山西省大同二中2014-2015学年高二上学期11月月考数学试卷
山西省大同一中2014_2015学年高二数学上学期12月月考试卷理(含解析)
山西省大同一中2014-2015学年高二上学期12月月考数学试卷（理科）一、选择题：（每题3分，共36分）1．（3分）已知命题p：∀x∈R，cosx≤1，则（）A．￢p：∃x∈R，cosx≥1B．￢p：∃x∈R，cosx＜1C．￢p：∃x∈R，cosx≤1D．￢p：∃x∈R，cosx＞12．（3分）若命题“p∧q”为假，且“￢p”为假，则（）A．p或q为假B．q假C．q真D．不能判断q的真假3．（3分）命题：“若a2+b2=0（a，b∈R），则a=b=0”的逆否命题是（）A．若a≠b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0B．若a=b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0C．若a≠0且b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0D．若a≠0或b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠04．（3分）“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m+2）x+（m﹣2）y﹣3=0相互垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要5．（3分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M=AN=，则MN与平面BB1C1C的位置关系是（）A．相交B．平行C．垂直D．不能确定6．（3分）下列四个结论：（1）两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；（2）两条直线没有公共点，则这两条直线平行；（3）两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．其中正确的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．37．（3分）若方程y2﹣x2lga=﹣a表示焦点在x轴上的椭圆，则a的取值范围是（）A．B．C．D．8．（3分）椭圆的焦距等于2，则m的值为（）A．5或3 B．5 C．8 D．169．（3分）已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么=（）A．B．C．D．410．（3分）下列命题中不正确的命题个数是（）①若A、B、C、D是空间任意四点，则有+++=0；②||﹣||=|+|是、共线的充要条件；③若、共线，则与所在直线平行；④对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若=x+y+z（其中x、y、z∈R），则P、A、B、C四点共面．A．1 B．2 C．3 D．411．（3分）已知A（1，﹣2，11），B（4，2，3），C（6，﹣1，4）为三角形的三个顶点，则△ABC为（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形12．（3分）如图所示，已知四边形A BCD，EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P是ED 的中点，则P点到平面EFB的距离为（）A． a B． a C． a D． a二、填空题：（每题3分，共12分）13．（3分）有下列四个命题：①命题“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若m≤1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B=B，则A⊆B”的逆否命题．其中是真命题的是（填上你认为正确的命题的序号）．14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=a（a＞0），PA⊥平面AC，BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则实数a的取值范围是．15．（3分）空间中点M（﹣1，﹣2，3）关于x轴的对称点坐标是．16．（3分）若直线y﹣kx﹣1=0（k∈R）与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是．三、解答题：17．（10分）已知p：，q：x2﹣（a2+1）x+a2＜0，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18．（10分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD（1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．19．（10分）如图所示，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（1）证明：B1C1⊥CE；（2）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为．求线段AM的长．20．（10分）已知F1，F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上任一点（1）若∠F1PF2=，求△F1PF2的面积；（2）求|PF1|•|PF2|的最大值．21．（12分）已知圆A：（x+1）2+y2=1和圆B：（x﹣1）2+y2=9，求与圆A外切而内切于圆B的动圆圆心P的轨迹方程．山西省大同一中2014-2015学年高二上学期12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（每题3分，共36分）1．（3分）已知命题p：∀x∈R，cosx≤1，则（）A．￢p：∃x∈R，cosx≥1B．￢p：∃x∈R，cosx＜1C．￢p：∃x∈R，cosx≤1D．￢p：∃x∈R，cosx＞1考点：命题的否定．专题：阅读型．分析：本题中所给的命题是一个全称命题，故其否定是一个特称命题，将量词改为存在量词，否定结论即可解答：解：命题p：∀x∈R，cosx≤1，是一个全称命题∴￢p：∃x∈R，cosx＞1，故选D．点评：本题考查了“含有量词的命题的否定”，属于基础题．解决的关键是看准量词的形式，根据公式合理更改，同时注意符号的书写．2．（3分）若命题“p∧q”为假，且“￢p”为假，则（）A．p或q为假B．q假C．q真D．不能判断q的真假考点：复合命题的真假．专题：规律型．分析：根据复合命题的真值表，先由“¬p”为假，判断出p为真；再根据“p∧q”为假，判断q为假．解答：解：因为“¬p”为假，所以p为真；又因为“p∧q”为假，所以q为假．对于A，p或q为真，对于C，D，显然错，故选B．点评：本题考查复合命题的真假与构成其两个简单命题的真假的关系：“p∧q”全真则真；：“p∧q”全假则假；“¬p”与p真假相反．3．（3分）命题：“若a2+b2=0（a，b∈R），则a=b=0”的逆否命题是（）A．若a≠b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0B．若a=b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0C．若a≠0且b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0D．若a≠0或b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0考点：四种命题．分析：根据逆否命题的定义，直接作答即可，注意常见逻辑连接词的否定形式．解答：解：“且”的否定为“或”，因此其逆否命题为“若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”；故选D．点评：此类题型考查四种命题的定义与相互关系，一般较简单，但要注意常见逻辑连接词的运用与其各自的否定方法、形式．4．（3分）“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m+2）x+（m﹣2）y﹣3=0相互垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据直线垂直的等价条件，集合充分条件和必要条件的定义即可的结论．解答：解：若（m+2）x+3my+1=0与直线（m+2）x+（m﹣2）y﹣3=0相互垂直，则（m+2）（m+2）+3m（m﹣2）=0，即2m2﹣m+2=0，此时方程无解．所以“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m+2）x+（m﹣2）y﹣3=0相互垂直”的既不充分不必要条件，故选：D点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判定，利用直线垂直的等价条件是解决本题的关键．5．（3分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M=AN=，则MN与平面BB1C1C的位置关系是（）A．相交B．平行C．垂直D．不能确定考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：综合题．分析：由于CD⊥平面B1BCC1，所以是平面B1BCC1的法向量，因此只需证明向量与垂直即可，而与和均垂直，而和又可以作为一组基底表示向量，因此可以证明．解答：解：∵正方体棱长为a，A1M=AN=，∴=，=，∴=++=++=（+）++（+）=+．又∵是平面B1BCC1的法向量，且•=（+）•=0，∴⊥，∴MN∥平面B1BCC1．故选B点评：本题考查线面平行的判定，在适当条件下，可以用向量法证明，只需证明该直线的一个方向向量与该平面的一个法向量垂直即可．要注意的是这两个向量必须用同一组基底来表示．6．（3分）下列四个结论：（1）两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；（2）两条直线没有公共点，则这两条直线平行；（3）两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．其中正确的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：常规题型．分析：根据线线平行、线面平行的判定和性质．即可得出正确结论．解答：解：：（1）两条直线都和同一个平面平行，那么这两条直线可能平行、相交、异面．故（1）不正确．（2）两条直线没有公共点，那么这两条直线可能平行、异面．故（2）不正确．（3）两条直线都和第三条直线垂，则这两条直线可能平行、相交、异面．故（3）不正确．（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面可能平行、可能相交、可能在平面内．故选A点评：此题考查学生对空间中点线面之间的位置关系的掌握与理解．考查学生的空间想象能力．7．（3分）若方程y2﹣x2lga=﹣a表示焦点在x轴上的椭圆，则a的取值范围是（）A．B．C．D．考点：椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由方程y2﹣x2lga=﹣a表示焦点在x轴上的椭圆得到不等式组，求解不等式组得a的取值范围．解答：解：要使方程y2﹣x2lga=﹣a表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得．∴a的取值范围是．故答案为：D．点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单几何性质，是基础题．8．（3分）椭圆的焦距等于2，则m的值为（）A．5或3 B．5 C．8 D．16考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：由题意可得：c=1，再分别讨论焦点的位置进而求出m的值．解答：解：由题意可得：c=1．①当椭圆的焦点在x轴上时，m﹣4=1，解得m=5．②当椭圆的焦点在y轴上时，4﹣m﹣1，解得m=3．则m的值为：3或5．故选A．点评：本题主要考查了椭圆的简单性质，要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系要明了．解题时要认真审题，注意公式的合理选用．9．（3分）已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么=（）A．B．C．D．4考点：向量的模；数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：本题已知两个向量的模及它们的夹角，求其线性组合的模，宜采取平方法求模，本题中采取了恒等变形的方法间接达到平方的目的．解答：解：∵，均为单位向量，它们的夹角为60°，∴====．故选C．点评：本题考查向量模的求法，求向量的模一般先求其平方，或者恒等变形，将其拿到根号下平方，以达到用公式求出其值的目的，解此类题时注意总结此规律，这是解本类题的通用方法，切记！