2017-2018学年数学人教A版选修4-5优化练习：第一讲+二绝对值不等式+1绝对值三角不等式+Word版含解析

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高中数学选修4-5(人教A版)4-5第一讲不等式和绝对值不等式1.2知识点总结含同步练习题及答案

和．若不等式 |x − 4| + |x − 3| > a 对一切实数 x 恒成立，则 (|x − 4| + |x − 3|)min > a ，因为 (|x − 4| + |x − 3|)min = 1 ，所以 a < 1．
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高中数学选修4-5(人教A版)知识点总结含同步绝对值不等式
一、知识清单
绝对值不等式的解法
二、知识讲解
1.绝对值不等式的解法描述：绝对值不等式的解法解含绝对值的不等式主要依据绝对值的定义、几何意义及不等式的基本性质．（1）|f (x)| > |g(x)| ⇔ f 2 (x) > g 2 (x)；（2）|f (x)| > g(x)(g(x) > 0) ⇔ f (x) > g(x) 或 f (x) < −g(x)；（3）|f (x)| < g(x)(g(x) > 0) ⇔ −g(x) < f (x) < g(x)；（4）含两个及两个以上绝对值符号的不等式可用零点分段法求解，也可用图象法去求解．例题：解不等式 1 < |x + 1| < 3 ．解：原不等式等价于
x − 3 < 2x − 1 < 3 − x,
解得 −2 < x <
4 ，故原不等式的解集为 3 4 ∣ {x ∣ − 2 < x < } . ∣ 3
解不等式 |x − 1| + |x + 2| ⩾ 5 ．解：当 x < −2 时，原不等式化为 1 − x − x − 2 ⩾ 5 ，解得 x ⩽ −3；当 −2 ⩽ x ⩽ 1 时，原不等式化为 1 − x + x + 2 ⩾ 5 ，不等式无解；当 x > 1 时，原不等式化为 x − 1 + x + 2 ⩾ 5 ，解得 x ⩾ 2．综上，原不等式的解集为 {x | x ⩽ −3或x ⩾ 2}．若不等式 |x − 4| + |x − 3| > a 对一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围．解：由绝对值的几何意义可知，|x − 4| + |x − 3| 表示的是数轴上点 x 到 3 和 4 的距离之

数学人教A版选修4-5优化课件：第一讲二绝对值不等式 1 绝对值三角不等式

探究二含绝对值不等式的证明
[例 2] 求证：|a22－|ab| 2|≥|a2|－|b2|.
[证明] 法一：①当|a|≤|b|时，由|a22－|ab| 2|≥0，|a2|－|b2|≤0，知不等式成立． ②当|a|>|b|时， |a22－|ab| 2|－(|a2|－|b2|)＝|a|22－|a||b|2－|a|－2 |b| ＝|a|－2 |b|·(|a|＋|a||b|－1)＝|a|－2 |b|·|ba|≥0，即|a22－|ab| 2|≥|a2|－|b2|. 综合①②知不等式成立．
解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答，大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
四、听方法。

在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”
[典例] 已知函数 f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|，若关于 x 的不等式 f(x)<|a－1|的解集非空，则实数 a 的取值范围是________． [解析] 只要|a－1|大于 f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|的最小值，则 f(x)<|a－1|的解集非空．而 f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3| ＝|2x＋1|＋|3－2x|≥|(2x＋1)＋(3－2x)|＝4，由|a－1|>4，即 a－1>4 或 a－1<－4，解得 a>5 或 a<－3，故 a∈(－∞，－3)∪(5，＋∞)． [答案] (－∞，－3)∪(5，＋∞)
[解析] ∵0＜n＋n 1＜1. ∴lgn＋n 1＜0. 由 x＜5，并不能确定|x|与 5 的关系， ∴可以否定①②③，而|x|lgn＋n 1＜0，故④成立．

2017-2018学年数学人教A版选修4-5优化课件：第一讲二绝对值不等式 2 绝对值不等式的解法

3．(2016·高考全国Ⅲ卷)已知函数 f(x)＝|2x－a|＋a.
(1)当 a＝2 时，求不等式 f(x)≤6 的解集； (2)设函数 g(x)＝|2x－1|.当 x∈R 时，f(x)＋g(x)≥3，求 a 的取值范围．
解析：(1)当 a＝2 时，f(x)＝|2x－2|＋2.
解不等式|2x－2|＋2≤6 得－1≤x≤3.
(2)令 y＝|2x＋1|－|x－4|，则
－x－5，x≤－12， y＝3x－3，－12<x<4，
x＋5，x≥4，作出函数 y＝|2x＋1|－|x－4|与函数 y＝2 的图象，它们的交点为(－7,2)和53，2. 所以|2x＋1|－|x－4|>2 的解集为(－∞，－7)∪53，＋∞.
因此 f(x)≤6 的解集为{x|－1≤x≤3}． (2)当 x∈R 时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，
当 x＝12时等号成立，所以当 x∈R 时，f(x)＋g(x)≥3 等价于|1－a|＋a≥3.① 当 a≤1 时，①等价于 1－a＋a≥3，无解．当 a>1 时，①等价于 a－1＋a≥3，解得 a≥2. 所以 a 的取值范围是[2，＋∞)．
1．|ax＋b|≤c(c>0)型不等式的解法是：先化为不等式组－c≤ax＋b≤c ，再
利用不等式的性质求出原不等式的解集．
2．|ax＋b|≥c(c>0)的解法是：先化为 ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c ，再进一步利
用不等式性质求出原不等式的解集．
三、|x－a|＋|x－b|≥c 和|x－a|＋|x－b|≤c 型不等式的解法 1．可以利用绝对值不等式的几何意义． 2．利用分类讨论的思想，以绝对值的“零点”为分界点，将数轴分成几个区间，然后确定各个绝对值中的多项式的符号，进而去掉绝对值符号． 3．可以通过构造函数，利用函数图象，得到不等式的解集．

