方差分析
方差分析(ANOVA)简介
方差分析（ANOVA）简介方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计方法，用于比较两个或多个样本均值之间的差异是否显著。
它是通过分析样本之间的方差来判断均值是否存在差异。
ANOVA广泛应用于实验设计、医学研究、社会科学等领域，是一种重要的统计工具。
一、方差分析的基本原理方差分析的基本原理是通过比较组内变异和组间变异的大小来判断样本均值之间的差异是否显著。
组内变异是指同一组内个体之间的差异，组间变异是指不同组之间的差异。
如果组间变异显著大于组内变异，就可以认为样本均值之间存在显著差异。
二、方差分析的假设方差分析的假设包括以下几个方面：1. 观测值是独立的。
2. 观测值是正态分布的。
3. 各组的方差是相等的。
三、方差分析的步骤方差分析的步骤主要包括以下几个方面：1. 确定研究问题和目标。
2. 收集数据并进行数据清洗。
3. 计算组内平方和、组间平方和和总平方和。
4. 计算均方和。
5. 计算F值。
6. 进行显著性检验。
四、方差分析的类型根据研究设计的不同，方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析。
1. 单因素方差分析：适用于只有一个自变量的情况，用于比较不同水平下的均值差异。
2. 多因素方差分析：适用于有两个或两个以上自变量的情况，用于比较不同因素和不同水平下的均值差异。
五、方差分析的应用方差分析广泛应用于各个领域，包括实验设计、医学研究、社会科学等。
它可以用于比较不同治疗方法的疗效、不同教学方法的效果、不同产品的质量等。
六、方差分析的优缺点方差分析的优点包括：1. 可以同时比较多个样本均值之间的差异。
2. 可以通过显著性检验来判断差异是否显著。
3. 可以通过计算效应量来评估差异的大小。
方差分析的缺点包括：1. 对数据的正态性和方差齐性有一定要求。
2. 只能用于比较均值差异，不能用于比较其他统计指标的差异。
七、总结方差分析是一种重要的统计方法，通过比较组内变异和组间变异的大小来判断样本均值之间的差异是否显著。
方差分析
Minimum Maximum 125.30 143.10 143.80 162.70 182.80 198.60 212.30 225.80 125.30 225.80
给出了四种饲料分组的样本含量N、平均数Mean、标准差 Std Deviation、
标准误 Std Error、95％的置信区间、最小值和最大值 ；
对照组 10.28 31.35 31.23
去卵巢组 10.01 8.28 6.12
雌激素组 28.88 12.77 27.56
随机误差，例如测量误差造成的差异，称为组 内差异。用变量在各组的均值与该组内变量值 之偏(离均)差平方和的总和表示。记作SS组内。 实验条件, 即不同的处理造成的差异，称为组 间差异。用变量在各组的均值与总均值之偏 (离均)差平方和的总和表示。记作SS组间。 SS组间、SS组内除以各自的自由度得到其均方 值即组间均方和组内均方。
3.1 因素与处理
因素(Factor)是影响因变量变化的客观条件；例如影 响农作物产量的因素有气温、降雨量、日照时间等； 处理(Treatments)是影响因变量变化的人为条件。也 可以称为因素。如研究不同肥料对不同种系农作物产 量的影响时农作物的不同种系可称为因素，所施肥料 可视为不同的处理。 一般情况下Factors与Treatments在方差分析中可作 相同理解。在要求进行方差分析的数据文件中均作为 分类变量出现。即它们的值只有有限个取值。即使是 气温、降雨量等平常看作是连续变量的，在方差分析 中如果作为影响产量的因素进行研究，就应该将其数 值用分组定义水平的方法事先变为具有有限个取值的 离散变量
N A B C D Total 5 5 5 4 19
第九章 方差分析
第九章方差分析前面介绍了两个样本均数比较的t检验，那么多个样本均数的比较应该采用什么方法？方差分析(analysis of variance, ANOV A)是20世纪20年代发展起来的一种统计方法，由英国著名统计学家R.A.Fisher提出，又称F检验，是通过对数据变异的分析来推断两个或多个样本均数所代表总体均数是否有差别的一种统计学方法。
本章首先介绍方差分析的基本思想和应用条件，然后结合研究设计类型分别介绍各类方差分析方法。
第一节方差分析的基本思想和应用条件一、方差分析的基本思想方差分析的基本思想是把全部观察值间的变异按设计类型的不同，分解成两个或多个组成部分，然后将各部分的变异与随机误差进行比较，以判断各部分的变异是否具有统计学意义。
例9.1 为研究大豆对缺铁性贫血的恢复作用，某研究者进行了如下实验：选取已做成贫血模型的大鼠36只，随机等分为3组，每组12只，分别用三种不同的饲料喂养：不含大豆的普通饲料、含10%大豆饲料和含15%大豆饲料。
