2015年上海市高中数学(直线、平面、简单几何体)单元测试

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2014-2015学年高中数学(人教版必修二)课时训练第一章 1.2 1.2.1 空间几何体的三视图

跟踪训练
解析：①四边形 BFD′E 的四个顶点在底面 ABCD 内的投影分别是点 B、C、D、A，故投影是正方形，正确；②设正方体的棱长为 2，则 AE＝1，取 D′D 的中点 G，则四边形 BFD′E 在面 A′D′DA 内的投影是四边形 AGD′E，由 AE∥D′G，且 AE＝D′G， ∴四边形 AGD′E 是平行四边形，但 AE＝1， D′E ＝ 5，故四边形 AGD′E 不是菱形．对于③，由②知是两个边长分别相等的平行四边形，从而③正确．答案：①③
答案：对．
练习 3：水平放置的圆台的俯视图是一个与下底面大小相同的圆，对吗？
答案：错．是两个同心圆．

思考应用
1．观察图中的投影过程，回答问题． (1)它们的投影过程有什么不同？ (2)图②、③是平行投影，它们有什么不同？ (3)中心投影和平行投影有什么不同？
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题型二
画空间几何体的三视图
例2 画出如图所示几何体的三视图．
)

(5)两条相交直线的平行投影可能平行；(
)
(6)如果一个三角形的投影仍是三角形，那么它的中位线
的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中位线．(
解析：利用平行投影的概念和性质进行判断．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× (6)√
)
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点评：平面图形经过平行投影后一般要改变形状，平行直线的平行投影是平行或重合的直线．两条相交直线的平行投影不可能平行．
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题型一
投影的概念
例1 判断对错(对的在括号内打“√”，错的打“×”)：

高中数学立体几何初步单元测

第八章立体几何初步（单元测）第八章立体几何初步（单元测试）_一、单选题1．已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为（）A．B．C．D．42．若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形中的长度为（）A．B．C．2D．3．如图，古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现．记图中圆柱的体积为，表面积为，球的体积为，表面积为，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．4．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题：①如果，，，，那么；②如果，，那么；③如果，，，那么；④如果，，，那么.其中正确命题的个数有（）A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个5．梯形ABCD中，，∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝2，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB以l所在直线为轴旋转一周，则该旋转体的表面积为（）A．B．C．D．6．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为所在棱的中点，则下列结论中正确的序号是（）①三棱锥D1﹣EFG的体积为；②BD1∥平面EFG；③BD1∥EG；④AB1⊥EG. A．③④B．①②④C．②③④D．①③7．直三棱柱中，，，则与平面所成的角为（）A．B．C．D．8．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别是棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动．若平面AMN，则P A1的最小值是（）A．1B．C．D．二、多选题9．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是（）A ．直线与直线共面B．直线与直线异面C ．直线与直线共面D．直线与直线异面10．高空走钢丝是杂技的一种，渊源于古代百戏的走索，演员手拿一根平衡杆，在一根两头拴住的钢丝上来回走动，并表演各种动作．在表演时，假定演员手中的平衡杆是笔直的，水平地面内一定存在直线与演员手中的平衡杆所在直线（）A．垂直B．相交C．异面D．平行11．在长方体中，O为与的交点，若，则（）A．B．C．三棱锥的体积为D．二面角的大小为12．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，多见于亭阁式建筑、园林建筑下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30°，侧棱长为米，则该正四棱锥的（）A．底面边长为6米B．侧棱与底面所成角的余弦值为C．侧面积为平方米D．体积为立方米三、填空题13．如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面圆周和圆锥的顶点均在体积为的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为______．14．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，，三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的体积为___________15．在正四面体ABCD中，E为BC的中点，则异面直线AE与CD所成角的余弦值为_ __________.16．如图，在正方体中，E为的中点，F为正方体棱的中点，则满足条件直线平面的点F的个数是___________.四、解答题17．如图，四棱锥中，底面为边长为2的菱形且对角线与交于点O，底面，点E是的中点．(1)求证：∥平面；(2)若三棱锥的体积为，求的长．18．如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，.(1)若为侧棱的中点，求证：平面；(2)求三棱锥的体积.19．如图，在棱长为的正方体中，、分别为棱、的中点．(1)证明：平面平面；(2)求异面直线与所成角的余弦值．20．如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．(1)求到平面的距离；(2)设D为的中点，，平面平面，求线段BC的长度．21．在等腰梯形（图1）中，，是底边上的两个点，且.将和分别沿折起，使点重合于点，得到四棱锥（图2）.已知分别是的中点.(1)证明：平面.(2)证明：平面.(3)求二面角的正切值.22．如图，垂直于⊙所在的平面，为⊙的直径，，，，，点为线段上一动点．(1)证明：平面AEF⊥平面PBC；(2)当点F与C点重合，求 PB与平面AEF所成角的正弦值．一、单选题23．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（）A．B．C．D．24．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．25．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（）A．B．C．D．26．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A．B．C．D．二、多选题27．如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（）A．B．C．D．28．已知正方体，则（）A．直线与所成的角为B．直线与所成的角为C．直线与平面所成的角为D．直线与平面ABCD所成的角为三、填空题29．已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________. 30．已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．31．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 ____ cm3.四、解答题32．如图，四面体中，，E为AC的中点．(1)证明：平面平面ACD；(2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．参考答案：1．C【分析】由扇形弧长公式求圆锥的母线长，再根据圆锥的母线、高和底面半径的关系求高.【详解】因为底面半径，所以母线长，所以圆锥的高.故选：C2．B【分析】过点作,垂足为，求出直观图中的长度即得解.【详解】解：过点作,垂足为.因为，，，；，所以原四边形中的长度为2.故选：B3．B【分析】根据已知条件得出球的直径恰好与圆柱的高相等，设球的半径为r，进而分别表示出圆柱的体积为，表面积为，球的体积为，表面积为，进而求出.【详解】由已知条件，设球的半径为r，可知圆柱的底面半径为r，圆柱的高为2r，则圆柱的表面积，体积，球表面积，答案第1页，共2页体积，．故选：B.4．D【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可.【详解】解：对于①如果，，，，那么或与相交，故①错误；对于②如果，，由线面垂直的性质可知，故②正确；对于③如果，，，那么或或与相交（不垂直）或与异面（不垂直），故③错误；对于④如果，，，那么或与相交（不垂直），当且仅当，，，，那么，故④错误.故选：D5．B【分析】旋转体为圆柱去去掉一个圆锥，计算圆柱的高和圆锥的底面半径和母线长，分别计算各面的面积，得出表面积．【详解】解：旋转体为圆柱去去掉一个圆锥，过作于，则，，，，圆锥的底面半径为，圆柱的底面半径为，圆柱和圆锥的高均为，圆锥的母线为，几何体的表面积为．故选：B.6．B【分析】利用等积法处理①，用面面平行得到线面平行处理②，用平行的传递性处理③，利用线面垂直得到线线垂直处理④.【详解】对于①，由等体积法可得：，故正确；对于②，连接，由面面平行的判定易得平面平面，由平面与平面平行的性质可得平面，故正确；对于③，如下图，连接，取的中点，连接，则，若，则，矛盾，故错误；对于④，由题意，，，可得平面，又平面，可得，故正确．故选：B．7．A【分析】将直三棱柱补全为正方体，根据正方体性质、线面垂直的判定可得面，由线面角的定义找到与平面所成角的平面角，进而求其大小.【详解】由题意，将直三棱柱补全为如下图示的正方体，为上底面对角线交点，所以，而面，面，故，又，面，故面，则与平面所成角为，若，所以，，则，故.故选：A8．C【分析】由平面，可以找到点在右侧面的运动轨迹，从而求出的最小值【详解】如图所示，取的中点,的中点，连接，因为分别是棱的中点，所以，，又因为,,，所以平面平面，平面，且点在右侧面，所以点的轨迹是，且，，所以当点位于中点处时，最小，此时，.故选：C9．ACD【分析】作出正方体的直观图，逐项判断可得出合适的选项.【详解】如图，点与点重合，则与相交，故A正确；在正方体中，且，故四边形为平行四边形，，则、共面，故B错误；因为，故、共面，故C正确；由图可知，、不在同一个平面，且、既不平行也不相交，、为异面直线，故D正确.故选：ACD.10．AC【分析】对直线l与平面的任何位置关系，平面内均存在直线与直线l垂直；平衡杆所在直线与水平地面的位置关系：平行或相交，根据线面关系可知：若直线与平面平行，则该直线与平面内的直线的位置关系：平行或异面若直线与平面相交，则该直线与平面内的直线的位置关系：相交或异面；理解判断．【详解】根据题意可得：对直线l与平面的任何位置关系，平面内均存在直线与直线l垂直，A正确；平衡杆所在直线与水平地面的位置关系：平行或相交根据线面关系可知：若直线与平面平行，则该直线与平面内的直线的位置关系：平行或异面若直线与平面相交，则该直线与平面内的直线的位置关系：相交或异面C正确；B、D错误；故选：AC．11．BCD【分析】由题意，根据长方体的结合性质，结合线面垂直判定定理以及二面角的平面角定义和三棱锥的体积公式，可得答案.【详解】连接．因为，所以，又易证平面，所以，所以，所以为二面角的一个平面角．在中，，因为在中，，，所以，所以二面角的大小为．．故选：BCD．12．AD【分析】画出几何体的直观图，结合已知条件求得棱锥的底面边长，逐项求解，即可得到答案.【详解】对A，如图所示，在正四棱锥中，为正方形的中心，且，设底面边长为，正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为，所以，则，在直角中，可得，即，解得，所以正四棱锥的底面边长为，所以A正确；对B，因为平面，所以为侧棱与底面所成的角，在直角中，可得，所以B错误；对C，正四棱锥的侧面积为平方米，所以C错误；对D，正四棱锥的体积为立方米，所以D正确.故选：AD.13．【分析】根据题意画出该几何体的轴截面，如图，设是球心，是圆锥的顶点，是圆锥的母线，求出球的半径，从而可求出，进而可求得圆锥的侧面积.【详解】其中，是球心，是圆锥的顶点，是圆锥的母线，由题意可知，解得，由于圆柱的高为2，，，，母线，∴圆锥的侧面积为．故答案为：14．【分析】根据题意，得到为球的直径，求得的长，得到球的半径，进而求得球的体积，得到答案.【详解】如图所示，取的中点，根据直角三角形的性质，可得，所以为球的直径，且，可得球的半径为，所以球的体积为.故答案为：.15．##【分析】取BD的中点F，作出异面直线AE与CD所成的角，再利用三角形计算作答.【详解】在正四面体ABCD中，取BD的中点F，连接，如图，设，因E为BC的中点，则，，即有是异面直线AE与CD所成的角或其补角，而，在等腰中，，所以异面直线AE与CD所成角的余弦值为.故答案为：16．【分析】为了得到直线平面，只需求得平面平面，即平面内的任意一条直线都与平面平行，进而求得点的个数.【详解】分别取的中点，连接，，在正方体中，，，四边形是平行四边形，，，又平面，平面，平面，同理平面，又，平面，平面，平面平面，平面内的任意一条直线都与平面平行，则满足条件直线平面的点可以是的任何一个，点F的个数是个.故答案为：.17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由中位线证得，即可证得∥平面；（2）取中点F，证得平面，再由结合棱锥的体积公式即可求解.【详解】（1）证明：连接．∵点O，E分别为的中点，∴，∵平面平面，∴∥平面；（2）取中点F，连接．∵E为中点，∴为的中位线，∴，且．由菱形的性质知，为边长为2的等边三角形．又平面，∴平面，，点E是的中点，∴，∴．18．(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点，通过，即可证明平面；（2）利用等积法，即求解即可【详解】（1）取的中点，连接，，在中，，在梯形中，，∴，，∴四边形是平行四边形，∴，而平面，平面，∴平面；（2）∵，，而∴平面，即为三棱锥的高，因为，，所以，又，所以19．(1)证明见解析(2)【分析】（1）证明出平面，平面，再利用面面平行的判定定理可证得结论成立；（2）分析可知异面直线与所成角为或其补角，计算出的三边边长，利用余弦定理可求得结果.【详解】（1）证明：连接，因为四边形为平行四边形，则且，、分别为、的中点，则且，所以，四边形为平行四边形，则且，因为且，且，故四边形为平行四边形，所以，，平面，平面，平面，同理可证且，所以，四边形为平行四边形，所以，，平面，平面，平面，，所以，平面平面.（2）解：，所以，异面直线与所成角为或其补角，在中，，，由余弦定理可得，所以，异面直线与所成角的余弦值为.20．(1)到平面的距离为(2)线段BC的长为2【分析】（1）利用体积法可求点到平面的距离；（2）利用面面垂直，线面垂直得线线垂直，最后利用的面积为即可求得线段BC的长．【详解】（1）解：由直三棱柱的体积为4，可得，设到平面的距离为，由，，，解得．即到平面的距离为；（2）解：连接交于点由直三棱柱，故四边形为正方形，，又平面平面，平面平面，平面，，由直三棱柱知平面，，又，平面，，，，又，解得，则线段BC的长为2.21．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）由题可得四边形是平行四边形，然后利用线面平行的判定定理即得；（2）利用线面垂直的判定定理可得平面，进而即得；（3）过点作，由题可得是二面角的平面角，结合条件即得.【详解】（1）由题意可得，在等腰梯形中，，在中，因为，所以，四边形为正方形.在四棱锥中，连接，因为分别是的中点，所以，且，在正方形中，因为是的中点，所以，且，所以，且，∴四边形是平行四边形，，因为平面，平面，所以平面；（2）由（1）知，在中，，因为为的中点，所以，在等腰梯形中，，所以在四棱锥中，，因为，平面，平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，，平面，平面，所以平面；（3）在中，过点作，垂足为，连接，由（2）知平面，平面，所以，因为，平面，平面，所以平面，平面，∴，故是二面角的平面角，由（1）知，在四棱锥中，，设，则，在中，，所以，在中，，故二面角的正切值为.22．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由垂直于⊙所在的平面，可得，再由圆的性质可得，则由线面垂直的判定可得平面，则，从而平面，进而由面面垂直的判定可证得结论，（2）过点作∥交于点，则，设点到平面的距离为，利用可求出，然后由可求得结果.【详解】（1）证明：因为垂直于⊙所在的平面，即平面，平面，所以，又为⊙的直径，所以，因为，所以平面，又平面，所以，因为，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）因为，，所以，又，所以，由，得,如图，过点作∥交于点，则，可得，又，所以，所以，设点到平面的距离为，由，可得，所以解得，所以当点移动到点时，与平面所成角的正弦值为．23．C【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．【详解】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积．棱台上底面积，下底面积，∴．故选：C．24．A【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．故选：A．25．C【分析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，根据圆锥的侧面积公式可得，再结合圆心角之和可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，则，所以，又，则，所以，所以甲圆锥的高，乙圆锥的高，所以.故选：C.26．C【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】∵球的体积为，所以球的半径,[方法一]：导数法设正四棱锥的底面边长为，高为，则，,所以，所以正四棱锥的体积，所以，当时，，当时，，所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，又时，，时，,所以正四棱锥的体积的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是.故选：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以当且仅当取到，当时，得，则当时，球心在正四棱锥高线上，此时，，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是27．CD【分析】直接由体积公式计算，连接交于点，连接，由计算出，依次判断选项即可.【详解】设，因为平面，，则，，连接交于点，连接，易得，又平面，平面，则，又，平面，则平面，又，过作于，易得四边形为矩形，则，则，，，则，，，则，则，，，故A、B错误；C、D正确.故选：CD.28．ABD【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图，连接、，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角，因为四边形为正方形，则，故直线与所成的角为，A正确；连接，因为平面，平面，则，因为，，所以平面，又平面，所以，故B正确；连接，设，连接，因为平面，平面，则，因为，，所以平面，所以为直线与平面所成的角，设正方体棱长为，则，，，所以，直线与平面所成的角为，故C错误；因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，故D正确.故选：ABD29．【分析】利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.【详解】∵∴∴∴.故答案为：.30．.【分析】根据已知条件易得，侧面，可得侧面与球面的交线上的点到的距离为，可得侧面与球面的交线是扇形的弧，再根据弧长公式可求得结果.【详解】如图：取的中点为，的中点为，的中点为，因为60°，直四棱柱的棱长均为2，所以△为等边三角形，所以，，又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，因为，所以侧面，设为侧面与球面的交线上的点，则，因为球的半径为，，所以，所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，因为，所以，所以根据弧长公式可得.故答案为：.【点睛】本题考查了直棱柱的结构特征，考查了直线与平面垂直的判定，考查了立体几何中的轨迹问题，考查了扇形中的弧长公式，属于中档题.31．【分析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.【详解】正六棱柱体积为圆柱体积为所求几何体体积为故答案为：【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题. 32．(1)证明详见解析(2)【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面.（2）首先判断出三角形的面积最小时点的位置，然后求得到平面的距离，从而求得三棱锥的体积.【详解】（1）由于，是的中点，所以.由于，所以，所以，故，由于，平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.（2）[方法一]：判别几何关系依题意，，三角形是等边三角形，所以，由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.，所以，由于，平面，所以平面.由于，所以，由于，所以，所以，所以，由于，所以当最短时，三角形的面积最小过作，垂足为，在中，，解得，所以，所以过作，垂足为，则，所以平面，且，所以，所以.[方法二]：等体积转换，，是边长为2的等边三角形，连接。

