整式的乘法(提升班)
整式的乘法提高知识讲解.doc
整式的乘法（提高）责编：杜少波【学习目标】1. 会进行单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式的乘法计算．2. 掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律简化运算.【要点梳理】【高清课堂397531 整式的乘法 知识要点】要点一、单项式的乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.要点二、单项式与多项式相乘的运算法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即()m a b c ma mb mc ++=++.要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.要点三、多项式与多项式相乘的运算法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++. 【典型例题】【高清课堂397531 整式的乘法 例1】类型一、单项式与单项式相乘1、 计算：（1）()()121232n n xy xy x z +⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭ （2）322325(3)(6)()(4)a b b ab ab ab a -+----g g g ．【答案与解析】解：（1）()()121232n n x y xy x z +⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭()()()()121232n nx x x y y z +⎡⎤⎛⎫=-⨯-⨯-⋅⋅⋅⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 413n n xy z ++=- （2）322325(3)(6)()(4)a b b ab ab ab a -+----g g g3222325936()16a b b a b ab ab a =+--g g g333333334536167a b a b a b a b =--=-．【总结升华】凡是在单项式里出现过的字母，在其结果也应全都有，不能漏掉.注意运算顺序，有同类项，必须合并.类型二、单项式与多项式相乘【高清课堂397531 整式的乘法 例2】2、计算：（1）(2)2(1)3(5)x x x x x x --+--（2）2322(32)3(21)a a a a a a +--+-+【思路点拨】先单项式乘多项式去掉括号，然后移项、合并进行化简．【答案与解析】解：（1）(2)2(1)3(5)x x x x x x --+-- 2(2)(2)(2)(3)(3)(5)x x x x x x x x =+-+-+-+-+--g g2222222315411x x x x x x x x =----+=-+．（2）2322(32)3(21)a a a a a a +--+-+ 2322232(2)(3)(3)2(3)()(3)a a a a a a a a =++-+-+-+--+-g g g g3232326436333a a a a a a a a =+---+-=---．【总结升华】（1）本题属于混合运算题，计算顺序仍然是先乘除、后加减，先去括号等．混合运算的结果有同类项的需合并，从而得到最简结果．（2）单项式与多项式的每一项都要相乘，不能漏乘、多乘．（3）在确定积的每一项的符号时，一定要小心．举一反三：【变式】（2014秋•台山市校级期中）化简：x （x ﹣1）+2x （x+1）﹣3x （2x ﹣5）．【答案】解：原式=x 2﹣x+2x 2+2x ﹣6x 2+15x=﹣3x 2+16x ．3、（2014秋•德惠市期末）先化简，再求值3a （2a 2﹣4a+3）﹣2a 2（3a+4），其中a=﹣2．【思路点拨】首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可．【答案与解析】解：3a （2a 2﹣4a+3）﹣2a 2（3a+4）=6a 3﹣12a 2+9a ﹣6a 3﹣8a 2=﹣20a 2+9a ，当a=﹣2时，原式=﹣20×4﹣9×2=﹣98．【总结升华】本题考查了单项式乘以多项式以及整式的化简求值．整式的化简求值实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．举一反三：【变式】若20x y +=，求332()4x xy x y y +++的值．【答案】解：332()4x xy x y y +++ 3223224x x y xy y =+++22(2)2(2)x x y y x y =+++，当20x y +=时，原式＝220020x y +=g g ．类型三、多项式与多项式相乘4、（2016秋•天水期中）若（x 2+nx +3）（x 2﹣3x +m ）的展开式中不含x 2和x 3项，求m ，n 的值．【思路点拨】缺项就是多项式中此项的系数为零，此题中不含x 2和3x 项，也就是x 2和3x 项的系数为0，由此得方程组求解．【答案与解析】解：原式的展开式中，含x 2的项是：mx 2+3x 2﹣3nx 2=（m +3﹣3n ）x 2，含x 3的项是：﹣3x 3+nx 3=（n ﹣3）x 3，由题意得：33030m n n +-=⎧⎨-=⎩，解得63m n =⎧⎨=⎩．【总结升华】解此类问题的常规思路是：将两个多项式乘法依据乘法法则展开，合并同类项，再根据题意由某些项的系数为零，通过解方程（组）求解．举一反三：【变式】在()()22231x ax b x x ++-- 的积中，3x 项的系数是－5，2x 项的系数是－6，求a 、b ．【答案】解：()()22231x ax b x x ++--因为3x 项的系数是－5，2x 项的系数是－6，所以235a -=-，2316b a --=-，解得14a b =-=-，.。
整式的乘法提升训练
