一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题(含答案)
一元二次不等式及其解法
1.一元一次不等式解法
任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后,都可以化为ax>b(a≠0)的形式.
当a>0时,解集为;当a<0时,解集为.
2.一元二次不等式及其解法
(1)我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为__________不等式.
(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解,一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________.
(3)一元二次不等式的解:
(1)化分式不等式为标准型.方法:移项,通分,右边化为0,左边化为
f(x)
g(x)
的形式.
(2)将分式不等式转化为整式不等式求解,如:
f(x)
g(x)
>0?f(x)g(x)>0;
f(x)
g(x)
<0 ?f(x)g(x)<0;
f(x)
g(x)
≥0 ?
??
?
??f(x)g(x)≥0,
g(x)≠0;
f(x)
g(x)
≤0 ?
??
?
??f(x)g(x)≤0,
g(x)≠0.
(2014·课标Ⅰ)已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则A∩B=( )
A.[-2,-1]
B.[-1,2)
C.[-1,1]
D.[1,2)
解:∵A ={x |x ≥3或x ≤-1},B ={x |-2≤x <2},∴A ∩B ={x |-2≤x ≤-1}=[-2,-1].故选A .
设f (x )=x 2
+bx +1且f (-1)=f (3),则f (x )>0的解集为( ) A.{x |x ∈R } B.{x |x ≠1,x ∈R } C.{x |x ≥1}
D.{x |x ≤1}
解:f (-1)=1-b +1=2-b ,f (3)=9+3b +1=10+3b , 由f (-1)=f (3),得2-b =10+3b ,
解出b =-2,代入原函数,f (x )>0即x 2
-2x +1>0,x 的取值围是x ≠1.故选B. 已知-12<1
x <2,则x 的取值围是( )
A.-2 B.-1 2 C.x <-1 2 或x >2 D.x <-2或x >1 2 解:当x >0时,x >1 2;当x <0时,x <-2. 所以x 的取值围是x <-2或x >1 2,故选D. 不等式1-2x x +1>0的解集是 . 解:不等式1-2x x +1>0等价于(1-2x )(x +1)>0, 也就是? ?? ??x -12(x +1)<0,所以-1<x <12. 故填???? ??x |-1<x <1 2,x ∈R . (2014·武汉调研)若一元二次不等式2kx 2 +kx -38 <0对一切实数x 都成立,则k 的 取值围为________. 解:显然k ≠0.若k >0,则只须(2x 2+x )max <38k ,解得k ∈?;若k <0,则只须38k <(2x 2 +x )min ,解得k ∈(-3,0).故k 的取值围是(-3,0).故填(-3,0). 类型一 一元一次不等式的解法 已知关于x 的不等式(a +b )x +2a -3b <0的解集为? ????-∞,-13,求关于x 的 不等式(a -3b )x +b -2a >0的解集. 解:由(a +b )x <3b -2a 的解集为? ????-∞,-13, 得a +b >0,且3b -2a a +b =-1 3 , 从而a =2b ,则a +b =3b >0,即b >0, 将a =2b 代入(a -3b )x +b -2a >0, 得-bx -3b >0,x <-3,故所求解集为(-∞,-3). 点拨: 一般地,一元一次不等式都可以化为ax >b (a ≠0)的形式.挖掘隐含条件a +b >0且3b -2a a +b =-1 3 是解本题的关键. 解关于x 的不等式:(m 2 -4)x <m +2. 解:(1)当m 2 -4=0即m =-2或m =2时, ①当m =-2时,原不等式的解集为?,不符合 ②当m =2时,原不等式的解集为R ,符合 (2)当m 2 -4>0即m <-2或m >2时,x <1 m -2 . (3)当m 2-4<0即-2<m <2时,x > 1m -2 . 类型二 一元二次不等式的解法 解下列不等式: (1)x 2 -7x +12>0; (2)-x 2 -2x +3≥0; (3)x 2 -2x +1<0; (4)x 2 -2x +2>0. 解:(1){x |x <3或x >4}. (2){x |-3≤x ≤1}. (3)?. (4)因为Δ<0,可得原不等式的解集为R . (2013·金华十校联考)已知函数f (x )=? ????-x +1,x <0, x -1,x ≥0, 则不等式 x +(x + 1)f (x +1)≤1的解集是( ) A.{x |-1≤x ≤2-1} B.{x |x ≤1} C.{x |x ≤2-1} D.{x |-2-1≤x ≤2-1} 解:由题意得不等式x +(x +1)f (x +1)≤1等价于① ? ????x +1<0, x +(x +1)[-(x +1)+1]≤1 或 ②? ????x +1≥0,x +(x +1)[(x +1)-1]≤1, 解不等式组①得x <-1;解不等式组②得-1≤x ≤2-1. 故原不等式的解集是{x |x ≤2-1}.故选C. 类型三 二次不等式、二次函数及二次方程的关系 已知关于x 的不等式x 2 -bx +c ≤0的解集是{x |-5≤x ≤1},数b ,c 的值. 解:∵不等式x 2 -bx +c ≤0的解集是{x |-5≤x ≤1}, ∴x 1=-5,x 2=1是x 2 -bx +c =0的两个实数根, ∴由韦达定理知? ????-5+1=b ,-5×1=c ,∴?????b =-4,c =-5. 已知不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |2<x <3},求不等式cx 2 -bx +a >0 的解集. 解:∵不等式ax 2 +bx +c >0的解集为{x |2<x <3}, ∴a <0,且2和3是方程ax 2 +bx +c =0的两根,由根与系数的关系得 ?????-b a =2+3, c a =2×3,a <0. 即???? ?b =-5a ,c =6a ,a <0. 代入不等式cx 2 -bx +a >0,得6ax 2 +5ax +a >0(a <0). 即6x 2 +5x +1<0, ∴所求不等式的解集为? ????? x |-12<x <-13. 类型四 含有参数的一元二次不等式 解关于x 的不等式:mx 2 -(m +1)x +1<0. 解:(1)m =0时,不等式为-(x -1)<0,得x -1>0,不等式的解集为{x |x >1}; (2)当m ≠0时,不等式为m ? ?? ??x -1m (x -1)<0. ①当m <0,不等式为? ?? ??x -1m (x -1)>0, ∵1 m <1,∴不等式的解集为 ???? ??x |x <1m 或x >1. ②当m >0,不等式为? ?? ??x -1m (x -1)<0. (Ⅰ)若1 m <1即m >1时,不等式的解集为? ??? ??x |1m <x <1; (Ⅱ)若1 m >1即0<m <1时,不等式的解集为 ? ??? ??x |1<x <1m ; (Ⅲ)若1 m =1即m =1时,不等式的解集为?. 点拨: 当x 2 的系数是参数时,首先对它是否为零进行讨论,确定其是一次不等式还是二次不等式,即对m ≠0与m =0进行讨论,这是第一层次;第二层次:x 2 的系数正负(不等号方向)的不确定性,对m <0与m >0进行讨论;第三层次:1 m 与1大小的不确定性,对m <1、m >1 与m =1进行讨论. 解关于x 的不等式ax 2 -2≥2x -ax (a ∈R ). 