对数与对数运算知识点

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高中数学对数的运算

对数函数专题对数及对数运算【要点梳理】要点一、对数概念 1．对数的概念如果()01b a N a a =>≠，且，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作:log a N=b ．其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．要点诠释：对数式log a N=b 中各字母的取值范围是：a>0 且a ≠1， N>0， b ∈R ． 2．对数()log 0a N a >≠，且a 1具有下列性质：（1）0和负数没有对数，即0N >；（2）1的对数为0，即log 10a =；（3）底的对数等于1，即log 1a a =．3．两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，N N lg log 10简记作．以e （e 是一个无理数， 2.7182e =⋅⋅⋅）为底的对数叫做自然对数， log ln e N N 简记作． 4．对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示．由此可见a ，b ，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化．要点二、对数的运算法则已知()log log 010a a M N a a M N >≠>，且，、（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； ()log log log a a a MN M N =+ 推广：()()121212log log log log 0a k a a a k k N N N N N N N N N =+++>、、、（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；log log log a a a M M N N=-（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； log log a a M M αα=要点诠释：（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．如：log 2（-3）（-5）=log 2（-3）+log 2（-5）是不成立的，因为虽然log 2（-3）（-5）是存在的，但log 2（-3）与log 2（-5）是不存在的．（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：log a （M ±N ）=log a M ±log a N ， log a （M ·N ）=log a M ·log a N ，log a N M N M a a log log =．要点三、对数公式 1．对数恒等式：log log a b Na a N a N Nb ⎫=⇒=⎬=⎭2．换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a ≠1， M>0的前提下有:（1）)(log log R n M M n a a n ∈=令 log a M=b ，则有a b =M ，（a b ）n =M n ，即n b n M a =)(，即n a M b n log =，即:n a a M M n log log =．（2）)1,0(log log log ≠>=c c aMM c c a ，令log a M=b ，则有a b =M ，则有)1,0(log log ≠>=c c M a c b c即M a b c c log log =⋅，即a M b c c log log =，即)1,0(log log log ≠>=c c aMM c c a 当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论:)1,0,1,0(log 1log ≠>≠>=b b a a ab b a ．【典型例题】类型一、对数的概念例1．求下列各式中x 的取值范围：（1）2log (5)x -；（2）(1)log (2)x x -+；（3）2(1)log (1)x x +-．【答案】（1）5x >；（2）1,2x x >≠且；（3）1x >-且0,1x x ≠≠ 【解析】（1）由题意50x ->，5x ∴>，即为所求．（2）由题意20,10,11,x x x +>⎧⎨->-≠⎩且即2,1,2,x x x >-⎧⎨>≠⎩且1,2x x ∴>≠且．（3）由题意2(1)0,10,11,x x x ⎧->⎨+>+≠⎩且解得1x >-且0,1x x ≠≠．【总结升华】在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1．举一反三：【变式1】函数21log (2)x y x -=+的定义域为．【答案】1|12x x x ⎧⎫>≠⎨⎬⎩⎭且类型二、指数式与对数式互化及其应用例2．将下列指数式与对数式互化：（1）2log 164=；（2）13log 273=-；（3）3x =；（4）35125=；（5）1122-=；（6）2193-⎛⎫= ⎪⎝⎭．【解析】运用对数的定义进行互化．（1）4216=；（2）31273-⎛⎫= ⎪⎝⎭；（33x =；（4）5log 1253=；（5）21log 12=-；（6）13log 92=-．【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段．举一反三：【变式1】求下列各式中x 的值：（1）161log 2x =- （2）log 86x = （3）lg1000=x （4）2-2ln e x =【答案】（1）14；（2；（3）3；（4）-4．【解析】将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x ．（1）1112()212221(16)(4)444x --⋅--=====；（2）111166366628()(8)(2)2x x x ======，所以（3）10x =1000=103，于是x=3；（4）由22222ln ln 42x x e x e e e x --=-===-，得，即所以．例3．（2014 广东湛江期中）不用计算器计算：7log 203log lg25lg47(9.8)+++- 【答案】132【解析】原式323log 3lg(254)21=+⨯++23lg1032=++3132322=++=【总结升华】对数恒等式log a N a N =中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数．