整式的乘法提升训练一、选择题1、下列计算不正确的是（ ）（A ）222)(y x xy = （B ）2221)1(x x x x +=- （C ）22))((b a a b b a -=+- （D ）2222)(y xy x y x ++=--2、下列式子可用平方差公式计算的式子是（ ）A 、()()a b b a --B 、()()11-+-x xC 、()()b a b a +---D 、()()11+--x x3、下列各式计算正确的是（ ）A 、()66322b a b a =-B 、()5252b a b a -=-C 、1244341b a ab =⎪⎭⎫ ⎝⎛-D 、462239131b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛-4．计算22(3)(8)x x n x mx -+++的结果中不含2x 和3x 的项，则n m ,的值为（ ）． A ．1,3==n m B ．0,0==n m C ．9,3-=-=n m D ．8,3=-=n m5．如果a 2-8a+m 是一个完全平方式,则m 的值为( )A.-4B.16C.4D.-166．如果代数式7322++x x 的值为8，那么代数式9642-+x x 的值是（ ）A ．7B ．7-C ．17D ．17-7、已知41=+a a 则=+221aa ( ) A 、12 B 、 14 C 、 8 D 、168、已知x 2＋y 2=2, x ＋y =1、则xy 的值为 （ ）A 、 21- B 211- C 、－1 D 、3 9、下列多项式中，没有公因式的是（ ）A 、()y x a +和(x ＋y )B 、()b a +32和()b x +-C 、()y x b -3和 ()y x -2D 、()b a 33-和()a b -610、下列四个多项式是完全平方式的是（ ）A 、22y xy x ++B 、222yxy x -- C 、22424n mn m ++ D 、2241b ab a ++ 11、把4224y x y x -分解因式，其结果为（ ）A 、()()2222xy y x xyy x z -+ B 、()2222y x y x - C 、()()y x y x y x -+22 D 、()()22xy y x y x xy -+12、()()1333--⋅+-m m 的值是（ ）A 、1 B 、－1 C 、0 D 、()13+-m二、填空题1、把多项式2x 2＋bx ＋c 分解因式后得2(x －3)(x ＋1)，则b 的值为 ．2．如果（2a ＋2b ＋1）(2a ＋2b －1)=63，那么a ＋b 的值为 ．3、（2n+m ）（ ）=4n 2-m 24、_____________)3)(3()2)(1(=+---+x x x x ；5、()()=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅ac abc c 241223 。
七年级春季提高班第2讲 整式的乘除
整式的乘除月 日 姓 名【知识要点】1．单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.2．单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即()m a b c ma mb mc ++=++注：这里a 、b 、c 和m 都表示单项式．3．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项．再把所得的积相加，如：4．单项式的除法法则:一般地,单项式相除,把系数，同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
5．多项式除以单项式的法则：一般地多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式再把所得的商相加。
【典型例题】 例1计算（1）3234313133524a b ab a b ab ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ （2）)32)(5(2+++x x x（3）()()()()21326442x x x x +÷-⨯-÷+ (4) ()2221241254.0⎪⎭⎫⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-+b a b a ba n n n n（5）x x y x y x 2)645(2332÷+-)am an bm bn =+++① ②③ ④例2 已知一个多项式与单项式－７x 5y 4的积为２１x 5y 4－２８x 7y 4＋７y （２x 3y 2）2，试求这个多项式.例3 已知多项式3231x ax bx +++能被21x +整除，且商式是31x +，求代数式()b a -的值。
【能力训练】一、选择题1.下列运算正确的是（ ）A ．x x x x x x 4128)132)(4(232---=-+-B ．()()3322y x y x y x +=++ C ．2161)14)(14(a a a -=---D ．()()224222y xy x y x y x +-=--2．下列各式计算结果为51762++x x 的是（ ）A ．()()5213+-x xB ．()()5213-+x xC ．()()5213++x xD ．()()5213--x x3．一个多项式除以２x 2y ，其商为（４x 3y 2－６x 3y ＋２x 4y 2），则次多项式为（ ） Ａ.２xy －３x ＋x 2y Ｂ.８x 6y 2－１２x 6y ＋４x 8y 2 Ｃ.２x －３xy ＋x 2y Ｄ.８x 5y 3－１２x 5y 2＋４x 6y 3 4．一个x 的四次三项式被一个x 的二次单项式整除，其商式为（ ） Ａ.二次三项式 Ｂ.三次三项式 Ｃ.二次二项式 Ｄ.三次二项式 二、计算（1）)23)(12(2-+-x x x （2）)23)(843(2x x x --+(3) ()2221241254.0⎪⎭⎫⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-+b a b a b a n n n n(4) )4()3()1(223223xy xy y x y x -⋅-⋅++(5) []x y y x y x y x 25)3)(()2(22÷--+-+(6) 21212121212121211111()()63212n n n n n n n n x y x y x y x y +++------++÷-三、解答题1．