关于参数估计的几种方法
数理统计： 参数估计方法
引例
设总体 X 服从参数为 的指数分布， 未知，
X1 , X 2 , , X n 是来自X的样本, x1 , x2 , , xn 是
相应的样本值，求 的矩估计量和矩估计值.
解 因为 E( X ) 所以 用样本矩替换总体矩, 得 的矩估计量
ˆ
1 n
n i 1
Xi
X
(
x)
1
e
x
,
x0
0,
其他.
但参数 未知。已知参数的取值范围,记为 。
给出样本的一组观察值，如何推断总体的分布?
【思路】给出 的估计，则得到对总体分布的推断。
【方法】根据一定的原则，从 中找到一个值(点) 作为的 估计。
点估计
2
点估计定义
设总体 X 的分布函数 F ( x; ) 的形式为已知,
的估计量.
4
二、估计量的评选标准 1. 无偏性
定义 若 X1, X 2 ,, X n 为总体 X 的一个样本，
是包含在总体 X 的分布中的待估参数, 若估计量ˆ ˆ( X1 , X 2 ,, X n )的数学期望 E(ˆ) 存在, 且对于任意 有
E(ˆ) 则称ˆ 是 的无偏估计量,否则称为有偏的.
(2) lim S 2 2 a.s. (强大数定律) n
即样本方差是总体方差2的强相合估计， 也是相合估计.
12
C. 样本标准差
其观察值:
S
S2
1 n1
n i 1
Xi
X
2
;
s
1 n1
n i 1
( xi
参数估计的方法及应用
参数估计的方法及应用参数估计是统计学中的一个重要方法，用于根据已知数据估计总体的未知参数。
它是统计推断的基础，广泛应用于各个领域，包括医学、金融、市场调研等。
下面将介绍几种常见的参数估计方法及其应用。
1. 点估计点估计是参数估计中最简单的一种方法，通过计算样本数据的统计量来估计总体参数的值。
最常用的点估计方法是样本均值和样本方差，分别用来估计总体均值和总体方差。
例如，在市场调研中，可以通过抽样调查估计某一产品的平均满意度，从而评估市场反应。
2. 区间估计区间估计是参数估计中更常用的一种方法，它不仅给出了参数的一个点估计，还给出了一个区间估计，用于表达估计值的不确定性。
典型的区间估计方法有置信区间和预测区间。
2.1 置信区间置信区间是用于估计总体参数的一个区间范围，表示参数值落在该区间内的概率。
置信区间一般由样本统计量和抽样分布的分位数确定，常见的置信区间有均值的置信区间和比例的置信区间。
比如，一个医生想要估计一种药物对某种疾病的治疗效果，可以从患者中随机抽取一部分人群服用该药物，然后计算患者的治愈率。
利用样本中的治愈率和抽样分布的分位数，可以构建出一个置信区间，用于估计总体的治愈率。
2.2 预测区间预测区间是用于预测个体观测值的一个区间范围，表示个体观测值落在该区间内的概率。
和置信区间不同的是，预测区间不仅考虑参数的估计误差，还考虑了个体观测值的不确定性。
例如，在金融领域，投资者可以利用历史收益率估计某只股票的未来收益率，并通过构建预测区间来评估投资风险。
3. 极大似然估计极大似然估计是一种常用的参数估计方法，它基于样本数据的概率分布，通过寻找使得样本观测值出现的概率最大的参数值来估计总体参数。
例如，在医学研究中，研究人员可以根据已知的疾病发病率和病人的临床症状，利用极大似然估计方法来估计某一疾病的传染率。
4. 贝叶斯估计贝叶斯估计是一种基于贝叶斯统计原理的参数估计方法，它将参数看作是随机变量，并基于先验概率和样本数据来计算后验概率分布。
似然函数定义
似然函数定义一、什么是似然函数似然函数是统计学中的一个重要概念，用于描述参数估计的方法。
在概率论和统计学中，我们经常需要利用已知的样本数据来对未知的参数进行估计。
而似然函数就是一种衡量参数估计好坏的度量标准。
二、似然函数的定义似然函数通常用L来表示，是样本发生的概率密度函数或概率质量函数关于参数θ的函数，即L(θ|X)或L(θ;x1,x2,…,xn)。
三、似然函数的计算方法似然函数的计算方法根据具体情况的不同而有所区别。
下面介绍几种常见的似然函数计算方法：1. 最大似然估计法最大似然估计法是似然函数的一种常用方法，用于估计参数的值。
它的思想是找到使得似然函数取得极大值的参数值。