10．（3分）下列命题中不正确的命题个数是（）①若A、B、C、D是空间任意四点，则有+++=0；②||﹣||=|+|是、共线的充要条件；③若、共线，则与所在直线平行；④对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若=x+y+z（其中x、y、z∈R），则P、A、B、C四点共面．A．1 B．2 C．3 D．4考点：向量的共线定理．专题：综合题．分析：①由向量的运算法则知等式左边和为零向量，而右边是数字0，从而可判定真假．②两边平方，利用向量的平方等于向量模的平方，得出两向量反向．③向量共线的几何意义知所在的线平行或重合．④利用空间向量的基本定理知错．解答：解：对于①向量的运算法则知等式左边和为零向量，而右边是数字0，故①错．对于②，|a|﹣|b|=|a+b|⇔=⇔⇔反向，故②错．对于③共线，则它们所在直线平行或重合对于④，由空间向量基本定理知，空间任意一个向量可以用不共面的三个向量、、线性表示，所以P、A、B、C四点不一定共面．故选C．点评：本题考查向量的运算法则、向量模的平方等于向量的平方、向量的几何意义、空间向量基本定理．11．（3分）已知A（1，﹣2，11），B（4，2，3），C（6，﹣1，4）为三角形的三个顶点，则△ABC为（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题；三角函数的求值．分析：依题意，可求得=（﹣3，﹣4，8），=（5，1，﹣7），=（2，﹣3，1），利用向量的数量积即可判断该三角形的形状．解答：解：∵A（1，﹣2，11），B（4，2，3），C（6，﹣1，4），∴=（﹣3，﹣4，8），=（5，1，﹣7），=（2，﹣3，1），∴•=﹣6+12+8=14＞0，∴∠ABC＜90°；同理可得•=75＞0，∠CAB＜90°，•=（﹣2，3，﹣1）•（﹣5，﹣1，7）=0，∴∠ACB=90°，∴△ABC为直角三角形．故选A．点评：本题考查三角形的形状判断，着重考查空间向量的数量积的坐标运算，属于中档题．12．（3分）如图所示，已知四边形ABCD，EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P是ED 的中点，则P点到平面EFB的距离为（）A． a B． a C． a D． a考点：点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DM为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出P点到平面EFB的距离．解答：解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DM为z轴，建立空间直角坐标系，使得D（0，0，0）、A（a，0，0）、B（a，a，0）、C（0，a，0）、M（0，0，a）、E（a，0，a）、F（0，a，a），由中点坐标公式得P（，0，），设=（x，y，z）是平面EFB的法向量，∵，=（0，a，﹣a），∴，取y=1，得=（1，1，1），∵=（﹣，0，﹣），∴P点到平面EFB的距离d===．故选：B．点评：本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．二、填空题：（每题3分，共12分）13．（3分）有下列四个命题：①命题“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若m≤1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B=B，则A⊆B”的逆否命题．其中是真命题的是①②③（填上你认为正确的命题的序号）．考点：命题的真假判断与应用．分析：命题判断一是直接判断二是用等价命题法①若x，y互为倒数，则xy=1成立；②三角形全等则面积一定相等正确，③若m≤1则△=4﹣4m≥0方程有根④若A∩B=B应是B⊆A．解答：解：①若x，y互为倒数，则xy=1成立；②逆命题是“三角形全等则面积一定相等”正确则其否命题正确，③若m≤1则△=4﹣4m≥0方程有根原命题正确则其逆否命题正确④若A∩B=B应是B⊆A则其逆否命题不正确．故答案是①②③点评：本题主要考查命题的判断方法．14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=a（a＞0），PA⊥平面AC，BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则实数a的取值范围是[2，+∞）．考点：直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：连接AQ，由已知中PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，我们易得PQ⊥QD⇔AQ⊥QD，由此我们易得以AD为半径的圆与BC应该有交点，再由AB=1，BC=a，即可得到满足条件的实数a的取值范围．解答：解：连接AQ，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QD，若PQ⊥QD成立，即AQ⊥QD成立，∴点Q应为BC与以AB为直径的圆的公共点，∴≥1，故满足条件的实数a的取值范围为a≥2；故答案为：[2，+∞）．点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质，解题的关键是将AQ⊥QD转化为BC与以AB为直径的圆的公共点，属于基本知识的考查．15．（3分）空间中点M（﹣1，﹣2，3）关于x轴的对称点坐标是（﹣1，2，﹣3）．考点：空间中的点的坐标．专题：空间位置关系与距离．分析：先根据空间直角坐标系对称点的特征，点（x，y，z）关于x轴的对称点的坐标为只须将横坐标、竖坐标变成原来的相反数即可，即可得对称点的坐标．解答：解：∵在空间直角坐标系中，点（x，y，z）关于x轴的对称点的坐标为：（x，﹣y，﹣z），∴点M（﹣1，﹣2，3）关于x轴的对称点的坐标为：（﹣1，2，﹣3）．故答案为：（﹣1，2，﹣3）．点评：本小题主要考查空间直角坐标系、空间直角坐标系中点的坐标特征等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．16．（3分）若直线y﹣kx﹣1=0（k∈R）与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是[1，5）∪（5，+∞）．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：整理直线方程可知直线恒过（0，1）点，因此只需要让点（0.1）在椭圆内或者椭圆上即可，令x=0求得y2=m，要让点（0.1）在椭圆内或者椭圆上，则y≥1即是进而求得m 的范围，最后注意到椭圆方程中m≠5，综合答案可得．解答：解：整理直线方程得y﹣1=kx，∴直线恒过（0，1）点，因此只需要让点（0.1）在椭圆内或者椭圆上即可，由于该点在y轴上，而该椭圆关于原点对称，故只需要令x=0有5y2=5m得到y2=m要让点（0.1）在椭圆内或者椭圆上，则y≥1即是y2≥1得到m≥1∵椭圆方程中，m≠5m的范围是[1，5）∪（5，+∞）故答案为[1，5）∪（5，+∞）点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．本题采用了数形结合的方法，解决问题较为直观．三、解答题：17．（10分）已知p：，q：x2﹣（a2+1）x+a2＜0，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：解：由p：⇒﹣1≤x＜2，方程x2﹣（a2+1）x+a2=0的两个根为x=1或x=a2，若|a|＞1，则q：1＜x＜a2，此时应满足a2≤2，解得1＜|a|≤，当|a|=1，q：x∈∅，满足条件，当|a|＜1，则q：a2＜x＜1，此时应满足|a|＜1，综上﹣．点评：本题主要考查复合命题的应用，以及充分条件和必要条件的应用，结合一元二次不等式的解法是解决本题的关键．18．（10分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD（1）证明：DC1⊥B C；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．考点：二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：综合题．分析：（1）证明DC1⊥BC，只需证明DC1⊥面BCD，即证明DC1⊥DC，DC1⊥BD；（2）证明BC⊥面ACC1A1，可得BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，C1H，可得点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角，由此可求二面角A1﹣BD ﹣C1的大小．解答：（1）证明：在Rt△DAC中，AD=AC，∴∠ADC=45°同理：∠A1DC1=45°，∴∠CDC1=90°∴DC1⊥DC，DC1⊥BD∵DC∩BD=D∴DC1⊥面BCD∵BC⊂面BCD∴DC1⊥BC（2）解：∵DC1⊥BC，CC1⊥BC，DC1∩CC1=C1，∴BC⊥面ACC1A1，∵AC⊂面ACC1A1，∴BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，OH∵A1C1=B1C1，∴C1O⊥A1B1，∵面A1B1C1⊥面A1BD，面A1B1C1∩面A1BD=A1B1，∴C1O⊥面A1BD而BD⊂面A1BD∴BD⊥C1O，∵OH⊥BD，C1O∩OH=O，∴BD⊥面C1OH∴C1H⊥BD，∴点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角设AC=a，则，，∴sin∠C1DO=∴∠C1DO=30°即二面角A1﹣BD﹣C1的大小为30°点评：本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定，正确作出面面角，属于中档题．19．（10分）如图所示，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（1）证明：B1C1⊥CE；（2）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为．求线段AM的长．考点：点、线、面间的距离计算．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）证明CC1⊥B1C1，B1C1⊥C1E，可得B1C1⊥平面CC1E，即可证明结论；（2）连结D1E，过点M作MH⊥ED1于点H，可得MH⊥平面ADD1A1，连结AH，AM，则∠MAH为直线AM与平面ADD1A1所成的角．设AM=x，求出EH，利用余弦定理建立方程，即可求线段AM的长．解答：（1）证明：因为侧棱CC1⊥平面A1B1C1D1，B1C1⊂平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1C1．因为AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点，所以B1E=，B1C1=，EC1=，从而B1E2=B1C+EC，所以在△B1EC1中，B1C1⊥C1E．又CC1，C1E⊂平面CC1E，CC1∩C1E=C1，所以B1C1⊥平面CC1E，又CE⊂平面CC1E，故B1C1⊥CE．（2）解：连结D1E，过点M作MH⊥ED1于点H，可得MH⊥平面ADD1A1，连结AH，AM，则∠MAH为直线AM与平面ADD1A1所成的角．设AM=x，从而在Rt△AHM中，有MH=x，AH=x．在Rt△C1D1E中，C1D1=1，ED1=，得EH=MH=x．在△AEH中，∠AEH=135°，AE=1，由AH2=AE2+EH2﹣2AE•EHcos 135°，得x2=1+x2+x．整理得5x2﹣2 x﹣6=0，解得x=（负值舍去），所以线段AM的长为．点评：本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了线面角和二面角的求法，考查余弦定理，考查小时分析解决问题的能力，属于中档题．20．（10分）已知F1，F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上任一点（1）若∠F1PF2=，求△F1PF2的面积；（2）求|PF1|•|PF2|的最大值．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设|PF1|=m，|PF2|=n，利用余弦定理可求得mn=的值，最后利用三角形面积公式求解即可得出结论．（2）利用椭圆定义知|PF1|+|PF2|为定值20，再利用均值定理求积|PF1|•|PF2|的最大值即可．解答：解：（1）设|PF1|=m，|PF2|=n，则根据椭圆的定义可得m+n=20．在△F1PF2中，∠F1PF2=60°，所以根据余弦定理可得：m2+n2﹣2mn•cos60°=144从而（m+n）2﹣3mn=144，所以mn=，所以S△F1PF2=mnsin60°=…（6分）（2）根据椭圆的定义可得m+n=20，所以mn≤=100，当且仅当m=n时等号成立…（10分）故|PF1|•|PF2|的最大值为100…（12分）点评：本题考查了椭圆的标准方程的意义，椭圆定义的应用，椭圆的几何性质，利用均值定理和函数求最值的方法．21．（12分）已知圆A：（x+1）2+y2=1和圆B：（x﹣1）2+y2=9，求与圆A外切而内切于圆B的动圆圆心P的轨迹方程．考点：轨迹方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由两圆的方程分别找出圆心A与B的坐标，及两圆的半径r1与r2，设圆P的半径为r，根据圆P与A外切，得到圆心距PA等于两半径相加，即PA=r+1，又圆P与B内切，得到圆心距PB等于两半径相减，即PB=5﹣r，由PA+PB等于常数2a，AB等于常数2c，利用椭圆的基本性质求出b的值，可得出椭圆方程．解答：解：由圆A：（x+1）2+y2=1和圆B：（x﹣1）2+y2=9，得到A（﹣1，0），半径r1=1，B（1，0），半径r2=3，设圆P的半径为r，∵与圆A外切而内切于圆B，∴PA=r+1，PB=3﹣r，∴PA+PB=4，又AB=2c=2，∴P的轨迹是椭圆，a=2，c=1，∴b=，∴圆心P的轨迹方程为：．点评：此题考查了圆与圆的位置关系，椭圆的基本性质，以及动点的轨迹方程，两圆的位置关系由圆心角d与两圆半径R，r的关系来判断，当d＜R﹣r时，两圆内含；当d=R﹣r时，两圆内切；当R﹣r＜d＜R+r时，两圆相交；当d=R+r时，两圆外切；当d＞R+r时，两圆外离．。