解:不等式整理为ax 2 +(a -2)x -2≥0, 当a =0时,解集为(-∞,-1]. 当a ≠0时,ax 2 +(a -2)x -2=0的两根为-1,2a ,所以当a >0时, 解集为(-∞,-1]∪???? ??2a ,+∞; 当-2<a <0时,解集为???? ??2a ,-1; 当a =-2时,解集为{x |x =-1}; 当a <-2时,解集为???? ??-1,2a . 类型五 分式不等式的解法 (1)解不等式x -1 2x +1 ≤1. 解:x -12x +1≤1 ? x -12x +1-1≤0 ? -x -22x +1≤0 ? x +22x +1 ≥0. x +2 2x +1≥0 ? ?????(x +2)(2x +1)≥0,2x +1≠0. 得{xx >-1 2或x ≤-2}. ※(2)不等式x -2 x 2 +3x +2 >0的解集是 . 解: x -2x 2 +3x +2>0?x -2 (x +2)(x +1) >0? (x -2)(x +2)(x +1)>0, 数轴标根得{x |-2<x <-1或x >2}, 故填{x|-2<x <-1或x >2}. 点拨: 分式不等式可以先转化为简单的高次不等式,再利用数轴标根法写出不等式的解集,如果该不等式有等号,则要注意分式的分母不能为零.※用“数轴标根法”解不等式的步骤:(1)移项:使得右端为0(注意:一定要保证x 的最高次幂的项的系数为正数).(2)求根:就是求出不等式所对应的方程的所有根..(3)标根:在数轴上按从左到右(由小到大)依次标出各根(不需标出准确位置,只需标出相对位置即可).(4)画穿根线:从数轴“最右根”的右上方向左下方画线,穿过此根,再往左上方穿过“次右根”,一上一下依次穿过各根,“奇穿偶不穿”来记忆.(5)写出不等式的解集:若不等号为“>”,则取数轴上方穿根线以的围;若不等号为“<”,则取数轴下方穿根线以的围;若不等式中含有“=”号,写解集时要考虑分母不能为零. (1)若集合A ={x |-1≤2x +1≤3},B = ???? ??x |x -2x ≤0,则A ∩B =( ) A.{x |-1≤x <0} B.{x |0<x ≤1} C.{x |0≤x ≤2} D.{x |0≤x ≤1} 解:易知A ={x |-1≤x ≤1},B 集合就是不等式组? ????x (x -2)≤0, x ≠0 的解集,求出B = {}x |0<x ≤2,所以A ∩B ={x |0<x ≤1}.故选B. (2)不等式x -1 2x +1 ≤0的解集为( ) A.? ????-12,1 B.???? ??-12,1 C.? ????-∞,-12∪[1,+∞) D.? ????-∞,-12∪[1,+∞) 解:x -1 2x +1≤0?? ????(x -1)(2x +1)≤0,2x +1≠0 得-1 2 类型六 和一元二次不等式有关的恒成立问题 (1)若不等式x 2 +ax +1≥0对于一切x ∈? ?? ??0,12成立,则a 的最小值为( ) A.0 B.-2 C.-5 2 D.-3 解:不等式可化为ax ≥-x 2 -1,由于x ∈? ????0,12, ∴a ≥-? ?? ??x +1x .∵f (x )= x +1x 在? ?? ??0,1 2上是减函数, ∴? ??? ?-x -1x max =-52.∴a ≥-5 2 . (2)已知对于任意的a ∈[-1,1],函数f (x )=x 2 +(a -4)x +4-2a 的值总大于0,则x 的取值围是( ) A.1<x <3 B.x <1或x >3 C.1<x <2 D.x <1或x >2 解:记g (a )=(x -2)a +x 2 -4x +4,a ∈[-1,1], 依题意,只须?????g (1)>0,g (-1)>0?? ????x 2 -3x +2>0, x 2-5x +6>0?x <1或x >3,故选B. 点拨: 对于参数变化的情形,大多利用参变量转换法,即参数转换为变量;变量转换为参数,把关于x 的二次不等式转换为关于a 的一次不等式,化繁为简,然后再利用一次函数的单调性,求出x 的取值围. 对于满足|a |≤2的所有实数a ,求使不等式x 2 +ax +1>2x +a 成立的x 的取 值围. 解:原不等式转化为(x -1)a +x 2 -2x +1>0,设f (a )=(x -1)a +x 2 -2x +1,则f (a ) 在[-2,2]上恒大于0,故有:?????f (-2)>0,f (2)>0 即?????x 2 -4x +3>0,x 2-1>0 解得? ????x >3或x <1, x >1或x <-1. ∴x <-1或x >3. 类型七 二次方程根的讨论 若方程2ax 2 -x -1=0在(0,1)有且仅有一解,则a 的取值围是( ) A.a <-1 B.a >1 C.-1 D.0≤a <1 解法一:令f (x )=2ax 2-x -1,则f (0)·f (1)<0,即-1×(2a -2)<0,解得a >1. 解法二:当a =0时,x =-1,不合题意,故排除C ,D ;当a =-2时,方程可化为4x 2 +x +1=0,而Δ=1-16<0,无实根,故a =-2不适合,排除A.故选B. 1.不等式 x -2 x +1 ≤0的解集是( ) A.(-∞,-1)∪(-1,2] B.[-1,2] C.(-∞,-1)∪[2,+∞) D.(-1,2] 解: x -2 x +1 ≤0?()x +1()x -2≤0,且x ≠-1,即x ∈(-1,2],故选D. 2.关于x 的不等式(mx -1)(x -2)>0,若此不等式的解集为? ??? ?? x |1m <x <2,则m 的取值 围是( ) A.m >0 B.0<m <2 C.m >12 D.m <0 解:由不等式的解集形式知m <0.故选D. 3.(2013·安徽)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为? ?????x |x <-1或x >12,则f (10x )>0的 解集为( ) A.{x |x <-1或x >lg2} B.{x |-1 C.{x |x >-lg2} D.{x |x <-lg2} 解:可设f (x )=a (x +1)? ????x -12(a <0),由f (10x )>0可得(10x +1)? ????10x -12<0, 从而10x <12,解得x <-lg2,故选D. 4.(2013·陕西)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m 2 的接矩 形花园(阴影部分), 则其边长x (单位:m )的取值围是( ) A.[15,20] B.[12,25] C.[10,30] D.[20,30] 解:设矩形的另一边为y m ,依题意得x 40=40-y 40 ,即y =40-x , 所以x (40-x )≥300,解得10≤x ≤30.故选C. 5.若关于x 的不等式2x 2 -8x -4-a >0在(1,4)有解,则实数a 的取值围是( ) A.a <-12 B.a >-4 C.a >-12 D.a <-4 解:关于x 的不等式2x 2 -8x -4-a >0在(1,4)有解,即a <2x 2 -8x -4在(1,4)有解,令f (x )=2x 2 -8x -4=2(x -2)2 -12,当x =2时,f (x )取最小值f (2)=-12;当x =4时, f (4)=2(4-2)2-12=-4,所以在(1,4)上,-12≤f (x )<-4.要使a <f (x )有解,则a < -4.故选D. 6.若不等式x 2-kx +k -1>0对x ∈(1,2)恒成立,则实数k 的取值围是____________. 解:∵x ∈(1,2),∴x -1>0.则x 2 -kx +k -1=(x -1)(x +1-k )>0,等价于x +1-k >0,即k 7.(2014·江苏)已知函数f (x )=x 2+mx -1,若对于任意x ∈[m ,m +1],都有f (x )<0 成立,则实数m 的取值围是________. 