GCT最新-扈志明-数学串讲讲义 第22-36讲义

第四部分 一元函数微积分[考试要求] 函数及其图形：集合，映射，函数，函数的应用；极限与连续：数列的极限，函数的极限，极限的运算法则，极限存在的两个准则与两个重要极限，连续函数，无穷小与无穷大。

导数与微分：导数的概念，求导法则及导数基本公式，高阶导数，微分。

微分中值定理与导数应用：中值定理，导数的应用。

积分：不定积分和定积分的概念，牛顿—莱布尼兹公式，不定积分和定积分的计算，定积分的几何应用。

[一元微积分内容总结] 一、两类概念 1．反映函数局部性质的概念 极限、连续、可导（导数）、可微（微分）、极值（点）等 2．反映函数整体性质的概念 有界性、单调性、奇偶性、周期性、凹凸性、最值、原函数、定积分等 二、三种运算 1．极限运算 常用方法：四则运算、重要极限、等价无穷小代换、无穷大与无穷小的关系、导数定义、洛必达法则等 2．求导运算 需要掌握：定义、基本导数公式、导数的四则运算、复合函数的链导法则、变限定积分函数的导数公式 3．积分运算 （1）不定积分运算：基本积分公式、换元积分法、分部积分法 （2）定积分运算：定义与性质、几何意义、牛顿—莱布尼兹公式、换元积分法、分部积分法 三、几个应用 1．单调性、极值、最值问题（不等式、方程的根） 2．凹凸性、拐点问题 3．平面图形的面积问题 [一元微积分中的常见问题] 1． 求函数表达式的问题（1）已知1)1(2+=+x x f , 求)(x f 的表达式。

22)(2+−=x x x f（2）已知⎪⎩⎪⎨⎧>≤−=⎩⎨⎧>≤=.2,2,2,4)(,1,0,1,1)(2x x x x f x x x g 求))((x g f （⎩⎨⎧>≤=1,4,1,3x x ）。

（3）,,(cos sin )(）是不同时为零的常数b a x b x a e f x +=′求)(x f 。

C x ax b a +=)sin(ln ,解 因为xxxxe x x e ef e f )cos (sin )())((+=′=′，所以 ∫+=dx e x x e f xx )cos (sin )(C x e x +=sin因此 C x x x f +=)sin(ln )(（4）设C x dx x xf +=∫arctan )(，求∫dx x f )(1。

解 因为 C x dx x xf +=∫arctan )(，所以 211)(xx xf +=．因此C x x dx x x dx x f ++=+=∫∫4224121)1()(1（5）已知∫+=10)(21)(dt t f x f ，求)(x f 。

1−2． 研究函数的奇偶性的问题 （1）)(21)(x xe e xf −−=。

奇函数 （2）)1ln()(2x x x f ++=。

奇函数（3）研究函数∫++=xdt t t x f 02)1ln()(的奇偶性。

解 因为对任意的),(+∞−∞∈x ，∫++=xdt t t x f 02)1ln()(都存在，且)()1ln(11ln))()(1ln()1ln()(0202202x f du u u duuu du u u dt t t x f x x x x=++=++−=−−++−=++=−∫∫∫∫−所以∫++=xdt t t x f 02)1ln()(是偶函数．3． 研究函数在一点的极限存在性、连续性、可导性、导函数的连续性的问题（1） 求极限⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+++→x x e e xx x sin 12lim 410。

1（2）指出函数)1()1()(2−−=x x x x x f 的间断点及其类型。

0=x ，跳跃型；1=x ，可去型；1−=x ，第二类。

（3）已知函数1lim)(2212+++=−∞→nn n xbxax x x f 在),(+∞−∞上连续，求b a ,的值。

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+=++−=−−>=1,,1),1(21,1),1(21,1,1)(2x bx ax x b a x b a x xx f 1,0==b a（4）讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠−−=10111sin )1()(2x x x x x f 在1=x 处的连续性、可导性。

连续，可导，01011sin)1(lim1)1()(lim)1(211=−−−−=−−=′→→x x x x f x f f x x（5）设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=001sin)(2x bax x xx x f 在0=x 可导，则b a ,满足[ A ]（A）0,0==b a 。

（B）1,1==b a 。

（C）0,=b a 为任意常数。

（D）1,=b a 为任意常数。

4． 有关无穷小比较的问题（1） 若0)tan(1limcos 10≠=−−→a x e k x x π，求k 与a 的值。

021lim cos 1lim )tan(1lim 200cos 10≠==−=−→→−→a x x x x x e x x x x ππππ21,2==a k （2） 已知∫+=2)1ln()(x dt t x f ，则当0→x 时，下列函数中与)(x f 是等价无穷小的是[ C ]A 2x 。

