高二上学期期末数学试卷(理科)第23套真题
高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.双曲线221168x y -=的虚轴长是（ ）A ．8B ．C ．．2 2.在公差为d 的等差数列{}n a 中，“1d >”是“是递增数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.为了了解800名高三学生是否喜欢背诵诗词，从中抽取一个容量为20的样本，若采用系统抽样，则分段的间隔k 为（ ）A ．50B ．60C ．30D ．404.已知椭圆22:1169x y C +=的左、右焦点分别为12F F 、，过2F 的直线交椭圆C 于P Q 、两点，若1F P +110FQ =，则PQ 等于（ ） A ．8 B ．6 C.4 D ．25.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下，则这100个成绩的平均数为（ ）A ．3B ．2.5 C.3.5 D ．2.756.某单位有员工120人，其中女员工有72人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为15的样本，则男员工应选取的人数是（ ） A ．5 B ．6 C.7 D ．87.已知椭圆()222:10525x y C b b +=<<的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则该椭圆的方程是（ ）A ．221254x y +=B ．221259x y += C.2212516x y += D ．22125x y +=8.已知点()00,A x y 是抛物线()220y px p =>上一点，且它在第一象限内，焦点为,F O 坐标原点，若32pAF =，AO = ） A ．B ．3x =- C.2x =- D ．1x =-9.某班m 名学生在一次考试中数学成绩的频率分布直方图如图，若在这m 名学生中，数学成绩不低于100分的人数为33，则等于（ ）A ．45B ．48 C.50 D ．5510.已知定点()3,0M -，()2,0N ，如果动点P 满足2PM PN =，则点P 的轨迹所包围的图形面积等于（ ） A ．1009π B ．1429π C.103πD ．9π11.已知命题p ：直线20x y +=与直线20x y +-=之间的距离不大于1，命题q ：椭圆2222754x y +=与双曲线22916144x y -=有相同的焦点，则下列命题为真命题的是（ ）A ．()p q ∧⌝B ．()p q ⌝∧ C.()()p q ⌝∧⌝ D ．p q ∧12.如图，12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线分别交于点,A B ，且(A ，若2ABF ∆为等边三角形，则12BF F ∆的面积为（ ）A ．1 BD ．2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知0m >，0n >，向量(),1,3a m =-与()1,,2b n =垂直，则mn 的最大值为 ．14.若[]x 表示不超过x 的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为 ．15.在区间2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上任取一个数x ，则函数()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的值不小于0的概率为 ．16.已知点A 是抛物线()2:20C x px p =>上一点，O 为坐标原点，若,A B 是以点为圆心，OA 的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点，且ABO ∆为等边三角形，则p 的值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρθ=.（1）写出直线的普通方程及圆C 的直角坐标方程； （2）点P 是直线上的点，求点的坐标，使到圆心的距离最小.18. （本小题满分12分）已知p ：方程()2220x mx m +++=有两个不等的正根；q ：方程221321x ym m-=+-表示焦点在轴上的双曲线.（1）若为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围.19. （本小题满分12分）某公司经营一批进价为每件4百元的商品，在市场调查时发现，此商品的销售单价x （百元）与日销售量（件）之间有如下关系：（1）求y 关于x 的回归直线方程；（2）借助回归直线方程请你预测，销售单价为多少百元（精确到个位数）时，日利润最大？相关公式：()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.20. （本小题满分12分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学的投篮命中次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用x 表示.（1）若乙组同学投篮命中次数的平均数比甲组同学的平均数少1，求x 及乙组同学投篮命中次数的方差；（2）在（1）的条件下，分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10次的同学中，各随机选取一名，求这两名同学的投篮命中次数之和为16的概率. 21. （本小题满分12分）如图，在三棱锥A BCD -中，AD ⊥平面BCD ，CB CD =，AD DB =，,P Q 分别在线段,AB AC 上，3AP PB =，2AQ QC =，M 是BD 的中点.（1）证明：//DQ 平面CPM ； （2）若二面角C AB D --的大小为3π，求tan BDC ∠.22. （本小题满分12分）已知()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，1225F F =，点P 在椭圆上，21tan 2PF F ∠=，且的面积为4.（1）求椭圆的方程；（2）点M 是椭圆上任意一点，12A A 、分别是椭圆的左、右顶点，直线12MA MA ，与直线x =分别交于,E F 两点，试证：以EF 为直径的圆交x 轴于定点，并求该定点的坐标.试卷答案一、选择题1.B 因为28b =，所以虚轴长2b =.2.A 若1d >，则n N *∀∈，110n n a a d +-=>>，所以，{}n a 是递增数列；若{}n a 是递增数列，则n N *∀∈，10n n a a d +-=>，推不出1d >3.D 由于8002040÷=，即分段的间隔40k =.4.B 因为直线PQ 过椭圆的右焦点2F ，由椭圆的定义，在1F PQ ∆中，11416F P FQ PQ a ++==.又1110F P FQ +=，所以6PQ =. 5.A 设这100个成绩的平均数记为x ，则120210*********3100x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==.6.B 男员工应抽取的人数为12072156120-⨯=. 7.C 设焦距为2c ，则有222552b c c b ⎧-=⎨+=⎩，解得216b =，所以椭圆22:12516x y C +=.8.D 因为0322p px +=，所以0x p =，0y =.又)2212p +=，所以2p =，准线方程为1x =-.9.D ()10.0150.025100.6P =-+⨯=，由0.633m =，得55m =.10.A 设(),P x y ，则由2PM PN =得()()2222342x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦，化简得223322x y x +-70+=，即221110039x y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭，所以所求图形的面积1009S π=. 11.B 对于命题p ，将直线l 平移到与椭圆相切，设这条平行线的方程为20x y m ++=，联立方程组224120x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，消去y 得222210x mx m ++-=.由0∆=得，所以m =，椭圆上的点到直线l最近距离为直线20x y +-=与l 的距离d =1>，所以命题p 为假命题，于是p ⌝为真命题.对于命题q ，椭圆2222754x y +=与双曲线22916144x y -=有相同的焦点()5,0±，故q 为真命题.从而()p q ⌝∧为真命题. 12.由已知212BF BF a -=，122AF AF a -=，又2ABF ∆为等边三角形，所以121AF AF BF -=2a =，所以24BF =.在12AF F ∆中，16AF a =，24AF a =，122F F c =，1260F AF ∠=︒，由余弦定理得，所以227c a =，22226b c a a =-=，所以双曲线方程为222216x y a a-=，又()1,3A 在双曲线上，所以，解得212a =，即22a =.所以122124sin1202BF F S a a ∆=⨯⨯⨯︒==. 二、填空题13.9 因为，所以，又，所以.14.7 第一次循环，0S =，2n =；第二次循环，1S =，4n =；第三次循环，3S =，6n =；第四次循环，5S =，8n =；第五次循环，7S =.因为8>6，所以输出S 的值为7. 15.611 当2,43x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，272,636x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.当[]20,6x ππ-∈，即7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()0f x ≥，则所求概率为76121221134ππππ-=⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 16.56如图，因为MA OA =，所以，点A 在线段OM 的中垂线上，又()0,10M ，所以可设(),5A x . 由tan 305x︒=，得x =，所以A ⎫⎪⎭的坐标代入方程22x px =，得56p =.三、解答题17.解：（1）由3,.x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去参数t ，得直线l0y --=，由ρθ=得2sin ρθ=，22x y +=，即圆C的直角坐标方程为(223x y +-=.（2）()3P t +，(C ，PC ==，0t =∴时PC 最小，此时()3,0P .18.解：（1）由已知方程221321x y m m -=+-表示焦点在y 轴上的双曲线，则()244202020m m m m ⎧∆=-+>⎪->⎨⎪+>⎩解得21m -<<-，即:21p m -<<-. 因p 或q 为真，所以p q 、至少有一个为真. 又且为假，所以至少有一个为假.因此，两命题应一真一假，当为真，为假时，213m m -<<-⎧⎨≥-⎩，解得21m -<<-；当为假，为真时，213m m m ≤≥-⎧⎨<-⎩或，解得.综上，21m -<<-或.19.解：（1）因为7x =，1089616.85y ++++==，所以，122121857 6.82255549ni ii ni i x y nx yb x nx==--⨯⨯===--⨯-∑∑，()6.82720.8a y bx =-=--⨯=，于是得到y 关于x 的回归直线方程220.8y x =-+.（2）销售价为时的利润为()()24220.8228.883.2x x x x ω=--+=-+-，当28.8722x =≈⨯时，日利润最大. 20.（1）解：依题意得：82910789112155x +⨯+++++⨯=-，解得6x =，41=5x 乙，22222141414141682910 1.7655555s ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-⨯+-+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. （2）记甲组投篮命中次数低于10次的同学为123,,A A A ，他们的命中次数分别为9，8，7. 乙组投篮命中次数低于10次的同学为1234,,,B B B B ，他们的命中次数分别为6，8，8，9. 依题意，不同的选取方法有：()()()()()()()()()()()()111213142122232431323334,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B 共12种.设“这两名同学的投篮命中次数之和为16”为事件，则中恰含有()()()222334,,,,,A B A B A B 共3种.()31124P C ==∴. 21.（1）证明：取AB 的中点E ，连接ED EQ 、，则2AE AQEP QC==，所以//EQ PC . 又EQ ⊄平面CPM ，所以//EQ 平面CPM . 又PM 是BDE ∆的中位线，所以//DE PM ， 从而//DE 平面CPM . 又DEEQ E =，所以平面//DEQ 平面CPM .因为DQ ⊂平面DEQ ，所以//DQ 平面.（2）解：法1：由AD ⊥平面BCD 知，AD CM ⊥， 由BC CD =，BM MD =，知BD CM ⊥， 故CM ⊥平面ABD .由（1）知//DE PM ，面DE AB ⊥，故PM AB ⊥. 所以CPM ∠是二面角的平面角，即3CPM π∠=.设PM a =，则CM =，又易知在Rt ABD ∆中，4B π∠=，可知DM BM ==，在Rt CMD ∆中，tan MC MDC MD ∠===法2：以M 为坐标原点，,,MC MD ME 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标.设MC a =，MD b =，则(),0,0C a ，()0,,0B b -，()0,,2A b b ，则，()0,2,2BA b b =，设()1,,n x y z =是平面ABC 的一个法向量，则110,0.n BC n BA ⎧=⎪⎨=⎪⎩即0,220.ax by by bz +=⎧⎨+=⎩取()1,,n b a a =-， 不难得到平面ABD 的一个法向量为()21,0,0n =，所以121cos ,2nn <>==，所以a b =， 在中，6tan 2MC a MDC MD b ∠===.22.解：（1）因为21tan 2PF F ∠=，所以21sin PF F ∠=，21cos PF F ∠=. 由题意得((2222122125542522PF PF PF PF ⎧⨯⨯=⎪⎪⎨⎪=+-⨯⎪⎩，解得1242PF PF ⎧=⎪⎨=⎪⎩. 从而1224263a PF PF a =+=+=⇒=，结合2c =，得24b =，故椭圆的方程为22194x y +=. （2）由（1）得()13,0A -，()23,0A ，设()00,M x y ，则直线1MA 的方程为()0033y y x x =++，它与直线x =的交点的坐标为0033y E x ⎫⎫+⎪⎪⎪⎪+⎭⎭， 直线2MA 的方程为()0033y y x x =--，它与直线的交点的坐标为003535,3232y F x ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎭， 再设以EF 为直径的圆交x 轴于点(),0Q m ，则QE QF ⊥，从而1QE QF k k =-，即033y x ⎫+00353321352y x m ⎛⎫- -⎝⎭=--，即，解得3512m =±. 故以为直径的圆交x 轴于定点，该定点的坐标为351,02⎛⎫+ ⎪ ⎪⎭或351,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎭.。
高二理科数学上学期期末试卷及答案
高二理科数学上学期期末试卷及答案数学期末考试卷一、 选择题（本大题共12小题，每小题４分，共48分） 1、与向量(1,3,2)a =-r平行的一个向量的坐标是（ ）A ．（31，1，1）B ．（－1，－3，2）C ．（－21，23，－1） D ．（2，－3，－22）2、设命题p ：方程0132=-+x x的两根符号不同；命题q ：方程0132=-+x x 的两根之和为3，判断命题“p ⌝”、“q ⌝”、“p q ∧”、“p q ∨”为假命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 3、“a ＞b ＞0”是“ab ＜222b a+”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4、椭圆1422=+y m x 的焦距为2，则m 的值等于（ ）.A ．5B ．8C ．5或 3D ．5或85、已知空间四边形OABC 中，，，===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则MN =（ ）A ．c b a 213221+- B ．cb a 212132++-C ．c b a 212121-+ D ．213232-+ 6、抛物线2y 4x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为（ ）A ．1716B ．1516C ．78D ．0 7、已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x ＋2y －3＝0，则该双曲线的离心率为（ ）A.5或54 55C. 33D.5或538、若不等式|x －1| <a 成立的充分条件是0<x <4,则实数a 的取值范围是 ( )A ．a ≤1B ．a ≤3C ．a ≥1D ．a ≥39、已知),,2(),,1,1(t t b t t t a =--=，则||b a -的最小值为（ ）A ．55B ．555C ．553D ．511 10、已知动点P(x 、y )满足1022)2()1(-+-y x ＝|3x ＋4y ＋2|，则动点P 的轨迹是 （ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．无法确定11、已知数列{a n }的通项公式为21log 2++=n n a n(n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则使5-<nS 成立的自然数n( )A ．有最大值63B ．有最小值63C ．有最大值32D ．有最小值3212、设过点()y x P ,的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若PA BP 2=，且1=⋅AB OQ ，则P 点的轨迹方程是（ ） A. ()0,0132322>>=+y x y x B. ()0,0132322>>=-y x y x C.()0,0123322>>=-y x y x D.()0,0123322>>=+y x y x二、 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13、命题：01,2=+-∈∃x x R x 的否定是14、若双曲线4422=-y x 的左、右焦点是1F 、2F ，过1F 的直线交左支于A 、B 两点，若|AB|=5，则△AF 2B 的周长是 . 15、若)1,3,2(-=，)3,1,2(-=，则,为邻边的平行四边形的面积为 ．16、以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为正常数，||||PA PB k+=u u u r u u u r，则动点P 的轨迹为椭圆；②双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点； ③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④和定点)0,5(A 及定直线25:4l x =的距离之比为54的点的轨迹方程为221169x y -=．其中真命题的序号为 _________． 三、 解答题（本大题共5小题，共56分） 17、（本题满分10分）已知命题p ：方程11222=--m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线1522=-mx y 的离心率)2,1(∈e ，若q p ,只有一个为真，求实数m 的取值范围．18.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,6a b c B π=，3cos ,25A b ==。
人教版高二上学期数学期末理试题(解析版)
则 , , ,
故 ,
故异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故答案为: .