解:由题可得f (x )<0对于x ∈[m ,m +1]恒成立,即? ????f (m )=2m 2 -1<0, f (m +1)=2m 2 +3m <0, 解得- 22<m <0.故填? ? ? ??-22,0. 8.若关于x 的不等式x 2-ax -a ≤-3的解集不是空集,数a 的取值围. 解:x 2 -ax -a ≤-3的解集不是空集?x 2 -ax -a +3=0的判别式Δ≥0,解得a ≤-6或a ≥2. 9.已知二次函数f (x )的二次项系数为a ,且不等式f (x )>-2x 的解集为(1,3). (1)若方程f (x )+6a =0有两个相等的实根,求f (x )的解析式; (2)若f (x )的最大值为正数,求a 的取值围. 解:(1)∵f (x )+2x >0的解集为(1,3), ∴f (x )+2x =a (x -1)(x -3),且a <0. 因而f (x )=a (x -1)(x -3)-2x =ax 2 -(2+4a )x +3a.① 由方程f (x )+6a =0得ax 2 -(2+4a )x +9a =0.② 因为方程②有两个相等的实根,所以 Δ=[-(2+4a )]2 -4a ·9a =0, 即5a 2 -4a -1=0,解得a =1或a =-15 . 由于a <0,舍去a =1,将a =-1 5 代入①得f (x )的解析式 f (x )=-15x 2-65x -35 . (2)由f (x )=ax 2 -2(1+2a )x +3a =a ? ?? ??x - 1+2a a 2 -a 2 +4a +1a , 及a <0,可得f (x )的最大值为-a 2+4a +1 a . 由?????-a 2 +4a +1a >0, a <0, 解得a <-2-3或-2+3<a <0. 故当f (x )的最大值为正数时,实数a 的取值围是 (-∞,-2-3)∪(-2+3,0). 10.解关于x 的不等式: a (x -1) x -2 >1(a >0). 解:(x -2)[(a -1)x +2-a ]>0, 当a <1时有(x -2)? ?? ?? x -a -2a -1<0, 若a -2a -1>2,即0<a <1时,解集为{x |2<x <a -2 a -1}; 若a -2 a -1 =2,即a =0时,解集为?; 若 a -2a -1<2,即a <0时,解集为{x |a -2 a -1 <x <2}. 基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 (1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+(2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式(均值不等式)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 (1)若* ,R b a ∈,则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈,则2 2? ? ? ??+≤b a ab 特别说明:以上不等式中,当且仅当b a =时取“=” 5、常用结论 (1)若0x >,则1 2x x +≥(当且仅当1x =时取“=”) (2)若0x <,则1 2x x +≤-(当且仅当1x =-时取“=”) (3)若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”) (4)若R b a ∈,,则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ (5)若*,R b a ∈,则2 2111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明:以上不等式中,当且仅当 b a =时取“=” (1)若,,,a b c d R ∈,则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ (2)若123123,,,,,a a a b b b R ∈,则有:22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ (3)设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数,则有22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一:利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数,证明不等式:ab ≥b a 112 + 2、已知c b a ,,为两两不相等的实数,求证:ca bc ab c b a ++>++2 2 2 3、已知1a b c ++=,求证:2221 3 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R +∈,且1a b c ++=,求证:abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 5、已知,,a b c R +∈,且1a b c ++=,求证:1111118a b c ?????? ---≥ ??????????? 6、选修4—5:不等式选讲 基本不等式知识点归纳 1.基本不等式2 b a a b +≤ (1)基本不等式成立的条件:.0,0>>b a (2)等号成立的条件:当且仅当b a =时取等号. [探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义? 提示:①当b a =时,ab b a ≥+2取等号,即.2 ab b a b a =+?= ②仅当b a =时, ab b a ≥+2取等号,即.2 b a ab b a =?=+ 2.几个重要的不等式 ).0(2);,(222>≥+∈≥+ab b a a b R b a ab b a ),(2 )2();,()2(2 222R b a b a b a R b a b a ab ∈+≤+∈+≤ 3.算术平均数与几何平均数 设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为2 b a +,几何平均数为a b ,基本不等式可叙述为:两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知,0,0>>y x 则 (1)如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时,y x +有最小值是.2p (简记:积定和最小). (2)如果和y x +是定值,p ,那么当且仅当y x =时,xy 有最大值是.4 2 p (简记:和定积最大). [探究] 2.当利用基本不等式求最大(小)值时,等号取不到时,如何处理? 提示:当等号取不到时,可利用函数的单调性等知识来求解.例如,x x y 1 +=在2≥x 时的最小值,利用单调性,易知2=x 时.2 5min = y [自测·牛刀小试] 1.已知,0,0>>n m 且,81=mn 则n m +的最小值为( ) A .18 B .36 C .81 D .243 解析:选A 因为m >0,n >0,所以m +n ≥2mn =281=18. 一元二次不等式及其解法 【设计思想】 新的课程标准指出:数学课程应面向全体学生;促进学生获得数学素养的培养和提高;逐步形成数学观念和数学意识;倡导学生探究性学习。这与建构主义教学观相吻合。本节课正是基于上述理念,通过对已学知识的回忆,引导学生主动探究。强调学习的主体性,使学生实现知识的重构,培养学生“用数学”的意识。本节课的设计以问题为中心,以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程,符合学生的认知规律,使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程,从而培养学生的创新意识。 