如果除式是21x x -+，商式是x ＋1，余式是3x ，求被除式课后作业姓 名 成 绩1．下列计算正确的是（ ）A ．y x xy xy y x xy 222212183)46(-=⋅-B. 12)12)((232+--=-+-x x x x xC. y x z y x y x yz xy y x 2222232396)132)(3(--=-+--D. 221232)2143(ab b a ab b a n n -=⋅-++2．化简等于)]14([7)3(23332+--x x x x x （ ）A ．3479x x +B. 3596728727x x x x ---C. 4257731x x x +-D. 46748x x + 3．如果M 、N 分别是关于x 的7次多项式和5次多项式，则M ∙N （ ）A ．一定是12次多项式 B. 一定是35次多项式 C ． 大于12次的多项式D. 无法确定积的次数4．在①32)3)(1(2-+=+-x x x x ②123)6)(2(2-=-+x x x ③-=--26)23)(32(x y x y x2y 613+xy ④2555)5)(5(-+-=-+y x xy y x 中，计算正确的个数是（ ） A ．1个B. 2个C. 3个D. 4个5．)321(232y xy y x +-⋅的计算结果是（ ）A ．y x y x y x 2234262+-B. 4222y x y x +- C ．2324262y x y x y x -+-D. 422326y x y x +-中考题（1）（2005．陕西）计算：()()()222322----+a a a a a ．（2）（2004．长沙）先化简,再求值．2))(()(x y x y x y x y --+++，其中21,2=-=y x ．。
人教版八年级上册数学 整式的乘法与因式分解(提升篇)(Word版 含解析)
人教版八年级上册数学 整式的乘法与因式分解（提升篇）（Word版 含解析）一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）1．若A ＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，则A 的末位数字是( )A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】C【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意可得A=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（24-1）（24+1）（28+1）+1=（28-1）（28+1）+1=216根据21=2；22=4；23=8；24=16；25=32；···因此可由16÷4=4，所以216的末位为6故选C点睛：此题是应用平方差公式进行计算的规律探索题，解题的关键是通过添加式子，使原式变化为平方差公式的形式；再根据2的n 次幂的计算总结规律，从而可得到结果.2．下列运算正确的是（ ）A ．236•a a a =B ．()325a a =C ．23•a ab a b -=-D ．532a a ÷=【答案】C【解析】【分析】根据同底数幂乘法、幂的乘方、单项式乘法、同底数幂除法法则即可求出答案．【详解】A ．原式＝a 5，故A 错误；B ．原式＝a 6，故B 错误；C ．23•a ab a b -=-，正确；D ．原式＝a 2，故D 错误．故选C ．【点睛】本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方、单项式乘法、同底数幂除法，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．3．边长为a ，b 的长方形周长为12，面积为10，则a 2b +ab 2的值为（ ）A ．120B ．60C ．80D ．40【答案】B【解析】【分析】直接利用提取公因式法分解因式，进而求出答案．【详解】解：∵边长为a ，b 的长方形周长为12，面积为10，∴a +b ＝6，ab ＝10，则a 2b +ab 2＝ab （a +b ）＝10×6＝60．故选：B ．【点睛】本题考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．4．已知4y 2+my +9是完全平方式，则m 为( )A ．6B ．±6C ．±12D ．12【答案】C【解析】【分析】原式利用完全平方公式的结构特征求出m 的值即可．【详解】∵4y 2+my +9是完全平方式，∴m =±2×2×3=±12．故选：C ．【点睛】此题考查完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．5．将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是( )A ．a 2-1B ．a 2+aC ．a 2+a-2D ．(a+2)2-2(a+2)+1【答案】C【解析】试题分析：先把四个选项中的各个多项式分解因式，即a 2﹣1=（a+1）（a ﹣1），a 2+a=a （a+1），a 2+a ﹣2=（a+2）（a ﹣1），（a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2，观察结果可得四个选项中不含有因式a+1的是选项C ；故答案选C ．考点：因式分解.6．下列从左到右的变形，是因式分解的是( )A ．()()23x 3x 9x -+=-B ．()()()()y 1y 33y y 1+-=-+C ．()24yz 2y z z 2y 2z zy z -+=-+D ．228x 8x 22(2x 1)-+-=--【答案】D【解析】【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．【详解】根据因式分解的定义得：从左边到右边的变形，是因式分解的是228x 8x 22(2x 1)-+-=--.