人教版高中数学选修4-5练习：第一讲1.2-1.2.2绝对不等式的解法 Word版含解析

第一讲不等式和绝对值不等式1.2 绝对值不等式1.2.2 绝对不等式的解法A 级　基础巩固一、选择题1．不等式|3x －2|＞4的解集是( )A. B. {x |x ＞2}{x |x ＜－23)}C. D. {x |x ＜－23或x ＞2)}{x |－23＜x ＜2)}解析：由|3x －2|＞4得3x －2＞4或3x －2＜－4所以x ＞2或x ＜－. 23答案：C2．(2015·山东卷)不等式|x －1|－|x －5|＜2的解集是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，1)C ．(1，4)D ．(1，5)解析：法一：当x ＜1时，原不等式化为1－x －(5－x )＜2即－4＜2，不等式恒成立；当1≤x ＜5时，原不等式即x －1－(5－x )＜2，解得x ＜4；当x ≥5时，原不等式化为x －1－(x －5)＜2即4＜2，显然不成立，综上可得不等式的解集为(－∞，4)．法二：由绝对值的几何意义可得数轴上的点x 到1，5两点(距离为4)的距离之差小于2的点满足x ＜4，所求不等式的解集为(－∞，4)．答案：A3．(2015·天津卷)设x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为|x－2|＜1等价于1＜x＜3，x2＋x－2＞0等价于x＜－2或x＞1，所以“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的充分不必要条件．答案：A4．若不等式|x－1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是( )A．a≥1 B．a≥3C．a≤1 D．a≤3解析：由题意，可知(0，4)是(－a＋1，a＋1)的子集，由此可推得选B；亦可以用差异代入法(寻求选项的不同点代入)验证排除．答案：B5．如果关于x的不等式|x－a|＋|x＋4|≥1的解集是全体实数，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，3]∪5，＋∞) B．－5，－3]C．3，5] D．(－∞，－5]∪－3，＋∞)解析：利用数轴，结合绝对值的几何意义可知a≤－5或a≥－3.答案：D二、填空题6．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝______．解析：法一：由|kx－4|≤2可得－2≤kx－4≤2，即2≤kx ≤6，又1≤x ≤3，所以k ＝2.法二：由题意可知x ＝1，x ＝3是|kx －4|＝2的两根，则解得k ＝2. {|k －4|＝2，|3k －4|＝2，)答案：27．若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋对任意的实数x 恒成立，则实4a数a 的取值范围是________．解析：当a ＜0时，显然成立；因为|x ＋1|＋|x －3|的最小值为4，所以a ＋≤4.所以a ＝2， 4a综上可知a ∈(－∞，0)∪{2}．答案：(－∞，0)∪{2}8．若关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －1|＜a 的解集是∅，则a 的取值范围是________．解析：|x ＋2|＋|x －1|≥|(x ＋2)－(x －1)|＝3，所以a ＜3.答案：a ＜3三、解答题9．(2016·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|2x －a |∈a .(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设f (x )＝|2x －1|，当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2.解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3.因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋1|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a .所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.①当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解．当a ＞1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2.所以a 的取值范围是2，＋∞)．10．已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若f (x )≤m 的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a ，m 的值；(2)当a ＝2且t ≥0时，解关于x 的不等式f (x )＋t ≥f (x ＋2t )．解：(1)由|x －a |≤m 得a －m ≤x ≤a ＋m ，所以解得 {a －m ＝－1，a ＋m ＝5，){a ＝2，m ＝3.)(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，所以f (x )＋t ≥f (x ＋2t )，所以|x －2＋2t |－|x －2|≤t .当t ＝0时，不等式恒成立，即x ∈R ；当t ＞0时，不等式等价于或{x ＜2－2t ，2－2t －x －（2－x ）≤t )或 {2－2t ≤x ＜2，x －2＋2t －（2－x ）≤t ){x ≥2，x －2＋2t －（x －2）≤t ，)解得x ＜2－2t 或2－2t ≤x ≤2－或x ∈∅， t 2即x ≤2－. t 2综上所述，当t ＝0时，原不等式的解集为R ；当t ＞0时，原不等式的解集为. {x |x ≤2－t 2)}B 级　能力提升1．不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A．(－∞，－1]∪4，＋∞) B．(－∞，－2]∪5，＋∞)C．1，2] D．(－∞，1]∪2，＋∞)解析：由绝对值的几何意义得|x＋3|－|x－1|的最大值为4，所以a2－3a≥4恒成立，即a≥4或a≤－1.答案：A2．(2015·重庆卷)若f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，则实数a ＝________．解析：当a≤－1时，f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|＝{－3x＋2a－1，x＜a，x－2a－1，a≤x≤－1，3x－2a＋1，x＞－1，)所以f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，则f(x)在x＝a处取得最小值f(a)＝－a－1，由－a－1＝5得a＝－6，符合a≤－1；当a＞－1时，f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|＝{－3x＋2a－1，x＜－1，－x＋2a＋1，－1≤x≤a，3x－2a＋1，x＞a.)所以f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，则f(x)在x＝a处取最小值f(a)＝a＋1，由a＋1＝5，得a＝4，符合a＞－1.综上所述，实数a的值为－6或4.答案：－6或43．已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含1，2]，求a的取值范围．解：(1)当a＝－3时，f(x)≥3⇔|x－3|＋|x－2|≥3⇔或{x ≤2，3－x ＋2－x ≥3){2<x <3，3－x ＋x －2≥3)或 {x ≥3，x －3＋x －2≥ 3.)⇔x ≤1或x ∈∅或x ≥4. 故不等式解集为{x |x ≤1或x ≥4}．(2)原命题⇔f (x )≤|x －4|在1，2]上恒成立⇔|x ＋a |＋2－x ≤4－x 在1，2]上恒成立⇔－2－x ≤a ≤2－x 在1，2]上恒成立⇔－3≤a ≤0. 故a 的取值范围是－3，0]．。