2. 贝叶斯估计法贝叶斯估计法是一种基于贝叶斯定理的估计方法，它引入了先验分布来对参数进行估计。
通过先验分布和似然函数的乘积得到后验分布，再根据后验分布得到参数的估计值。
3. 逻辑回归中的似然函数逻辑回归是一种常用的分类算法，它是通过似然函数来估计模型参数的。
逻辑回归的似然函数是一个关于权重矩阵的函数，用于描述样本属于某一类别的概率。
四、似然函数的性质似然函数具有以下几个重要的性质：1. 似然函数的非负性似然函数的取值范围是非负实数，即L(θ) ≥ 0。
2. 似然函数的单调性对于样本容量相同的两个样本，如果一个样本的似然函数值比另一个样本的似然函数值大，那么可以说前者的似然程度更高。
3. 似然函数的归一化性质似然函数的积分或求和结果在整个样本空间上等于1。
4. 似然函数的对数性质似然函数的对数等于对数似然函数，对数似然函数的计算可以简化某些问题。
五、似然函数的应用领域似然函数在统计学中有广泛的应用，其中包括但不限于以下几个领域：1. 参数估计似然函数是参数估计的基础，可以通过最大似然估计法得到参数的估计值。
2. 假设检验似然函数可以作为假设检验的基础，用来计算样本数据出现的概率。
3. 模型比较似然函数可以用于比较不同模型的拟合程度，可以通过比较似然函数的值来选择最优的模型。
概率论与数理参数估计
概率论与数理参数估计参数估计是概率论与数理统计中的一个重要问题，其目标是根据样本数据推断总体的未知参数。
参数估计分为点估计和区间估计两种方法。
点估计是通过样本计算得到总体未知参数的一个估计值。
常见的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是通过观察到的样本数据，选择使得观察到的样本数据出现的概率最大的未知参数值作为估计值。
矩估计是通过样本的矩（均值、方差等统计量），与总体矩进行对应，建立样本矩与总体矩之间的方程组，并求解未知参数。
这两种方法都可以给出参数的点估计值，但是其性质和效果不尽相同。
最大似然估计具有渐近正态性和不变性，但是可能存在偏差较大的问题；矩估计简单且易于计算，但是可能存在方程组无解的情况。
区间估计是给出参数估计结果的一个范围，表示对未知参数值的不确定性。
常见的区间估计方法有置信区间和预测区间。
置信区间是指给定的置信水平下，总体参数的真值落在一些区间内的概率。
置信区间的计算依赖于样本的分布和样本量。
预测区间是对一个新的观察值进行预测的区间，它比置信区间要宽一些，以充分考虑不确定性。
在参数估计过程中，需要注意样本的选取和样本量的确定。
样本是总体的一个子集，必须能够代表总体的特征才能得到准确的估计结果。
样本量的确定是通过统计方法和实际需求来确定的，要保证估计结果的可靠性。
参数估计在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在医学领域中，通过对病人的样本数据进行统计分析，可以推断患者患其中一种疾病的概率，进而进行治疗和预防措施的制定。
在金融领域中，可以通过对股票的历史价格进行统计分析，推断未来股价的变动趋势，从而进行投资决策和风险评估。
在市场调研中，可以通过对消费者的问卷调查数据进行统计分析，推断消费者的偏好和需求，为企业的市场开发和产品设计提供依据。
综上所述，概率论与数理统计中的参数估计是一门重要的学科，通过对样本数据的统计分析，可以推断总体的未知参数，并对不确定性进行评估。
参数估计在实际应用中有着广泛的应用，对于科学研究和决策制定具有重要的意义。
几种最小二乘法递推算法的小结
几种最小二乘法递推算法的小结最小二乘法是一种常见的参数估计方法，广泛应用于各个领域的数学和统计模型的拟合问题。
在实际应用中，我们常常需要递推地计算最小二乘法的结果，以便能够在实时数据到来的情况下，快速地更新参数估计值。
以下是几种常见的最小二乘法递推算法的小结。
1. 递推最小二乘法（Recursive least squares, RLS）递推最小二乘法是一种在线参数估计方法，可以在每次新数据到来时，快速地更新参数估计值。
RLS算法利用递推的方式，将历史数据和新数据的信息结合起来，从而得到最新的参数估计值。
该算法基于递归迭代过程，迭代公式中的权重矩阵可以由历史数据的协方差矩阵递推得到。
