动力法测转动惯量

动力法测转动惯量
转动惯量是描述刚体转动惯性的物理量，是研究和描述刚体转动规律的一个重要物理量，它不仅取决于刚体的总质量，而且与刚体的形状、质量分布以及转轴位置有关。

对于质量分布均匀、具有规则几何形状的刚体，可以通过数学方法计算出它绕给定转轴的转动惯量。

对于质量分布不均匀、没有规则几何形状的刚体，用数学方法计算其转动惯量是相当困难的，通常要用实验的方法来测量。

实验上测量刚体的转动惯量，一般都是使刚体以某一形式运动，通过描述这种运动的特定物理量与转动惯量的关系来间接地测定刚体的转动惯量。

测定转动惯量的实验方法较多，常用的有动力法和振动法两种。

本实验采用动力法、利用“转动惯量实验仪”来测定刚体的转动惯量。

为了便于与理论计算比较，本实验采用形状规则的待测物体。

实验目的
1. 掌握电子通用计时器的使用；
2. 掌握利用最小二乘法处理线性数据的方法；
3. 掌握由转动定律测转动惯量的方法.
实验仪器
转动惯量仪(JM-2或TM-A)、通用电子计时器(MUJ-6B或HM-J)、电子天平(YP3001N、量程3000g)、游标卡尺(量程125mm，分度值0.02mm)、钢板尺(量程60cm) 转动惯量仪：由十字型载物台、绕线塔轮、遮光杆和小滑轮组成, 如图所示. 载物台沿直径方向固定有两个遮光杆，系统转动时每转动半圈（θ=π）遮光杆遮挡一次固定在底座圆周上的光电门，即产生一个光
挡次数和时间. 塔轮上有五个不同直
径的绕线轮，可选择其中一个通过定滑
轮与砝码钩连接. 砝码钩上可以放置
一定数量的砝码，其产生的重力矩作为
外力矩.
实验原理
根据刚体定轴转动定律：αJ M =
实验中定轴转动系统的外力矩由砝码重力所产生的拉力矩 mgd /2 和系统阻力矩 M μ 两部分组成，当mgd /2 、M μ一定时，该定轴转动可近似为匀变速转动，并取初速度为零，则有下列关系式：
2mgd M J μα-=， 22
1
t αθ= 联立有： 2
241
M J m gd
gd t μθ=
+
由上面公式可知，砝码质量m 与转过 θ 所用的时间的平方分之一 1/t 2 为线性关系.
令： 2M a gd
μ=
， 4J b gd
θ
=
由此，在θ一定时，可以通过改变砝码质量m ，测得一系列 (m ,1/t 2) ，利用最小二
乘法，可求得截矩a 和斜率b ，从而可求得转动惯量：θ4/gdb J =
待测物体的转动惯量为全系统的转动惯量和空载时的转动惯量之差：21J J J =- 最后得到 ()214gd
J b b θ
=- 实验内容
1. 测量空载时在不同质量的砝码牵引下，转过两圈所用的时间，用最下二乘法求出b 1.
2. 测量全系统(加铝圈或铝盘)在不同质量的砝码牵引下，转过两圈所用的时间，用最小二乘法求出b 2.
3. 测量绕线塔轮的直径，计算铝圈或铝盘的转动惯量，表达实验结果.
4. 对测量结果的不确定度估计；(此项为选做内容)
5. 测量铝圈或铝盘的相关参数，用公式计算其转动惯量，与实验结果比较. 实验步骤
1. 调整转动惯量仪的初始状态
1) 移动转动惯量仪到实验桌合适位置，调节3个底脚螺丝使其处于水平状态； 2) 试绕线：将线的末端打结，卡在轮槽边缘的狭缝里，然后均匀缠绕在轮槽上（注意不要有绞缠），一般缠绕3圈以上，然后将悬挂有砝码底座的线的另一端通过桌边固定
的滑轮引出，让其自由垂下；
3) 观察轮槽与滑轮之间的细线是否水平来调节滑轮的高度，使滑轮轮槽与绕线塔轮轮槽基本水平；
4) 在自由垂下的砝码底座上加砝码，调节砝码基本静止，然后释放，让系统自由转动，观察系统是否可以顺滑的转动（注意是否有磕碰，若有磕碰，需检查原因予以排除）.
2. 选择电子计时器的相应功能和参数，试运行：将遮光杆放入光电门内，然后释放，直到计时器显示时间，观察转过圈数是否为两圈，制动系统.
