河北省武邑中学2019最新高三(上)期中数学试题(文科)(精品解析)

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河北省武邑中学2019届高三上学期期中考试数学(文)试卷(含答案)-最新

武邑中学2018-2019学年上学期高三期中考试数学（文科）试题第Ⅰ卷一选择题、本大题共14小题，每小题5分，共70分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知全集{}{}{}1,3,5,7,9,11,1,5,5,9,11U A B ===，则()AB C =＝A ．φB ．{1,5,9,11}C ．{9,11}D ．{5,7,9,11}2．已知复数11iz i+=-,则复数的模为( ) A. 2C. 1D. 03．1,45,=o ABC a b B A ∆===中，则( )A.o 30B.o 60C. o 30150o 或D. o 60120o 或 4．已知函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若()1.2121l o g 3,2,2a f b fc f -⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（） A. a c b >> B.b c a >> C.b a c >> D.a b c >> 5. 把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成的三棱锥A BCD 的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为( ) A.22B.12C.24 D.146．如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为( ) A.103 B. 15 C. 110 D.1207．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+,若()f x 为奇函数,则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为( )A. 2y x =-B. y x =-C. 2y x =D. yx =8．函数ln 1xex --的图像大致是9．已知函数f (x )为奇函数，对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)=f (x )，且f (2)＝4，则f (2 014)＝( ) A ．－4 B ．－8 C ．0 D ．－1610．已知p ：函数y x a =-在[3,)+∞上是增函数，q ：函数lg()y x a =-在［3，＋∞）是增函数，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．函数11y x=-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于 ( ) A.2 B. 4 C.6 D.812．数列{}n a 中的项按顺序可以排列成右图的形式，第一行1项，排1a ；第二行2项，从左到右分别排2a ，3a a ；第三行3项，…依此类推．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则满足n S ＞2000的最小正整数n 的值为A ．20B ．21C ．26D ．27第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．将答案填在答题卡中的横线上13．已知向量=a b ，则a 与b 夹角的大小为_________ 14.若命题“()2,110x R x a x ∃∈+-+<”是假命题,则实数a 的取值范围是_________.15.在△ABC 中，若π,4B b ∠==，则C ∠= ． 16．直三棱柱111C B A ABC -的各顶点都在同一球面上，若3=AB ， 4,5AC BC ==，21=AA ，则此球的表面积等于．三、解答：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.．（10分）在ABC ∆中，角A ，B ,C 的对边分别是a ，b ，c ，其面积为S ，且S a c b 334222=-+. （1）求A ；（2）若35=a ，54cos =B ,求c .18. 2018年2月9-25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行.4年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：(Ⅰ)根据上表说明，能否有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关？(Ⅱ)现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人，参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.(ⅰ)问男、女学生各选取多少人？(ⅱ)若从这8人中随机选取2人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目宣传介绍，求恰好选到一名男生一名女生的概率P.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19．（12分）设为数列的前项和，已知，，．（Ⅰ）求证：是等差数列；（Ⅱ）设，求数列的前项和．20．（本小题12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，左右端点为12A A ，，其中2A 的横坐标为2.过点(4,0)B 的直线交椭圆于P,Q 两点（P,Q 不与12,A A 重合），P 在Q 的左侧，点Q 关于x 轴的对称点为R ，射线1A R 与2PA 交于点M . （1）求椭圆的方程；（2）求证：M 点在直线4x =上.21．（本题满分12分）已知函数f (x )＝x ln x ．(1)若函数g (x )＝f (x )＋ax 在区间[e 2，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围； (2)若对任意x ∈(0，＋∞)，f (x )≥－x 2＋mx －32恒成立，求实数m 的最大值．(二)选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4:坐标系与参数方程] （本小题满分10分）平面直角坐标系中,直线l的参数方程为1,1x t y =+⎧⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数),以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为22cos 1cos θρθ=-. （1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程;（2）已知与直线l 平行的直线l '过点M (2,0),且与曲线C 交于A,B 两点,试求|MA|·|MB|.23.[选修4-5:不等式选讲] （本小题满分10分）已知函数()|||1|f x x x =+-. （1）解不等式()3f x ≥；（2）若()()2f x f y +≤,求x y +的取值范围.高三文科数学期中考试答案1. B2. C3. A4. B5. D6. C7. D8. C9. A 10. B 11. D 12. B13.6π14. 13a -≤≤ 15. 105度 16. 29π 17. 解：（1）由已知得：A bc A bc sin 21334cos 2⋅=………4分 3tan =∴A ………5分由A 是内角，∴ 060=A ………6分（2）由54cos =B 得53in =B s ………7分 ∴10343c 23sin 21)3(si inC +=+=+=osB B B n s π………8分由正弦定理得：343sin sin +==ACa c ………10分18. .(Ⅰ)因为()22120602020207.5 6.63580408040K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关.………………………4分(Ⅱ)(ⅰ)根据分层抽样方法得，男生3864⨯=人，女生1824⨯=人，所以选取的8人中，男生有6人，女生有2人. ………………………6分 (ⅱ)设抽取的6名男生分别为A ，B ，C ，D ，E ，F ，两名女生为甲、乙；从中抽取两人，分别记为（A ，B ）,（A ，C ）,（A ，D ）,(A,E),(A,F),(A,甲），（A,乙），（B ，C ）,（B ，D ）,(B,E),(B,F),(B,甲），（B,乙），（C ，D ）,(C,E),(C,F)(C,甲），（C,乙），(D,E),(D,F),(D,甲），（D,乙）， (E,F),(E,甲），（E,乙），(F,甲），（F,乙），（甲,乙），共28种情形，其中一男一女包括(A,甲），（A,乙），(B,甲），（B,乙），(C,甲），（C,乙），(D,甲），（D, 乙），(E,甲），（E,乙），(F,甲），（F,乙），共12种情形所以，所求概率123287P ==. ………………………12分19. （Ⅰ）证：当时，，代入已知得，，所以，因为，所以，所以，故是等差数列；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知是以1为首项，1为公差的等差数列，所以从而，当时，，又适合上式，所以．所以①② ②－①得，20.【解析】（1）因为离心率为12，所以12c a = 因为2A 的横坐标为2，所以2,1,a c b =∴===22143x y +=；（2）设112222(,),(,),(,)P x y Q x y R x y -由223412x y +=与4x my =+联立，得22(34)24360m y my +++= 所以1212222436,3434m y y y y m m +=-=++ 直线212:(2)2y A R y x x -=++，直线121:(2)2yA P y x x =--，联立解出12121212121212626()44433y y y y my y x my y y y my y y y -++==-=++++21.解： (1)由题意得g ′(x )＝f ′(x )＋a ＝ln x ＋a ＋1. ∵函数g (x )在区间[e 2，＋∞)上为增函数， ∴当x ∈[e 2，＋∞)时，g ′(x )≥0，即ln x ＋a ＋1≥0在[e 2，＋∞)上恒成立． ∴a ≥－1－ln x .令h (x )＝－ln x －1，∴a ≥h (x )max ，当x ∈[e 2，＋∞)时，ln x ∈[2，＋∞)， ∴h (x )∈(－∞，－3]，∴a ≥－3，即实数a 的取值范围是[－3，＋∞)． ……………….6分 (2)∵2f (x )≥－x 2＋mx －3，即mx ≤2x ln x ＋x 2＋3，又x ＞0，∴m ≤2x ln x ＋x 2＋3x 在x ∈(0，＋∞)上恒成立．记t (x )＝2x ln x ＋x 2＋3x ＝2ln x ＋x ＋3x . ∴m ≤t (x )min .∵t ′(x )＝2x ＋1－3x 2＝x 2＋2x －3x 2＝(x ＋3)(x －1)x 2，令t ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－3(舍去)．当x ∈(0,1)时，t ′(x )＜0，函数t (x )在(0,1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，t ′(x )＞0，函数t (x )在(1，＋∞)上单调递增． ∴t (x )min ＝t (1)＝4.∴m ≤t (x )min ＝4，即m 的最大值为4. ……………….12分22.解:⑴把直线l 的参数方程化为普通方程为)11y x =-+.由22cos 1cos θρθ=-,可得()221cos 2cos ρθρθ-=,∴曲线C 的直角坐标方程为22y x =.…………5分⑵直线l 的倾斜角为3π,∴直线l '的倾斜角也为3π,又直线l '过点M(2,0),∴直线l '的参数方程为12,2x t y ⎧'=+⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩(t '为参数),将其代入曲线C 的直角坐标方程可得234160t t ''--=,设点A,B 对应的参数分别为1t ',2t '.由一元二次方程的根与系数的关系知12163t t ''=-,1243t t ''+=. ∴16||||3MA MB ⋅= . …………10分23.解:⑴当0x ≤时,原不等式化为13x x -+-≥,解得1x ≤-,结合0x ≤,得1x ≤-. 当01x <<时,原不等式化为13x x +-≥,无解.当1x ≥时,原不等式化为13x x +-≥,解得2x ≥,结合1x ≥,得2x ≥. 综上,原不等式的解集为(][),12,-∞-+∞;…………5分⑵()()2f x f y +≤,即|||1||||1|2x x y y +-++-≤,又()|||1||1|1x x x x +-≥--=,()|||1||1|1y y y y +-≥--=,∴|||1||||1|2x x y y +-++-≥.∴|||1||||1|2x x y y +-++-=,且|||1||||1|1x x y y +-=+-=, ∴01x ≤≤,01y ≤≤,∴02x y ≤+≤.…………10分欢迎访问“高中试卷网”——。