山西高二高中数学月考试卷带答案解析
山西高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设是两个不同的平面，是直线且，“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2.方程表示圆，则的取值范围是（）A．B．C．D．3.设命题，则为（）A．B．C．D．4.下列双曲线中，渐近线方程为的是（）A．B．C．D．5.已知抛物线的准线经过点，则抛物线焦点坐标为（）A．B．C．D．6.已知正的边长为，那么的平面直观图的面积为（）A．B．C．D．7.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．8.已知是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为（）A．B．C．D．9.已知函数，其中为实数，为的导函数，若，则的值为（）A．2B．3C．4D．510.若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（）A．至少与，中的一条相交B．与，都相交C．至多与，中的一条相交D．与，都不相交11.若直线过点，则的最小值等于（）A．2B．3C．4D．512.已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．13.设，函数．（1）若是函数的极值点，求的值；（2）若函数，在处取得最大值，求的取值范围．二、填空题1.一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_________．2.若满足约束条件，则的最大值为________．3.已知直线与圆心为的圆相交于两点，且，则实数的值为________．三、解答题1.已知，且．设函数在区间内单调递减；曲线与轴交于不同的两点，如果“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围．2.已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于直线．（1）求的值；（2）求函数的单调区间与极值．3.已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点，且．（1）求该抛物线的方程；（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值．4.如图，抛物线与椭圆在第一角限的交点为，为坐标原点，为椭圆的右顶点，的面积为．（1）求抛物线的方程；（2）过点作直线交于、两点，求面积的最小值．5.如图，在多面体中，四边形是正方形，，为的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求四面体的体积．山西高二高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.设是两个不同的平面，是直线且，“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】m∥β并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而α∥β，并且m⊂α，显然能得到m∥β，这样即可找出正确选项．m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；α∥β，m⊂α，∴m 和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断2.方程表示圆，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据圆的方程的一般式能够表示圆的充要条件，得到关于a的一元二次不等式，整理成最简单的形式，解一元二次不等式得到a的范围，得到结果．方程表示圆，故选D【考点】圆的一般方程3.设命题，则为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．命题的否定是：，故选C【考点】命题的否定4.下列双曲线中，渐近线方程为的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题易知选项A的渐近线方程为，故选A.【考点】双曲线的简单性质5.已知抛物线的准线经过点，则抛物线焦点坐标为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】利用抛物线的准线经过点（-1，1），求得，即可求出抛物线焦点坐标．∵抛物线的准线经过点（-1，1），，∴该抛物线焦点坐标为（1，0），故选B．【考点】抛物线的简单性质6.已知正的边长为，那么的平面直观图的面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由原图和直观图面积之间的关系，求出原三角形的面积，再求直观图的面积即可．正三角形ABC的边长为a，故面积为，而原图和直观图面积之间的关系，故直观图的面积为，故选D.【考点】斜二测画法7.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可． 设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为，∴剩余部分体积为，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为，故选D ．【考点】有三视图求体积、面积8.已知是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O-ABC 的体积最大，利用三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O 的表面积．如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O-ABC 的体积最大，设球O 的半径为R ，此时，故R=6，则球O 的表面积为，故选C ．【考点】球的体积与表面积9.已知函数，其中为实数，为的导函数，若，则的值为（） A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】根据导数的运算法则求导，再代入值计算即可．故选B ．【考点】导数的运算10.若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（）A ．至少与，中的一条相交B ．与，都相交C ．至多与，中的一条相交D ．与，都不相交【答案】A【解析】A.．“l 至少与l 1，l 2中的一条相交”正确，假如l 和l 1，l 2都不相交；∵l 和l 1，l 2都共面；∴l 和l 1，l 2都平行；∴l 1∥l 2，l 1和l 2共面，这样便不符合已知的l 1和l 2异面；∴该选项正确．B. l 可以和l 1，l 2中的一个平行，如下图，∴该选项错误，C.l 可以和l 1，l 2都相交，如下图：，∴该选项错误；D.l 与l 1，l 2可以相交，如图：∴该选项错误；故选A.【考点】空间中线面位置关系11.若直线过点，则的最小值等于（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】∵直线过点，当且仅当即时取等号，∴最小值是4，故选C ．【考点】基本不等式的性质【方法点睛】利用基本不等式证明不等式的方法技巧：利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．12.已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】如图所示，设为椭圆的左焦点，连接，则四边形是平行四边形，取M（0，b），∵点M到直线l的距离不小于，∴椭圆E的离心率的取值范围是，故选B.【考点】直线与圆锥曲线的位置关系【方法点睛】求解范围问题的常见求法1．利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；2.利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；3．利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；4．利用基本不等式求出参数的取值范围；5．利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．13.设，函数．（1）若是函数的极值点，求的值；（2）若函数，在处取得最大值，求的取值范围．【答案】（1）1；（2）【解析】（1）先求出函数的导函数，由题意，解得a=2，再代入，验证在x=1处两侧的导数符号异号；（2）由题意求出函数的导函数，再求的两个根为，再分类讨论与区间[0，2]的大小关系，求出的最大只能所有情况g（0）或g（2），根据条件列出，代入解析式求出a的范围．试题解析：（1）．因为是函数的极值点，所以，即，因此，经验证，当时，是函数的极值点．（2）由题设，．当在区间上的最大值为时，，即．故得．反之，当时，对任意，，而，故在区间上的最大值为．综上，的取值范围为【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值二、填空题1.一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_________．【答案】12【解析】判断棱锥是正六棱锥，利用体积求出棱锥的高，然后求出斜高，即可求解侧面积．∵一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，∴棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为h，则棱锥的斜高为该六棱锥的侧面积为【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积2.若满足约束条件，则的最大值为________．【答案】3【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求z的取值范围．作出不等式组对应的平面区域，的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知，OA的斜率最大【考点】简单的线性规划【方法点睛】1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有：(1)截距型：形如z＝ax＋by.求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.(3)斜率型：形如.3.已知直线与圆心为的圆相交于两点，且，则实数的值为________．【答案】0或6【解析】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．圆的标准方程为，圆心C（-1，2），半径r=3，∵AC⊥BC，∴圆心C到直线AB的距离即|a-3|=3，解得a=0或a=6，故答案为0或6．【考点】直线与圆的方程的应用【方法点睛】1．在讨论有关直线与圆的相交弦问题时，如能充分利用好平面几何中的垂径定理，并在相应的直角三角形中计算，往往能事半功倍．2．圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题．三、解答题1.已知，且．设函数在区间内单调递减；曲线与轴交于不同的两点，如果“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围．【答案】【解析】先根据对数函数的单调性，和二次函数图象和x轴交点的情况与判别式的关系即可求出命题p，q下的a 的取值范围．