8 -9 7 ? （1）求此二次函数的解析式；（2）写出抛物线顶点坐标和对称轴.21. （本题满分10分，每小题8分）如图，梯形ABCD中，AD//BC，点E是边AD的中点，联结BE并延长交CD的延长线于点F，交AC于点G.（1）若FD=2,ED:BC=1:3，求线段DC的长；（2）求证：EF・GB=BF・GE.22. （本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）如图，l为一条东西方向的笔直公路，一辆小汽车在这段限速为80千米/小时的公路上由西向东匀速行驶，依次经过点A、B、C. P是一个观测点，PC⊥l，PC=60米，4，∠BPC=45°，测得该车从点A行驶到点B tan∠APC= 3所用时间为1秒.（1）求A、B两点间的距离；（2）试说明该车是否超过限速.FAEGDBC23. （本题满分12分，每小题6分）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥BC交AB于点E，AD=AC，EC交AD于点F. （1）求证：△ABC∽△FCD； A（2）求证：FC=3EF.EFBCD24. （本题满分12分，每小题4分）如图，抛物线y=ax2+2ax+c（a＞0）与x轴交于A（-3,0）、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点 C（0，-3），抛物线的顶点为M. （1）求a、c的值；（2）求tan∠MAC的值；（3）若点P是线段AC上一个动点，联结OP.问：是否存在点P，使得以点O、C、P为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.25. （本题满分14分，第（1）（2）小题，每题5分，第（3）小题4分）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E为AD边上的一个动点（与点A、D不重合），∠EBM=45°，BE交对角线AC于点F，BM交对角线AC于点G，交CD于点M.（1）如图1，联结BD，求证：△DEB∽△CGB，并写出DE:CG的值；（2）联结EG，如图2，若设AE=x，EG=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当M为边DC的三等分点时，求S△EGF的面积.DMCDMCDCGEFABGEFABAB备用图感谢您的阅读，祝您生活愉快。
2021年上海市浦东新区中考数学一模试卷
7 AB2021 年上海市浦东新区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．（4 分）如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角 A 的余切值（）1 A ．扩大为原来的两倍 B ．缩小为原来的2C ．不变D ．不能确定2．（4 分）下列函数中，二次函数是（ ）1A ．y=﹣4x +5B ．y=x （2x ﹣3）C ．y=（x +4）2﹣x 2D ．y=x 23．（4 分）已知在 Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=7，BC=5，那么下列式子中正确的是（）5 5 5 5A ．sinA=B ．cosA= 7C ．tanA= 7D ．cotA=7‹ ‹ ‹‹‹4．（4 分）已知非零向量a ，b ，c ，下列条件中，不能判定向量a 与向量b 平行的是（）‹ ‹ ‹ ‹‹‹‹ ‹ ‹ ‹‹‹ ‹A ．a " c ， b " cB ．|a |=3|b |C ．a =c ，b =2cD ．a + b =05．（4 分）如果二次函数 y=ax 2+bx +c 的图象全部在 x 轴的下方，那么下列判断中正确的是（）A ．a ＜0，b ＜0B ．a ＞0，b ＜0C ．a ＜0，c ＞0D ．a ＜0，c ＜06．（4 分）如图，已知点 D 、F 在△ABC 的边 AB 上，点 E 在边 AC 上，且 DE ∥BC ，要使得 EF ∥CD ，还需添加一个条件，这个条件可以是（）A ．EF =ADAE =ADAF =ADAF =ADCD ABB ．AC C ．D ．AD AD DBAB二、填空题：（本大题共12 题，每题4 分，满分48 分）x3 x㌳y7．（4 分）已知= ，则= ．y2 x+y8．（4 分）已知线段MN 的长是4cm，点P 是线段MN 的黄金分割点，则较长线段MP 的长是cm．3 9．（4 分）已知△ABC∽△A1B1C1，△ABC 的周长与△A1B1C1的周长的比值是，2 BE、B1E1分别是它们对应边上的中线，且BE=6，则B1E1= ．‹‹ 1 ‹10．（4 分）计算：3a+2（a㌳2 b）=．11．（4 分）计算：3tan30°+sin45°=．12．（4 分）抛物线y=3x2﹣4 的最低点坐标是．13．（4 分）将抛物线y=2x2向下平移3 个单位，所得的抛物线的表达式是．14．（4 分）如图，已知直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，AB=4，AC=6，DF=9，则DE= ．15．（4 分）如图，用长为10 米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过10 米），围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x 米，花圃面积为S 平方米，则S 关于x 的函数解析式是（不写定义域）．16．（4 分）如图，湖心岛上有一凉亭B，在凉亭B 的正东湖边有一棵大树A，在湖边的C 处测得B 在北偏西45°方向上，测得A 在北偏东30°方向上，又测得A、C 之间的距离为100 米，则A、B 之间的距离是米（结果保留根号形式）．17．（4 分）已知点（﹣1，m）、（2，n ）在二次函数y=ax2﹣2ax﹣1 的图象上，如果m＞n，那么a0（用“＞”或“＜”连接）．4，BC=8，点D 在边18．（4 分）如图，已知在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，cosB=5BC 上，将△ABC 沿着过点D 的一条直线翻折，使点B 落在AB 边上的点E 处，联结CE、DE，当∠BDE=∠AEC 时，则BE 的长是．三、解答题：（本大题共7 题，满分78 分） 19．（10 分）将抛物线y=x2﹣4x+5 向左平移4 个单位，求平移后抛物线的表达式、顶点坐标和对称轴． 20．（10 分）如图，已知△ABC 中，点D、E 分别在边AB 和AC 上，DE∥BC，且‹‹DE 经过△ABC 的重心，设BC=a．‹‹（1）D E=（用向量a表示）；‹‹‹ 1 ‹（2）设AB=b，在图中求作b + 2 a．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量．）21．（10 分）如图，已知G、H 分别是▱ABCD 对边AD、BC 上的点，直线GH 分别交 BA 和 DC 的延长线于点 E 、F ． （1）当S OCF 䁣1 C 䁣S= 时，求 的值； 四边形CDh 䁣8 Dh（2）联结 BD 交 EF 于点 M ，求证：MG•ME=MF•MH ．22．（10 分）如图，为测量学校旗杆 AB 的高度，小明从旗杆正前方 3 米处的点 C 出发，沿坡度为 i=1： 3的斜坡 CD 前进 2 3米到达点 D ，在点 D 处放置测角仪， 测得旗杆顶部 A 的仰角为 37°，量得测角仪 DE 的高为 1.5 米．A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，且旗杆和测角仪都与地面垂直． （1）求点 D 的铅垂高度（结果保留根号）； （2）求旗杆 AB 的高度（精确到 0.1）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， 3≈1.73．）23．（12 分）如图，已知，在锐角△ABC 中，CE ⊥AB 于点 E ，点 D 在边 AC 上，联结 BD 交 CE 于点 F ，且 EF•FC=FB•DF ． （1）求证：BD ⊥AC ；（2）联结 AF ，求证：AF•BE=BC•EF ．24．（12 分）已知抛物线y=ax2+bx+5 与x 轴交于点A（1，0）和点B（5，0），顶点为M．点C 在x 轴的负半轴上，且AC=AB，点D 的坐标为（0，3），直线l 经过点C、D．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 是直线l 在第三象限上的点，联结AP，且线段CP 是线段CA、CB 的比例中项，求tan∠CPA 的值；（3）在（2）的条件下，联结AM、BM，在直线PM 上是否存在点E，使得∠AEM= ∠AMB？