河北省武邑中学2019届高三(上)期中数学试题(文科)(精编含解析)

河北省衡水市武邑中学2019届高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，，则=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得的结果，然后求其与的并集，由此得出正确选项.【详解】解：故选：B．【点睛】本小题主要考查集合的交集、集合的并集的运算，属于基础题.2.已知复数，则复数的模为（）A. 2B.C. 1D. 0【答案】C【解析】,3.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角=( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由正弦定理可解得，利用大边对大角可得范围，从而解得A的值．【详解】，由正弦定理可得：，，由大边对大角可得：，解得：．【点睛】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，正弦函数的图象和性质等知识的应用，解题时要注意分析角的范围．4.已知函数在区间内单调递增，且，若，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，可得f（x）在（0，+∞）上单调递减，比较三个自变量的大小，可得答案．【详解】因为且所以.又在区间内单调递增，且为偶函数，所以在区间内单调递减，所以所以故选：B.【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性.根据题意，函数为偶函数，所以图像关于轴对称，且在轴左右两侧单调性相反，即左增右减，距离对称轴越远，函数值就越小，所以原不等式比较两个函数值的大小，转化为比较两个自变量的绝对值的大小，绝对值大的，距离轴远，函数值就小.如果函数为奇函数，则左右两边单调性相同.5.把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为 A. B. C. D.【答案】D【分析】由题意确定几何体的形状，二面角为直二面角，依据数据，求出侧视图面积．【详解】解：根据这两个视图可以推知折起后二面角为直二面角，其侧视图是一个两直角边长为的直角三角形，其面积为．故选：D．【点睛】本题考查三视图求面积，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．6.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为，故选C.考点：古典概型7.设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用奇函数偶此项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.详解：因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.8.函数的图象大致是（）【答案】D【解析】9.已知函数为奇函数，对任意，都有，且，则=( )A. B. C. 0 D.【答案】A【解析】【分析】由已知分析出函数的周期性，结合函数的奇偶性，可得答案．【详解】解：对任意，都有，函数为周期为6的周期函数，，又函数为奇函数，且，，故选：A．【点睛】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数的周期性，函数求值，难度中档．10.已知p：函数在上是增函数，q：函数在是增函数，则p是q的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用函数的单调性求出命题：，命题，从而p是q的必要不充分条件．【详解】解：函数在上是增函数，，：函数在是增函数，，是q的必要不充分条件．故选：B．【点睛】本题考查命题真假的判断以及充要条件的判断，考查函数的性质基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．11.函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】D【解析】试题分析：由于函数与函数均关于点成中心对称，结合图形以点为中心两函数共有个交点，则有，同理有，所以所有交点的横坐标之和为.故正确答案为D.考点：1.函数的对称性；2.数形结合法的应用.12.数列中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行1项，排；第二行2项，从左到右分别排，；第三行排3项，依此类推设数列的前项和为，则满足的最小正整数n的值为 A. 20B. 21C. 26D. 27【答案】B【解析】【分析】根据题意，分析表中数据的规律，求出各行的和，据此可得，求出第六行的第6个数，计算可得，分析可得答案．【详解】解：根据题意，第一行，为4，其和为4，可以变形为；第二行，为首项为4，公比为3的等比数列，共2项，其和为；第三行，为首项为4，公比为3的等比数列，共3项，其和为；依此类推：第n行的和；则前6行共个数，前6项和为：，满足，而第六行的第6个数为，则，故满足的最小正整数n的值21；故选：B．【点睛】本题考查等比数列的求和，涉及归纳推理的应用，关键是分析表中数列的规律，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，则与夹角的大小为_________.【答案】【解析】设与的夹角的大小为，则，又∵，∴，即与的夹角的大小为，故答案为.14.若命题“，使”是假命题，则实数a的取值范围为____.【答案】【解析】【分析】根据所给的特称命题写出其否定命题：任意实数x，使x2+ax+1≥0，根据命题否定是假命题，得到判别式大于0，解不等式即可．【详解】∵命题“存在x∈R，使x2+（a　1）x+1＜0”的否定是“任意实数x，使x2+（a　1）x+1≥0”命题否定是真命题，∴△=（a　1）2　4≤0，整理得出a2　2a　3≤0∴　1≤a≤3故答案为：．【点睛】本题考查命题的否定，解题的关键是写出正确的全称命题，并且根据这个命题是一个真命题，得到判别式的情况．15.在△中，若，则．【答案】【解析】因为，，所以,由正弦定理得,而，所以.考点：正弦定理的应用.16.直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，，，，则此球的表面积等于______．【答案】【解析】【分析】由已知求出，可得底面外接圆的半径，设此圆圆心为，球心为，在中，由勾股定理求出球的半径，代入球的表面积公式求解．【详解】解：如图，在中，，，，由勾股定理可得．可得外接圆半径，设此圆圆心为，球心为，在中，可得球半径，此球的表面积为．故答案为：．【点睛】本题考查多面体外接球表面积、体积的求法，考查空间想象能力和计算能力，是中档题．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，其面积为S，且.求A；若，，求c．【答案】（1）（2）【解析】【分析】已知等式利用余弦定理及三角形面积公式化简，整理求出的值，即可确定出A的度数；由的值求出的值，进而求出的值，由，，的值，利用正弦定理即可求出c的值．【详解】解：，，代入已知等式得：，整理得：，是三角形内角，；为三角形内角，，，，，，，由正弦定理得：．【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18.2018年2月9-25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行.4年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：(1)根据上表说明，能否有的把握认为，收看开幕式与性别有关？(2)现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人，参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.(ⅰ)问男、女学生各选取多少人？(ⅱ)若从这8人中随机选取2人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目宣传介绍，求恰好选到一名男生一名女生的概率P.附：，其中.【答案】（1）见解析；（2）男生有6人，女生有2人，【解析】分析：(Ⅰ)因为，所以有的把握认为，收看开幕式与性别有关；(Ⅱ)(ⅰ)根据分层抽样方法得，男生人，女生人；(ⅱ)从人中，选取人的所有情况共有种，其中恰有一名男生一名女生的情况共有种，由古典概型概率公式可得结果.详解：(Ⅰ)因为，所以有的把握认为，收看开幕式与性别有关.(Ⅱ)(ⅰ)根据分层抽样方法得，男生人，女生人，所以选取的8人中，男生有6人，女生有2人.(ⅱ)从8人中，选取2人的所有情况共有N=7+6+5+4+3+2+1=28种，其中恰有一名男生一名女生的情况共有M=6+6=12种，所以，所求概率.点睛：本题主要考查频率分层抽样、古典概型概率公式以及独立性检验，属于中档题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）19.设为数列的前项和，已知，，．（Ⅰ）求证：是等差数列；（Ⅱ）设，求数列的前项和．【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）当时，，带入可得：，从而得证；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，进而得，，利用错位相减即可得解.详解：（Ⅰ）证：当时，，代入已知得，，所以，因为，所以，所以，故是等差数列；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知是以1为首项，1为公差的等差数列，所以从而，当时，，又适合上式，所以．所以①②②－ ①得，点睛：弄清错位相减法的适用条件及解题格式是关键，在应用错位相减法求和时，一定要抓住数列的特征，即数列的项可以看作是由一个等差数列和一个公比不为1的等比数列对应项相乘所得，所谓“错位”就是找“同类项”相减．20.已知椭圆的离心率为，左右端点为,其中的横坐标为2. 过点的直线交椭圆于两点,在的左侧，且，点关于轴的对称点为，射线与交于点.（1）求椭圆的方程；（2）求证: 点在直线上.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由椭圆的基本量运算可得解；（2）设，由直线与椭圆联立可得，写出直线和直线的方程，联立解交点横坐标，再利用韦达定理代入可得定值.【详解】（1）因为离心率为，所以因为的横坐标为2，所以因此椭圆的方程为；（2）设由与联立，得所以直线:，直线:，联立解出.【点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21.已知函数．Ⅰ若函数在区间上为增函数，求a的取值范围；Ⅱ若对任意恒成立，求实数m的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)g(x)的导数导数大于或等于0恒成立，转化成求不等式恒成立问题(2)求不等式恒成立问题转化成求最值问题，利用导数知识判断函数的单调性，从而求最值。

河北武邑2019年高三上第一次抽考数学试题(文科)含解析