2017-2018学年高中数学人教A版选修4-5训练：第一讲不

一、基础达标1.已知h＞0，a，b∈R，命题甲：|a－b|＜2h；命题乙：|a－1|＜h；且|b－1|＜h，则甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析显然a与b的距离可以很近，满足|a－b|＜2h，但此时a，b与1的距离可以很大，因此甲不能推出乙；若|a－1|＜h，|b－1|＜2h，则|a－b|＝|a－1＋1－b|≤|a－1|＋|b－1|＜2h，故乙可以推出甲.因此甲是乙的必要不充分条件.答案 B2.设|a|＜1，|b|＜1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是()A.|a＋b|＋|a－b|＞2B.|a＋b|＋|a－b|＜2C.|a＋b|＋|a－b|＝2D.不能比较大小解析当(a＋b)(a－b)≥0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|＜2；当(a＋b)(a－b)＜0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|＜2.综上可知，|a＋b|＋|a－b|＜2.答案 B3.对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为()A.1B.2C.3D.4解析利用三角不等式直接求解.∵x，y∈R，∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥3.∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.答案 C4.下列不等式中恒成立的个数是()①x＋1x≥2(x≠0)；②ca＜cb(a＞b＞c＞0)；③a＋mb＋m＞ab(a，b，m＞0，a＜b)；④|a＋b|＋|b－a|≥2a.A.4B.3C.2D.1 解析①不成立，当x＜0时不等式不成立；②成立，a＞b＞c＞0⇒aab＞bab即1b＞1a，又由于c＞0，故有cb＞ca；③成立，因为a＋mb＋m－ab＝（b－a）mb（b＋m）＞0，(a，b，m＞0，a＜b)，故a＋mb＋m＞ab；④成立，由绝对值不等式的性质可知：|a＋b|＋|b－a|≥|(a＋b)－(b－a)|＝|2a|≥2a，故选B.答案 B5.x，y∈R，若|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，则x＋y的取值范围为________.解析利用绝对值的几何意义求解，注意等号成立的条件.由绝对值的几何意义知，|x|＋|x－1|是数轴上的点x到原点和点1的距离之和，所以|x|＋|x－1|≥1，当且仅当x∈[0，1]时取“＝”.同理|y|＋|y－1|≥1，当且仅当y∈[0，1]时取“＝”.∴|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≥2.而|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，∴|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|＝2，此时x∈[0，1]，y∈[0，1]，∴x＋y∈[0，2].答案[0，2]6.下列四个不等式：①log x10＋lg x≥2(x＞1)；②|a－b|＜|a|＋|b|；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2(ab ≠0)； ④|x －1|＋|x －2|≥1.其中恒成立的是________(把你认为正确的序号都填上).解析 ∵x ＞1，∴log x 10＋lg x ＝1lg x ＋lg x ≥2，①正确；ab ≤0时，|a －b |＝|a |＋|b |，②不正确；∵ab ≠0，b a 与a b 同号，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ≥2，③正确；由|x －1|＋|x －2|的几何意义知|x －1|＋|x －2|≥1恒成立，④也正确；综上①③④正确.答案 ①③④7.求函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值和最小值.解法一 ||x －3|－|x ＋1||≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4，∴－4≤|x －3|－|x ＋1|≤4.∴y max ＝4，y min ＝－4.法二把函数看作分段函数.y ＝|x －3|－|x ＋1|＝⎩⎨⎧4，x ＜－1，2－2x ，－1≤x ≤3，－4，x ＞3.∴－4≤y ≤4.∴y max ＝4，y min ＝－4.二、能力提升8.已知设ab ＞0，有如下四个不等式：①|a ＋b |＞|a |；②|a ＋b |＜|b |；③|a ＋b |＜|a －b |；④|a ＋b |＞|a |－|b |.其中正确的是( )A.①②B.①③C.①④D.②④解析 ∵ab ＞0，∴a ，b 同号，∴|a ＋b |＝|a |＋|b |.∴①④正确.答案 C9.若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( )A.5或8B.－1或5C.－1或－4D.－4或8解析利用绝对值的几何意义分类讨论，根据解析式特征确定函数最小值点进而求a .(1)当－1≤－a 2，即a ≤2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －a －1，x ≤－1，－x －a ＋1，－1＜x ＜－a 2，3x ＋a ＋1，x ≥－a 2.易知函数f (x )在x ＝－a 2处取最小值，即1－a 2＝3.所以a ＝－4.(2)当－1＞－a 2，即a ＞2时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －a －1，x ≤－a 2，x ＋a －1，－a 2＜x ＜－1，3x ＋a ＋1，x ≥－1.易知函数f (x )在x ＝－a 2处取最小值，即a 2－1＝3，故a ＝8.综上a ＝－4或8.答案 D10.不等式|a ＋b ||a |－|b |≥1成立的充要条件是________. 解析 |a ＋b ||a |－|b |≥1⇔|a ＋b |－（|a |－|b |）|a |－|b |≥0⇔(|a |－|b |)·[|a ＋b |－(|a |－|b |)]≥0.而|a ＋b |≥|a |－|b |，∴|a ＋b |－(|a |－|b |)≥0.∴|a |－|b |＞0，即|a |＞|b |.答案 |a |＞|b |11.设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a ＞0). (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)＜5，求a 的取值范围.(1)证明由a ＞0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a －（x －a ）＝1a ＋a ≥2.所以f (x )≥2.(2)解 f (3)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |. 当a ＞3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)＜5，得3＜a ＜5＋212.当0＜a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)＜5，得1＋52＜a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212. 12.已知a ，b ∈R 且a ≠0，求证：|a 2－b 2|2|a |≥|a |2－|b |2.证明 (1)若|a |＞|b |，左边＝|a ＋b ||a －b |2|a |＝|a ＋b ||a －b ||a ＋b ＋a －b |≥|a ＋b ||a －b ||a ＋b |＋|a －b |＝11|a ＋b |＋1|a －b |. ∵1|a ＋b |≤1|a |－|b |，1|a －b |≤1|a |－|b |， ∴1|a ＋b |＋1|a －b |≤2|a |－|b |.∴左边≥|a|－|b|2＝右边.(2)若|a|＜|b|，左边＞0，右边＞0，∴原不等式显然成立.(3)若|a|＝|b|，原不等式显然成立.综上可知原不等式成立.三、探究与创新13.对定义在[－1，1]上的函数f(x)，若存在常数A＞0，使得对任意x1，x2∈[－1，1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤A|x1－x2|，则称f(x)具有性质L.问函数f(x)＝x2＋3x ＋5与g(x)＝|x|是否具有性质L？试证明.解f(x)具有性质L，g(x)不具有性质L.证明如下：(1)对于f(x)＝x2＋3x＋5，任取x1，x2∈[－1，1]，|f(x1)－f(x2)|＝|x21－x22＋3(x1－x2)|＝|(x1－x2)(x1＋x2＋3)|＝|x1－x2||x1＋x2＋3|≤|x1－x2|(|x1|＋|x2|＋3)≤5|x1－x2|.故存在A＝5，使f(x)具有性质L.(2)对于g(x)＝|x|，设它具有性质L，任取x1，x2∈[0，1]，则|g(x1)－g(x2)|＝||x1|－|x1||＝||x1|－|x2|| |x1|＋|x2|＝|x1－x2||x1|＋|x2|≤A|x1－x2|，得A≥1|x1|＋|x2|，1A≤|x1|＋|x2|≤2.得1A∈(0，2].取x1＝14A2≤1，x2＝116A2≤14，有|x1|＋|x2|＝12A＋14A＝34A＜1A，与|x1|＋|x2|≥1A矛盾，故g(x)＝|x|不具有性质L.。