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由．25．（14 分）如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，点D 在射线BC 上，以点D 为圆心，BD 为半径画弧交边AB 于点E，过点E 作EF⊥AB 交边AC 于点F，射线ED 交射线AC 于点G．（1）求证：△EFG∽△AEG；（2）设FG=x，△EFG 的面积为y，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域；（3）联结DF，当△EFD 是等腰三角形时，请直接写出FG 的长度．7 2018 年上海市浦东新区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4 分）如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角 A 的余切值（）1 A ．扩大为原来的两倍 B ．缩小为原来的2C ．不变D ．不能确定【分析】根据△ABC 三边的长度都扩大为原来的两倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角 A 的大小没改变，从而得出答案．【解答】解：因为△ABC 三边的长度都扩大为原来的两倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角 A 的大小没改变，所以锐角 A 的余切值也不变． 故选：C ．2．（4 分）下列函数中，二次函数是（ ）1A ．y=﹣4x +5B ．y=x （2x ﹣3）C ．y=（x +4）2﹣x 2D ．y=x 2【分析】根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论．【解答】解：A 、y=﹣4x +5 为一次函数； B 、y=x （2x ﹣3）=2x 2﹣3x 为二次函数； C 、y=（x +4）2﹣x 2=8x +16 为一次函数；1D 、y=x2不是二次函数．故选：B ．3．（4 分）已知在 Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=7，BC=5，那么下列式子中正确的是（）5 5 5 5A ．sinA=B ．cosA= 7C ．tanA= 7D ．cotA=7C【分析】首先利用勾股定理求得 AC 的长，然后利用三角函数的定义求解．【解答】解：AC= AB 2 ㌳BC 2= 132 ㌳52=12， A 、sinA= BC 5= ．故本选项正确；AB 7 AC 7B 、cosA= = ，故本选项错误；AB 12 BC 5C 、tanA= A =12 ，故本选项错误；D 、cotA= AC 12= 5 ，故本选项错误；BC 故选：A ．‹ ‹ ‹‹‹4．（4 分）已知非零向量a ，b ，c ，下列条件中，不能判定向量a 与向量b 平行的是（）‹ ‹ ‹ ‹‹‹‹ ‹ ‹ ‹‹‹ ‹A ．a " c ， b " cB ．|a |=3|b |C ．a =c ，b =2c 【分析】根据向量的性质进行逐一判定即可．D ．a + b =0 ‹ ‹ ‹ ‹‹ ‹ ‹‹ ‹【解答】解：A 、由a " c ，b " c 推知非零向量 a 、b 、c 的方向相同，则 a " b ， 故本选项错误；‹‹‹ ‹B 、由|a| = 3|b||不能确定非零向量 a 、b 的方向，故不能判定其位置关系，故本 选项正确．‹‹ ‹‹‹ ‹ ‹‹ ‹C 、由a = c 、b = 2c 推知非零向量 a 、b 、c 的方向相同，则 a " b ，故本选项错 误；‹‹‹ ‹‹ ‹D 、由a + b = 0 推知非零向量 a 、b 的方向相同，则 a " b ，故本选项错误； 故选：B ．AB 5．（4 分）如果二次函数 y=ax 2+bx +c 的图象全部在 x 轴的下方，那么下列判断中正确的是（）A ．a ＜0，b ＜0B ．a ＞0，b ＜0C ．a ＜0，c ＞0D ．a ＜0，c ＜0【分析】由抛物线在 x 轴的下方，即可得出抛物线与 x 轴无交点且 a ＜0，进而即可得出 a ＜0、c ＜0，此题得解．【解答】解：∵二次函数 y=ax 2+bx +c 的图象全部在 x 轴的下方，4ac ㌳b 2∴a ＜0， 4a＜0，∴a ＜0，c ＜0， 故选：D ．6．（4 分）如图，已知点 D 、F 在△ABC 的边 AB 上，点 E 在边 AC 上，且 DE ∥BC ，要使得 EF ∥CD ，还需添加一个条件，这个条件可以是（）A ．EF =ADAE =ADAF = AD AF = ADCD AB B ．AC C ． D ．AD AD DB【分析】由平行线分线段成比例可以得到AE = AD，则根据等量代换可以推知AE = AF，进而得出 EF ∥CD ． AC ABAC AD【解答】解：∵DE ∥BC ， AE = AD ∴AC AB ， ∴当AF = AD AE = AF ，AD AB 时，AC AD ∴EF ∥CD ，故 C 选项符合题意； 而 A ，B ，D 选项不能得出 EF ∥CD ， 故选：C ．AB二、填空题：（本大题共12 题，每题4 分，满分48 分）= = x 3 x ㌳y 17．（4 分）已知 = ，则 = ．y 2 x+y 5【分析】根据已知条件 x 3= ，可设 x=3a ，则 y=2a ，然后把它们代入所求式子，即 x ㌳y可求出 x+yy 2的值．【解答】解：设 x=3a 时，y=2a ， x ㌳y 则 3a ㌳2a a 1 = ． x+y 3a+2a 5a 51故答案为 ．58．（4 分）已知线段 MN 的长是 4cm ，点 P 是线段 MN 的黄金分割点，则较长线段 MP 的长是 （2 5﹣2） cm ．【分析】根据黄金分割的概念得到 MP= 5㌳1 2MN ，把 MN=4cm 代入计算即可．【解答】解：∵P 是线段 MN 的黄金分割点， 5㌳1∴MP= 2MN ，而 MN=4cm ，5㌳1∴MP=4× 2=（2 5﹣2）cm ．故答案为（2 5﹣2）．3 9．（4 分）已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，△ABC 的周长与△A 1B 1C 1 的周长的比值是2，BE 、B 1E 1 分别是它们对应边上的中线，且 BE=6，则 B 1E 1= 4 ．【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比列比例式求解即可．3 【解答】解：∵△ABC ∽△A 1B 1C 1，△ABC 的周长与△A 1B 1C 1 的周长的比值是 ，2BE 3 ∴ = ， B 1E 1 2 6 3 即 = ， B 1E 1 2解得 B 1E 1=4． 故答案为：4．3 2 + + ． ‹ ‹1 ‹‹ ‹ 10．（4 分）计算：3a +2（a ㌳2 b ）= 5a ﹣b ． 【分析】根据平面向量的加法法则计算即可；‹ ‹ 1 ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹【解答】解：3a +2（a ㌳2 b ）=3a +2a ﹣b =5a ﹣b ；‹ ‹故答案为 5a ﹣b ；11．（4 分）计算：3tan30°+sin45°= 3 2 ． 2【分析】直接将已知三角函数值代入求出答案．【解答】解：原式=3× 2 + 2 ． 故答案为： 3 2 23 + 212．（4 分）抛物线 y=3x 2﹣4 的最低点坐标是 （0，﹣4） ．【分析】利用配方法把抛物线的一般式转化为顶点式，再写出顶点坐标即可．【解答】解：y=3x 2﹣4∴顶点（0，﹣4），即最低点坐标是（0，﹣4），故答案为：（0，﹣4）．13．（4 分）将抛物线 y=2x 2 向下平移 3 个单位，所得的抛物线的表达式是 y=2x 2 ﹣3 ．【分析】根据向下平移，纵坐标要减去 3，即可得到答案．【解答】解：∵抛物线 y=2x 2 向下平移 3 个单位，∴抛物线的解析式为 y=2x 2﹣3． 故答案为：y=2x 2﹣3．14．（4 分）如图，已知直线 l 1、l 2、l 3 分别交直线 l 4 于点 A 、B 、C ，交直线 l 5 于点 D 、E 、F ，且 l 1∥l 2∥l 3，AB=4，AC=6，DF=9，则 DE= 6 ．= 3=【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，AB=5，AC=8，DF=12，AB=DE∴AC DF，4 DE即，6 9可得；DE=6，故答案为：6．