河北武邑2019年高三上第一次抽考数学试题(文科)含解析数学（文）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}2,5,8A =，{}1,3,5,7B =，那么()U A B U ð等于（） A ．{}5B ．{}1,3,7C ．{}4,6D ．{}1,2,3,4,6,7,82．已知{}21,M y y x x R ==-∈，{}1,P x x a a R ==-∈，则集合M 与P 的关系是（）A ．M P =B ．P R ∈C ．M P ÜD ．M P á3．已知集合{},,S a b c =中的三个元素可构成ABC ∆的三条边长，那么ABC ∆一定不是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形4．已知p ：425+=,q :32≥,则下列判断中，错误的是（）A ．p 或q 为真，非q 为假B ．p 或q 为真，非p 为真C ．p 且q 为假，非p 为假D ．p 且q 为假，p 或q 为真5．下列函数中，既是偶函数又在(),0-∞上单调递增的是（）A ．3y x =B ．ln y x =C ．sin y x =D ．21y x= 6．对命题“0x R ∃∈,200240x x -+>”的否定正确的是（）A ．0x R ∃∈，200240x x -+>B ．x R ∀∈，2240x x -+≤C ．x R ∀∈，2240x x -+>D ．x R ∀∈，2240x x -+≥7．下列图象中表示函数图象的是（）A ．B ．C ．D ．8．“3x =-”是“230x x +=”的（）A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知定义在R 上的奇函数，()f x 满足()()2f x f x +=-，则()8f 的值为（）A ．1-B ．0C ．1D ．210．函数()20.5log 310y x x =--的递增区间是（）A ．(),2-∞-B ．()5,+∞C ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11．已知函数()f x 在(],2-∞为增函数，且()2f x +是R 上的偶函数，若()()3f a f ≤，则实数a 的取值范围是（）A ．1a ≤B ．3a ≥C ．13a ≤≤D ．1a ≤或3a ≥12．关于x 的方程()222110x x k ----=，给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k ，使得方程恰有6个不同的实根；④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根.其中真命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数()ln 2y x =-14．已知函数2y ax b =+在点()1,3处的导数为2，则b a=． 15．已知函数()()2lg 21f x mx mx =++，若()f x 的值域为R ，则实数m 的取值范围是．16．设函数()22x f x x =+（0x >），观察：()()122x f x f x x ==+； ()()()2164x f x f f x x ==+； ()()()32148x f x f f x x ==+；()()()433016x f x f f x x ==+…… 根据以上事实，当*N n ∈时，由归纳推理可得：()1n f =．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知集合{}121P x a x a =+≤≤+，{}2310Q x x x =-≤.（1）若3a =，求()R P Q I ð；（2）若P Q ⊆，求实数a 的取值范围.18．如图，台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向（北偏东45︒）移动，离台风中心不超过300千米的地区为危险区域.城市B 在A 地的正东400千米处.请建立恰当的平面直角坐标系，解决以下问题：（1）求台风移动路径所在的直线方程；（2）求城市B 处于危险区域的时间是多少小时？19．已知p ：方程210x mx -+=有两个不等的正实根，q ：方程()244210x m x +-+=无实根.若p 或q 为真，p 且q 为假.求实数m 的取值范围.20．已知函数()f x 的图象与函数()1h x x x=+的图象关于点()0,1A 对称. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()g x xf x ax =+，且()g x 在区间(]0,4上为减函数，求实数a 的取值范围.21．（1）若函数()f x 的图象在1x =处的切线l 垂直于直线y x =，求实数a 的值及直线l 的方程；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）若1x >，求证：ln 1x x <-. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y =+⎧⎨=⎩αα（α为参数，0-<<πα），曲线2C的参数方程为1225x t y ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系.（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的普通方程；（2）射线4=-πθ与曲线1C 的交点为P ，与曲线2C 的交点为Q ，求线段PQ 的长.23．选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<.（1）求实数a ，b 的值；（2. 数学（文）试卷答案一、选择题1-5:CADCD6-10:BCCBA11、12：DD二、填空题13．(]2,314．215．[)1,+∞16．1322n ⋅- 三、解答题17．解：（1）因为3a =，所以{}47P x x =≤≤， {R 4P x x =<ð或}7x > 又{}2310Q x x x =-≤{}25x x =-≤≤，所以(){}R 24P Q x x =-≤<I ð（2）若P Q ≠，由P Q ⊆，得12,215,21 1.a a a a +≥-⎧⎪+≤⎨⎪+≥+⎩当P =∅，即211a a +<+时，0a <，此时有P Q =∅⊆综上，实数a 的取值范围是：(],2-∞18．解：（1）以B 为原点，正东方向为x 轴建立如图所示的直角坐标系，则台风中心A 的坐标是()400,0-，台风移动路径所在的直线方程为400y x =+（2）以B 为圆心，300千米为半径作圆，和直线400y x =+相交于1A 、2A 两点，可以认为，台风中心移到1A 时，城市B 开始受台风影响（危险区），直到2A 时，解除影响. 因为点B 到直线400y x =+的距离d = 所以12200A A ==，而2001020=（小时），所以B 城市处于危险区内的时间是10小时. 19．解：由题意p ，q 中有且仅有一为真，一为假，p 真2121240210m x x m m m x x ⎧∆=->⎪⇔+=>⇔>⎨⎪⋅=>⎩，q 真013m ⇔∆<⇔<<，若p 假q 真，则21213m m m ≤⎧⇔<≤⎨<<⎩；若p 真q 假，则2313m m m m >⎧⇔≥⎨≤≥⎩或；综上所述：(][)1,23,m ∈+∞U .20．解：（1）∵()f x 的图象与()h x 的图象关于点()0,1A 对称，设()f x 图象上任意一点坐标为(),B x y ，其关于()0,1A 的对称点(),B x y '''，则0212x x y y '+⎧=⎪⎪⎨'+⎪=⎪⎩∴2x x y y '=-⎧⎨'=-⎩ ∵(),B x y '''在()h x 上，∴1y x x ''=+'.∴12y x x -=--，∴12y x x=++，即()12f x x x =++. （2）∵()()g x xf x ax =+=()221x a x +++且()g x 在(]0,4上为减函数， ∴242a +-≥，即10a ≤-.∴a 的取值范围为(],10-∞-.21．解：（1）∵()ln 1f x x ax =-+（R a ∈），定义域为()0,+∞，∴()1f x a x '=- ∴函数()f x 的图象在1x =处的切线l 的斜率()11k f a '==-∵切线l 垂直于直线y x =，∴11a -=-，∴2a =∴()ln 21f x x x =-+，()11f =-，∴切点为()1,1-∴切线l 的方程为()11y x +=--，即0x y +=.（2）由（1）知：()1f x a x '=-，0x > 当0a ≤时，()10f x a x'=->，此时()f x 的单调递增区间是()0,+∞；当0a >时，()11ax f x a x x-'=-=1a x a x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭= 若10x a <<，则()0f x '>；若1x a>，则()0f x '< 此时()f x 的单调递增区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间是1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间是()0,+∞；当0a >时，()f x 的单调递增区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间是1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （3）由（2）知：当1a =时，()ln 1f x x x =-+在()1,+∞上单调递减 ∴1x >时，()()1ln1110f x f <=-+=∴1x >时，ln 10x x -+<，即ln 1x x <-.22．解：（1）曲线1C 的参数方程为1cos sin x y =+⎧⎨=⎩αα（α为参数，0-<<πα），普通方程为()2211x y -+=（0y <），极坐标方程为2cos =ρθ，,02⎛⎫∈- ⎪⎝⎭πθ，曲线2C的参数方程为1225x y ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩（t 为参数），普通方程260x y +-=；（2）4=-πθ，=ρ4P ⎫-⎪⎭π； 4=-πθ代入曲线2C的极坐标方程，可得'=ρ4Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭π，∴PQ ==.23．解：（1）由x a b +<，得b a x b a --<<-则2,4,b a b a --=⎧⎨-=⎩解得3a =-，1b =（2=4==1=，即1t=时等号成立，故max 4=.。

河北省武邑中学2019届高三(上)期中数学试卷(文科)

河北省衡水市武邑中学2019届高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知集合{1,3579,11}A =,,,，{1,5}B =，{5,9,11}C =，则(A B)C ⋂⋃（）A. ϕB. {1,5,9,11}C. {9,11}D. {5,7,9,11}答案：B分析：解：{1,5},{5,9,11};A B C ⋂==(A B)C {1,5,9,11}.∴⋂⋃=故选：B ．进行交集、并集的运算即可．考查列举法表示集合的定义，以及交集和并集的运算． 2.已知复数11i z i+=-，则复数z 的模为 A. 2B. C. 1 D. 0答案：C分析：解：由于复数21(1)21(1)(1)2i i i z i i i i ++====--+，故复数z 的模为1，故选：C ．利用两个复数代数形式的乘除法法则化简复数z 为i ，从而求得它的模．本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i 的幂运算性质，属于基础题． 3.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若1,45a b B ==︒，则角()A =A. 30︒B. 60︒C. 30150︒︒或D. 60120︒︒或答案：A 分析：解：1,45a b B ===︒，∴由正弦定理可得：1sin 1sin 2a BA b⨯===，1a b =<=(0,45)A ∈︒， ∴解得：30A =︒．故选：A ．由正弦定理可解得sin 1sin 2a B Ab ==，利用大边对大角可得范围(0,45)A ∈︒，从而解得A 的值．本题主要考查了正弦定理，大边对大角，正弦函数的图象和性质等知识的应用，解题时要注意分析角的范围． 4.已知函数(x)y f =在区间(,0)-∞内单调递增，且(x)f(x)f -=，若12(log 3)a f =，1,2(2)b f -=，1c f()2=，则a ，b ，c 的大小关系为 A. a c b >>B. b c a >>C. a c b >>D. a b c >>答案：B分析：解：根据题意，函数(x)y f =满足(x)f(x)f -=，则函数(x)f 为偶函数，又由函数(x)y f =在区间(,0)-∞内单调递增，则(x)f 在(0,)+∞上递减，122(log 3)f(log 3)a f ==，1,2(2)b f -=，11()f(2)2c f -==，又由1,212221log 3--<<<，则b c a >>，故选：B ．根据题意，由(x)f(x)f -=可得(x)f 为偶函数，结合函数的单调性可得(x)f 在(0,)+∞上递减，进而又由1,212221log 3--<<<，分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数的奇偶性，属于基础题． 5.把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成的三棱锥A BCD -的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为A.B. 12C.D. 14答案：D分析：解：根据这两个视图可以推知折起后二面角C BD A --为直二面角，其侧视图是一个两直角边长为2的直角三角形，其面积为14．故选：D ．由题意确定几何体的形状，二面角C BD A --为直二面角，依据数据，求出侧视图面积．本题考查三视图求面积，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．6. 