人教版高中数学选修4-5优化练习：第一讲二绝对值不等式1绝对值三角不等式

[课时作业 ][A 组基础稳固]1．设 ab＞ 0，下边四个不等式：① |a＋b|＞ |a|；② |a＋ b|＜|b|；③ |a＋ b|＜|a－b|；④ |a＋b|＞|a|－ |b|中，正确的选项是 ()A．①和②B．①和③C．①和④D．②和④分析：∵ ab＞0，① |a＋ b|＝|a|＋|b|＞|a|，正确；②|a＋b|＝|a|＋ |b|＞|b|，因此②错；③ |a＋b|＝|a|＋ |b|＞|a－b|，因此③错；④ |a＋b|＝|a|＋ |b|＞|a－b|≥|a|－|b|，正确．因此①④正确，应选 C.答案： C2．已知 x 为实数，且 |x－5|＋|x－3|<m 有解，则 m 的取值范围是 ()A． m>1B．m≥1C． m>2D．m≥2分析：∵ |x－ 5|＋ |x－3|≥|x－5＋ 3－ x|＝2，∴|x－ 5|＋ |x－3|的最小值为 2.∴要使 |x－5|＋ |x－ 3|<m 有解，则 m>2.答案： C．已知≠|，＝|a|－|b||a|＋|b|，n＝，则 m，n 之间的大小关系是 ()3|a| b m|a－b||a＋b|A． m>n B．m<nC． m＝ n D．m≤n分析：令 a＝3， b＝ 2，则 m＝ 1， n＝ 1；令 a＝－ 3，b＝2，则 m＝1，n＝5，5∴ n≥m，选 D.答案： D4．函数 y＝|x＋1|＋|x－ 2|的最小值及获得最小值时 x 的值分别是 () A． 1，x∈[ －1,2]B．3,0C． 3，x∈[ －1,2]D．2，x∈[1,2]分析：运用含绝对值不等式的基天性质有|x ＋1|＋|x －2|＝|x ＋1|＋ |2－x|≥|x ＋ 1＋ 2－ x|＝ 3.当且仅当 (x ＋1)(2－x)≥0 时等号建立，即获得最小值的充要条件，∴－ 1≤x ≤2.答案： C5．以下不等式中恒建立的个数是 ()1① x ＋ x ≥ 2(x ≠ 0)；c c② a <b (a>b>c>0)；a ＋ m a， a <b)；④|a ＋b|＋|b －a| ≥2a.③b ＋m >b (a ，b ，m>0A ． 4B ．3C ． 2D ．1分析： ①不建立，当 x<0 时不等式不建立； ②建立，a b1 1a>b>0? ab >ab 即 b >a ，又因为 c>0，c c故有 b >a ；③建立，因为a ＋m ab － a ma ＋m a－ b ＝＋m>0(a ，b ，m>0，a<b)，故＋>b ；b ＋mb bb m④建立，由绝对值不等式的性质可知： |a ＋ b|＋|b －a|≥|(a ＋ b)－(b －a)|＝|2a|≥2a ，应选 B.答案： B6．已知 |a ＋b|<－c(a ，b ，c ∈R)，给出以下不等式：① a<－b －c ；② a>－b ＋c ；③ a<b － c ；④ |a|<|b|－c ；⑤ |a|<－ |b|－c.此中必定建立的不等式是 ________(把建立的不等式的序号都填上 )．分析：∵ |a ＋ b|<－ c ，∴ c<a ＋b<－ c ，∴ a<－b－c，a>－b＋c，①②建立，|a|－ |b|<|a＋b|<－c，∴|a|<|b|－c，④建立．答案：①②④7．函数 y＝|x－4|＋|x－ 6|的最小值为 ________．分析： y＝ |x－4|＋ |x－ 6|≥|x－4＋6－x|＝ 2，当且仅当 4≤x≤6 时，等号建立．答案： 28．若 |x－ 4|＋ |x＋5|>a 关于 x∈ R 均建立，则 a 的取值范围为 ________．分析：∵ |x－ 4|＋ |x＋5|＝|4－x|＋ |x＋5|≥|4－x＋x＋5|＝9.∴当 a<9 时，不等式对 x∈ R 均建立．答案： (－∞，9)9．若 f(x)＝x2－x＋c(c 为常数 )， |x－a|<1，求证： |f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．证明： |f(x)－ f(a)|＝ |(x2－x＋c)－(a2－a＋c)|＝|x2－x－a2＋a|＝ |(x－a)(x＋ a－ 1)|＝|x－a| ·|x＋a－1|<|x＋ a－ 1|＝|(x－a)＋ (2a－ 1)|≤|x－a|＋|2a－1|≤|x－ a|＋|2a|＋1<1＋2|a|＋ 1＝ 2(|a|＋1)．10．已知函数 f(x)＝ log2(|x－1|＋ |x－ 5|－a)．(1)当 a＝2 时，求函数 f(x)的最小值；(2)当函数 f(x)的定义域为 R 时，务实数 a 的取值范围．分析：(1)函数的定义域知足 |x－1|＋ |x－ 5|－a>0，即 |x－ 1|＋ |x－5|＞a，设g(x)＝|x－1|＋ |x－5|，由 |x－ 1|＋ |x－5|≥|x－1＋5－x|＝4，可知 g(x)min＝4，∴ f(x)min＝log2(4－ 2)＝1.(2)由(1)知， g(x)＝ |x－1|＋|x－5|的最小值为 4.∵|x－ 1|＋ |x－5|－a>0，∴a<g(x)min时， f(x)的定义域为 R.∴a<4，即 a 的取值范围是 (－∞，4)．[B组能力提高 ]1．设 |a|<1，|b|<1，则 |a＋b|＋ |a－b|与 2 的大小关系是()A． |a＋ b|＋|a－b|>2B．|a＋b|＋ |a－ b|<2C． |a＋ b|＋|a－b|＝2D．不可以比较大小分析：当 (a＋b)(a－b)≥0 时， |a＋b|＋|a－ b|＝ |(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|<2.当 (a＋b)(a－b)<0 时，|a＋ b|＋ |a－b|＝|(a＋b)－(a－ b)|＝2|b|<2.答案： B2．对随意 x，y∈R，|x－ 1|＋|x|＋|y－1|＋ |y＋ 1|的最小值为 ()A． 1B．2C． 3D．4分析：∵ x，y∈R，∴ |x－1|＋|x|≥|(x－ 1)－x|＝1，|y－1|＋ |y＋ 1|≥|(y－1)－(y＋ 1)|＝2，∴|x－ 1|＋ |x|＋|y－ 1|＋ |y＋1|≥3.∴|x－ 1|＋ |x|＋|y－ 1|＋ |y＋1|的最小值为 3.答案： C3．关于实数 x， y，若 |x－1|≤1， |y－2| ≤1，则 |x－2y＋1|的最大值为 ________．分析： |x－2y＋1|＝|(x－ 1)－2(y－1)|≤|x－1|＋ |2 (y－2)＋2|≤1＋2|y－ 2|＋2≤5，即 |x－ 2y＋1|的最大值为 5.答案： 54．设函数f(x)的定义域为R，若存在常数m>0，使|f(x)| ≤m|x|对一确实数x 均建立，则称 f(x)为 F 函数．给出以下函数：① f(x)＝ 0；② f(x)＝x2；③ f(x)＝ 2(sin x＋ cos x)；④ f(x)＝2x；⑤ f(x)是定义x ＋ x＋ 1在 R 上的奇函数，且知足对一确实数 x1， x2均有 |f(x1)－f(x2)|≤x2|1－x2此中是F|.函数的序号是 ________．|f x|f x分析：由 |f(x)|≤m|x|，当 x≠0时，知m≥|x|，关于①，有|x|＝0，x≠0，故取 m>0 即可；关于②，由 |x2＝2，∴|f x＝|x|，无最大值；关于③，由f(x)||x||x|ππ |f xx ＋ 4|f x1＝ 2sin(x ＋4)，而 |x|＝|x|无最大值；关于④，由|x|＝x 2＋x ＋144≤ ，x ≠0，只需取 m ＝即可；3 3关于⑤，令 x 2＝ 0，x 1＝ x ，由 f(0)＝0，知 |f(x)|≤2|x|.答案： ①④⑤5．关于随意的实数 a(a ≠ 0)和 b ，不等式 |a ＋ b|＋ |a －b| ≥M ·|a|恒建立，记实数 M 的最大值是 m ，求 m 的值．|a ＋b|＋|a －b|分析：不等式 |a ＋ b|＋|a － b|≥M ·|a|恒建立，即M ≤ 关于随意的实数 |a|a(a ≠ 0)和 b 恒建立，即左侧恒小于或等于右侧的最小值．因为 |a ＋b|＋|a － b|≥|(a ＋b)＋(a － b)|＝2|a|，当且仅当 (a －b)(a ＋b)≥0 时等号建立，即 |a|≥|b|时，等号建立，也就是 |a ＋b|＋ |a －b|的最小值是 2.|a|因此 m ＝2.6．已知 |x 1－2|<1，|x 2－ 2|<1.(1)求证： 2<x 1＋ x 2 <6，|x 1 －x 2 |<2.(2)若 f (x)＝x 2－x ＋1，x 1≠x 2，求证： |x 1－ x 2|<|f(x 1)－ f(x 2 )|<5|x 1 －x 2|.证明： (1)∵ |x 1－ 2|<1，|x 2 －2|<1，∴ 2－ 1<x 1<2＋ 1,2－ 1<x 2<2＋1，即 1<x 1<3,1<x 2<3，∴ 2<x 1＋x 2<6，|x 1－x 2|＝|(x 1－2)－(x 2－ 2)|≤|x 1－ 2|＋ |x 2－2|<1＋1＝2，即 |x 1－x 2|<2.(2)∵f(x)＝x 2－ x ＋1，22∴ |f(x 1)－f(x 2)|＝ |x 1－x 1－x 2＋x 2|＝|(x1－ x2) ·(x1＋x2－ 1)|＝|x1－x2| ·|x1＋x2－1|，由 (1)知 2<x1＋x2<6，|x1－x2|>0，∴|x1－x2|<|x1－ x2 | ·|x1＋x2－1|<5|x1－x2|，即 |x1－x2|<|f(x1)－f(x2 )|<5|x1－ x2|.。