15．（4 分）如图，用长为10 米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过10 米），围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x 米，花圃面积为S 平方米，则S 关于x 的函数解析式是S=﹣2x2+10x （不写定义域）．【分析】根据题意列出S 与x 的二次函数解析式即可．【解答】解：设平行于墙的一边为（10﹣2x）米，则垂直于墙的一边为x 米，根据题意得：S=x（10﹣2x）=﹣2x2+10x，故答案为：S=﹣2x2+10x16．（4 分）如图，湖心岛上有一凉亭B，在凉亭B 的正东湖边有一棵大树A，在湖边的C 处测得B 在北偏西45°方向上，测得A 在北偏东30°方向上，又测得A、C 之间的距离为100 米，则A、B 之间的距离是（50 3+50）米（结果保留根号形式）．3【分析】过点 C ⊥AB 于点 D ，在 Rt △ACD 中，求出 AD 、CD 的值，然后在 Rt △ BCD 中求出 BD 的长度，继而可求得 AB 的长度．【解答】解：如图，过点 C ⊥AB 于点 D ，在 Rt △ACD 中，∵∠ACD=30°，AC=100m ，∴AD=100•sin ∠ACD=100×0.5=50（m ），CD=100•cos ∠ACD=100× 在 Rt △BCD 中，∵∠BCD=45°，∴BD=CD=50 3m ，2=50 3（m ）， 则 AB=AD +BD=50 3+50（m ），即 A 、B 之间的距离约为（50 3+50）米． 故答案为：（50 3+50）．17．（4 分）已知点（﹣1，m ）、（2，n ）在二次函数 y=ax 2﹣2ax ﹣1 的图象上，如果 m ＞n ，那么 a ＞ 0（用“＞”或“＜”连接）．【分析】二次函数的性质即可判定．【解答】解：∵二次函数的解析式为 y=ax 2﹣2ax ﹣1，∴该抛物线对称轴为 x=1，∵|﹣1﹣1|＞|2﹣1|，且 m ＞n ，∴a ＞0．故答案为：＞．4 18．（4 分）如图，已知在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，cosB=5，BC=8，点 D 在边 BC 上，将△ABC 沿着过点 D 的一条直线翻折，使点 B 落在 AB 边上的点 E 处，联 39 结 CE 、DE ，当∠BDE=∠AEC 时，则 BE 的长是 5． 【分析】如图作 CH ⊥AB 于 H ．由题意 EF=BF ，设 EF=BF=a ，则 BD=△ECD ∽△BCE ，可得 EC 2=CD•CB ，延长构建方程即可解决问题；【解答】解：如图作 CH ⊥AB 于 H ．4 5 a ，只要证明 4在 Rt △ACB 中，∵BC=8，cosB= ， 5 AC·BC 24 32∴AB=10，AC=8，CH= AB = 5 ，BH= 5 ， 5 由题意 EF=BF ，设 EF=BF=a ，则 BD= a ， 4∵∠BDE=∠AEC ，∴∠CED +∠ECB=∠ECB +∠B ，∴∠CED=∠B ，∵∠ECD=∠BCE ，∴△ECD ∽△BCE ，∴EC 2=CD•CB ，24 32 5 ∴（ 5 ）2+（2a ﹣ 5 ）2=（8﹣ a ）×8， 39 解得 a= 104 或 0（舍弃），39∴BE=2a= 5 ， 39 故答案为 5 ．三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分） 19．（10 分）将抛物线 y=x 2﹣4x +5 向左平移 4 个单位，求平移后抛物线的表达式、顶点坐标和对称轴．【分析】先将抛物线 y=x 2﹣4x +5 化为顶点坐标式，再按照“左加右减，上加下减” 的规律平移则可．【解答】解：∵y=x 2﹣4x +4﹣4+5=（x ﹣2）2+1，∴平移后的函数解析式是 y=（x +2）2+1．顶点坐标是（﹣2，1）．对称轴是直线 x=﹣2．20．（10 分）如图，已知△ABC 中，点 D 、E 分别在边 AB 和 AC 上，DE ∥BC ，且 ‹ ‹DE 经过△ABC 的重心，设BC =a ．‹ 2 ‹ ‹ （1）D E = a （用向量a 表示）； 3 ‹ ‹ ‹ 1 ‹（2）设AB =b ，在图中求作b + 2 a ．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量．）2 【分析】（1）由 DE ∥BC 推出 AD ：AB=AG ：AF=DE ：BC=2：3，推出 DE=3 BC ，由 ‹ ‹ ‹ 2 ‹BC =a ，推出DE =3a ； ‹（2）作△ABC 的中线 AF ，结论：AF 就是所要求作的向量；【解答】解：（1）如图设 G 是重心，作中线 AF ．∵DE ∥BC ，∴AD ：AB=AG ：AF=DE ：BC=2：3，2 ∴DE= BC ， 3‹ ‹∵BC =a ， ‹ 2 ‹ ∴DE = a ． 32 ‹ 故答案为 a 3（2）作△ABC 的中线 AF ，‹ 结论：AF 就是所要求作的向量．21．（10 分）如图，已知 G 、H 分别是▱ ABCD 对边 AD 、BC 上的点，直线 GH 分别交 BA 和 DC 的延长线于点 E 、F ．（1）当 S OCF 䁣1 C 䁣 S = 时，求 的值； 四边形CDh 䁣8 Dh （2）联结 BD 交 EF 于点 M ，求证：MG•ME=MF•MH ．【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质解答即可；（2）根据平行四边形的性质和相似三角形的相似比解答即可．【解答】（1）解：∵ S OCF 䁣 =1 S 四边形CDh 䁣 8S OCF 䁣= 1 ∴ ． S ODFh 9，∵□ABCD 中，AD∥BC，= M ∴△CFH ∽△DFG ．S OCF 䁣 = t C 䁣 ) = 1 ∴ ． S ODFh Dh 9 C 䁣 = 1 ∴ ． Dh 3（2）∵□ABCD 中，AD ∥BC ，∴MB = M 䁣． MD Mh∵□ABCD 中，AB ∥CD ，ME = MB ∴ F MD ．ME M 䁣 ∴ ． MF Mh∴MG•ME=MF•MH ．22．（10 分）如图，为测量学校旗杆 AB 的高度，小明从旗杆正前方 3 米处的点C 出发，沿坡度为 i=1： 3的斜坡 CD 前进 2 3米到达点 D ，在点 D 处放置测角仪， 测得旗杆顶部 A 的仰角为 37°，量得测角仪 DE 的高为 1.5 米．A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，且旗杆和测角仪都与地面垂直．（1）求点 D 的铅垂高度（结果保留根号）；（2）求旗杆 AB 的高度（精确到 0.1）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， 3≈1.73．）【分析】（1）延长 ED 交 BC 延长线于点 H ，则∠CHD=90°，Rt △CDH 中求得 CH=CDcos3 × 2=3、DH= 1 CD= 3； 2 （2）作 EF ⊥AB ，可得 EH=BF=1.5+ 3、EF=BH=BC +CH=6，根据 AF=EFtan ∠AEF ≈4.5、AB=AF +BF 可得答案．3∠DCH=2【解答】解：（1）延长ED 交射线BC 于点H．由题意得DH⊥BC．在Rt△CDH 中，∠DHC=90°，tan∠DCH=i=1：3．∴∠DCH=30°．∴CD=2DH．∵CD=2 3，∴DH= 3，CH=3．答：点D 的铅垂高度是3米．（2）过点 E 作EF⊥AB 于F．由题意得，∠AEF 即为点 E 观察点 A 时的仰角，∴∠AEF=37°．∵EF⊥AB，AB⊥BC，ED⊥BC，∴∠BFE=∠B=∠BHE=90°．∴四边形FBHE 为矩形．∴EF=BH=BC+CH=6．FB=EH=ED+DH=1.5+ 3．在Rt△AEF 中，∠AFE=90°，AF=EFtan∠AEF≈6×0.75≈4.5．∴AB=AF+FB=6+ 3≈6+1.73≈7.7．答：旗杆AB 的高度约为7.7 米．23．（12 分）如图，已知，在锐角△ABC 中，CE⊥AB 于点E，点D 在边AC 上，联结BD 交CE 于点F，且EF•FC=FB•DF．= B （1）求证：BD ⊥AC ；（2）联结 AF ，求证：AF•BE=BC•EF ．【分析】（1）根据相似三角形的判定得出△EFB ∽△DFC ，再根据相似三角形的性质解答即可；（2）由△EFB ∽△DFC 得出∠ABD=∠ACE ，进而判断△AEC ∽△FEB ，再利用相似三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵EF•F C=FB •DF ， ∴EF = FB DF FC ．