举一反三：【变式1】求log log log a b c b c N a ⋅⋅的值（a ，b ，c ∈R +，且不等于1，N>0）【答案】N【解析】将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算．log log log log log log log log log ()()c a b c a b b c c Nb c N b cc N N a a b c N ⋅⋅⎡⎤====⎣⎦类型四、积、商、幂的对数例4． z y x a a a log ,log ,log 用表示下列各式35(1)log ;(2)log ();(3)log a a a a xy x y z 【解析】（1）log log log log aa a a xyx y z z=+-；（2）3535log ()log log 3log 5log a a a a a x y x y x y =+=+；（3）1log log log ()log log log 2a a a a a a yz x y z yz ==--；（4）log a211log ()log 2log log log 23a a a a a x y x y z -=+-．(有错误）【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算．举一反三：【变式1】求值（1）1log 864log 325log 21025-+ （2）lg2·lg50+（lg5）2 （3）lg25+lg2·lg50+（lg2）2【答案】（1）22；（2）1；（3）2．【解析】（1）1log 864log 325log 21025-+.220184082log 35log 26225=-+=⨯-+⋅=（2）原式=lg2（1+lg5）+（lg5）2=lg2+lg2lg5+（lg5）2=lg2+lg5（lg2+lg5）=lg2+lg5=1（3）原式=2lg5+lg2（1+lg5）+（lg2）2=2lg5+lg2+lg2lg5+（lg2）2=1+lg5+lg2（lg5+lg2）=1+lg5+lg2=2．类型五、换底公式的运用例5．已知18log 9,185b a ==，求36log 45．【答案】2a ba+- 【解析】解法一：18log 9,185b a ==，18log 5b ∴=，于是181818183618181818log 45log (95)log 9log 5log 4518log 36log (182)1log 221log 9a b a ba ⨯+++=====⨯+-+．【总结升华】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质．（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式．（3）解决这类问题要注意隐含条件“log 1a a =”的灵活运用．【变式1】求值：（1）)2log 2)(log 3log 3(log 9384++；【解析】（1）)2log 2)(log 3log 3(log 9384++452log 233log 65)22log 2)(log 33log 23log ()9log 2log 2)(log 8log 3log 4log 3log (3233223332222=⋅⋅=++=++=类型六、对数运算法则的应用例6．求值（1）91log 81log 251log 32log 53264⋅⋅⋅（2）7lg142lg lg 7lg183-+-【解析】（1）原式=103log 2log 5log 2log 253322526-=---（2）原式=2lg(27)2(lg 7lg 3)lg 7lg(32)⨯--+-⨯ =lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20+-++--=举一反三：【变式1】计算下列各式的值（1）()222lg5lg8lg5lg 20lg 23+++【解析】（1）原式=()22lg52lg 2lg5(2lg 2lg5)lg 2++++=22lg10(lg 5lg 2)++=2+1=3；【巩固练习】一、选择题1. 有以下四个结论：①lg （lg10）=0；②ln （lne ）=0；③若10=lg x ，则x =10；④若e =ln x ，则x =e 2，其中正确的是（）A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④ 【答案】C【解析】由log 1,log 10a a a ==知①②正确．2. 下列等式成立的有（）①1lg 2100=-；②33log 2=；③2log 525=；④ln 1e e =；⑤lg 333=；A ．①②B ．①②③C ．②③④D ．①②③④⑤ 【答案】B【解析】21lg lg102100-==-；3. 对数式2log (5)a a b --=中，实数a 的取值范围是（）A ．(),5-∞B ． ()2,5C ．()()2,33,5D ．()2,+∞【答案】C【解析】由对数的定义可知50,20,21,a a a ->⎧⎪->⎨⎪-≠⎩所以25a <<且3a ≠，故选C ．4. 若0,1a a >≠，则下列说法正确的是（）①若M N =，则log log a a M N =；②log log a a M N =，则M N =； ③22log log a a M N =，则M N =；④若M N =，则22log log a a M N =． A ．①③ B ．②④ C ．② D ．①②③④ 【答案】C【解析】注意使log log a a M N =成立的条件是M 、N 必须为正数，所以①③④不正确，而②是正确的，故选C ．5. 若56789log 6log 7log 8log 9log 10y =⋅⋅⋅⋅，则（）A ．(0,1)y ∈B ．(1,2)y ∈C ．(2,3)y ∈D ．(3,4)y ∈ 【答案】B 【解析】55lg 6lg 7lg8lg9lg10log 101log 2lg5lg 6lg 7lg8lg9y =⨯⨯⨯⨯==+，因为50log 21<<，所以12y <<，故选B ．6. （2014江西三县月考）计算662log 3log 4+的结果是（）A ．6log 2B ． 2C ． 6log 3D ． 3【答案】B【解析】666662log 3log 4log 9log 4log 362+=+==．故选：B ．二、填空题1. 若312log 19x-=，则x = ．【答案】-13【解析】由指数式与对数式互化，可得1239x-=，解得13x =-． 2. 若2log 2,log 3,m n a a m n a +=== ；【答案】12【解析】 2log 2log 3log 4log 34312a a a a a a a +=⋅=⨯=．3. 若2510a b ==，则11a b+= ．【答案】1【解析】因为210,a =所以21log 10lg 2a ==，又因为510,b =所以51log 10lg 5b ==，所以原式=lg 2lg51+=．。

