不定积分的基本公式和直接积分法
第二节不定积分基本公式和运算法则
法则 2 常数因子可提到不定积分号前面，既
kf ( x)dx k f ( x)dx （ k 为 常 数 ）
例 4 求 x ( x 2 5)dx
解
5
1
x ( x 2 5) dx ( x 2 5 x 2 ) dx
2
7
x2
52
3
x2
C
2
x3
x 10 x
7
3
7
3
x C
x3 3x2 2x 4
例5 求
x2
dx 。
解
x 3
3x2 x2
2x
4 dx
(x
3
2 x
4 x 2 )dx
1 x 2 3 x 2 ln x 4 C
2
x
例6 求
(cos x 4 e x 1 dx 。
cos 2 x
解
(cos x 4 e x 1 )dx
cos 2 x
cos
xdx
4 e x dx
1
cos 2
dx x
sin x 4 e x tan x C
例 7 求 2 x2 1 dx 。 x 2 ( x 2 1)
解
2x2 1
x2
(x2
dx 1)
x
x 2(
2
x
1
2
dx 1)
x2
x2
(x2
dx 1)
1
1
1
dx x2
(x2
1)
dx
x
arctan
xபைடு நூலகம்
C
例8 求
x
x
不定积分的基本公式和运算法则直接积分法
不定积分的基本公式和运算法则直接积分法一、不定积分的基本公式和运算法则1.基本公式：- 常数公式：$\int c\,dx = cx + C$，其中c为常数，C为常数。
- 幂函数公式：$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$，其中n为非零常数，C为常数。
- 指数函数公式：$\int e^x\,dx = e^x + C$，其中C为常数。
- 对数函数公式：$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln，x， + C$，其中C为常数。
2.基本运算法则：- 常数倍法则：$\int kf(x)\,dx = k\int f(x)\,dx$，其中k为常数。
- 和差法则：$\int (f(x) \pm g(x))\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$。
- 乘法法则：$\int u \cdot v\,dx = \int u\,dv + \int v\,du$。
- 除法法则：$\int \frac{u}{v}\,dx=i\ln，v，+j\int\frac{dv}{v}$。
直接积分法是指根据不定积分的基本公式和运算法则，直接进行积分计算的方法。
下面介绍一些常见的直接积分法：1.用代换法进行积分：-根据被积函数的形式，选择一个合适的代换，使得原函数的形式更简单。
-对原函数进行代换，将积分转化为新的变量的积分。
- 对新的变量进行求导，计算出dx或du。
-将上述结果带入到原函数中，得到最终的积分结果。
2.用分部积分法进行积分：-对于被积函数的乘积形式，选择一个函数进行求导，选择另一个函数进行积分。
- 根据分部积分公式$\int u \,dv = uv - \int v \,du$，进行积分计算。
3.用换元法进行积分：-对于被积函数的形式，选择一个新的变量代替原来的变量，使得积分变得更简单。
-对原函数进行换元，将积分转化为新的变量的积分。
- 对新的变量进行求导，计算出dx或du。
不定积分公式大全 含求积分通用方法及例题
不定积分小结一、不定积分基本公式(1)∫x a dx=x a+1a+1+C(a≠−1) (2)∫1xdx=ln|x|+C(3)∫a x dx=a xln a+C(4)∫sin x dx=−cos x+C(5)∫cos x dx=sin x+C(6)∫tan x dx=−ln|cos x|+C (7)∫cot x dx=ln|sin x|+C(8)∫sec x dx=ln|sec x+tan x|+C (9)∫csc x dx=ln|csc x−cot x|+C(10)∫sec2x dx=tan x+C (11)∫csc2x dx=−cot x+C(12)∫dx1+x2=arctan x+C(13)∫dxx2+a2=1aarctan xa+C(14)∫dxx2−a2=12aln|a−xa+x|+C(15)∫dxa2−x2=12aln|a+xa−x|+C(16)∫√1−x2=arcsin x+C(17)√a2−x2=arcsin xa+C(18)√x2±a2=ln|x+√x2±a2|+C(19)∫√a2−x2dx=x2√a2−x2+a22arcsinxa+C(20)∫√x2±a2dx=x2√x2±a2±a22ln|x+√x2±a2|+C二、两个重要的递推公式（由分部积分法可得）(1)D n=∫sin n x dx(详情请查阅教材166页)则D n=−cos x sin n−1xn+n−1nD n−2(求三角函数积分)易得D n：n为奇数时，可递推至D1=∫sin x dx=−cos x+C；n为偶数时，可递推至D2=∫sin2x dx=x2−sin2x4+C；(2)I n=∫dx(x2+a2)n(详情请查阅教材173页)则I n+1=12na2x(x2+a2)n+2n−12na2I n易得I n可递推至I1=∫dxx2+a2=1aarctan xa+C迅捷P DF编辑器（这是有理函数分解后一种形式的积分的求法，大家可以回顾课本恢复记忆）三、普遍方法(一)换元积分法：第一类换元积分法(凑微分法)这类方法需要敏锐的观察力，即观察出某个函数的导数，这就要求我们熟悉常见函数的导数。