【点睛】本题主要考查了向量法异面直线夹角,解题关键是掌握向量法求异面直线夹角的方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
16.双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，点 在 上且 ， 为坐标原点，则 _______．
【答案】
【解析】
12.已知椭圆 ，直线 ，若椭圆C上存在两点关于直线l对称，则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设 ， 是椭圆C上关于l对称的两点，AB的中点为 ，根据椭圆C上存在两点关于直线 对称，将A，B两点代入椭圆方程，两式作差可得 ，点M在椭圆C内部，可得 ，解不等式即可.
1.命题“ ， ”的否定是（）.
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】
根据命题否定形式，即可求解.
【详解】命题“ ， ”的否定是
“ ， ”.
故选：C.
【点睛】本题考查命题的否定，要注意量词之间的转换，属于基础题.
2.准线方程为 的抛物线的标准方程是( )
A. B. C. D.
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆的性质得出方程即可；
（2）设出双曲线的方程，根据椭圆的焦点坐标得出 ，将点 代入双曲线方程，联立方程求解即可得出双曲线的标准方程.
【详解】解：（1）由题意知， ，
所以 ， ，所以
又因为双曲线E的焦点在x轴上，所以椭圆C的方程为
（2）双曲线E的标准方程为
由题可知双曲线E的焦点坐标为 ， ，所以
(1)证明: 平面PAC.
(2)求直线BC与平面PAC的所成角的大小.
2022-2023学年四川省达州市高二(上)期末数学试卷(理科)(含答案解析)
2022-2023学年四川省达州市高二（上）期末数学试卷（理科）1. 小明家种植的芝麻晾晒后，黑芝麻和白芝麻均匀地混在一起，从中随机取出一部分，数得500粒芝麻内含有10粒白芝麻，则小明家的芝麻100kg 含有白芝麻约为( )A. 1kgB. 2kgC. 3kgD. 4kg2. 某班学生小李参加了2022年市举办的高中数学竞赛和高中物理竞赛．与事件“小李至少有一门学科竞赛获一等奖”互斥的事件是( )A. 小李两门学科竞赛都没有获一等奖B. 小李两门学科竞赛都获一等奖C. 小李至多有一门学科竞赛获一等奖D. 小李只有一门学科竞赛获一等奖3. 设k ，l 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且k ⊂α，l ⊂β，下列说法正确的是( )A. 如果k ⊥β，那么α⊥βB. 如果α⊥β，那么k ⊥βC. 如果k//β，那么α//βD. 如果α//β，那么k//l4. 执行如图所示的程序框图．如果输入的a 为2，输出的S 为3，那么p =( )A. 9B. 8C. 7D. 65. 双曲线x 2a 2−4y 2a 2=λ(λa ≠0)的渐近线方程为( )A. y =±2xB. y =±12xC. y =±4xD. y =±√2x6. 为了了解客流量x(单位：人)对纯收入y(单位：元)的影响，对某面馆5天的客流量和纯收入统计如表．已知x 和y 具有线性相关关系，且回归直线方程为y ̂=5.02x +7.6(参考公式：y −=b ̂x −+a ̂)，那么a 的值为( ) x 100 115 120 130 135 y507589a662682A. 610B. 620C. 636D. 666 7. 若数据x 1，x 2，…，x n 的方差为25，则数据3x 1+1，3x 2+1，…，3x n +1的标准差为( ) A. 225 B. 76C. 75D. 158. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A. √10πB. 52πC. √10π+πD. 4π9. 直线x −y −2=0上两点A ，B 到直线x =−1的距离分别等于它们到F(1,0)的距离，则|AF|+|BF|=( )A. 8B. 9C. 10D. 1110. 如图，三棱柱ABC −A 1B 1C 1的所有棱长都相等，AA 1⊥平面ABC ，M 为AB 的中点，N为CC 1的中点．则MN 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为( )A. √33B. √34C.√155D.√331111. 在梯形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ∩BD =O.在梯形ABCD 内(包括边界)随机取一点M ，则点M 在△ADO 内(包括边界)的概率为( )A. 15B. 13C. 49D. 2912. 已知直线l ：y =x +√m 上存在点P ，使得P 到点A(−1,0)和B(1,0)为的距离之和为4.若n =mm−1为正数，则49m−1+1n−1的取值范围是( )A. [14,856)B. [14,+∞)C. [856,+∞)D. [433,+∞)13. 棱长为4的正方体的所有顶点都在球O 的表面上，则球O 的体积为______. 14. 如图是某核酸采集点6次核酸采集人数的茎叶图，则这6次核酸采集人数的方差为______.15. 已知F是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点，C的离心率为53，M，N是C上关于原点对称的两点，|FM|−|FN|=6.则双曲线C的标准方程为______.16. 已知P是椭圆C:x24+y24−4e2=1(0<e<1)上的动点，C的焦点为F1，F2，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，(2r1+r2)(2r2+r1)的最小值为f(e)，则f(e)=______.17. 已知圆C过原点，圆心C在射线y=x(x≥0)上，圆心C到y轴距离为2.(1)求圆C的标准方程；(2)直线x+y−6=0与圆C交于A，B两点，求|AB|.18. 在某校2022年春季的高一学生期末体育成绩中随机抽取50个，并将这些成绩共分成五组：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如图所示的频率分布直方图．在[50,70)的成绩为不达标，在[70,100]的成绩为达标．(1)根据样本频率分布直方图求a的值，并估计样本的众数和中位数(中位数精确到个位)；(2)以体育成绩是否达标为依据，用分层抽样的方法在该校2022年春季的高一学生中选出5人，再从这5人中随机选2人，那么这两人中至少有一人体育成绩达标的概率是多少？19. 在等比数列{a n}中，a1=1，a2⋅a3=e3，{a n}的前n项和为S n.(1)求a n和S n；(2)b n=lna n，T n=b1+b2+…+b n，求T n.20. 如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AD//BC，点E，F分别为PA，PD的中点，AB=BC=2，AD=AP=4.(1)证明：直线EF//平面PBC；(2)求二面角F−CD−B的余弦值．21. 已知过圆O：x2+y2=r2(r>0)上一点A(0,5)的直线l与该圆另一交点为B，O为原点，记∠AOB=α，α∈[0,π].(1)当|AB|=5√3时，求α的值和l的方程；(2)当|AB|=5时，f(x)=−sinx+2cosx⋅sinα+2cos2α−1，求f(x)的单调递增区间．22. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长、，面积短半轴长的乘积．已知椭圆Γ的中心为原点O，焦点F1，F2均在x轴上，离心率等于45为15π.(1)求Γ的标准方程；(2)若直线l与圆M：x2+y2=16相切，且直线l与Γ交于C，D两点，求△COD面积的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：根据题意，设100kg芝麻中含有白芝麻约为xkg，又由从中随机取出一部分，数得500粒芝麻内含有10粒白芝麻，则有x100=10500，解可得：x=2，即小明家的芝麻100kg含有白芝麻约为2kg，故选：B.根据题意，设100kg芝麻中含有白芝麻约为xkg，分析可得x100=10500，解可得答案．本题考查概率的计算，注意模拟方法估算概率的方法，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：根据题意，事件“小李至少有一门学科竞赛获一等奖”，即“小李有一门学科竞赛获一等奖”或“小李两门学科竞赛获一等奖”，其互斥事件为：小李两门学科竞赛都没有获一等奖，故选：A.根据题意，由互斥事件的定义分析可得答案．本题考查互斥事件的定义，注意事件之间的关系，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，由面面垂直的判断方法，k⊂α，l⊂β，若k⊥β，那么α⊥β，A正确；对于B，如果α⊥β，k与β可能平行或斜交，B错误；对于C，如果k//β，则α、β可能相交，C错误；对于D，如果α//β，k，l可能异面，D错误；故选：A.根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．本题直线与平面的位置关系，涉及直线与平面垂直的证明，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：由题意可得，S=log221+log232+⋅⋅⋅+log287=log28=3，当i=7时，满足判断框i≥p，即p=7.故选：C.由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5.【答案】B【解析】解：双曲线x 2a 2−4y 2a2=λ(λa ≠0)的渐近线方程：y =±12x.故选：B.直接利用双曲线方程求解渐近线方程即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．6.【答案】A【解析】解：x −=15×(100+115+120+130+135)=120， y −=15×(507+589+a +662+682)=488+15a ， ∵根据线性回归方程必过样本的中心， ∴488+15a =5.02×120+7.6， 解得a =610. 故选：A.计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到结论． 本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，这是线性回归方程中最常考的知识点，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：数据x 1，x 2，…，x n 的方差为25，则数据3x 1+1，3x 2+1，…，3x n +1的方差32×25=225，标准差为15. 故选：D.根据已知条件，结合方差的线性公式，以及标准差的定义，即可求解． 本题主要考查方差的线性公式，以及标准差的定义，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：由几何体的三视图可知该几何体是底面半径为1，高为3的圆锥， 则该几何体的表面积为：S =πrl +πr 2=π×1×√12+32+π×12=√10π+π.故选：C.利用圆锥的三视图、表面积公式直接求解．本题考查圆锥的三视图、表面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9.【答案】C【解析】解：A，B两点在直线x−y−2=0，则可设A(x1,x1−2)，B(x2,x2−2)，A，B两点到直线x=−1的距离分别为|x1+1|，|x2+1|，F(1,0)，A(x1,x1−2)，则|AF|=√(1−x1)2+(−x1+2)2=√2x12−6x1+5，同理可得，|BF|=√2x22−6x2+5，由题意可知，|x1+1|=√2x12−6x1+5，|x2+1|=√2x22−6x2+5，解得x1=4+2√3，x2=4−2√3或x1=4−2√3，x2=4+2√3，故|AF|+|BF|=|x1+1|+|x2+1|=10.故选：C.根据已知条件，设出A，B，再结合两点之间的距离公式，即可求解．本题主要考查两点间的距离公式，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都相等，AA1⊥平面ABC，M为AB的中点，N为CC1的中点，∴MC⊥AB，AA1⊥平面ABC，∵平面ABC⊥平面A1B1BA，平面ABC∩平面A1B1BA=AB，∴MC⊥平面A1B1BA，以M为坐标原点，MA所在直线为x轴，过M作AA1的平行线为y轴，MC为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=2，则M(0,0,0)，N(0,1,√3)，B(−1,0,0)，B1(−1,2,0)，C(0,0,√3)，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,√3)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√3)，BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)， 设平面BCC 1B 1的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +√3z =0n ⃗ ⋅BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0，取x =√3，得n ⃗ =(√3,0,−1)， 设MN 与平面BCC 1B 1所成角为θ， 则MN 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为：sinθ=|n ⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√32×2=√34.故选：B.推导出MC ⊥平面A 1B 1BA ，以M 为坐标原点，MA 所在直线为x 轴，过M 作AA 1的平行线为y 轴，MC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出MN 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值． 