∵∠EFB=∠DFC ，∴△EFB ∽△DFC ．∴∠FEB=∠FDC ．∵CE ⊥AB ，∴∠FEB=90°．∴∠FDC=90°．∴BD ⊥AC ．（2）∵△EFB ∽△DFC ，∴∠ABD=∠ACE ．∵CE ⊥AB ，∴∠FEB=∠AEC=90°．∴△AEC ∽△FEB ．AE = EC ∴FE E ．AE FE ∴ ． EC EB∵∠AEC=∠FEB=90°，∴△AEF ∽△CEB ．= AF EF ∴ ， CB EB∴AF•BE=BC•EF ．24．（12 分）已知抛物线 y=ax 2+bx +5 与 x 轴交于点 A （1，0）和点 B （5，0），顶点为 M ．点 C 在 x 轴的负半轴上，且 AC=AB ，点 D 的坐标为（0，3），直线 l 经过点 C 、D ．（1）求抛物线的表达式；（2）点 P 是直线 l 在第三象限上的点，联结 AP ，且线段 CP 是线段 CA 、CB 的比例中项，求 tan ∠CPA 的值；（3）在（2）的条件下，联结 AM 、BM ，在直线 PM 上是否存在点 E ，使得∠AEM= ∠AMB ？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点（1，0），B （5，0）代入抛物线的解析式可得到 a 、b 的值，从而可得到抛物线的解析式；（2）先求得 AC 和 BC 的长，然后依据比例中项的定义可求得 CP 的长，接下来， 再证明△CPA ∽△CBP ，依据相似三角形的性质可得到∠CPA=∠CBP ，然后过 P 作 PH ⊥x 轴于 H ，接下来，由△PCH 为等腰直角三角形可得到 CH 和 PH 的长，从而 P 䁣 可得到点 P 的坐标，然后由 tan ∠CPA=tan ∠CBP=B 䁣求解即可； （3）过点 A 作 AN ⊥PM 于点 N ，则 N （1，﹣4）．当点 E 在 M 左侧，则∠BAM= ∠AME ．然后证明△AEM ∽△BMA ，依据相似三角形的性质可求得 ME 的长，从而可得到点 E 的坐标；当点 E 在 M 右侧时，记为点 E′，然后由点 E′与 E 关于直线 AN 对称求解即可．2 2 【解答】解：（1）∵抛物线 y=ax 2+bx +5 与 x 轴交于点 A （1，0），B （5，0），∴ a + b + 5 = 0 25a + 5b + 5 = 0 ，解得 a = 1 ． b =㌳6∴抛物线的解析式为 y=x 2﹣6x +5．（2）∵A （1，0），B （5，0），∴OA=1，AB=4．∵AC=AB 且点 C 在点 A 的左侧，∴AC=4．∴CB=CA +AB=8．∵线段 CP 是线段 CA 、CB 的比例中项，CA CP ∴ = ． CP CB∴CP=4 2．又∵∠PCB 是公共角，∴△CPA ∽△CBP ．∴∠CPA=∠CBP ．过 P 作 PH ⊥x 轴于 H ．∵OC=OD=3，∠DOC=90°，∴∠DCO=45°．∴∠PCH=45°∴PH=CH= CP=4， ∴H （﹣7，0），BH=12．25 2 5 ∴P （﹣7，﹣4）．P 䁣 1 1 ∴tan ∠CBP= = ，tan ∠CPA= ．B 䁣 3 3（3）∵抛物线的顶点是 M （3，﹣4），又∵P （﹣7，﹣4），∴PM ∥x 轴．当点 E 在 M 左侧，则∠BAM=∠AME ．过点 A 作 AN ⊥PM 于点 N ，则 N （1，﹣4）．∵∠AEM=∠AMB ，∴△AEM ∽△BMA ．ME AM ∴ = ． AM ABME ∴ = 4 ．∴ME=5，∴E （﹣2，﹣4）．当点 E 在 M 右侧时，记为点 E′，∵∠AE′N=∠AEN ，∴点 E ′与 E 关于直线 AN 对称，则 E ′（4，﹣4）．综上所述，E 的坐标为（﹣2，﹣4）或（4，﹣4）．25．（14 分）如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，点D 在射线BC3 5 3 5 上，以点 D 为圆心，BD 为半径画弧交边 AB 于点 E ，过点 E 作 EF ⊥AB 交边 AC 于点 F ，射线 ED 交射线 AC 于点 G ．（1）求证：△EFG ∽△AEG ；（2）设 FG=x ，△EFG 的面积为 y ，求 y 关于 x 的函数解析式并写出定义域；（3）联结 DF ，当△EFD 是等腰三角形时，请直接写出 FG 的长度．【分析】（1）先证明∠A=∠2，然后利用相似三角形的判定方法即可得到结论；（2）作 EH ⊥AF 于点 H ，如图 1，利用勾股定理计算出 AB=2 5，利用△EFG ∽△ AEG 得到 EF AE = Fh Eh = Eh EF Ah ， 再证明 Rt △ AEF ∽ Rt △ ACB 得到 2 = AE AF 4 = 2 5 ， 所以 EF 1 x = = Eh = ，则 EG=2x ，AG=4x ，AF=3x ，EF= x ，AE= 6 5 x ，接着•利用相似 AE 2 Eh Ah 5 5 6 12比表示出 EH=5x ，AH= 5x ，然后根据三角形面积公式表示出 y 与 x 的关系，最后 利用 CF=4﹣3x 可确定 x 的范围；8 （3）先表示 CG=4x ﹣4，GH= x ，讨论：当 ED=EF= 5 5 x 时，如图 1，则 BD=DE= 5 x ， 1 3 5 所以 DC=2﹣ x ；当 DE=DF 时，如图 2，作 DM ⊥EF 于 M ，则 EM= EF= x ， 2 10 3 3 3证明△DEM ∽△BAC ，利用相似比表示 DE=4x ，则 BD=DE=4x ，所以 CD=2﹣4x ； 当 FE=FD 时，如图 3，作 FN ⊥EG 于 N ，则 EN=DN ，证明△NEF ∽△CAB ，利用相6 12 12 12似比表示出 EN=5x ，则 DE=2EN= 5 x ，所以 BD=DE= 5 x ，CD=2﹣ 5x ，然后利用△ GCD ∽△GHE ，根据相似比得到关于 x 的方程，再分别解方程求出定义的 x 的值即可．【解答】（1）证明：∵ED=BD ，3 5 3 5 52 5 ∴∠B=∠2，∵∠ACB=90°，∴∠B +∠A=90°．∵EF ⊥AB ，∴∠BEF=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠A=∠2，∵∠EGF=∠AGE ，∴△EFG ∽△AEG ；（2）解：作 EH ⊥AF 于点 H ，如图 1，在 Rt △ABC 中，AB= 22 + 42=2 5， ∵△EFG ∽△AEG ，EF Fh Eh ∴ = = ， AE Eh Ah∵∠EAF=∠CAB ，∴Rt △AEF ∽Rt △ACB ，EF AE AF EF AE AF ∴ = = ，即 = = ， BC AC AB 2 4 EF 1 x Eh ∴ = = = ， AE 2 Eh Ah∴EG=2x ，AG=4x ，∴AF=AG ﹣FG=3x ，3 5 6 5∴EF= 5 x ，AE= 5x ， ∵EH ∥BC ，E 䁣 AE A 䁣 6 5x E 䁣 5 A 䁣 ∴ = = ，即 = 5 = ， BC AB AC 2 2 46 12∴EH=5x ，AH= 5 x ， 1 1 6 3 4 ∴y= FG •E H= •x •5x=5x 2（0＜x ＜ ）， 2 2 3 12 8（3）解：CG=AG ﹣AC=4x ﹣4，GH=AG ﹣AH=4x ﹣ 5 x=5x ， 当 ED=EF=355x 时，如图 1，则 BD=DE=355x ，3 5 25 ㌳ 5 5 3 5 2 5 25 ㌳ 5 5 3 5∴DC=2﹣ 5x ， ∵CD ∥EH ，∴△GCD ∽△GHE ，CD hC 6 8 ∴ = ，即（2﹣ x ）： x=（4x ﹣4）： x ，解得 x= ； E 䁣 h 䁣 5 5 5 12 1 当 DE=DF 时，如图 2，作 DM ⊥EF 于 M ，则 EM= ∵∠DEM=∠A ，∴△DEM ∽△BAC ，EF= x ， 2 10DE EM DE 3 5x 3 ∴ = ，即 = 10 ，解得 DE= x ，AB AC 4 43 ∴BD=DE= x ，4 3 ∴CD=2﹣ x ， 4 ∵CD ∥EH ，∴△GCD ∽△GHE ，CD hC 3 6 8 4 ∴ = ，即（2﹣ x ）： x=（4x ﹣4）： x ，解得 x= ； E 䁣 h 䁣 4 5 5 3 当 FE=FD 时，如图 3，作 FN ⊥EG 于 N ，则 EN=DN ， ∵∠NEF=∠A ，∴△NEF ∽△CAB ，Et EF Et 3 5x 6 ∴ = ，即 = 5 ，解得 EN= x ，AC AB 4 2 5 512∴DE=2EN= 5 x ， 12∴BD=DE= 5 x ， 12∴CD=2﹣ 5x ， ∵CD ∥EH ， ∴△GCD ∽△GHE ，CD hC 12 6 8 25 ∴ = ，即（2﹣ x ）： x=（4x ﹣4）： x ，解得 x= ； E 䁣 h 䁣 5 5 4 25 5 27 综上所述，FG 的长为 或 或 ． 3 27 12。