递推最小二乘法具有良好的收敛性和较低的计算复杂度。
2.递推最小二乘法的变种算法（RLS的变种算法）递推最小二乘法的变种算法是对传统的RLS算法进行改进和优化的方法。
其中，经典的改进算法有递归正交最小二乘法（Recursive orthogonal least squares, ROLS）和递推快速QR分解法（Recursive fast QR factorization, RFQR）。
ROLS算法通过引入正交化处理，解决了经典RLS算法中信号相关性较高时，参数估计不稳定的问题。
RFQR算法则通过对历史数据进行快速QR分解的方法，进一步提高了算法的计算速度，并降低了计算复杂度。
3. 渐进最小二乘法（Asymptotic least squares, ALS）渐进最小二乘法是一种常见的在线参数估计算法，用于解决参数估计问题的收敛速度较慢的情况。
ALS算法通过估计参数的渐进协方差矩阵，然后利用资料增益矩阵计算最新的参数估计值。
由于ALS算法不需要存储和计算全部历史数据的相关矩阵，因此可以在实时数据到来的情况下，快速地进行参数估计。
4. 数据辅助递推最小二乘法（Data-augmented recursive least squares, DARLS）数据辅助递推最小二乘法是一种常见的递推最小二乘法的改进算法，适用于当历史数据缺失或者不完整时。
第七章参数估计参考答案
f ( xi ; )
.
定义: 设总体的分布类型已知,但含有未知参数θ. (1)设 ( x , x
1 2
, , x n )
为总体 X 的一个样本观察值，若似
1 2
然函数 L ( ) 在 ˆ ˆ ( x , x
, , xn )
处取到最大值，则称
ˆ ( x1 , x 2 , , x n ) 为θ的极大似然估计值.
f ( xi ; 1 , 2 , , k )
将其取对数,然后对 1 , 2 , , k 求偏导数,得
ln L ( 1 , 2 , , k ) 0 1 ln L ( 1 , 2 , , k ) 0 k
1 2 n i i 1
(2) 设连续型总体 X 的概率密度函数为 f ( x ; ) ， 则样本
( X 1 , X 2 , , X n ) 的联合概率密度函数
f ( x1 ; ) f ( x 2 ; ) f ( x n ; )
n
i 1
f ( x i ; )
n
仍称为似然函数，并记之为 L ( ) L ( x , x , , x ; )
用上面的解来估计参数θi就是矩法估计.
例: 设总体 X 服从泊松分布 ( ) ，参数λ 未知，
( X 1 , X 2 , , X n ) 是来自总体的一个样本，求参数λ
的矩
估计量.
解 总体X的期望为 E ( X ) 从而得到方程
1
X n
i 1
n
i
所以λ的矩估计量为
ˆ
得到含有未知参数(θ1,…,θk)的k个方程.解这k 个联立方程组就可以得到(θ1,…,θk)的一组解:
loglikelihood估计参数误差-概述说明以及解释
loglikelihood估计参数误差-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在统计学和概率论中，参数估计是指通过样本数据来估计未知参数的值。
在许多情况下，我们无法直接观察到感兴趣的参数值，而只能通过样本数据来进行估计。
而loglikelihood方法是常用的参数估计方法之一。
loglikelihood是对参数估计进行量化的方法，它基于最大似然估计的原理。
最大似然估计是一种通过最大化似然函数来估计参数的方法，它假设观测到的数据是从某个参数分布中独立同分布地生成的。
loglikelihood 方法通过计算参数对应的似然函数的对数来进行参数估计。
本文将探讨loglikelihood方法在估计参数误差中的重要性。
在实际应用中，我们常常需要对参数进行估计，并且我们也关心这些估计的准确性。
由于样本数据存在随机性，我们无法确切地知道参数的真实值，而只能通过估计值来代替。
因此，我们需要对参数估计的误差进行分析和评估。
文章将首先介绍loglikelihood方法的定义和作用，然后探讨常用的参数估计方法，包括最大似然估计和贝叶斯估计等。