本题考查线面角的正弦值、线面垂直的判定与性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】D【解析】解：根据题意，如图：在梯形ABCD 中，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AB//CD ，且AB =2CD ，设该梯形ABCD 的面积为S ， 则S △ADB =2S △BCD ，则S △ADB =2S3， 又由AB//CD ，且AB =2CD ，则O 到AB 的距离为2ℎ3， 则S △ABO =23×S △ADB =4S9，则S △ADO =S △ADB −S △ABO =2S 3−4S 9=2S9， 故要求概率P =29S S =29； 故选：D.根据题意，分析可得梯形ABCD 中，AB//CD ，且AB =2CD ，设该梯形ABCD 的面积为S ，由通项的性质求出 △ADO ，由几何概型公式计算可得答案．本题考查几何概型的计算，注意几何概型的计算公式，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：因为点P 到点A(−1,0)和B(1,0)的距离之和为4， 所以点P 的轨迹为椭圆，椭圆的方程为x 2a 2+y 2b2=1，其中a >b >0，所以2a =4，解得a =2，又c =1，所以b 2=a 2−c 2=4−1=3， 所以椭圆的方程为x 24+y 23=1.又直线l ：y =x +√m 与椭圆x 24+y 23=1有交点，所以{y =x +√mx 24+y 23=1，消去y 得7x 2+8√mx +4m −12=0，所以Δ=64m −4×7×(4m −12)≥0，解得m ≤7， 又m ≥0，所以m 的取值范围是[0,7]；又因为n =mm−1为正数，所以m >1，所以m ∈(1,7], 所以49m−1+1n−1=49m−1+1mm−1−1=49m−1+(m −1)≥2√49m−1⋅(m −1)=14，当且仅当49m−1=m −1，即m =8时取“=”，又因为m ∈(0,7],49m−1+(m −1)的最小值为497−1+(7−1)=856， 所以49m−1+1n−1的取值范围是[856,+∞). 故选：C.根据椭圆的定义得出P 的轨迹是椭圆，写出椭圆的方程，求出m 的取值范围，再求49m−1+1n−1的取值范围．本题考查了直线与椭圆的方程应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．13.【答案】32√3π【解析】解：因为一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为4， 所以正方体的外接球的直径就是正方体的对角线的长度：4√3. 所以球的半径为：2√3. 所求球的体积为：4π3×(2√3)3=32√3π.故答案为：32√3π.求出正方体的对角线的长度，得到外接球的直径，利用球的体积公式求解即可． 本题考查球的内接体，球的体积的求法，求出球的半径是解题的关键，考查计算能力．14.【答案】3【解析】解：x −=16×(1117+1119+1120+1120+1122+1122)=1120，s 2=16×[(1117−1120)2+(1119−1120)2+2×(1120−1120)2+2×(1122−1120)2]=3. 故答案为：3.根据方差公式计算即可求解．本题考查茎叶图，考查方差的计算，是基础题．15.【答案】x29−y216=1【解析】解：设F1为双曲线的另外一个焦点，由双曲线图象的对称性可得|NF|=|MF1|，又|FM|−|FN|=6，则|FM|−|MF1|=6，则2a=6，则a=3，又C的离心率为53，则ca =53，即c=5，则b=√c2−a2=4，则双曲线C的标准方程为x 29−y216=1，故答案为：x 29−y216=1.由双曲线的性质，结合双曲线的标准方程的求法求解即可．本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线的标准方程的求法，属基础题．16.【答案】−4e2+36【解析】解：由椭圆方程可得a=2，再由椭圆的定义可得r1+r2=2a=4，且c=√a2−b2=√4−(4−4e2)=2e，所以(2r1+r2)(2r2+r1)=(r1+2a)(r2+2a)=(r1+4)(r2+4)=r1r2+4(r1+r2)+16=r1r2+32=(4−r2)r2=−r22+4r2+32=−(r2−2)2+36，因为a−c≤r2≤a+c，即2−2e≤r2≤2+2e，又因为|2−2e−2|=2e，|2+2e−2|=2e，所以2−2e≤r2≤2+2e时，当r2=2−2e或r2=2+2e时，(2r1+r2)(2r2+r1)取到最小值，即f(e)=−(2−2e−2)2+36=−4e2+36，故答案为：−4e2+36.由椭圆的方程可得a，b的值，进而求出c的值，再由椭圆的定义转化(2r1+r2)(2r2+r1)=−(r2−2)2+36，再由r2的范围，可得它的最小值．本题考查椭圆的性质的应用及由函数的单调性求最值的应用，属于中档题．17.【答案】解：(1)由圆心C在射线y=x(x≥0)上，圆心C到y轴距离为2，设圆C的标准方程为(x−2)2+(y−2)2=r2(r>0)，又圆C 过坐标原点，所以r 2=8，所以圆C 的标准方程为(x −2)2+(y −2)2=8.(2)由(1)知半径r =2√2，圆心C(2,2)到直线x +y −6=0的距离d =√2， 由于直线x +y −6=0与圆C 交于A ，B 两点， 故|AB|=2√r 2−d 2=2√6.【解析】(1)根据已知条件可设圆C 的标准方程为(x −2)2+(y −2)2=r 2(r >0)，代入原点坐标可得r 2，从而求得圆的标准方程；(2)计算圆心C(2,2)到直线x +y −6=0的距离d =√2，进而利用勾股定理可得弦长． 本题考查了圆的标准方程，直线与圆的位置关系，属于基础题．18.【答案】解：(1)由(0.004+0.036+0.032+a +0.008)×10=1，得a =0.02，根据频率分布直方图知，样本的众数为65，设中位数为x ，则(0.004+0.036)×10+0.032×(x −70)=0.5，得x ≈73； (2)用分层抽样的方法在该校2022年春季的高一学生中选出5人，故在[50,70)的成绩为不达标，抽取2人，记为a ，b ，在[70,100]的成绩为达标，抽取3人，记为1，2，3，从这5人中随机选2人，共有{1,2}，{1,3}，{1,a}，{1,b}，{2,3}，{2,a}，{2,b}，{3,a}，{3,b}，{a,b}，共10种，这两人中至少有一人体育成绩达标，{1,2}，{1,3}，{1,a}，{1,b}，{2,3}，{2,a}，{2,b}，{3,a}，{3,b}，共9种，故这两人中至少有一人体育成绩达标的概率为910.【解析】(1)由频率和为1可求解a ，再由频率分布直方图的频率计算众数和中位数即可； (2)用分层抽样的方法在该校2022年春季的高一学生中选出5人，故在[50,70)的成绩为不达标，抽取2人，记为a ，b ，在[70,100]的成绩为达标，抽取3人，记为1，2，3，列举所有情况，利用古典概型的概率公式，求解即可．本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题．19.【答案】解：(1)因为等比数列{a n }中，a 1=1，a 2⋅a 3=q 3=e 3，所以q =e ，a n =e n−1， 所以S n =1−e n1−e； (2)由b n =lna n =n −1，所以T n =b 1+b 2+…+b n =0+1+2+⋅⋅⋅+(n −1)=n(n−1)2.【解析】(1)由已知结合等比数列的通项公式可求q，然后结合等比数列的通项公式及求和公式即可求解；(2)先求出b n，然后结合等差数列的求和公式可求．本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，还考查了等差数列的求和公式的应用，属于基础题．20.【答案】解：(1)证明：因为E，F分别为PA，PD的中点，所以AD//EF，因为AD//BC，所以EF//BC，因为EF⊄面PBC，BC⊂面PBC，所以EF//面PBC.(2)因为AB⊥AD，AD//BC，所以AB⊥BC，连接AC，由AB=BC=2得AC=2√2，因为AD=4，所以CD=√AB2+(AD−BC)2=2√2，所以AC⊥CD，因为PA⊥面ABCD，所以PA⊥AC，PA⊥CD，因为PA，AC是平面PAC内两相交直线，所以CD⊥面PAC，因为PC⊂面PAC，所以CD⊥PC，所以二面角P−CD−A的平面角为∠ACP，因为AP=4，所以PC=2√6，所以cos∠ACP=ACPC =√33，所以二面角P−CD−A的余弦值为√33，所以二面角F−CD−B的余弦值为√33.【解析】(1)由E，F分别为PA，PD的中点，得AD//EF，进而可得EF//BC，由线面平行的判定定理，即可得出答案．(2)根据题意可得AB⊥BC，AC=2√2，CD=√AB2+(AD−BC)2=2√2，由线面垂直的判定定理可得CD ⊥面PAC ，进而可得CD ⊥PC ，则二面角P −CD −A 得平面角为∠ACP ，进而可得cos∠ACP =ACPC ，即可得出答案．本题考查直线与平面的位置关系，二面角，解题中需要理清思路，属于中档题．21.【答案】解：(1)∵点A(0,5)在圆O ：x 2+y 2=r 2(r >0)上，∴r 2=25，∵|AB|=5√3，|OA|=|OB|=5， ∴cosα=|OA|2+|OB|2−|AB|22|OA|⋅|OB|=−12，∵α∈[0,π]， ∴α=2π3， 由条件得О到l 的距离为d =25−(5√32)=52，∴l 不与x 轴垂直，设l 的方程为y =kx +5，即kx −y +5=0， ∴√k +1=52，解得k =−√3，或k =√3，所以l 的方程为√3x −y +5=0，或√3x +y −5=0.(2)当|AB|=5时，α=π3，由f(x)=−sinx +2cosx ⋅sinα+2cos 2α−1， 得f(x)=−sinx +√3cosx −12=2cos(x +π6)−12， 当且仅当2kπ−π≤x +π6≤2kπ，(k ∈Z)， 即2kπ−7π6≤x ≤2kπ−π6，(k ∈Z)时，f(x)单调递增，所以f(x)的单调递增区间为[2kπ−7π6,2kπ−π6]，k ∈Z.【解析】(1)由题意可求r 2=25，利用余弦定理可求cosα的值，结合范围α∈[0,π]，可求α=2π3，利用点到直线的距离可求d =52，设l 的方程为y =kx +5，由√k +1=52，解得k 的值即可得解．(2)当|AB|=5时，α=π3，可得f(x)=2cos(x +π6)−12，进而利用余弦函数的单调性即可求解． 本题考查了余弦定理，点到直线的距离，余弦函数的单调性，考查了函数思想，属于中档题．22.【答案】解：(1)由题意可得{e =c a=√1−b 2a 2=45π⋅a ⋅b =15π，解得a =5，b =3，所以Γ的标准方程为x 225+y 29=1；(2)当直线l 的斜率不存在时，由题意则直线l 的方程为x =±4，代入Γ的方程可得y 2=9(1−1625)=8125， 可得|y|=95，可得|CD|=185， 这时S △COD =12⋅4⋅185=365； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx +t ，设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)， 因为直线l 与圆M 相切，所以圆心O 到直线l 的距离d =√1+k =4，可得t 2=16(1+k 2)，联立{y =kx +t 9x 2+25y 2=225，整理可得：(9+25k 2)+50ktx +25t 2−225=0， Δ=502k 2t 2−4(9+25k 2)(25t 2−225)>0，即t 2<9+25k 2， 即16(1+k 2)<9+25k 2，可得k 2>79，且x 1+x 2=−50kt 9+25k2，x 1x 2=25t 2−2259+25k2，所以|CD|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√502k 2t 2(9+25k 2)2−4⋅25t 2−2259+25k2=√1+k 2⋅30√25k 2+9−t 29+25k2，所以S △COD =12|CD|⋅d =12⋅√1+k 2⋅30√25k 2+9−t 29+25k2⋅4=60⋅√1+k 2⋅√9k 2−79+25k2，令k 2=m ，则m >79， S △COD =60⋅√(1+m)(9m−7)9+25m=60⋅√9m 2+2m−7(9+25m)2，令y =9m 2+2m−7(9+25m)2，m >79，则y −9625=9m 2+2m−7(9+25m)2−9625=−2800m+5104625(9+25m)2<0恒成立，所以y <9625， 即S △COD 的最大值为365.【解析】(1)由离心率的值及椭圆的面积的大小可得a ，b 的值，进而求出椭圆的方程； (2)分直线l 斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线l 的方程，由直线l 与圆相切，可得参数的关系，将直线l 的方程与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，由弦长公式可得求出|CD|的表达式，换元，可得面积的范围，求出面积的最大值．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，三角形面积的求法，属于中档题．。
新人教版高二上期末数学试卷(理科)含答案解析