如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为A. 310B. 15C. 110D. 120答案：C分析：解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)共10种，其中只有(3,4,5)为勾股数，故这3个数构成一组勾股数的概率为110．故选：C ．一一列举出所有的基本事件，再找到勾股数，根据概率公式计算即可．本题考查了古典概型概率的问题，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件，属于基础题． 7.设函数32(x)x (1)x f a ax =+-+ 若(x)f 为奇函数，则曲线(x)y f =在点(0,0)处的切线方程为A. 2y x =-B. y x =-C. 2y x =D. y x =答案：D分析：解：函数32(x)x (1)x f a ax =+-+，若(x)f 为奇函数，可得a 1=，所以函数3f(x)x x =+，可得2f (x)3x 1'=+，曲线(x)y f =在点(0,0)处的切线的斜率为：1，则曲线(x)y f =在点(0,0)处的切线方程为：y x =．故选：D ．利用函数的奇偶性求出a ，求出函数的导数，求出切线的向量然后求解切线方程．本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法，考查计算能力． 8.函数|lnx||x 1|y e =--的图象大致是A. B.C. D.答案：D 分析：解：由|lnx||x 1|y e =--可知：函数过点(1,1)，当0x 1<<时，ln 1y e11xx x x -=-+=+-，2110y x'=-+<． ln e 1x y x -∴=-+为减函数；若当1x >时，ln e 11x y x =-+=，故选：D ．根据函数|lnx||x 1|y e =--知必过点(1,1)，再对函数进行求导观察其导数的符号进而知原函数的单调性，得到答案．本题主要考查函数的求导与函数单调性的关系． 9.已知函数(x)f 为奇函数，对任意x R ∈，都有f(x 6)f(x)+=，且f(2)4=，则f(2014)()=A.B. C. 0 D.答案：A 分析：解：对任意x R ∈，都有f(x 6)f(x)+=，∴函数f(x)为周期为6的周期函数，(2014)f(33662)f(2)f ∴=⨯-=-，又函数f(x)为奇函数，且(2)4f =，(2014)4f ∴=-，故选：A ．由已知分析出函数的周期性，结合函数的奇偶性，可得答案．本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数的周期性，函数求值，难度中档．10. 已知p ：函数|x |y a =-在[3,)+∞上是增函数，q ：函数lg(x )y a =-在[3,)+∞是增函数，则p 是q 的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件答案：B 分析：解：:p 函数|x |y a =-在[3,)+∞上是增函数，3a ∴≤，q ：函数lg(x )y a =-在[3,)+∞是增函数，3a ∴<，p 是q 的必要不充分条件．故选：B ．利用函数的单调性求出命题：3a ≤，命题:3q a <，从而p 是q 的必要不充分条件．本题考查命题真假的判断，考查函数的性质基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题． 11. 函数11y x=-的图象与函数2sin (2x 2)y x π=-≤≤的图象所有交点的横坐标之和等于 A. 2B. 4C. 6D. 8答案：D分析：解：函数111y x=-， 22sin y x =的图象有公共的对称中心(1,0)，作出两个函数的图象，如图，当14x ≤≤时，10y <，而函数2y 在(1,4)上出现个周期的图象，在3(1,)2和57(,)22上是减函数；在35(,)22和7(,4)2上是增函数．函数1y 在(1,4)上函数值为负数，且与2y 的图象有四个交点E 、F 、G 、H ，相应地，1y 在(2,1)-上函数值为正数，且与2y 的图象有四个交点A 、B 、C 、D ，且2A H B G C F D E x x x x x x x x +=+=+=+=，故所求的横坐标之和为8．故选：D ．函数111y x=-与22sin y x π=的图象有公共的对称中心(1,0)，作出两个函数的图象，利用数形结合思想能求出结果．本题考查两个函数的图象的交点的横坐标之和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．12. 数列{a }n中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行1项，排1a ；第二行2项，从左到右分别排2a ，3a ；第三行排3项，依此类推设数列{a }n 的前n 项和为n S ，则满足2000n S >的最小正整数n 的值为A. 20B. 21C. 26D. 272234,4,43,4,43,43,4,43,43,43,⨯⨯⨯⨯⨯⨯答案：B分析：解：根据题意，第一行，为4，其和为4，可以变形为1232T =⨯-；第二行，为首项为4，公比为3的等比数列，共2项，其和为22224(1)2(31)2321a T a -==-=⨯--；第三行，为首项为4，公比为3的等比数列，共3项，其和为3334(1)2(31)2321a a T a-==-=⨯--；依此类推：第n 行的和232n n T =⨯-；则前6行共12345621+++++=个数，前6项和为：2216232232()() (23)2S =++⋅⋅⋅+⨯-⨯-⨯-23673332[(3..331.)4170]212=+⋅⋅⋅+---==++，满足2000nS >，而第六行的第6个数为543972⨯=，则20219722000SS =-<，故满足2000n S >的最小正整数n 的值21；故选：B ．根据题意，分析表中数据的规律，求出各行的和，据此可得2121702000S =>，求出第六行的第6个数，计算可得20219722000SS =-<，分析可得答案．本题考查等比数列的求和，涉及归纳推理的应用，关键是分析表中数列的规律，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量，，则与夹角的大小为______．答案：分析：解：向量，，与夹角满足：，又，6πθ∴=，故答案为：6π．根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案．本题考查的知识点是平面向量的夹角公式，熟练掌握平面向量的夹角公式，是解答的关键．14. 若命题“ ，使 ”是假命题，则实数a 的取值范围为______．答案：分析：解：命题“x R ∃∈，使2(1)x 10x a +-+<”的否定是：““x R ∀∈，使2(1)x 10x a +-+<” 即：2(1)40a =--≤，13a ∴-≤≤故答案是13a -≤≤先求出命题的否定，再用恒成立来求解本题通过逻辑用语来考查函数中的恒成立问题．15. 在ABC 中，若4B π∠=，b =，则C ∠=______．答案：712π分析：解：2b a =，∴根据正弦定理得sin B A =，又sin sin 4B π==，1sin 2A ∴=，又a b <，得到4A B π∠<∠=，6A π∴∠=，则712C π∠=．故答案为：712π利用正弦定理化简已知的等式，把的值代入求出的值，由a 小于b ，根据大边对大角，得到A 小于B ，即A 为锐角，利用特殊角的三角函数值求出A 的度数，进而利用三角形的内角和定理即可求出C 的度数．此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，三角形的边角关系，三角形的内角和定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．16. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若3AB =，4AC =，5BC =，12AA =，则此球的表面积等于______．答案：29π分析：解：如图，在ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，由勾股定理可得90BAC ∠=︒．可得外接圆半径52r =，设此圆圆心为O '，球心为O ，在Rt OBO '中，可得球半径2R ==，∴此球的表面积为22944294R πππ=⨯=．故答案为：29π．由已知求出90BAC ∠=︒，可得底面外接圆的半径，设此圆圆心为O '，球心为O ，在Rt OBO '中，由勾股定理求出球的半径，代入球的表面积公式求解．本题考查多面体外接球表面积、体积的求法，考查空间想象能力和计算能力，是中档题．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，其面积为S ，且2223b c a S+-=.求A ；若a =4cos 5B =，求c ．答案：解：222(1)2cos b c a b A +-=，1sin 2S b A=， ∴代入已知等式得：12cos sin 32b A b A=⋅，整理得：tan A =A 是三角形内角，60A ∴=︒；B为三角形内角，4cos 5B =，3sin 5B ∴==，1sin sin(B A)sin(B 60)sin 2C B B ∴=+=+︒==，53a =sin A =，sin C =∴由正弦定理得：sin 3sin a C C A==+．分析：已知等式利用余弦定理及三角形面积公式化简，整理求出tan A 的值，即可确定出A 的度数；由cos B 的值求出sin B 的值，进而求出sin C 的值，由a ，sin A ，sin C 的值，利用正弦定理即可求出c 的值．此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18. 2018年2月日，第23届冬奥会在韩国平昌举行年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：Ⅱ 现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人，参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动．问男、女学生各选取多少人？若从这8人中随机选取2人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目宣传介绍，求恰好选到一名男生一名女生的概率P ．附：22(ad bc)(a b)(c d)(a c)(b d)n K -=++++，其中n a b c d =+++．答案：本小题满分分解： Ⅰ 因为22120(60202020)7.5 6.63580408040K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有的把握认为，收看开幕式与性别有关分 Ⅱ 根据分层抽样方法得，男生3864⨯=人，女生1824⨯=人，所以选取的8人中，男生有6人，女生有2人分从8人中，选取2人的所有情况共有765432128N =++++++=种，其中恰有一名男生一名女生的情况共有6612M =+=种，所以，所求概率123287P ==分分析： Ⅰ 利用22(ad bc)(a b)(c d)(a c)(b d)n K -=++++，计算结果，通过比较即可判断能否有的把握认为，收看开幕式与性别有关．Ⅱ 根据分层抽样方法得，求解选取的8人中，男生有6人，女生有2人．从8人中，选取2人的所有情况共有765432128N =++++++=种，其中恰有一名男生一名女生的情况共有6612M =+=种，然后求解概率．本题考查独立检验思想的应用，古典概型的概率的求法，分层抽样的应用，考查计算能力．19. 设n S 为数列{a }n 的前n 项和，已知a 0n >，1a 1=*a (n 2,n N )n =≥∈．Ⅰ求证：是等差数列；Ⅱ 设12n n n b a -=⋅，求数列{b }n 的前n项和．答案： Ⅰ 证明：当2n ≥时，11a =1n n n a S S -==-=，0n a >，1=，∴是等差数列，首项与公差都为1．Ⅱ 解：由 Ⅰ11n n=+-=，解得2n S n =．2n ≥时，121n n n a S S n -=+=-，又1n =适合上式，所以21na n =-．112(2n 1)2n n n n b a --∴=⋅=-⋅．∴数列{}n b 的前n 项和2113252...(2n 1)2n n T -=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅．212232...(2n 3)2(21)2n n n T n -=+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，可得：1212(21)12(22...2)(2n 1)212(2n 1)221n n nnn T ----=+++⋅⋅⋅+--⋅=+⨯--⋅-，化为：(2n 3)23n n T =-⋅+．分析： Ⅰ 当2n ≥时，11a =，，，1=，即可得出．Ⅱ 由 Ⅰ11n n=+-=，解得22n S n n =⋅≥时，21n a n ==-，又适合上式可得112(2n 1)2n n n n b a --=⋅=-⋅用错位相减法即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20. 