高一数学(必修二)立体几何初步单元测试卷及答案

高一数学（必修二）立体几何初步单元测试卷及答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图所示，己知正方形O A B C ''''的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则其原图形的周长为( )A.8B.22C.4D.223+2.下列说法正确的是( ) A.三点确定一个平面B.圆心和圆上两个点确定一个平面C.如果两个平面相交有一个交点，则必有无数个公共点D.如果两条直线没有交点，则这两条直线平行3.正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，11B C 的中点，那么正方体中过P ，Q ，R 的截面图形是( ) A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形4.某圆柱的高为2，其正视图如图所示，圆柱上下底面圆周及侧面上的点A ，B ，D ，F ，C 在正视图中分别对应点A ，B ，E ，F ，C ，且3AE EF =，2BF BC =，异面直线AB ，CD 所成角的正弦值为45，则该圆柱的外接球的表面积为( )A.20πB.16πC.12πD.10π5.在《九章算术·商功》中将正四面形棱台体（棱台的上、下底面均为正方形）称为方亭.在方亭1111ABCD A B C D -中，1124AB A B ==，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为122( ) 282B.283142D.1436.异面直线是指( ) A.空间中两条不相交的直线B.分别位于两个不同平面内的两条直线C.平面内的一条直线与平面外的一条直线D.不同在任何一个平面内的两条直线7.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11A D ，11B C 的中点，则与直线CF 互为异面直线的是( )A.1CCB.11B CC.DED.AE8.下列说法中正确的是( ) A.三点确定一个平面 B.四边形一定是平面图形 C.梯形一定是平面图形D.两个不同平面α和β有不在同一条直线上的三个公共点二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

2015届上海市高考一模汇编解析几何

2015届高中数学·一模汇编（专题：解析几何）2015届高中数学·一模汇编解析几何一、填空题1．已知直线l 垂直于直线0532=+-y x ，则直线l 的一个法向量=n___________ 2．若椭圆122=+y mx 的一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则=m __________． 3．已知直线12:30,:(13)(13)10l x y l x y +-=++-+=，则直线1l 与2l 的夹角的大小是．4．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点与双曲线：22172x y -=的右焦点重合，则抛物线C 的方程是．5．文：已知两条直线的方程分别为01:1=+-y x l 和022:2=+-y x l ，则这两条直线的夹角大小为 .（结果用反三角函数值表示）6.理：直线l 经过点)1,2(-P 且点)1,2(--A 到直线l 的距离等于1，则直线l 的方程是 .7. 若方程132||22=-+-ky k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是 .8. 若抛物线mx y 42=（0>m ）的焦点在圆122=+y x 内，则实数m 的取值范围是9．已知直线l 经过点()()1,2,3,2A B --，则直线l 的方程是___________.10、已知双曲线2221k x y -=(0)k >的一条渐近线的法向量是(1,2)，那么k =11、已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且2AK AF =，则AFK ∆的面积为12、定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线21C :y x a =+到直线:l y x =的距离等于222:(4)2C x y ++=到直线:l y x =的距离，则实数a = .13．若双曲线122=-ky x 的一个焦点是(3,0)，则实数k = . 14．已知圆222:C x y r +=与直线34100x y -+=相切，则圆C 的半径r =15．已知点A (–3,–2)和圆C ：(x –4)2+(y –8)2=9，一束光线从点A 发出，射到直线l ：y=x –1后反射(入射点为B )，反射光线经过圆周C 上一点P ，则折线ABP 的最短长度是16．已知点P (x 0, y 0) 在椭圆C ：12222=+by a x (a >b >0)上，如果经过点P 的直线与椭圆只有一个公共点时，称直线为椭圆的切线，此时点P 称为切点，这条切线方程可以表示为：12020=+byy a x x ．根据以上性质，解决以下问题：已知椭圆L ：191622=+y x ，若Q (u ，v )是椭圆L 外一点(其中u ，v 为定值)，经过Q 点作椭圆L 的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程是．17．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴都相切，则该圆的标准方程是18．已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为 19．直线:tan105l x y π+-=的倾斜角α=20..抛物线28y x =的动弦AB 的长为6，则弦AB 中点M 到y 轴的最短距离是21．若抛物线22y px =的焦点与双曲线2213y x -=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为． 22．关于,x y 的方程22240x y x y m ++-+=表示圆，则实数m 的取值范围是 .23．双曲线1322=-y x 的两条渐近线的夹角为 24．若直线l 的方程为0=++c by ax （b a ,不同时为零），则下列命题正确的是（1）以方程0=++c by ax 的解为坐标的点都在直线l 上；（2）方程0=++c by ax 可以表示平面坐标系中的任意一条直线；（3）直线l 的一个法向量为),(b a ；（4）直线l 的倾斜角为arctan()ab-. 25.直线20x y +=被曲线2262x y x y +--150-=所截得的弦长等于．二、选择题1．已知直线06)2(3:1=++-y k x l 与直线02)32(:2=+-+y k kx l ，记32)2(3-+-=k k k D .0=D 是两条直线1l 与直线2l 平行的( )A ．充分不必要条件；B ．必要不充分条件；C ．充要条件；D ．既不充分也不必要条件2.“点M 在曲线x y 42=上”是“点M 的坐标满足方程02=+y x ”的（）)(A 充分非必要条件 )(B 必要非充分条件 )(C 充要条件 )(D 既非充分也非必要条件3．圆心在抛物线x y 22=上，且与x 轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A ．01222=+--+y x y xB ．041222=---+y x y x C ．01222=+-++y x y x D ． 041222=+--+y x y x4．设a 、b 是关于t 的方程0sin cos 2=-θθt t 的两个不相等实根，则过),(2a a A 、),(2b b B 两点的直线与双曲线1sin cos 2222=-θθy x 的公共点个数是（）A ．3B ．2C ．1D ．05．设椭圆的一个焦点为)0,3(，且b a 2=，则椭圆的标准方程为（）()A 1422=+y x()B 1222=+y x ()C 1422=+x y ()D 1222=+x y 6．已知12,x x 是关于x 的方程2(21)0x mx m +-+=的两个实数根，则经过两点211(,)A x x ，222(,)B x x 的直线与椭圆221164x y +=公共点的个数是（） ()A 2 ()B 1()C 0()D 不确定7.双曲线24x -212y =1的焦点到渐近线的距离为（）（A ）23 （B ）2 （C ）3 （D ）18.圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为 ( ) （A ）023=-+y x （B ）043=-+y x （C ）043=+-y x （D ）023=+-y x9．设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为B ，若2122BF FF ==，则该椭圆的方程为（）A ．13422=+y x B ．1322=+y x C ．1222=+y x D ．1422=+y x10．曲线21||y x =+的部分图像是（）（A ）（B ）(C) （D ）11．对于方程为||1x +||1y =1的曲线C 给出以下三个命题：（1）曲线C 关于原点中心对称；（2）曲线C 既关于x 轴对称,也关于y 轴对称，且x 轴和y 轴是曲线C 仅有的两条对称轴；（3）若分别在第一、第二、第三、第四象限的点M,N,P,Q 都在曲线C 上，则四边形MNPQ 每一条边的边长都大于2．其中正确的命题是（）(A)（1）（2） (B)（1）（3） (C)（2）（3） (D)（1）（2）（3）12．已知满足条件122≤+y x 的点(,)x y 构成的平面区域面积为1S ，满足条件1][][22≤+y x 的点(,)x y 构成的平面区域的面积为2S ,其中][][y x 、分别表示不大于y x ,的最大整数，例如：[0.4]1-=-，[1.7]1=，则21S S 与的关系是（） A ．21S S < B ．21S S = C ．21S S > D ．321+=+πS S三、解答题1.已知P 是椭圆12422=+y x 上的一点，求P 到)0,(m M （0>m ）的距离的最小值.2．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知点)2,0(-A ，椭圆E ：12222=+by a x （0>>b a ）的长轴长为4，F 是椭圆的右焦点，直线AF 的一个方向向量为)2,3(=d，O 为坐标原点．（1）求椭圆E 的方程；（2）设过点A 的动直线l 与椭圆E 相交于P 、Q 两点，当△OPQ 的面积S 最大时，求l 的方程．3、（本题16分，第(1)小题6分，第(2)小题10分）已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，椭圆的两焦点与椭圆短轴的一个端点构成等边三角形，右焦点到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线:()l y kx m k =+∈R ，使得22OA OB OA OB +=-成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.4．曲线C 是平面内到直线1:1l x =-和直线2:1l y =的距离之积等于常数2(0)k k >的点的轨迹，设曲线C 的轨迹方程(,)0f x y =．（1）求曲线C 的方程(,)0f x y =；（2）定义：若存在圆M 使得曲线(,)0f x y =上的每一点都落在圆M 外或圆M 上，则称圆M 为曲线(,)0f x y =的收敛圆．判断曲线(,)0f x y =是否存在收敛圆？若存在，求出收敛圆方程；若不存在，请说明理由．5．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．(文科）已知椭圆22:14x y γ+=的右焦点为F ，左顶点为R ，点(2,1),(2,1)A B -，O 为坐标原点．（1）若P 是椭圆γ上任意一点，OP mOA nOB =+ ，求22m n +的值；（2）设Q 是椭圆γ上任意一点，()(),0,2,5S t t ∈，求QS QR ⋅的取值范围；（3）过F 作斜率为k 的直线l 交椭圆γ于,C D 两点，交y 轴于点E ，若1E C CF λ=，2ED DF λ=，试探究21λλ+是否为定值，说明理由．6．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．(理科）已知椭圆222:1x y aγ+=（常数1a >）的左顶点为R ，点(,1),(,1)A a B a -，O 为坐标原点．（1）若P 是椭圆γ上任意一点，OP mOA nOB =+ ，求22m n +的值；（2）设Q 是椭圆γ上任意一点，()3,0S a ，求QS QR ⋅的取值范围；（3）设1122(,),(,)M x y N x y 是椭圆γ上的两个动点，满足OM ON OA OB k k k k ⋅=⋅，试探究OMN ∆的面积是否为定值，说明理由．xyOABF 2F 1F 3F 47．如图，曲线Γ由曲线()22122:10,0x y C a b y ab+=>>≤和曲线()22222:10x y C y ab-=>组成，其中点12,F F 为曲线1C 所在圆锥曲线的焦点，点34,F F 为曲线2C 所在圆锥曲线的焦点，（1）若()()232,0,6,0F F -，求曲线Γ的方程；（2）如图，作直线l 平行于曲线2C 的渐近线，交曲线1C 于点A 、B ，求证：弦AB 的中点M 必在曲线2C 的另一条渐近线上；（3）对于（1）中的曲线Γ，若直线1l 过点4F 交曲线1C 于点C 、D ，求1CDF ∆面积的最大值。