不定积分的基本技巧与计算方法
不定积分的基本技巧与计算方法一、不定积分的基本概念和定义（200字）不定积分是微积分中的一个重要概念，用于求解函数的原函数。
不定积分通常用∫来表示。
给定一个函数f(x)，如果存在函数F(x)满足F'(x) = f(x)，则F(x)称为f(x)的一个原函数。
利用不定积分，我们可以求解出一个函数的所有原函数。
二、不定积分的基本规则（400字）1. 常数积分法：对于常数C，∫C dx = Cx + K（K为常数）2. 幂函数积分法：对于函数f(x) = x^n（n ≠ -1），则其原函数F(x) = ∫f(x) dx = (1/n+1)x^(n+1) + K（n ≠ -1，K为常数）3. 指数函数积分法：对于函数f(x) = e^x，其原函数F(x) = ∫f(x) dx = e^x + K （K为常数）4. 三角函数积分法：对于函数f(x) = sin(x)，其原函数F(x) = -cos(x) + K（K为常数）三、不定积分的常见计算方法（1200字）1. 分部积分法：当有一个积分是一个函数的导数乘另一个函数时，我们可以通过分部积分法来进行计算。
假设有两个函数u(x)和v(x)，则分部积分公式为∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) -∫v(x)u'(x)dx。
需要注意的是，选择u(x)和v'(x)时，要尽量使得∫v(x)u'(x)dx容易计算。
2. 换元积分法：当积分中存在复杂的函数组合时，我们可以通过换元积分法来进行简化。
假设有函数u(g(x))，并且g'(x) ≠ 0，则换元积分公式为∫f(u(g(x)))g'(x)dx =∫f(u)du。
在使用换元积分法时，需要进行适当的变量代换，使得积分变为更容易计算的形式。
3. 部分分式分解法：当被积函数是多项式或多项式除以多项式时，我们可以通过部分分式分解法进行计算。
部分分式分解法的基本思想是将一个有理函数拆分成几个简单的有理函数的和。
高等数学常用不定积分公式
高等数学常用不定积分公式一、基本不定积分公式：1. 常数函数的不定积分：∫k dx = kx + C，其中k为常数，C为任意常数。
2. 幂函数的不定积分：∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n≠-1，C为任意常数。
3. 对数函数的不定积分：∫1/x dx = ln，x， + C，其中C为任意常数。
4. 指数函数的不定积分：∫e^x dx = e^x + C，其中C为任意常数。
5.三角函数的不定积分：a) ∫sinx dx = -cosx + C，其中C为任意常数。
b) ∫cosx dx = sinx + C，其中C为任意常数。
c) ∫sec^2(x) dx = tanx + C，其中C为任意常数。
d) ∫cosec^2(x) dx = -cotx + C，其中C为任意常数。
e) ∫sec(x)tan(x) dx = secx + C，其中C为任意常数。
f) ∫cosec(x)cot(x) dx = -cosecx + C，其中C为任意常数。
6.反三角函数的不定积分：a) ∫1/√(1-x^2) dx = arcsinx + C，其中C为任意常数。
b) ∫1/√(1+x^2) dx = arctanx + C，其中C为任意常数。
c) ∫1/(x^2+1) dx = arctanx + C，其中C为任意常数。
二、常用不定积分公式：1. ∫sin^2x dx = (1/2)(x - sinx cosx) + C，其中C为任意常数。
2. ∫cos^2x dx = (1/2)(x + sinx cosx) + C，其中C为任意常数。
3. ∫tan^2x dx = tanx - x + C，其中C为任意常数。
4. ∫cot^2x dx = -cotx - x + C，其中C为任意常数。
5. ∫sec^3(x) dx = (1/2)(secx tanx + ln，secx + tanx，) + C，其中C为任意常数。
不定积分基本公式表
1 2 dx
1 1 2
C 2x C
例3
求不定积分
2 x e x dx .
解
2 x e x dx ( 2e) x dx
( 2e) x C ln(2e)
2xex C. 1 ln 2
二、不定积分的基本运算法则
法则 1 两个函数的代数和的不定积分等于这
代数和的情况， 即
f ( x) f ( x) f ( x)dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x ) dx.