已知椭圆22221(a b 0)x y a b+=>>的离心率为12，左右端点为1A ，2A ，其中2A 的横坐标为过点(4,0)b 的直线交椭圆于P ，Q 两点，P 在Q 的左侧，且P ，Q 不与1A ，2A 重合，点Q 关于x 轴的对称点为R ，射线1A与2PA 交于点M ．求椭圆的方程；求证：M 点在直线4x =上．答案：解：因为离心率为12，所以12ca =，因为2A 的横坐标为2，所以21,a c b =∴===因此椭圆的方程为22143x y +=；设11(x ,y )P ，22(x ,y )Q ，22(x ,y )R -由223412x y +=与4x my =+联立，得22(3m 4)y 24360my +++=，所以1212222436y y ,y y 3434m m m +==++，直线212:(x 2)2y A R y x -=++，直线121:(x 2)2y A P y x =--，联立解出12121212121212626(y y )4y y 433y y m x my y y y my y y y -++==-++++ 2212224366()4m 34344436334m m m m y y m -+⨯++=-=⋅+++．分析：利用椭圆的离心率以及顶点坐标求解a ，c ，推出B ，即可顶点椭圆方程．设11(x ,y )P ，22(x ,y )Q ，22(x ,y )R -由223412x y +=与4x my =+联立，利用韦达定理推出直线方程，求解x 即可得到结果．本题考查椭圆方程的求法，椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．21. 已知函数(x)xlnx f =．Ⅰ 若函数g(x)f(x)ax =+在区间2[e ,]+∞上为增函数，求a 的取值范围； Ⅱ 若对任意23(0,),f(x)2x mx x -+-∈+∞≥恒成立，求实数m 的最大值．答案：解： Ⅰ 由题意得，(x)f (x)ln 1g a x a ''=+=++，函数(x)g 在区间2[e ,]+∞上为增函数，∴当2[e ,]x ∈+∞时，(x)0g '≥，即ln 10x a ++≥在2[e ,]+∞上恒成立， 1ln a x ∴≥--，又当2[e ,]x ∈+∞时，ln [2,]x ∈+∞，1ln (,3]x ∴--∈-∞-，3a ∴≥-．Ⅱ 因为22(x)3f x mx ≥-+-，即22ln 3mx x x x ≤⋅++，又0x >，所以22ln 3x x x m x ⋅++≤，令22ln 3(x)x x x h x⋅++=， 22222(2xlnx x 3)(2xlnx x 3)x 23(x)x x h x x ''++⋅++⋅+-'==，令(x)0h '=解得：1x =或3x =-(舍，当(0,1)x ∈时，h (x)0'<，函数h(x)在(0,1)上单调递减，当(1,)x ∈+∞时，h (x)0'>，函数h(x)在(1,)+∞上单调递增，所以minh(x)(1)4h ==，因为对任意23(0,),f(x)2x mx x -+-∈+∞≥恒成立，所以min(x)4m h ≤=，即m 的最大值为4．分析： Ⅰ 函数(x)g 在区间2[e ,]+∞上为增函数，即当2[e ,]x ∈+∞时，(x)0g '≥，即ln 10x a ++≥在2[e ,)+∞上恒成立，分离参数a 后转化为求函数最值；Ⅱ 对任意23(0,),f(x)2x mx x -+-∈+∞≥恒成立，即22ln 3x x x m x ⋅++≤，令22l n 3(x )x x x h x⋅++=，转化为求函数(x)h 的最小值即可，利用导数可求得其最小值．本题考查利用导数研究函数的单调性及求函数在闭区间上的最值，考查函数恒成立问题，转化为函数最值是解决函数恒成立的常用方法．22. 平面直角坐标系中，直线l的参数方程为11x t y =+⎧⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 1cos θρθ=-．写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；已知与直线l 平行的直线l '过点(2,0)M ，且与曲线C 交于A ，B 两点，试求|MA ||MB|⋅．答案：解：把直线l的参数方程化为普通方程为1)1y -+．由22cos 1cos θρθ=-，可得22(1cos )2cos ρθρθ-=， ∴曲线C 的直角坐标方程为22y x =．直线l 的倾斜角为，直线的倾斜角也为3π，又直线过点(2,0)M ，直线线的参数方程为122x t y ⎧'=+⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩(t '为参数，将其代入曲线C 的直角坐标方程可得23()4160t t ''--=，设点A ，B 对应的参数分别为'1t ，'2t ．由一元二次方程的根与系数的关系知为''1243t t +=，''12163t t +=-．16|MA ||MB |3∴⋅=．''12|AB||t t ∴=-===分析：把直线l的参数方程化为普通方程为1)1y =-+.由22cos 1cos θρθ=-，可得22(1cos )2cos ρθρθ-=，利用互化公式即可得出．直线l 的倾斜角为3π，直线l '的倾斜角也为3π，又直线l '过点(2,0)M ，可得直线线的参数方程，将其代入曲线C 的直角坐标方程，利用根与系数的关系代入''12|AB ||t t =-=可得出．本题考查了直线的参数方程、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、极坐标与普通方程互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23. 已知函数(x)|x ||x 1|f =+-．解不等式(x)3f ≥；若(x)f(y)2f +≤，求x y +的取值范围．答案：解：(1)(x)3f ≥；|||1|3x x +-≥，故1{1|3x x x ≥+-≥ 或01{13x x x <<+-≥或00{13x x ≤-+-≥，解得：2x ≥或1x ≤-，故不等式的解集是{|2x x ≥或1}x ≤-；(x)f(y)f （2）|x ||x 1||y ||y 1|=+-++- |x y ||x y 2|≥+++- |x y ||x y 2|≥+++-， (x)f(y)2f +≤， |x y ||x y |22∴+++-≤， |x y |2∴+≤， |2x y 2∴-≤+≤．分析：通过讨论x 的范围，得到关于x 的不等式组，解出即可；根据绝对值不等式的性质求出x y +的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。

河北省武邑中学2019届高三(上)期中数学试题(文科)(精品解析)

2023-2024学年河北省衡水市武邑中学高三(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年河北省衡水市武邑中学高三（上）期中数学试卷一、单选题.本题共8小题，每小题5分，共40分，将答案填涂在答题卡上相应位置. 1．设集合A ＝{x |x 2﹣1＜0}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }，则A ∩B ＝（） A ．（0，1）B ．（﹣1，2）C ．（﹣1，+∞）D ．(12，1)2．O 是正方形ABCD 的中心．若DO →=λAB →+μAC →，其中λ，μ∈R ，则λμ=（）A ．﹣2B ．−12C ．−√2D ．√23．若复数z ＝1﹣i +i 2﹣i 3+…+i 2022﹣i 2023，则复数z 的虚部为（） A ．0B ．﹣1C ．1D ．i4．正项等比数列{a n }中的a 1，a 4031是函数f(x)=13x 3−4x 2+6x −3的极值点，则log √6a 2016=（）A ．1B ．2C ．√2D ．﹣15．已知公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2，2a 5，3a 8成等差数列，则3S 3S 6=（）A ．134B ．1312 C ．94D ．11126．已知正四面体A ﹣BCD 的内切球的表面积为36π，过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体A ﹣BCD ，则所得截面的面积为（） A ．27√2B ．27√3C ．54√2D ．54√37．已知x =tan1.04，a =log 3x ，b =2a ，c =sinb ，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a8．已知f （x ）＝2cos （2ωx −π6）+b sin2ωx +cos （2ωx +π2）（b ＞0，ω＞0）又g （x ）＝f （x ）﹣2√3，对任意的x 1，x 2均有g （x 1）+g （x 2）≤0成立，且存在x 1，x 2使g （x 1）+g （x 2）＝0，方程f （x ）+√3=0在（0，π）上存在唯一实数解，则实数ω的取值范围是（） A ．12＜ω≤56B ．12≤ω＜56C ．512＜ω＜34D ．512＜ω≤34二、多选题：本题共4小题，全部选对得5分，部分选对得2分，多选或错选均不得分，共计20分，将答案填涂在答题卡上相应位置.9．著名的“河内塔”问题中，地面直立着三根柱子，在1号柱上从上至下、从小到大套着n 个中心带孔的圆盘．将一个柱子最上方的一个圆盘移动到另一个柱子，且保持每个柱子上较大的圆盘总在较小的圆盘下面，视为一次操作．设将n 个圆盘全部从1号柱子移动到3号柱子的最少操作数为a n ，则（）A ．a 2＝3B ．a 3＝8C ．a n +1＝2a n +nD ．a n =2n −110．折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子．如图1，其平面图是如图2的扇形AOB ，其中∠AOB ＝150°，OA ＝2OC ＝2OD ＝2，点F 在弧AB 上，且∠BOF ＝120°，点E 在弧CD 上运动（包括端点），则下列结论正确的有（）A ．OF →在OA →方向上的投影向量为√32OA →B ．若OE →=λOC →+μOD →，则λ+μ∈[1，√6+√2] C ．OD →⋅DA →=1−√3D ．EF →⋅EB →的最小值是﹣311．已知复数z 1＝cos α+i sin α，z 2＝cos β+i sin β，z 3＝cos γ+i sin γ，O 为坐标原点，z 1，z 2，z 3对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，OZ 3→，则以下结论正确的有（） A ．|z 1•z 2|＝|z 1|•|z 2|B ．若z 1•z 2＝z 1•z 3，则z 2＝z 3C ．若OZ 1→+OZ 2→=OZ 3→，则OZ 1→与OZ 2→的夹角为π3D ．若OZ 1→+OZ 2→+OZ 3→=0→，则△Z 1Z 2Z 3为正三角形 12．已知函数f(x)=lnx −a(x+1)x−1(a ∈R)，则下列说法正确的是（） A ．当a ＞0时，f （x ）在（1，+∞）上单调递增B ．若f （x ）的图象在x ＝2处的切线与直线x +2y ﹣5＝0垂直，则实数a =34C ．当﹣1＜a ＜0时，f （x ）不存在极值D ．当a ＞0时，f （x ）有且仅有两个零点x 1，x 2，且x 1x 2＝1 三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数f(x)={|log 3(x −1)|，1＜x ≤4x 2−10x +25，x ＞4，若方程f （x ）＝n 有4个解分别为x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则(1x 1+1x 2)(x 3+x 4)= ． 14．函数f(x)=ln(2x1+x+a)为奇函数，则实数a ＝． 15．在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱AB ，AD ，AA 1两两夹角都为60°，且AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝3，M ，N 分别为BB 1，B 1C 1的中点，则MN 与AC 所成角的余弦值为． 16．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2a 6＝4，a 3＝1，则(S n +94)22a n的最小值为．四、解答题：（本大题满分70分，每题要求写出详细的解答过程否则扣分）17．（10分）函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，其中MN ∥x 轴．（1）求函数y ＝f （x ）的解析式；（2）将y ＝f （x ）的图像向右平移π4个单位，再向上平移2个单位得到y ＝g （x ）的图像，求g(π8)的值．18．（12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且（a +b ）（sin A ﹣sin B ）＝（c ﹣b ）sin C ．