〖汇总3套试卷〗上海市浦东新区2021年中考数学毕业生学业模拟试题
中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE=165°，则∠B的度数为（）A．15°B．55°C．65°D．75°【答案】D【解析】根据邻补角定义可得∠ADE=15°，由平行线的性质可得∠A=∠ADE=15°，再根据三角形内角和定理即可求得∠B=75°．【详解】解：∵∠CDE=165°，∴∠ADE=15°，∵DE∥AB，∴∠A=∠ADE=15°，∴∠B=180°﹣∠C﹣∠A=180°﹣90°﹣15°=75°，故选D．【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握平行线的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．2．下列命题是假命题的是（）A．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形B．等边三角形有3条对称轴C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等D．有一边对应相等的两个等边三角形全等【答案】C【解析】解：A．外角为120°，则相邻的内角为60°，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形可以判断，故A选项正确；B．等边三角形有3条对称轴，故B选项正确；C．当两个三角形中两边及一角对应相等时，其中如果角是这两边的夹角时，可用SAS来判定两个三角形全等，如果角是其中一边的对角时，则可不能判定这两个三角形全等，故此选项错误；D．利用SSS．可以判定三角形全等．故D选项正确；故选C．3．如图，CD是⊙O的弦，O是圆心，把⊙O的劣弧沿着CD对折，A是对折后劣弧上的一点，∠CAD=100°，则∠B的度数是（）A ．100°B ．80°C ．60°D ．50°【答案】B【解析】试题分析：如图，翻折△ACD ，点A 落在A′处，可知∠A=∠A′=100°，然后由圆内接四边形可知∠A′+∠B=180°，解得∠B=80°. 故选：B4．我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何。
∥3套精选试卷∥上海市浦东新区2020-2021中考数学第一次适应性考试题
中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，4），顶点A在x轴的正半轴上．反比例函数kyx(x>0)的图象经过顶点B，则k的值为A．12 B．20 C．24 D．32【答案】D【解析】如图，过点C作CD⊥x轴于点D，∵点C的坐标为（3，4），∴OD=3，CD=4.∴根据勾股定理，得：OC=5.∵四边形OABC是菱形，∴点B的坐标为（8，4）.∵点B在反比例函数(x>0)的图象上，∴.故选D.2．如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是（）A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠3=∠5 D．∠3+∠4=180°【答案】C【解析】解：A．∵∠1与∠2是直线a，b被c所截的一组同位角，∴∠1=∠2，可以得到a∥b，∴不符合题意B ．∵∠2与∠3是直线a ，b 被c 所截的一组内错角，∴∠2=∠3，可以得到a ∥b ，∴不符合题意，C ．∵∠3与∠5既不是直线a ，b 被任何一条直线所截的一组同位角，内错角，∴∠3=∠5，不能得到a ∥b ，∴符合题意，D ．∵∠3与∠4是直线a ，b 被c 所截的一组同旁内角，∴∠3+∠4=180°，可以得到a ∥b ，∴不符合题意， 故选C ．【点睛】本题考查平行线的判定，难度不大．3．已知=2{=1x y 是二元一次方程组+=8{ =1mx ny nx my -的解，则2m n -的算术平方根为（ ） A ．±2B ．C ．2D ．4 【答案】C【解析】二元一次方程组的解和解二元一次方程组，求代数式的值，算术平方根．【分析】∵=2{=1x y 是二元一次方程组+=8{ =1mx ny nx my -的解，∴2+=8{2=1m n n m -，解得=3{=2m n ． ∴2=232=4=2m n -⨯-．即2m n -的算术平方根为1．故选C ．4．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）A ．三棱柱B ．三棱锥C ．圆柱D ．圆锥【答案】A 【解析】试题分析：观察可得，主视图是三角形，俯视图是两个矩形，左视图是矩形，所以这个几何体是三棱柱，故选A ．考点：由三视图判定几何体.5．小华在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数弄脏了而看不清楚，被弄脏的方程是 11()1323x x x ▲---+=-， 这该怎么办呢？他想了一想，然后看了一下书后面的答案，知道此方程的解是x ＝5，于是，他很快便补好了这个常数，并迅速地做完了作业。
2021年上海市浦东新区中考数学一模试卷
23上海市浦东新区中考数学一模试卷一.选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，共24 分）1．（4 分）在下列y 关于x 的函数中，一定是二次函数的是（）A．y=2x2 B．y=2x﹣2 C．y=ax2 D．y =ax‹‹‹‹ ‹ 3‹ 2 ‹‹‹‹2．（4 分）如果向量a、b、x满足x+a= （a﹣b），那么x用a、b表示正确的是2 3（）‹‹ 5 ‹‹‹ 2 ‹ 1 ‹‹A．a —2b B． a — b C．a —b2D． a —b23．（4 分）已知在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=α，BC=2，那么AB 的长等于（）2A．B．2sinαC．2D．2cosαsthαctsα4．（4 分）在△ABC 中，点D、E 分别在边AB、AC 上，如果AD=2，BD=4，那么由下列条件能够判断DE∥BC 的是（）AE=1 DE=1AE=1 DE=1A．AC2B．BC3C．AC 3D．BC 25．（4 分）如图，△ABC 的两条中线AD、CE 交于点G，且AD⊥CE，联结BG 并延长与AC 交于点F，如果AD=9，CE=12，那么下列结论不正确的是（）A．AC=10 B．AB=15 C．BG=10 D．BF=156．（4 分）如果抛物线A：y=x2﹣1 通过左右平移得到抛物线B，再通过上下平移抛物线B 得到抛物线C：y=x2﹣2x+2，那么抛物线B 的表达式为（）A．y=x2+2 B．y=x2﹣2x﹣1 C．y=x2﹣2xD．y=x2﹣2x+1二.填空题（本大题共12 题，每题 4 分，共48 分）7．（4 分）已知线段a=3cm，b=4cm，那么线段a、b 的比例中项等于cm．8．（4 分）已知点P 是线段AB 上的黄金分割点，PB＞PA，PB=2，那么PA=．‹‹‹‹‹‹9．（4 分）已知|a|=2，|b|=4，且b和a反向，用向量a表示向量b=．10．（4 分）如果抛物线y=mx2+（m﹣3）x﹣m+2 经过原点，那么m=．11．（4 分）如果抛物线y=（a﹣3）x2﹣2 有最低点，那么a 的取值范围是．12．（4 分）在一个边长为2 的正方形中挖去一个边长为x（0＜x＜2）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y 关于x 的函数解析式是．13．（4 分）如果抛物线y=ax2﹣2ax+1 经过点A（﹣1，7）、B（x，7），那么x= ．9，y2），那么14．（4 分）二次函数y=（x﹣1）2的图象上有两个点（3，y1）、（2y1 y2（填“＞”、“=”或“＜”）15．（4 分）如图，已知小鱼同学的身高（CD）是1.6 米，她与树（AB）在同一时刻的影子长分别为DE=2 米，BE=5 米，那么树的高度AB= 米．16．（4 分）如图，梯形ABCD 中，AD∥BC，对角线BD 与中位线EF 交于点G，若AD=2，EF=5，那么FG= ．17．（4 分）如图，点M 是△ABC 的角平分线AT 的中点，点D、E 分别在AB、AC 边上，线段DE 过点M，且∠ADE=∠C，那么△ADE 和△ABC 的面积比是．18．（4 分）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，将△ABC 绕点A 逆时针旋BD转60°，点B、C 分别落在点B'、C'处，联结BC'与AC 边交于点D，那么= ．