喂养一周后，测定大鼠红细胞数(×1012/L)，试分析喂养三种不同饲料的大鼠贫血恢复情况是否不同？表9.1 喂养三种不同饲料的大鼠红细胞数(×1012/L)普通饲料10%大豆饲料15%大豆饲料合计X 4.78 4.65 6.80 4.65 6.92 5.913.984.447.284.04 6.167.51 3.445.997.51 3.776.677.743.65 5.298.194.91 4.707.154.795.058.185.316.01 5.534.055.677.795.16 4.688.03in12 12 12 36 (n)i X ∑ 52.53 66.23 87.62 206.38(X ∑)i X4.385.52 7.30 5.73 (X ) 2i X ∑ 234.2783373.2851647.73121255.2946(2X ∑)表9.1按完全随机设计获得的36个数据(X )中包含以下三种变异： 1. 总变异 36只大鼠喂养一周后测定红细胞数X 各不相同，即X 与总均数X 不同，这种变异称为总变异(total variation)。
方差分析(ANOVA)简介
方差分析(ANOVA)简介方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计方法，用于比较两个或多个样本均值之间的差异是否显著。
它是通过分析样本之间的方差来判断均值是否存在显著差异的一种方法。
方差分析广泛应用于实验设计、社会科学、医学研究等领域。
单因素方差分析单因素方差分析是最简单的一种方差分析方法，适用于只有一个自变量（因素）的情况。
在单因素方差分析中，我们将样本数据按照因素的不同水平进行分类，然后比较各个水平之间的均值是否存在显著差异。
假设检验在进行单因素方差分析时，我们需要建立以下假设： - 零假设（H0）：各个水平之间的均值没有显著差异。
- 备择假设（H1）：各个水平之间的均值存在显著差异。
方差分解方差分析的核心思想是将总体方差分解为组内方差和组间方差。
组内方差反映了同一水平内个体之间的差异，而组间方差则反映了不同水平之间的差异。
通过比较组内方差和组间方差的大小，我们可以判断均值是否存在显著差异。
统计检验在单因素方差分析中，我们使用F检验来判断均值是否存在显著差异。
F检验是通过计算组间均方与组内均方的比值来进行的。
如果计算得到的F值大于临界值，则拒绝零假设，认为各个水平之间的均值存在显著差异。
多因素方差分析多因素方差分析是在单因素方差分析的基础上引入了多个自变量（因素）的一种方法。
它可以同时考虑多个因素对样本均值的影响，并判断这些因素是否存在交互作用。
交互作用交互作用是指两个或多个因素同时对样本均值产生影响时所产生的效应。
在多因素方差分析中，我们需要考虑各个因素之间是否存在交互作用，以更准确地判断均值之间的差异。
二元因子设计二元因子设计是多因素方差分析中常用的一种设计方法。
它将两个因素进行组合，得到不同水平的组合，然后比较各个组合之间的均值是否存在显著差异。
统计检验在多因素方差分析中，我们同样使用F检验来判断均值是否存在显著差异。
不同的是，多因素方差分析需要考虑组间方差的来源，包括主效应和交互效应。
方差分析
p p q 1 1 q 1 . j i 1 ij , i . j 1 ij , i 1 j 1 ij p q pq
因子A的水平效应: i i . , i 1, , p 因子B的水平效应:
j . j , j 1, , q
p r 2 p r j 1 i 1 p j 1 i 1 2
S A r X j X r j j
2 p j 1 j 1 p
2
r p 2 并且有：ES E E ij j r 1 2 n p 2 j 1 i 1 j 1 E S A p 1 r j
SE
2
~ n p ,
2
SA
2
~
2
p 1, 并且
SE
2
和
SA
2
相互独立。
当H0成立时，
SA F p 1 2
方差分析
SA SE ~ F p 1, n p 2 n p S E
14
3、方差分析表
方差来源 因子A的影响 误差 总和 平方和S SA SE ST 自由度f fA=p-1 fE=n-p fT=n-1 均方S SA=SA/(p-1) SE=SE/(n-p) F值 F=SA/SE 显著性
A1 B1 B2 平均 αi 100 130 115 -10 A2 120 150 135 10 平均 110 140 125 βj -15 15
μij=μ+αi+βj, α1+α2=0, β1+β2=0 Xij=μij+εij=μ+αi+βj+ εij
方差分析结果解读
方差分析结果解读方差分析是一种统计分析方法，它能够用来分析两个及以上样本集中变量之间的差异。
在实际应用中，这种差异通常用来衡量各个样本之间的统计极端性和显著性，并且可以用来确定是否存在特定因素对样本之间的分布有重大影响。