根据p∧q为假，p∨q为真即可判断p，q的真假情况，根据p，q的真假情况即可求出a的取值范围．试题解析：当时，函数在内单调递减；当时，在不是单调递减．曲线与轴交于不同两点等价于，即或．（1）若正确，且不正确，即函数在内单调递减，曲线与轴不交于两点，此时．（2）若不正确，且正确，即函数在内不是单调递减，曲线与轴交于不同两点，此时．综上所述，的取值范围是．【考点】复合命题的真假判断【方法点睛】若要判断一个含有逻辑联结词的命题即复合命题的真假，其步骤如下：(1)判断复合命题的结构；(2)判断构成这个命题的每个简单命题的真假；(3)依据含有“或”、“且”、“非”的命题的真假判断方法，作出判断即可．2.已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于直线．（1）求的值；（2）求函数的单调区间与极值．【答案】（1）；（2）当时，，故在上为减函数；当时，，故在上为增函数．在时取得极小值，．【解析】（1）由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线可得，可求出a的值；（2）根据（1）可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数f（x）的单调区间与极值．试题解析：（1）对求导得，由在点处的切线垂直于直线知，解得．（2）由（1）知，则，令，解得或．因为不在的定义域内，故舍去．当时，，故在上为减函数；当时，，故在上为增函数．由此知函数在时取得极小值，．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值3.已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点，且．（1）求该抛物线的方程；（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值．【答案】（1）；（2），或【解析】（1）直线AB的方程与联立，有，从而，再由抛物线定义得：，求得p，则抛物线方程可得．（2）由求得再求得设的坐标，最后代入抛物线方程即可解得λ．试题解析：（1）直线的方程是，与联立，从而有，所以：，由抛物线定义得：，所以，抛物线方程为：．（2）由，，化简得，从而，从而，设，又，即，即，解得，或．【考点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题4.如图，抛物线与椭圆在第一角限的交点为，为坐标原点，为椭圆的右顶点，的面积为．（1）求抛物线的方程；（2）过点作直线交于、两点，求面积的最小值．【答案】（1）；（2）【解析】（Ⅰ）通过△OAB的面积为，求出，然后求出抛物线的方程；（2）直线CD斜率不存在时，求出三角形的面积；直线CD斜率存在时，设直线CD方程为y=k（x-4），与抛物线联立，然后求出三角形的面积，推出最小值．试题解析：（1）（1）因为的面积为，所以代入椭圆方程得，抛物线的方程是；（2）直线斜率不存在时，，直线斜率存在时，设直线方程为，带入抛物线，得，综上最小值为．【考点】抛物线的性质；直线与圆锥曲线的综合应用【方法点睛】圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．5.如图，在多面体中，四边形是正方形，，为的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求四面体的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】（1）设AC与BD交于G，则G为AC的中点．连接EG，GH，通过证明四边形EFGH是平行四边形，证明FH∥平面EDB；（2）通过证明AC⊥EG，AC⊥BD，EG∩BD=G，满足直线与平面垂直的判定定理，即可证明AC⊥平面EDB；（3）求出四面体B-DEF的高与底面面积，即可求解四面体的体积．试题解析：（1）证明：设与交于，则为的中点，连接，由于为的中点，故，又，∴四边形为平行四边形，∴平面；（2）证明：由四边形是正方形，有，又，∴，而，∴平面，∴，∴，又，为的中点，∴，∴平面，∴，又，∴，又，∴平面；（3）解：∵，∴平面，∴为四面体的高，又，∴，，四面体的体积：．【考点】直线与平面平行的判定定理，直线与平面垂直的判定定理。
大同区第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
大同区第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 设函数f （x ）=的最小值为﹣1，则实数a 的取值范围是（）A ．a ≥﹣2B ．a ＞﹣2C ．a ≥﹣D ．a ＞﹣2． 已知f （x ）在R 上是奇函数，且满足f （x+4）=f （x ），当x ∈（0，2）时，f （x ）=2x 2，则f （2015）=（ ）A ．2B ．﹣2C ．8D ．﹣83． 已知抛物线：的焦点为，定点，若射线与抛物线交于点，与抛C 24y x =F (0,2)A FA C M 物线的准线交于点，则的值是（ ）C N ||:||MN FN A ．B ．C ．D2)21:(1+4． 某公园有P ，Q ，R 三只小船，P 船最多可乘3人，Q 船最多可乘2人，R 船只能乘1人，现有3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法为（ ）A ．36种B ．18种C ．27种D ．24种5． 在下列区间中，函数f （x ）=（）x ﹣x 的零点所在的区间为（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3 ）D ．（3，4）6． 有下列关于三角函数的命题P 1：∀x ∈R ，x ≠k π+（k ∈Z ），若tanx ＞0，则sin2x ＞0；P 2：函数y=sin （x ﹣）与函数y=cosx 的图象相同；P 3：∃x 0∈R ，2cosx 0=3；P 4：函数y=|cosx|（x ∈R ）的最小正周期为2π，其中真命题是（ ）A ．P 1，P 4B ．P 2，P 4C ．P 2，P 3D ．P 1，P 27． 如果定义在R 上的函数满足：对于任意，都有)(x f 21x x ≠)()(2211x f x x f x +，则称为“函数”．给出下列函数：①；②)()(1221x f x x f x +>)(x f H 13++-=x x y ；③；④，其中“函数”的个数是（ ）)cos sin (23x x x y --=1+=x e y ⎩⎨⎧=≠=000||ln x x x y H A ． B ． C ． D ．43218． 以下四个命题中，真命题的是（ ）A ．2,2x R x x ∃∈≤- B ．“对任意的，”的否定是“存在，x R ∈210x x ++>0x R ∈20010x x ++< C ．，函数都不是偶函数R θ∀∈()sin(2)f x x θ=+ D ．已知，表示两条不同的直线，，表示不同的平面，并且，，则“”是m n αβm α⊥n β⊂αβ⊥ “”的必要不充分条件//m n 班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力．9． 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是 A 、 B 、28+30+C 、D 、56+60+10．已知实数满足不等式组，若目标函数取得最大值时有唯一的最优解，则y x ,⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤-5342y x y x x y mx y z -=)3,1(实数的取值范围是（ ）m A ．B ．C ．D ．1-<m 10<<m 1>m 1≥m 【命题意图】本题考查了线性规划知识，突出了对线性目标函数在给定可行域上最值的探讨，该题属于逆向问题，重点把握好作图的准确性及几何意义的转化，难度中等.11．已知x ，y ∈R ，且，则存在θ∈R ，使得xcos θ+ysin θ+1=0成立的P （x ，y ）构成的区域面积为（ ）A ．4﹣B ．4﹣C ．D ．+12．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100米到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是（ ）A ．50米B ．60米C ．80米D ．100米二、填空题13．已知α为钝角，sin （+α）=，则sin （﹣α）= ．14．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝k 1＋k 2·2n （k 1，k 2为常数），且a 2，a 3，a 4－2成等差数列，则a n ＝________．15．已知三棱锥的四个顶点均在球的球面上，和所在的平面互相垂直，，ABC D -O ABC ∆DBC ∆3=AB ，，则球的表面积为.3=AC 32===BD CD BC O 16．若数列{a n}满足：存在正整数T ，对于任意的正整数n ，都有a n+T =a n 成立，则称数列{a n }为周期为T 的周期数列．已知数列{a n }满足：a1＞=m （m ＞a ），a n+1=，现给出以下三个命题：①若 m=，则a 5=2；②若 a 3=3，则m 可以取3个不同的值；③若 m=，则数列{a n }是周期为5的周期数列．其中正确命题的序号是 ． 17．已知a ，b 是互异的负数，A 是a ，b 的等差中项，G 是a ，b 的等比中项，则A 与G 的大小关系为 ．18．自圆：外一点引该圆的一条切线，切点为，切线的长度等于点到C 22(3)(4)4x y -++=(,)P x y Q P 原点的长，则的最小值为（ ）O PQ A ．B ．3C ．4D ．13102110【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力、数形结合的思想．三、解答题19．等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1+3a 2=1，a 32=9a 2a 6，（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n ，求数列{}的前n 项和．20．如图，已知五面体ABCDE ，其中△ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，且DC ⊥平面ABC ．（Ⅰ）证明：AD ⊥BC（Ⅱ）若AB=4，BC=2，且二面角A ﹣BD ﹣C 所成角θ的正切值是2，试求该几何体ABCDE 的体积．21．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB=AC=AA 1=BC 1=2，∠AA 1C 1=60°，平面ABC 1⊥平面AA 1C 1C ，AC 1与A 1C 相交于点D ．（1）求证：BD ⊥平面AA 1C 1C ；（2）求二面角C 1﹣AB ﹣C 的余弦值．22．求同时满足下列两个条件的所有复数z ：①z+是实数，且1＜z+≤6；②z 的实部和虚部都是整数．23．【南师附中2017届高三模拟二】如下图扇形是一个观光区的平面示意图，其中为，半AOB AOB ∠23π径为，为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口到出口的观光道路，道路由圆弧OA 1km A B 、线段及线段组成．其中在线段上，且，设．AC CD BD D OB //CD AO AOC θ∠=（1）用表示的长度，并写出的取值范围；θCD θ（2）当为何值时，观光道路最长？θ24．某游乐场有A、B两种闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A，丙丁两人各自独立进行游戏B．已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为，丙、丁两人各自闯关成功的概率均为．（1）求游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关成功的人数的概率；（2）记游戏A、B被闯关总人数为ξ，求ξ的分布列和期望．大同区第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】解：当x≥时，f（x）=4x﹣3≥2﹣3=﹣1，当x=时，取得最小值﹣1；当x＜时，f（x）=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+a﹣1，即有f（x）在（﹣∞，）递减，则f（x）＞f（）=a﹣，由题意可得a﹣≥﹣1，解得a≥﹣．故选：C．【点评】本题考查分段函数的运用：求最值，主要考查指数函数的单调性和二次函数的值域的求法，属于中档题．2．【答案】B【解析】解：∵f（x+4）=f（x），∴f（2015）=f（504×4﹣1）=f（﹣1），又∵f（x）在R上是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．故选B．【点评】本题考查了函数的奇偶性与周期性的应用，属于基础题．3．【答案】D【解析】考点：1、抛物线的定义；2、抛物线的简单性质.