算法合集之《浅谈信息学竞赛中的区间问题》
算法合集之《浅谈信息学竞赛中的“压缩法”》
2005年信息学奥林匹克竞赛冬令营论文安徽周源压去冗余缩得精华——浅谈信息学竞赛中的“压缩法”安徽周源摘要在信息学竞赛中，我们经常遇到这样一类问题：数据规模大，或是数据间的关系复杂，总而言之即输入数据的信息量过大。
作者在综合分析了很多信息学竞赛试题后，提出了“压缩法”这个概念：即压去输入数据中的冗余信息，保留下对解决问题有帮助的精华部分。
压缩法在信息学竞赛中有着广泛的应用，但在各类问题中却有看起来截然不同的表现形式，本文即将选择多道有代表性的例题，提炼它们的共同点，提出压缩法适用问题的两个要点。
最后，作者将在总结部分着重分析压缩法的工作特点，认为压缩法是在化归思想的基础上，加上了“信息化”的因素，通过合理的利用信息达到化简问题的目的。
关键字信息学竞赛压缩法冗余/精华信息可压缩性替代法则化归思想信息化目录压去冗余缩得精华 (1)——浅谈信息学竞赛中的“压缩法” (1)摘要 (2)关键字 (2)目录 (3)引子 (4)压缩法的定义 (4)压缩法的简单实例 (4)[例一]多源最短路问题（经典问题） (4)[例二]球队问题（经典问题） (5)压缩法的要点 (7)1.可压缩性 (7)2.替代法则 (7)[例三]模方程组的替代法则（经典问题） (7)压缩法的应用 (8)[例四]欧元兑换（BOI 2003） (8)[分析] (9)[动态规划的矛盾] (9)[压缩法化解矛盾] (10)[小结] (12)[例五]合并数列问题（ZOJ p1794 Merging Sequence Problem改编） (12)[分析] (13)[观察压缩要点] (13)[寻找可压缩性：第一阶段压缩] (14)[寻找可压缩性：第二阶段压缩] (16)[贪心法解题] (17)[小结] (17)总结 (18)附录 (19)附录一：关于[例四]中的斜率优化法 (19)附录二：论文附件 (19)附录三：关于MergeSequence.pas程序的输入格式 (20)参考文献 (20)引子可能不少同学都对题目中“压缩法”这个名词感到很陌生，不错，因为这是作者自己发明的一个名词 。
信息学竞赛中常见的论问题与算法
信息学竞赛中常见的论问题与算法信息学竞赛是计算机科学与技术领域的重要竞赛形式，旨在培养学生的计算思维、算法设计和程序编写能力。
在竞赛中，常见的论问题与算法是非常重要的知识点。
本文将介绍信息学竞赛中常见的论问题及其解决算法。
一、最短路径问题在信息学竞赛中，最短路径问题是经常出现的一类论问题。
其基本思想是在给定的图结构中，寻找从起点到终点的最短路径。
1. Dijkstra算法Dijkstra算法是最短路径问题中常用的解决算法之一。
它采用贪心策略，从起点开始逐步扩展最短路径集合，直到找到终点或者所有路径都找到为止。
2. Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法是解决最短路径问题的另一种经典算法。
它采用动态规划的思想，通过迭代更新矩阵来寻找最短路径。
二、最小生成树问题最小生成树问题是指在一个连通图中，找到一个生成树，使得树的边权值之和最小。
1. Prim算法Prim算法是解决最小生成树问题的典型算法之一。
它从一个起点开始，逐步添加边，直到所有的节点都被覆盖，形成最小生成树。
2. Kruskal算法Kruskal算法是另一种常用的最小生成树算法。
它将所有边按照权值从小到大排序，逐步添加边，同时保证不形成环，直到所有节点都被覆盖。
三、动态规划问题动态规划是一种常见的问题求解方法，通过将复杂问题分解成一系列重叠子问题，并将其结果储存起来，以避免重复计算，从而提高算法的效率。
1. 背包问题背包问题是一个经典的动态规划问题，在信息学竞赛中也经常出现。
其基本思想是，在给定的背包容量和一组物品的重量、价值情况下，选择物品将其放入背包中，以获得最大的总价值。