本文将从以下几个方面讨论方差分析的含义，原理，实施流程，结果有效性以及如何进行结果解读，以便使读者可以更好地理解方差分析及其结果。
一、什么是方差分析？方差分析是一种统计分析方法，它能够用来比较两个及以上样本之间的差异情况。
它的目的是通过计算一个F值(F statistic)，来确定是否存在这些样本之间的某种差异，从而分析其中是否存在一个显著的因素，可能是一个待测量的维度，一个指标或一个事件对样本之间的分布有重大影响。
二、方差分析的原理方差分析的原理是，检验不同样本之间的均值是否有统计学上的显著差异，并且通过检验可以判断是否存在某种因素对样本之间的分布有重大影响。
具体而言，方差分析可以通过检验F值来判断不同样本之间的均值差异是否有统计学上的显著性，这个F值是通过比较两个不同的方差来计算的，前者是样本之间的总体方差，后者是总体方差的均方差。
如果F值大于某个临界值，就说明不同样本之间的均值存在显著的差异，从而提出这些样本之间的差异可能由某个待测量的维度、指标或事件而引起。
三、方差分析的实施流程方差分析的实施步骤包括对研究对象、变量类型、样本大小、样本分布等一系列基本要求的确定，从而满足方差分析的基本条件；接着是水平设计的制定，包括实验的变量划分，实验的水平数量的设定，实验的抽取方式的定义；之后是统计分析方法的选择，根据实验设计的要求归纳出方差分析所需要的假设条件，进而根据假设条件确定所需要的统计分析方法；最后是统计分析：根据前述步骤归纳出的统计分析方法，按照规定的步骤进行统计分析，并获得最终的F值结果。
四、方差分析结果的有效性根据前面提出的F值，可以判断不同样本之间的均值是否有统计学上的显著性。
方差分析
方差分析方差分析是一种用于比较多个样本之间差异的统计方法。
它通过比较各个样本之间的方差大小来推断它们是否具有显著的差异。
方差分析可以应用于各种领域的研究中，比如教育、医学、经济等。
方差分析的基本思想是将总体的方差分解为不同来源的方差，通过对比它们的大小来判断不同因素（组别）对总体的影响程度。
在进行方差分析之前，需要明确研究的目的和假设，然后选择相应的方差分析模型和计算方法。
方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析。
单因素方差分析适用于只有一个自变量（组别）的情况，它将数据按照不同的组别分组，然后计算各组之间的方差，并比较它们的大小。
如果各组之间的方差较大，那么可以认为它们之间存在显著差异。
多因素方差分析适用于有多个自变量（组别）的情况，它可以同时考虑多个因素对总体的影响。
方差分析的原假设是各组之间的均值相等，备择假设是各组之间的均值不等。
通过计算统计量F值，可以得到方差分析的结果。
若F值大于临界值，就能拒绝原假设，认为各组之间存在显著差异；反之，无法拒绝原假设，认为各组之间的差异不显著。
在进行方差分析时，还需要注意一些前提条件。
首先，各个样本之间应独立，互不影响；其次，各个样本应满足正态性和方差齐性的假设；最后，应确认所用的统计方法是否适用于样本数据。
方差分析的结果可以为研究者提供一些重要的信息。
比如，研究者可以通过方差分析来比较不同教学方法对学生成绩的影响；医学研究者可以通过方差分析来比较不同治疗方法对患者生存率的影响；市场营销研究者可以通过方差分析来比较不同广告策略的销售效果。
总之，方差分析是一种重要的统计方法，可以帮助我们比较多个样本之间的差异。
通过对各个样本之间方差的分析，可以判断它们是否具有显著的差异，从而得出相应的结论。
方差分析可以应用于各个领域的研究中，为我们提供有价值的信息。
当我们在进行方差分析时，应注意选择适当的方法和模型，并满足各个前提条件，以得到准确的结果。
什么是方差分析
什么是方差分析关键信息项：1、方差分析的定义2、方差分析的目的3、方差分析的应用场景4、方差分析的类型5、方差分析的步骤6、方差分析的结果解读7、方差分析的局限性8、方差分析与其他统计方法的比较11 方差分析的定义方差分析（Analysis of Variance，简称 ANOVA）是一种用于比较两个或多个总体均值是否存在显著差异的统计方法。
它通过分析数据的变异来源，来判断不同因素对观测变量的影响程度。
111 基本原理方差分析基于总体方差可以分解为各个因素所引起的方差之和的原理。
通过比较不同因素水平下的组间方差和组内方差，来确定因素对观测变量的影响是否显著。
112 数学模型一般来说，方差分析的数学模型可以表示为：观测值＝总体均值＋因素效应＋随机误差。
12 方差分析的目的其主要目的是检验不同水平的因素对因变量的均值是否有显著影响。
121 探究因素的作用确定哪些因素对观测结果有重要影响，哪些因素的影响可以忽略不计。
122 比较不同处理的效果例如在实验研究中，比较不同实验处理条件下的结果是否存在显著差异。
13 方差分析的应用场景131 农业科学用于比较不同种植方法、施肥量、品种等对农作物产量的影响。