3. 测量系统（不加铝圈或铝盘）在不同质量砝码牵引下，转过两圈所用的时间
1) 根据砝码确定要选取的7个不同质量（可从20 g开始，每5 g或10 g变化一次，够7组为止）；
2) 把合适的砝码加到底座上，使总质量（包括底座）达到预期，测量时使砝码自由垂下，保持静止；
3) 把遮光杆放到光电门中，按下数字毫秒计计时键，然后释放，数字毫秒计显示时间时制动，同一个质量可试测几次，若每次测量的时间基本不变，再记录数据；
4) 换下一个质量，重复步骤2)、3)，直到测完7组数据.
4. 把待铝圈或铝盘放到转动平台上（注意铝圈或铝盘边缘要和平台边缘完全重合），重复步骤3，测量全系统在不同质量砝码牵引下，转过两圈所用的时间；
5. 检查测量数据，是否有异常值，若有异常值，则对异常的一组或几组重新测量；
6. 关闭电子计时器，将细线从轮槽取下，连带砝码整理好放回原位；
7. 使用游标卡尺测量绕线轮槽直径（单次测量），用钢板尺测量铝圈的外径、内径（或铝盘的直径），用电子天平测量铝圈的质量，并记录数据
8. 将实验数据交老师签字；整理仪器，离开实验室.
注意事项
1. 测量前必须调节转动惯量仪处于水平状态；
2. 线绕时，尽量均匀分布，不要有绞缠；
3. 必须使滑轮的凹槽和绕线轮盘在同一水平面上，必须使滑轮的凹槽在绕线轮盘的切线方向上；
4. 砝码总质量包括砝码底座质量；
5. 释放砝码时，必须使砝码处于基本静止的铅直状态、遮光杆必须在光电门内或光电门附近；
6. 系统转动时，不能有磕碰现象；
系统转动时，不能有磕碰现象；
思考题
1. 分析相对误差是大还是小，说明一下本次实验是否成功
2. 如本次实验不成功，试分析原因何在？是系统误差还是随机误差.
数据记录
表一 空载时不同质量条件下的实验数据(θ取4π)
表二 全系统时不同质量条件下的实验数据(θ取4π)
表三 绕线塔轮直径
表四 铝圈参数
数据处理 (一) 统一单位制 (二) 数据计算
1. 砝码质量m 与转过 θ 所用时间的平方分之一 1/t 2 为线性关系，利用原始数据中空载和全系统的(m ,1/t 2)，代入最小二乘法公式，可分别求得斜率1b 和2b
2222221111***b m m t
t t t ⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫⎛⎫ ⎪=⋅--= ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（单位） 代入转动惯量计算公式，可求得
()21***()4gd J b b θ
=-=单位
2. 根据转动惯量的理论公式计算转动惯量，铝圈：()22
12***8M J D D =
+= (单位) 铝盘：211
***8
J MD == (单位)
3. 根据理论公式的结果和实验测量结果计算相对误差：()()
()100%***J J J -⨯=实验理论理论
4. 斜率的不确定度可按下式来估计
()
E b =
()()b b E b u ⋅=
式中的i x ∆和i y ∆为每次测量的最大允差
()()()()()2
222
2
2
2
11111∑∑∑∑∆=∆=∆⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∆=∆=∆i i i
i m n
y n
y t n x n x
本实验对每一次时间和质量的测量的最大允差取为s t 1.0=∆和0.5m g ∆=克，则
3
212i i
t t t -∆
=∆，0.5i m g ∆=，带入上式可分别求得 b 1和 b 2的不确定度，转动惯量 J 的不确定度可按照不确定度传递公式，计算如下：
()
u J =
其中u (d) = △m = 0.02 mm .。