高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞nB．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．且f（n0）＞n0D．或f（n0）＞n02．（5分）若复数=2﹣i其中a，b是实数，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知a，b，c均为实数，则“b2=ac”是“a，b，c构成等比数列”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）抛物线x2=y的准线方程是（）A．y=1 B．y=﹣1 C．y=D．y=﹣5．（5分）在等差数列{a n}中，a1=1，a3+a4+a5+a6=20，则a8=（）A．7 B．8 C．9 D．106．（5分）已知△ABC的两个顶点A（5，0），B（﹣5，0），周长为22，则顶点C 的轨迹方程是（）A．B．C．D．7．（5分）函数，则（）A．x=e为函数f（x）的极大值点B．x=e为函数f（x）的极小值点C．为函数f（x）的极大值点D．为函数f（x）的极小值点8．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD 的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知数列{a n}，a1=1，，则a10的值为（）A．5 B．C．D．10．（5分）若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，]C．[，+∞）D．（﹣∞，）11．（5分）已知x，y∈（0，+∞），且满足，那么x+4y的最小值为（）A．B．C．D．12．（5分）如图，F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点．若直线y=x与双曲线C交于P、Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为（）A．2+B．2+C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若，则=．14．（5分）=．15．（5分）椭圆C的中心在坐标原点，左、右焦点F1，F2在x轴上，已知A，B 分别是椭圆的上顶点和右顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率为．16．（5分）已知f（x，y）=ax+by，若1≤f（1，1）≤2且﹣1≤f（1，﹣1）≤1，则f（2，1）的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）设数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n，n∈N+．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）已知{b n}是等差数列，且满足b1=a2，b3=a1+a2+a3，求数列{b n}的通项公式．18．（12分）已知抛物线y2=2px（p＞0），焦点对准线的距离为4，过点P（1，﹣1）的直线交抛物线于A，B两点．（1）求抛物线的方程；（2）如果点P恰是线段AB的中点，求直线AB的方程．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=2，AB=2．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）求锐二面角D﹣A1C﹣E的余弦值．20．（12分）在圆x2+y2=4上任取一点P，点P在x轴的正射影为点Q，当点P 在圆上运动时，动点M满足，动点M形成的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）点A（2，0）在曲线C上，过点（1，0）的直线l交曲线C于B，D两点，设直线AB斜率为k1，直线AD斜率为k2，求证：k1k2为定值．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，，PD⊥AD，PD⊥DC．（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；（Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．22．（12分）设函数f（x）=x2e x．（1）求曲线f（x）在点（1，e）处的切线方程；（2）若f（x）＜ax对x∈（﹣∞，0）恒成立，求a的取值范围；（3）求整数n的值，使函数F（x）=f（x）﹣在区间（n，n+1）上有零点．2017-2018学年江西省赣州市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞nB．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．且f（n0）＞n0D．或f（n0）＞n0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）≤n”的否定形式是：或f（n0）＞n0．故选：D．2．（5分）若复数=2﹣i其中a，b是实数，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数=2﹣i，其中a，b是实数，∴a+i=（2﹣i）（b﹣i）=2b﹣1﹣（2+b）i，∴，解得b=﹣3，a=﹣7．则复数a+bi在复平面内所对应的点（﹣7，﹣3）位于第三象限．故选：C．3．（5分）已知a，b，c均为实数，则“b2=ac”是“a，b，c构成等比数列”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“b2=ac”推不出“a，b，c构成等比数列，比如a=b=c=0，反之成立，故选：A．4．（5分）抛物线x2=y的准线方程是（）A．y=1 B．y=﹣1 C．y=D．y=﹣【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=y，焦点在y轴上；所以：2p=，即p=，所以：=，所以准线方程y=﹣．故选：D．5．（5分）在等差数列{a n}中，a1=1，a3+a4+a5+a6=20，则a8=（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：设公差为d，则1+2d+1+3d+1+4d+1+5d=20，∴d=，∴a8=1+7d=9，故选C．6．（5分）已知△ABC的两个顶点A（5，0），B（﹣5，0），周长为22，则顶点C 的轨迹方程是（）A．B．C．D．【解答】解：△ABC的两个顶点A（5，0），B（﹣5，0），周长为22，则顶点C 的轨迹是椭圆，可知c=5，2a=12，解得a=6，c=．则顶点C的轨迹方程是：．故选：B．7．（5分）函数，则（）A．x=e为函数f（x）的极大值点B．x=e为函数f（x）的极小值点C．为函数f（x）的极大值点D．为函数f（x）的极小值点【解答】解：的定义域（0，+∞），求导f′（x）=，令f′（x）=＞0，解得：0＜x＜e，令f′（x）=＜0，解得：x＞e，∴函数在（0，e）上递增，在（e，+∞）上递减，∴当x=e时，函数有极大值，故选A．8．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD 的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，则B1（2，2，2），M（1，1，0），D1（0，0，2），N（1，0，0），∴=（﹣1，﹣1，﹣2），=（1，0，﹣2），∴B1M与D1N所成角的余弦值为||=，故选：A．9．（5分）已知数列{a n}，a1=1，，则a10的值为（）A．5 B．C．D．【解答】解：∵数列{a n}，a1=1，，∴=，=，=，由此猜想a n=．下面利用数学归纳法进行证明：①，成立；②假设a k=，则==，成立，∴，∴a10=．故选：D．10．（5分）若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，]C．[，+∞）D．（﹣∞，）【解答】解：若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，只需y′=3x2+2x+m≥0恒成立，即△=4﹣12m≤0，∴m≥．故选C．11．（5分）已知x，y∈（0，+∞），且满足，那么x+4y的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵x，y∈（0，+∞），且满足，那么x+4y=（x+4y）=≥==+，当且仅当x=2=时取等号．故选：C．12．（5分）如图，F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点．若直线y=x与双曲线C交于P、Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为（）A．2+B．2+C．D．【解答】解：由题意，矩形的对角线长相等，y=x代入﹣=1，可得x=±，∴•=c，∴2a2b2=（b2﹣a2）c2，∴2a2（c2﹣a2）=（c2﹣2a2）c2，∴2（e2﹣1）=e4﹣2e2，∴e4﹣4e2+2=0，∵e＞1，∴e2=2+，∴e=．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若，则=﹣7．【解答】解：，则=（﹣2，﹣1，5）•（7，﹣2，1）=﹣14+2+5=﹣7；故答案为：﹣7．14．（5分）=1．【解答】解：∫1e dx=lnx|1e=lne﹣ln1=1，故答案为115．（5分）椭圆C的中心在坐标原点，左、右焦点F1，F2在x轴上，已知A，B 分别是椭圆的上顶点和右顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率为．【解答】解：如图所示，把x=﹣c代入椭圆标准方程：+=1（a＞b＞0）．则=1，解得y=±．取P，又A（0，b），B（a，0），F2（c，0），∴k AB=﹣，==﹣．∵PF2∥AB，∴﹣=﹣，化为：b=2c．∴4c2=b2=a2﹣c2，即a2=5c2，解得a=c，∴e==．故答案为：．16．（5分）已知f（x，y）=ax+by，若1≤f（1，1）≤2且﹣1≤f（1，﹣1）≤1，则f（2，1）的取值范围为．【解答】解：f（x，y）=ax+by，若1≤f（1，1）≤2且﹣1≤f（1，﹣1）≤1，可得，画出不等式组的可行域如图：则f（2，1）=2a+b，当直线z=2a+b经过A时取得最小值，经过B时取得最大值，由可得B（，），f（2，1）=2a+b的最小值为：！，最大值为：．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）设数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n，n∈N+．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）已知{b n}是等差数列，且满足b1=a2，b3=a1+a2+a3，求数列{b n}的通项公式．【解答】解：（Ⅰ）由题设可知{a n}是首项为1，公比为3的等比数列，…（2分）所以，…（4分）…（6分）（Ⅱ）设数列{b n}的公差为d∵b1=a2=3，b3=a1+a2+a3=S3=13，∴b3﹣b1=10=2d，∴d=5，…（8分）∴b n=5n﹣2…（10分）18．（12分）已知抛物线y2=2px（p＞0），焦点对准线的距离为4，过点P（1，﹣1）的直线交抛物线于A，B两点．（1）求抛物线的方程；（2）如果点P恰是线段AB的中点，求直线AB的方程．【解答】解：（1）由题设焦点对准线的距离为4，可知p=4，所以抛物线方程为y2=8x；（2）方法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2，y1+y2=﹣2，又，相减整理得，所以直线AB的方程是y=﹣4（x﹣1）﹣1，即4x+y﹣3=0．方法二：由题设可知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x﹣1）﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去x，得ky2﹣8y﹣8k﹣8=0，易知，又y1+y2=﹣2所以，所以直线AB的方程是y=﹣4（x﹣1）﹣1，即4x+y﹣3=0．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=2，AB=2．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）求锐二面角D﹣A1C﹣E的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）连结AC1，交A1C于点O，连结DO，则O为AC1的中点，因为D为AB的中点，所以OD∥BC1，又因为OD⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD…（4分）（Ⅱ）由，可知AC⊥BC，以C为坐标原点，方向为x 轴正方向，方向为y轴正方向，方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系Cxyz，则D（1，1，0），E（0，2，1），A1（2，0，2），，，设是平面A1CD的法向量，则即可取．…（6分）同理，设是平面A1CE的法向量，则，可取．…（8分）从而…（10分）所以锐二面角D﹣A1C﹣E的余弦值为…（12分）20．（12分）在圆x2+y2=4上任取一点P，点P在x轴的正射影为点Q，当点P 在圆上运动时，动点M满足，动点M形成的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）点A（2，0）在曲线C上，过点（1，0）的直线l交曲线C于B，D两点，设直线AB斜率为k1，直线AD斜率为k2，求证：k1k2为定值．【解答】解：（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），则由题意知点P的坐标为（x，2y）因为P在圆O：x2+y2=4，所以x2+4y2=4故所求动点M的轨迹方程为．…（4分）（Ⅱ）方法一：由题意知直线l斜率不为0，设直线l方程为x=my+1，B（x1，y1），D（x2，y2）由消去x，得（m2+4）y2+2my﹣3=0，易知△=16m2+48＞0，得…（8分）=．所以为定值…（12分）方法二：（ⅰ）当直线l斜率不存在时，所以…（6分）（ⅱ）当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=k（x﹣1），B（x1，y1），D（x2，y2）由消去y，得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，易知△=48k2+16＞0，…（8分）=．所以为定值…（12分）21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，，PD⊥AD，PD⊥DC．（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；（Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵PD⊥AD，PD⊥CDAD∩CD=D，AD⊂平面ABCDCD⊂平面ABCD∴PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD∴PD⊥BC…（2分）又∴又∴，∠ADB=90°，AD⊥BD，又AD∥BC∴BC⊥BD…（4分）又∵PD∩BD=D，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD∴BC⊥平面PBD而BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD…（6分）解：（Ⅱ）由（Ⅰ）所证，BC⊥平面PBD∴∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，即∠PBD=而，所以PD=1…（8分）分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则A（1，0，0），，，P（0，0，1）∴，=（﹣1，0，0），，设平面PBC的法向量为，则，即，取y=1，得…（10分）∴AP与平面PBC所成角的正弦值为：．…（12分）22．（12分）设函数f（x）=x2e x．（1）求曲线f（x）在点（1，e）处的切线方程；（2）若f（x）＜ax对x∈（﹣∞，0）恒成立，求a的取值范围；（3）求整数n的值，使函数F（x）=f（x）﹣在区间（n，n+1）上有零点．【解答】解：（1）f'（x）=（x2+2x）e x，∴f'（1）=3e，∴所求切线方程为y﹣e=3e（x﹣1），即y=3ex﹣2e；（2）∵f（x）＜ax，对x∈（﹣∞，0）恒成立，∴，设g（x）=xe x，g'（x）=（x+1）e x，令g'（x）＞0，得x＞﹣1，令g'（x）＜0得x＜﹣1，∴g（x）在（﹣∞，﹣1）上递减，在（﹣1，0）上递增，∴，∴；（3）令F（x）=0，得，当x＜0时，，∴F（x）的零点在（0，+∞）上，令f'（x）＞0，得x＞0或x＜﹣2，∴f（x）在（0，+∞）上递增，又在（0，+∞）上递减，∴方程仅有一解x0，且x0∈（n，n+1），n∈Z，∵，∴由零点存在的条件可得，则n=0．。