DC'三.解答题（本大题共7 题，共10+10+10+10+12+12+14=78 分）119．（10 分）计算：2cos230°﹣sin30°+ ．c tጚ30°—2s t h͵5°20．（10 分）如图，已知在平行四边形ABCD 中，点E 是CD 上一点，且DE=2，CE=3，射线AE 与射线BC 相交于点F；E体（1）求的值；A体‹‹‹‹‹‹‹（2）如果A B=a，A D=b，求向量E体；（用向量a、b表示）21．（10 分）如图，在△ABC 中，AC=4，D 为BC 上一点，CD=2，且△ADC 与△ABD 的面积比为1：3；（1）求证：△ADC∽△BAC；（2）当AB=8 时，求sinB．22．（10 分）如图，是某广场台阶（结合轮椅专用坡道）景观设计的模型，以及该设计第一层的截面图，第一层有十级台阶，每级台阶的高为0.15 米，宽为0.4 米，轮椅专用坡道AB 的顶端有一个宽2 米的水平面BC；《城市道路与建筑物无障碍设计规范》第17 条，新建轮椅专用坡道在不同坡度的情况下，坡道高度应符合以下表中的规定：坡度1：20 1：16 1：12最大高度米）1 1 0. . .5 0 70 0 5（（1）选择哪个坡度建设轮椅专用坡道AB 是符合要求的？说明理由；（2）求斜坡底部点 A 与台阶底部点 D 的水平距离AD．23．（12 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，点D、E 是边BC 上的两个点，且BD=DE=EC，过点C 作CF∥AB 交AE 延长线于点F，连接FD 并延长与AB 交于点G；（1）求证：AC=2CF；（2）连接AD，如果∠ADG=∠B，求证：CD2=AC•CF．24．（12 分）已知顶点为A（2，﹣1）的抛物线经过点B（0，3），与x 轴交于C、D 两点（点C 在点D 的左侧）；（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB、BD、DA，求△ABD 的面积；（3）点P 在x 轴正半轴上，如果∠APB=45°，求点P 的坐标．25．（14 分）如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点E 是射线CB 上的动点，点F 是射线CD 上一点，且AF⊥AE，射线EF 与对角线BD 交于点G，与射线AD 交于点M；（1）当点 E 在线段BC 上时，求证：△AEF∽△ABD；（2）在（1）的条件下，联结AG，设BE=x，tan∠MAG=y，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）当△AGM 与△ADF 相似时，求BE 的长．2 3 2017 年上海市浦东新区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，共 24 分）1．（4 分）在下列 y 关于 x 的函数中，一定是二次函数的是（）A ．y=2x 2B ．y=2x ﹣2C ．y=ax 2D ．y = ax【分析】根据二次函数的定义形如 y=ax 2+bx +c （a ≠0）是二次函数． 【解答】解：A 、是二次函数，故 A 符合题意； B 、是一次函数，故 B 错误； C 、a=0 时，不是二次函数，故 C 错误； D 、a ≠0 时是分式方程，故 D 错误； 故选：A ．‹ ‹ ‹‹ ‹ 3‹2 ‹ ‹ ‹ ‹2．（4 分）如果向量a 、b 、x 满足x +a = （a ﹣ b ），那么x 用a 、b 表示正确的是2 3（）‹‹5 ‹‹‹2 ‹1 ‹ ‹A ．a — 2bB ． a — bC ．a — b 2D ． a — b2【分析】利用一元一次方程的求解方法，求解此题即可求得答案． ‹ ‹ 3 ‹ 2 ‹【解答】解：∵x +a = （a ﹣ b ），2 3‹ ‹ ‹ 2 ‹∴2（x +a ）=3（a ﹣ 3b ），‹ ‹ ‹ ‹∴2x +2a =3a ﹣2b ， ‹ ‹‹∴2x =a ﹣2b ，‹ 1 ‹ ‹解得：x =2a ﹣b ． 故选：D ．3．（4 分）已知在 Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=α，BC=2，那么 AB 的长等于（）2 A ． B ．2sinα C ． 2D ．2cosαsthα ctsα3【分析】根据锐角三角函数的定义得出 sinA= BC，代入求出即可．AB【解答】解：∵在 Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=α，BC=2，BC∴sinA= ，AB BC 2∴AB= = ，sthA sthα 故选：A ．4．（4 分）在△ABC 中，点 D 、E 分别在边 AB 、AC 上，如果 AD=2，BD=4，那么 由下列条件能够判断 DE ∥BC 的是（ ）AE = 1 DE = 1AE = 1 DE =1A ．AC2 B ．BC3 C ．AC 3 D ．BC 2 【分析】先求出比例式，再根据相似三角形的判定得出△ADE ∽△ABC ，根据相似推出∠ADE=∠B ，根据平行线的判定得出即可．【解答】解： 只有选项 C 正确，AE 1理由是：∵AD=2，BD=4， = ，AC 3AD AE 1 ∴AB =AC = ， ∵∠DAE=∠BAC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴∠ADE=∠B ， ∴DE ∥BC ，根据选项 A 、B 、D 的条件都不能推出 DE ∥BC ， 故选：C ．5．（4 分）如图，△ABC 的两条中线 AD 、CE 交于点 G ，且 AD ⊥CE ，联结 BG 并延长与 AC 交于点 F ，如果 AD=9，CE=12，那么下列结论不正确的是（）A．AC=10 B．AB=15 C．BG=10 D．BF=152【分析】根据题意得到点G 是△ABC 的重心，根据重心的性质得到AG= AD=6，32 1CG= CE=8，EG= CE=4，根据勾股定理求出AC、AE，判断即可．3 3【解答】解：∵△ABC 的两条中线AD、CE 交于点G，∴点G 是△ABC 的重心，2 2 1∴AG= AD=6，CG= CE=8，EG= CE=4，3 3 3∵AD⊥CE，∴AC= AG2 + CG2=10，A 正确；AE= AG2 + EG2=2 13，∴AB=2AE=4 13，B 错误；∵AD⊥CE，F 是AC 的中点，1∴GF= AC=5，2∴BG=10，C 正确；BF=15，D 正确，故选：B．6．（4 分）如果抛物线A：y=x2﹣1 通过左右平移得到抛物线B，再通过上下平移抛物线B 得到抛物线C：y=x2﹣2x+2，那么抛物线B 的表达式为（）A．y=x2+2 B．y=x2﹣2x﹣1 C．y=x2﹣2xD．y=x2﹣2x+1【分析】平移不改变抛物线的开口方向与开口大小，即解析式的二次项系数不变，根据抛物线的顶点式可求抛物线解析式．【解答】解：抛物线A：y=x2﹣1 的顶点坐标是（0，﹣1），抛物线C：y=x2﹣2x+2= （x﹣1）2+1 的顶点坐标是（1，1）．则将抛物线A 向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到抛物线C．所以抛物线B 是将抛物线 A 向右平移 1 个单位得到的，其解析式为y=（x﹣1）2﹣1=x2﹣2x．故选：C．二.填空题（本大题共12 题，每题 4 分，共48 分）7．（4 分）已知线段a=3cm，b=4cm，那么线段a、b 的比例中项等于 2 3cm．【分析】根据线段的比例中项的定义列式计算即可得解．【解答】解：∵线段a=3cm，b=4cm，∴线段a、b 的比例中项= 3 × ͵=23cm．故答案为：2 3．8．（4 分）已知点P 是线段AB 上的黄金分割点，PB＞PA，PB=2，那么PA= 5 ﹣1 ．【分析】根据黄金分割的概念和黄金比值是5—12计算即可．【解答】解：∵点P 是线段AB 上的黄金分割点，PB＞PA，5—1∴PB=2AB，解得，AB= 5+1，∴PA=AB﹣PB= 5+1﹣2= 5﹣1，故答案为：5﹣1．‹‹‹‹‹‹‹9．（4 分）已知|a|=2，|b|=4，且b和a反向，用向量a表示向量b=﹣2a．‹‹【分析】根据向量 b 向量的模是 a 向量模的 2 倍，且b和a反向，即可得出答案．‹‹‹‹【解答】解：|a|=2，|b|=4，且b和a反向，‹‹故可得：b=﹣2a ． 故答案为：﹣2‹a ．10．（4 分）如果抛物线y=mx2+（m﹣3）x﹣m+2 经过原点，那么m= 2 ．【分析】根据图象上的点满足函数解析式，可得答案．【解答】解：由抛物线y=mx2+（m﹣3）x﹣m+2 经过原点，得﹣m+2=0．