对数与对数函数

对数与对数函数知识梳理1、对数式log a N 可看作一记号，表示底为a （a ＞0，且a ≠1），幂为N 的指数工表示方程xa N =（a ＞0，且a ≠1）的解. 也可以看作一种运算，即已知底为a （a ＞0，且a ≠1）幂为N ，求幂指数的运算. 因此，对数式log a N 又可看幂运算的逆运算.为a ＞0，a ≠1时，log x N a a N x =⇔= 【扩展】两类对数① 以10为底的对数称为常用对数，10log N 常记为lg N .② 以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数，log e N 常记为ln N .以后解题时，在没有指出对数的底的情况下，都是指常用对数，如100的对数等于2，即lg1002=.说明：在例1中，10log 0.010.01,log 10ln10e 应改为lg 应改为. 2、对数的运算法则如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：（1）log log log a a a MN M N =+ （2）log log log aa a MM N N=- （3）log log ()n a a M n Mn R =∈3、画出函数2log xy =的图象, 再利用电脑软件画出0.5log .x y =的图象42-2-4-55探究：选取底数(a a ＞0，且a ≠1）的若干不同的值，在同一平面直角坐标系内作出相应的对数函数的图象．观察图象，你能发现它们有哪些特征吗？画出4log y x =，3log y x =，13log y x =和14log y x =提问：通过函数的图象，你能说出底数与函数图象的关系吗？函数的图象有何特征，性质又如何？先由学生讨论、交流，教师引导总结出函数的性质. (投影) 图象的特征函数的性质（1）图象都在y 轴的右边（1）定义域是（0，+∞）（2）函数图象都经过（1，0）点（2）1的对数是0（3）从左往右看，当a ＞1时，图象逐渐上升，当0＜a ＜1时，图象逐渐下降 .（3）当a ＞1时，log xa y =是增函数，当0＜a ＜1时，log a y x =是减函数. （4）当a ＞1时，函数图象在（1，0）点右边的纵坐标都大于0，在（1，0）点左边的纵坐标都小于0. 当0＜a ＜1时，图象正好相反，在（1，0）点右边的纵坐标都小于0，在（1，0）点左边的纵坐标都大于0 .（4）当a ＞1时x ＞1，则log a x ＞00＜x ＜1，log a x ＜0 当0＜a ＜1时x ＞1，则log a x ＜00＜x ＜1，log a x ＜0由上述表格可知，对数函数的性质如下（先由学生仿造指数函数性质完成，教师适当启发、引导）：a ＞10＜a ＜1图象性质（1）定义域（0，+∞）；（2）值域R ；（3）过点（1，0），即当x =1，y =0；（4）在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）是上减函数精讲精练（1）对数运算的例题【例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）712128-=；（2）327a =；（3）1100.1-=；（4）12log 325=-；（5）lg0.0013=-；（6）ln100=4.606.【例2】求证：（1）log n a a n =；（2）log log log a a a MM N N-=.【例3】试推导出换底公式：log log log c a c bb a= （0a >，且1a ≠；0c >，且1c ≠；0b >）.【例4】化简与求值：（1）221(lg 2)lg2lg5(lg 2)lg212++-+ ；（2）2log (4747)++-.【例5】若2510a b ==，则11a b+= . （教材P 83 B 组2题）【例6】（1）方程lg lg(3)1x x ++=的解x =________；（2）设12,x x 是方程2lg lg 0x a x b ++=的两个根，则12x x 的值是 .【例7】（1）化简：532111log 7log 7log 7++；（2）设23420052006log 3log 4log 5log 2006log 4m ⋅⋅⋅= ，求实数m 的值.（2）对数函数图象和性质的例题【例1】比较大小：（1）0.9log 0.8，0.9log 0.7，0.8log 0.9；（2）3log 2，2log 3，41log 3.【例2】求下列函数的定义域：（1）2log (35)y x =-；（2）0.5log (4)3y x =-.【例3】已知函数()log (3)a f x x =+的区间[2,1]--上总有|()|2f x <，求实数a 的取值范围.【例4】求不等式log (27)log (41)(0,1)a a x x a a +>->≠且中x 的取值范围.【例5】讨论函数0.3log (32)y x =-的单调性.【例6】（05年山东卷.文2）下列大小关系正确的是（）. A. 30.440.43log 0.3<< B. 30.440.4log 0.33<< C. 30.44log 0.30.43<< D. 0.434log 0.330.4<<【例7】指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图象有何关系？课堂作业（1）对数幂的运算1. 将下列指数式与对数式互化，有x 的求出x 的值 .（1）12155-=（2）42log x = （3）1327x =（4）1()644x= （5）lg0.0001x = （6）5ln e x =2．求log log log ,a b c b c Na⋅⋅∈+的值(a,b,c R 且不等于1，N ＞0）.3．计算331log log 5533+的值.4、判断下列式子是否正确，a ＞0且a ≠1，x ＞0且a ≠1，x ＞0，x ＞y ，则有（1）log log log ()a a a x y x y ⋅=+ （2）log log log ()a a a x y x y -=-（3）log log log aa a xx y y=÷ （4）log log log a a a xy x y =- （5）(log )log n a a x n x = （6）1log log a a x x=- （7）1log log n a a x x n=5. 用log a x ，log a y ，log a z 表示出（1）（2）小题，并求出（3）、（4）小题的值.（1）log a xyz =____________; （2）23log 8a x y =______________________;（3）75log (42)z ⨯=______________; （4）5lg 100=_____________________; 6. 已知32a=，那么33log 82log 6-用a 表示是（）A 、2a -B 、52a -C 、23(1)a a -+D 、 23a a - 7、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则NM的值为（） A 、41B 、4C 、1D 、4或1 8、已知221,0,0x y x y +=>>，且1log (1),log ,log 1y a a a x m n x+==-则等于（）A 、m n +B 、m n -C 、()12m n +D 、()12m n -9、如果方程2lg (lg5lg7)lg lg5lg70x x +++= 的两根是,αβ，则αβ 的值是（）A 、lg5lg 7B 、lg 35C 、35D 、351 10、已知732log [log (log )]0x =，那么12x -等于（）A 、13 B 、123 C 、122 D 、13311. 若2log 2,log 3,m n a a m n a +=== 。