高中数学必修2第二章《点、直线、平面之间的位置关系》单元测试(一)

数学必修2第二章《点、直线、平面之间的位置关系》单元测试一.单项选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.面α⋂面β=l ，A α∈，B α∈，AB ⋂l =D ，C β∈，C l ∉，则平面ABC 与平面β的交线是()A .有无数条B .有两条C .至多有两条D .有一条2.圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则圆锥的表面积为()A.)π１ B.4π C.3πD.5π3.已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A .10B .5-C .5D .54.点E ，F ，G ，H 分别为空间四边形ABCD 中AB ，BC ，CD ，AD 的中点，若AC=BD ，且AC 与BD 所成角的大小为90°，则四边形EFGH 是()A.梯形B.空间四边形C.正方形D.有一内角为60°的菱形5在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，Q 为AD 中点，点M 在线段PC 上，且PM tPC =，0t >，试确定实数t 的值，使得//PA 面MQB .A .14B .1C .23D .136.在直三棱柱111ABC A B C -中，2BAC π∠=，12AB AC AA ===，点,G E 分别为线段111,A B CC 的中点，点,D F 分别为,AC AB 上的动点，且GD EF ⊥，则线段DF 的最小值为A .12B .1C D .二.多项选择题：本大题共2小题，每小题4分，共8分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.7.设a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与,a b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴，有以下结论：(1)当直线AB 与a 成60 角时，AB 与b 成30角.(2)当直线AB 与a 成60角时，AB 与b 成60角.(3)直线AB 与a 所成角的最小值为45 .(4)直线AB 与a 所成角的最大值为60.则正确结论的序号为A (1)B(2)C(3)D(4)8.一张A4纸的长宽之比为，E ，F 为AD ，BC 的中点.现分别将ABE ∆，CDF ∆沿BE ，DF 折起，且A ，C 在面BFDE 同侧，下列命题正确的是()(1)A ,G ,H ,C 四点共面.(2)当面ABE //面CDF 时，AC //面BFDE .(3)当A ，C 重合于点P 时，面PDE ⊥面PBF .(4)当A ，C 重合于点P 时，设面PBE ⋂面PDF =l ，则l //面BFDE .A (1)B(2)C(3)D(4)三、填空题：本大题共4题，每小题4分，共16分.9已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BA 1=C 1D =5，C 1A 1=BD =，DA1=BC 1=.则三棱锥B -A 1DC 1的体积为________10.已知点E ,F 分别为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AB ,AA 1点，且12AE AB =，113AF AA =.点,M N 分别为线段1D E 和线段1C F 上的动点.则与面ABCD 平行的直线MN 有__________条.11.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是AB 的中点，F 在1CC 上，且12CF FC =.点P 是侧面11AA D D 上一动点，且1//PB 面DEF ，则tan ABP ∠的取值范围是__________.12设α，β，γ为两两不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β;②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β;③若α∥β，l ⊂α，则l ∥β;④若α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n ，l ∥γ，则m ∥n.其中正确的命题是________和________.四、解答题：本大题共3小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.13.(本小题满分16分)在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AA =E 为1CC 中点，F 为AB 上一点.证明面EBD ⊥面1A FC .14.(本小题满分18分)如图，已知二面角α-MN-β的大小为60°，菱形ABCD 在面β内，A ，B 两点在棱MN 上，∠BAD=60°，E 是AB 的中点，DO ⊥面α，垂足为O.(1)证明：AB ⊥平面ODE;(2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值.15.(本小题满分18分)在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，过A 1，C 1，B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD-A 1C 1D 1，且这个几何体的体积为403(1)求棱A 1A 的长;(2)求经过A 1，C 1，B ，D 四点的球的表面积.数学必修2第二章《点、直线、平面之间的位置关系》测试答案一.单项选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1选D 2选C 3选C 4选C 5选D 6选C二.多项选择题：本大题共2小题，每小题4分，共8分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.7选B ，C 8选A BCD三、填空题：本大题共4题，每小题4分，共16分.9.20解析：111114B A DC B A B C V V V --=-长方体.设长方体的长宽高分别为,,a b c ，易求得5a =，4b =，3c =.所以111114B A DC B A B C V V V --=-长方体20=.10.无数条解析：取113BH BB =，连接FH ，则//FH AB .在线段1D E 上取113OE D E =，在线段DE 上取13EK DE =.连接,,OH OK BK .则易得四边形OKBH 为矩形.连接HE ，在段1D E 上任取一点M ，过点M 在面1D HE 中，作//HO MG ，交1D H 于G .再过点G 作//GN HF ，交1C F 于N ，连接MN .由面面平行的判定定理可知面MNG //面ABCD ，又MN ⊂面MNG ，所以//MN 面ABCD .由于M 为1D E 上任意一点，故与面ABCD 平行的直线MN有无数条.11.11333⎡⎢⎣⎦，.解析：取112AM MA =，连接11,,B M B F DM .易证四边形1MDFB 为平行四边形，所以1//B M DF .取11D C 中点N ，连接1,B N MN ，则1//B N DE .故面1//B NM 面DEF .作//NG DF ，连接MG ，则1//NG MB .因此面1//B NGM 面DEF .所以点P 落在面11AA D D 与面1B NGM 的交线上，即P MG ∈.易求得tan ABP ∠的取值范围是11333⎡⎢⎣⎦，.12(3)和(4)①不正确，面α，β可能相交.②不正确，当直线m ，n 平行时，α，β还可能相交;根据面面平行的判定定理只有当m ，n 相交时，α∥β.③正确，根据面面平行的定义可知l 与β无公共点，即可知l ∥β.④正确，因为α∩β=l ，可知l ⊂α，又因为l ∥γ，γ∩α=n ，则m ∥n.四、解答题：本大题共3小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.13(本小题满分16分)证明：如图所示，易知BE ⊥1CB .又BE ⊥11A B ，1111CB A B B ⋂=，所以BE ⊥面11A B C .由于1A C ⊂面11A B C ，所以BE ⊥1AC .又BD ⊥CA ，BD ⊥1A A ，1CA A A A ⋂=，所以BD ⊥面1A AC .由于1A C ⊂面1A AC ，所以BD ⊥1AC .由于BE BD B ⋂=，所以1AC ⊥面EBD ，所以面EBD ⊥面1A FC14(本小题满分18分)(1)因为DO ⊥α，AB ⊂α，所以DO ⊥AB.连接BD ，由题设知，△ABD 是正三角形.又因为E 是AB 的中点，所以DE ⊥AB.而DO∩DE=D ，故AB ⊥平面ODE.(2)因为BC ∥AD ，所以BC 与OD 所成的角等于AD 与OD 所成的角，即∠ADO 是BC 与OD 所成的角.由(1)知，AB ⊥平面ODE ，所以AB ⊥OE.又DE ⊥AB ，于是∠DEO 是二面角α-MN-β的平面角，从而∠DEO=60°.不妨设AB=2，则AD=2，易知DE=3.在Rt △DOE 中，DO=DE·sin 60°=32.连接AO ，在Rt △AOD 中，cos ∠ADO=DO AD =322=34.故异面直线BC 与OD 所成角的余弦值为34.15(本小题满分18分)(1)设A 1A=h ，因为几何体ABCD-A 1C 1D 1的体积为403，所以V ABCD−A 1C 1D 1=V ABCD−A 1B 1C 1D 1-V B−A 1B 1C 1=403即S 四边形ABCD ·h-13·S △A 1B 1C 1·h=403，即2×2×h-13×12×2×2×h=403解得h=4.所以棱A 1A 的长为4.(2)如图，连接D 1B ，设D 1B 的中点为O ，连接OA 1，OC 1，OD.因为ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体，所以A 1D 1⊥平面A 1AB.因为A 1B ⊂平面A 1AB ，所以A 1D 1⊥A 1B.所以OA 1=12D 1B.同理OD=OC 1=12D 1B.所以OA 1=OD=OC 1=OB.所以经过A 1，C 1，B ，D 四点的球的球心为点O.因为D 1B 2=A 1D 12+A 1A 2+AB 2=22+42+22=24，所以S 球=4π·(OD 1)2=4π·(D 1B 2)2=π·D 1B 2=24π.故经过A 1，C 1，B ，D 四点的球的表面积为24π.。