B 3x 。

C 24x 。

D 4x 。

130120002lim)1ln(2lim)1ln(lim 12−→−→→=+=+=∫k x k x kx x akxx akxx x ax dt t（3） 确定b a ,的值，使21sin 1lim 220−=+−∫→dt t t ax x x b x 。

解 因为0)(sin lim 0=−→ax x x ，21sin 1lim 220−=+−∫→dt t t ax x x b x 所以 01lim220=+∫→dt t t xbx ，因此0=b ．又 a x x a x dt ttax x x x b x −=+−=+−=−→→∫101cos 1lim 1sin 1lim 2220220， 所以 1=a .5． 有关导数概念的问题（1）hh x f h x f h 2)()(lim000−−+→。

)(0x f ′（2）设)(x f 在0=x 点某邻域内可导，且当0≠x 时0)(≠x f ，已知2)0(,0)0(=′=f f ，求极限。

x x x fsin 1))(21(lim −→()()。

421021sin 1)0()(2sin )(2]))(21[(lim ]))(21[(lim ))(21(lim −−→−→→=−=−=−−−−e x f x f x f xf x f xx f x f x x f x x x（3）已知⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,0,1sin )(4x x x x x f ，求x f x f f x )0()(lim )0(0′−′=′′→。

0（4）已知],[)(b a C x f ∈，且0)(,0)(<′>′b f a f ，证明：存在),(b a ∈ξ，使得]),[()()(b a x x f f ∈≥ξ。

简证 由于0)()(lim )(,0)()(lim )(<−−=′>−−=′−+→−→+b x b f x f b f a x a f x f a f bx ax ，所以存在),(21b a x x ∈<，使得)()(),()(21b f x f a f x f >>，故)(),(b f a f 均不是函数)(x f 在闭区间],[b a 上的最大值。

因此存在),(b a ∈ξ，使得]),[()()(b a x x f f ∈≥ξ。

6． 求简单复合函数、简单隐函数、简单参数方程确定的函数的导数和微分的问题（1）)ln(arctan x y =。

211arctan 1x x +（2）已知函数)(x y y =由0=+−−xy e e xy确定，求曲线)(x y y =在0=x 处的切线方程与法线方程。

x y x y =−=,7． 求不定式极限的问题 （1）求极限值，设∫=x t dt e x f 02)(，求hh x f h x f h )()(lim 0−−+→。

22)(2x e x f =′（2）求待定参数值。

8． 研究函数单调性、求函数极值的问题 （1）单调性、极值问题，求函数212xx y +=的单调区间和极值点。

，极大，极小；，单减；单增；，单减；11),1()1,1()1,(=−=+∞−−−∞x x（2）最值问题，（3）证明不等式问题，24)1arctan(222xx x x x <−+<++π)0(>x ，)(b a e b a ab <<>，（考虑函数xxx f ln )(=） )31(1ln ln )3(ln 1222e x x x ≤≤≤−≤−。

（求函数的最大值）（4）证明等式问题，设函数)(x f 在],0[a 上可导、单增，0)0(=f ，证明)()()()(01a af dy y fdx x f a f a=+∫∫−。

解 令)()()()()(010u uf dy y fdx x f u F u f u−+=∫∫−，],0[a u ∈，则 ],0[,0)()())(()()()(1a u u f u u f u f f u f u f u F ∈=′−−′+=′−，又 0)0(=F ， 所以 ],0[,0)(a u u F ∈=，故 )()()()(01a af dy y fdx x f a f a=+∫∫−。

（5）研究方程根的问题。

讨论方程033=+−A x x 实根的情况。

解 令 A x x x f +−=3)(3，由033)(2=−=′x x f 得 1,121=−=x x ，从而)1,1(−是函数的单减区间，)1,(−−∞和),1(+∞是函数的单增区间，极大值为2)1(+=−A f ，极小值为2)1(−=A f 。

由于 ,)(lim ,)(lim −∞=+∞=−∞→+∞→x f x f x x 所以当02<+A 时，原方程只有一个实根，位于),1(+∞内；当02=+A 时，原方程有两个不同实根，一个为1−，一个位于),1(+∞内；当02,02<−>+A A 时，原方程有三个不同实根，分别位于)1,(−−∞，)1,1(−，),1(+∞内； 当02=−A 时，原方程有两个不同实根，一个为1，一个位于)1,(−−∞内； 当02>−A 时，原方程只有一个实根，位于)1,(−−∞内。

9．研究函数的凹凸性、求函数拐点的问题（1）当b a ,为何值时，点)3,1(可能为23bx ax y +=的拐点，此时函数的凹凸性如何？ 解 由点)3,1(在曲线上和拐点处的二阶导数为零，得⎩⎨⎧=+=+,026,3b a b a 解得 29,23=−=b a 。