2. 最长上升子序列问题最长上升子序列问题是求解一个序列中满足严格递增条件的最长子序列的长度。
通过动态规划求解，可以获得最优解。
四、图论问题图论是信息学竞赛中常用的一种数据结构，常见的图论问题有最短路径、最小生成树等。
1. 拓扑排序拓扑排序是一种对有向无环图进行排序的算法。
2021 海淀区信息学奥赛 区间划分
2021 海淀区信息学奥赛区间划分一、引言区间划分是计算机科学中一个重要的概念，它在算法设计和分析、数据结构以及动态规划等领域中有着广泛的应用。
2021年海淀区信息学奥赛的题目中涉及到了区间划分，这个主题既是计算机科学的重点内容，也是考生们需要深入理解和掌握的知识点。
本文将从简到繁，由浅入深地探讨2021海淀区信息学奥赛的区间划分主题，帮助读者更全面、深入地理解这一概念。
二、区间划分的基本概念在计算机科学中，区间通常指一段连续的数据集合，区间划分就是将给定的区间划分成若干个不相交的子区间，一般要求这些子区间的并等于原区间，并且它们的交为空集。
在算法设计和分析中，区间划分常常与贪心算法、动态规划等经典的算法思想结合，用来解决各种实际问题，比如区间调度、区间覆盖等。
区间划分的基本概念包括区间端点、区间长度、区间的覆盖等，这些概念都是理解区间划分题目的重要基础。
三、2021海淀区信息学奥赛中的区间划分题目在2021年海淀区信息学奥赛中，区间划分题目的具体内容可能涉及到一些关于区间长度、区间权值、区间覆盖等方面的问题。
举一个简单的例子，题目可能是给定一个长度为n的区间，每个位置上都有一个权值，现在需要将这个区间划分成m个子区间，要求每个子区间的权值之和尽量大。
这样的题目既考察了对区间划分基本概念的理解，又考验了解决实际问题的能力。
这类题目对参赛者的综合能力提出了更高的要求。
四、如何解决区间划分题目解决区间划分题目，一般可以采用贪心算法、动态规划等经典的算法思想。
在贪心算法中，常常需要根据题目的特定要求设计合适的区间划分策略，以使得每次划分能够最大化某种指标。
而在动态规划中，需要建立合适的状态转移方程，然后利用动态规划算法求解。
这些方法都需要对区间划分的特点加以分析和把握，要灵活运用各种算法思想来解决题目中的具体问题。
五、个人观点和理解区间划分是我的文章写手，编程解决问题时经常用到的一个重要概念。
在我看来，区间划分不仅是一种算法思想，更是对问题分解和综合能力的考验。
算法合集之《浅析信息学竞赛中一类与物理有关问题》
6 5
4
称与左右两边都不连通的容器为独立的
利用独立容器水压与气压的平衡 直接算出独立容器最终的水位 只需考虑容器独立前水位是如何变化的
一类特殊情况
不妨先研究一类简单的情况 大胆提出限制：管子的高度递增 这种情况下容器间更容易封住
一类特殊情况
一类特殊情况
从左到右对每个容器进行处理 总复杂度O(N) 特殊情况解决
从特殊到一般
大胆进行类比，引入块的概念
一个块是一段连续的容器 这段容器间的管子高度递减
从特殊到一般
这样定义块的原因
块内水位上升规律明显 块与块之间容易密封
一般情况的解决
块水位变化的规律
与右边的块密封前的规律
一般情况的解决
块水位变化的规律
与右边的块密封后的规律
一般情况的解决
从左到右依次对块进行处理 复杂度分析
总结
回顾例题并参考其它这类的问题 这类问题对我们的要求与培养：
有创造力，勤于实践 理性与感性相结合 思维的多样性和严谨性 灵活应对问题，看清本质 深入研究，举一反三 耐心，永不放弃的品质
死胡同 算法1 算法2 算法3
算法N
[例]water tanks(ACM 2007 Final改编)
有许多高低不同的圆柱型 容器由一些高低不同的横 向的管道连接
最多能倒多少体积的水 气压变化法则P1V1=P2V2 同一水平面水压处处相等 规模：容器数N<1000000
对样例的解释
高度H1
次数依然有O(N)，模拟也要O(N) 依然无法承受
初步分析
初步分析
抓住问题特征