【教材分析】 本节课是人教社普通高中课程标准实验教材数学必修5第三章《不等式》第二节一元二次不等式及其解法,本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式,并能解一元二次不等式。这一节共分三个课时,本节课属于第一课时,课题为《一元二次不等式及其解法》。学数学的目的在于用数学,除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外,更重要的是要领悟函数、方程、不等式的密切联系,体会数形结合,分类讨论,等价转换等数学思想。 【学情分析】 学生在初中就开始接触不等式,并会解一元一次不等式。 【教学目标】 知识与技能:通过学生自主预习与课上探究掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系和一元二次不等式的解法; 过程与方法:自主探究与讨论交流过程中,培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力; 情感态度价值观:培养学生的合作意识和创新精神。 【教学重点】一元二次不等式的解法。 【教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。 【教学策略】 探究式教学方法 (创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价) 【课前准备】 教具:“几何画板”及PPT课件. 粉笔:用于板书示范. 如何解一元二次不等式,例如:x?2+2x+3≥0. 请大家写出解题过程和思路 解:对于高中“解一元二次不等式”这一块, 通常有以下两种解决办法: ①运用“分类讨论”解题思想; ②运用“数形结合”解题思想。 以下分别详细探讨。 例1、解不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0。 解法①:原不等式可化为: (x -- 4) (x + 2) ≥ 0。 两部分的乘积大于等于零, 等价于以下两个不等式组: (1)x -- 4 ≥ 0 或(2)x -- 4 ≤ 0 x + 2 ≥ 0 x + 2 ≤ 0 解不等式组(1)得:x ≥ 4(因为x ≥ 4 一定满足x ≥ -- 2,此为“同大取大”) 解不等式组(2)得:x ≤ -- 2(因为x ≤ --2 一定满足x ≤ 4,此为“同小取小”) ∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为:x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 其解集为:( -- ∞,-- 2 ] ∪[ 4,+ ∞)。 解法②:原不等式可化为: [ (x2 -- 2x + 1) -- 1 ] -- 8 ≥ 0。 ∴(x -- 1)2 ≥ 9 ∴x -- 1 ≥ 3 或x -- 1 ≤ -- 3 ∴x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 ∴原不等式的解集为:( -- ∞,-- 2 ] ∪[ 4,+ ∞)。 解法③:如果不等式的左边不便于因式分解、不便于配方, 那就用一元二次方程的求根公式进行左边因式分解, 如本题,用求根公式求得方程x2 -- 2x -- 8 = 0 的两根为x1 = 4,x2 = -- 2,则原不等式可化为:(x -- 4) (x + 2) ≥ 0。下同解法①。 体会:以上三种解法,都是死板板地去解; 至于“分类讨论”法,有时虽麻烦,但清晰明了。 下面看“数形结合”法。 解法④:在平面直角坐标系内,函数f(x) = x2 -- 2x -- 8 的图像 开口向上、与x 轴的两交点分别为(-- 2,0) 和(4,0), 显然,当自变量的取值范围为x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时, 图像在x 轴的上方; 当自变量的取值范围为-- 2 ≤ x ≤ 4 时,图像在x 轴的下方。 ∴当x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时,x2 -- 2x -- 8 ≥ 0, 即:不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为:x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 顺便说一下,当-- 2 ≤ x ≤ 4 时,图像在x 轴的下方,即:x2 -- 2x -- 8 ≤ 0,∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≤ 0 的解为:-- 2 ≤ x ≤ 4 。其解集为:[ -- 2,4 ]。 领悟:对于ax2 + bx + c >0 型的二次不等式,其解为“大于大根或小于小根”; 对于ax2 + bx + c <0 型的二次不等式,其解为“大于小根且小于大根”。例2、解不等式x2 + 2x + 3 >0。 在实数范围内左边无法进行因式分解。 配方得:(x + 1)2 + 2 >0。 无论x 取任何实数,(x + 1)2 + 2 均大于零。 ∴该不等式的解集为x ∈R。 用“数形结合”考虑, ∵方程x2 + 2x + 3 = 0的根的判别式△<0, ∴函数f(x) = x2 + 2x + 3 的图像与x 轴无交点且开口向上。 即:无论自变量x取任意实数时,图像恒位于x 轴的上方。 ∴不等式x2 + 2x + 3 >0的解集为x ∈R。 基本不等式知识点总结 向量不等式: ||||||||||||a b a b a b -±+r r r r r r ≤≤ 【注意】: a b r r 、 同向或有0r ?||||||a b a b +=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=-u r u r u r u r ; a b r r 、反向或有0r ?||||||a b a b -=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=+u r u r u r u r ; a b r r 、不共线?||||||||||||a b a b a b -<±<+u r u r u r u r u r u r .(这些和实数集中类似) 代数不等式: ,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?+=+-=-≥; ,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?-=+-=+≥. 绝对值不等式: 123123a a a a a a ++++≤ (0)a b a b a b ab -≤-≤+≥时,取等 双向不等式:a b a b a b -±+≤≤ (左边当0(0)ab ≤≥时取得等号,右边当0(0)ab ≥≤时取得等号.) 放缩不等式: ①00a b a m >>>>,,则b m b b m a m a a m -+<<-+. 【说明】: b b m a a m +<+(0,0a b m >>>,糖水的浓度问题). 【拓展】:,则,,000>>>>n m b a b a n b n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a b c R + ∈, b d a c <,则b b d d a a c c +<<+; ③n N +∈ < < ④,1n N n +∈>,211111 11n n n n n - <<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1x e x +≥()x R ∈. 