接着，我们会详细讨论如何计算和分析参数误差，包括标准误差的计算和置信区间的构建。
最后，我们会总结loglikelihood估计参数误差的重要性，并对研究的局限性和未来工作进行讨论。
通过本文的阅读，读者将能够更好地理解loglikelihood方法在参数估计中的重要性，以及如何计算和分析参数的误差。
这对于统计学和概率论的学习和实际应用都具有重要意义。
1.2 文章结构文章结构是一个长文的骨架，它帮助读者了解整篇文章的组织和内容安排。
本文的结构主要包括引言、正文和结论三个部分。
接下来，将对每个部分的内容进行简要介绍。
引言部分主要包括概述、文章结构和目的。
在概述中，将对loglikelihood估计参数误差的重要性和应用背景进行简要讨论。
文章结构部分将介绍本文的结构和各个部分的主要内容，以帮助读者了解整个论文的组织。
参数估计方法
第八章参数估计方法研究工作的目的在于了解总体特征的有关信息，因而用样本统计数估计相应总体参数，并由之进行统计推断。
总体特征的各种参数，在前几章主要涉及平均数、标准差等，并只从直观上介绍其定义和公式，未就其历，即参数估计(parameter estimation)的方法作讨论。
本章将简要介绍几种常用参数估计方法，即矩法、最小二乘法、极大似然法。
第五章述及参数的点估计(point estimation)和区间估计(interval estimation)，本章讨论点估计方法。
区间估计是在点估计的基础上结合统计数的抽样分布而进一步作出的推论，有关内容将散见在其它各章。
第一节农业科学中的主要参数及其估计量的评选标准一、农业科学中的主要参数农业科学研究中需要估计的参数是多种多样的，主要包括总体数量特征值参数，例如，用平均数来估计品种的产量，用平均数差数来估计施肥等处理的效应；用百分数(或比例)来估计遗传分离比例、群体基因或基因型频率、2个连锁主基因间的重组率；通过变异来源的剖分，用方差来估计环境方差、遗传方差和表型方差，在此基础上以估计性状的遗传力等遗传参数；用标准误来估计有关统计数的抽样误差，如重组率的标准误、遗传抽样误差、遗传多样性误差、频率误差等。
在揭示变数间的相互关系方面，用相关系数来描述2个变数间的线性关系；用回归系数、偏回归系数等来描述原因变数变化所引起的结果变数的平均变化的数量，用通径系数来描述成分性状对目标性状的贡献程度等。
有关数量关系和数量变化方面的内容将在第9至11章介绍。
二、参数估计量的评选标准讨论参数估计方法前需要了解数学期望(expectation)的概念和评价估计方法优劣的标准。
(一) 数学期望在抽样分布中，已经讲述了从总体中抽出所有可能样本的样本平均数的平均数等于总体平均数，这里，样本平均数的平均数就是一种数学期望。
例如，一个大豆品种的含油量为20%，测定一次可能是大于20%，再测定可能小于20%，大量反复测定后平均结果为20%，这时20%便可看作为该大豆品种含油量的数学期望，而每单独测定一次所获的值只是1个随机变量。
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F0 = u q + F
T 1 1
* 1
F0 = t r + F1
T 1 1
T T T 其中， 其中， 1 ， 1 ， 1 分别为回归系数
p q
1
r
E1
， *， F
F1
分别为3个回归方程的残差矩阵 分别为 个回归方程的残差矩阵
偏最小二乘法（PLS） 偏最小二乘法（PLS）
E0 = t p + E1
的第
i
大特征值对应的特征向量。 大特征值对应的特征向量。
bi 是矩阵(Y T Y ) −1 (Y T X )( X T X ) −1 ( X T Y ) Gi 对应的典型主轴
的第 大特征值对应的特征向量。 i 大特征值对应的特征向量
3.偏最小二乘法（PLS） 3.偏最小二乘法（PLS） 偏最小二乘法
1 1 T T 2 Var ( F1 ) = || F1 || = a1 X Xa1 n n
主成分分析
所以有如下优化问题： 所以有如下优化问题： T 1
s.t || a1 ||= 1 解此问题得： 解此问题得： Va = λ a V = 1 X T X 1 1 1 n
max a X Xa1 Var ( F1 ) = λ1
T 1 1