只要求倒的水量 最终第一个容器的水柱高度是固定的 最终水压只由该容器水柱高度决定 分别考虑各个容器
信息学竞赛中的算法与数据结构讲解教案
信息学竞赛中的算法与数据结构讲解教案一、引言信息学竞赛是一种基于计算机科学和数学的竞争形式，其中算法与数据结构是竞赛中最为核心和关键的内容之一。
本教案将详细讲解信息学竞赛中常用的算法和数据结构，并提供相关示例和题目，以帮助学生深入理解和掌握这些知识点。
二、算法1. 算法的概念算法是一系列解决问题的步骤或方法。
在信息学竞赛中，算法常被用于解决各种问题，如排序、查找、图遍历等。
掌握不同类型的算法对于竞赛成绩的提升至关重要。
2. 常见算法类型及其应用（1）排序算法：- 冒泡排序：通过相邻元素的比较和交换来实现排序。
- 快速排序：通过选择一个基准元素将数组分为两部分，一部分小于基准元素，一部分大于基准元素，再分别对两部分递归排序。
- 归并排序：将数组分为若干个子数组，分别对子数组进行排序，然后再依次合并得到有序数组。
这些排序算法在竞赛中经常用到，学生需要了解它们的原理和实现。
（2）查找算法：- 二分查找：针对有序数组，在每次查找过程中将查找范围缩小一半，直到找到目标元素或查找范围为空。
- 哈希表查找：通过将目标元素映射到一个固定位置来进行查找，具有较快的查找速度。
（3）图算法：- 图的遍历：深度优先遍历（DFS）和广度优先遍历（BFS）是图的常用遍历方法。
DFS通过递归或栈实现，BFS通过队列实现。
- 最短路径算法：迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法分别用于求解单源最短路径和多源最短路径问题。
3. 算法示例（1）示例一：冒泡排序给定一个整数数组，按照从小到大的顺序进行冒泡排序。
```cppvoid bubbleSort(int arr[], int n) {for (int i = 0; i < n-1; i++) {for (int j = 0; j < n-i-1; j++) {if (arr[j] > arr[j+1]) {swap(arr[j], arr[j+1]);}}}}```（2）示例二：二分查找给定一个有序整数数组和一个目标值，使用二分查找算法返回目标值在数组中的下标（如果不存在则返回-1）。
算法合集之《浅谈信息学竞赛中的线性规划——简洁高效的单纯形法实现与应用》
算法合集之《浅谈信息学竞赛中的线性规划——简洁高效的单纯形法实现与应用》线性规划的简单应用和实现浙江省杭州二中李宇骞摘要线性规划在实际生活中应用非常广泛，已经创造了无数的财富。
但是它在竞赛中的应用很少。
然而，我相信它的潜力很大，所以在这里向大家简单地介绍了线性规划的一些应用，以及如何实现解线性规划，以抛砖引玉，希望线性规划能够在竞赛中如同网络流一样熠熠生辉。
本文主要分三部分，第一部分简单地介绍了线性规划，给出了其定义；第二部分给出了一些简单的应用，以及一个线性规划的经典应用——多物网络流；第三部分是用单纯形（Simplex）算法实现解线性规划。
由于对大多数竞赛选手而言，写一个线性规划的程序比构造一个模型更为恐怖（虽然难度可能不及），并且单纯形法不是多项式级别的，不实践很难知道它的速度到底怎么样，所以本文着重于第三部分，较详细地描述了一些实现的细节，以及简单的证明，并且对单纯形法的运行速度做了一些实验，还与专业的数学软件MATLAB和LINDO做了对比，从一定程度上说明了单纯形法的速度是卓越的。
同时，200行左右的程序可以让大家不必那么担心编程的复杂度，某些情况下，100行左右的程序就足够了。
关键字线性规划（Linear programming）单纯形法（Simplex）多物网络流（Multicommodity flow）引言“随著强有力的算法的发展与应用,线性规划能解决的问题也越来越来多。
在历史上，没有哪种数学方法可以像线性规划那样，直接为人类创造如此巨额的财富，并对历史的进程发生如此直接的影响。