(常考题)人教版高中数学必修第二册第三单元《立体几何初步》检测卷(答案解析)(1)

一、选择题1．设m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是( ) A ．//m α，//n β且//αβ，则//m nB ．m α⊂，n α⊂，//m β，//n β，则//αβ C ．m α⊥，n β⊂，m n ⊥，则αβ⊥D ．m α⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥2．在下列四个正方体中，能得出直线AB 与CD 所成角为90︒的是（）A ．B ．C ．D ．3．已知直三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB AC ==，AB AC ⊥，则异面直线1AB 和1BC 所成的角的大小是（）．A ．π6B ．π4C ．π3D ．π24．正三棱柱有一个半径为3cm 的内切球，则此棱柱的体积是（）.A ．393cmB ．354cmC ．327cmD ．3183cm 5．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的侧面积（单位：2cm ）是（）A ．10B ．105+C ．1625+D ．135+6．正方体1111ABCD A B C D -中，AB 的中点为M ，1DD 的中点为N ，则异面直线1B M 与CN 所成角的大小为（）A ．0︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒7．鲁班锁运用了中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代各国工匠鲁班所作，是由六根内部有槽的长方形木条，按横竖立三方向各两根凹凸相对咬合一起，形成的一个内部卯榫的结构体.鲁班锁的种类各式各样，千奇百怪.其中以最常见的六根和九根的鲁班锁最为著名.下图1是经典的六根鲁班锁及六个构件的图片，下图2是其中的一个构件的三视图（图中单位：mm ），则此构件的表面积为（）A ．27600mmB ．28400mmC ．29200mmD ．210000mm 8．将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（）A ．183B ．182C ．123D ．2439．在长方体1111ABCD A B C D -中，23AB AD ==，12CC =，则二面角1C BD C --的大小是（）A ．30ºB ．45ºC ．60ºD ．90º10．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，现有下列结论：①AC BD ⊥②AC ∥截面PQMN③AC BD =④异面直线PM 与BD 所成的角为45其中所有正确结论的编号是（）A ．①③B ．①②④C ．③④D ．②③④ 11．在下列关于直线,l m 与平面,αβ的所述中，正确的是（） A ．若l β⊥且αβ⊥，则//l α；B ．若m αβ=且//l m ，则//l α；C ．,l m 是α内两条直线，且l β//，//m β，则//αβ；D ．αβ⊥，m αβ=，l m ⊥，l α⊂，则l β⊥.12．下列命题中正确的个数有（）个①不共面的四点中，其中任意三点不共线②依次首位相接的四条线段必共面③若点,,,A B C D 共面，点,,,A B C E 共面，则点,,,,A B C D E 共面④若直线,a b 共面，直线,a c 共面，则直线,b c 共面A ．1B ．2C ．3D ．413．设α、β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，则下列命题中真命题是（）A ．若l β⊥，则αβ⊥B ．若l m ⊥，则αβ⊥C ．若αβ⊥，则l m ⊥D ．若//αβ，则//l m14．在正方形SG 1G 2G 3中，E 、F 分别是G 1G 2及G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现在沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1、G 2、G 3三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S ﹣EFG 中必有（）A ．SG ⊥△EFG 所在平面B ．SD ⊥△EFG 所在平面C ．GF ⊥△SEF 所在平面D ．GD ⊥△SEF 所在平面二、解答题15．如图三棱柱111ABC A B C －中，11,,60CA CB AB AA BAA ∠︒＝＝＝，（1）证明1AB A C ⊥；（2）若16AC ＝，2ABCB ＝＝，求三棱柱111ABC A B C －的体积S . 16．如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，平面11AA C C ⊥平面ABC ，160AAC ∠=︒，点D 为线段AC 的中点，点E 在线段AB 上.（1）求证：平面1A DE ⊥平面ABC ；（2）若2AB =，求点C 到平面1ABC 的距离.17．ABC 是正三角形，线段EA 和DC 都垂直于平面ABC .设2,EA AB a DC a ===，且F 为BE 的中点，如图.（1）求证：//DF 平面ABC ；（2）求证：AF BD ⊥；（3）求平面BDF 与平面ABC 所成锐二面角的大小.18．如图，在等腰三角形ABC 中，,120AB AC A =∠=︒，M 为线段BC 的中点，D 为线段BC 上的一点，且BD BA =，沿直线AD 将ADC 翻折至1ADC △，使点1AC BD ⊥．（1）证明：平面1AMC ⊥平面ABD ；（2）求二面角1C AD B --的平面角的余弦值．19．如图，棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，E 、F 分别为棱B 1C 1、BB 1中点，G 在A 1D 上且DG ＝3GA 1，过E 、F 、G 三点的平面α截正方体.（1）作出截面图形并求出截面图形面积（保留作图痕迹）；（2）求A 1C 1与平面α所成角的正弦值. （注意：本题用向量法求解不得分）20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABC ，//,90AD BC ABC ︒∠=，2AD =，23AB =，6BC =．（1）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；（2）PA 长为何值时，直线PC 与平面PBD 所成角最大？并求此时该角的正弦值． 21．如图，在三棱锥D -ABC 中，已知△BCD 是正三角形，AB ⊥平面BCD ，AB =BC =a ，E 为BC 中点，F 在棱AC 上，且AF =3FC .（1）求三棱锥D -ABC 的体积；（2）求证：AC ⊥平面DEF ；（3）若M 为DB 中点，N 在棱AC 上，且3,8CN CA =求证：MN //平面DEF .22．如图，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，//MA PB ，且2PB AB ==．（1）求证：//DM 平面PBC ；（2）求点C 到平面 APD 的距离． 23．如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，AD //BC //FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .（I ）证明：平面AMD ⊥平面CDE ；（II ）求二面角A ﹣CD ﹣E 的余弦值.24．如图，在三棱锥P ABC -中，1PA PC ==，AB BC =，60APC ∠=︒，90ABC ∠=︒，AC PB =．（1）证明：AC PB ⊥；（2）求三棱锥A PBC -的体积．25．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点，过E 点作EF PB ⊥交PB 于点F .求证：（1）//PA 平面EDB ；（2）PB ⊥平面EFD .26．如图甲，边长为2的正方形ABCD 中，E 是AB 边的中点，F 是BC 边上的一点，对角线AC 分别交DE 、DF 于M 、N 两点，将DAE ∆及DCF ∆折起，使A 、C 重合于G 点，构成如图乙所示的几何体．（1）求证：GD EF ⊥；（2）若EF ∥平面GMN ，求三棱锥G EFD -的体积G EFD V -．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】对每一个命题逐一判断得解.【详解】对于A ，若m ∥α，n ∥β且α∥β，说明m 、n 是分别在平行平面内的直线，它们的位置关系应该是平行或异面或相交，故A 不正确；对于B ，若“m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β”，则“α∥β”也可能α∩β＝l ，所以B 不成立．对于C ，根据面面垂直的性质，可知m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ，∴n ∥α，∴α∥β也可能α∩β＝l ，也可能α⊥β，故C 不正确；对于D ，由m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m 与n 一定不平行，否则有α∥β，与已知α⊥β矛盾，通过平移使得m 与n 相交，且设m 与n 确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角，因为α⊥β，所以m 与n 所成的角为90°，故命题D 正确．故答案为D【点睛】本题考查直线与平面平行与垂直，面面垂直的性质和判断的应用，考查逻辑推理能力和空间想象能力.2．A解析：A【分析】根据线面垂直的性质以及判定定理判断A ，平移直线结合异面直线的定义，判断BCD.【详解】对于A ，如下图所示，连接,AE GB由于,CD BE CD BG ⊥⊥，根据线面垂直判定定理得CD ⊥平面AEBG ，再由线面垂直的性质得出AB CD ⊥，则A 正确；对于B ，如下图所示，连接,BF AF因为ABF 为正三角形，//CD AF ，所以直线AB 与CD 所成角为60︒，则B 错误；对于C ，如图所示，连接HD因为在CDH △中，45HDC ∠=︒，//AB HD ，所以直线AB 与CD 所成角为45︒，则C 错误；对于D ，如下图所示，连接GB因为//AG CD ，所以直线AB 与CD 所成角为90GAB ∠≠︒，则D 错误；故选：A【点睛】本题主要考查了求异面直线的夹角，属于中档题.3．D解析：D【分析】连结1A B ，可证1A B ⊥平面11A BC ，从而可到异面直线1AB 和1BC 所成的角为直角，故可得正确的选项.【详解】连结1A B ，1AA ⊥面,ABC 平面111//A B C 面ABC ,1AA ∴⊥平面111A B C11A C ⊂平面111111,A B C AA AC ∴⊥ ABC 与111A B C △是全等三角形，AB AC ⊥1111A B A C ∴⊥111111,A B AA A AC ⋂=∴⊥平面11AA B B又1AB ⊂平面11AA B B ,111AC AB ∴⊥矩形11AA B B 中，1AA AB =∴四边形11AA B B 为正方形，可得11A B AB ⊥11111A B AC A AB ⋂=∴⊥，平面11A BC 结合1BC ⊂平面11A BC ，可得11AB BC ⊥，即异面直线1AB 与1BC 所成角为2π 故选：D【点睛】在求异面直线所成角时可以将异面直线通过平行线转化到共面直线，然后构造三角形，求得直线夹角．本题通过补全图形，判定线面的垂直关系，得证线线垂直关系，求得异面直线夹角为2π. 4．B解析：B【分析】由题意知正三棱柱的高为，可得底面正三角形的边长为6cm ，即得到底面三角形的面积，代入棱柱的体积公式求解即可．【详解】∵的内切球，则正三棱柱的高为，，设底面正三角形的边长为a cm,13⨯=6a =cm ，∴正三棱柱的底面面积为1662⨯⨯=2，故此正三棱柱的体积V ＝54=cm 3．故选：B ．【点睛】本题考查棱柱的体积的求法，考查几何体的内切球的性质，属于基础题.5．B解析：B【分析】由三视图可知，该几何体的直观图为直四棱柱1111ABCD A B C D -，由矩形的面积公式得出该几何体的侧面积.【详解】由三视图可知，该几何体的直观图为直四棱柱1111ABCD A B C D -，如下图所示2211125AD A D ==+=∴该几何体的侧面积为122222521025⨯+⨯+⨯+⨯=+故选：B【点睛】本题主要考查了由三视图计算几何体的侧面积，属于中档题.6．D解析：D【分析】利用异面直线所成的角的定义，取1A A 的中点为E ，则直线1B M 与CN 所成角就是直线1B M 与BE 成的角．【详解】取1A A 的中点为E ，连接BE ，则直线1B M 与CN 所成角就是直线1B M 与BE 成的角，由题意得1B M BE ⊥，故异面直线1B M 与CN 所成角的大小为90︒.故选：D ．【点睛】本题考查空间角的计算，考查棱柱的性质，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．7．B解析：B【分析】由三视图可知，该构件是长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长方体的一个几何体，进而求出表面积即可.