知识讲解_对数及对数运算_基础

(2)
log a
M

logc M logc a
(c 0, c 1) ，
令
logaM=b，
则有 ab=M，
则有
logc ab logc M (c 0, c 1)
即 b logc
a

log c
M
，
即b

logc M logc a
，即 log a
M

logc M logc a
(c
(1)0 和负数没有对数，即 N 0 ； (2)1 的对数为 0，即 loga 1 0 ； (3)底的对数等于 1，即 loga a 1.
3．两种特殊的对数
通常将以 10 为底的对数叫做常用对数， log10 N作作作为底的对数叫做自然对数， loge N简记作 ln N .
4．对数式与指数式的关系
质．
（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式．
（3）解决这类问题要注意隐含条件“ loga a 1”的灵活运用．
举一反三：
【变式
1】求值：(1)
(log 4
3

log8
3)(log3
2

log 9
27
32
；(3)
91 2
log3
2

log 3 2
2 )

5 6

log 2
3
3 2
log 3
2

5 4
；
(2) log8
loga
M N
loga M
loga
N
(3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；

对数与对数运算学习讲解

对数与对数运算学习讲解1.对数的定义一般地，如果a x ＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记做x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.解读：(1)由对数定义可以知道，当a ＞0，且a ≠1时，a x ＝N ⇔x ＝log a N ，也就是说指数式与对数式实际上是表示a 、N 之间的同一种关系的两种形式，因此可以互相转化；(2)根据对数定义可以知道，a log a N ＝N ，即a 的log a N 次方等于N ，对数恒等式也是化简或计算的重要公式.2.对数的性质(1)零和负数没有对数，由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，所以a x ＝N (a ＞0，且a ≠1)中N 总是正数；(2)1的对数为0，由于任何非零实数的零次幂都等于1，所以log a 1＝0；(3)底数的对数等于1，由于a 1＝a 对于任何非零实数都成立，所以log a a ＝1.3.对数的运算性质若a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ，即正数积的对数，等于同一底数的各个数的对数和；(2)log a M N＝log a M －log a N ，即两个正数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数；(3)log a M n ＝n log a M ，正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数.这些性质一般运用于对数的计算、化简或证明中.例1 将下列对数式化成指数式、指数式化成对数式：(1)log3127＝－3；(2)log232＝5；(3)63＝216；(4)10－3＝0.001.解(1)3－3＝127；(2)25＝32；(3)log6216＝3；(4)log100.001＝－3，也可写成lg 0.001＝－3.评注本题考查了对数式与指数式的互化.解题所用知识都是依据对数的定义，要注意对数的真数是指数的幂，对数的值是指数式中的指数.例2 求下列各式的值：(1)3log72－log79＋2log7322；(2)lg 25＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.解(1)原式＝log723－log79＋log7(322)2＝log723×32229＝log71＝0；(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5·(lg 5＋2lg 2)＋(lg 2)2＝2(lg 5＋lg 2)＋(lg 5)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 2)2＝2＋(lg 5＋lg 2)2＝3.评注利用对数的运算性质求值和化简，是对数运算常见的题型，对数运算性质的正向运用可以把真数的乘、除、乘方、开方运算转化为对数的加、减、乘、除运算，这样就简化了计算，体现了利用对数运算的优越性.。