”孙捷，这位曾经执教于清华大学的美国华盛顿大学博士如此评价线性规划。
他还举了这样一个实例：在波斯湾战争期间，美国军方利用线性规划，有效地解决了部队给养和武器调运问题，对促进战争的胜利，起了关键的作用。
难怪人们说，因为使用炸药，第一次世界大战可说是「化学的战争」；因为使用原子弹，第二次世界大战可说是「物理的战争」；因为使用线性规划，波斯湾战争可称为「数学的战争」。
信息学竞赛中问题求解常见题分析
信息学竞赛中问题求解常见题分析（四）（排列组合问题）一、知识点：1． 分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 。
种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1+m 2+…+m n 。
种不同的方法。
2． 分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事有N=m 1*m 2*…m n 。
种不同的方法。
3． 排列的概念：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
4． 排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n A 表示。
5． 排列数公式：m n A =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)(m ，n ∈N ，m ≤n)6． 阶乘：n!表示正整数l 到n 的连乘积，叫做n 的阶乘规定0!=l 。
7． 排列数的另一个计算公式：)!(!m n n A m n -= 8． 组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．9． 组合数的概念：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号m n C 表示．10．组合数公式：!)1)...(2)(1(m m n n n n A A C m m m n m n+---==，或)!(!!m n m n C m n -= (n ，m ∈N ，且m ≤n) 11．组合数的性质1：m n n m n C C -=，规定：0n C ：=1； 2：11-++=m nm n m n C C C 。
算法合集之《浅谈信息学竞赛中的区间问题》
浅谈信息学竞赛中的区间问题华东师大二附中周小博【摘要】本文对一些常用的区间问题模型做了简单介绍，包括一些算法及其正确性的证明，并从国际、国内的信息学竞赛与大学生程序设计竞赛中选了近10道相关例题，进行简要分析。
【关键字】区间模型转化贪心动态规划优化在信息学竞赛中，有很多问题最终都能转化为区间问题：例如从若干个区间中选出一些满足一定条件的区间、将各个区间分配到一些资源中、或者将一些区间以某种顺序放置等。
这类问题变化繁多，解法各异，需要用到贪心、动态规划等算法，并可以用一些数据结构优化算法。
本文将从几个方面对区间问题做一个简单的介绍，给出一些算法及其正确性的证明，具体分如下几个方面进行讨论：1.最大区间调度问题2.多个资源的调度问题3.有最终期限的区间调度问题4.最小区间覆盖问题5.带权区间调度、覆盖问题6.区间和点的有关问题我们将对上述每个问题都给出基本模型、算法、证明及其实现，并从ACM-ICPC、CEOI、CTSC等比赛中选出了近10道相关例题，进行简要分析，有的例题还给出了各种不同的算法及其时间效率的分析。
本文中所讨论的问题主要由两个部分组成，一部分为近几年来各类竞赛题的归纳总结，另一部分来自于参考文献。
数轴上有n 个区间，选出最多的区间，使得这些区间不互相重叠。
算法：将所有区间按右端点坐标从小到大排序，顺序处理每个区间。
如果它与当前已选的所有区间都没有重叠，则选择该区间，否则不选。
证明：显然，该算法最后选出的区间不互相重叠，下面证明所选出区间的数量是最多的。