F0 = t r + F1
T 1 1
用
E1 和 F1
取代上式中的 E0 和
t 表中的第二个成分： 表中的第二个成分： 2 和
T 1 1 T 2
u2
F0 ，求出原数据
依次类推，若X的秩为 ，则会有： 的秩为A，则会有： 依次类推， 的秩为
E0 = t p + t2 p + ... + t A p
参数估计的若干方法（一）
偏最小二乘法（ 偏最小二乘法（PLS）简介 ）
• 1.表内成分提取 1.表内成分提取 表内成分提取——主成分分析 主成分分析 • 2.表间成分提取 2.表间成分提取 表间成分提取——典型相关分析 典型相关分析 • 3.偏最小二乘法（PLS） 3.偏最小二乘法 PLS） 偏最小二乘法（
k T k n =1
k
T
X = TP + E = ∑ tn pn + E
T Y = UQk + F = ∑ un qn + F n =1
NNPLS
第二步： 第二步：求取U 与
T
内部（ 之间的内部 非线性）关系。 之间的内部（非线性）关系。
用神经网络的方法。 用神经网络的方法。
神经网络设置： 神经网络设置： 1.采用3层BP网络； 1.采用3 BP网络； 采用 网络
T
Var ( F1 ) = λ1
的特征向量， 最大特征值。 即 a1是 V 的特征向量，λ1是 V 的最大特征值。
a 1 称为第一主轴。 称为第一主轴 第一主轴。
主成分分析
之后可求出第二个综合变量
F2 及对应的第二主轴 a2
依次类推可求得原数据表的m个综合变量： 依次类推可求得原数据表的 个综合变量： 个综合变量
相关程度能够达到最大 能够达到最大。 （2）t1 和 u1 的相关程度能够达到最大。 ）
偏最小二乘法（PLS） 偏最小二乘法（PLS）
具体方法： 具体方法：
r (t1 , u1 ) → max
Cov(t1,u1) = Var(t1)Var(u1)r(t1,u1) →max
Var (t1 ) → max Var (u1 ) → max
F1 , F 2 , ... F m
Var ( F1 ) ≥ Var ( F2 ) ≥ ... ≥ Var ( Fm ) F 其中， 其中， i 对应的主轴 ai 为 矩阵 V 的第 i 大特征向量
2.表间成分提取 2.表间成分提取——典型相关分析 表间成分提取 典型相关分析
典型相关分析： 典型相关分析：对于两个数据表 X 和 Y ，分析两组变 量之间是否存在相关关系 是否存在相关关系。 量之间是否存在相关关系。 基本思想：分别从 X 和 Y 中提取相关性最大的2个成 中提取相关性最大 相关性最大的 个成 基本思想： 分，通过测定这2个成分之间的相关关系来推测原数据 通过测定这 个成分之间的相关关系来推测原数据 表的间的相关关系。 表的间的相关关系。
learn
和测试样本
(U , T )
text
首先隐层取单个节点，利用学习样本训练网络， 首先隐层取单个节点，利用学习样本训练网络，再利 用训练样本来计算网络的预报误差， 用训练样本来计算网络的预报误差，然后逐次增加节 点数目。若增加一个节点能有效降低误差， 点数目。若增加一个节点能有效降低误差，则保留这 个节点；否则不增加节点。 个节点；否则不增加节点。
基本思想： 基本思想： 现有自变量与因变量的数据表
X = ( x1, x2, ..., x p ) Y = ( y1 , y2 ,..., yq )
偏最小二乘回归就是分别在X与 中提取出成 偏最小二乘回归就是分别在 与Y中提取出成 使满足如下关系： 分 t1 和 u1 ，使满足如下关系：
t （1）1 和 u1 尽可能多的携带对应数据表中的信息； ） 尽可能多的携带对应数据表中的信息； 信息
偏最小二乘法（PLS） 偏最小二乘法（PLS）
X = ( x1, x2, ..., x p ) Y = ( y1 , y2 ,..., yq )
标准化处理 标准化处理
E0 = (E01, E02,..., E0 p )n×p F0 = ( F01 , F02 ,..., F0 q ) n×q
的第一个成分， 记 t1 和 u1 分别是 E0 和 F0 的第一个成分，且有
1 T T max Cov( F1 , G1 ) = a1 X Yb1 n T a1 X T Xa1 = 1 s.t T T b1 Y Yb1 = 1