对数及其运算性质

x
loga1=0 logaa=1 logaa =b a 3.对数的运算性质:
b
loga N
=N
log a(MN)=log a M+log a N
loga(M N )=loga M-loga N n loga(M )=nloga M(n ∈R)
-1
换底公式及推论:
1.换公 : 底式 2.推论:
log c b loga b= log c a
思考：
在复习提问3：log264=6,log24=2的基础上增加log464=3，你还有何猜想？你能证明它吗？由它还能得出什么结论？
2
2
对数与对数运算(三对数与对数运算三)
复习提问: 1.对数式与指数式的互化:
a = N ⇔ x = loga N(a > 0, a ≠ 1, N > 0) 2.对数的基本性质:
例6：科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生：科学研究表明，放射性碳14。的衰变极有规律，放射性碳。碳14的衰变极有规律，其精确性可以的衰变极有规律称为自然界的“标准时钟” 称为自然界的“标准时钟”。动植物在生长过程中衰变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充，变的碳，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物每无组织中的碳14含量不变含量不变。所以活着的动植物每无组织中的碳含量不变。死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳１４按确定的规律衰减，１４按确定的规律衰减体中原有的碳１４按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期” ５７３０年道其“半衰期”为５７３０年。湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳１４１４的残余湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳１４的残余量约占原始含量的７６％，试推算马王堆古墓的７６.７量约占原始含量的７６７％，试推算马王堆古墓的年代。年代。

对数的运算与对数函数

1.对数的概念如果 ,那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作，其中a 叫做对数的，N 叫做对数的。

即指数式与对数式的互化：log ba aN b N =⇔=2.常用对数：通常将以10为底的对数10log N 叫做常用对数，记作lg N 。

自然对数：通常将以无理数 2.71828e =⋅⋅⋅为底的对数叫做自然对数，记作ln N 。

3．对数的运算性质：如果0a >，且1,0,0a M N ≠>>，那么：⑴log ()log log a a a M N M N ⋅=+；（积的对数等于对数的和）推广1212log (...)log log ...log a k a a a k N N N N N N ⋅=+++ ⑵log log log aa a MM N N=-；（商的对数等于对数的差） ⑶log log (R)a a M M ααα=∈，则log a = 。

⑷log a N a N =2．换底公式：log log log a b a NN b=（,0,,1,0a b a b N >≠>）换底公式的意义：把以一个数为底的对数换成以另一个大于0且不等于1的数为底的对数，以达到计算、化简或证明的目的．推广：⑴1log log a b b a=⑵log log log log a b c a b c d d =， ⑶1log log n a a M M n =，则log na m M = 。

特别地：log log 1a b b a =知识要点对数运算与对数函数【例1】求下列各式中x 的取值范围。

（1）2log (5)x +（2）1log (10)x x --【例2】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式。

（1） 1642= （2） 9132=- （3） 481log 3=（4） 6125log -=a （5）lg0.0013=-；（6）ln100=4.606【例3】计算（1）lg 4lg 25+ （2）22log 24log 6-（3）531log ()3（4） 001.0lg （5）e1ln （6）1lg【巩固1】3log =2log =(2log (2= 21log 52+=【巩固2】）. A. 1 B. －1 C. 2 D. －2【巩固3】计算2(lg5)lg 2lg50+⋅＝ .知识要点【例4】（1）（2 。

