2018届四川省德阳市高考二诊模拟考试数学(文)试卷-含答案

2018届四川省德阳市高考二诊模拟考试数学（文）试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，实数x ，y 满足(2)x i i y i +=-，则x yi -=（ ） A ．1 B2.已知集合2{|40}A x N x x =∈-<，集合2{|20}B x x x a =++=，若{1,2,3,3}AB =-，则AB =（ ）A ．{1}B ．{2}C ．{3}D ．φ 3.函数()sin (2)f x x ϕ=+的图象向右平移6π个单位后所得的图象关于原点对称，则ϕ可以是（ ） A ．6πB ．3πC ．4πD ．23π4.实验测得四组数对(,)x y 的值为(1,2)，(2,5)，(4,7)，(5,10)，则y 与x 之间的回归直线方程是（ ）A ． 1.80.6y x =+B ． 1.80.6y x =-C ． 1.5 2.5y x =+D ．0.57.5y x =-+参考公式：121()()()ni i i ni i x x y y b x x ==--=-∑∑，a y b x =-.5.如图所示的三视图表示的几何体的体积为323，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．12πB ．24πC ．36πD ．48π6.《九章算术》是我国古代一部数学名著，某数学爱好者阅读完其相关章节后编制了如图的程序框图，其中(,)M O D m n 表示m 除以n 的余数，例如(7,3)1M O D =.若输入m 的值为8时，则输出i 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 7.已知235lo g lo g lo g 0x y z ==<，则2x、3y 、5z 的大小排序为（ ）A ．235x y z <<B ．325y xz <<C ．523zxy<<D ．532zyx<<8.以等腰直角三角形A B C 的斜边B C 上的中线A D 为折痕，将A B D ∆与A C D ∆折成互相垂直的两个平面，得到以下四个结论：①B D ⊥平面A C D ；②A B C ∆为等边三角形；③平面A D C ⊥平面A B C ；④点D 在平面A B C 内的射影为A B C ∆的外接圆圆心.其中正确的有（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①③④9. 已知双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>22()4(0)x m ym -+=>截得的线段长为m 的值为（ ）A ．3B ．1 C．210.已知函数()sin f x x x =+，若[2,1]x ∃∈-，使得2()()0f x x f x k ++-=成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[1,3]-B ．[0,3]C ．(,3]-∞D ．[0,)+∞11. 如图，过抛物线24y x =的焦点F 作倾斜角为α的直线l ，l 与抛物线及其准线从上到下依次交于A 、B 、C 点，令1A F B Fλ=，2B C B Fλ=，则当3πα=时，12λλ+的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．612. 已知A 、B 是函数2,()()(2),()x ae x af x f a x x a -⎧-≥=⎨-<⎩（其中常数0a >）图象上的两个动点，点(,0)P a ，若P A P B⋅的最小值为0，则函数()f x 的最大值为（ ）A ．21e- B ．1e-C．2e-D．e-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上.13.已知实数x ，y 满足条件2300x y xy x y -≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则3x y +的最大值为 ．14.为弘扬我国优秀的传统文化，某小学六年级从甲、乙两个班各选出7名学生参加成语知识竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则y x的值为 ．15.如图，在三角形O P Q 中，M 、N 分别是边O P 、O Q 的中点，点R 在直线M N 上，且O R x O P y O Q =+(,)x y R ∈的最小值为 ．16.已知A B C ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c 且6a =，4sin 5sin B C =，2A C =，若O 为A B C ∆的内心，则A B O ∆的面积为 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+. （1）求证：数列{1}n a +为等比数列；（2）求数列12nn n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18.省环保厅对A 、B 、C 三个城市同时进行了多天的空气质量监测，测得三个城市空气质量为优或良的数据共有180个，三城市各自空气质量为优或良的数据个数如下表所示：已知在这180个数据中随机抽取一个，恰好抽到记录B 城市空气质量为优的数据的概率为0.2. （1）现按城市用分层抽样的方法，从上述180个数据中抽取30个进行后续分析，求在C 城中应抽取的数据的个数；（2）已知23y ≥，24z ≥，求在C 城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率. 19.如图，在四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 为菱形，60D A B ∠=，P D ⊥平面A B C D ，2P D A D ==，点E 、F 分别为A B 和P D 的中点.（1）求证：直线//A F 平面P E C ； （2）求点A 到平面P E C 的距离.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b ab +=>>的两个焦点与短轴的一个端点构成的三角形的面积为且椭圆C 的离心率为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(4,0)且斜率不为零的直线l 与椭圆C 交于两点M 、N ，点(2T ，试探究：直线M T与N T 的斜率之积是否为常数. 21.已知函数2()ln f x x m x x =--. （1）若12x =是()f x 的一个极值点，求()f x 的最大值；（2）若121,,x x e e ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，12x x ≠，都有2112()()x f x x f x -1221()x x x x >-，求实数m 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题记分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.在平面直角坐标系x O y 中，直线l ：22x t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C ：2sin ρθ=.（1）求直线l 的极坐标方程及曲线C 的直角坐标方程； （2） 记射线0,02πθαρα⎛⎫=≥<<⎪⎝⎭与直线l 和曲线C 的交点分别为点M 和点N （异于点O ），求O N O M的最大值.23.已知函数()1f x x =-.（1）解关于x 的不等式2()1f x x ≥-；（2）若关于x 的不等式2()1f x a x x <-++的解集非空，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题1-5: DABAC 6-10: BACDA 11、12：CB二、填空题13. 