高二第一学期数学(理)期末试卷及答案5套
高二第一学期数学（理）期末试卷及答案5套（时间：120分钟 总分：150分，交答题纸）第Ⅰ卷（12题：共60分）一、选择题（包括12小题，每小题5分，共60分） 1.某高中有学生1 000人，其中一、二、三年级的人数比为4∶3∶1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ） A ．100 B ．40 C ．75 D ．252.某市进行一次高三教学质量抽样检测,考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布.已知数学成绩平均分为90分,60分以下的人数占10%,则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为 （ ） A.40%B.30%C.20%D. 10%3.对于空间的两条直线n m ,和一个平面α，下列命题中的真命题是 （ ） A.n m n m //,////则，若αα B.n m n m //,则，若αα⊥⊥ C.n m n m //,//则，若αα⊥ D.n m n m //,//则，若αα⊂4.根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为930，下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为830，则在吹东风的条件下下雨的概率为 （ ）A.911B.811C.89D.255.甲、乙两名学生六次数学测验成绩如右图所示。
①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数； ②甲同学的平均分比乙同学的平均分高； ③甲同学的平均分比乙同学的平均分低； ④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差。
上面说法正确的是（ ）A.②④B.①②④C.③④D.①③ 6.下图是把二进制数11111(2)化成十进制数的一个程序框图， 则判断框内应填入的条件是( )A.?5>iB.?4≤iC.?4>iD.?5≤i7．在4次独立重复试验中,事件A 发生的概率相同,若事件A 至少发生1次的概率为8165,则事件A 在1次试验中发生的概率为( ) A.32 B.31 C.95 D.94 8.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点与圆01022=-+x y x 的圆心重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为（ ）A.120522=-y x B.1202522=-y x C.152022=-y x D.1252022=-y x 9.设A 为定圆C 圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，求弦长超过半径2倍的概率（ ） A.34B. 35C.13D.1210.命题“设R b a ∈,，若6≠+b a ，则3≠a 或3≠b ”是一个真命题； 若“q p ∨”为真命题，则q p ,均为真命题；命题“)1(2,,22--≥+∈∀b a b a R b a ”的否定是“)1(2,,22--≤+∈∃b a b a R b a ”； ④“)(2Z k k ∈+=ππϕ”是函数)2sin(ϕ+=x y 为偶函数的充要条件。
人教版高二上学期期末数学理科试卷(有答案)【真题】
甘肃省武威高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（12小题，每小题5分，共60分，请将答案涂在机读答题卡）1．（5分）下列特称命题中，假命题是（）A．∃x∈R，x2﹣2x﹣3=0B．至少有一个x∈Z，x能被2和3整除C．存在两个相交平面垂直于同一直线D．∃x∈{x|x是无理数}，使x2是有理数2．（5分）椭圆+=1和+=1（a2＞b2＞k2）的关系是（）A．有相同的长、短轴B．有相同的离心率C．有相同的准线D．有相同的焦点3．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（0，σ2），若P（X＞2）=0.023，则P（﹣2≤X≤2）等于（）A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.9774．（5分）命题p：若a、b∈R，则|a|+|b|＞1是|a+b|＞1的充分而不必要条件；命题q：函数y=的定义域是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），则（）A．“p或q”为假B．“p且q”为真C．p真q假D．p假q真5．（5分）已知随机变量ξ的分布列为A．B． C． D．6．（5分）用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第（）个数．A．6 B．9 C．10 D．87．（5分）设M是椭圆上的一点，F1，F2为焦点，∠F1MF2=，则△MF1F2的面积为（）A．B．C．D．168．（5分）已知随机变量ξ～B（n，p），且Eξ=2.4，Dξ=1.44，则n，p值为（）A ．8，0.3B ．6，0.4C ．12，0.2D ．5，0.6 9．（5分）（2x +）4=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4，则（a 0+a 2+a 4）2﹣（a 1+a 3）2的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．0D ．210．（5分）给出如下几个结论：①命题“∃x ∈R ，sinx +cosx=2”的否定是“∃x ∈R ，sinx +cosx ≠2”；②命题“∀x ∈R ，sinx +≥2”的否定是“∃x ∈R ，sinx +＜2”；③对于∀x ∈（0，），tanx +≥2；④∃x ∈R ，使sinx +cosx=．其中正确的为（ ） A ．③ B ．③④C ．②③④D ．①②③④11．（5分）从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（ ） A ．108种 B ．186种 C ．216种 D ．270种12．（5分）已知a 、b 、c 为集合A={1，2，3，4，5，6}中三个不同的数，通过如图框图给出的一个算法输出一个整数a ，则输出的数a=5的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．二．填空题（每空5分，共20分）13．（5分）已知命题p ：∀x ∈[0，1]，a ≥e x ，命题q ：“∃x ∈R ，x 2+4x +a=0”，若命题“p ∧q”是真命题，则实数a 的取值范围是 ．14．（5分）在平面直角坐标系中，点B 与点A （﹣1，1）关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于，则动点P的轨迹方程．15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．16．（5分）给出下列四个命题：①命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题为假命题；②命题p：∀x∈R，sinx≤1．则￢p：∃x0∈R，使sinx0＞1；③“φ=+kπ（k∈Z）”是“函数y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；④命题p：“∃x0∈R，使sinx0+cosx0=”；命题q：“若sinα＞sinβ，则α＞β”，那么（￢p）∧q 为真命题．其中正确的序号是．三、解答题17．（10分）已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知（+）n展开式中偶数项二项式系数和比（a+b）2n展开式中奇数项二项式系数和小120，求：（1）（+）n展开式中第三项的系数；（2）（a+b）2n展开式的中间项．19．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）经过点A（0，4），离心率为；（1）求椭圆C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．20．（12分）已知p：x2+mx+1=0有两个不等的负根，q：4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，若“p 或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．21．（12分）“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤Q≤80时，为酒后驾车；当Q＞80时，为醉酒驾车．某市交通管理部门于某天晚上8点至11点设点进行一次拦查行动，共依法查出了60名饮酒后违法驾驶机动车者，如图为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图（其中Q ≥140的人数计入120≤Q＜140人数之内）．（1）求此次拦查中醉酒驾车的人数；（2）从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究，再从抽取的8人中任取3人，求3人中含有醉酒驾车人数X的分布列和数学期望．22．（12分）现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．甘肃省武威高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（12小题，每小题5分，共60分，请将答案涂在机读答题卡）1．（5分）下列特称命题中，假命题是（）A．∃x∈R，x2﹣2x﹣3=0B．至少有一个x∈Z，x能被2和3整除C．存在两个相交平面垂直于同一直线D．∃x∈{x|x是无理数}，使x2是有理数【解答】解：对于A：当x=﹣1时，x2﹣2x﹣3=0，故A为真命题；对于B：当x=6时，符合题目要求，为真命题；对于C假命题，垂直于同意直线的两个平面平行；对于D：x=时，x2=3，故D为真命题．故选C2．（5分）椭圆+=1和+=1（a2＞b2＞k2）的关系是（）A．有相同的长、短轴B．有相同的离心率C．有相同的准线D．有相同的焦点【解答】解：椭圆+=1的焦点坐标（，0）和+=1（a2＞b2＞k2）的焦点坐标（，0），故选：D．3．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（0，σ2），若P（X＞2）=0.023，则P（﹣2≤X≤2）等于（）A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977【解答】解：∵随机变量X服从标准正态分布N（0，σ2），∴正态曲线关于X=0对称，∵P（X＞2）=0.023，∴P（﹣2≤X≤2）=1﹣2×0.023=0.954，故选：C．4．（5分）命题p：若a、b∈R，则|a|+|b|＞1是|a+b|＞1的充分而不必要条件；命题q：函数y=的定义域是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），则（）A．“p或q”为假B．“p且q”为真C．p真q假D．p假q真【解答】解：∵|a+b|≤|a|+|b|，若|a|+|b|＞1，不能推出|a+b|＞1，而|a+b|＞1，一定有|a|+|b|＞1，故命题p为假．又由函数y=的定义域为|x﹣1|﹣2≥0，即|x﹣1|≥2，即x﹣1≥2或x﹣1≤﹣2．故有x∈（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．∴q为真命题．故选D．5．（5分）已知随机变量ξ的分布列为A．B． C． D．【解答】解：Eξ=1×+2×+3×+4×=，Dξ=×（1﹣）2+×（2﹣）2+×（3﹣）2+×（4﹣）2=，故选：C．6．（5分）用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第（）个数．A．6 B．9 C．10 D．8【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，首位是1，第二位是0，则后三位可以用剩下的数字全排列，共有A33=6个，前两位是12，第三位是0，后两位可以用余下的两个数字进行全排列．共有A22=2种结果，前三位是123．第四位是0，最后一位是4，只有1种结果，∴数字12340前面有6+2+1=9个数字，数字本身就是第十个数字，故选C．7．（5分）设M是椭圆上的一点，F1，F2为焦点，∠F1MF2=，则△MF1F2的面积为（）A．B．C．D．16【解答】解：∵椭圆方程为上的一点，F1，F2为焦点，∠F1MF2=，∴a2=25，b2=16，可得c2=a2﹣b2=9，即a=5，c=3，设|PF1|=m，|PF2|=n，则有m+n=10，∵∠F1MF2=，∴36=m2+n2﹣2mncos∵（m+n）2=m2+n2+2mn，∴mn=，∴|PF1|•|PF2|=．∴△PF1F2的面积S=|PF1|•|PF2|sin=••=16（2﹣）．故选：C．8．（5分）已知随机变量ξ～B（n，p），且Eξ=2.4，Dξ=1.44，则n，p值为（）A．8，0.3 B．6，0.4 C．12，0.2 D．5，0.6【解答】解：∵ξ服从二项分布B～（n，p）由Eξ=2.4=np，Dξ=1.44=np（1﹣p），可得1﹣p==0.6，∴p=0.4，n==6．故选：B．9．（5分）（2x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．