函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图: (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质: ①值域:),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ; ②单调递增区间:(,-∞ ,)+∞; 单调递减区间:(0, ,[0). 不等式的基本性质知识点 不等式的基本性质知识点 1.不等式的定义:a-b>0a>b, a-b=0a=b, a-b<0a<b。 ① 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础,也是证明不等式与解不等式的主要依据。 ②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景,来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。 作差后,为判断差的符号,需要分解因式,以便使用实数运算的符号法则。 如证明y=x3为单增函数, 设x1, x2∈(-∞,+∞), x1<x2, f(x1)-f(x2)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)=(x1-x2)[( x1+)2 +x22] 再由(x1+)2+x22>0, x1-x2<0,可得f(x1)<f(x2), ∴ f(x)为单增。 2.不等式的性质: ① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。 不等式基本性质有: (1) a>bb<a (对称性) (2) a>b, b>ca>c (传递性) (3) a>ba+c>b+c (c∈R) (4) c>0时,a>bac>bc c<0时,a>bac<bc。 运算性质有: (1) a>b, c>da+c>b+d。 (2) a>b>0, c>d>0ac>bd。 (3) a>b>0an>bn(n∈N, n>1)。 (4) a>b>0>(n∈N, n>1)。 应注意,上述性质中,条件与结论的逻辑关系有两种:“”和“”即推出关系和等价关系。一般地,证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此,要正确理解和应用不等式性质。 ② 关于不等式的性质的考察,主要有以下三类问题: (1)根据给定的不等式条件,利用不等式的性质,判断不等式能否成立。 (2)利用不等式的性质及实数的性质,函数性质,判断实数值的大小。 (3)利用不等式的性质,判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。 向量不等式: 【注意】:同向或有; 反向或有; 不共线.(这些和实数集中类似) 代数不等式: 同号或有; 异号或有. 绝对值不等式: 双向不等式: (左边当时取得等号,右边当时取得等号.) 放缩不等式: ①,则. 【说明】:(,糖水的浓度问题). 【拓展】:. ②,,则; ③,; ④,. ⑤,. 函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图: (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质: ①值域:),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ; ②单调递增区间:(,-∞ ,)+∞; 单调递减区间:(0, ,[0). 基本不等式知识点总结 重要不等式 1、和积不等式:(当且仅当时取到“”). 【变形】:①(当a = b 时,) 【注意】: , 2、均值不等式: 两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系,即“平方平均算术平均几何平均调和平均” *.若0x >,则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ); 若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) *.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 3、含立方的几个重要不等式(a 、b 、c 为正数): (,); *不等式的变形在证明过程中或求最值时,有广泛应用,如:当0>ab 时, ab b a 222≥+同时除以ab 得 2≥+b a a b 或b a a b -≥-11。 *,,b a 均为正数,b a b a -≥22 八种变式: ①222b a ab +≤ ; ②2 )2(b a ab +≤; ③2)2( 222b a b a +≤+ ④)(22 2 b a b a +≤+;⑤若b>0,则b a b a -≥22;⑥a>0,b>0,则b a b a +≥+4 11;⑦若a>0,b>0,则ab b a 4)11( 2≥+; ⑧ 若0≠ab ,则2 22)11(2111b a b a +≥+。 上述八个不等式中等号成立的条件都是“ b a =”。 最值定理 (积定和最小) 《一元二次不等式及其解法》典型例题透析 类型一:解一元二次不等式 例1. 解下列一元二次不等式 (1)2 50x x -<; (2)2 440x x -+>; (3)2 450x x -+-> 思路点拨: 转化为相应的函数,数形结合解决,或利用符号法则解答. 解析: (1)方法一: 因为2(5)410250?=--??=> 所以方程2 50x x -=的两个实数根为:10x =,25x = 函数25y x x =-的简图为: 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. 方法二:2 50(5)0x x x x --<050x x >???- 或0 50x x ?->? 解得05x x >?? 或 0 5 x x ?>?,即05x <<或x ∈?. 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. (2)方法一: 因为0?=, 方程2440x x -+=的解为122x x ==. 函数2 44y x x =-+的简图为: 所以,原不等式的解集是{|2}x x ≠ 方法二:2244(2)0x x x -+=-≥(当2x =时,2 (2)0x -=) 所以原不等式的解集是{|2}x x ≠ (3)方法一: 原不等式整理得2 450x x -+<. 因为0?<,方程2 450x x -+=无实数解, 函数245y x x =-+的简图为: 所以不等式2 450x x -+<的解集是?. 所以原不等式的解集是?. 方法二:∵2245(2)110x x x -+-=---≤-< ∴原不等式的解集是?. 总结升华: 1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决,培养并提高数形结合的分析能力; 2. 当0?≤时,用配方法,结合符号法则解答比较简洁(如第2、3小题);当0?>且是一个完全平方数时,利用因式分解和符号法则比较快捷,(如第1小题). 3. 当二次项的系数小于0时,一般都转化为大于0后,再解答. 举一反三: 【变式1】解下列不等式 (1) 2 2320x x -->;(2) 2 3620x x -+-> (3) 2 4410x x -+≤; (4) 2 230x x -+->. 【答案】 (1)方法一: 因为2(3)42(2)250?=--??-=> 方程2 2320x x --=的两个实数根为:11 2 x =-,22x = 函数2 232y x x =--的简图为: 因而不等式2 2320x x -->的解集是:1 {|2}2 x x x <- >或. 方法二:∵原不等式等价于 21)(2)0x x +->(, ∴ 原不等式的解集是:1 {|2}2 x x x <->或. (2)整理,原式可化为2 3620x x -+<, 因为0?