（1）求角A 的大小；（2）若sin B 是方程x 2−2x +99100=0的一个根，求cos C 的值． 19．（12分）函数y ＝2sin x ﹣1在（0，+∞）上的零点从小到大排列后构成数列{a n }．（1）求{a n }的通项公式；（2）设b n ＝a 2n ﹣1+a 2n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．20．（12分）如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，点M ，N 分别是边BC ，CD 的中点，AC ∩BD ＝O 1，AC ∩MN ＝G ．沿MN 将△CMN 翻折到△PMN 的位置，连接P A ，PB ，PD ，得到如图2所示的五棱锥P ﹣ABMND ．（1）在翻折过程中是否总有平面PBD ⊥平面P AG ？证明你的结论；（2）当四棱锥P ﹣MNDB 体积最大时，求点B 到面PDG 的距离；（3）在（2）的条件下，在线段P A 上是否存在一点Q ，使得平面QDN 与平面PMN 所成角的余弦值为√2929若存在，试确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由． 21．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n +a n ＝3．（1）求{a n }的通项公式；（2）数列{b n }满足b 1＝1，b n+1b n=n+22(n+1)，设数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n +a n ≥52．22．（12分）已知函数h （x ）＝ln （2ex ﹣e ），g （x ）＝2ax ﹣2a ，a ∈R ．（1）若曲线f （x ）＝h （x ）﹣g （x ）在（1，f （1））处的切线与直线x ﹣y +1＝0平行，求函数f （x ）的极值；（2）已知f （x ）＝h （x ）﹣g （x ），若f （x ）＜1+a 恒成立．求证：对任意正整数n ＞1，都有∑ln 2n k=1k 54＜n(n +1)．2023-2024学年河北省衡水市武邑中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题.本题共8小题，每小题5分，共40分，将答案填涂在答题卡上相应位置. 1．设集合A ＝{x |x 2﹣1＜0}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }，则A ∩B ＝（） A ．（0，1）B ．（﹣1，2）C ．（﹣1，+∞）D ．(12，1)解：A ＝{x |x 2﹣1＜0}＝（﹣1，1），B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }＝（12，2），则A ∩B ＝（12，1），故选：D ．2．O 是正方形ABCD 的中心．若DO →=λAB →+μAC →，其中λ，μ∈R ，则λμ=（）A ．﹣2B ．−12C ．−√2D ．√2解：因为O 是正方形ABCD 的中心，所以O 为AC 的中点，所以DO →=DC →+CO →=AB →+12CA →=AB →−12AC →，因为DO →=λAB →+μAC →，所以λ=1，μ=−12，所以λμ=1−12=−2．故选：A ．3．若复数z ＝1﹣i +i 2﹣i 3+…+i 2022﹣i 2023，则复数z 的虚部为（） A ．0B ．﹣1C ．1D ．i解：z =1−i +i 2−i 3+⋯+i 2022−i2023=1×(1−(−i)2024)1−(−i)=1×(1−1)1+i=0，所以复数z 的虚部为0．故选：A ．4．正项等比数列{a n }中的a 1，a 4031是函数f(x)=13x 3−4x 2+6x −3的极值点，则log √6a 2016=（）A ．1B ．2C ．√2D ．﹣1解：根据f(x)=13x 3−4x 2+6x −3，可得f ′（x ）＝x 2﹣8x +6，因为a 1，a 4031是函数f(x)=13x 3−4x 2+6x −3的极值点，所以a 1，a 4031是方程f ′（x ）＝x 2﹣8x +6＝0的两个实数根，所以a 1a 4031＝6，又因为数列{a n }为正项等比数列，所以a 1a 4031=a 20162=6，所以a 2016=√6，log √6a 2016=log √6√6=1．故选：A ．5．已知公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2，2a 5，3a 8成等差数列，则3S 3S 6=（）A ．134B ．1312 C ．94D ．1112解：公比q 不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ， a 2，2a 5，3a 8成等差数列，可得4a 5＝a 2+3a 8，即为4a 1q 4＝a 1q +3a 1q 7，即3q 6﹣4q 3+1＝0，解得q 3=13（1舍去），则3S 3S 6=3•a 1(1−q 3)1−q •1−q a 1(1−q 6)=3•1−q 31−q 6=3•11+q 3＝3•11+13=94，故选：C ．6．已知正四面体A ﹣BCD 的内切球的表面积为36π，过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体A ﹣BCD ，则所得截面的面积为（） A ．27√2B ．27√3C ．54√2D ．54√3解：设内切球半径为r ，由题意得4πr 2＝36π，设正四面体棱长为a ，由三角形的性质得BE =√32a ，BO ′=23BE =23×√32a =√33a ， ∴在△ABO ′中，AO ′′=√AB 2−BO′2=√63a ，又AOOO′=31， ∴OO ′=14AO′=14×√63a =√612a ，∵OO ′＝3，∴√612a =3，解得a ＝6√6．∴BE =√32a =9√2，AO ′=√63a =12，在△ABE 中，S =12×|BE|×|AO′|=12×12×9√2=54√2．过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体A ﹣BCD ，所得截面的面积为54√2．故选：C ．7．已知x =tan1.04，a =log 3x ，b =2a ，c =sinb ，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a解：因为π4＜1.04＜π3，x =tan1.04＜tan π3=√3，且x =tan1.04＞tan π4=1，则1＜x ＜√3，0＜a =log 3x ＜log 3√3=12，即0＜a ＜12；所以1＜b =2a ＜√2，即1＜b ＜√2，所以12=sin π6＜sin1＜c =sinb ＜1，即12＜c ＜1．所以a ＜c ＜b ．故选：B ．8．已知f （x ）＝2cos （2ωx −π6）+b sin2ωx +cos （2ωx +π2）（b ＞0，ω＞0）又g （x ）＝f （x ）﹣2√3，对任意的x 1，x 2均有g （x 1）+g （x 2）≤0成立，且存在x 1，x 2使g （x 1）+g （x 2）＝0，方程f （x ）+√3=0在（0，π）上存在唯一实数解，则实数ω的取值范围是（） A ．12＜ω≤56B ．12≤ω＜56C ．512＜ω＜34D ．512＜ω≤34解：因为f(x)=2cos(2ωx −π6)+bsin2ωx +cos(2ωx +π2)=2sin(2ωx +π3)+(b −1)sin2ωx=bsin2ωx +√3cos2ωx =√b 2+3sin(2ωx +θ)，其中θ满足tanθ=√3b，又由任意的x1，x2均有g（x1）+g（x2）≤0成立，即任意的x1，x2均有f(x1)+f(x2)≤4√3成立，且存在x1，x2使g（x1）+g（x2）＝0，可知f（x）最大值为2√3，所以√b2+3=2√3，又b＞0，所以b＝3，所以f(x)=2√3sin(2ωx+π6 )，当0＜x＜π时，π6＜2ωx+π6≤2ωπ+π6，又f（x）在（0，π）上存在唯一实数x0使f(x0)=−√3，即sin(2ωx0+π6)=−12，所以7π6＜2ωπ+π6≤11π6，所以12＜ω≤56．故选：A．二、多选题：本题共4小题，全部选对得5分，部分选对得2分，多选或错选均不得分，共计20分，将答案填涂在答题卡上相应位置.9．著名的“河内塔”问题中，地面直立着三根柱子，在1号柱上从上至下、从小到大套着n个中心带孔的圆盘．将一个柱子最上方的一个圆盘移动到另一个柱子，且保持每个柱子上较大的圆盘总在较小的圆盘下面，视为一次操作．设将n个圆盘全部从1号柱子移动到3号柱子的最少操作数为a n，则（）A．a2＝3B．a3＝8C．a n+1＝2a n+n D．a n=2n−1解：将圆盘从小到大编为1，2，3，…号圆盘，则将第n+1号圆盘移动到3号柱时，需先将第1～n号圆盘移动到2号柱，需a n次操作；将第n+1号圆盘移动到3号柱需1次操作；再将1～n 号圆需移动到3号柱需a n 次操作，故a n +1＝2a n +1，故C 错误；由此递推关系及a 1＝1可求得通项为a n =2n −1，故D 正确；则a 2＝3，a 3＝7，故A 正确，B 错误．故选：AD ．10．折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子．如图1，其平面图是如图2的扇形AOB ，其中∠AOB ＝150°，OA ＝2OC ＝2OD ＝2，点F 在弧AB 上，且∠BOF ＝120°，点E 在弧CD 上运动（包括端点），则下列结论正确的有（）A ．OF →在OA →方向上的投影向量为√32OA →B ．若OE →=λOC →+μOD →，则λ+μ∈[1，√6+√2] C ．OD →⋅DA →=1−√3D ．EF →⋅EB →的最小值是﹣3解：对于A 选项，由题意可知∠AOF ＝30°，所以OF →在OA →方向上的投影向量为|OF →|cos30°⋅OA →|OA →|=√32OA →，即A 选项正确；对于B 选项，以点O 为坐标原点，OD 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则D （1，0）、C(−√32，12)，设点E （cos θ，sin θ），其中0≤θ≤5π6，由OE →=λOC →+μOD →可得(cosθ，sinθ)=λ(−√32，12)+μ(1，0)，所以{−√32λ+μ=cosθ12λ=sinθ，即{λ=2sinθμ=√3sinθ+cosθ，所以λ+μ=(2+√3)sinθ+cosθ=(√6+√2)sin(θ+π12)，又因为0≤θ≤5π6，则π12≤θ+π12≤11π12，所以√6−√24≤sin(θ+π12)≤1，所以λ+μ=(√6+√2)sin(θ+π12)∈[1，√6+√2]，即B 选项正确；对于C 选项，DA →=OA →−OD →，所以OD →⋅DA →=OD →⋅(OA →−OD →)=OA →⋅OD →−OD →2=2×1×cos150°−12=−√3−1，即选项C 错误；对于D 选项，E （cos θ，sin θ），其中0≤θ≤5π6，B （2，0）、F(−1，√3)，则EB →=(2−cosθ，−sinθ)，EF →=(−1−cosθ，√3−sinθ)，所以EB →⋅EF →=(2−cosθ)(−1−cosθ)−sinθ(√3−sinθ)=−2sin(θ+π6)−1，因为0≤θ≤5π6，则π6≤θ+π6≤π，故当θ+π6=π2时，即θ=π3时，EF →⋅EB →取最小值为﹣2﹣1＝﹣3，即D 选项正确．故选：ABD ．11．已知复数z 1＝cos α+i sin α，z 2＝cos β+i sin β，z 3＝cos γ+i sin γ，O 为坐标原点，z 1，z 2，z 3对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，OZ 3→，则以下结论正确的有（） A ．|z 1•z 2|＝|z 1|•|z 2|B ．若z 1•z 2＝z 1•z 3，则z 2＝z 3C ．若OZ 1→+OZ 2→=OZ 3→，则OZ 1→与OZ 2→的夹角为π3D ．若OZ 1→+OZ 2→+OZ 3→=0→，则△Z 1Z 2Z 3为正三角形解：因为z 1＝cos α+i sin α，z 2＝cos β+i sin β，z 3＝cos γ+i sin γ，所以|z 1|＝|z 2|＝|z 3|＝1，则|OZ 1→|＝|OZ 2→|＝|OZ 3→|＝1，对于A ，z 1•z 2＝cos αcos β﹣sin αsin β+（cos αsin β+sin αcos β）i ，故|z 1•z 2|2＝（cos αcos β﹣sin αsin β）2+（cos αsin β+sin αcos β）2＝cos 2α•cos 2β﹣2cos α•cos β•sin α•sin β+sin 2α•sin 2β+cos 2α•sin 2β+2sin α•cos β•cos α•sin β+sin 2αcos 2β ＝cos 2α（cos 2β+sin 2β）+sin 2α（sin 2β+cos 2β），＝cos 2α+sin 2α ＝1，|z 1|•|z 2|＝1，所以|z 1•z 2|＝|z 1|•|z 2|，故A 正确；对于B ，若z 1•z 2＝z 1•z 3，则z 2=z 1⋅z 3z 1=z 3，故B 正确；对于C ，设OZ 1→与OZ 2→的夹角为θ，θ∈[0，π]，若OZ 1→+OZ 2→=OZ 3→，则（OZ 1→+OZ 2→）2＝（OZ 3→）2，即OZ 1→2+OZ 2→2＝1，即1+1+2cos θ＝1，所以cos θ=−12，所以θ=2π3，即OZ 1→与OZ 2→的夹角为2π3，故C 错误；对于D ，若OZ 1→+OZ 2→+OZ 3→=0→，则﹣（OZ 1→+OZ 2→）=OZ 3→，则[﹣（OZ 1→+OZ 2→）]2=OZ 3→2，即（OZ 1→+OZ 2→）2=OZ 3→2，由C 选项可知OZ 1→与OZ 2→的夹角为2π3，同理OZ 2→与OZ 3→的夹角为2π3，OZ 1→与OZ 3→的夹角为2π3，又|OZ 1→|＝|OZ 2→|＝|OZ 3→|＝1，所以∠Z 1Z 2Z 3＝∠Z 1Z 3Z 2＝∠Z 2Z 1Z 3=π3，故D 正确．