2【解答】解：令x=1，则a0+a1+…+a4=，令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣a3+a4=．所以，（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2=（a0+a1+…+a4）（a0﹣a1+a2﹣a3+a4）==1故选A10．（5分）给出如下几个结论：①命题“∃x∈R，sinx+cosx=2”的否定是“∃x∈R，sinx+cosx≠2”；②命题“∀x∈R，sinx+≥2”的否定是“∃x∈R，sinx+＜2”；③对于∀x∈（0，），tanx+≥2；④∃x∈R，使sinx+cosx=．其中正确的为（）A．③B．③④C．②③④D．①②③④【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，可知①不正确；②正确；由基本不等式可知③正确；由sinx+cosx=sin（x+）∈[﹣，]，可知④正确；故选C．11．（5分）从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（）A．108种B．186种C．216种D．270种【解答】解：从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，有A73种选法，其中只选派男生的方案数为A43，分析可得，“这3人中至少有1名女生”与“只选派男生”为对立事件，则这3人中至少有1名女生等于从全部方案中减去只选派男生的方案数，即合理的选派方案共有A73﹣A43=186种，故选B．12．（5分）已知a、b、c为集合A={1，2，3，4，5，6}中三个不同的数，通过如图框图给出的一个算法输出一个整数a，则输出的数a=5的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：根据框图判断，本框图输出的a为输入的三个数a，b，c中的最大值最大值是3的情况，输入的三个数为1，2，3 1种情况最大值是4的情况，输入的三个数为1，2，3里两个以及4 3种情况最大值是5的情况，输入的三个数为1，2，3，4里两个数以及5 6种情况最大值是6的情况，输入的三个数为1，2，3，4，5里两个数及6 10种情况a=5的概率P==故选：A二．填空题（每空5分，共20分）13．（5分）已知命题p：∀x∈[0，1]，a≥e x，命题q：“∃x∈R，x2+4x+a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是e≤a≤4．【解答】解：对于命题p：∀x∈[0，1]，a≥e x，∴a≥（e x）max，x∈[0，1]，∵e x在x∈[0，1]上单调递增，∴当x=1时，e x取得最大值e，∴a≥e．对于命题q：∃x∈R，x2+4x+a=0，∴△=42﹣4a≥0，解得a≤4．若命题“p∧q”是真命题，则p与q都是真命题，∴e≤a≤4．故答案为：e≤a≤4．14．（5分）在平面直角坐标系中，点B与点A（﹣1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于，则动点P的轨迹方程x2+3y2=4，（x≠±1）．【解答】解：∵点B与A（﹣1，1）关于原点O对称，∴点B的坐标为（1，﹣1）．设点P的坐标为（x，y），∵直线AP与BP的斜率之积等于﹣，∴=﹣，（x≠±1）．化简得x2+3y2=4（x≠±1）．故动点P轨迹方程为：x2+3y2=4（x≠±1）．故答案为：x2+3y2=4（x≠±1）．15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．【解答】解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（1000，502）得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为设A={超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B={超过1000小时时，元件3正常}C={该部件的使用寿命超过1000小时}则P（A）=，P（B）=P（C）=P（AB）=P（A）P（B）=×=故答案为16．（5分）给出下列四个命题：①命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题为假命题；②命题p：∀x∈R，sinx≤1．则￢p：∃x0∈R，使sinx0＞1；③“φ=+kπ（k∈Z）”是“函数y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；④命题p：“∃x0∈R，使sinx0+cosx0=”；命题q：“若sinα＞sinβ，则α＞β”，那么（￢p）∧q 为真命题．其中正确的序号是②③．【解答】解：①命题“若α=，则tanα=1”为真命题，由互为逆否命题的等价性可知，其逆否命题是真命题，故①错；②命题p：∀x∈R，sinx≤1．则￢p：∃x0∈R，使sinx0＞1，故②对；③函数y=sin（2x+φ）为偶函数，由诱导公式可知，φ=+kπ（k∈Z），反之成立，故③对；④由于sinx+cosx=sin（x）≤，故命题p为假命题，比如α=﹣300°，β=30°，满足sinα＞sinβ，但α＜β，故命题q为假命题．则（￢p）∧q为假命题，故④错．故答案为：②③三、解答题17．（10分）已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【解答】解：由||=，得|x﹣4|≤6，即﹣6≤x﹣4≤6，∴﹣2≤x≤10，即p：﹣2≤x≤10，由x2+2x+1﹣m2≤0得[x+（1﹣m）][x+（1+m）]≤0，即1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∴q：1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．即，且等号不能同时取，∴，解得m ≥9．18．（12分）已知（+）n 展开式中偶数项二项式系数和比（a +b ）2n 展开式中奇数项二项式系数和小120，求：（1）（+）n 展开式中第三项的系数；（2）（a +b ）2n 展开式的中间项．【解答】解：（1）由题意可得2n ﹣1+120=22n ﹣1，故有 （2n ﹣16）（2n +15）=0，故2n =16，解得 n=4．故（+）n 展开式中第三项为 T 3=•=．（2）（a +b ）2n 即（a +b ）8，它的开式的中间项为T 5=•a 4•b 4=70a 4b 4．19．（12分）已知椭圆=1（a ＞b ＞0）经过点A （0，4），离心率为；（1）求椭圆C 的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C 所截线段的中点坐标．【解答】解：（1）由椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）过点A （0，4），则b=4，椭圆离心率为e===，则a=5，∴C 的方程为+=1；（2）过点（3，0）且斜率为的直线方程为y=（x ﹣3），设直线与C 的交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将直线方程y=（x ﹣3）代入C 的方程，得x 2﹣3x ﹣8=0，解得：x 1=，x 2=，∴AB 的中点M （x 0，y 0）坐标x 0==，y0==（x1+x1﹣6）=﹣，即中点为（，﹣）．20．（12分）已知p：x2+mx+1=0有两个不等的负根，q：4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，若“p 或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．【解答】解：当p为真命题时，，∴m＞2．当q为真命题时，△=42（m﹣2）2﹣16＜0，∴1＜m＜3．若“p或q”为真，“p且q”为假，则p、q一真一假，即，p真q假或p假q真，①若p真q假，∴，∴m≥3．②若p假q真，∴，∴1＜m≤2．综上m的取值范围是（1，2]∪[3，+∞）．21．（12分）“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤Q≤80时，为酒后驾车；当Q＞80时，为醉酒驾车．某市交通管理部门于某天晚上8点至11点设点进行一次拦查行动，共依法查出了60名饮酒后违法驾驶机动车者，如图为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图（其中Q ≥140的人数计入120≤Q＜140人数之内）．（1）求此次拦查中醉酒驾车的人数；（2）从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究，再从抽取的8人中任取3人，求3人中含有醉酒驾车人数X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由已知得，（0.003 2+0.004 3+0.005 0）×20=0.25，0.25×60=15，所以此次拦查中醉酒驾车的人数为15人．（2）易知利用分层抽样抽取8人中含有醉酒驾车者为2人，所以X的所有可能取值为0，1，2．P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，X的分布列为E（X）=0×+1×+2×=．22．（12分）现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．【解答】解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件A i（i=0，1，2，3，4），∴P（A i）=（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P（A2）=；（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则B=A3∪A4，∴P（B）=P（A3）+P（A4）=（3）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P（ξ=0）=P（A2）=P（ξ=2）=P（A1）+P（A3）=，P（ξ=4）=P（A0）+P（A4）=∴ξ的分布列是数学期望Eξ=。
2021年高二上学期期末考试数学理科试题 含答案
2021年高二上学期期末考试数学理科试题含答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、抛物线的焦点坐标为（）Ａ．（１，0）Ｂ．（，0）Ｃ．（）Ｄ．（）2、某学校共有老、中、青教职工215人,其中青年教职工80人，中年教职工人抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工16人，则该样本中的老年教职工人数为( )A．6 B．8 C．9 D．123、命题“，都有成立”的否定为 ( )A．，使成立 B．，使成立C．，都有成立 D．，都有成立4、阅读程序框图1，则该程序运行后输出的的值是( )A．3 B．4 C．5 D．65．某学校举办校园演讲大赛，下图为七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，要求去掉一个最高分和一个最低分后，求出所剩数据的平均数和方差为( )A．84,4.84 B．84,1.6 C．85,4 D．85,1.66．国家物价部门在2015年11月11日那天，对某商品在网上五大购物平台的一天销售量及，则＝( )A．24 B．35.6 C．40 D．40.57、已知椭圆与双曲线共同焦点，它们的离心率之和为，则此椭圆方程为（）A． B．C． D．。
8、某科技研究所对一批新研发的产品长度进行检测（单位：），下图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为（ ）（A ）20 （B ）22.5 （C ）22.75 （D ）259、 从所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线）方程中任取一个，则此方程是焦点在轴上的双曲线方程的概率是（ ）(A) (B) (C) (D) 10、已知Ｐ是抛物线上的一个动点，则点Ｐ到直线和的距离之和的最小值是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 11、已知正方体-，则与平面所成角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ． 12、若点和点分别是双曲线的中心和右焦点,为右顶点，点为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为 ( )A ．B ．C ．D ．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
【高二】2021年高二数学理科上学期期末试题(有答案)