人教A版高中数学选修4-5练习-第一讲绝对不等式的解法

第一讲不等式和绝对值不等式1.2 绝对值不等式 1.2.2 绝对不等式的解法A 级基础巩固一、选择题1．不等式|x －2|>x －2的解集是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：原不等式同解于x －2<0，即x <2. 答案：A2．不等式|x |·(1－2x )>0的解集是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 B ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，1－2x >0，解得x <12且x ≠0，即x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎪⎫0，12. 答案：B3．(2017·天津卷)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12，所以－π12＜θ－π12＜π12，即0＜θ＜π6.显然0＜θ＜π6时，sin θ＜12成立．但sin θ＜12时，由周期函数的性质知0＜θ＜π6不一定成立．故⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12是sin θ＜12的充分而不必要条件．故选A. 答案：A4．若不等式|ax ＋2|＜6的解集为(－1，2)，则实数a 的取值为( ) A ．8 B ．2 C ．－4D ．－8解析：原不等式化为－6＜ax ＋2＜6，即－8＜ax ＜4. 又因为－1＜x ＜2，所以验证选项易知a ＝－4适合．答案：C5．当|x －2|＜a 时，不等式|x 2－4|＜1成立，则正数a 的取值范围是( )A ．a ＞5－2B ．0＜a ≤5－2C ．a ≥5－2D ．以上都不正确解析：由|x －2|＜a ，得－a ＋2＜x ＜a ＋2，由|x 2－4|＜1，得3＜x ＜5或－5＜x ＜－ 3.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2≤5，－a ＋2≥3，即0＜a ≤5－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2≤－3，－a ＋2≥－5，无解．答案：B 二、填空题6．若关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －1|<a 的解集是∅，则a 的取值范围是________________．解析：|x ＋2|＋|x －1|≥|(x ＋2)－(x －1)|＝3，所以a ≤3. 答案：(－∞，3]7．若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋4a 对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＜0时，显然成立；因为|x ＋1|＋|x －3|的最小值为4，所以a ＋4a ≤4.所以a ＝2，综上可知a ∈(－∞，0)∪{2}．答案：(－∞，0)∪{2}8．设函数f (x )＝|2x －1|＋x ＋3，若f (x )≤5，则x 的取值范围是________________．解析：f (x )≤5⇔|2x －1|＋x －2≤0，①⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，2x －1＋x －2≤0，解得12≤x ≤1.②⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<0，－2x ＋1＋x －2≤0，解得－1≤x <12.综上可得－1≤x ≤1.答案：[－1，1] 三、解答题9．已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值； (2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由f (x )≤3，得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3. 又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，，解得a ＝2.(2)由(1)知a ＝2，此时f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|，于是g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2.利用g (x )的单调性，易知g (x )的最小值为5.因此，若g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 对x ∈R 恒成立，则m ≤g (x )min . 即实数m 的取值范围是(－∞，5]．10．(2016·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设g (x )＝|2x －1|，当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}． (2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|2x －1|≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a .所以f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解；当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.所以a的取值范围是[2，＋∞)．B级能力提升1．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a 的取值范围为()A．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C．[1，2]D．(－∞，1]∪[2，＋∞)解析：由绝对值的几何意义得|x＋3|－|x－1|的最大值为4，所以a2－3a≥4恒成立，即a≥4或a≤－1.答案：A2．若关于x的不等式|x＋1|≥kx恒成立，则实数k的取值范围是________．解析：作出y＝|x＋1|与y＝kx的图象，如图，当k＜0时，直线一定经过第二、第四象限，从图看出明显不恒成立；当k＝0时，直线为x轴，符合题意；当k＞0时，要使|x＋1|≥kx恒成立，只需k≤1.综上可知，实数k的取值范围为[0，1]．答案：[0，1]3．已知不等式|x＋2|－|x＋3|>m，分别求出满足以下条件的m的取值范围．(1)若不等式有解；(2)若不等式解集为R；(3)若不等式解集为∅.解：法一因为|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(－2)，B(－3)距离的差．即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|.由图象知(|PA|－|PB|)max＝1，(|PA|－|PB|)min＝－1.即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m<1，m的取值范围为(－∞，1)．(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m要比|x＋2|－|x＋3|的最小值还小，即m<－1，m的取值范围为(－∞，－1)．(3)若不等式的解集为∅，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1，m的取值范围为[1，＋∞)．法二由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，|x＋3|－|x＋2|≤|(x ＋3)－(x＋2)|＝1，可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，则m∈(－∞，1)．(2)若不等式解集为R，则m∈(－∞，－1)．(3)若不等式解集为∅，则m∈[1，＋∞)．。