1 2 n
1 2 n
法则 2
被积函数中的不为零的常数因子可以
提到积分号前面，即
kf ( x )dx k f ( x )dx (k 为不等于零的常数)
当 a e 时,
e x dx e x C ;
(5) (6) (7) (8) (9)
cos xdx sin x C； sin xdx cos x C；
sec2 xdx tan x C； csc2 xdx cot x C；
sec x tan xdx sec x C； (10) csc x cot xdx csc x C；
证 类似性质 1 的证法， 有
k f ( x)dx k f ( x)dx kf ( x).
例4 解
求不定积分
e
(e x 2 sin x 2 x x )dx
x
(e x 2 sin x 2 x x )dx .
dx 2 sin xdx 2 x x dx
2x 2 1
2
不定积分的基本公式和运算法则直接积分法
•复习1原函数的定艾。
2不定枳分的定艾。
3不定枳分的性质。
4不定枳分的几何意义。
•引入在不定枳分的定义、It质以及基本处直的基础上，我们进一步来讨论不定枳分的计偉冋趣，不定枳分的it算方法主耍有三种：有接枳分法、换元枳分法和分部枳分法。
・ »g»a第二节不定枳分的基本公式和运算頁接枳分法-基本枳分公式由干求不定枳分的运算是求导运算的逆运算，所以有导数的基本公式《］应地可以得到枳分的基2(secx/= secxtanx d(secx) = secAtairxz/v J sec x tan xdx = secx + C3(-csc.r^cscACOtx d(-cscx)=cscxcotxrfr ^cscxcotxdx = -cscx + C4 (arctan x)r = —1 + .Ld(arctan x) = —1 + x?Zv [ —dx = arc tan.v + C5 (arcsin xY =,丨= d( arcsin A*)=―.=■2 x/l+ .V2l.\ f 严1 .. dx = arcs in x +CJ vr+x2以上十五个公述是求不定枳分的U t t,恋须熟记，不仅要记右端的结果，连要熟悉左端被枳函数的的形式。
求因数的不定枳分的方法叫枳分法。
(2 ) j xjxdx此例表明，对某些分式或根式函数求不定枳分时，可先把它们化力x"的形氏，然后应用显函数的枳分公式求枳分。
二不定枳分的基本运算法则a«i两个因数代数和的枳分，等干各因数枳分的代数和，即J [/W 土g(x)肚=J/(A>/A± j g(x\LxSi 1对于有限多个函数的和也成立的.违则2被枳因数中不为零的常数因子可提到枳分号外，即J kf(x\l.x = kj* f(x\lx( " 0 )M 2 求J (2x' 4-1-e x }dx解J(2x3+\—e x)dx =21x3dx + jdx-j e x dx二—X” + x — 0' + C o例1 •求下列不定枳分.(1)ii貝中毎一項的不定枳分虽然都应当有一个枳分常数，但是逹里并不需要在毎一頂后面则上一个枳分常数，因为代意常釵之利if是任意常数，所以迪里只把它的和C写在末尾，以后仿此。
不定积分的基本公式和直接积分法
不定积分的基本公式和直接积分法第二节不定积分的基本公式和直接积分法（Basic Formula of UndefinedIntegral and Direct Integral）课题：1.不定积分的基本公式2.不定积分的直接积分法课堂类型：讲授教学目的：熟练掌握不定积分的基本公式，对简单的函数能用直接积分法进行积分。
教学重点：不定积分的基本公式教学难点: 直接积分法教具：多媒体课件教学方法：教学内容：一、不定积分的基本公式由于不定积分是求导的逆运算，所以由导数的基本公式对应地可以得到不定积分的基本公式。
二、不定积分的直接积分法利用不定积分的性质和基本公式，可以求出一些简单函数的不定积分，通常把这种求不定积分的方法叫做直接积分法。
例１ 求32x dx ⎰导数的基本公式 ()1222()01()1()()ln 1(ln )(sin )cos (cos )sin (tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot (arcsin )1(arctan )1(arccos )1(cot )1x xx x C x xxe e a a ax xx x x x x x x x x x x x x x x x x x arc x ααα+'='='=+'='='='='=-'='=-'='=-'='=+'='=-+21(log )ln a x x x a'=不定积分的基本公式 ()1222011ln ln ||cos sin sin cos sec tan csc cot sec tan sec csc cot csc arcsin arctan 1x x xxdx Cdx x Cx x dx C a e dx e C a a dx C a dxx Cx xdx x C xdx x C xdx x C xdx x C x xdx x C x xdx x Cx Cdxx C xααα+==+=+≠-+=+=+=+=+=-+=+=-+=+=-+=+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2arccos arc cot 11log ln a x C dxx C x dx x Cx a =-+=-++=+⎰⎰⎰解 31333412222312x x dx x dx x dx C x C +===⨯+=++⎰⎰⎰例２求(23cos x x dx -+⎰ 解(32322233233cos 3cos 3sin 5310sin 3xx dx x dx xdx x x x Cx x x C -+=-+=⨯-++=-++⎰⎰⎰⎰例３ 求dx x x ⎰-23)1( 解Cx x x x Cx x dxxx x dx xx x x dx x x +++-=+-=-+-=-+-=-⎰⎰⎰1||ln 332 31072 )133( 133)1(22327222323 例４ 求221sin cos dx x x⎰ 解22222222221sin cos 11sin cos sin cos cos sin sec csc tan cot x x dx dx dx dx x x x x x x xdx xdx x x C+==+=+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰例５ 求2x x e dx ⎰解 ()()()2222ln 21ln 2xxxx x e e e dx e dx C C e==+=++⎰⎰例６ 求2sin 2xdx ⎰ 解 21cos sin 22x x-=21cos 11sin sin 2222x x dx dx x x C -==-+⎰⎰ 例７ 求()221dxx x +⎰ 解()222211111x x x x =-++ ()222222111111111arctan dx dx dx dx x x x x x x x Cx⎛⎫=-=- ⎪+++⎝⎭=--+⎰⎰⎰⎰例８ 已知物体以速度()221/v t m s =+沿Ox 轴作直线运动，当1t s =时，物体经过的路程为3m ，求物体的运动方程。
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第二节不定积分的基本公式和直接积分法（Basic Formula of Undefined
Integral and Direct Integral）
课题：1.不定积分的基本公式
2.不定积分的直接积分法
课堂类型：讲授
教学目的：熟练掌握不定积分的基本公式，对简单的函数能用直接积分法进行积分。
教学重点：不定积分的基本公式
教学难点: 直接积分法
教具：多媒体课件
教学方法：
教学内容：
一、不定积分的基本公式
由于不定积分是求导的逆运算，所以由导数的基本公式对应地可以得到不定积分的基本公式。
二、不定积分的直接积分法 利用不定积分的性质和基本公式，可以求出一些简单函数的不定积分，通常把这种求不定积分的方法叫做直接积分法。
例１ 求32x dx ⎰ 解
3
3
3
222x dx x dx x dx
==⎰⎰⎰ 例
２
求
(2
3cos x
x dx
-+⎰ 解
(
2
3cos 3
x
x dx x
-+===⎰
导数的基本公式
(
)1222()01
()1()()ln 1
(ln )(sin )cos (cos )sin (tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot (arcsin )1
(arctan )1(arccos )1
(cot )1x x
x x C x x x e e a a a
x x
x x x x x x x x x x x x x x x x x x arc x ααα+'='='=+'='='=
'='=-'='=-'='=-'=
'=
+'='=-
+21
(log )ln a x x x a
'=
不定积分的基本公式
(
)
1
22
2011ln ln ||cos sin sin cos sec tan csc cot sec tan sec csc cot csc arcsin arctan 1x x
x
x
dx C dx x C
x x dx C a e dx e
C
a a dx C a dx
x C
x xdx x C xdx x C xdx x C xdx x C x xdx x C x xdx x C
x C
dx
x C x
αα
α+==+=+≠-+=+=+=+=+=-+=+=-+=+=-+=+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2arccos arc cot 11
log ln a x C dx
x C x dx x C
x a =-+=-++=+⎰⎰
例３ 求dx x x ⎰-2
3
)1( 解
C
x
x x x C
x x dx
x
x x dx x x x x dx x x +++-=+-=-+-=-+-=-⎰⎰⎰1
||ln 332 310
72 )1
33( 1
33)1(223
2722
2323 例４ 求22
1
sin cos dx x x
⎰ 解
22222222221sin cos 11
sin cos sin cos cos sin sec csc tan cot x x dx dx dx dx x x x x x x xdx xdx x x C
+==+=+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰
例５ 求2x x e dx ⎰
解 ()
()()
2222ln 21ln 2
x
x
x
x x
e e e dx e dx C C e
==
+=
++⎰⎰
例６ 求2
sin 2
x
dx ⎰
解 2
1cos sin 22
x x
-=
2
1cos 11sin
sin 2222
x x dx dx x x C -==-+⎰⎰ 例７ 求()
221dx
x x +⎰
解
()
2222
111
11x x x x =-++ ()22222211
1111111
arctan dx dx dx dx x x x x x x x C
x
⎛⎫=-=- ⎪+++⎝⎭
=--+⎰⎰⎰⎰
例８ 已知物体以速度()221/v t m s =+沿Ox 轴作直线运动，当1t s =时，物体经过的路程为3m ，求物体的运动方程。
解 设物体的运动方程为()x x t =
于是有 ()221x t v t '==+
()()232
213
x t t dt t t C =+=++⎰
由已知条件1t s =时，3x m =，代入上式得
2431,33
C C =++=即
所以物体的运动方程为()324
33
x t t t =++。