>, 方程2 3620x x -+=的解131x =231x =, 基本不等式知识点归 纳 基本不等式知识点总结 向量不等式: ||||||||||||a b a b a b -±+r r r r r r ≤≤ 【注意】: a b r r 、同向或有0r ?||||||a b a b +=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=-u r u r u r u r ; a b r r 、反向或有0r ?||||||a b a b -=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=+u r u r u r u r ; a b r r 、不共线?||||||||||||a b a b a b -<±<+u r u r u r u r u r u r .(这些和实数集中类似) 代数不等式: ,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?+=+-=-≥; ,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?-=+-=+≥. 绝对值不等式: 123123a a a a a a ++++≤ (0)a b a b a b ab -≤-≤+≥时,取等 双向不等式:a b a b a b -±+≤≤ (左边当0(0)ab ≤≥时取得等号,右边当0(0)ab ≥≤时取得 等号.) 放缩不等式: ①00a b a m >>>>,,则b m b b m a m a a m -+<<-+. 【说明】: b b m a a m +<+(0,0a b m >>>,糖水的浓度问题). 【拓展】:,则,,000>>>>n m b a b a n b n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a b c R +∈, b d a c <,则b b d d a a c c +<<+; ③n N +∈ < < ④,1n N n +∈>,211111 11n n n n n - <<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1x e x +≥()x R ∈. 函数()(0)b f x ax a b x =+>、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图: (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质: ①值域:),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ; 元二次不等式及其解法 设计思想】 新的课程标准指出:数学课程应面向全体学生;促进学生获得数学素养的培养和提高; 逐步形成数学观念和数学意识;倡导学生探究性学习。这与建构主义教学观相吻合。本节课 正是基于上述理念,通过对已学知识的回忆,引导学生主动探究。强调学习的主体性,使学 生实现知识的重构,培养学生“用数学”的意识。本节课的设计以问题为中心,以探究解决 问题的方法为主线展开。这种安排强调过程,符合学生的认知规律,使数学教学过程成为学 生对书本知识的再创造、再发现的过程,从而培养学生的创新意识。 教材分析】 本节课是人教社普通高中课程标准实验教材数学必修5 第三章《不等式》第二节一元 次不等式及其解法,本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式,并能解一元二次不 等式。这一节共分三个课时,本节课属于第一课时,课题为《一元二次不等式及其解法》。学数学的目的在于用数学,除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外,更重要的是要领 悟函数、方程、不等式的密切联系,体会数形结合,分类讨论,等价转换等数学思想。 学情分析】 学生在初中就开始接触不等式,并会解一元一次不等式。 教学目标】 知识与技能:通过学生自主预习与课上探究掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数 之间的关系和一元二次不等式的解法; 过程与方法:自主探究与讨论交流过程中,培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解 决数学问题的能力; 情感态度价值观:培养学生的合作意识和创新精神。 教学重点】一元二次不等式的解法。 教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。 教学策略】 探究式教学方法 创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价)课前准备】教具:“几何画板”及PPT 课件. 粉笔:用于板书示范. 第1 页共4 页 基本不等式 【考纲要求】 1. 2 a b +≤ 的证明过程,理解基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等; 2. 2 a b +≤ 解决最大(小)值问题. 3.会应用基本不等式求某些函数的最值;能够解决一些简单的实际问题 【知识网络】 【考点梳理】 考点一:重要不等式及几何意义 1.重要不等式: 如果,R a b ∈,那么2 2 2a b ab +≥(当且仅当a b =时取等号“=”). 2.基本不等式: 如果,a b 是正数,那么 2a b +≥(当且仅当a b =时取等号“=”). 要点诠释:22 2a b ab +≥ 和2 a b +≥ (1)成立的条件是不同的:前者只要求,a b 都是实数,而后者要求,a b 都是正数; (2)取等号“=” 的条件在形式上是相同的,都是“当且仅当a b =时取等号”。 (3)2 2 2a b ab +≥可以变形为:222a b ab +≤,2a b ab +≥可以变形为:2()2 a b ab +≤. 3.如图,AB 是圆的直径,点C 是AB 上的一点,AC a =,BC b =,过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ,连接AD 、BD . 易证~Rt ACD Rt DCB ??,那么2 CD CA CB =?,即CD ab = . 这个圆的半径为2b a +,它大于或等于CD ,即ab b a ≥+2 ,其中当且仅当点C 与圆心重合,即a b =时,等号成立. 要点诠释:1.在数学中,我们称 2 b a +为,a b 的算术平均数,称ab 为,a b 的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2.如果把 2 b a +看作是正数,a b 的等差中项,ab 看作是正数,a b 的等比中项,那么基本不等式可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 考点二:基本不等式2 a b ab +≤的证明 1. 几何面积法 如图,在正方形ABCD 中有四个全等的直角三角形。 设直角三角形的两条直角边长为a 、b 22a b +4个直角三角形 的面积的和是2ab ,正方形ABCD 的面积为2 2 a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积,所 以:22 2a b ab +≥。当直角三角形变为等腰直角三角形,即a b =时,正方形EFGH 缩为一个点,这时有2 2 2a b ab +=。 一元二次不等式的解法(一) 学习目标: 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型; 2.掌握求解一元二次不等式的基本方法,并能解决一些实际问题。 3.培养数形结合的能力,培养分类讨论的思想方法,培养抽象概括能力和逻辑思维能力 知识点一:一元二次不等式的定义 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2 的不等式,称为一元二次不等式。