2018学年高中数学人教A版选修4-5学案：第1讲 2-1 绝对值三角不等式含解析

二绝对值不等式1.绝对值三角不等式1．理解绝对值的几何意义，能利用绝对值的几何意义证明绝对值不等式的性质定理．(重点)2．会用绝对值不等式的性质定理证明简单的含绝对值的不等式，会求简单绝对值不等式的最值．(难点、易错易混点)[基础·初探]教材整理1绝对值的几何意义阅读教材P11～P11“思考”以上部分，完成下列问题．1．实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离．2．对于任意两个实数a，b，设它们在数轴上的对应点分别为A，B，那么|a －b|的几何意义是数轴上A，B两点之间的距离，即线段AB的长度．教材整理2绝对值三角不等式阅读教材P11～P14“定理2”以上部分，完成下列问题．1．定理1如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．2．在定理1中，实数a，b替换为向量a，b，当向量a，b不共线时，有向量形式的不等式|a＋b|<|a|＋|b|，它的几何意义是三角形的两边之和大于第三边．对于|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，下列结论正确的是()A．当a，b异号时，左边等号成立B．当a，b同号时，右边等号成立C．当a＋b＝0时，两边等号均成立D．当a＋b＞0时，右边等号成立；当a＋b＜0时，左边等号成立【解析】当a，b异号且|a|＞|b|时左边等号才成立，A不正确；显然B正确；当a＋b＝0时，右边等号不成立，C不正确；D显然不正确．【答案】 B教材整理3三个实数的绝对值不等式阅读教材P14～P15“2.绝对值不等式的解法”以上部分，完成下列问题．定理2如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b －c)≥0时，等号成立．设|a|＜1，|b|＜1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是()A．|a＋b|＋|a－b|＞2 B．|a＋b|＋|a－b|＜2C．|a＋b|＋|a－b|＝2 D.不可能比较大小【解析】当(a＋b)(a－b)≥0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|＜2；当(a＋b)(a－b)＜0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|＜2.【答案】 B[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]【精彩点拨】令t ＝|x ＋1|＋|x ＋2|，只需m ≤t min .【自主解答】法一对x ∈R ，|x ＋1|＋|x ＋2|≥|(x ＋1)－(x ＋2)|＝1，当且仅当(x ＋1)(x ＋2)≤0时，即－2≤x ≤－1时取等号．∴t ＝|x ＋1|＋|x ＋2|的最小值为1，故m ≤1.∴实数m 的取值范围是(－∞，1]．法二 t ＝|x ＋1|＋|x ＋2|＝⎩⎨⎧ －(2x ＋3) ， x <－2，1，－2≤x ≤－1，2x ＋3， x >－1.∴t ≥1，则t ＝|x ＋1|＋|x ＋2|的最小值为1，故m ≤1.因此实数m 的取值范围是(－∞，1]．1．本题也可利用绝对值的几何意义求解．2．对于含有两个绝对值及以上的代数式，通常利用分段讨论的方法转化为分段函数，进而利用分段函数的性质求函数最值．[再练一题]1．(2016·全国丙卷)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围．【解】 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2.解不等式|2x －2|＋2≤6，得－1≤x ≤3.因为f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ，当x ＝12时等号成立，所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.① 当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解．当a ＞1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2.所以a 的取值范围是[2，＋∞)．设m 等于|a |，|b |和1中最大的一个，当|x |>m 时，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2<2. 【精彩点拨】不管|a |，|b |,1的大小，总有m ≥|a |，m ≥|b |，m ≥1，然后利用绝对值不等式的性质证明．【自主解答】依题意m ≥|a |，m ≥|b |，m ≥1.又|x |>m ，∴|x |>|a |，|x |>|b |，|x |>1，从而|x |2>|b |.因此⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b x 2 ＝|a ||x |＋|b ||x 2|<|x ||x |＋|x |2|x 2|＝2，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2<2.1．将文字语言“m 等于|a |，|b |,1中最大的一个”转化为符号语言“m ≥|a |，m ≥|b |，m ≥1”是证明本题的关键．2．运用绝对值不等式的性质证明不等式时，要注意放缩的方向和“尺度”，切忌放缩过度．[再练一题]2．若f (x )＝x 2－x ＋c (为常数)，且|x －a |<1，求证：|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1).【导学号：32750018】【证明】 |f (x )－f (a )|＝|(x 2－x ＋c )－(a 2－a ＋c )|＝|x 2－x －a 2＋a |＝|(x －a )(x ＋a －1)|＝|x －a |·|x ＋a －1|<|x ＋a －1|＝|(x－a)＋(2a－1)|≤|x－a|＋|2a－1|.又|x－a|<1，∴|f(x)－f(a)|≤|x－a|＋|2a－1|≤|x－a|＋|2a|＋1<1＋2|a|＋1＝2(|a|＋1)．[探究共研型]探究1【提示】不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.探究2你能给出定理2的几何解释吗？【提示】在数轴上，a，b，c的对应的点分别为A，B，C.当点B在点A，C之间时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|；当点B不在点A，C之间时，|a－c|<|a－b|＋|b －c|.已知a，b∈R，则有(1)|a|－|b||a－b|≤1成立的充要条件是________；(2)|a|＋|b||a＋b|≥1成立的充要条件是________．【精彩点拨】利用绝对值三角不等式定理分别求解．【自主解答】(1)因为|a|－|b|≤|a－b|恒成立，所以有|a－b|＞0⇔a≠b⇔|a|－|b||a－b|≤1，因此|a|－|b||a－b|≤1成立的充要条件是a≠b.(2)因为|a|＋|b|≥|a＋b|恒成立，所以有|a＋b|＞0⇔a≠－b⇔|a|＋|b||a＋b|≥1.因此|a |＋|b ||a ＋b |≥1成立的充要条件是a ≠－b . 【答案】 (1)a ≠b (2)a ≠－b1．本题求解的关键在于|a |－|b |≤|a －b |与|a |＋|b |≥|a ＋b |的理解和应用．2．解决此类问题应从两个方向推出关系来进行求解．[再练一题]3．条件不变，试求：(1)||a |－|b |||a －b |＜1成立的充要条件； (2)|a |＋|b ||a ＋b |＞1成立的充要条件．【解】 (1)因为ab ＜0⇔||a |－|b ||＜|a －b |⇔|a |－|b ||a －b |＜1，所以||a |－|b |||a －b |＜1成立的充要条件是ab ＜0. (2)因为|a |＋|b ||a ＋b |＞1⇔|a |＋|b |＞|a ＋b |且a ＋b ≠0⇔ab ＜0且a ≠－b ，所以|a |＋|b ||a ＋b |＞1成立的充要条件是ab ＜0且a ≠－b . [构建·体系]绝对值三角不等式—⎪⎪⎪⎪⎪ —绝对值的几何意义—绝对值三角不等式—三个实数的绝对值不等式—求最值与范围1．已知实数a ，b 满足ab ＜0，则下列不等式成立的是( )A ．|a ＋b |＞|a －b |B ．|a ＋b |＜|a －b |C．|a－b|＜||a|－|b|| D.|a－b|＜|a|＋|b|【解析】∵ab＜0，∴|a－b|＝|a|＋|b|＞|a＋b|＝||a|－|b||，故应选B.【答案】 B2．若a，b∈R，则使|a|＋|b|>1成立的充分不必要条件可以是()A．|a|≥12且|b|≥12B．|a＋b|≥1C．|a|≥1 D.b<－1【解析】当b<－1时，|b|>1，∴|a|＋|b|>1，但|a|＋|b|>1⇒/b<－1(如a＝2，b＝0)，∴“b<－1”是“|a|＋|b|>1”的充分不必要条件．【答案】 D3．已知四个命题：①a>b⇒|a|>b；②a>b⇒a2>b2；③|a|>b⇒a>b；④a>|b|⇒a>b.