故选：ABD ．12．已知函数f(x)=lnx −a(x+1)x−1(a ∈R)，则下列说法正确的是（）A ．当a ＞0时，f （x ）在（1，+∞）上单调递增B ．若f （x ）的图象在x ＝2处的切线与直线x +2y ﹣5＝0垂直，则实数a =34C ．当﹣1＜a ＜0时，f （x ）不存在极值D ．当a ＞0时，f （x ）有且仅有两个零点x 1，x 2，且x 1x 2＝1 解：因为f(x)=lnx −a(x+1)x−1(a ∈R)，x ＞0且x ≠1，所以f ′（x ）=1x +2a (x−1)2，对于A ，当a ＞0时，f ′（x ）＞0，所以f （x ）在（0，1）和（1，+∞）上单调递增，故正确；对于B ，因为直线x +2y ﹣5＝0的斜率为−12，又因为f （x ）的图象在x ＝2处的切线与直线x +2y ﹣5＝0垂直，令f ′（2）=12+2a ＝2，解得a =34，故正确；对于C ，当﹣1＜a ＜0时，不妨取a =−12，则f ′（x ）=1x −1(x−1)2=x 2−3x+1x(x−1)2，令f ′（x ）＝0，则有x 2﹣3x +1＝0，解得x 1=32−√52，x 2=32+√52，当x ∈（0，32−√52）时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增；当x ∈（32−√52，32+√52）时，f ′（x ）＜0，f（x ）单调递减；所以此时函数有极值，故错误；对于D ，由A 可知，当a ＞0时，f （x ）在（0，1）和（1，+∞）上单调递增，当x ＞1时，f （e a ）＝a ﹣a （1+2e a −1）=−2ae a −1＜0， f （e 3a +1）＝3a +1﹣a （1+2e 3a+1−1）=(3a+1)(e 3a+1−1)−a(e 3a+1+1)e 3a+1−1＞3a(e 3a+1−1)−a(e 3a+1+1)e 3a+1−1=2a(e 3a+1−2)e 3a+1−1＞0，所以f （x ）在（1，+∞）上有一个零点，又因为当0＜x ＜1时，f （e ﹣a ）＝﹣a ﹣a （1+2e −a −1）=2ae a −1＞0，f （e﹣3a ﹣1）＝﹣3a ﹣1﹣a （1+2e −3a−1−1）＝﹣3a ﹣1﹣a （1+2e 3a+11−e 3a+1）＝﹣3a ﹣1﹣a •1+e 3a+11−e 3a+1=− [（3a +1）+a •e 3a+1+11−e 3a+1 ]=−(3a+1)(1−e 3a+1)+a(e 3a+1+1)1−e 3a+1=−3a(1−e 3a+1)+a(e 3a+1+1)1−e 3a+1=−4a−2ae 3a+11−e 3a+1=2a(2−e 3a+1)e 3a+1−1＜0，所以f （x ）在（0，1）上有一个零点；所以f （x ）有两个零点，分别位于（0，1）和（1，+∞）；设0＜x 1＜1＜x 2，令f （x ）＝0，则有lnx −a(x+1)x−1=0，所以ln 1x−a(1x +1)1x−1=−lnx −a⋅x+1x1−x x=−lnx −a(x+1)1−x =−lnx +a(x+1)x−1=−（lnx −a(x+1)x−1）＝0，所以f （x ）＝0的两根互为倒数，所以x 1x 2＝1，故D 正确．故选：ABD ．三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数f(x)={|log 3(x −1)|，1＜x ≤4x 2−10x +25，x ＞4，若方程f （x ）＝n 有4个解分别为x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则(1x 1+1x 2)(x 3+x 4)= 10 ．解：作出函数f （x ）的大致图象，如下：可知，0＜n ＜1且当1＜x ≤4时，|log 3（x ﹣1）|＝n 有2个解x 1，x 2； log 3（x 1﹣1）＝﹣n ，log 3（x 2﹣1）＝n ，得x 1=3−n+1，x 2=3n+1，∴1x 1+1x 2=13−n +1+13n +1=13n +1+3n 1+3n=1；当x ＞4时，由x 2﹣10x +21＝n 有2个解x 3，x 4，根据图象的对称性，得x 3+x 4＝10． ∴(1x 1+1x 2)(x 3+x 4)=1×10=10．故答案为：10． 14．函数f(x)=ln(2x1+x+a)为奇函数，则实数a ＝ ﹣1 ．解：根据题意，函数f(x)=ln(2x1+x+a)为奇函数，则f （x ）+f （﹣x ）＝0，即ln （2x 1+x +a ）+ln （−2x1−x+a ）＝0，变形可得：a 2−(a+2)x 21−x 2=1，必有a ＝﹣1；故答案为：﹣1．15．在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱AB ，AD ，AA 1两两夹角都为60°，且AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝3，M ，N 分别为BB 1，B 1C 1的中点，则MN 与AC 所成角的余弦值为 √9114．解：∵M ，N 分别为BB 1，B 1C 1的中点，∴MN →=12BC 1→=12AD →+12AA 1→，AC →=AB →+AD →，∴MN →2=14AD →2+14AA 1→2+12AD →⋅AA 1→=14+94+12×1×3×cos60°=134，AC →2=AB →2+AD →2+2AB →⋅AD →=4+1+2×2×1×cos60°＝7，MN →⋅AC →=（12AD →+12AA 1→）•（AB →+AD →）=12AD →2+12AB →⋅AD →+12AA 1→⋅AB →+12AA 1→⋅AD →=134，∴cos ＜MN →，AC →＞=MN →⋅AC →|MN →||AC →|=134√132×7=√9114．∴直线MN 与AC 所成角的余弦值为√9114．故答案为：√911416．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2a 6＝4，a 3＝1，则(S n +94)22a n的最小值为 8 ．解：各项均为正数的等比数列{a n }，由a 2a 6＝4＝a 42，即a 4＝2， ∵a 3＝1， ∴q ＝2，a 1=14，∴a n =14×2n ﹣1＝2n ﹣3，S n =14(1−2n)1−2=2n ﹣2−14，∴（S n +94）2＝（2n ﹣2+2）2＝22（n ﹣2）+4×2n ﹣2+4，∴(S n +94)22a n=22(n−2)+4×2n−2+42n−2=2n ﹣2+42n−2+4≥2√2n−2⋅42n−2+4＝4+4＝8，当且仅当n ＝3时取等号，故答案为：8．四、解答题：（本大题满分70分，每题要求写出详细的解答过程否则扣分）17．（10分）函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，其中MN ∥x 轴．（1）求函数y ＝f （x ）的解析式；（2）将y ＝f （x ）的图像向右平移π4个单位，再向上平移2个单位得到y ＝g （x ）的图像，求g(π8)的值．解：（1）根据函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，可得函数的图象关于直线x =−π2−π62=−π3对称，5π12+π3=34×2πω，∴ω＝2．再根据五点法作图，可得2×5π12+φ＝0，求得φ=−5π6，故函数f （x ）＝sin （2x −5π6）．（2）将y ＝f （x ）的图像向右平移π4个单位，可得y ＝sin （2x −π2−5π6）＝sin （2x −4π3）＝sin （2x +2π3）的图象；再向上平移2个单位得到y ＝g （x ）＝sin （2x +2π3）+2的图像．故g(π8)=sin 11π12+2＝sin π12+2＝sin （π3−π4）+2＝（sin π3cos π4−cos π3sin π4）+2＝（√32×√22−12×√22）+2=√6−√24+2．18．（12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且（a +b ）（sin A ﹣sin B ）＝（c ﹣b ）sin C ．（1）求角A 的大小；（2）若sin B 是方程x 2−2x +99100=0的一个根，求cos C 的值．解：（1）∵（a +b ）（sin A ﹣sin B ）＝（c ﹣b ）sin C ，∴利用正弦定理化简得：（a +b ）（a ﹣b ）＝c （c ﹣b ），即b 2+c 2﹣a 2＝bc ， ∴cos A =b 2+c 2−a 22bc =12，∵A ∈（0，π），∴A =π3．（2）∵x 2−2x +99100=0，解得：x 1=910，x 2=1110， ∵由sin B ≤1，得到sin B =910，可得cos B ＝±√1−sin 2B =±√1910， ∴cos C ＝﹣cos （A +B ）＝sin A sin B ﹣cos A cos B =√32×910−12×（±√1910）=9√3±√1920． 19．（12分）函数y ＝2sin x ﹣1在（0，+∞）上的零点从小到大排列后构成数列{a n }．（1）求{a n }的通项公式；（2）设b n ＝a 2n ﹣1+a 2n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．解：（1）函数y ＝2sin x ﹣1的最小正周期为2π，函数y ＝2sin x ﹣1在（0，2π）上的零点分别为π6，5π6，数列{a 2n ﹣1} 是以π6为首项，2π为公差的等差数列，即当n 为奇数时，a n =π6+n−12d =nπ−5π6；数列{a 2n } 是以5π6为首项，2π为公差的等差数列，即当n 为偶数时，a n =5π6+n−22d =nπ−7π6．综上a n ={nπ−5π6，n 为奇数nπ−7π6，n 为偶数；（2）b n ＝a 2n ﹣1+a 2n ＝4n π﹣3π， S n =(b 1+b n )n2=n(2n −1)π． 20．（12分）如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，点M ，N 分别是边BC ，CD 的中点，AC ∩BD ＝O 1，AC ∩MN ＝G ．沿MN 将△CMN 翻折到△PMN 的位置，连接P A ，PB ，PD ，得到如图2所示的五棱锥P ﹣ABMND ．（1）在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面P AG？证明你的结论；（2）当四棱锥P﹣MNDB体积最大时，求点B到面PDG的距离；（3）在（2）的条件下，在线段P A上是否存在一点Q，使得平面QDN与平面PMN所成角的余弦值为√2929若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．解：（1）在翻折过程中总有平面PBD⊥平面P AG，证明：折叠前，因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，由于M，N分别是边BC，CD的中点，所以MN∥BD，所以MN⊥AC，折叠过程中，MN⊥GP，MN⊥GA，GP∩GA＝G，GP，GA⊂平面P AG，所以MN⊥平面P AG，所以BD⊥平面P AG，由于BD⊂平面PBD，所以平面PBD⊥平面P AG．（2）当平面PMN⊥平面MNDB时，四棱锥P﹣MNDB体积最大，由于平面PMN∩平面MNDB＝MN，GP⊂平面PMN，GP⊥MN，所以GP⊥平面MNDB，由于AG⊂平面MNDB，所以GP⊥AG，菱形ABCD边长为4，且∠DAB＝60°，所以BD＝4，AC=2√3，PG＝CG=√3，在Rt△O1DG中，DG=√22+(√3)2=√7，所以S△PGD=12×√7×√3=√212，S△BDG=12×4×√3=2√3，设点B到面PDG的距离为h，则由等体积法有V B﹣PDG＝V P﹣BDG，即13S△PDG×ℎ=13S△BDG×PG，即√212ℎ=2√3×√3，所以ℎ=4√21 7，所以点B到面PDG的距离为4√21 7．