高一对数与对数函数知识点+例题+练习含答案

1．对数的概念一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，N 叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log am M n ＝nm log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0)．(2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N ＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3．对数函数的图象与性质a >10<a <1图象性质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当0<x <1时，y <0 (4)当x >1时，y >0 当0<x <1时，y >0 (6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线__y ＝x __对称．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( × )(3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 133x 都是对数函数．( × )(4)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (5)函数y ＝ln 1＋x 1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( √ )(6)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．( √ )1．(2015·湖南改编)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则有关f (x )的性质判断正确的是________(填序号)．①奇函数，且在(0,1)上是增函数； ②奇函数，且在(0,1)上是减函数； ③偶函数，且在(0,1)上是增函数； ④偶函数，且在(0,1)上是减函数．答案 ①解析易知函数定义域为(－1，1)，f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，又f (x )＝ln 1＋x 1－x＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－2x －1，由复合函数单调性判断方法知，f (x )在(0,1)上是增函数．2．设a ＝log 1312，b ＝log 1323，c ＝log 343，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 c 32>43，∴c 1时，函数单调递增，所以只有②正确．4．(2015·浙江)若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________. 答案4 33解析 2a＋2－a ＝4log 32＋4log 32－＝3log log 322＋＝3＋33＝4 33. 5．(教材改编)若log a 34<1(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞) 解析当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，∴0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，∴a >1.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞).题型一对数式的运算例1 (1)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝________.(2)lg 5＋lg 20的值是________．答案 (1)10 (2)1解析 (1)∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. ∴m ＝10.(2)原式＝lg 100＝lg 10＝1.思维升华在对数运算中，要熟练掌握对数的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算．(1)计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝________.(2)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n ＝________. 答案 (1)1 (2)12 解析 (1)原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋(1－log 63)(1＋log 63)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.(2)∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n ＝3， ∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝22×3＝12.题型二对数函数的图象及应用例2 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是________．(填序号)(2)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是____________．答案 (1)③ (2)(22，1) 解析 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除①、②；又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除④.故③正确．(2)构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在⎝⎛⎦⎤0，12上的图象，可知f ⎝⎛⎭⎫12<g ⎝⎛⎭⎫12，即2<log a 12，则a >22，所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1. 思维升华应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．(1)已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是________．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是____________．答案 (1)② (2)(10,12)解析 (1)∵lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∵g (x )＝－log b x 的定义域是(0，＋∞)，故排除①. 若a >1，则01，g (x )＝－log b x 是减函数，排除③，故填②.(2)作出f (x )的大致图象(图略)．由图象知，要使f (a )＝f (b )＝f (c )，不妨设a b >c解析由对数运算法则得a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，由对数函数图象得log 32>log 52>log 72，所以a >b >c . 命题点2 解对数不等式例4 若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是__________．答案 (12，1)解析由题意得a >0，故必有a 2＋1>2a ，又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1，同时2a >1，所以a >12.综上，a ∈(12，1)．命题点3 和对数函数有关的复合函数例5 已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立． ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数． ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a (3－a )＝1，即⎩⎨⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.思维升华在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．(1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则a ，b ，c 的大小关系为____________．(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为__________． (3)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是__________________．答案 (1)c >a >b (2)[1,2) (3)(－1,0)∪(1，＋∞) 解析 (1)∵3<2<3,1<2<5，3>2，∴log 33<log 32<log 33，log 51<log 52<log 55，log 23>log 22， ∴12<a <1,01，∴c >a >b . (2)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．(3)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 2a >log 12a或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，log 12(－a )>log 2(－a )，解得a >1或－1<a <0.2．比较指数式、对数式的大小典例 (1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是__________． (2)设a ＝log 2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则a ，b ，c 的大小关系为____________．