解得m=2，故答案为：2．11．（4 分）如果抛物线y=（a﹣3）x2﹣2 有最低点，那么a 的取值范围是a＞3 ．【分析】由于原点是抛物线y=（a+3）x2 的最低点，这要求抛物线必须开口向上，由此可以确定a 的范围．【解答】解：∵原点是抛物线y=（a﹣3）x2﹣2 的最低点，∴a﹣3＞0，即a＞3．故答案为a＞3．12．（4 分）在一个边长为2 的正方形中挖去一个边长为x（0＜x＜2）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y 关于x 的函数解析式是y=﹣x2+4（0＜x＜2）．【分析】根据剩下部分的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积得出y 与x 的函数关系式即可．【解答】解：设剩下部分的面积为y，则：y=﹣x2+4（0＜x＜2），故答案为：y=﹣x2+4（0＜x＜2）．13．（4 分）如果抛物线y=ax2﹣2ax+1 经过点A（﹣1，7）、B（x，7），那么x= 3 ．【分析】首先求出抛物线的对称轴方程，进而求出x 的值．【解答】解：∵抛物线的解析式为y=ax2﹣2ax+1，∴抛物线的对称轴方程为x=1，∵图象经过点A（﹣1，7）、B（x，7），—1+x=1，∴2∴x=3，故答案为3．914．（4 分）二次函数y=（x﹣1）2的图象上有两个点（3，y1）、（，y2），那么2y1＜y2（填“＞”、“=”或“＜”）【分析】把两点的横坐标代入函数解析式分别求出函数值即可得解．【解答】解：当x=3 时，y1=（3﹣1）2=4，9 9 ͵9当x= 时，y2=（﹣1）2= ，2 2 ͵y1＜y2，故答案为＜．15．（4 分）如图，已知小鱼同学的身高（CD）是1.6 米，她与树（AB）在同一时刻的影子长分别为DE=2 米，BE=5 米，那么树的高度AB= 4 米．【分析】由CD⊥BE、AB⊥BE 知CD∥AB，从而得△CDE∽△ABE，由相似三角形CD DE的性质有= ，将相关数据代入计算可得．AB BE【解答】解：由题意知CD⊥BE、AB⊥BE，∴CD∥AB，∴△CDE∽△ABE，C D D E1‸〷 2∴= ，即= ，AB BE AB 5解得：AB=4，故答案为：4．16．（4 分）如图，梯形ABCD 中，AD∥BC，对角线BD 与中位线EF 交于点G，若AD=2，EF=5，那么FG= 4 ．【分析】根据梯形中位线性质得出EF∥AD∥BC，推出DG=BG，则EG 是△ABD 的中位线，即可求得EG 的长，则FG 即可求得．【解答】解：∵EF 是梯形ABCD 的中位线，∴EF∥AD∥BC，∴DG=BG，1 1∴EG= AD= ×2=1，2 2∴FG=EF﹣EG=5﹣1=4．故答案是：4．17．（4 分）如图，点M 是△ABC 的角平分线AT 的中点，点D、E 分别在AB、AC 边上，线段DE 过点M，且∠ADE=∠C，那么△ADE 和△ABC 的面积比是1：4 ．【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：∵AT 是△ABC 的角平分线，∵点M 是△ABC 的角平分线AT 的中点，1∴AM= AT，2∵∠ADE=∠C，∠BAC=∠BAC，∴△ADE∽△ACB，S O A D E A t 1∴S =（A㠮）2=（）2=1：4，OACB 222 故答案为：1：4． 18．（4 分）如图，在 Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，将△ABC 绕点 A 逆时针旋 BD 转 60° ，点 B 、C 分别落在点 B'、C'处，联结 BC'与 AC 边交于点 D ，那么DC'= 2 3．【分析】根据直角三角形的性质得到 BC= 1 AB ，根据旋转的性质和平行线的判定 2得到 AB ∥B′C′，根据平行线分线段成比例定理计算即可．【解答】解：∵∠C=90°，∠B=60°，∴∠BAC=30°，1∴BC= AB ， 2由旋转的性质可知，∠CAC′=60°，AB′=AB ，B′C′=BC ，∠C′=∠C=90°，∴∠BAC′=90°，∴AB ∥B′C′，B'E ∴ EA = CE' BE B'C' 1= AB = ， AB 3∴AE = ， ∵∠BAC=∠B′AC ，BD AB 3 CE' 1 ∴ = = ，又 = ， DE AE 2 BE 2 BD 2 ∴ = ， DC' 3 2 故答案为： ． 33 2 3—2× 2 ，从而知 FC= 三.解答题（本大题共 7 题，共 10+10+10+10+12+12+14=78 分）1 19．（10 分）计算：2cos 230°﹣sin30°+ ． c t ጚ30°—2s t h ͵5°【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．1 1 【解答】解：原式=2×（ ）2﹣ +2 2=1+ 2+ 3．20．（10 分）如图，已知在平行四边形 ABCD 中，点 E 是 CD 上一点，且 DE=2， CE=3，射线 AE 与射线 BC 相交于点 F ；E 体 （1）求 的值；A 体‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹（2）如果A B =a ，A D =b ，求向量E 体；（用向量a 、b 表示）【分析】（1）根据平行四边形的性质得出 AB=5、AB ∥EC ，证△FEC ∽△FAB 得 E 体 EC 3 = = ； A 体 AB 5 （2）由△FEC ∽△FAB 得EC =体C = EC = 3 3 3 BC ，EC= AB ，再由平行 AB 体B AB 5 2 5 ‹ 3 ‹ 3 ‹ ‹ 3 ‹ 3 ‹四边形性质及向量可得EC =5 AB =5 a ，体C =2 BC =2b ，最后根据向量的运算得出答案．【解答】解：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，DE=2，CE=3，∴AB=DC=DE +CE=5，且 AB ∥EC ，∴△FEC ∽△FAB ，E 体 EC 3 ∴ = = ；A 体 AB 5（2）∵△FEC ∽△FAB ，2 ∴EC = 体 C = EC =3 AB 体B AB 53 3 ∴FC= BC ，EC=5AB ， 2∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，EC ∥AB ，‹ ‹ ‹∴AD =BC =b ，‹ 3 ‹ 3 ‹ ‹ 3 ‹ 3 ‹∴EC =5 AB =5 a ，体C =2 BC =2 b ， ‹ ‹ ‹ 3 ‹ 3 ‹则E 体=EC +C 体=5 a + 2b ．21．（10 分）如图，在△ABC 中，AC=4，D 为 BC 上一点，CD=2，且△ADC 与△ ABD 的面积比为 1：3；（1）求证：△ADC ∽△BAC ；（2）当 AB=8 时，求 sinB ．【分析】（1）作 AE ⊥BC ，根据△ADC 与△ABD 的面积比为 1：3 且 CD=2 可得 BD=6，即 BC=8，从而得CA= CD CB CA ，结合∠C=∠C ，可证得△ADC ∽△BAC ； AD = AC 1 （2）由△ADC ∽△BAC 得BA ，求出 AD 的长，根据 AE ⊥BC 得 DE= CD=1， BC 2 由勾股定理求得 AE 的长，最后根据正弦函数的定义可得．【解答】解：（1）如图，作 AE ⊥BC 于点 E ，S 1CD·AE CD 1 ∵ OACD =2 = = ， S OABD 1BD·AE BD 3 ∴BD=3CD=6，，15 C 8 A ∴CB=CD +BD=8，则CA = ͵ 1 CD = 2 = 1 = ， ， CB 8 2 CA ͵ 2 ∴CA = CD CB CA ，∵∠C=∠C ，∴△ADC ∽△BAC ；（2）∵△ADC ∽△BAC ，AD = AC AD = ͵ ∴BA B ，即 8， ∴AD=AC=4，∵AE ⊥BC ，1 ∴DE= CD=1， 2∴AE= AD 2 — DE 2= 15，AE ∴sinB= = ． B 822．（10 分）如图，是某广场台阶（结合轮椅专用坡道）景观设计的模型，以及该设计第一层的截面图，第一层有十级台阶，每级台阶的高为 0.15 米，宽为 0.4 米，轮椅专用坡道 AB 的顶端有一个宽 2 米的水平面 BC ；《城市道路与建筑物无障碍设计规范》第 17 条，新建轮椅专用坡道在不同坡度的情况下，坡道高度应符合以下表中的规定： 坡度1：20 1：16 1：12最大高度 米）1 1 0. . . 5 0 70 0 5（E （1）选择哪个坡度建设轮椅专用坡道AB 是符合要求的？说明理由；（2）求斜坡底部点 A 与台阶底部点 D 的水平距离 AD ．