【方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题M得到解决.本题就是将到焦点的距离转化为到准线的距离后进行解答的.4．【答案】C【解析】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题；分类讨论．【分析】根据题意，分4种情况讨论，①，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘1个大人，R船乘1个大1人，②，P船乘1个大人和1个小孩共2人，Q船乘1个大人和1个小孩，R船乘1个大1人，③，P 船乘2个大人和1个小孩共3人，Q船乘1个大人和1个小孩，④，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q 船乘2个大人，分别求出每种情况下的乘船方法，进而由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：分4种情况讨论，①，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘1个大人，R船乘1个大1人，有A33=6种情况，②，P船乘1个大人和1个小孩共2人，Q船乘1个大人和1个小孩，R船乘1个大1人，有A33×A22=12种情况，③，P船乘2个大人和1个小孩共3人，Q船乘1个大人和1个小孩，有C32×2=6种情况，④，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘2个大人，有C31=3种情况，则共有6+12+6+3=27种乘船方法，故选C．【点评】本题考查排列、组合公式与分类计数原理的应用，关键是分析得出全部的可能情况与正确运用排列、组合公式．5．【答案】A【解析】解：函数f（x）=（）x﹣x，可得f（0）=1＞0，f（1）=﹣＜0．f（2）=﹣＜0，函数的零点在（0，1）．故选：A ． 6． 【答案】 D【解析】解：对于P 1，∀x ∈R ，x ≠k π+（k ∈Z ），若tanx ＞0，则sin2x=2sinxcosx==＞0，则P 1为真命题；对于P 2，函数y=sin （x ﹣）=sin （2π+x ﹣）=sin （x+）=cosx ，则P 2为真命题；对于P 3，由于cosx ∈[﹣1，1]， ∉[﹣1，1]，则P 3为假命题；对于P 4，函数y=|cosx|（x ∈R ），f （x+π）=|cos （x+π）|=|﹣cosx|=|cosx|=f （x ），则f （x ）的最小正周期为π，则P 4为假命题．故选D ．【点评】本题考查全称性命题和存在性命题的真假，以及三角函数的图象和周期，运用二倍角公式和诱导公式以及周期函数的定义是解题的关键，属于基础题和易错题． 7． 【答案】C【解析】∵，1122()()x f x x f x +)()(1221x f x x f x +>∴，∴在上单调递增．1212()[()()]0x x f x f x -->)(x f R①， ，，不符合条件；231y x '=-+(x ∈-∞0y '<②，符合条件；32(cos +sin )=3)04y x x x π'=--+>③，符合条件；0xy e '=>④在单调递减，不符合条件；()f x (,0)-∞综上所述，其中“函数”是②③．H 8． 【答案】D9． 【答案】B【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，所求表面积为三棱锥四个面的面积之和。
山西省大同市第一中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学(文)试题(有答案)AqlUlH
第Ⅰ卷 客观卷（共36分）一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）1. 圆2240x y x +-=的圆心坐标和半径分别是A ．（0，2）2B ．（2，0）4C ．（－2，0）2D ．（2，0）2 2．已知两直线0x ky k --=与(1)y k x =-平行，则k 的值为A ．1B ．－1C ．1或－1D ．23． 在空间直角坐标系中，点(1,3,5)P -关于XOY 面对称的点的坐标是A ．(1,3,5)--B ．(1,3,5)-C ．(1,3,5)D ．(1,3,5)-- 4．已知直线0ax by c ++=(0abc ≠)与圆221x y +=相切，则三条边长分别为||a 、||b 、||c 的三角形是 A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不存在5．与圆222212:26260,:4240C x y x y C x y x y ++--=+-++=都相切的直线有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条6．关于空间两条直线a 、b 与平面α，下列命题正确的是A ．若//,a b b α⊂，则//a αB ．若//,a b αα⊂，则//a bC ．//,//a b αα，则//a bD ．若,,a b αα⊥⊥则//a b7．已知矩形ABCD 的顶点在半径为13的球O 的球面上，且AB=8,BC=6，则棱锥O-ABCD 的高为A ．12B ．13C ．14D ．58．如图，1111ABCD A B C D -为正方体，下面结论错误．．的是 A ．//BD 平面11CB DB ．1AC BD ⊥C ．平面ACC 1A 1⊥平面11CB DD ．异面直线AD 与1CB 所成的角为60°9. 圆2226150x y x y ++--=与直线(13)(32)4170m x m y m ++-+-=的交点个数是 A ．2 B ．1 C ．0 D ．与m 有关 10．已知两点(2,3)M -、(3,2)N --，直线l 过点(1,1)P 且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是A ．344k -≤≤B ．34k ≥或4k ≤-C ．344k ≤≤D ．344k -≤≤ 11．若直线:l x y m +=与曲线2:1C y x =-有且只有两个公共点，则m 的取值范围是A ．(2,2)-B ．[2,2]-C ．[1,2)D ．(1,2]12．圆221:(2)(3)1C x y -+-=，圆222:(3)(4)9C x y -+-=，M 、N 分别是圆1C ，2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则||||PM PN +的最小值A ．524-B ．171-C ．622-D ．17第II 卷 主观卷（共64分）二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）13．一个球的外切正方体的表面积等于6，则此球的表面积为 ．14. 一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 ．15．以点A （1，4），B （3，－2）为直径的两个端点的圆的一般式方程为___________．16．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1BC 的中点，则直线DE 与平面ABCD 所成角的正切值为____________．17．已知圆O ：224x y +=，直线l ： x y m +=，若圆O 上恰有3个点到l 的距离为1，则实数m=____________．14题 16题19．（10分）已知直线l 经过两点A （2，1），B （6，3）（1）求直线l 的方程（2）圆C 的圆心在直线l 上，并且与x 轴相切于点（2，0），求圆C 的方程(3) 若过B 点向(2)中圆C 引切线，BS 、BT ，S 、T 分别是切点，求ST 直线的方程．20（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，已知3,2,2AB AD PA ===，22,60PD PAB ︒=∠=（I ）证明AD ⊥平面PAB ；（II ）求异面直线PC 与AD 所成的角的正切值；（III ）求四棱锥P ABCD -的体积。
大同区第二中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
C．充要条件 D．既不充分也非必要条件 3． △ ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为，，，已知 a
3 ， b 6 ， A
6
，则
B （
A．
）111] B．
4
4
或
3 4
ห้องสมุดไป่ตู้
C．
3
或
2 3
D．
3
4． 某公园有 P，Q，R 三只小船，P 船最多可乘 3 人，Q 船最多可乘 2 人，R 船只能乘 1 人，现有 3 个大人 和 2 个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法为（ A．36 种 B．18 种 C．27 种 D．24 种 ）
，则关于 x 的方程 f
）
9． 设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和，已知 3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，则公比 q=（ A．3 B．4 C．5 D．6
） ）
10．已知条件 p：x2+x﹣2＞0，条件 q：x＞a，若 q 是 p 的充分不必要条件，则 a 的取值范围可以是（ A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣1 D．a≤﹣3 11．已知双曲线 （a＞0，b＞0）的右焦点 F，直线 x= ） C． π，则 a，b，c 的大小关系是（ D． ）
）
7． 命题：“∀x＞0，都有 x2﹣x≥0”的否定是（ A．∀x≤0，都有 C．∃x＞0，使得 x2﹣x＜0
8． 已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，若 f（x）= （x）+a=0（0＜a＜1）的所有根之和为（ A．1﹣（ ）a B．（ ）a﹣1 C．1﹣2a D．2a﹣1
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） B．
山西省大同市第一中学1415学年度高二上学期期中——数
山西省大同市第一中学 2014—2015学年度上学期期中考试高二数学理试题第Ⅰ卷 客观卷（共36分）一、选择题(本大题共12个小题，每小题3 分，共36 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．8π3 B ．3πC ．10π3D ．6π2．已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于A ．2 2B ．223C ．423D ．4333．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是A ．x ＋2y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝04．在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，设A(12，12，12)，B(12，12，0)，C(13，13，13)，则A ．OA ⊥ABB ．AB ⊥ACC ．AC ⊥BCD ．OB ⊥OC5．若P(2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为A ．x －y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝06．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n7．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱BB 1，B 1C 1的中点， 若∠CMN ＝90°，则异面直线AD 1和DM 所成角为 A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°8．已知直线l 过点(－2,0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是A ．(－22，22)B ．(－2，2)C ．(－24，24)D ．(－18，18)9．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD与平面BB 1C 1C 所成角的大小是 A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°10．过点M(－2,4)作圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，且直线l 1：ax ＋3y ＋2a ＝0与l 平行，则l 1与l 间的距离是( )A ．85B ．25C ．285D ．12511．点P(4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y －1)2＝4C ．(x －4)2＋(y －2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 12．