(3)已知324log 0.3log 3.4log 3.6155()5，＝，＝，＝a b c 则a ，b ，c 大小关系为__________．思维点拨 (1)可根据幂函数y ＝x 0.5的单调性或比商法确定a ，b 的大小关系，然后利用中间值比较a ，c 大小．(2)a ，b 均为对数式，可化为同底，再利用中间变量和c 比较．(3)化为同底的指数式．解析 (1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性，可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1；根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1.所以b <a <c . (2)∵a ＝log 2π>log 22＝1，b ＝log 12π＝log 21π<log 21＝0,0<c ＝1π2<1，∴b <c <a .(3)c ＝(15)3log 0.3＝53log 0.3－＝5310log 3.方法一在同一坐标系中分别作出函数y ＝log 2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 4x 的图象，如图所示．由图象知：log 23.4>log 3103>log 43.6.方法二 ∵log 3103>log 33＝1，且103<3.4，∴log 3103<log 33.4<log 23.4.∵log 43.6<log 44＝1，log 3103>1，∴log 43.6<log 3103.∴log 23.4>log 3103>log 43.6.由于y ＝5x 为增函数， ∴52log 3.4>5310log 3>54log 3.6.即52log 3.4>(15)3log 0.3 >54log 3.6，故a >c >b . 答案 (1)b <a <c (2)a >c >b (3)a >c >b温馨提醒 (1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.[方法与技巧]1．对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且00；当a >1且01时，log a b <0. 2．对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论．3．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性． 4．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定． [失误与防范]1．在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N *，且α为偶数)．2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．A 组专项基础训练 (时间：40分钟)1．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x 12-＝________.答案24解析由条件知，log 3(log 2x )＝1，∴log 2x ＝3， ∴x ＝8，∴x12-＝24. 2．已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e 12-，则x ，y ，z 的大小关系为____________．答案 y <z <x解析 ∵x ＝ln π>ln e ，∴x >1. ∵y ＝log 52<log 55，∴0<y <12.∵z ＝e12-＝1e >14＝12，∴12<z <1.综上可得，y <z <x .3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1， x ≤0，log 2x ， x >0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是__________．答案 (－1,0]∪(2，＋∞)解析当x ≤0时，3x ＋1>1⇒x ＋1>0，∴－1<x ≤0；当x >0时，log 2x >1⇒x >2，综上所述：－1<x ≤0或x >2.4．设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是__________．答案 (－1,0)解析由f (x )是奇函数可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x 1－x，定义域为(－1,1)．由f (x )<0，可得0<1＋x 1－x<1，∴－1<x <0. 5．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝________.答案－1解析由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x )＝f (x ＋4)，因为4＜log 220＜5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f (log 245)＝－(224log 5＋15)＝－1. 6．(2015·安徽)lg 52＋2lg 2－⎝⎛⎭⎫12－1＝________. 答案－1解析 lg 52＋2lg 2－⎝⎛⎭⎫12－1＝lg 52＋lg 22－2 ＝lg ⎝⎛⎭⎫52×4－2＝1－2＝－1.7．设函数f (x )满足f (x )＝1＋f (12)log 2x ，则f (2)＝_____________________. 答案 32解析由已知得f (12)＝1－f (12)·log 22，则f (12)＝12，则f (x )＝1＋12·log 2x ，故f (2)＝1＋12·log 22＝32.8．(2015·福建)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是_____________________________________．答案 (1,2]解析由题意f (x )的图象如右图，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，3＋log a 2≥4，∴1＜a ≤2. 9．已知函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，求a 的取值范围．解函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )是由函数y ＝log 12t 和t ＝x 2－ax ＋a 复合而成．因为函数y ＝log 12t 在区间(0，＋∞)上单调递减，而函数t ＝x 2－ax ＋a 在区间(－∞，a 2)上单调递减，又因为函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2≤a 2，(2)2－2a ＋a ≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥22，a ≤2(2＋1)，即22≤a ≤2(2＋1)．10．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间[0，32]上的最大值．解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1,3)， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在[0，32]上的最大值是f (1)＝log 24＝2. B 组专项能力提升(时间：20分钟)11．(2015·陕西改编)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则p 、q 、r 的大小关系是____________．答案 p ＝r <q解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b 2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p ，故p ＝r ＜q .12．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则f ⎝⎛⎭⎫13，f ⎝⎛⎭⎫12，f (2)的大小关系是______________．答案 f (12)<f (13)<f (2) 解析由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x 2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大，∵|2－1|>|13－1|>|12－1|， ∴f (12)<f (13)<f (2)． 13．若函数f (x )＝lg(－x 2＋8x －7)在区间(m ，m ＋1)上是增函数，则m 的取值范围是__________．答案 [1,3]解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤4，－m 2＋8m －7≥0，解得1≤m ≤3，所以答案应填[1,3]．14．已知函数f (x )＝ln x 1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，14 解析由题意可知ln a 1－a ＋ln b 1－b ＝0，即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14，又0<a 0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2) ＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12(log a x ＋32)2－18. 当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32. 又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)．∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．若12(log a 2＋32)2－18＝1，则a ＝2－13，此时f (x )取得最小值时，x ＝1332(2)＝--2∉[2,8]，舍去．若12(log a 8＋32)2－18＝1，则a ＝12，此时f(x)取得最小值时，x＝(12)32＝22∈[2,8]，符合题意，∴a＝12.。