比如: . 任意的一元二次不等式,总可以化为一般形式:)0(02>>++a c bx ax 或 )0(02><++a c bx ax . 知识点二:一般的一元二次不等式的解法 ( (1)先看二次项系数是否为正,若为负,则将二次项系数化为正数; (2)写出相应的方程)0(02 >=++a c bx ax ,计算判别式?; ①0>?时,求出两根21x x 、,且21x x <(注意灵活运用因式分解和配方法); ②0=?时,求根a b x x 221-==; ③0--x x ; (3)0652 >--x x (4)0442 >+-x x ; (5)0542 >-+-x x ; (6)23262x x x -++<- 举一反三: 【变式1】解下列不等式 (1)02322 >--x x ; (2)02232 >+--x x (3)01442 ≤+-x x ; (4)0322 >-+-x x . (5)()()() 221332x x x +->+ 【变式2】解不等式:(1)6662<--≤-x x (2)18342 <-≤x x 类型二:已知一元二次不等式的解集求待定系数 例2 不等式02 <-+n mx x 的解集为)5,4(∈x ,求关于x 的不等式012 >-+mx nx 的解集 举一反三: 【变式1】不等式0122 >++bx ax 的解集为{} 23<<-x x ,则a =_______, b =________ 【变式2】已知关于x 的不等式02<++b ax x 的解集为)2,1(,求关于x 的不等式0 12 >++ax bx 的解集. 类型三:二次项系数含有字母的不等式恒成立恒不成立问题 例3 已知关于x 的不等式03)1(4)54(2 2 >+---+x m x m m 对一切实数x 恒成立,求实数m 的取值范围。 举一反三: 【变式1】 若关于x 的不等式01)12(2≥-++-m x m mx 的解集为空集,求m 的取值范围. 【变式2】若关于x 的不等式01)12(2≥-++-m x m mx 的解为一切实数,求m 的取值范围. 【变式3】若关于x 的不等式01)12(2≥-++-m x m mx 的解集为非空集,求m 的取值范围. 不等式总结 一、不等式的主要性质: (1)对称性:a b b a > (2)传递性:c a c b b a >?>>, (3)加法法则:c b c a b a +>+?>; d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则:bc ac c b a >?>>0,; bc ac c b a <>0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则:b a a b b a 110, >> (6)乘方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 有两相等实根注意:一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜:在二次项系数为正的前提下:大于型取两边,小于型取中间 三、均值不等式 1.均值不等式:如果a,b 是正数,那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件:一正、二定、三相等 3、平均不等式:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a 、b 为正数),即 2 112a b a b ++(当a = b 时取等) 四、含有绝对值的不等式 1.绝对值的几何意义:||x 是指数轴上点x 到原点的距离;12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式:如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 3.当0c >时, ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-, ||ax b c c ax b c +-<+<; 当0c <时,||ax b c x R +>?∈,||ax b c x φ+∈. 4、解含有绝对值不等式的主要方法: ①解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号,将其等价转化为一元一次(二次)不等式(组)进行求解; ②去掉绝对值的主要方法有: (1)公式法:|| (0)x a a a x a <>?-<<,|| (0)x a a x a >>?>或x a <-. (2)定义法:零点分段法;(3)平方法:不等式两边都是非负时,两边同时平方. 五、其他常见不等式形式总结: 高中数学基本不等式的巧用 1.基本不等式:ab ≤ a + b 2 (1)基本不等式成立的条件:a >0,b >0. (2)等号成立的条件:当且仅当a =b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a 2+b 2≥2ab (a ,b ∈R );(2)b a +a b ≥2(a ,b 同号);(3)ab ≤? ?? ???a +b 22 (a ,b ∈R ); (4) a 2+ b 22 ≥? ?? ? ??a +b 22(a ,b ∈R ). 3.算术平均数与几何平均数 设a >0,b >0,则a ,b 的算术平均数为 a + b 2 ,几何平均数为ab ,基本不等式可叙述为 两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知x >0,y >0,则 (1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,x +y 有最小值是2p .(简记:积定和最小) (2)如果和x +y 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,xy 有最大值是p 24 .(简记:和定积最大) 一个技巧 运用公式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如a 2+b 2≥2ab 逆用就是 2 2 ? ??a +b 22 (a ,b >0)等.还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等. 两个变形 (1) a 2+ b 22 ≥? ? ??a +b 22≥ab (a ,b ∈R ,当且仅当a =b 时取等号); (2) a 2+ b 22 ≥ a + b 2 ≥ab ≥ 2 1 a + 1 b (a >0,b >0,当且仅当a =b 时取等号). 这两个不等式链用处很大,注意掌握它们. 三个注意 (1)使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可. (2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件. (3)连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+1 2x 2 (2)y =x +1 x 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知5 4x <,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 技巧二:凑系数 例1. 当 时,求(82)y x x =-的最大值。 技巧三: 分离 例3. 求2710 (1)1 x x y x x ++= >-+的值域。 一元二次不等式及其解法练习 班级: 姓名: 座号: 1 比较大小: (1)2 6+ (2)2 21)-; (3 ; (4)当0a b >>时,12log a _______12 log b . 2. 