设P(x ，y)是圆x 2＋(y ＋4)2＝4上任意一点，则－2＋－2的最小值为A ．26＋2B ．26－2C ．5D ．6第II 卷 主观卷（共36分）二、填空题(本大题共4小题,每小题4分，共16分)13．顺次连结A(1,0)，B(1,4)，C(3,4)，D(5,0)所得到的四边形绕y 轴旋转一周，所得旋转体的体积是________．14．经过点P(1,2)的直线，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线方程为________． 15．圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0关于直线l 1：x －y ＋4＝0与直线l 2：x ＋3y ＝0都对称，则D ＝________，E ＝________.16．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________． 三、解答题（本题共6个小题，每小题8分）17．如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形， ∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD. (1) 证明PA ⊥BD ；(2) 设PD ＝AD ＝1，求棱锥D －PBC 的高．18．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M(2,0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T(－1,1)在AD 边所在直线上． (1) 求AD 边所在直线的方程；(2) 求矩形ABCD 外接圆的方程． 19．已知圆的半径为10，圆心在直线y ＝2x 上，圆被直线x －y ＝0截得的弦长为42，求圆的方程．20．如图，几何体E －ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD. (1) 求证：BE ＝DE ；(2) 若∠BCD ＝120°，M 为线段AE 的中点， 求证：DM ∥平面BEC.21．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x －4)2＋(y －5)2＝4和圆C 2：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4.(1) 若直线l 1过点A(2,0)，且与圆C 1相切，求直线l 1的方程；(2) 直线l 2的方程是x ＝52，证明：直线l 1上存在点P ，满足过P 的无穷多对互相垂直的直线l 3和l 4，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 3被圆C 1截得的弦长与直线l 4被圆C 2截得的弦长相等．22．如图已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 、E 分别是AB 、BB 1的中点．(1) 证明：BC 1∥面A 1CD ；(2) 设AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22， 求三棱锥C －A 1DE 的体积．参考答案一、选择题B 、 D 、 D 、C 、 A 、D 、 D 、 C 、 C 、 D 、 A 、 B 二、填空题13、184π3 14、 4x －y －2＝0或x ＝1 15、6 －2 16、x ＋y －3＝0 三、解答题17.(1)证明：因为∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，由余弦定理得BD ＝3AD.从而BD 2＋AD 2＝AB 2，故BD ⊥AD.又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD. 所以BD ⊥平面PAD.故PA ⊥BD.(2)如图，作DE ⊥PB ，垂足为E.已知PD ⊥底面ABCD ，则PD ⊥BC.由(1)知BD ⊥AD ， 又BC ∥AD ，所以BC ⊥BD.故BC ⊥平面PBD ，所以BC ⊥DE.则DE ⊥平面PBC.由题设知PD ＝1，则BD ＝3，PB ＝2.根据DE·PB ＝PD·BD ，得DE ＝32，即棱锥D －PBC 的高为32.18.解： (1)因为AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为－3.又因为点T(－1,1)在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －6＝03x ＋y ＋2＝0，解得点A 的坐标为 (0，－2)．因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M(2,0)，所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心．又r ＝|AM|＝－2＋＋2＝2 2.所以矩形ABCD外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.19.解：方法一：设圆的方程是(x －a)2＋(y －b)2＝10.因为圆心在直线y ＝2x 上， 所以b ＝2a. ①解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，－2＋－2＝10，得2x 2－2(a ＋b)x ＋a 2＋b 2－10＝0， 所以x 1＋x 2＝a ＋b ，x 1·x 2＝a 2＋b 2－102.由弦长公式得2·＋2－2＋b 2－＝42，化简得(a －b)2＝4. ② 解①②组成的方程组，得a ＝2，b ＝4，或a ＝－2，b ＝－4.故所求圆的方程是(x －2)2＋(y －4)2＝10，或(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝10.方法二：设圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝10，则圆心为(a ，b)，半径r ＝10，圆心(a ，b)到直线x －y ＝0的距离d ＝|a －b|2.由弦长、弦心距、半径组成的直角三角形得d 2＋(422)2＝r 2，即－22＋8＝10，所以(a －b)2＝4.又因为b ＝2a ，所以a ＝2，b ＝4，或a ＝－2，b ＝－4. 故所求圆的方程是(x －2)2＋(y －4)2＝10，或(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝10.20. 解：(1)设BD 中点为O ，连接OC ，OE ，则由BC ＝CD 知，CO ⊥BD ，又已知CE ⊥BD ，所以BD ⊥平面OCE.所以BD ⊥OE ，即OE 是BD 的垂直平分线，所以BE ＝DE. (2)取AB 中点N ，连接MN ，DN ，∵M 是AE 的中点，∴MN ∥BE ，∵△ABD 是等边三角形，∴DN ⊥AB.由∠BCD ＝120°知，∠CBD ＝30°，所以∠ABC ＝60°＋30°＝90°，即BC ⊥AB ， 所以ND ∥BC ，所以平面MND ∥平面BEC ，故DM ∥平面BEC.21. 解： (1)若直线斜率不存在，x ＝2符合题意；当直线l 1的斜率存在时，设直线l 1的方程为y ＝k(x －2)，即kx －y －2k ＝0，由条件得|4k －5－2k|k 2＋1＝2，解得k ＝2120，所以直线l 1的方程为x ＝2或y ＝2120(x －2)，即x ＝2或21x －20y －42＝0. (2)由题意知，直线l 3，l 4的斜率存在，设直线l 3的斜率为k ，则直线l 4的斜率为－1k，设点P 坐标为(52，n)，互相垂直的直线l 3，l 4的方程分别为：y －n ＝k(x －52)，y －n ＝－1k (x －52)，即kx －y ＋n －52k ＝0，－1k x －y ＋n ＋52k＝0，根据直线l 3被圆C 1截得的弦长与直线l 4被圆C 2截得的弦长相等，两圆半径相等．由垂径定理得：圆心C 1到直线l 3与圆心C 2到直线l 4的距离相等． 有⎪⎪⎪⎪4k －5＋n －52k k 2＋1＝⎪⎪⎪⎪3k －1＋n ＋52k 1k 2＋1，22．解： (1)连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点，又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF ，因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD. (2)因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD ，由已知AC ＝CB ，D 为AB 中点，所以，CD ⊥AB ，又AA 1∩A B ＝A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1，由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22得，∠ACB ＝90°，CD＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3，故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2，即DE ⊥A 1D ，所以VC －A 1DE ＝13×12×6×3×2＝1.。
2014-2015年山西省大同一中、同煤一中联考高三上学期期末数学试卷(理科)和答案
D．x=
7． （5 分）如图所示，用过 A1、B、C1 和 C1、B、D 的两个截面截去正方体 ABCD ﹣A1B1C1D1 的两个角后得到一个新的几何体，则该几何体的正视图为（ ）
A．
B．
C． 与 满 足
D． 且
8 ．（ 5 分 ） 已 知 非 零 向 量
= ． 则△ABC 为（ A．等边三角形 C．等腰非等边三角形 9． （5 分）已知双曲线
22． （10 分）选修 4﹣4；坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程是 （φ 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的
正半轴为极轴建立坐标系，曲线 C2 的坐标系方程是 ρ=2，正方形 ABCD 的顶 点都在 C2 上，且 A，B，C，D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为（2， （1）求点 A，B，C，D 的直角坐标； （2）设 P 为 C1 上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的取值范围． ） ．
①若 m∥α，n∥α，则 m∥n②若 m⊥α，n⊂ α，则 m⊥n ③若 m⊥α，m⊥n，则 n∥α④若 m∥α，m⊥n，则 n⊥α A．4 B．3 ） ，β∈（0， C．2 ） ，且 tanα= C．2α﹣β= D．1 ，则（ D．2α+β= ）
11． （5 分）设 α∈（0， A．3α﹣β=
B．3α+β=
20． （12 分0）的离心率 e= ，短轴的两个 ．
端点分别为 B1、B2，焦点为 F1、F2，四边形 F1B1F2B2 的内切圆半径为 （1）求椭圆 C 的方程； （2） 过左焦 F1 点的直线交椭圆于 M、 N 两点， 交直线 x=﹣4 于点 P， 设 =μ ，试证 λ+μ 为定值． =λ
2014-2015学年山西省大同二中高二(上)12月月考数学试卷