其中正确的命题是________．【解析】当a>b时，|a|≥a>b，①正确．显然②③不正确．又当a>|b|时，有a>|b|≥b，④正确．【答案】①④4．|x＋1|＋|2－x|的最小值是________.【导学号：32750019】【解析】∵|x＋1|＋|2－x|≥|(x＋1)＋(2－x)|＝3，当且仅当(x＋1)(2－x)≥0，即－1≤x≤2时，取等号．因此|x＋1|＋|2－x|的最小值为3.【答案】 35．f(x)＝|x－10|＋|x－20|(x∈R)，求f(x)的最小值，并求当f(x)有最小值时，实数x的取值范围．【解】∵|x－10|＋|x－20|＝|x－10|＋|20－x|≥|(x－10)＋(20－x)|＝10.当且仅当(x－10)(20－x)≥0时取等号，即10≤x≤20.因此f(x)的最小值为10，此时实数x的取值范围是[10,20]．我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评（四）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知a，b，c∈R，且a＞b＞c，则有()A．|a|＞|b|＞|c| B．|ab|＞|bc|C．|a＋b|＞|b＋c| D.|a－c|＞|a－b|【解析】当a，b，c均为负数时，则A，B，C均不成立，如a＝－1，b＝－2，c＝－3时，有|a|＜|b|＜|c|，故A错；|ab|＝2，而|bc|＝6，此时|ab|＜|bc|，故B错；|a＋b|＝3，|b＋c|＝5，与C中|a＋b|＞|b＋c|矛盾，故C错；只有D正确．故选D.【答案】 D2．已知|a|≠|b|，m＝|a|－|b||a－b|，n＝|a|＋|b||a＋b|，则m，n之间的大小关系为()A．m>n B．m<n C．m＝n D.m≤n【解析】由|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，得|a|－|b||a－b|≤1，|a|＋|b||a＋b|≥1.【答案】 D3．已知a，b∈R，ab>0，则下列不等式中不正确．．．的是() A．|a＋b|＞a－b B．2ab≤|a＋b|C ．|a ＋b |<|a |＋|b | D.⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2 【解析】当ab >0时，|a ＋b |＝|a |＋|b |，C 错．【答案】 C4．若|a －c |＜b ，则下列不等式不成立的是( )A ．|a |＜|b |＋|c |B ．|c |＜|a |＋|b |C ．b ＞||c |－|a ||D.b ＜||a |－|c ||【解析】 b ＞|a －c |＞|a |－|c |，b ＞|a －c |＞|c |－|a |，故A ，B 成立，∴b ＞||a |－|c ||，故C 成立．应选D(此题代入数字也可判出)．【答案】 D5．“|x －a |＜m 且|y －a |＜m ”是“|x －y |＜2m ”(x ，y ，a ，m ∈R )的( )【导学号：32750020】A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ∵|x －a |＜m ，|y －a |＜m ，∴|x －a |＋|y －a |＜2m .又∵|(x －a )－(y －a )|≤|x －a |＋|y －a |，∴|x －y |＜2m ，但反过来不一定成立，如取x ＝3，y ＝1，a ＝－2，m ＝2.5，|3－1|＜2×2.5，但|3－(－2)|＞2.5，|1－(－2)|＞2.5，∴|x －y |＜2m 不一定有|x －a |＜m 且|y －a |＜m ，故“|x －a |＜m 且|y －a |＜m ”是“|x －y |＜2m (x ，y ，a ，m ∈R )”的充分不必要条件．【答案】 A二、填空题6．设a ，b ∈R ，|a －b |>2，则关于实数x 的不等式|x －a |＋|x －b |>2的解集是________．【解析】因为a ，b ∈R ，则|a －b |>2，其几何意义是数轴上表示数a ，b 的两点间距离大于2，|x －a |＋|x －b |的几何意义为数轴上任意一点到a ，b 两点的距离之和，当x 处于a ，b 之间时|x －a |＋|x －b |取最小值，距离恰为a ，b 两点间的距离，由题意知其恒大于2，故原不等式解集为R .【答案】 R7．下列四个不等式：①log x 10＋lg x ≥2(x ＞1)；②|a －b |＜|a |＋|b |；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2(ab ≠0)； ④|x －1|＋|x －2|≥1.其中恒成立的是________(填序号)．【解析】 log x 10＋lg x ＝1lg x ＋lg x ≥2，①正确．ab ≤0时，|a －b |＝|a |＋|b |，②不正确；∵ab ≠0，b a 与a b 同号，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ≥2，③正确；由|x －1|＋|x －2|的几何意义知|x －1|＋|x －2|≥1恒成立，④也正确．综上，①③④正确．【答案】 ①③④8．已知α，β是实数，给出三个论断：①|α＋β|＝|α|＋|β|；②|α＋β|>5；③|α|>22，|β|>2 2.以其中的两个论断为条件，另一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题是________．【解析】 ①，③成立时，则|α＋β|＝|α|＋|β|>42>5.【答案】 ①③⇒②三、解答题9．设ε>0，|x －a |<ε4，|y －b |<ε6.求证：|2x ＋3y －2a －3b |<ε.【证明】 ∵|2x ＋3y －2a －3b |＝|2(x －a )＋3(y －b )|≤2|x －a |＋3|y －b |<2×ε4＋3×ε6＝ε.10．(2014·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0)． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围．【解】 (1)证明：由a >0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a －(x －a )＝1a ＋a ≥2，所以f (x )≥2.(2)f (3)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |. 当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5，得3<a <5＋212.当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5，得1＋52<a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212. [能力提升]1．对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1| 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3 D.4【解析】 ∵x ，y ∈R ，∴|x －1|＋|x |≥|(x －1)－x |＝1，|y －1|＋|y ＋1|≥|(y －1)－(y ＋1)|＝2，∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3.∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3.【答案】 C2．以下三个命题：(1)若|a －b |＜1，则|a |＜|b |＋1；(2)若a ，b ∈R ，则|a ＋b |－2|a |≤|a －b |；(3)若|x |＜2，|y |＞3，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪x y ＜23. 其中正确的有________个．【解析】 (1)1＞|a －b |≥|a |－|b |，∴1＋|b |＞|a |成立，(1)正确；(2)|a ＋b |－2|a |＝|a ＋b |－|2a |≤|a ＋b －2a |＝|a －b |正确；(3)⎪⎪⎪⎪⎪⎪x y ＝|x ||y |＜2|y |＜23，正确．【答案】 33．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________.【导学号：32750021】【解析】 |x －a |＋|x －1|≥|a －1|，则只需要|a －1|≤3，解得－2≤a ≤4.【答案】－2≤a ≤44．若1＜a ＜8，－4＜b ＜2，则a －|b |的取值范围是____________．【解析】 ∵－4＜b ＜2，则0≤|b |＜4，∴－4＜－|b |≤0.又∵1＜a ＜8，∴－3＜a －|b |＜8.【答案】 (－3,8)5．(2016·江苏高考)设a ＞0，|x －1|＜a 3，|y －2|＜a 3，求证：|2x ＋y －4|＜a .【证明】因为|x －1|＜a 3，|y －2|＜a 3，所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋|y －2|＜2×a 3＋a 3＝a.。