【分析】（1）计算最大高度为：0.15×10=1.5（米），由表格查对应的坡度为：1： 20；（2）作梯形的高 BE 、CF ，由坡度计算 AE 的长，由台阶的宽计算 DF 的长，相加可得 AD 的长．【解答】解：（1）∵第一层有十级台阶，每级台阶的高为 0.15 米，∴最大高度为 0.15×10=1.5（米），由表知建设轮椅专用坡道 AB 选择符合要求的坡度是 1：20；（2）如图，过 B 作 BE ⊥AD 于 E ，过 C 作 CF ⊥AD 于 F ，∴BE=CF=1.5，EF=BC=2，BE 1∵A =20， 1‸5 1 ∴AE =20，∴AE=30，∵DF=9×0.4=3.6∴AD=AE +EF +DF=30+2+3.6=35.6，答：斜坡底部点 A 与台阶底部点 D 的水平距离 AD 为 35.6 米．23．（12 分）如图，在△ABC 中，AB=AC ，点 D 、E 是边 BC 上的两个点，且 BD=DE=EC ，过点C 作CF∥AB 交AE 延长线于点F，连接FD 并延长与AB 交于点G；（1）求证：AC=2CF；（2）连接AD，如果∠ADG=∠B，求证：CD2=AC•CF．AB= BE【分析】（1）由BD=DE=EC 知BE=2CE，由CF∥AB 证△ABE∽△FCE 得体C CE=2，即AB=2FC，根据AB=AC 即可得证；（2）由∠1=∠B 证△DAG∽△BAD 得∠AGD=∠ADB，即∠B+∠2=∠5+∠6，结合∠B=∠5、∠2=∠3 得∠3=∠6，再由CF∥AB 得∠4=∠B，继而知∠4=∠5，即可证△ACD∽△DCF 得CD2=AC•CF．【解答】证明：（1）∵BD=DE=EC，∴BE=2CE，∵CF∥AB，∴△ABE∽△FCE，AB= BE∴体C CE=2，即AB=2FC，又∵AB=AC，∴AC=2CF；（2）如图，∵∠1=∠B，∠DAG=∠BAD，∴△DAG ∽△BAD ，∴∠AGD=∠ADB ，∴∠B +∠2=∠5+∠6，又∵AB=AC ，∠2=∠3，∴∠B=∠5，∴∠3=∠6，∵CF ∥AB ，∴∠4=∠B ，∴∠4=∠5，则△ACD ∽△DCF ，CD AC ∴C 体 = DC，即 CD 2=AC•CF ．24．（12 分）已知顶点为 A （2，﹣1）的抛物线经过点 B （0，3），与 x 轴交于 C 、D 两点（点 C 在点 D 的左侧）；（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结 AB 、BD 、DA ，求△ABD 的面积；（3）点 P 在 x 轴正半轴上，如果∠APB=45°，求点 P 的坐标．【分析】（1）设抛物线的解析式为 y=a （x ﹣2）2﹣1，把（0，3）代入可得 a=1， 即可解决问题．（2）首先证明∠ADB=90°，求出 BD 、AD 的长即可解决问题．（3）由△PDB ∽△ADP ，推出 PD 2=BD•AD=3 2 · 2=6，由此即可解决问题．【解答】解：（1）∵顶点为 A （2，﹣1）的抛物线经过点 B （0，3），∴可以假设抛物线的解析式为 y=a （x ﹣2）2﹣1，把（0，3）代入可得 a=1，∴抛物线的解析式为 y=x 2﹣4x +3．（2）令 y=0，x 2﹣4x +3=0，解得 x=1 或 3，∴C （1，0），D （3，0），∵OB=OD=3，∴∠BDO=45°，∵A （2，﹣1），D （3，0），作 AF ⊥CD ，则 AF=DF=1∴△ADF 是等腰直角三角形，∴∠ADO=45°，∴∠BDA=90°，∵BD=3 2，AD= 2，1 ∴S △ABD = • B D•AD=3． 2（3）∵∠BDO=∠DPB +∠DBP=45°，∠APB=∠DPB +∠DPA=45°，∴∠DBP=∠APD ，∵∠PDB=∠ADP=135°，∴△PDB ∽△ADP ，∴PD 2=BD•AD=3 2 · 2=6，∴PD= 〷 ，∴OP=3+ 〷 ，∴点 P （3+ 〷，0）．C25．（14 分）如图，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，点 E 是射线 CB 上的动点，点 F 是射线 CD 上一点，且 AF ⊥AE ，射线 EF 与对角线 BD 交于点 G ，与射线 AD 交于点 M ；（1）当点 E 在线段 BC 上时，求证：△AEF ∽△ABD ；（2）在（1）的条件下，联结 AG ，设 BE=x ，tan ∠MAG=y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围；（3）当△AGM 与△ADF 相似时，求 BE 的长．【分析】（1）首先证明△ABE ∽△ADF ，推出 AB AE AB = ，推出 = AD ，因为∠BAD=∠EAF ，即可证明△AEF ∽△ABD ．AD A 体 AE A 体 （2）如图连接 AG ．由△AEF ∽△ABD ，推出∠ABG=∠AEG ，推出 A 、B 、E 、G 四点共圆，推出∠ABE +∠AGE=180°，由∠ABE=90°，推出∠AGE=90°，推出∠AGM=EC ∠MDF ，推出∠AMG=∠FMD ，推出∠MAG=∠EFC ，推出 y=tan ∠MAG=tan ∠EFC= ， 体 由△ABE ∽△ADF ，得 AB BE = ，得 DF= ͵ x ，由此即可解决问题． AD D 体 3（3）分两种情形①如图 2 中，当点 E 在线段 CB 上时，②如图 3 中，当点 E 在 CB 的延长线上时，分别列出方程求解即可．【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠BAD=∠ADC=∠ADF=90°，∵AF ⊥AE ，∴∠EAF=90°，∴∠BAD=∠EAF ，∴∠BAE=∠DAF ，∵∠ABE=∠ADF=90°，∴△ABE ∽△ADF ，3C AB AE ∴ = ，AD A 体 AB AD∴AE =A 体，∵∠BAD=∠EAF ， ∴△AEF ∽△ABD ．（2）解：如图连接 AG ．∵△AEF ∽△ABD ，∴∠ABG=∠AEG ，∴A 、B 、E 、G 四点共圆，∴∠ABE +∠AGE=180°，∵∠ABE=90°，∴∠AGE=90°，∴∠AGM=∠MDF ，∴∠AMG=∠FMD ，∴∠MAG=∠EFC ，EC ∴y=tan ∠MAG=tan ∠EFC= ， 体∵△ABE ∽△ADF ，AB BE ∴ = ，AD D 体 ͵ ∴DF= x ， 3͵—x∴y=3+͵x， 12—3x即 y= 9+͵x （0≤x ≤4）．（3）解：①如图 2 中，当点 E 在线段 CB 上时，D ∵△AGM ∽ADF ，G t D 体 ∴tan ∠MAG= AG =A ，12—3x ∴ 9+͵x 3 ͵x =3 ， ͵ 解得 x= ． 2②如图 3 中，当点 E 在 CB 的延长线上时， 由△MAG ∽△AFD ∽△EFC ，AD D 体∴EC= 体C ， ͵ ͵ 3 ∴ = ͵ ，x +͵ 3—3x 解得 x=1，3 ∴BE 的长为 或 1． 2 x。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2021 年上海市浦东新区中考数学一模试卷
一.选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，共24 分）
1．（4 分）在下列y 关于x 的函数中，一定是二次函数的是（）
A．y=2x2 B．y=2x﹣2 C．y=ax2 D．
2．（4 分）如果向量、、满足+= （﹣），那么用、表示正确的是（）
A．C．D．
3．（4 分）已知在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=α，BC=2，那么AB 的长等于（）A．B．2sinαD．2cosα
4．（4 分）在△ABC 中，点D、E 分别在边AB、AC 上，如果AD=2，BD=4，那么由下列条件能够判断DE∥BC 的是（）
A．B．C．D．
5．（4 分）如图，△ABC 的两条中线AD、CE 交于点G，且AD⊥CE，联结BG 并延长与AC 交于点F，如果AD=9，CE=12，那么下列结论不正确的是（）
A．AC=10 B．AB=15 C．BG=10 D．BF=15
6．（4 分）如果抛物线A：y=x2﹣1 通过左右平移得到抛物线B，再通过上下平移抛物线B 得到抛物线C：y=x2﹣2x+2，那么抛物线B 的表达式为（）
A．y=x2+2 B．y=x2﹣2x﹣1 C．y=x2﹣2xD．y=x2﹣2x+1
二.填空题（本大题共12 题，每题 4 分，共48 分）
7．（4 分）已知线段a=3cm，b=4cm，那么线段a、b 的比例中项等于cm．8．（4 分）已知点P 是线段AB 上的黄金分割点，PB＞PA，PB=2，那么PA=．。