2014-2015学年山西省大同二中高二（上）12月月考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）A. B. C.2 D.42.设椭圆（m＞0，n＞0）的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（）A. B. C. D.3.已知双曲线＞，＞的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.4.P是长轴在x轴上的椭圆=1上的点F1，F2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c，则|PF1|•|PF2|的最大值与最小值之差一定是（）A.1B.a2C.b2D.c25.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为（0，2），则双曲线的标准方程为（）A.-=1B.-=1C.-=1D.-=16.设a＞1，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A.，B.，C.（2，5）D.，7.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（）A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线8.设F为抛物线y2=8x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若++=，则||+||+||=（）A.6B.9C.12D.169.已知双曲线＞，＞的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A.（1，2]B.（1，2）C.[2，+∞）D.（2，+∞）10.动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必经过定点（）A.（4，0）B.（2，0）C.（0，2）D.（0，-2）11.抛物线y=x2到直线2x-y=4距离最近的点的坐标是（）A.（，）B.（1，1）C.（，）D.（2，4）12.已知椭圆x2sinα-y2cosα=1（0≤α＜2π）的焦点在y轴上，则α的取值范围是（）A.（π，π）B.（，π）C.（，π）D.（，π）二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.椭圆的两个焦点为F1、F2，短轴的一个端点为A，且三角形F1AF2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为______ ．14.点P（8，1）平分双曲线x2-4y2=4的一条弦，则这条弦所在的直线方程是______ ．15.设椭圆＞＞的左、右焦点分别是F1、F2，线段F1F2被点，分成3：1的两段，则此椭圆的离心率为______ ．16.对于曲线C：=1，给出下面四个命题：①由线C不可能表示椭圆；②当1＜k＜4时，曲线C表示椭圆；③若曲线C表示双曲线，则k＜1或k＞4；④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜k＜其中所有正确命题的序号为______ ．三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)17.已知点M在椭圆=1上，MP垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P′，并且M为线段PP′的中点，求P点的轨迹方程．18.双曲线C与椭圆+=1有相同的焦点，直线y=x为C的一条渐近线．求双曲线C的方程．19.已知直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A、B两点，且AB的中点的横坐标为2，求弦AB的长．20.已知点P（3，4）是椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点，F1、F2是椭圆的两焦点，若PF1⊥PF2，试求：（1）椭圆方程；（2）△PF1F2的面积．21.已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|=p，求AB所在的直线方程．22.在直角坐标系x O y中，点P到两点（0，-），（0，）的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C，直线y=kx+1与C交于A，B两点．（1）写出C的方程；（2）若⊥，求k的值．。
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山西省大同二中2014-2015学年高二上学期11月月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）以下命题中，不正确的个数为（）①||﹣||=|+|是，共线的充要条件；②若∥，则存在唯一的实数λ，使=λ；③若•=0，•=0，则=；④若{，，}为空间的一个基底，则{+，+，+}构成空间的另一个基底；⑤|（•）•|=||•||•||．A．2B．3C．4D．52．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若=，=，=，则=（）A．+﹣B．﹣+C．﹣++D．﹣+﹣3．（5分）已知，，若∥，则（）A．x=6，y=15 B．x=3，y=C．x=3，y=15 D．x=6，y=4．（5分）已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）．若，且分别与，垂直，则向量为（）A．（1，1，1）B．（﹣1，﹣1，﹣1）C．（1，1，1）或（﹣1，﹣1，﹣1）D．（1，﹣1，1）或（﹣1，1，﹣1）5．（5分）已知A（﹣1，0，1），B（0，0，1），C（2，2，2），D（0，0，3），则sin（，）=（）A．﹣B．C．D．﹣6．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB=，BB1=1，则AB1与C1B所成角的大小为（）A．60°B．90°C．105°D．75°7．（5分）若平面α的法向量为，直线l的方向向量为，直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是（）A．c os θ=B．c os θ=C．s in θ=D．sin θ=8．（5分）若A（1，﹣2，1），B（4，2，3），C（6，﹣1，4），则△ABC的形状是（）A．不等边锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形9．（5分）若两个不同平面α，β的法向量分别为=（1，2，﹣1），=（﹣3，﹣6，3），则（）A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均不正确10．（5分）若A（x，5﹣x，2x﹣1），B（1，x+2，2﹣x），当||取最小值时，x的值等于（）A．19 B．C．D．11．（5分）如图所示，在四面体P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，AB=BC=CA=PC，那么二面角B﹣AP﹣C的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）如图所示，在直二面角D﹣AB﹣E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB 是等腰直角三角形，其中∠AEB=90°，则点D到平面ACE的距离为（）A．B．C．D．2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）=（2，﹣3，5），=（﹣3，1，﹣4），则||=．14．（5分）如图，已知正四面ABCD中，AE=AB，CF=CD，则直线DE和BF所成的角的余弦值为15．（5分）平面α的法向量为（1，0，﹣1），平面β的法向量为（0，﹣1，1），则平面α与平面β所成二面角的大小为．16．（5分）如图所示，已知二面角α﹣l﹣β的平面角为θ（θ∈（0，）），AB⊥BC，BC⊥CD，AB在平面β内，BC在l上，CD在平面α内，若AB=BC=CD=1，则AD的长为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB1⊥BC1，CA1⊥BC1．求证：AB1=CA1．18．（12分）已知四边形ABCD的顶点分别是A（3，﹣1，2）、B（1，2，﹣1）、C（﹣1，1，﹣3）、D（3，﹣5，3），求证：四边形ABCD是一个梯形．19．（12分）如图所示，ABCD﹣ABEF都是平行四边形，且不共面，M、N分别是AC、BF 的中点，判断与的关系．20．（12分）如图，已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，证明：C1C⊥BD；21．（12分）空间四边形OABC中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，∠OAC=45°，∠OAB=60°，求OA与BC夹角的余弦值．22．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF=AB=2CE，AB：AD：AA1=1：2：4，（1）求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；（2）证明AF⊥平面A1ED；（3）求二面角A1﹣ED﹣F的正弦值．山西省大同二中2014-2015学年高二上学期11月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）以下命题中，不正确的个数为（）①||﹣||=|+|是，共线的充要条件；②若∥，则存在唯一的实数λ，使=λ；③若•=0，•=0，则=；④若{，，}为空间的一个基底，则{+，+，+}构成空间的另一个基底；⑤|（•）•|=||•||•||．A．2B．3C．4D．5考点：命题的真假判断与应用．专题：平面向量及应用．分析：根据向量共线，向量垂直，向量的基本定理，向量的数量积的定义和性质，逐一分析5个命题的真假，最后综合可得答案．解答：解：对于①，||﹣||=|+|是，反向的充要条件，故错误；对于②，若∥，且时，则存在唯一的实数λ，使=λ，故错误；对于③，若•=0，•=0，则，均与垂直，故错误；对于④，若{，，}为空间的一个基底，则，，不共面，则+，+，+也不共面，故{+，+，+}构成空间的另一个基底，故正确；对于⑤，|（•）•|=|（•）|•||=||•||•||•，故错误；即只有命题④正确．故不正确的命题有4个，故选：C点评：本题以命题的真假判断为载体考查了向量共线，向量垂直，向量的基本定理，向量的数量积的定义和性质，难度中档．2．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若=，=，=，则=（）A．+﹣B．﹣+C．﹣++D．﹣+﹣考点：空间向量的加减法．专题：计算题．分析：将向量分解成+，然后将利用相等向量和向量的三角形法则将与化成用、、表示即可．解答：解：=+=﹣+﹣=﹣+﹣故选D．点评：本题主要考查了空间向量的加减法，解题的关键是利用向量的三角形法则，属于基础题．3．（5分）已知，，若∥，则（）A．x=6，y=15 B．x=3，y=C．x=3，y=15 D．x=6，y=考点：向量的数量积判断向量的共线与垂直．专题：计算题．分析：利用向量共线的充要条件：⇔存在λ使，列出方程组，求出x，y的值解答：解：∵∴存在λ使∴解得故选D点评：解决向量共线及向量垂直的问题，一般利用向量共线或垂直的充要条件⇔存在λ使；⇔4．（5分）已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）．若，且分别与，垂直，则向量为（）A．（1，1，1）B．（﹣1，﹣1，﹣1）C．（1，1，1）或（﹣1，﹣1，﹣1）D．（1，﹣1，1）或（﹣1，1，﹣1）考点：平面的法向量；空间中的点的坐标；向量的数量积判断向量的共线与垂直．专题：计算题．分析：分别求出向量，，利用向量分别与向量，，垂直，且，设出向量的坐标，解答：解：（1）∵空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）∴=（﹣2，﹣1，3），=（1，﹣3，2），设=（x，y，z），由已知中向量分别与向量，，垂直，且，∴，解得x=y=z=±1．=（1，1，1）或=（﹣1，﹣1，﹣1）故选C点评：本题考查的知识点是向量模的运算及向量垂直的坐标表示，是平面向量的综合题，熟练掌握平面向量模的计算公式，及向量平行和垂直的坐标运算公式是解答本题的关键．5．（5分）已知A（﹣1，0，1），B（0，0，1），C（2，2，2），D（0，0，3），则sin（，）=（）A．﹣B．C．D．﹣考点：空间向量的夹角与距离求解公式．专题：空间向量及应用．分析：利用向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式、同角三角函数的平方关系即可得出．解答：解：∵，=（﹣2，﹣2，1）．∴=1，=3，=﹣2．∴===﹣．∴==．故选：C．点评：本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式、同角三角函数的平方关系，属于基础题．6．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB=，BB1=1，则AB1与C1B所成角的大小为（）A．60°B．90°C．105°D．75°考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角．分析：取A1B1中点D，连结BD、C1D，矩形AA1B1B中利用三角函数的定义，证出∠B1BD=∠B1AB，可得AB1⊥BD．根据面面垂直的性质和线面垂直的判定，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中证出AB1⊥平面BC1D，从而得出AB1⊥C1B，即AB1与C1B所成角的大小为90°．解答：解：取A1B1中点D，连结BD、C1D，∵矩形AA1B1B中，tan∠B1BD=tan∠B1AB=∴∠B1BD=∠B1AB=90°﹣∠ABD，可得∠B1AB+∠ABD=90°因此AB1⊥BD∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1B1C1⊥平面AA1B1B平面A1B1C1∩平面AA1B1B=A1B1，DC1⊥A1B1∴直线DC1⊥平面AA1B1B，可得DC1⊥AB1∵DC1∩BD=D，∴AB1⊥平面BC1D因此，可得AB1⊥C1B，即AB1与C1B所成角的大小为90°故选：B点评：本题在正三棱柱中求异面直线所成角大小．