用不等号“>”或“<”填空: (1),____a b c d a c b d >--; (2)0,0____a b c d ac bd >><; (3)0a b >>? (4)2211 0___a b a b >>?. 3. 已知0x a <<,则一定成立的不等式是( ). A .220x a << B .22x ax a >> C .20x ax << D .22x a ax >> 4. 如果a b >,有下列不等式:①22a b >,②11 a b <,③33a b >,④lg lg a b >, 其中成立的是 . 5. 设0a <,10b -<<,则2,,a ab ab 三者的大小关系为 . 6.比较(3)(5)a a +-与(2)(4)a a +-的大小. 7. 若2()31f x x x =-+,2()21g x x x =+-,则()f x 与()g x 的大小关系为( ). A .()()f x g x > B .()()f x g x = C .()()f x g x < D .随x 值变化而变化 8.(1)已知1260,1536,a a b a b b <<<<-求及的取值范围. (2)已知41,145a b a b -≤-≤--≤-≤,求9a b -的取值范围. 9. 已知22 ππ αβ-≤<≤,则2αβ-的范围是( ). A .(,0)2 π - B .[,0]2π - C .(,0]2π- D .[,0)2 π - 10.求下列不等式的解集. (1)2230x x +->; (2)2230x x -+-> (3)2230x x -+-≤. 基本不等式知识点归纳 1基本不等式.ab空 2 (1) 基本不等式成立的条件: a . 0,b .0. (2) 等号成立的条件:当且仅当a =b时取等号. [探究]1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义? 提示:①当a = b时,乞_卫_ ab取等号,即a = b= 皂卫hJ ab. 2 2 ②仅当a二b时,-—丄」ab取等号,即 -—=.-;:ab = a =b. 2 2 2?几个重要的不等式 2 2 b a a b 丄2ab(a,b R); 2(ab 0). a b 2 2 a + b 2 a +b 2 a +b ab 臥)(a,b R);( ) (a,b R) 2 2 2 3?算术平均数与几何平均数 设a 0,b 0,则a,b的算术平均数为』~卫,几何平均数为,ab,基本不等式可叙述为:两个正实数的算术 2 平均数不小于它的几何平均数. 4?利用基本不等式求最值问题 已知x 0, y - 0,则 (1) 如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x y有最小值是2「p.(简记:积定和最小). 2 (2) 如果和x y是定值p,,那么当且仅当x = y时,xy有最大值是—.(简记:和定积最大). [探究]2.当利用基本不等式求最大(小)值时,等号取不到时,如何处理? 1 提示:当等号取不到时,可利用函数的单调性等知识来求解?例如,y=x 在x_2时的最小值,利用单调 x 5 性,易知X = 2时丫皿山二. 2 [自测?牛刀小试] 1.已知m?0, n ? 0,且mn =81,则m ? n的最小值为() A. 18 B. 36 C. 81 D . 243 解析:选 A 因为n>0, n>0,所以m+ n>2 mn= 2 81 = 18. 一对一个性化辅导教案 一元二次不等式及其解法 【要点梳理】 要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.比如: 250x x -<.一元二次不等式的一般形式:20ax bx c ++>(0)a ≠或20ax bx c ++<(0)a ≠. 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x <,则不等式20ax bx c ++>的解集为 {}2 1 x x x x x ><或,不等式2 0ax bx c ++<的解集为{}21x x x x << 要点诠释:讨论一元二次不等式或其解法时要保证(0)a ≠成立. 要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系 对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤,设ac b 42-=?,它的解按照 0>?,0=?,0的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或 20ax bx c ++<(0)a >的解集. 二次函数 c bx ax y ++=2(0>a )的图象 20(0)ax bx c a ++=>的根 有两相异实 根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根 的解集 )0(02>>++a c bx ax {} 2 1 x x x x x ><或???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21 x x x x << ? ? 要点诠释: (1)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12x x 、是相应的不等式的解集的端点的取值,是抛物线=y c bx ax ++2与x 轴的交点的横坐标; (2)表中不等式的二次系数均为正,如果不等式的二次项系数为负,应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式,然后讨论解决; (3)解集分0,0,0?>?=?<三种情况,得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集. 要点三、解一元二次不等式的步骤 (1)先看二次项系数是否为正,若为负,则将二次项系数化为正数; (2)写出相应的方程20ax bx c ++=(0)a >,计算判别式?: ①0?>时,求出两根12x x 、,且12x x <②0?=时,求根a b x x 221- ==; 一元二次不等式解法一、知识梳理 1.“三个二次”的关系 2.常用结论 (x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0型不等式的解法 口诀:大于取两边,小于取中间. 二、例题讲解 题型一 一元二次不等式的求解 命题点1 不含参的不等式 例1 求不等式-2x 2+x +3<0的解集. 解 化-2x 2+x +3<0为2x 2-x -3>0, 解方程2x 2-x -3=0得x 1=-1,x 2=3 2 , ∴不等式2x 2-x -3>0的解集为(-∞,-1)∪(3 2,+∞), 即原不等式的解集为(-∞,-1)∪(3 2,+∞). 命题点2 含参不等式 例2 解关于x 的不等式:x 2-(a +1)x +a <0. 解 由x 2-(a +1)x +a =0得(x -a )(x -1)=0, ∴x 1=a ,x 2=1, ①当a >1时,x 2-(a +1)x +a <0的解集为{x |1 解得x <1 a 或x >1. 若a >0,原不等式等价于(x -1 a )(x -1)<0. ①当a =1时,1a =1,(x -1 a )(x -1)<0无解; ②当a >1时,1a <1,解(x -1a )(x -1)<0得1 a 基本不等式知识点和基本题型
基本不等式知识点归纳.
一元二次不等式及其解法教学设计
如何解一元二次不等式
基本不等式知识点归纳.doc
不等式的基本性质知识点
基本不等式知识点归纳
《一元二次不等式及其解法》典型例题透析
基本不等式知识点归纳教学内容
完整版一元二次不等式及其解法教学设计
基本不等式学习知识梳理
一元二次不等式的解法
必修五不等式知识点总结
高级中学数学基本不等式知识点归纳及理解练习知识题
一元二次不等式及其解法练习题.doc
基本不等式知识点归纳
一元二次不等式及其解法例题分类
一元二次不等式解法