其他不是因式分解:A,C 右边不是积的形式，B 左边不是多项式.故选D.【点睛】本题考查了因式分解的意义，注意因式分解后左边和右边是相等的，不能凭空想象右边的式子．7．若2149x kx ++是完全平方式，则实数k 的值为（ ） A ．43 B ．13 C ．43± D ．13± 【答案】C【解析】【分析】本题是已知平方项求乘积项，根据完全平方式的形式可得出k 的值．【详解】由完全平方式的形式（a±b ）2=a 2±2ab+b 2可得： kx=±2•2x•13， 解得k=±43． 故选：C【点睛】本题关键是有平方项求乘积项，掌握完全平方式的形式（a±b ）2=a 2±2ab+b 2是关键．8．已知三个实数a,b,c 满足a-2b+c=0，a+2b+c ＜0，则（ ）A ．b>0，b 2-ac ≤0B ．b ＜0，b 2-ac ≤0C ．b>0，b 2-ac ≥0D ．b ＜0，b 2-ac ≥0【答案】D【解析】【分析】根据题意得a+c=2b，然后将a+c替换掉可求得b＜0，将b2-ac变形为()24a c-，可根据平方的非负性求得b2-ac≥0.【详解】解：∵a-2b+c=0，∴a+c=2b，∴a+2b+c=4b＜0，∴b＜0，∴a2+2ac+c2=4b2，即22 224a ac c b++=∴b2-ac=()22222220 444a ca ac c a ac cac-++-+-==≥，故选：D.【点睛】本题考查了等式的性质以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键. 9．观察下列两个多项式相乘的运算过程：根据你发现的规律，若（x+a）（x+b）=x2-7x+12，则a，b的值可能分别是（）A．3-，4-B．3-，4 C．3，4-D．3，4【答案】A【解析】【分析】根据题意可得规律为712a bab+=-⎧⎨=⎩，再逐一判断即可.【详解】根据题意得，a，b的值只要满足712a bab+=-⎧⎨=⎩即可，A.-3+（-4）=-7，-3×（-4）=12，符合题意；B.-3+4=1，-3×4=-12，不符合题意；C.3+（-4）=-1,3×（-4）=-12，不符合题意；D.3+4=7,3×4=12，不符合题意.故答案选A.【点睛】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是根据题意找出规律.10．下列各运算中，计算正确的是（ ）A ．a 12÷a 3=a 4B ．（3a 2）3=9a 6C ．（a ﹣b ）2=a 2﹣ab+b 2D ．2a•3a=6a 2【答案】D【解析】【分析】根据同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式、单项式乘法的法则逐项计算即可得.【详解】A 、原式=a 9，故A 选项错误，不符合题意；B 、原式=27a 6，故B 选项错误，不符合题意；C 、原式=a 2﹣2ab+b 2，故C 选项错误，不符合题意；D 、原式=6a 2，故D 选项正确，符合题意，故选D ．【点睛】本题考查了同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式、单项式乘法等运算，熟练掌握各运算的运算法则是解本题的关键．二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）11．若a-b=1，则222a b b --的值为____________．【答案】1【解析】【分析】先局部因式分解，然后再将a-b=1代入，最后在进行计算即可.【详解】解：222a b b --=（a+b ）（a-b ）-2b=a+b-2b=a-b=1【点睛】本题考查了因式分解的应用，弄清题意、并根据灵活进行局部因式分解是解答本题的关键.12．已知212()02a b -++=，则20192020a b =__________． 【答案】12 【解析】【分析】先利用绝对值和平方的非负性求得a 、b 的值，然后将20192020a b 转化为20192019()ab b ⋅的形式可求得.【详解】 ∵212()02a b -++= ∴a －2=0，12b +=0 解得：a=2，12b =- 20192020a b =20192019()a b b ⋅=()2019112⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭=1 2故答案为：12【点睛】 本题考查绝对值和平方的非负性，解题关键是利用非负性，先得出a 、b 的值.13．设123,,a a a 是一列正整数，其中1a 表示第一个数，2a 表示第二个数，依此类推，n a 表示第n 个数(n 是正整数)，已知11a =，2214(1)(1)nn n a a a ，则2018a =___________.【答案】4035【解析】 【分析】()()22n n 1n 4a a 1a 1+=---整理得()()22n n 1a 1a 1++=-，从而可得a n+1-a n =2或a n =-a n+1，再根据题意进行取舍后即可求得a n 的表达式，继而可得a 2018.【详解】∵()()22n n 1n 4a a 1a 1+=---，∴()()22n n n 14a a 1a 1++-=-，∴()()22n n 1a 1a 1++=-，∴a n +1=a n+1-1或a n +1=-a n+1+1，∴a n+1-a n =2或a n =-a n+1，又∵123a ,a ,a ⋯⋯是一列正整数，∴a n =-a n+1不符合题意，舍去，∴a n+1-a n =2，又∵a 1=1，∴a 2=3，a 3=5，……，a n =2n-1，∴a 2018=2×2018-1=4035，故答案为4035.【点睛】本题考查了完全平方公式的应用、平方根的应用、规律型题，解题的关键是通过已知条件推导得出a n+1-a n =2.14．已知x ＝a 时，多项式x 2+6x+k 2的值为﹣9，则x ＝﹣a 时，该多项式的值为_____．【答案】27【解析】【分析】把x a =代入多项式，得到的式子进行移项整理，得22(3)a k +=-，根据平方的非负性把a 和k 求出，再代入求多项式的值．