【高二】2021年高二数学理科上学期期末试题（有答案）命题人：高二数学备课组(考试时间：2021年1月15日)满分：100分(必考试卷Ⅰ)50分(必考试卷Ⅱ)时量：120分钟得分：必考试卷Ⅰ一、：本大题共7小题，每小题5分，共35分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数i＋i2在复平面内表示的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设x∈R，则x>e的一个必要不充分条件是A.x>1B.x<1C.x>3D.x<33.若f(x)＝2cos α－sin x，则f′(α)等于A.－sin αB.－cos αC.－2sin α－cos αD.－3cos α4.下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是①z1，z2不能比较大小；②虚数不能比较大小；③z1，z2是虚数.A.①②③B.②①③C.②③①D.③②①5.若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,1)，a与b的夹角为60°，则λ的值为A.17或－1B.－17或1C.－1D.16.设F1，F2是椭圆＋＝1(a>5)的两个焦点，且F1F2＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为A.10B.20C.2D.47.对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－2)f′(x)≤0，则必有A.f(－3)＋f(3)<2f(2)B.f(－3)＋f(7)>2f(2)C.f(－3)＋f(3)≤2f(2)D.f(－3)＋f(7)≥2f(2)二、题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.8.复数10的值是.9.用反证法证明命题：“若x，y>0，且x＋y>2，则，中至少有一个小于2”时，假设的内容应为.10.已知等差数列{an}中，有＝成立.类似地，在等比数列{bn}中，有成立.11.曲线y＝sin x在[0，π]上与x轴所围成的平面图形的面积为.12.已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则c的值为.13.正整数按下列方法分组：{1}，{2,3,4}，{5,6,7,8,9}，{10,11,12,13,14,15,16}，…，记第n组中各数之和为An；由自然数的立方构成下列数组：{03,13}，{13,23}，{23,33}，{33,43}，…，记第n组中后一个数与前一个数的差为Bn，则An＋Bn＝.三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.14.(本小题满分11分)已知函数f(x)＝ax3＋(a－1)x2＋27(a－2)x＋b的图象关于原点成中心对称，试判断f(x)在区间[－4，5]上的单调性，并求出f(x)在区间[－4，5]上的最值.15.(本小题满分12分)已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1.(1)写出a1，a2，a3，并推测an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论.16.(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，且AC＝AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，E，F分别是BC，PC的中点.(1)证明：AE⊥PD；(2)若H为PD上一点，且AH⊥PD，EH与平面PAD所成角的正切值为，求二面角E－AF －C的余弦值.必考试卷Ⅱ一、：本大题共1个小题，每小题5分，满分5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.定义在R上的函数f(x)的导函数f′(x)的图像如图，若两个正数a，b满足f(2a＋b)<1，且f(4)＝1，则的取值范围是A.B.∪(5，＋∞)C.(－∞，3)D.二、题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.2.设函数f(x)＝x(x＋k)(x＋2k)(x－3k)，且f′(0)＝6，则k＝.三、解答题：本大题共3小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.3.(本小题满分13分)某电视生产企业有A、B两种型号的电视机参加家电下乡活动，若企业投放A、B两种型号电视机的价值分别为a、b万元，则农民购买电视机获得的补贴分别为a、ln(b＋1)万元(＞0且为常数).已知该企业投放总价值为10万元的A、B两种型号的电视机，且A、B 两种型号的投放金额都不低于1万元.(1)请你选择自变量，将这次活动中农民得到的总补贴表示为它的函数，并求其定义域；(2)求当投放B型电视机的金额为多少万元时，农民得到的总补贴最大？4.(本小题满分13分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：(x＋2)2＋y2＝r2(r>0)，设圆T与椭圆C交于点与点N.(1)求椭圆C的方程；(2)求?的最小值，并求此时圆T的方程；(3)设点P是椭圆C上异于，N的任意一点，且直线P，NP分别与x轴交于点R，S，O 为坐标原点，求证：?为定值.5.(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ex，x∈R.(1)若直线y＝kx＋1与f(x)的反函数的图象相切，求实数k的值；(2)设x>0，讨论曲线y＝与直线y＝(>0)公共点的个数；(3)设函数h满足x2h′(x)＋2xh(x)＝，h(2)＝，试比较h(e)与的大小.湖南师大附中2021届高二第一学期期末考试试题数学(理科)参考答案必考试卷Ⅰ又∵函数f(x)在[－4,5]上连续.∴f(x)在(－3,3)上是单调递减函数，在(－4，－3)和(3,5)上是单调递增函数.(9分)∴f(x)的最大值是54，f(x)的最小值是－54.(11分)15.解：(1)a1＝，a2＝，a3＝，….猜测an＝2－(5分)(2)①由(1)已得当n＝1时，命题成立；(7分)②假设n＝k时，命题成立，即ak＝2－，(8分)当n＝k＋1时，a1＋a2＋……＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1，且a1＋a2＋……＋ak＝2k＋1－ak∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3，∴2ak＋1＝2＋2－，ak＋1＝2－，即当n＝k＋1时，命题成立.(11分)根据①②得n∈N＋时，an＝2－都成立.(12分)16.(1)证明：由AC＝AB＝BC，可得△ABC为正三角形.因为E为BC的中点，所以AE⊥BC.又BC∥AD，因此AE⊥AD.因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE.而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD且PA∩AD＝A，所以AE⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，所以AE⊥PD.(5分)(2)解：因为AH⊥PD，由(1)知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.在Rt△EAH中，AE＝，此时tan∠EHA＝＝＝，在Rt△AOE中，EO＝AE?sin 30°＝，AO＝AE?cos 30°＝，又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO＝AO?sin 45°＝，又SE＝＝＝，在Rt△ESO中，cos∠ESO＝＝＝，即所求二面角的余弦值为.(12分)解法二：由(1)知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E，F分别为BC，PC的中点，所以A(0,0,0)，B(，－1,0)，C(，1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(，0,0)，F，所以＝(，0,0)，＝.所以cos〈，〉＝＝＝.因为二面角E－AF－C为锐角，所以所求二面角的余弦值为.(12分)必考试卷Ⅱ一、选择题1.D 【解析】由图像可知f(x)在(－∞，0)递减，在(0，＋∞)递增，所以f(2a＋b)<1即2a＋b<4，原题等价于，求的取值范围.画出不等式组表示的可行区域，利用直线斜率的意义可得∈.二、填空题2.－1 【解析】思路分析：按导数乘积运算法则先求导，然后由已知条件构造关于k 的方程求解.f′(x)＝(x＋k)(x＋2k)(x－3k)＋x(x＋2k)(x－3k)＋x(x＋k)(x－3k)＋x(x＋k)(x＋2k)故f′(0)＝－6k3，又f′(0)＝6，故k＝－1.三、解答题3.解：(1)设投放B型电视机的金额为x万元，则投放A型电视机的金额为(10－x)万元，农民得到的总补贴f(x)＝(10－x)＋ln(x＋1)＝ln(x＋1)－＋1，(1≤x≤9).(5分)(没有指明x范围的扣1分)(2)f′(x)＝－＝＝，令y′＝0，得x＝10－1(8分)1°若10－1≤1即0＜≤，则f(x)在[1,9]为减函数，当x＝1时，f(x)有最大值；新课标第一网2°若1＜10－1＜9即<<1，则f(x)在[1,10－1)是增函数，在(10－1,9]是减函数，当x＝10－1时，f(x)有最大值；3°若10－1≥9即≥1，则f(x)在[1,9]是增函数，当x＝9时，f(x)有最大值.因此，当0＜≤时，投放B型电视机1万元，农民得到的总补贴最大.当<<1时，投放B型电视机(10－1)万元，农民得到的总补贴最大；当≥1时，投放B型电视机9万元，农民得到的总补贴最大.(13分)4.解：(1)依题意，得a＝2，e＝＝，∴c＝，b＝＝1；故椭圆C的方程为＋y2＝1.(3分)(2)方法一：点与点N关于x轴对称，设(x1，y1)，N(x1，－y1)，不妨设y1>0.由于点在椭圆C上，所以y＝1－.(*)(4分)由已知T(－2,0)，则＝(x1＋2，y1)，＝(x1＋2，－y1)，∴?＝(x1＋2，y1)?(x1＋2，－y1)＝(x1＋2)2－y＝(x1＋2)2－＝x＋4x1＋3方法二：点与点N关于x轴对称，故设(2cos θ，sin θ)，N(2cos θ，－sin θ)，不妨设sin θ>0，由已知T(－2,0)，则?＝(2cos θ＋2，sin θ)?(2cos θ＋2，－sin θ)＝(2cos θ＋2)2－sin2θ＝5cos2θ＋8cos θ＋3＝52－.(6分)故当cos θ＝－时，?取得最小值为－，此时，又点在圆T上，代入圆的方程得到r2＝.故圆T的方程为：(x＋2)2＋y2＝.(8分)(3)方法一：设P(x0，y0)，则直线P的方程为：y－y0＝(x－x0)，令y＝0，得xR＝，同理：xS＝，(10分)故xR?xS＝(**)(11分)又点与点P在椭圆上，故x＝4(1－y)，x＝4(1－y)，(12分)代入(**)式，得：xR?xS＝＝＝4.所以?＝?＝＝4为定值.(13分)方法二：设(2cos θ，sin θ)，N(2cos θ，－sin θ)，不妨设sin θ>0，P(2cos α，sin α)，其中sin α≠±sin θ.则直线P的方程为：y－sin α＝(x－2cos α)，令y＝0，得xR＝，同理：xS＝，(12分)故xR?xS＝＝＝4.所以?＝?＝＝4为定值.(13分)5.解：(1)f的反函数g(x)＝ln x.设直线y＝kx＋1与g(x)＝ln x相切于点P(x0，y0)，则⇒x0＝e2，k＝e－2.所以k＝e－2.(3分)(2)当x>0，>0时，曲线y＝f(x)与曲线y＝x2(>0)的公共点个数即方程f(x)＝x2根的个数.由f(x)＝x2⇒＝，令v(x)＝⇒v′(x)＝，则v(x)在(0,2)上单调递减，这时v(x)∈(v(2)，＋∞)；v(x)在(2，＋∞)上单调递增，这时v(x)∈(v(2)，＋∞).v(2)＝. v(2)是y＝v(x)的极小值，也是最小值.(5分)所以对曲线y＝f(x)与曲线y＝x2(>0)公共点的个数，讨论如下：当∈时，有0个公共点；当＝时，有1个公共点；当∈时有2个公共点；(8分)(3)令F(x)＝x2h(x)，则F′(x)＝x2h′(x)＋2xh＝所以h＝，故h′＝＝＝令G(x)＝ex－2F(x)，则G′(x)＝ex－2F′(x)＝ex－2?＝显然，当0<x<2时，G′(x)<0，G(x)单调递减；当x>2时，G′(x)>0，G(x)单调递增；所以，在(0，＋∞)范围内，G(x)在x＝2处取得最小值G(2)＝0.即x>0时，ex－2F(x)≥0.故在(0，＋∞)内，h′(x)≥0，所以h(x)在(0，＋∞)单调递增，又因为h(2)＝＝>，h(2)<h(e)所以h(e)>.(14分)感谢您的阅读，祝您生活愉快。
人教版高二(上)期末数学试卷(理科)(有解析)
人教版高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）“x＞2”是“x＞3”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是（）A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数3．（5分）设a，b，c都是实数．已知命题p：若a＞b，则a+c＞b+c；命题q：若a＞b＞0，则ac＞bc．则下列命题中为真命题的是（）A．（¬p）∨q B．p∧q C．（¬p）∧（¬q）D．（¬p）∨（¬q）4．（5分）双曲线=﹣1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．（5分）椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）A．B．C．2 D．46．（5分）已知M（﹣2，0），N（2，0），|PM|﹣|PN|=4，则动点P的轨迹是（）A．一条射线B．双曲线C．双曲线左支D．双曲线右支7．（5分）若方程Ax2+By2=1表示焦点在y轴上的双曲线，则A、B满足的条件是（）A．A＞0，且B＞0 B．A＞0，且B＜0 C．A＜0，且B＞0 D．A＜0，且B＜08．（5分）在等比数列{a n}，a3=2，a7=32，则q=（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．49．（5分）方程2x2﹣5x+2=0的两个根可分别作为的离心率．（）A．椭圆和双曲线B．两条抛物线C．椭圆和抛物线D．两个椭圆10．（5分）已知a＜b＜0，则下列式子中恒成立的是（）A．B．C．a2＜b2D．11．（5分）不等式x2﹣ax﹣b＜0的解为2＜x＜3，则a，b值分别为（）A．a=2，b=3 B．a=﹣2，b=3 C．a=5，b=﹣6 D．a=﹣5，b=612．（5分）已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量与的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°二．空题（4×5=20）．13．（5分）抛物线y=4x2的焦点坐标是．14．（5分）14．已知=（1，2，﹣2），=（1，0，﹣1），求（﹣2））=．15．（5分）在△ABC中，若c2=a2+b2+ab，则∠C=．16．（5分）已知双曲线的一个焦点为F（0，2），则m=．三、解答题（共5小题，满分70分）17．（12分）已知平面π1的法向量为=（1，2，3）平面π2的法向量为=（﹣1，0，2）求两个平面夹角的余弦值．18．（12分）写出适合条件的双曲线的标准方程：（1）a=3，b=4焦点在x轴上；（2）焦点为（0，5），（0，﹣5）经过点（2，）．19．（16分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B．（1）求椭圆的方程；（2）求m的取值范围．20．（16分）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．21．（14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC．（1）求角B的大小；（2）当a=3，c=2时，求△ABC的面积．人教版高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）“x＞2”是“x＞3”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当x=时，满足x＞2，但x＞3不成立，即充分性不成立，若x＞3，则x＞2，即必要性成立，则“x＞2”是“x＞3”的必要不充分条件，故选：B．