【详解】由三视图可知，该构件是长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长方体的一个几何体，如下图所示，其表面积为：()2 10020220202100204010210202840m0mS=⨯⨯+⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯=.故选：B.【点睛】本题考查几何体的表面积的求法，考查三视图，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.8．B解析：B【分析】如图所示，设此圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l.可得πr2+πrl＝36π，2πr＝l•23π，联立解得：r，l，h22l r=-. 即可得出该圆锥的轴截面的面积S12=•2r•h＝rh.【详解】如图所示，设此圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l.则πr2+πrl＝36π，化为：r2+rl＝36，2πr＝l•23π，可得l＝3r.解得：r＝3，l＝9，h22l r=-=2.该圆锥的轴截面的面积S 12=•2r •h ＝rh ＝3×62=182. 故选：B.【点睛】本题考查了圆锥的表面积、弧长的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 9．A解析：A【分析】取BD 中点为O ，1CC ⊥平面ABCD ，所以C 即1C 在平面ABCD 上的投影，易知CO BD ⊥，再利用线面垂直证明1BD C O ⊥，得到1COC ∠即二面角1C BD C --，再计算二面角大小即可.【详解】由题意，作出长方体1111ABCD A B C D -的图象，取BD 中点为O ，连接CE 、1C E ，因为1CC ⊥平面ABCD ，所以C 即1C 在平面ABCD 上的投影，又BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥，因为23AB AD ==，所以四边形ABCD 是正方形，O 为BD 中点，所以CO BD ⊥，又1CO CC C =，所以BD ⊥平面1COC ，又1C O ⊂平面1COC ，所以1BD C O ⊥，1COC ∠即二面角1C BD C --，又12CC =，()()2223236CO +==，所以123tan 36COC ∠==，130COC ∠=.故选：A【点睛】本题主要考查二面角的求法和线面垂直的判定定理和性质，考查学生空间想象能力，属于中档题.10．B【分析】由线线平行和垂直的性质可判断①，由线面平行的判定定理和性质定理可判断②，由平行线分线段成比例可判断③，由异面直线所成角的定义可判断④.【详解】截面PQMN 是正方形，PQ MN ∴//,又MN ⊂平面ADC ，PQ ⊄平面ADC ，PQ ∴//平面ADC ，PQ ⊂平面ABC ，平面ABC 平面ADC AC = PQ AC ∴//，同理可得PN BD //由正方形PQMN 知PQ PN ⊥，则AC BD ⊥，即①正确；由PQ AC //，PQ ⊂平面PQMN ，AC ⊄平面PQMN ，得AC //平面PQMN ，则②正确；由PQ AC //，PQ MN //,得AC MN //, 所以AC AD MN DN=，同理可证BD AD PN AN=，由正方形PQMN 知PN MN =，但AN 不一定与DN 相等，则AC 与BD 不一定相等，即③不正确；由PN BD //知MPN ∠为异面直线PM 与BD 所成的角，由正方形PQMN 知45MPN ∠=︒，则④正确.故选：B.【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是空间线线、线面的位置关系，考查推理能力，属于中档题.11．D解析：D【分析】对于A . //l α或l α⊂;对于B . //l α或l α⊂;对于C .当//m l 时，推不出//αβ；对于D .由面面垂直推线面垂直得判定定理可得，故得解.【详解】对于A .若l β⊥且αβ⊥，则//l α或l α⊂，错误；对于B . 若m αβ=且//l m ，则//l α或l α⊂，错误；对于C . ,l m 是α内两条直线，且l β//，//m β，当//m l 时，推不出//αβ，错误；对于D .由面面垂直的性质定理可得正确.故选：D本题考查了空间中的平行垂直关系，考查了学生逻辑推理，空间想象能力，属于基础题. 12．A解析：A【分析】假设存在三点共线，则四个点必共面，可判断①；借助空间四边形可判断②；当A ，B ，C 共线时，可判断③；由共面不具有传递性可判断④【详解】①正确，可以用反证法证明，假设存在三点共线，则四个点必共面，与不共面的四点矛盾；②不正确，例如空间四边形的四个顶点就不共面；③不正确，A ，B ，C 共线时，这两平面有三个公共点A ，B ，C ；④不正确，共面不具有传递性，若直线,a b 共面，直线,a c 共面，则直线,b c 可能异面. 故选：A【点睛】本题考查了空间中点线面的位置关系判断，考查了学生综合分析，空间想象，逻辑推理能力，属于中档题13．A解析：A【分析】利用平面与平面垂直的判定定理，平面与平面垂直、平行的性质定理判断选项的正误即可．【详解】由α，β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，知：在A 中，l β⊥，则αβ⊥，满足平面与平面垂直的判定定理，所以A 正确；在B 中，若l m ⊥，不能得到l β⊥，也不能得到m α⊥，所以得不到αβ⊥，故B 错误；在C 中，若αβ⊥，则l 与m 可能相交、平行或异面，故C 不正确；在D 中，若//αβ，则由面面平行的性质定理得l β//，不一定有//l m ，也可能异面，故D 错误．故选：A ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．14．A解析：A【分析】在正方形SG 1G 2G 3中，有S G 1⊥G 1E ，在折叠后其垂直关系不变，所以有SG ⊥EG.同理有有SG ⊥FG ，再由线面垂直的判定定理证明.【详解】在正方形SG 1G 2G 3中，因为S G 1⊥G 1E ，所以在四面体中有SG ⊥EG.又因为S G 3⊥G 3F ，所以在四面体中有SG ⊥FG ，且GEGF G =，所以 SG ⊥△EFG 所在平面.故选：A【点睛】本题主要考查折叠问题及线面垂直的判定定理，还考查了推理论证的能力，属于中档题. 二、解答题15．（1）证明见解析；（2）3.【分析】（1）取AB 中点E ，连接11,,CE A B A E ，根据已知条件，利用等腰三角形的性质得到1A E AB ⊥，,CE AB ⊥利用线面垂直的判定定理证得AB ⊥面1,CEA 即可得到1AB A C ⊥ ；（2）在1CEA 中可以证明1A E CE ⊥，结合1A E AB ⊥，利用线面垂直判定定理得到1A E ⊥平面ABC ,作为三棱柱的高，进而计算体积.【详解】(1)取AB 中点E ，连接11,,CE A B A E ，11,60AB AA BAA ∠︒＝＝，1BAA ∴是等边三角形，1A E AB ∴⊥，CA CB ＝，,CE AB ∴⊥1,CE A E E ⋂＝AB ∴⊥面1,CEA1AB A C ∴⊥.(2)由于CAB ∆为等边三角形，CE ∴11222S AB CE ⨯⨯⨯=底面积＝＝1CEA 中，CE 1EA 1AC =1A E CE ∴⊥，结合1A E AB ⊥，又,,AB CE E AB CE ⋂=⊂平面ABC ,1A E ∴⊥平面ABC ,1h A E ∴＝3V Sh =＝.【点睛】本题考查线面垂直的判定与证明，考查棱柱的体积计算，属基础题，为证明线线垂直，常常先证线面垂直，为证明线面垂直，又常常需要先证明线线垂直，这是线面垂直关系常用的证明与判定方式，要熟练掌握.16．（1）证明见解析；（2 【分析】（1）根据题意可得1A D AC ⊥，由面面垂直的性质定理可得1A D ⊥平面ABC ，再由面面垂直的判定定理即可证明.（2）过点1C 作1C F AC ⊥的延长线于点F ，连接BF ，利用等体积法11113C ABC A ABC ABC V V S AD --∴==⋅△，即可求出点C 到平面1ABC 的距离. 【详解】（1）证明：1AA AC =，160AAC ∠=︒， 1ACA ∴△是等边三角形， D 为线段AC 的中点，1A D AC ∴⊥，平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AAC C 平面ABC AC =，1A D ∴⊥平面ABC ，1A D ⊂平面1A DE ，∴平面1A DE ⊥平面ABC ；（2）解：过点1C 作1C F AC ⊥的延长线于点F ，连接BF ，可得1C F ⊥平面ABC ，且13C F =11113C ABC A ABC ABC V V S AD --∴==⋅△ 1132231322=⨯⨯⨯⨯=，在1ABC 中，2AB =，()2222113323C F AF AC +=+==21122221BF C F BD DF C F BC +=++=()()22232310=++= 22212102310cos 202210ABC +-∠∠==⨯⨯1390sin ABC ∴∠= 1390392102ABC S ∴=⨯=△. 记点C 到平面1ABC 的距离为h ，则113ABC S h ⋅⋅=△，解得23913h =，即点C 到平面1ABC 239 【点睛】关键点点睛：本题考查了面面垂直的证明、求点到面的距离，解题的关键“等体积法”解题方法的应用，考查了计算能力.17．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）45︒.【分析】（1）利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理即可证明；（2）利用线面、面面垂直的判定和性质定理即可证明；（3）延长ED 交AC 延长线于G ′，连BG ′，只要证明BG ′⊥平面ABE 即可得到∠ABE 为所求的平面BDE 与平面ABC 所成二面角，在等腰直角三角形ABE 中即可得到．【详解】（1）证明：如图所示，取AB 的中点G ，连接,CG FG .∵,EF FB AG GB ==，//FG EA ∴，1=2FG EA 又//DC EA ，1=2DC EA ，//FG DC ∴，=FG DC ， ∴四边形CDFG 为平行四边形，故//DF CG .∵DF ⊄平面,ABC CG ⊂平面ABC ，∴//DF 平面ABC .（2）证明：∵EA ⊥平面ABC ，∴EA CG ⊥.又ABC 是正三角形，∴CG AB ⊥.∴CG ⊥平面AEB .∴CG AF ⊥.又∵//DF CG ，∴DF AF ⊥.又AE AB =，F 为BE 中点，∴AF BE ⊥.又BE DF F ⋂=，∴AF ⊥平面BDE .∴AF BD ⊥.（3）延长ED 交AC 延长线于G '，连接BG '. 由12CD AE =，//CD AE 知D 为EG '中点， ∴//FD BG '.由CG ⊥平面,//ABE FD CG ，∴BG '⊥平面ABE .∴EBA ∠为所求二面角的平面角.在等腰直角三角形AEB 中，易求45ABE ∠=︒.【点睛】熟练掌握三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理与线面、面面垂直的判定和性质定理及二面角的求法是解题的关键．18．（1）见详解；（2）2【分析】（1）根据题中条件，由线面垂直的判定定理，先证明BD ⊥平面1AMC ，进而可得面面垂直；（2）在平面1AC M 中，过1C F 作1C F AM ⊥交AM 于点F ，由（1）知，1C F ⊥平面ABD ，所以1C F AD ⊥；过点F 作FHAD ⊥于点H ，过点M 作MG AD ⊥于点G ，则//MG FH ，所以FH AF MG AM=，连接1C H ，根据题中条件，得出1FHC ∠即为二面角1C AD B --的平面角；设1AM ＝，结合条件，即可计算出结果.【详解】（1）由题意知AM BD ⊥，又因为1AC BD ⊥，1AC AM A ⋂=，1AC ⊂平面1AMC ，AM ⊂平面1AMC ，所以BD ⊥平面1AMC ，因为BD ⊂平面ABD ，所以平面1AMC ⊥平面ABD ；（2）在平面1AC M 中，过1C F 作1C F AM ⊥交AM 于点F ，由（1）知，1C F ⊥平面ABD ，所以1C F AD ⊥；过点F 作FH AD ⊥于点H ，过点M 作MG AD ⊥于点G ，则//MG FH ，所以FH AF MG AM=，连接1C H ，由1C F AD ⊥，FH AD ⊥，1FH C F F ⋂=，FH ⊂平面1C FH ，1C F ⊂平面1C FH ，所以AD ⊥平面1C FH ，则1AD C H ⊥，所以1FHC ∠即为二面角1C AD B --的平面角；设1AM ＝，则2AB AC ==，3BC =，23MD =－，1332DC DC==-，26AD =-，在Rt AMD 中，1122AMDSAM MD AD MG =⋅=⋅，则62MG -=，在1Rt C MD 中，()()222221133223943MC C D MD =-=---=－．