【详解】解：将x a =代入2269x x k ++=-，得：2269a a k ++=-移项得：2269a a k ++=-22(3)a k ∴+=-2(3)0a +，20k -30a ∴+=，即3a =-，0k =x a ∴=-时，222636327x x k ++=+⨯=故答案为：27【点睛】本题考查了代数式求值，平方的非负性．把a 代入多项式后进行移项整理是解题关键．15．已知2320x y --=，则23(10)(10)x y ÷＝_______．【答案】100【解析】【分析】根据题意可得2x-3y=2，然后根据幂的乘方和同底数幂相除，底数不变，指数相减即可求得答案.【详解】由已知可得2x-3y=2，所以()()231010x y ÷=102x ÷103y =102x-3y =102=100. 故答案为100.【点睛】此题主要考查了幂的乘方和同底数幂相除，解题关键是根据幂的乘方和同底数幂相除的性质的逆运算变形，然后整体代入即可求解.16．在实数范围内因式分解：231x x +-=____________【答案】3322x x ⎛⎫⎛++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】利用一元二次方程的解法在实数范围内分解因式即可.【详解】令2310x x +-=∴1x =2x =∴231x x +-=3322x x ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：x x ⎛+ ⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查实数范围内的因式分解，利用一元二次方程的解法即可解答，熟练掌握相关知识点是解题关键.17．因式分解：x 3﹣4x=_____．【答案】x （x+2）（x ﹣2）【解析】试题分析：首先提取公因式x ，进而利用平方差公式分解因式．即x 3﹣4x=x （x 2﹣4）=x （x+2）（x ﹣2）．故答案为x （x+2）（x ﹣2）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．18．因式分解：223ax 12ay -=______．【答案】()()3a x 2y x 2y +-【解析】【分析】先提公因式3a ，然后再利用平方差公式进行分解即可得.【详解】原式()223a x 4y =-()()3a x 2y x 2y =+-，故答案为：()()3a x 2y x 2y +-．【点睛】本题考查了综合提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．19．利用1个a ×a 的正方形，1个b ×b 的正方形和2个a ×b 的矩形可拼成一个正方形(如图所示)，从而可得到因式分解的公式________．【答案】a 2+2ab+b 2=（a+b ）2【解析】试题分析：两个正方形的面积分别为a 2，b 2，两个长方形的面积都为ab ，组成的正方形的边长为a ＋b ，面积为(a ＋b )2，所以a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2．点睛：本题考查了运用完全平方公式分解因式，关键是理解题中给出的各个图形之间的面积关系．20．已知(2x 21)(3x 7)(3x 7)(x 13)-----可分解因式为(3x a)(x b)++，其中a 、b 均为整数，则a 3b +=_____.【答案】31-．【解析】首先提取公因式3x ﹣7，再合并同类项即可根据代数式恒等的条件得到a 、b 的值，从而可算出a+3b 的值：∵()()()()(2x 21)(3x 7)(3x 7)(x 13)3x 72x 21x 133x 7x 8-----=---+=--， ∴a=－7，b=－8．∴a 3b 72431+=--=-．。
2021北师大版本七年级下册1.4整式的乘法提高(学案)
整式的乘法（复习提高）【知识要点】【例题讲解】类型一、单项式乘以单项式例1.（2020春•永州期末）计算：3x 2y •（﹣xy ）2＝ ．例2.（2020春•彭州市期末）若ab 3＝﹣2，则（﹣3ab ）•2ab 5＝ ．【随堂练习】1．（2020春•常德期末）计算：13xy 2•（﹣6x ）2＝ ．2．（2020春•东城区校级期末）计算：﹣2x 3y 2•（x 2y 3）2．类型二、单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即()m a b c ma mb mc ++=++.例1.（2020春•张家港市校级月考）要使﹣x 3（x 2+ax +1）+2x 4中不含有x 的四次项，则a 等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4例2.已知a ﹣b ＝3，b ﹣c ＝﹣4，求代数式a 2﹣ac ﹣b （a ﹣c ）的值．【随堂练习】1．（2020秋•长宁区校级月考）2x （﹣x 2+3x ﹣4）﹣3x 2（12x +1）2．（2020春•新邵县期末）在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：﹣3x （﹣2x 2+3x ﹣1）＝6x 3﹣9x 2+□，“□”的地方被墨水弄污了，你认为“□”内应填写（ ） A ．1B ．﹣1C ．3xD ．﹣3x类型三、多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++. 要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++【典例】例1.（2020春•青羊区期末）以下关于x 的各个多项式中，a ，b ，c ，m ，n 均为常数． （1）根据计算结果填写表格：二次项系数一次项系数常数项（x +1）（x +2） 1 3 2 （2x ﹣1）（3x +2） 6 1 ﹣2 （ax +b ）（mx +n ）aman +bmbn（2）若关于x 的代数式（x +2）•（x 2+mx +n ）化简后，既不含二次项，也不含一次项，求m +n 的值．2.（2020春•安庆期中）已知：（x 2+px +2）（x ﹣1）的结果中不含x 的二次项，求p 2020的值．【变式训练】1.（2020春•锦江区校级期中）已知将（x 3+mx +n ）（x 2﹣3x +4）乘开的结果不含x 2项，并且x 3的系数为2．