典型相关分析
此时有： 此时有：
〈 F1 , G1 〉 T T r ( F1 , G1 ) = = a1 X Yb1 || F1 || • || G1 ||
NNPLS的优势： 的优势： 的优势 1.神经网络很好的解决了变量间非线性的 神经网络很好的解决了变量间非线性 神经网络很好的解决了变量间非线性的 问题 2.PLS解决了变量间多重相关性问题 解决了变量间多重相关性 解决了变量间多重相关性问题
NNPLS
不足之处： 不足之处： 反映不出各因变量间的相互影响程度
主成分分析
具体实现： 具体实现： 设有数据表
X = ( x1, x2, ..., x p )
现用一综合变量 现用一综合变量 F 1 ， 1是 x1, x 2, ..., F 即：F1 = X a1 最大，即有： 最大，即有：
x p 的线性组合， 的线性组合，
|| a1 ||= 1
能携带最多的原变异信息， 要使 F 1能携带最多的原变异信息，则要使 F 1 的方差
NNPLS 4.计算残差： 计算残差： 计算残差
Eh = Eh −1 − t P T Fh = Fh −1 − f (th )qh
T h h
5. 决定主成分个数 若上述计算还不满足所需精度时， 若上述计算还不满足所需精度时，令： 转至第二步，否则结束。 转至第二步，否则结束。
h = h +1
NNPLS
t1 = E0 w1 || w1 ||= 1
有如下优化问题： 有如下优化问题：
u1 = F0 c1 || c1 ||= 1
偏最小二乘法（PLS） 偏最小二乘法（PLS）
max < E0 w1 , F0 c1 >
w w1 = 1 s.t T c1 c1 = 1
T 1
解此优化问题可得： 解此优化问题可得：
w1 是矩阵 ET F F T E 的最大特征值对应的特征向量
0 0 0 0
T c1 是矩阵 F0T E0 E0 F0的最大特征值对应的特征向量
偏最小二乘法（PLS） 偏最小二乘法（PLS）
此时可求出 E0和 F 对
0
个回归方程： 个回归方程 t1和 u1的3个回归方程：
E0 = t p + E1
典型相关分析
如果第一典型成分
F1与 G1
还不能较好的反映2组变 还不能较好的反映 组变
间的相关关系， 个典型成分。 量X与Y间的相关关系，还可以考虑第 、3…个典型成分。 与 间的相关关系 还可以考虑第2、 个典型成分
Fi
对应的典型主轴
ai 是矩阵( X T X )−1 ( X T Y )(Y T Y )−1 (Y T X )
T 1 1 T 2 2 T A A
T A
F0 = t r + t r + ... + t r + FA
基本思想： 基本思想：
NNPLS
Y = ( y1 , y2 ,..., yq )
已知有如下数据表： 已知有如下数据表：
X = ( x1, x2, ..., x p )
且自变量X与因变量之间有非线性关系 且自变量 与因变量之间有非线性关系 与因变量之间有 第一步： 分别求取X与 的外部关系 即对X、 的外部关系， 第一步：用PLS分别求取 与Y的外部关系，即对 、 分别求取 Y分别提取主成分向量 U 与 分别提取主成分向量 分别
1.表内成分提取 1.表内成分提取——主成分分析 表内成分提取 主成分分析
数据表： 数据表：有P个变量 x1, x 2 , ..., x p ，对它们 个变量 进行n次观测 所构成矩阵即为一数据表。 次观测， 进行 次观测，所构成矩阵即为一数据表。 基本原理：对原数据表中的信息重新组合，提取 基本原理：对原数据表中的信息重新组合， 数据表中的信息重新组合 ），使这 使这m 出m个综合变量 F1 , F 2 , ... F m （m< p），使这 个综合变量 个综合变量能最多的概括原数据表的信息 原数据表的信息。 个综合变量能最多的概括原数据表的信息。 数据集合中的信息指的是集合中数据变异的情况。 数据集合中的信息指的是集合中数据变异的情况。 指的是集合中数据变异的情况 而在一张数据表中，数据集合的变异信息即为全部 而在一张数据表中，数据集合的变异信息即为全部 变量的方差和来表示 来表示。 变量的方差和来表示。