设AF x =，在1Rt C FA 中，222211AC AF MC MF -=-，即()()2249431x x -=---，解得，232x =-，即232AF -＝所以12233C F =-，()62232226AF FH MG AM -=⋅=⋅=-－，因此()2221183122262C H C F FH =+=-+-=，所以11226cos 232FH FHC C H -∠===-. 即二面角1C AD B --的平面角的余弦值是23-.【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果. 19．（1）截面见解析，面积为2；（2）12. 【分析】（1）先根据线面平行的性质定理确定出,EF MN 的位置关系，再根据,EF MN 的长度关系确定出,M N 的位置，从而截面的形状可确定以及截面面积可求；（2）记11MEAC H =，通过线面垂直证明1A HG ∠即为所求的线面角，从而计算出11A C 与平面α所成角的正弦值.【详解】（1）如图截面为矩形EFNM ：因为//EF 平面11ADD A ，且平面EFNM 平面11ADD A MN =，所以//EF MN ，又因为111111////,==22EF BC AD EF BC AD ，且3DG GA =，所以可知111//,2MN AD MN AD =，所以//,MN EF MN EF =，所以可知,M N 为棱111,AA A D 的中点，所以四边形EFNM 为矩形，且112,2EF ME =+==，所以截面EFNM 的面积为22；（2）记11MEAC H =，连接GH ，如图所示：因为//NF AB ，AB ⊥平面11AA D D ，所以NF ⊥平面11AA D D ，又1AG ⊂平面11AA D D ，所以1NF A G ⊥，由（1）知1//MN AD 且11A D AD ⊥，所以1MN A D ⊥，所以1MN AG ⊥，且MN NF N =，1A G ⊥平面EFNM ，所以11A C 与平面α所成角为1A HG ∠，因为111442AG A D ===，11112A H AC ==1111sin 2A G A HG A H ∠==，所以11A C 与平面α所成角的正弦值为12. 【点睛】方法点睛：求解线面角的正弦值的两种方法：（1）几何法：通过线面垂直的证明，找到线面角，通过长度的比值即可计算线面角的正弦值；（2）向量法：求解出直线的方向向量和平面的法向量，根据直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值求解出结果.20．（1）证明见解析；（2）PA =PC 与平面PBD 所成角最大，此时该角的正弦值为35. 【分析】（1）根据已知条件，得到BD PA ⊥，再利用正切函数的性质，求得030,BAC 60ABD ∠=∠=，得到BD AC ⊥，进而可证得平面PBD ⊥平面PAC ；（2）建立空间坐标系，得到()BD =-，()0,2,DP t =-，()2PC t =-，进而得到平面PBD的一个法向量为1,3,n ⎛= ⎝⎭，进而可利用向量的公式求解【详解】（1）∵PA ⊥平面,ABCD BD⊂平面ABCD ，∴BD PA ⊥，又tan tan 3AD BCABD BAC AB AB∠==∠== ∴0030,BAC 60ABD ∠=∠=，∴090AEB ∠=，即BD AC ⊥（E 为AC 与BD 交点）．又PAAC ，∴BD ⊥平面PAC ，又因为BD ⊂平面PBD ，所以，平面PAC ⊥平面PBD（2）如图，以AB 为x 轴，以AD 为y 轴，以AP 为z 轴，建立空间坐标系，如图，设AP t =，则()()()(),,0,2,0,0,0,B C D P t ，则()BD =-，()0,2,t DP =-，()23,6,PC t =-，设平面PBD 法向量为(),,n x y z =，则00n BD n DP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2020y y tz ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，得平面PBD 的一个法向量为231,3,n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以22226333cos ,1214448451PC n PC n PC nt t t t ⋅===++++，因为22221441445151275t t t t+++=≥，当且仅当23t =时等号成立，所以5c 33353os ,PC n ≤=，记直线PC 与平面PBD 所成角为θ，则sin cos ,PC n θ=，故3sin 5θ≤，即23t =时，直线PC 与平面PBD 所成角最大，此时该角的正弦值为35．【点睛】关键点睛：解题关键在于利用定义和正切函数的性质，得到BD ⊥平面PAC ，进而证明平面PAC ⊥平面PBD ；以及建立空间直角坐标系，求出法向量，进行求解直线PC 与平面PBD 所成角的最大值，难度属于中档题 21．（133a ；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）根据三棱锥的体积公式计算；（2）证明AC 与EF 和DF 垂直，然后可得线面垂直；（3）连接CM 交DE 于点H ，证明//MN FH 即可得线面平行．【详解】（1）由题意23BCD S =△，231133·33D ABC A DBC DBC V V S AB a --===⨯=；（2）由AB ⊥平面BCD ，得,AB BC AB BD ⊥⊥，AB BC a ==，则2AC AD a ==，如图，在ADC 中，取CD 中点G ，连接AG ，则AG DC ⊥， ∵3AF FC =，∴24CF a=，又12CG a =，∴CF CDCG CA =，C ∠公用，∴CDF ∽CAG ，∴90CFD CGA ∠=∠=︒，即AC DF ⊥，取AC 中点K ，连接BK ，则BK AC ⊥，又由3AF FC =得12CF CK =，而12CE CB =，∴//EF BK ，∴EF AC ⊥，EF DF F =，∴AC ⊥平面DEF ；（3）连接CM 交DE 于点H ，∵,M E 分别是,BD BC 中点，∴H 是DBC △的重心，23CH CM =，又38CN AC =，14CF AC =，∴23CF CN =，即CF CH CN CM =， ∴//HF MN ，HF ⊂平面DEF ，MN ⊄平面DEF ，∴//MN 平面DEF ．【点睛】关键点点睛：本题考查求棱锥的体积，考查证明线在垂直与线面平行，掌握线面平行与垂直的判定定理是解题关键．证明时定理的条件缺一不可，一般都需一一证明列举出来，才能得出相应的结论．22．（1）证明见解析；（22．【分析】（Ⅰ）利用面面平行的判定定理证明平面//AMD 平面BPC ，再利用面面平行的性质定理即可证明//DM 平面PBC ；（2）先证明AD ⊥平面ABPM ，设点C 到平面APD 的距离为d ，利用等体积法得13P ACD C APD APD V V d S --==⋅△，通过计算即可得d .【详解】（Ⅰ）因为四边形ABCD 是正方形，所以//BC AD ，又BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，//AD 平面PBC ，因为//MA PB ，同理可证//MA 平面PBC ，,,AD MA A AD MA ⋂=⊂平面AMD ，所以平面//AMD 平面PBC ，又因为DM ⊂平面AMD ，所以//DM 平面PBC ；（2）因为AM ⊥平面ABCD ，∴AM ⊥AD ，PB ⊥平面ABCD ，又∵AD ⊥AB ，AM AB A =，∴AD ⊥平面ABPM ， ∴AD ⊥AP又AP =设点C 到平面APD 的距离为d∵11142223323P ACD ACD V PB S -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△ 又∵13P ACD C APD APD V V d S --==⋅△122APD S =⨯⨯=△∴1433⨯=; ∴d =即点C 到平面APD 【点睛】方法点睛：证明直线与平面平行可通过证明直线与直线平行或平面与平面平行来证明.23．(I)证明见解析；【分析】（I ）取AD 的中点P ，连结EP PC ，，MP ，利用平行四边形及线面垂直的性质定理证明,,PE PC AD 相互垂直，从而可证明EC 与,MP MD 垂直，然后可得线面垂直，面面垂直；（II ）取Q CD 为的中点，连结,PQ EQ ，可得EQP ∠为二面角A CD E --的平面角，在Rt EPQ △中求得其余弦值．【详解】（Ⅰ）证明：取AD 的中点P ，连结EP PC ，．则EF AP =，∵//FE AP =，∴四边形FAPE 是平行四边形， ∴//FA EP =，同理，//AB PC =.又∵FA ⊥平面ABCD ，∴EP ⊥平面ABCD ，而PC AD ，都在平面ABCD 内，∴.EP PC EP AD ⊥⊥，由AB AD ⊥，可得PC AD ⊥，设FA a =，则2.EP PC PD a CD DE EC a ======，所以△ECD 为正三角形.∵DC DE =且M 为CE 的中点，∴DM CE ⊥.连结MP ，则.MP CE ⊥ PM ∩MD =M ，而PM ，MD 在平面AMD 内， ∴CE ⊥平面AMD而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥CDE . （Ⅱ）解：取Q CD 为的中点，连结,PQ EQ ， ∵CE DE =，∴.EQ CD ⊥ ∵PC PD =，∴PQ CD ⊥∴EQP ∠为二面角A CD E --的平面角. 由(Ⅰ)可得， 6222EP PQ EQ a PQ a ==⊥，，．于是在Rt EPQ △中，3cos PQ EQP EQ ∠==．∴二面角A CD E --的余弦值为33. 【点睛】方法点睛：本题考查证明面面垂直，考查求二面角．求二面角的几何方法：一作二证三计算，一作：作出二面角的平面角；二证：证明所作的角是二面角的平面角；三计算：在三角形中求出这个角（这个角的余弦值）． 24．（1）证明见解析，（23【分析】（1）取AC 的中点O ，连接,PO BO ，可得,PO AC BO AC ⊥⊥，再由线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面POB ，从而可证得AC PB ⊥；（2）求解三角形证明PO OB ⊥，可得PO ⊥平面ABC ，利用等体积法求得结果【详解】（1）证明：取AC 的中点O ，连接,PO BO ，因为1PA PC ==，AB BC =，所以,PO AC BO AC ⊥⊥，因为PO OB O =，所以AC ⊥平面POB ，因为PB 在平面POB 内，所以AC PB ⊥，（2）解：在PAC △中，因为1PA PC ==，60APC ∠=︒，所以3PO =，1AC =，在ABC 中，因为AB BC =，90ABC ∠=︒，所以12BO =，在PBO 中，由于32PO =，12BO =，1AC PB ==，所以222PO BO PB +=，所以PO OB ⊥，因为 ,PO AC BO AC O ⊥=，所以PO ⊥平面ABC ，所以111331322A PBC P ABC V V --==⨯⨯⨯⨯=【点睛】此题的两个等腰三角形有相同的底，所以利用等腰三角形“三线合一”的性质可证得线线垂直，再利用了线面垂直的判定和性质，由于三棱锥A PBC -的体积不易求解，所以利用等体积法求三棱锥A PBC -的体积，此题考查数学转化思想 25．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）连结AC 、BD ，交于点O ，连结OE ，通过//OE PA 即可证明；（2）通过PD BC ⊥， CD BC ⊥可证BC ⊥平面PDC ，即得DE BC ⊥，进而通过DE ⊥平面PBC 得DE PB ⊥，结合EF PB ⊥即证.【详解】证明：（1）连结AC 、BD ，交于点O ，连结OE ，底面ABCD 是正方形，∴O 是AC 中点，点E 是PC 的中点，//OE PA ∴.OE ⊂平面EDB ， PA ⊄平面EDB ，∴//PA 平面EDB . （2）PD DC =，点E 是PC 的中点，DE PC ∴⊥.底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ， ∴PD BC ⊥， CD BC ⊥，且 PD DC D ⋂=， ∴BC ⊥平面PDC ，∴DE BC ⊥，又PC BC C ⋂=，∴DE ⊥平面PBC ， ∴DE PB ⊥，EF PB ⊥，EF DE E ⋂=， PB ∴⊥平面EFD . 【点睛】本题考查线面平行和线面垂直的证明，属于基础题. 26．（1）证明见解析；（2）13；【分析】（1）想要证明线线垂直，就得先证明线面垂直，由于E ，F 两点都是中点，故想到取中点，构造两组线线垂直，由线面垂直的判定定理知，平面DGH ，由线面垂直的性质知，GD EF ⊥；（2）求解三棱锥的体积问题，我们通常采用等体积法，将已知的三棱锥转变成一个我们容易求解的三棱锥来求解，由于本题中,所以，平面GEF ，显然，三棱锥的高解决了，故有G EFD V -=D GEF V -=13【详解】证明：取EF 的中点为H,连接DH,GH ，在中，GE=GF ，H 是中点，,在中，DE=DF ，H 是中点，故,,所以平面DGH ，即GD EF ⊥．（2）EF ∥平面GMN 知，F 是BC 边上的中点，故有GE GF ⊥，在直角三角形GEF 中，GE=GF=1，故EF=，又因为,所以，平面GEF ，故此时三棱锥的高为DG ，值是2，G EFD V -=D GEF V -=13。