设i f 为该算法所接受的第i 个区间的右端点坐标，i g 为某最优解中的第i 个区间的右端点坐标。
命题1.1 当1≥i 时，该算法所接受的第i 个区间的右端点坐标i f ≤某最优解中的第i 个区间的右端点坐标i g 。
该命题可以运用数学归纳法来证明。
对于1=i ，命题显然为真，因为算法第一个选择的区间拥有最小右端点坐标。
令1>i ，假定论断对1-i 为真，即11--≤i i g f 。
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算法： 按左端点坐标排序 每次选择覆盖点s的区间中右端点坐标最大
的一个，并更新s 直到所选区间已包含t
5.带权区间调度、覆盖问题
例题：USACO 2005 dec silver
仓库从第M秒到第E秒的任意时刻都 需要有人打扫。有N个工人，每人 给出自己的工作时间段：从第T1秒 到第T2秒，需要支付工资S元。
f i 1 ji
f [ j] | T 2 j 1 T1i
Si
Si
if M T1i ,T 2i if M T1i ,T 2i
优化1
建立线段树[M,E] 得到f[i]插入在T2i处 计算f[i]：选取区间[T1i-1,T2i-1]
中的最小值进行状态转移
优化2
建立一个栈 保持栈中区间f值的单调性
状态转移二分查找：O(logN) 栈的维护：O(N)
优化3
按左端点坐标排序 维护一个二叉堆，以f值为关键字 状态转移 （删除右端点坐标太小的区间）
6.区间和点的有关问题
有n个区间，m个点。若某区间包含了某点， 则构成一对匹配关系。选出最多的区间和 相同数量的点，使对应的区间和点构成匹 配关系。
个已知参数：长度ti和最终期限di，设fi为 其右端点坐标。定义
li
fi
0
di
if
fi di
L
max
1in
li
if fi di
放置所有区间，使它们不互相重叠且最大 延迟L最小。
算法： 按最终期限排序 顺序安排各区间
最终期限di
4.最小区间覆盖问题
算法：
所有点按坐标排序 选取包含该点且右端点坐标最小的区间
优化
维按护区二间叉左堆端：点排序，得到有序表 插入左端点小于等于该点坐标的区间 删除右端点小于该点坐标的区间 取出右端点坐标最小的与该点匹配并删除 维护二叉堆，以区间右端点为关键字 所有点按坐标从小到大依次处理
总结
有序性 算法的选择 优化——数据结构的选择
2.多个资源的调度问题
有n个区间和无限多的资源，每个资源上的 区间之间不互相重叠。将每个区间都分配 到某个资源中，使用到的资源数量最小。
定义区间集合深度d为包含任意一点的区间 数量的最大值
至少需要d个资源 算法1： 计算出d 按左端点坐标排序 依次将区间任意地分配到d个资源中
浅谈信息学竞赛中的区间问题
华东师大二附中 周小博
引言
在信息学竞赛中，有很多问题最终都能转 化为区间问题。
这类问题变化繁多，解法各异。论文归纳 总结出了几种常用模型，我们将对它们做 简要分析。
1.最大区间调度问题
数轴上有n个区间，选出最多的区间，使得 这些区间不互相重叠。
算法： 按右端点坐标排序 依次选择所有能选的区间
实现
记录每个资源的最大右端点
O(nd)
用二叉堆维护这些坐标
O(n 按右端点坐标排序 每个区间都分配到右端点坐标最大的可用
资源中。
平衡二叉树O(nlogd)
3.有最终期限的区间调度问题
有n个长度固定、但位置可变的区间，将它 们全部放置在[0,+∞)上。每个区间有两
录用一部分人，要保证从M秒到第E 秒的任意时刻都得有人打扫，问最 少要付多少工资。
转化
问题转化为：在一些带权区间中，选出一 部分，使它们覆盖[M,E]上的所有整数点， 求权和最小值。
算法：按右端点坐标排序，做动态规划
状态：f[i]=覆盖[M,T2i]的权和最小值 方程：
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