则m +n ＝ ．2．（2020春•姜堰区期末）若（x +3）（x ﹣m ）＝x 2+x +n ，则mn ＝ ．类型四、化简求值1.先化简，再求值：(x －y)(x －2y)－21(2x －3y)(x+2y),其中x=－2,y=52.2.先化简再求值：)2102(1)x x 2x 2322x x x x +--+-（，其中x=－21.【变式训练】1.化简求值:x(x 2-4)-(x+3)(x 2-3x+2)-2x(x-2),其中x=1.5.2.已知x+3y=0,求32326x x y x y +--的值.【课堂总结】1. 2. 3. 4. 【强化训练】1．（2020秋•海淀区校级月考）如果一个单项式与﹣3ab 的积为−34a 2bc ，则这个单项式为 ．2．（2020春•溧阳市期末）已知12ab ＝a +b +1，则（a ﹣2）（b ﹣2）＝ ．3．（2020春•牡丹区期末）若x +m 与2﹣x 的乘积中不含x 的一次项，则实数m 的值为 ．4．（2020春•河口区期末）当m ＝1，n ＝2时，（m +n ）（m 2﹣mn +n 2）的值为 ．5．（2020春•沙坪坝区校级月考）若（x +4）（x ﹣2）＝x 2﹣mx ﹣n ，则mn ＝ ．6．（2020春•沙坪坝区校级月考）若2x +m 与x +2的乘积中不含的x 的一次项，则m 的值为 ．7．（2020春•常州期中）若（x ﹣2）（x +5）＝x 2+mx +n （m 、n 为常数），则m +n ＝ ．8．（2020春•越城区校级期中）已知a ，b 是常数，若化简的（﹣x +a ）（2x 2+bx ﹣3）结果不含x 的二次项，则36a ﹣18b ﹣1的值为 ．9．（2020春•沙坪坝区校级月考）2x 2y •32xy ．10．（2020春•沙坪坝区校级月考）2x 3•（﹣x ）5﹣x 5•（﹣x ）3．11.若5=+y x ，6=xy ，求22xy y x +的值。
中考数学总复习《整式的乘法》专项提升训练(带有答案)
中考数学总复习《整式的乘法》专项提升训练(带有答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.计算a •a 2的结果是( )A ．a 3B ．a 2C ．3aD ．2a 22.如果a 2n ﹣1a n+5=a 16，那么n 的值为( )A.3B.4C.5D.63.计算(－a 3)2的结果是( )A.－a 5B.a 5C.a 6D.－a 64.如果3a ＝5，3b ＝10，那么9a ﹣b 的值为( ) A.12 B.14 C.18D.不能确定 5.下列运算错误的是（ ）A.-m 2·m 3=-m 5B.-x 2＋2x 2=x 2C.(-a 3b)2=a 6b 2D.-2x(x-y)=-2x 2-2xy6.若x+y=2,xy=-2 ,则(1-x)(1-y)的值是（ ） A.-1 B.1 C.5 D.-37.如图所示，从边长为a 的大正方形中挖去一个边长是b 的小正方形，小明将图a 中的阴影部分拼成了一个如图b 所示的长方形，这一过程可以验证( )A.a 2+b 2﹣2ab=(a ﹣b)2B.a 2+b 2+2ab=(a+b)2C.2a 2﹣3ab+b 2=(2a ﹣b)(a ﹣b)D.a 2﹣b 2=(a+b)(a ﹣b)8.若4x 2＋kx ＋25＝(2x ＋a)2，则k ＋a 的值可以是( )A.﹣25B.﹣15C.15D.209.计算20222﹣2021×2023的结果是( )A.1B.﹣1C.2D.﹣210.观察下列各式及其展开式：(a ＋b)2=a 2＋2ab ＋b 2(a＋b)3=a3＋3a2b＋3ab2＋b3(a＋b)4=a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4(a＋b)5=a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5…请你猜想(a＋b)10的展开式第三项的系数是( )A.36B.45C.55D.66二、填空题11.已知39m•27m＝36，则m＝________．12.若(mx3)·(2x k)＝﹣8x18，则适合此等式的m＝______，k＝_____.13.如图是一个L形钢条的截面，它的面积为________14.如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=7，ab=13，则阴影部分的面积为.15.已知x2+2x=3，则代数式(x+1)2﹣(x+2)(x﹣2)+x2的值为_____.16.化简：6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1= .三、解答题17.化简：(x+3)(x+4)﹣x(x﹣1)18.化简：(a+2b)(3a﹣b)﹣(2a﹣b)(a+6b)19.化简：(x﹣6)(x+4)+(3x+2)(2﹣3x)20.化简：(3a+2b)(2a-3b)-(a-2b)(2a-b).21.先化简，再求值：[(x＋2y)2﹣(x＋y)(x﹣y)﹣5y2]÷2x，其中x＝﹣2，y＝1 2．22.已知(x2＋px＋8)(x2-3x＋q)的展开式中不含x2和x3项，求p，q的值.23.已知a+b=7，ab=12.求：(1)a2+b2；(2)(a-b)2的值.24.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．(1)28和2012这两个数是神秘数吗?为什么?(2)设两个连续偶数为2k＋2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?为什么?(3)两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗?为什么?25.阅读材料：把形ax2+bx+c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=(a±b)2.请根据阅读材料解决下列问题：(1)填空：a2﹣4a+4= .(2)若a2+2a+b2﹣6b+10=0，求a+b的值.(3)若a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+4b2+c2﹣2ab﹣6b﹣2c+4=0，试判断△ABC 的形状，并说明理由.