2015届上海市高考一模汇编立体几何

E D ACBA GD EH BCMF第13题图PABCDE2015届高中数学·一模汇编立体几何一、填空题1.（2015奉贤一模理11文11）如图，在矩形ABCD 中，E 为边AD 的中点，1AB =，2BC =，分别以A 、D 为圆心，1为半径作圆弧EB 、EC （E 在线段AD 上）.由两圆弧EB 、EC 及边BC 所围成的平面图形绕直线AD 旋转一周，则所形成的几何体的体积为 .2.（2015黄浦一模理9文9）已知某圆锥体的底面半径3r =，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥体的表面积是．3.（2015嘉定一模理7文7）若圆锥的侧面积是底面积的4倍，则其母线与轴所成角的大小是____________（结果用反三角函数值表示）．4.（2015宝山一模理10文10）三棱锥O –ABC 中，OA=OB=OC =2，且∠BOC =45︒，则三棱锥O –ABC 体积的最大值是．5.（2015宝山一模理13文13）如图所示，在长方体ABCD –EFGH 中，AD =2，AB=AE=1，M 为矩形AEHD 内的一点，如果∠MGF =∠MGH ，MG 和平面EFG 所成角的正切值为12，那么点M 到平面EFGH 的距离是． 6.（2015静安一模文7）已知圆锥底面圆的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为32π的扇形，则该圆锥的侧面积是 .7.（2015静安一模理4）已知圆锥底面圆的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为32π的扇形，则该圆锥的侧面积是 .8.（2015浦东一模理11文11）如图，已知⊥PA 平面ABC ，AB AC ⊥，BC AP =，︒=∠30CBA ，D 、E 分别是BC 、AP 的中点. 则异面直线AC 与DE 所成角的大小为 . 9.（2015普陀一模理6文6）如图，正三棱柱的底面边长为2，体积为3，则直线C B 1与底面ABC 所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）.A BC 1C 1B 1AABCN EGM D F10.（2015普陀一模理14）如图，点1P ,2P ,… ,10P 分别是四面体的顶点或其棱的中点，则在同一平面内的四点组()kjiP P P P ,,,1（101≤<<<k j i ）共有个.11.（2015普陀一模文14）四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取四个不共面的点，不同的取法共有 .12.（2015青浦一模理6文6）平面α截半径为2的球O 所得的截面圆的面积为π，则球心O 到平面α的距离为13.（2015松江一模理5文5）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1BC 与平面ABCD 所成的角为60︒，则1BC 与AC 所成的角为（结果用反三角函数表示）．14.（2015杨浦一模理10）在底面直径为6的圆柱形容器中，放入一个半径为2的冰球，当冰球全部溶化后，容器中液面的高度为_______________.（相同质量的冰与水的体积比为10：9）15.（2015杨浦一模文11）已知一个铁球的体积为36π，则该铁球的表面积为______________.16.（2015长宁一模理8文8）如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小是 .17.（2015宝山一模理8文8）若一个球的体积为43π，则它的表面积为．18.（2015宝山一模理10文10）正四棱锥P -ABCD 的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成的角的余弦值等于．19.（2015崇明一模理6文6）圆锥的底面半径为3，高为1，则圆锥的侧面积为． 20.（2015虹口一模理13文13）右图是正四面体的平面展开图，M N G 、、分别为DE BE FE 、、的中点，则在这个正四面体中，MN 与CG 所成角的大小为 . 21.（2015徐汇一模理6文6）若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，高为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是______________．（结果用反三角函数值表示）二、选择题1.（2015青浦一模理16文16）设a b 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，则下面四个命题中错误．．的是（A ）若,,a b a b αα⊥⊥⊄ ，则b //α （B ）若,,a b a b αβ⊥⊥⊥ ，则αβ⊥ （C ）若,a βαβ⊥⊥ ，则a //α或 a α≠⊂ （D ）若 a //,ααβ⊥ ，则a β⊥2.（2015奉贤一模理13文13）正方体中两条面对角线的位置关系是（）A ．平行B ．异面C ．相交D ．平行、相交、异面都有可能3.（2015奉贤一模理17文17）在空间中，设m 、n 是不同的直线，α、β是不同的平面，且m α⊂≠，n β⊂≠，则下列命题正确的是（）A ．若n m //，则βα//B ．若m 、n 异面，则α、β平行C ．若m 、n 相交，则α、β相交D ．若n m ⊥，则βα⊥4.（2015黄浦一模理15文15）给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的 ( )．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件5.（2015静安一模理18文18）到空间不共面的四点距离相等的平面个数为( ) A ．1个； B ．4个； C ．7个； D ．8个6.（2015浦东一模理18文18）“直线l 垂直于ABC △的边AB ，AC ”是“直线l 垂直于ABC △的边BC ” 的（）()A 充分非必要条件 ()B 必要非充分条件 ()C 充要条件 ()D 既非充分也非必要条件三、解答题1.（20154奉贤一模理26文26）如图，四棱锥P ABCD -的侧棱都相等，底面ABCD 是正方形，O 为对角线AC 、BD 的交点，PO OA =，求直线PA 与面ABCD 所成的角的大小．EBD 1D 1BFC1APA1C 第19题图2.（2015黄浦一模理19文19）在长方体1111ABCD A B C D -中，14,3AB AA BC ===，E F 、分别是所在棱AB BC 、的中点，点P 是棱11A B 上的动点，联结1,EF AC ．如图所示．（1）求异面直线1EF AC 、所成角的大小(用反三角函数值表示)；（2）求以E F A P 、、、为顶点的三棱锥的体积．3.（2015嘉定一模理20文20）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90BAC ，21===AA AC AB ，点E 、F 分别为棱AC 与11B A的中点．（1）求三棱锥11EFC A -的体积；（2）求异面直线C A 1与EF 所成角的大小．P DCBA 第20题图P D CBA FE4.（2015宝山一模理20文20）如图，在四棱锥P –ABCD 的底面梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB =2，AD=3，∠ADC =45︒.已知PA ⊥平面ABCD ，PA =1．求：（1）异面直线PD 与AC 所成角的大小 (结果用反三角函数值表示)；（2）三棱锥C –APD 的体积．5.（2015静安一模理21）如图，长方体1111D C B A ABCD -中，2==AD AB ，41=AA ，点P 为面11A ADD 的对角线1AD 上的动点（不包括端点）.⊥PM 平面ABCD 交AD 于点M ，BD MN ⊥于点N . （1）设x AP =，将PN 长表示为x 的函数；（2）当PN 最小时，求异面直线PN 与11C A 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）A B CDA 1B 1C 1D 1PMNOASB6.（2015静安一模文21）如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，点P 为面11A ADD 的对角线1AD 的中点.⊥PM 平面ABCD 交AD 于点M ，BD MN ⊥于点N .（1）求异面直线PN 与11C A 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）求三棱锥BMN P -的体积.7.（2015浦东一模理26文26）如图所示，圆锥SO 的底面圆半径1||=OA ，其侧面展开图是一个圆心角为32π的扇形，求此圆锥的体积A B CDA 1B 1C 1D 1PMNMHBA8.（2015浦东一模理30文30）某风景区有空中景点A 及平坦的地面上景点B ．已知AB 与地面所成角的大小为60，点A 在地面上的射影为H ，如图.请在地面上选定点M ，使得AB BMAM达到最大值.9.（2015普陀一模理21文21）如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等，铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.（单位：mm）.（加工中不计损失）.（1）若钉身长度是钉帽高度的2倍，求铆钉的表面积；（2）若每块钢板的厚度为12mm，求钉身的长度（结果精确到1mm）.193820图1 3111 2图h23h DCBAD 1A 1C 1B 1M第19题图10.（2015青浦一模理19文19）如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，2BC =，14CC =，M 为棱1CC 上一点.（1）若11C M =，求异面直线1A M 和11C D 所成角的正切值；（2）若12C M =，求证BM ⊥平面11A B M .11.（2015松江一模理21文21）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时。