8 14.354三、解答题17.解：（1）∵121n n a a +=+，∴112(1)n n a a ++=+. 又11a =，∴1120a +=≠，10n a +≠. ∴{1}n a +是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）知21nn a =-，∴1122(21)(21)nn nn n n a a ++=--1112121nn +=---,∴22111212121n T =-+---31111212121nn +-+⋅⋅⋅+----11121n +=--.18.解：（1）由题意得0.2180x =，即36x =.∴1802832363054y z +=----=， ∴在C 城中应抽取的数据个数为30549180⨯=.（2）由（1）知54y z +=，,y z N ∈且23y ≥，24z ≥，∴满足条件的数对(,)y z 可能的结果有(23,31)，(24,30)，(25,29)，(26,28)，(27,27)，(28,26)，(29,25)，(30,24)共8种.其中“空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数”对应的结果有(28,26)，(29,25)，(30,24)共3种.∴在C 城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率为38.19.解：（1）取P C 的中点Q ，连结E Q 、F Q ， 由题意，//F Q D C 且12F Q C D =，//A E C D 且12A E C D =，故//A E F Q 且A E F Q =，所以，四边形A E Q F 为平行四边形， 所以，//A F E Q ，又E Q ⊂平面P E C ，A F ⊄平面P E C ， 所以，//A F 平面P E C .（2）设点A 到平面P E C 的距离为d . 由题意知在E B C ∆中，E C ===，在P D E ∆中P E ==在P D C ∆中P C ==，故E Q P C ⊥，E Q A F ==12P E C S ∆=⨯=，1122A E C S ∆=⨯⨯=，所以由A P E C P A E C V V --=1232d =⋅，解得10d =.20.解：（1）由题意得2b c c a ⎧=⎪⎨=⎪⎩（其中c 椭圆的半焦距）， 解得2282a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩.所以椭圆C 的方程为：22182xy+=.（2）由题意设直线l 的方程为：4x m y =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，由224182x m y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(4)880m y m y +++=， 所以1221222284846432(4)0m y y m y y m m m ⎧+=-⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪∆=-+>⎪⎩，故1212()8x x m y y +=++2324m=+，21212124()x x m y y m y y =++22648164m m-+=+，M T N T k k⋅y y ==4=（常数）.21.解：（1）1'()21(0)f x m x x x=-->，由题意得1'02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即210m --=，所以1m =， 所以1'()21f x x x=--(21)(1)x x x--+=，当102x <<时，'()0f x >；当12x >时，'()0f x <，所以()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.所以m a x 1()2f x f ⎛⎫=⎪⎝⎭3ln 24=--. （2）由题意得121,,x x e e ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，12x x ≠都有2112()()x f x x f x -1221()x x x x >-111()f x x x ⇔+222()f x x x >+，令函数()()f x g x x x=+2ln x m x xx x --=+ln 1x m x x x=--+，当12x x >时，()g x 在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以21ln '()10x g x m x-=-+≥在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即21ln 1x m x-≤+在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，令21ln ()x h x x -=，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则332ln '()0x h x x -+=<， 所以()h x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故m in ()()0h x h e ==，所以实数m 的取值范围为(,1]-∞.同理，当12x x <时，()g x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以21ln '()10x g x m x -=-+≤在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即21ln 1xm x -≥+在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，令21ln ()x h x x -=，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则332l n '()0x h x x -+=<， 所以()h x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故2m a x 1()2h x h e e ⎛⎫== ⎪⎝⎭.所以实数m 的取值范围为2[21,)e ++∞，综上，实数m 的取值范围为2(,1][21,)e -∞++∞. 22.解：（1）由题意得直线l 的普通方程为：4x y +=， 所以其极坐标方程为：4s in c o s ρθθ=+. 由2sin ρθ=得：22s in ρρθ=，所以222x y y +=，所以曲线C 的直角坐标方程为：2220x y y +-=.（2）由题意2sin O N α=，4sin c o s O M αα=+，所以2sin sin c o s 2O NO M ααα+=12444πα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由于02πα<<，所以当38πα=时，O NO M 取得最大值：14. 23.解：（1）由题意2()1f x x ≥-211x x ⇔-≥-211x x ⇔-≥-或211x x -≤-，所以220x x +-≥或20x x -≥，即2x ≤-或1x ≥，或1x ≥或0x ≤，故原不等式的解集为{|01}x x x ≤≥或.（2）2()1f x a x x <-++211a x x x ⇔>+--+，由于211x x x +--+2222,12,112,1x x x x x x x x ⎧+<-⎪=--≤≤⎨⎪->⎩， 所以当1x =时，211x x x +--+的最小值为-1. 所以实数a 的取值范围为：(1,)-+∞.。