对数与对数函数知识点及例题讲解

对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N Ûlog a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）④对数换底公式：log b N =bNN a a log log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）. 2.对数函数（1）对数函数的定义）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. 注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。

但是，根据对数定义: : loglog a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立（比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16）（2）对数函数的图象）对数函数的图象O xyy = l o g x a > Oxy<a <a y = l o g x a 1111( ())底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R . ③过点（1，0），即当x =1时，y =0. ④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数. 基础例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是的图象是1 1 1-1 1111 1 xxxxy y y y O OOOA BC D解析：f （x ）=îíì<<-³.10,log ,1,log 22x x x x答案：A 2.若f －－1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －－1（x ）的值域为___________________. 解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －－1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________. 解析：由0≤log 21（3－x ）≤1Þlog 211≤log 21（3－x ）≤log 2121Þ21≤3－x ≤1Þ2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x7y=z ，则x 、y 、z 之间满足之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由logx 7y=z Þx z=7y Þx 7z=y ，即y =x 7z. 答案：B 5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则，则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D 6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于等于 A.42 B.22 C.41 D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A 7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于A. 21 B.－21 C.2 D.－2 解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a1）|，对称轴为x =a1，由a1=－2 得a =－21. 答案：B 注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4），可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－21. 8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是能是OxyOxyOxyOxyABC D解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，)111-1O xy注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观. 【例3】已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间. 解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x －1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增. 注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域. 【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23. 【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|. （1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0；（2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值. 解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x . 又∵3)2(2--x x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4， ∴当x ＝4时，y min ＝lg4. 【例7】（2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f（x 1）+f （x 2）］＜f （221x xx x +）成立的函数是）成立的函数是A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A 探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？）？解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2，127m +m －+m ）－+m+2m ≥+xm+2m ）+x m ≥2m （当且仅当=xm ，即=m 时等号成立）+x m +2m ）=4m ，即4m ≥≥169. 可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较. 3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用. 。

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对数与对数运算
1. 对数：如果a x
=N(a>0,且az 1)，那么数 x=log a N
,其中a 叫做对数的底数， 2. 对数的性质:(1)1的对数等于有对数 3. 以10为底的对数叫做常用对数
x 叫做以a 为底N 的对数，记作
N 叫做真数. 0 ；(2)底数的对数等于1;(3)零和负数没 ,log io N
记作 lg
N . 4. 以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数， logeN 记作ln N
5. 对数的运算性质：如果 a>0,且a 工1 , M>0;N>0,那么：
(MN) .
M .
N
N1N …Nk
N1 .
N2
.
N3
(1) log a =log a +log a ； log a ( )=log a +log a + …log a ；
(M / N)
M
N
(2) log a =log a -log a ；
(3) log a M i =nlog a M
N I N 6.对数换底公式：log - =log
N a ； log
7. 对数运算中的三个常用结论： a logaN N ,log a a =1,log a 1=0 8. 两个常用的推论：a , b >0且均不为1,m,n,为正整数
(1)
log a b
x log b a
=1; log a b
x log b C
x log c a
=1;
b
n
n
b
(2)
log a m m"og a ； log m a 9. 指数和对数的关系：a x
=N
a ‘
b lo g a N
n b m
log a b
;
1 =1
n
log a N
=x
比较指数式、根式、对数式:
几个对数运算公式的证明
证明下列公式:
(1)
(2) (3) 对数的运算性质对数的运算性质对数的换底公式:
(4) (5) (6) 对数运算中的常用结论: a , (M / N)
M
:log a =log a -log
:log a M=nlog a M
log
a b =晋
logc
a logaN N
1,log a b X log b a =1 1,m 为正整数,log 1,m,n 为正整数，log 则 M =M=a x-y N M a y
• x-y= log a ： log a N ,. log a~N
(2)设 a x
=M 贝» x=log a M
,
M n , • log a M n = nlog a b =x ,贝廿 a x
=b . b =logc b
a = a logc I a N =x ，贝廿 a x
=N.v log a a x =x ,. a a b =3 , log b a
=必,• log a b
X log lg a lg b b m
=x ，则(a °) x =b m , • a mx =b m ,. log b m
b ，…log
a m
=log a
mx
贝廿(a 。

x =b n , •• log/
=log nlog a b , • x= n log a b , •- log a m
b =-log a b
m m
(7) a ,
a ,
b > 0且均不为 b > 0且均不为 b > 0且均不为 b m
a m
证明：(1)设 a x =M a y
=N, M . N a - log a
• xn=log (3)设 log -log c a ,. log (4) 设 log (5) v log (6)设 log mlog a b ,.•. x=log (7)设 log a m
b n =x , =log a
=-log m
IM
a~N , b n
m
a M N -x=log a , y=log a , x-y=log M . N log a - log a • • nx=nlog a .- M a
xx a b b
• • log c a =log c b ，…xlog c =log c ，…x=log c (a x ) x
l0
9a a
a b n=M ,「・ a xn =M , =a x ,A a log
a ax
=N =lgb x lga =1 lgb = log a b m , mxlog a a
= lg a mx a a b n ,「. mxlog a a
=。