2．（5分）命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是（）A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数【解答】解：命题“所有能被2整除的数都是偶数”是一个全称命题其否定一定是一个特称命题，故排除A，B结合全称命题的否定方法，我们易得命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定应为“存在一个能被2整除的整数不是偶数”故选：D3．（5分）设a，b，c都是实数．已知命题p：若a＞b，则a+c＞b+c；命题q：若a＞b＞0，则ac＞bc．则下列命题中为真命题的是（）A．（¬p）∨q B．p∧q C．（¬p）∧（¬q）D．（¬p）∨（¬q）【解答】解：∵命题p：若a＞b，则a+c＞b+c是真命题，则￢p为假命题，命题q：若a＞b＞0，则ac＞bc是假命题，￢q是真命题，∴（¬p）∨q为假命题，p∧q为假命题，（¬p）∧（¬q）为假命题，（¬p）∨（¬q）为真命题故选：D．4．（5分）双曲线=﹣1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：化已知双曲线的方程为标准方程，可知焦点在y轴，且a=3，b=2，故渐近线方程为y==故选A5．（5分）椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）A．B．C．2 D．4【解答】解：椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，∴，故选A．6．（5分）已知M（﹣2，0），N（2，0），|PM|﹣|PN|=4，则动点P的轨迹是（）A．一条射线B．双曲线C．双曲线左支D．双曲线右支【解答】解：如果是双曲线，那么|PM|﹣|PN|=4=2aa=2而两个定点M（﹣2，0），N（2，0）为双曲线的焦点c=2而在双曲线中c＞a所以把后三个关于双曲线的答案全部排除，故选A．7．（5分）若方程Ax2+By2=1表示焦点在y轴上的双曲线，则A、B满足的条件是（）A．A＞0，且B＞0 B．A＞0，且B＜0 C．A＜0，且B＞0 D．A＜0，且B＜0【解答】解：方程Ax2+By2=1化成：，∵方程Ax2+By2=1表示焦点在y轴上的双曲线，∴即A＜0，且B＞0故选C．8．（5分）在等比数列{a n}，a3=2，a7=32，则q=（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．4【解答】解：设等比数列的公比为q，首项为a1则由题意可得两式相除可得，即q4=16∴q=±2故选C9．（5分）方程2x2﹣5x+2=0的两个根可分别作为的离心率．（）A．椭圆和双曲线B．两条抛物线C．椭圆和抛物线D．两个椭圆【解答】解：∵2x2﹣5x+2=0，∴解得方程的两个根为x1=2，x2=．∵x1=2∈（1，+∞），∴x1可作为双曲线的离心率；∵x2=∈（0，1），∴x2可作为椭圆的离心率．故选：A．10．（5分）已知a＜b＜0，则下列式子中恒成立的是（）A．B．C．a2＜b2D．【解答】解：∵a＜b＜0，不放令a=﹣3，b=﹣2，则﹣＞﹣，可排除A；（﹣3）2＞（﹣2）2，可排除C；=＞1，可排除D；而﹣＞﹣，即，B正确．故选B．11．（5分）不等式x2﹣ax﹣b＜0的解为2＜x＜3，则a，b值分别为（）A．a=2，b=3 B．a=﹣2，b=3 C．a=5，b=﹣6 D．a=﹣5，b=6【解答】解：[解法一]∵不等式x2﹣ax﹣b＜0的解为2＜x＜3，∴一元二次方程x2﹣ax﹣b=0的根为x1=2，x2=3，根据根与系数的关系可得：，所以a=5，b=﹣6；[解法二]∵不等式x2﹣ax﹣b＜0的解为2＜x＜3，∴不等式x2﹣ax﹣b＜0与（x﹣2）（x﹣3）＜0解集相同即x2﹣ax﹣b＜0与x2﹣5x+6＜0解集相同，所以==，可得a=5，b=﹣6故选C12．（5分）已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量与的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：因为A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），所以，所以═0×（﹣1）+3×1+3×0=3，并且||=3，||=，所以cos＜，＞==，∴的夹角为60°故选C．二．空题（4×5=20）．13．（5分）抛物线y=4x2的焦点坐标是．【解答】解：由题意可知∴p=∴焦点坐标为故答案为14．（5分）14．已知=（1，2，﹣2），=（1，0，﹣1），求（﹣2））=17．【解答】解：∵=（1，2，﹣2），=（1，0，﹣1），∴=（﹣1，2，0），=（3，4，﹣5），∴（﹣2））=﹣3+8+0=5．故答案为：5．15．（5分）在△ABC中，若c2=a2+b2+ab，则∠C=120°．【解答】解：∵c2=a2+b2+ab，可得：﹣ab=a2+b2﹣c2，∴cosC===﹣，∵∠C∈（0°，180°），∴∠C=120°．故答案为：120°．16．（5分）已知双曲线的一个焦点为F（0，2），则m=﹣1．【解答】解：∵双曲线上午一个焦点为（0，2）∴双曲线在y轴上则双曲线方程为：c=2∵c2=a2﹣b 2∴4=﹣3m+（﹣m）解得：m=﹣1故答案为﹣1．三、解答题（共5小题，满分70分）17．（12分）已知平面π1的法向量为=（1，2，3）平面π2的法向量为=（﹣1，0，2）求两个平面夹角的余弦值．【解答】解：∵平面π1的法向量为=（1，2，3）平面π2的法向量为=（﹣1，0，2），∴cos＜＞===．∴两个平面夹角的余弦值为．18．（12分）写出适合条件的双曲线的标准方程：（1）a=3，b=4焦点在x轴上；（2）焦点为（0，5），（0，﹣5）经过点（2，）．【解答】解：（1）根据题意，因为要求双曲线的焦点在x轴上，则可设双曲线的标准方程﹣=1，又因为a=3，b=4，所以其标准方程为﹣=1；（2）根据题意，因为双曲线的焦点为（0，5），（0，﹣5），所以双曲线的焦点在y轴上，又由双曲线经过点（2，），则有2a=|﹣|=6，则a=3，又由c=5，则b==4，则双曲线的标准方程为：﹣=1．19．（16分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B．（1）求椭圆的方程；（2）求m的取值范围．【解答】解：（1）由，得，∴a2=4b2，依题意设椭圆方程为：，把点（4，1）代入得b2=5，∴椭圆方程为；（2）联立，得5x2+8mx+4m2﹣20=0．由△=64m2﹣20（4m2﹣20）=400﹣16m2＞0，解得﹣5＜m＜5．∴m的取值范围是（﹣5，5）．20．（16分）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．【解答】证明：（1）∵E，F分别是AB，BD的中点．∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∵EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，∴直线EF∥面ACD；（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD又EF∩CF=F，∴BD⊥面EFC，∵BD⊂面BCD，∴面EFC⊥面BCD21．（14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC．（1）求角B的大小；（2）当a=3，c=2时，求△ABC的面积．【解答】.解：（1）（2a﹣c）cosB=bcosC．由正弦定理得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，即：2sinAcosB=sinA，在△ABC 中，cosB=，解得：B=．（2）直接利用已知条件：=．。
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高二上学期期末数学试卷（理科）
一、选择题
1. 抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上的概率是（）
A .
B .
C .
D .
2. 直线x+y﹣3=0的倾斜角为（）
A .
B .
C .
D .
3. 为研究两变量x和y的线性相关性，甲、乙两人分别做了研究，利用线性回归方法得到回归直线方程m和n，两人计算相同，也相同，则下列说法正确的是（）
A . m与n重合
B . m与n平行
C . m与n交于点（，）
D . 无法判定m与n是否相交
4. 一束光线从A（1，0）点处射到y轴上一点B（0，2）后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程是（）
A . x+2y﹣2=0
B . 2x﹣y+2=0
C . x﹣2y+2=0
D . 2x+y﹣2=0
5. 完成下列抽样调查，较为合理的抽样方法依次是（）
①从30件产品中抽取3件进行检查．
②某校高中三个年级共有2460人，其中高一890人、高二820人、高三810人，为了了解学生对数学的建议，拟抽取一个容量为300的样本；
③某剧场有28排，每排有32个座位，在一次报告中恰好坐满了听众，报告结束后，为了了解听众意见，需要请28名听众进行座谈．
A . ①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样
B . ①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样
C . ①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样
D . ①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样
6. 有四个游戏盒，将它们水平放稳后，在上面仍一粒玻璃珠，若玻璃珠落在阴影部分，则可中奖，则中奖机会大的游戏盘是（）
A .
B .
C .
D .
7. 以点（5，4）为圆心且与x轴相切的圆的方程是（）
A . （x﹣5）2+（y﹣4）2=16
B . （x+5）2+（y﹣4）2=16
C . （x﹣5）2+（y﹣4）2=25
D . （x+5）2+（y﹣4）2=25
8. 直线l1：（a+3）x+y﹣4=0与直线l2：x+（a﹣1）y+4=0垂直，则直线l1在x轴上的截距是（）
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
9. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近于圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的（四舍五入精确到小数点后两位）的值为（）（参考数据：sin15°=0.2588，sin75°=0.1305）
A . 3.10
B . 3.11
C . 3.12
D . 3.13
10. 某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为（）
A . 8万元
B . 10万元
C . 12万元
D . 15万
11. 从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）
A . 300
B . 216
C . 180
D . 162
12. 圆C1：（x﹣1）2+（y﹣3）2=9和C2：x2+（y﹣2）2=1，M，N分别是圆C1，C2上的点，P是直线y=﹣1上的点，则|PM|+|PN|的最小值是（）
A . 5 ﹣4
B . ﹣1
C . 6﹣2
D .
二、填空题
13. 在的展开式中，x6的系数是________．
14. 一批10件产品，其中有3件次品，7件正品，不放回抽取2次，若第一次抽到的是正品，则第二次抽到次品的概率________．
15. 已知点A（﹣2，3）、B（3，2），若直线l：y=kx﹣2与线段AB没有交点，则l的斜率k的取值范围是________．
16. 在无重复数字的五位数a1a2a3a4a5中，若a1＜a2，a2＞a3，a3＜a4，a4＞a5时称为波形数，如89674就是一个波形数，由1，2，3，4，5组成一个没有重复数字的五位数是波形数的概率是________．
三、解答题
17. 设（x+2）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn（n∈N*，n≥2），且a0，a1，a2成等差数列．
（1）求（x+2）n展开式的中间项；
（2）求（x+2）n展开式所有含x奇次幂的系数和．
18. 已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求：
（1）顶点C的坐标；
（2）直线BC的方程．
19. 为了考查培育的某种植物的生长情况，从试验田中随机抽取100柱该植物进行检测，得到该植物高度的频数分布表如下：
组序
高度区间
频数
1 [230，235）14
0.14
2 [235，240）①
0.26
3 [240，245）②
0.20
4 [245，250）30
③
5 [250，255）10
④
合计
100
（Ⅰ）写出表中①②③④处的数据；
（Ⅱ）用分层抽样法从第3、4、5组中抽取一个容量为6的样本，则各组应分别抽取多少个个体？
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，从抽出的容量为6的样本中随机选取两个个体进行进一步分析，求这两个个体中至少有一个来自第3组的概率．
20. 某工厂组织工人技能培训，其中甲、乙两名技工在培训时进行的5次技能测试中的成绩如图茎叶图所示．
（Ⅰ）现要从中选派一人参加技能大赛，从这两名技工的测试成绩分析，派谁参加更合适；
（Ⅱ）若将频率视为概率，对选派参加技能大赛的技工在今后三次技能大赛的成绩进行预测，记这三次成绩中高于85分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
21. 已知圆O的方程为x2+y2=5．
（1）P是直线y= x﹣5上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，求证：直线CD过定点；
（2）若EF、GH为圆O的两条互相垂直的弦，垂足为M（1，1），求四边形EGFH 面积的最大值．
22. 已知方程（m2﹣2m﹣3）x+（2m2+m﹣1）y+5﹣2m=0（m∈R）．
（1）求方程表示一条直线的条件；
（2）当m为何值时，方程表示的直线与x轴垂直；
（3）若方程表示的直线在两坐标轴上的截距相等，求实数m的值．。