参考答案1.A2.B3.C4.B5.D6.D7.D8.A9.A10.B11.答案为：12 .12.答案为：﹣4，15.13.答案为：ac+bc-c2.14.答案为：515.答案为：816.答案为：73217.原式=8x+12．18.原式=4x2+4x+1﹣y219.原式=x2﹣2x﹣24+4﹣9x2=﹣8x2﹣2x﹣20.20.原式=4a2-8b2.21.解：原式＝(x2＋4xy＋4y2﹣x2＋y2﹣5y2)÷2x＝4xy÷2x＝2y当x＝﹣2，y＝12时，原式＝1．22.解：(x2＋px＋8)(x2-3x＋q)=x4-3x3＋qx2＋px3-3px2＋pqx＋8x2-24x＋8q=x4＋(p-3)x3＋(q-3p＋8)x2＋(pq-24)x＋8q.[来源:学科网] 因为展开式中不含x2和x3项所以p-3=0，q-3p＋8=0解得p=3，q=1.23.解：(1)a2+b2=(a+b)2-2ab=72-2×12=49-24=25；(2)(a-b)2=(a+b)2-4ab=72-4×12=49-48=1.24.解：(1)28和2012都是神秘数；(2)这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数；(3)两个连续奇数的平方差不是神秘数．25.解：(1)∵a2﹣4a+4=(a﹣2)2，故答案为：(a﹣2)2；(2)∵a2+2a+b2﹣6b+10=0∴(a+1)2+(b﹣3)2=0∴a=﹣1，b=3∴a+b=2；(3)△ABC为等边三角形.理由如下：∵a2+4b2+c2﹣2ab﹣6b﹣2c+4=0∴(a﹣b)2+(c﹣1)2+3(b﹣1)2=0∴a﹣b=0，c﹣1=0，b﹣1=0∴a=b=c=1∴△ABC为等边三角形.。
整式的乘法拓展提升专题练习
………………………………………………最新资料推荐………………………………………1 / 1 整式的乘法培优专题例1．已知1582=+x x ，求2)12()1(4)2)(2(++---+x x x x x 的值. 练习：1．若0422=--a a , 求代数式2]3)2()1)(1[(2÷--+-+a a a 的值.2．已知012=--x x ，求)5()3()2)(2(2---+-+x x x x x 的值． 3. 已知)1()3)(3(1,09322---+++=-+x x x x x x x ）求（的值. 4．已知222x x -=，求代数式2(1)(3)(3)(3)(1)x x x x x -++-+--的值5. 已知132=-x x ，求)1)(4()2()2(22--+-+-+x x x x x ）（的值. 例2：已知012=-+x x ，求代数式3223++x x 的值。
练习：1. 已知0332=-+x x ，求代数式103523-++x x x 的值。
2. 已知012=-+a a ，求代数式3432234+--+a a a a 的值。
3. 已知0132=+-x x ，求代数式200973223+--x x x 的值。
例3. 已知当x ＝1时，代数式ax 5＋bx 3＋cx ＋6的值为4，求当x ＝－1时，该代数式的值. 练习：1. 已知当x=3时,代数式ax 5＋bx 3＋cx －6的值为17，求当x=－3时，该代数式的值.2. 已知关于x 的三次多项式5)2()32(3223-++++-x x ax b x bx x a ，当2=x 时值为17-，求当2-=x 时，该多项式的值。
幂的运算：1. 若2m =5，2n =6，则2m+2n = _________ ．2. 已知x+2y=2，求9x •81y 的值．3. 已知a x =5，a x+y =25，求a x +a y 的值．4. 若x m+2n =16，x n =2，求x m+n 的值．5. 已知：2x =4y+1，27y =3x--1，求x ﹣y 的值．6. 已知9n+1﹣32n =72，求n 的值．7. 已知25m •2•10n =57•24，求m 、n ．8. 已知a 、b 、c 都是正数，且2a =2，4b =3，6c =5，试比较a 、b 、c 的大小．9. 比较大小：552，443，334，225.。
北师大版八年级上册数学 整式的乘法与因式分解(提升篇)(Word版 含解析)
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，求△ABC的最大边c的值；
（3）已知a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，求a+b+c的值．
2．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积时，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到 ．请回答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式是；
（2）如图3，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，你能发现什么?(用含有 ， 的式子表示)；
（3）通过上述的等量关系，我们可知:当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小，则积越（填“大”“或“小”）；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小，则和越（填“大”或“小”）．
方法1： ____________________；方法2： ________________________；
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式： 之间的等量关系．
_______________________________________________________；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
【答案】(1)9；（2）△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10；（3）8.