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m，n
之间的大小关系是
(
)
A． m>n
B．m<n
C． m＝ n
D．m≤n
解析：令 a＝3， b＝ 2，则 m＝ 1， n＝ 1；令 a＝－ 3，b＝2，则 m＝15，n＝5，
∴n≥m，选 D. 答案： D
4．函数 y＝|x＋1|＋|x－ 2|的最小值及取得最小值时 x 的值分别是 ( )
A． 1，x∈[ －1,2]
A． m>1
B．m≥1
C． m>2
D．m≥2
解析： ∵|x－5|＋ |x－ 3|≥|x－5＋3－x|＝2，
∴|x－5|＋ |x－ 3|的最小值为 2.
∴要使|x－5|＋|x－3|<m 有解，则 m>2.
答案： C
3．已知
|a|－ |a|≠|b|，m＝ |a－
|bb||，n＝|a|a|＋＋
b|b||，则
≥ |4－x＋ x＋ 5|＝9.
∴当 a<9 时，不等式对 x∈R 均成立．答案： (－∞， 9) 9．若 f(x)＝x2－x＋c(c 为常数 )， |x－a|<1，求证： |f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．证明： |f(x)－ f(a)|＝ |(x2－x＋c)－(a2－a＋c)| ＝ |x2－x－a2＋a|＝ |(x－a)(x＋ a－ 1)|＝|x－a| |·x＋a－1|<|x＋ a－ 1|
② |a＋b|＝|a|＋ |b|＞|b|，所以②错；
③ |a＋b|＝|a|＋ |b|＞|a－b|，所以③错；
④ |a＋b|＝|a|＋ |b|＞|a－b|≥|a|－ |b|，正确．
所以①④正确，应选 C.
答案： C
2．已知 x 为实数，且 |x－5|＋|x－3|<m 有解，则 m 的取值范围是 ( )
∴c<a＋b<－c，
∴a<－b－c， a>－b＋c，①②成立，
|a|－ |b|<|a＋b|<－c，
∴|a|<|b|－ c，④成立．答案： ①②④ 7．函数 y＝|x－4|＋|x－ 6|的最小值为 ________．解析： y＝ |x－4|＋ |x－ 6|≥|x－4＋6－x|＝2，当且仅当 4≤ x≤ 6 时，等号成立．答案： 2 8．若 |x－ 4|＋ |x＋5|>a 对于 x∈ R 均成立，则 a 的取值范围为 ________．解析： ∵|x－4|＋ |x＋ 5|＝|4－x|＋|x＋5|
1 ① x＋ x≥2(x≠0)； ② ca<bc(a>b>c>0)；
a＋ m a ③ b＋ m>b(a，b，m>0，a<b)； ④ |a＋b|＋|b－a|≥ 2a. A．4 C． 2
)
B．3 D．1
解析： ①不成立，当 x<0 时不等式不成立；
②成立， a b 11
a>b>0? ab>ab即 b>a，又由于 c>0，
B．3,0
C． 3，x∈[ －1,2]
D．2，x∈[1,2]
解析：运用含绝对值不等式的基本性质有 |x＋1|＋|x－2|＝
|x＋1|＋ |2－x|≥|x＋1＋ 2－x|＝3.
当且仅当 (x＋1)(2－x)≥ 0 时等号成立，即取得最小值的充要条件，
∴－1≤x≤2.
答案： C 5．下列不等式中恒成立的个数是 (
＝ |(x－a)＋ (2a－ 1)|≤|x－a|＋ |2a－ 1|≤ |x－a|＋|2a|＋1<1＋ 2|a|＋1＝2(|a|＋1)． 10．已知函数 f(x)＝ log2(|x－1|＋ |x－ 5|－a)． (1)当 a＝2 时，求函数 f(x)的最小值； (2)当函数 f(x)的定义域为 R 时，求实数 a 的取值范围．解析：(1)函数的定义域满足 |x－1|＋ |x－ 5|－a>0，
[课时作业 ] [A 组基础巩固 ] 1．设 ab＞ 0，下面四个不等式：① |a＋b|＞ |a|；② |a＋ b|＜|b|；③ |a＋ b|＜|a－b|； ④ |a＋b|＞|a|－ |b|中，正确的是 ( )
A解析： ∵ab＞ 0，① |a＋b|＝|a|＋ |b|＞|a|，正确；
cc 故有 b>a；
a＋m a b－ a m
a＋m a
③成立，因为
－ b＋m
b＝
b
b＋m
>0(a， b， m>0，a<b)，故 b＋m>b；
④成立，由绝对值不等式的性质可知： |a＋ b|＋|b－a|≥|(a＋b)－(b－a)|＝ |2a|≥ 2a，
故选 B.
答案： B 6．已知 |a＋b|<－c(a，b，c∈R)，给出下列不等式： ① a<－b－c；② a>－b＋c；③ a<b－ c；④ |a|<|b|－c；⑤ |a|<－ |b|－c. 其中一定成立的不等式是 ________(把成立的不等式的序号都填上 )．解析：∵|a＋b|<－c，