（3）存在，理由如下：在点G处有GA，GM，GP两两互相垂直，则以G为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，依题意可知P(0，0，√3)，D(√3，−2，0)，B(√3，2，0)，N(0，−1，0)，A(3√3，0，0)，PA →=(3√3，0，−√3)，设PQ ＝λP A （0≤λ≤1），则GQ →=GP →+PQ →=GP →+λPA →=(0，0，√3)+(3√3λ，0，−√3λ)=(3√3λ，0，√3−√3λ)，平面PMN 的法向量为n 1→=(1，0，0)，DQ →=(3√3λ−√3，2，√3−√3λ)，DN →=(−√3，1，0)，设平面QDN 的法向量为n 2→=(x ，y ，z)，则{n 2→⋅DQ →=(3√3λ−√3)x +2y +(√3−√3λ)z =0n 2→⋅DN →=−√3x +y =0，故可设n 2→=(λ−1，√3λ−√3，3λ+1)，设平面QDN 与平面PMN 所成角为θ，由于平面QDN 与平面PMN 所成角的余弦值为√2929，所以cosθ=|n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→||=|λ−1|√(λ−1)+(√3λ−√3)2+(3λ+1)=√2929，解得λ=12或λ＝3（舍去），所以当Q 是P A 的中点时，平面QDN 与平面PMN 所成角的余弦值为√2929．21．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n +a n ＝3．（1）求{a n }的通项公式；（2）数列{b n }满足b 1＝1，b n+1b n=n+22(n+1)，设数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n +a n ≥52．解：（1）由S n +a n ＝3，当n ＝1时，S 1+a 1＝3，解得a 1=32；当n ≥2时，S n ﹣1+a n ﹣1＝3，相减得a n +a n ﹣a n ﹣1＝0，即a n a n−1=12，∴数列{a n }是以32为首项，12为公比的等比数列，故a n =32n ，验证n ＝1时成立，故a n =32n ；（2）b 1＝1，b n+1b n=n+22(n+1)，故b n =b n b n−1⋅b n−1b n−2⋅⋯⋅b 2b 1⋅b 1=(12)n−1(n+1n ⋅n n−1⋅n−1n−2⋅⋯⋅32)×1=n+12n （n ≥2）， b 1＝1适合上式，则b n =n+12n ． ∴T n =22+322+423+⋯+n+12n ， 12T n =222+323+424+⋯+n+12n+1，两式相减可得： 12T n =1+122+123+124+⋯+12n−n+12n+1=1+122(1−12n−1)1−12−n+12n+1=32−n+32n+1，∴T n =3−n+32n ，T n +a n =3−n 2n ．令c n =n 2n ，c n+1−c n =n+12n+1−n 2n =−n+12n+1，n ∈N *，故c 1＝c 2，且c n+1−c n =−n+12n+1＜0，n ≥2，n ∈N *， c n 是从第二项开始单调递减数列，得(c n )max =c 1=c 2=12．故T n +a n =3−n 2n ≥3−12=52． 22．（12分）已知函数h （x ）＝ln （2ex ﹣e ），g （x ）＝2ax ﹣2a ，a ∈R ．（1）若曲线f （x ）＝h （x ）﹣g （x ）在（1，f （1））处的切线与直线x ﹣y +1＝0平行，求函数f （x ）的极值；（2）已知f （x ）＝h （x ）﹣g （x ），若f （x ）＜1+a 恒成立．求证：对任意正整数n ＞1，都有∑ln 2n k=1k 54＜n(n +1)．解：（1）由f （x ）＝ln （2ex ﹣e ）﹣2ax +2a ，可得f ′(x)=22x−1−2a ，由条件可得f ′（1）＝2﹣2a ＝1，即a =12，则f(x)=ln(2x −1)−x +2，f ′(x)=22x−1−1=−(2x−3)2x−1(x ＞12)，令f′（x）＝0可得x=3 2，当x＞32时，f′（x）＜0，当12＜x＜32时，f′（x）＞0．所以f（x）在(32，+∞)上单调递减，在(12，32)上单调递增，所以f（x）的极大值为f(32)=ln2−32+2=ln2+12，无极小值．（2）证明：f（x）＜1+a，即ln（2x﹣1）﹣a（2x﹣1）＜0对任意的x＞12恒成立，即a（2x﹣1）＞ln（2x﹣1），其中x＞1 2，令t＝2x﹣1＞0，则at＞lnt，即at＞lnt⇒a＞lnt t，构造函数g(t)=lntt，则g′(t)=1−lnt2，令g′（t）＝0，得t＝e，列表如下：所以函数y＝g（t）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞），所以g(t)max=g(e)=1 e ，所以a＞1 e ，即a＞1e时，ln（2x﹣1）＜a（2x﹣1）恒成立，取a=25，则ln(2x−1)＜2(2x−1)5对任意的x＞12恒成立，令k＝2x﹣1（k∈N*），则lnk＜2k 5，所以ln1+ln2+ln3+⋯+ln(2n)＜25(1+2+3+⋯+2n)=2n(1+2n)5＜4n(n+1)5，所以∑2n k=154lnk＜n(n+1)，即∑ln2nk=1k54＜n(n+1)．。

河北省武邑中学2019届高三(上)期中数学试题(文科)(附参考答案)

河北省武邑中学2019年高三(上)期中数学试题(文科)(精品解析)

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当时，，则；当时，，则，此时，函数单调递减，由此判断函数图象大致为D，故选D9.已知函数为奇函数，对任意，都有，且，则=( )A. B. C. 0 D.【答案】A【解析】【分析】由已知分析出函数的周期性，结合函数的奇偶性，可得答案．【详解】解：对任意，都有，函数为周期为6的周期函数，，又函数为奇函数，且，，故选：A．【点睛】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数的周期性，函数求值，难度中档．10.已知p：函数在上是增函数，q：函数在是增函数，则p是q的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用函数的单调性求出命题：，命题，从而p是q的必要不充分条件．【详解】解：函数在上是增函数，，：函数在是增函数，，是q的必要不充分条件．故选：B．【点睛】本题考查命题真假的判断以及充要条件的判断，考查函数的性质基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．11.函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】D【解析】试题分析：由于函数与函数均关于点成中心对称，结合图形以点为中心两函数共有个交点，则有，同理有，所以所有交点的横坐标之和为.故正确答案为D.考点：1.函数的对称性；2.数形结合法的应用.12.数列中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行1项，排；第二行2项，从左到右分别排，；第三行排3项，依此类推设数列的前项和为，则满足的最小正整数n的值为A. 20B. 21C. 26D. 27【答案】B【解析】【分析】根据题意，分析表中数据的规律，求出各行的和，据此可得，求出第六行的第6个数，计算可得，分析可得答案．【详解】解：根据题意，第一行，为4，其和为4，可以变形为；第二行，为首项为4，公比为3的等比数列，共2项，其和为；第三行，为首项为4，公比为3的等比数列，共3项，其和为；依此类推：第n行的和；则前6行共个数，前6项和为：，满足，而第六行的第6个数为，则，故满足的最小正整数n的值21；故选：B．【点睛】本题考查等比数列的求和，涉及归纳推理的应用，关键是分析表中数列的规律，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，则与夹角的大小为_________.【答案】【解析】设与的夹角的大小为，则，又∵，∴，即与的夹角的大小为，故答案为.14.若“，使”为真命题，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】试题分析：若“，使”为真命题，则解得.考点：一元二次不等式的解法，考查学生的分析、计算能力.15.在△中，若，则．【答案】【解析】因为，，所以,由正弦定理得,而，所以.考点：正弦定理的应用.16.直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，，，，则此球的表面积等于______．【答案】【解析】【分析】由已知求出，可得底面外接圆的半径，设此圆圆心为，球心为，在中，由勾股定理求出球的半径，代入球的表面积公式求解．【详解】解：如图，在中，，，，由勾股定理可得．可得外接圆半径，设此圆圆心为，球心为，在中，可得球半径，此球的表面积为．故答案为：．【点睛】本题考查多面体外接球表面积、体积的求法，考查空间想象能力和计算能力，是中档题．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，其面积为S，且.求A；若，，求c．【答案】（1）（2）【解析】【分析】已知等式利用余弦定理及三角形面积公式化简，整理求出的值，即可确定出A的度数；由的值求出的值，进而求出的值，由，，的值，利用正弦定理即可求出c的值．【详解】解：，，代入已知等式得：，整理得：，是三角形内角，；为三角形内角，，，，，，，由正弦定理得：．【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18.2018年2月9-25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行.4年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：(1)根据上表说明，能否有的把握认为，收看开幕式与性别有关？(2)现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人，参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.(ⅰ)问男、女学生各选取多少人？(ⅱ)若从这8人中随机选取2人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目宣传介绍，求恰好选到一名男生一名女生的概率P.附：，其中.【答案】（1）见解析；（2）男生有6人，女生有2人，【解析】分析：(Ⅰ)因为，所以有的把握认为，收看开幕式与性别有关；(Ⅱ)(ⅰ)根据分层抽样方法得，男生人，女生人；(ⅱ)从人中，选取人的所有情况共有种，其中恰有一名男生一名女生的情况共有种，由古典概型概率公式可得结果.详解：(Ⅰ)因为，所以有的把握认为，收看开幕式与性别有关.(Ⅱ)(ⅰ)根据分层抽样方法得，男生人，女生人，所以选取的8人中，男生有6人，女生有2人.(ⅱ)从8人中，选取2人的所有情况共有N=7+6+5+4+3+2+1=28种，其中恰有一名男生一名女生的情况共有M=6+6=12种，所以，所求概率.点睛：本题主要考查频率分层抽样、古典概型概率公式以及独立性检验，属于中档题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）19.设为数列的前项和，已知，，．（Ⅰ）求证：是等差数列；（Ⅱ）设，求数列的前项和．【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）当时，，带入可得：，从而得证；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，进而得，，利用错位相减即可得解. 详解：（Ⅰ）证：当时，，代入已知得，，所以，因为，所以，所以，故是等差数列；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知是以1为首项，1为公差的等差数列，所以从而，当时，，又适合上式，所以．所以①②②－得，点睛：弄清错位相减法的适用条件及解题格式是关键，在应用错位相减法求和时，一定要抓住数列的特征，即数列的项可以看作是由一个等差数列和一个公比不为1的等比数列对应项相乘所得，所谓“错位”就是找“同类项”相减．20.已知椭圆的离心率为，左右端点为,其中的横坐标为2. 过点的直线交椭圆于两点,在的左侧，且，点关于轴的对称点为，射线与交于点.（1）求椭圆的方程；（2）求证: 点在直线上.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由椭圆的基本量运算可得解；（2）设，由直线与椭圆联立可得，写出直线和直线的方程，联立解交点横坐标，再利用韦达定理代入可得定值.【详解】（1）因为离心率为，所以因为的横坐标为2，所以因此椭圆的方程为；（2）设由与联立，得所以直线:，直线:，联立解出.【点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21.已知函数．Ⅰ若函数在区间上为增函数，求a的取值范围；Ⅱ若对任意恒成立，求实数m的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】(1)g(x)的导数导数大于或等于0恒成立，转化成求不等式恒成立问题(2) 求不等式恒成立问题转化成求最值问题，利用导数知识判断函数的单调性，从而求最值。