【解析】
试题分析：（1）直接利用配方法得出关于x，y的值即可求出答案；
（2）直接利用配方法得出关于a，b的值即可求出答案；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第2讲 整式的乘法
【学习目标】
1．掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则；
2．灵活运用法则进行正确计算．
【教学重难点】
1．重点：单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的法则；
2．难点：利用转化思想把复杂问题转化为简单问题．
考点1：单项式乘单项式
知识点与方法技巧梳理：
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．
在单项式与单项式的乘法中，可以分为三部分：1．系数；2．相同字母；3．其中一项单独有的字母． 乘法步骤：1．系数×系数的积做结果的系数；
2．相同字母幂相乘的结果做结果的一个因式；
3．单独的一个字母的幂也做结果的一个因式．
【例1】计算：
（1）252a b ab
⋅ （2）()222m n mn x ⋅- （3）()2334x y xyz -⋅-
（4）333231102a bc ab c ⎛⎫⎛⎫⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （4）()
3222a bc ab ⋅- （5）22321(2)(3)2x xy y -⋅-⋅
【变式】计算：
（1）2321423a b a b （2）2223x y xy （3）()2327x x y ⋅-
（4）223235x y x y z ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭ （5）22221()(3)2x yz xy -⋅ （6）223n n xy x y
（7）()()232m x y
xy -⋅ （8）()()334323a ab -⋅ （9）222232233xy z x y xz
【例2】计算：
（1）223753xy xy xy x （2）3224523223a b ab a b ab
【变式】计算：
（1）
224()()ab a b b （2）
（2015锦江区期中）23322(2)34(0.5)a a a a
考点2：单项式乘多项式
知识点与方法技巧梳理：
单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 注意：1．括号里的多项式可以看成省略加号的代数和，在与单项式相乘时注意结果的符号；
2．单项式应与多项式中的每一项相乘，不能漏乘常数项；
3．对于混合运算，如有同类项应合并，最后结果写成最简形式．
【例】计算：
（1）1112326a
a b a b a b （2）(2)(341)a a b -⋅-+
（3）3221123223xy x y y （4）（2016棕北中学月考）3212243ab a a b b
【变式】计算：
（1）()()234a b ab -+⋅- （2）()()
222131a b ab ab ab -++-
（3）()()22255a a a b b a b ---- （4）()214682x x x ⎛⎫-+-⋅- ⎪⎝⎭
【变式】（2015石室联中月考）已知26ab
，求253ab a b ab b 的值．
考点3：多项式乘多项式
知识点与方法技巧梳理：
多项式乘多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
【例】计算：
（1）()()2a b a b -+ （2）()()454a a +-
（3）()()3223x y x y -+ （4）(53)(35)a b b a
（5）2
361x x x x （6）3223334x y x y x y x y
【变式】计算
（1）4
5x x （2）61x x
（3）()()2323a b a b -+ （4）3
5xy xy
（4）()()()()3532125a a a a +-++- （5）()()()()32342335x x x x ---+-
考点4：整式乘法的综合应用
【例1】（2015金牛区期末）先化简，再求值：()()()()21542554a a a a ++--+，其中1a =-．
【变式】（2014成华区期末）先化简，再求值：22224
37351x +x x x ，其中2x =．
【例4】如果( m －3 )( m －k
)＝m 2＋pm －6，求k 的值．
【变式】（2015武侯区期末）若28x ax 与223x x b 的积中不含3x 与x 项，求a 、b 的值．。