2015届上海市高考数学·二模汇编解析几何

2015届高中数学·二模汇编（专题：解析几何）2015届高中数学·二模汇编解析几何一、填空题1.（2015崇明二模文6理6）设直线0132=++y x 和圆22230x y x +--=相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线方程是．2.（2015崇明二模文12理11）已知双曲线2212y x -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且120MF MF ⋅=，则点M 到x 轴的距离等于．3. （2015奉贤二模文6理6）以抛物线x y 42=的焦点F 为圆心，与抛物线的准线相切的圆的标准方程为__________．4. （2015奉贤二模理11）关于x 的实系数一元二次方程2240x px -+=的两个虚根1z 、2z ，若1z 、2z 在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为__________．5. （2015奉贤二模文13）设12,F F 是曲线()0,012222>>=+n m ny m x 的两个焦点，曲线上一点与12,F F 构成的三角形的周长是16，曲线上的点到1F 的最小距离为2，则=n ____________．6. （2015虹口二模文8）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点在圆22(1)4x y -+=上，则p =________.7. （2015虹口二模理11文11）如图所示，已知12,F F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，且122F F =，若以坐标原点O 为圆心，12F F 为直径的圆与该双曲线的左支相交于,A B 两点，且2F AB ∆为正三角形，则双曲线的实轴长为__________.8.（2015虹口二模文13）已知直线1:125150l x y -+=和2:2,l x =-28P y x =点为抛物线上的动点，则1P l 点到直线2l 和直线的距离之和的最小值为_________.9．（2015黄浦二模文8理8）已知点(2,3)(1,4)A B --、，则直线AB 的点法向式方程是．10．（2015黄浦二模文9理9）已知抛物线216y x =的焦点与双曲线2221(0)12x y a a -=>的一个焦点重合，则双曲线的渐近线方程是．11．（2015静安二模文9）圆22420x y x y +-+=的圆心到直线3430x y ++=的距离为． 12.（2015静安二模理9）过圆0422=+-+my x y x 上一点)1,1(P 的切线方程为．xy2F 1F A BO13.（2015闵行二模理11文11）斜率为22的直线与焦点在x 轴上的椭圆2221(0)y x b b +=>交于不同的两点P 、Q .若点P 、Q 在x 轴上的投影恰好为椭圆的两焦点，则该椭圆的焦距为 .14.（2015闵行二模理13）如图，已知点(2,0)P ，且正方形ABCD 内接于O ：221x y +=， M 、N 分别为边AB 、BC 的中点.当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时， PM ON ⋅的取值范围为．15．（2015浦东二模理6文6）已知直线0243=++y x 与圆()2221r y x =+-相切，则该圆的半径大小为．16.（2015普陀二模理6文6）如图，若,66π∠=⋅=-OFB OF FB ，则以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为左焦点的椭圆的标准方程为．17．（2015徐汇二模理3文3）已知直线l 的一个法向量是()1,3n =-，则此直线的倾斜角的大小为． 18．（2015徐汇二模理14文14）对于曲线C 所在平面上的定点0P ，若存在以点0P 为顶点的角α，使得0AP B α≥∠对于曲线C 上的任意两个不同的点B A ,恒成立，则称角α为曲线C 相对于点0P 的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线C 相对于点0P 的“确界角”．曲线⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+=)0(12)0(1:22x x x x y C 相对于坐标原点O 的“确界角”的大小是．19.（2015闸北二模文9理8）从双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点P ，若M 是线段FP 的中点，O 为原点，则MO MT -的值是____________．20．（2015长宁二模文2理2）抛物线28x y =的焦点到准线的距离是______________．二、选择题1. （2015虹口二模理17）如图所示，PAB ∆所在平面α和四边形ABCD 所在的平面β互相垂直，且AD α⊥， BC α⊥，4AD =，8BC =，6AB =，若tan 2tan 1ADP BCP ∠-∠=，则动点P 在平面α内的轨迹是（）A.线段B.椭圆的一部分C.抛物线D.双曲线的一部分2. （2015虹口二模理18）已知F 为抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为抛物线上的三点，O 为坐标原点，F 若为ABC ∆的重心，,,OFA OFB OFC ∆∆∆面积分别记为123,,S S S ，则222123S S S ++的值为（）A.3B.4C.6D.9βαP BA DCABDy xCP NMO3．（2015浦东二模理17文17）若直线30ax by +-=与圆223x y +=没有公共点，设点P 的坐标(,)a b ，则过点P的一条直线与椭圆22143x y +=的公共点的个数为 ( ) )(A 0 )(B 1)(C 2 )(D 1或24．（2015长宁二模文17）设双曲线12222=-by a x （0>a ，0>b ）的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为（）A ．x y 2±=B ．x y 2±=C ．x y 22±= D ．x y 21±=三、解答题1.（2015崇明二模理22文22）已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F 与x 轴不垂直的直线交椭圆于,P Q 两点．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l 的斜率为1时，求POQ ∆的面积；（3）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．2.（2015奉贤二模理21文21）平面直角坐标系中，点()0,2-A 、()0,2B ，平面内任意一点P 满足：直线PA 的斜率1k ，直线PB 的斜率2k ，4321-=k k ，点P 的轨迹为曲线1C ．双曲线2C 以曲线1C 的上下两顶点N M ,为顶点，Q 是双曲线2C 上不同于顶点的任意一点，直线QM 的斜率3k ，直线QN 的斜率4k ．（1）求曲线1C 的方程；(5分)（2）如果04321≥+k k k k ，分别求双曲线2C 的两条渐近线倾斜角的取值范围．(9分)(第22题图）F 2F1y xPQ O 3.（205虹口二模文22理22）已知圆()221:18F x y ++=，点()21,0F ，点Q 在圆1F 上运动，2QF 的垂直平分线交1QF 于点P .（1）求动点P 的轨迹的方程C ；（2）设,M N 分别是曲线C 上的两个不同点，且点M 在第一象限，点N 在第三象限，若122OM ON OF +=， O 为坐标原点，求直线MN 的斜率；（3）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线l 交曲线C 于,A B 两点，在y 轴上是否存在定点T ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由.4.（2015黄浦二模理23）已知点()12,0F -、()22,0F ，平面直角坐标系上的一个动点(),P x y 满足124PF PF +=，设动点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）点M 是曲线C 上的任意一点，GH 为圆()22:31N x y -+=的任意一条直径，求MG MH ⋅的取值范围；（3）已知点,A B 是曲线C 上的两个动点，若OA OB ⊥（O 是坐标原点），试证明：直线AB 与某个定圆恒相切，并写出定圆的方程．5.（2015黄浦二模文23）已知点12(2,0)(2,0)F F -、，平面直角坐标系上的一个动点(,)P x y 满足12||+||=4PF PF ．设动点P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）点M 是曲线C 上的任意一点，GH 为圆22:(3)1N x y -+=的任意一条直径，求MG MH ⋅的取值范围；（3）已知点A B 、是曲线C 上的两个动点，若OA OB ⊥(O 是坐标原点)，试证明：原点O 到直线AB 的距离是定值．6.（2015静安二模理22）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C 的方程为2218x y +=，设AB 是过椭圆C 中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l 上与O 不重合的点．（1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；（2）若2MO OA =，当点A 在椭圆C 上运动时，求点M 的轨迹方程；（3）记M 是l 与椭圆C 的交点，若直线AB 的方程为(0)y kx k =>，当△AMB 面积取最小值时，求直线AB 的方程．7.（2015静安二模文22）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C 的方程为2218x y +=，设AB 是过椭圆C 中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l 上与O 不重合的点．（1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；（2）若2MO OA =，当点A 在椭圆C 上运动时，求点M 的轨迹方程；（3）记M 是l 与椭圆C 的交点，若直线AB 的方程为(0)y kx k =>，当△AMB 面积为4147时，求直线AB 的方程．8.（2015闵行二模理22）已知两动圆2221:(3)F x y r ++=和2222:(3)(4)F x y r -+=-（04r <<），把它们的公共点的轨迹记为曲线C ,若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点A B 、满足0MA MB ⋅=．（1）求曲线C 的方程；（2）证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标；（3）求ABM △面积S 的最大值．9.（2015闵行二模文22）已知两动圆2221:(3)F x y r ++=和2222:(3)(4)F x y r -+=-（04r <<），把它们的公共点的轨迹记为曲线C ，若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点A B 、满足：0MA MB ⋅=．（1）求曲线C 的方程；（2）若A 的坐标为(2,0)-，求直线AB 和y 轴的交点N 的坐标；（3）证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标．10．（2015浦东二模理22）已知直线l 与圆锥曲线C 相交于两点,A B ，与x 轴，y 轴分别交于D E 、两点，且满足1EA AD λ=、2EB BD λ=．（1）已知直线l 的方程为24y x =-，抛物线C 的方程为24y x =，求12λλ+的值；（2）已知直线():11l x my m =+>，椭圆22:12x C y +=，求1211λλ+的取值范围；（3）已知双曲线()222122222:10,0,x y a C a b a b bλλ-=>>+=，试问D 是否为定点？若是，求点D 的坐标；若不是，说明理由．11．（2015浦东二模文22）已知直线l 与圆锥曲线C 相交于两点,A B ，与x 轴，y 轴分别交于D E 、两点，且满足1EA AD λ=、2EB BD λ=．（1）已知直线l 的方程为24y x =-，抛物线C 的方程为24y x =，求12λλ+的值；（2）已知直线():11l x my m =+>，椭圆22:12x C y +=，求1211λλ+的取值范围；（3）已知双曲线C ：1322=-y x ，621=+λλ，求点D 的坐标．11.（2015普陀二模理22文22）如图，射线OA OB 、所在的直线的方向向量分别是()()()121,1,0==->d k d k k 、，点P 在∠AOB 内，⊥PM OA 于M ，⊥PN OB 于N ．（1）若311,,22k P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求OM 的值；（2）若()2,1,∆P OMP 的面积为65，求k 的值；（3）已知k 为常数，M N 、的中点为T ，且1∆=MON S k，当P 变化时，求动点T 的轨迹方程．22465NMPyxAOBS RPQDC BAO12.（2015年徐汇二模文21理21）用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如右图所示，它的外框是一个等腰梯形PQRS ，内部是一段抛物线和一根横梁．抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点O ，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点,A B ，抛物线与梯形下底的两个焊接点为,C D ．已知梯形的高是40厘米，C D 、两点间的距离为40厘米．（1）求横梁AB 的长度;（2）求梯形外框的用料长度．（注:细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确到1厘米．）13.（2015年杨浦文23理23）已知抛物线x y C 4:2=的焦点F ，线段PQ 为抛物线C 的一条弦. （1）若弦PQ 过焦点F ，求证：11FP FQ+为定值；（2）求证:x 轴的正半轴上存在定点M ，对过点M 的任意弦PQ ，都有2211MP MQ +为定值；（3）对于（2）中的点M 及弦PQ ，设PM MQ λ=，点N 在x 轴的负半轴上，且满足()NM NP NQ λ⊥-，求N 点坐标.14.（2015年闸北二模文17理16）已知圆()221:18C x y ++=，点()21,0C ，点Q 在圆1C 上运动，2QC 的垂直平分线交1QC 于点P ．（1）求动点P 的轨迹W 方程；（2）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为k 的动直线l 交曲线W 于,A B 两点，在y 轴上是否存在定点D ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．15.（2015长宁二模文22）已知椭圆1:2222=+by a x C （0>>b a ）的焦距为2，且椭圆C 的短轴的一个端点与左、右焦点1F 、2F构成等边三角形．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设M 为椭圆上C 上任意一点，求21MF MF ⋅的最大值与最小值；（3）试问在x 轴上是否存在一点B ，使得对于椭圆上任意一点P ，P 到B 的距离与P 到直线4=x 的距离之比为定值．若存在，求出点B 的坐标，若不存在，请说明理由．16.（2015长宁二模理22）已知椭圆1:2222=+by a x C （0>>b a ）的左、右焦点分别为1F 、2F ，点B ),0(b ，过点B 且与2BF垂直的直线交x 轴负半轴于点D ，且→=+02221D F F F ．（1）求证：△21F BF 是等边三角形；（2）若过B 、D 、2F 三点的圆恰好与直线l ：033=--y x 相切，求椭圆C 的方程；（3）设过（2）中椭圆C 的右焦点2F 且不与坐标轴垂直的直线l 与C 交于P 、Q 两点，M 是点P 关于x 轴的对称点．在x 轴上是否存在一个定点N ，使得M 、Q 、N 三点共线，若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．。

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高二数学（直线、平面、简单几何体）单元测试07年4月
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姓名
一．选择题(6′×7)
1．,a b 是平面α外的两条直线，若//,a α 则“//a b ”是“//b α” 的
（A ）充要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要 2．下面四个命题中，真命题的个数是
①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③侧棱垂直于底面的两条边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体。

（A ）1
（B ）2
（C ）3 （D ）4
3．已知ABC ∆是正三角形，PA ⊥平面ABC ，且1
2
PA AC =，则二面角P BC A --为（A ）60°
（B ）30° （C ）45° （D ）120°
4．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1
6
，经过这3个点的小圆的周长为6π，则这个球的半径为
（A ）（B ）4 （C （D ）5．棱长均为1的平行六面体1111ABCD A BC D -中，1BAD BAA ∠=∠=13
DAA
π
∠=，若点
,M N 分别为棱111,A D BB 的中点，则MN 的长度为
（A ）1
（B （C ）2 （D ）
6．在正方体1111ABCD A BC D -过顶点A 1在空间作直线l ，使l 与直线AC 、BC 1所成的角都等于60°，这样的直线的条数为
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
7．(理)正三棱锥V-ABC 的底面边长为2a ，E ，F ，G ，H 分别是VA ，VB ，BC ，AC 的中点，则四边形EFGH 面积的取值范围是
(A)(0,)+∞ (B)
2,)+∞ (C) 2
,)+∞ (D) 21(,)2a +∞
（文）若直线l 与平面α所成角为3
π
，直线a 在平面α内，且与直线l 异面，则直线l 与直线a 所成角的取值范围是 (A)0,
3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
(B)20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (C) 2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (D) ,32ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
二．填空题(6′×5)
8．长方体的三条棱长a b c 、、
22，则该长方体的体积为________。

9．正六棱锥的底面周长是24cm,侧面与底面所成的角是60︒，则棱锥的高是____，斜高是_______，侧棱长是_____，侧棱与底面所成角的正切值是_______。

10．（理）在边长为1的正ABC ∆中，AD 是BC 边长上的高，沿AD 将三角形折成直二面角
B AD
C --，则异面直线AB 与C
D 间的距离__________。

（文）正四面体V-ABC 的棱长为2a ，E ，F ，G ，H 分别是VA ，VB ，BC ，AC 的中点，则四边形EFGH 面积是________________ 。

11．一个半径为R 的球放在墙角，且与墙角的三个面都相切（而且这三个面两两垂直），则球心到墙角顶点的距离为。

12．（理）二面角a αβ--的大小为120︒，,,A AE a α∈⊥E 为垂足，,B BF a β∈⊥,F 为垂足。

AE=2，BF=3，EF=1，P 为棱上一点，则AP+PB 的最小值为______。

（文）二面角a αβ--的大小为120︒，,,A AE a α∈⊥E 为垂足，,B BF a β∈⊥,F 为垂足.AE=2，BF=3，EF=1，则,A B 两点间的距离为_______。

三．解答题(14′+14′)
13．已知棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -，E ，F 分别是棱11B C 和11C D 的中点， (1)求证：E 、F 、B 、D 共面； (2)求点A 到平面BDFE 的距离；
(3)求直线1A D 与平面
BDFE 所成角。

14．如图,直三棱柱11190ABC A B C ACB -∠=︒中，，BC=AC=2，14AA =，D 为棱1CC 上的一动点，M 、N 分别为11ABD A B D ∆∆，的
重心
(1) 求证：MN BC ⊥；
(2) (理)若二面角C-AB-D
的大小为arctan
求点1C 到平面
11A B D 的距离；
(文)若二面角C-AB-D
的大小为求此时D 的位置；
(3) (理)若点C 在ABD ∆上的射影正好为M ，试判断点1C 在
11A B D ∆的射影是否为N ？并说明理由。

A
1
A 1
高二数学（直线、平面、简单几何体）单元测试答卷
班级学号姓名一、选择题(6′×7)
二、填空题(6′×5)
8._________________6___; 9.___6,3
2
__________________;
10._________
4
\2a____________; _______________;
\
三、解答题(14′+14′)
13、
(1)略
(2)2 3
(3)
4
14、
（1）略
（2）
（3）D为中点
A
1 A1。