着重考查了正棱柱的性质、空间垂直位置关系的判断与性质等知识，属于中档题．7．（5分）若平面α的法向量为，直线l的方向向量为，直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是（）A．c os θ=B．c os θ=C．s in θ=D．sin θ=考点：空间向量的数量积运算．专题：空间向量及应用．分析：直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为β，则θ=β﹣90°或θ=90°﹣β，由此能求出结果．解答：解：若直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为β，则θ=β﹣90°或θ=90°﹣β，cosβ=，∴sin θ=|cos β|=，故选：D．点评：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间向量的合理运用．8．（5分）若A（1，﹣2，1），B（4，2，3），C（6，﹣1，4），则△ABC的形状是（）A．不等边锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形考点：向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：求出各边对应的向量，求出各边对应向量的数量积，判断数量积的正负，得出各角为锐角．解答：解：，，得A为锐角；，得C为锐角；，得B为锐角；所以为锐角三角形故选项为A点评：本题考查向量数量积的应用：据数量积的正负判断角的范围．9．（5分）若两个不同平面α，β的法向量分别为=（1，2，﹣1），=（﹣3，﹣6，3），则（）A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均不正确考点：平面的法向量．专题：空间向量及应用．分析：观察两个向量坐标的数量关系，判断向量平行或垂直即可．解答：解：∵=﹣3，∴∥．故α∥β．故选：A．点评：本题主要考察了空间向量的平行及垂直，是基础题．10．（5分）若A（x，5﹣x，2x﹣1），B（1，x+2，2﹣x），当||取最小值时，x的值等于（）A．19 B．C．D．考点：向量的模．专题：计算题．分析：利用向量的坐标公式求出的坐标；利用向量模的坐标公式求出向量的模；通过配方判断出二次函数的最值．解答：解：=（1﹣x，2x﹣3，﹣3x+3），||==求出被开方数的对称轴为x=当时，||取最小值．故选C点评：本题考查向量的坐标公式、考查向量模的坐标公式、考查二次函数的最值与其对称轴有关．11．（5分）如图所示，在四面体P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，AB=BC=CA=PC，那么二面角B﹣AP﹣C的余弦值为（）A．B．C．D．考点：二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离．分析：设AB=BC=CA=PC=a．知平面PAC⊥平面ABC，取AC的中点D连接BD，PD，得△PAD为△PAB在平面PAC的投影．二面角B﹣AP﹣C为α，由投影定理得cosα=．解答：解：设AB=BC=CA=PC=a．知平面PAC⊥平面ABC，取AC的中点D连接BD，PD，知BD⊥AC，故D为B点在平面PAC的投影．而△PAD为△PAB在平面PAC的投影．△PAD的面积为：S==，△PAB中，PA=PB=，AB=a．由余弦定理，解得cos∠APB==．从而sin∠APB=．△PAB的面积为S′==，设二面角B﹣AP﹣C为α，由投影定理得cosα===．故答案为：．点评：本题考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．12．（5分）如图所示，在直二面角D﹣AB﹣E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB 是等腰直角三角形，其中∠AEB=90°，则点D到平面ACE的距离为（）A．B．C．D．2考点：点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出点D到平面ACE的距离．解答：解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），E（1，0，0），D（0，﹣1，2），C（0，1，2）．=（0，0，2），=（1，1，0），=（0，2，2），设平面ACE的法向量=（x，y，z），则，令y=1，∴=（﹣1，1，﹣1）．故点D到平面ACE的距离d==．故选：B．点评：本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）=（2，﹣3，5），=（﹣3，1，﹣4），则||=．考点：空间向量的数量积运算．专题：空间向量及应用．分析：首先求出=（8，﹣5，13），然后由向量的模的公式求其模．解答：解：∵=（2，﹣3，5），=（﹣3，1，﹣4），=（8，﹣5，13），∴||==．故答案为：点评：本题考查了空间向量的坐标运算以及向量模的求法．14．（5分）如图，已知正四面ABCD中，AE=AB，CF=CD，则直线DE和BF所成的角的余弦值为考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；平面向量及应用；空间角．分析：设正四面体的棱长等于1，设向量，，，将向量表示为向量的线性组合，利用正四面体的性质、向量的加减与数量积运算法则，算出cos ＜＞=﹣，结合异面直线所成角的定义即可得出直线DE和BF所成的角的余弦值．解答：解：正四面ABCD中，设向量，，，则向量两两夹角为60°，设正四面体的棱长等于1，则，∵△ABD中，AE=AB，∴，同理由CF=CD，可得，∴==，同理可得，∵==∴cos＜＞===﹣，结合异面直线DE和BF所成的角为锐角或直角，可得直线DE和BF所成的角的余弦值为﹣cos＜＞=．故答案为：点评：本题在正四面体中求异面直线所成角的余弦值，着重考查了正四面体的性质、向量的加减与数量积运算、异面直线所成角的定义及其求法等知识，属于中档题．15．（5分）平面α的法向量为（1，0，﹣1），平面β的法向量为（0，﹣1，1），则平面α与平面β所成二面角的大小为或．考点：平面的法向量．专题：空间向量及应用．分析：利用法向量的夹角与二面角的关系即可得出．解答：解：设平面α的法向量为=（1，0，﹣1），平面β的法向量为=（0，﹣1，1），则cos＜，＞==﹣，∴＜，＞=．∵平面α与平面β所成的角与＜，＞相等或互补，∴α与β所成的角为或．故答案为：或．点评：本题考查了利用用法向量的夹角求二面角的方法，考查了计算能力，属于基础题．16．（5分）如图所示，已知二面角α﹣l﹣β的平面角为θ（θ∈（0，）），AB⊥BC，BC⊥CD，AB在平面β内，BC在l上，CD在平面α内，若AB=BC=CD=1，则AD的长为．考点：点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离．分析：由=++，利用向量法能求出AD的长．解答：解：因为=++，所以2=（++）2=2+2+2+2•+2•+2•=1+1+1+2cos（π﹣θ）=3﹣2cosθ．所以||=，即AD的长为．故答案为：．点评：本题主要考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB1⊥BC1，CA1⊥BC1．求证：AB1=CA1．考点：棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：利用向量方法求线段的长度相等．解答：证明以A为原点，AC为x轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系．设B（a，b，0），C（c，0，0），A1（0，0，d），则B1（a，b，d），C1（c，0，d），=（a，b，d），=（c﹣a，﹣b，d），=（﹣c，0，d），由已知=ca﹣a2﹣b2+d2=0，•=﹣c（c﹣a）+d2=0，可得c2=a2+b2．再由两点间距离公式可得：|AB1|2=a2+b2+d2，|CA1|2=c2+d2=a2+b2+d2，∴AB1=CA1．点评：本题主要考查证明线段的相等，方法很多．18．（12分）已知四边形ABCD的顶点分别是A（3，﹣1，2）、B（1，2，﹣1）、C（﹣1，1，﹣3）、D（3，﹣5，3），求证：四边形ABCD是一个梯形．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：空间向量及应用．分析：利用向量的运算法则证明与共线即可．解答：解：∵=（﹣2，3，﹣3），=（3，﹣5，3）﹣（﹣1，1，﹣3）=（4，﹣6，6）=﹣2（﹣2，3，﹣3）=﹣2．∴四边形ABCD是一个梯形．点评：本题考查了利用向量证明梯形的方法，属于基础题．19．（12分）如图所示，ABCD﹣ABEF都是平行四边形，且不共面，M、N分别是AC、BF 的中点，判断与的关系．考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：因为ABCD﹣ABEF都是平行四边形，所以连接AE，交于N，M，N分别是AC，AE的中点，所以MN∥CE．解答：解：∵ABCD﹣ABEF都是平行四边形，∵M，N分别是AC，AE的中点，连接AE，交于N，∴MN是△ACE的中位线∴MN∥CE，∴∥．点评：本题考查了空间线线关系的判断；属于基础题．20．（12分）如图，已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，证明：C1C⊥BD；考点：直线与平面垂直的性质．专题：证明题．分析：连接A1C1、AC，AC和BD交于点O，连接C1O，证明△C1BC≌△C1DC，证明C1O⊥BD，AC⊥BD，AC∩C1O=O说明BD⊥平面AC1，从而证明C1C⊥BD．解答：证明：连接A1C1、AC，AC和BD交于点O，连接C1O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC=CD又∵∠BCC1=∠DCC1，C1C是公共边，∴△C1BC≌△C1DC，∴C1B=C1D∵DO=OB，∴C1O⊥BD，但AC⊥BD，AC∩C1O=O∴BD⊥平面AC1，又C1C⊂平面AC1，∴C1C⊥BD．点评：本题是中档题，考查直线与直线垂直，通过证明直线与平面的垂直，实现直线与直线的垂直，考查转化思想．21．（12分）空间四边形OABC中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，∠OAC=45°，∠OAB=60°，求OA与BC夹角的余弦值．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；转化思想．分析：根据已给条件该题可利用数量积的方法求解，要求OA与BC夹角的余弦值，可求与的夹角的余弦值，利用，代入公式向量的夹角公式求解即可．解答：解：=8×6cos60°=24=8×4cos135°=﹣cosθ==所以OA与BC夹角的余弦值为点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及向量的数量积，属于基础题．22．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF=AB=2CE，AB：AD：AA1=1：2：4，（1）求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；（2）证明AF⊥平面A1ED；（3）求二面角A1﹣ED﹣F的正弦值．考点：异面直线及其所成的角；与二面角有关的立体几何综合题．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何．分析：（1）在空间坐标系中计算出两个直线的方向向量的坐标，由数量公式即可求出两线夹角的余弦值．（2）在平面中找出两条相交直线来，求出它们的方向向量，研究与向量内积为0即可得到线面垂直的条件．（3）两个平面一个平面的法向量已知，利用向量垂直建立方程求出另一个平面的法向量，然后根据求求二面角的规则求出值即可．解答：解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB=1，依题意得D（0，2，0），F（1，2，1），A1（0，0，4），E（1，，0）．（1）易得=（0，，1），=（0，2，﹣4）．于是cos＜，＞==．所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为．（2）证明：连接ED，易知=（1，2，1），=（﹣1，，4），=（﹣1，，0），于是=0，=0．因此，AF⊥EA1，AF⊥ED．又EA1∩ED=E，所以AF⊥平面A1ED．（3）设平面EFD的一个法向量为u=（x，y，z），则即不妨令x=1，可得u=（1，2，﹣1）．由（2）可知，为平面A1ED的一个法向量．于是cos＜u，＞==，从而sin＜u，＞=．二面角A1﹣ED﹣F的正弦值是点评：本题考查用向量法求异面直线所成的角，二面角，以及利用向量方法证明线面垂直，利用向量法求异面直线所成的角要注意异面直线所成角的范围与向量所成角的范围的不同．。