132 医学研究分析不同药物剂量、治疗方案对患者康复效果的差异。
133 工业生产研究不同生产工艺、原材料对产品质量的作用。
134 社会科学例如在心理学、教育学中，比较不同教学方法、教育环境对学生成绩或心理状态的影响。
14 方差分析的类型141 单因素方差分析只考虑一个因素对观测变量的影响。
142 双因素方差分析同时考虑两个因素的交互作用对观测变量的影响。
143 多因素方差分析涉及多个因素及其交互作用对观测变量的综合影响。
15 方差分析的步骤151 提出假设包括零假设（各总体均值相等）和备择假设（至少有两个总体均值不相等）。
152 计算统计量根据数据计算组间平方和、组内平方和等，进而得到 F 统计量。
153 确定显著性水平通常设定为 005 或 001 等。
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置信区间无一重合， 说明A、B和不实施除 草剂对树苗的生长高 度所造成的影响都不 一样
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课后练习
4-2.MPJ
一所工厂试验了4种不同的草莓防腐剂。冷藏6个月 后，检查草莓变色程度，并分成10个等级，其中10级为 最差。 四组数据中第一组数据为对照组，其它三组数据 来自使用了新设计的防腐剂使草莓变色的程度。 请确定 其中任何一组是否与其它组相同（=0.05）。
统计 > 方差分析 > 双因子
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无交互作用的双因子方差分析案例
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无交互作用的双因子方差分析案例
P值＞0.05， H0成立，即 残差符合正
态分布
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ANOVA
是一种检定多个样本平均数之间差异的方法 是平均值检定中二样本 t-检定的延伸 也是分析 DOE的基础
类型
假设
注意事项
单因子 方差分
析
1、每一个样本都是独立随机样本 2、每一个样本通过常态检定 3、误差假设：
执行残差分 析以检验误
各误差值间相互独立，没有任何趋 差假设
势、模式、或明显的畸点；各误差值
第二章 数据分析
第3节 方差分析
1
方差分析（ANOVA）
如：考察温度对某一化工产品的产率是否存在显著影响。
不连续
应变量 连续
卡方检定 （列联表分析）
比例检定
方差分析 均值检定
不连续
自变量
连续
对数回归分析
相关性分析 回归分析
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方差分析（ANOVA）
服从常态分配。
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方差分析的基本方法
1、描述实际问题 2、描叙虚无假设H0 3、描述对立假设H1 4、验证模型假设 是否成立? 5、建立ANOVA表
6、验证误差假设是否 成立 (残差分析)? 7、用 p-值诠释因子的 影响 (p < ) 8、计算因子及误差项 的 % SS 9、用得出的结论诠释
打开一个空白Minitab表格，在C1列输入表中数据（格 式为数字格式） ，在C2 列输入品牌号，在C3列输入销售 地区号 。保存文件名为4-3.MPJ。
H0：彩电的品牌和销售地区均不影响其销售量 H1：上述至少有一种因素影响了彩电的销售量
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无交互作用的双因子方差分析案例
你得出的结论是什么？
在DOE的语言中，该实验设计是单因子4水平实验
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目录
第1部分 单因子方差分析 第2部分 双因子方差分析
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无交互作用的双因子方差分析案例
4-3.MPJ
有4个品牌的彩电在5个地区销售，为分析彩电的品牌（因 素A）和销售地区（因素B）对销售量是否有影响，对每个品 牌在各地区的销售量记录在下表内。请分析因素A和因素B对 彩电的销售量是否具有显著影响。
实际问题
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方差分析所涉及的参数
%SS贡献度（R－Sq）：
是计算每个变异来源对总变异的影响量，若该值 ≥85%，则说明是影响结果的重要原因。
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目录
第1部分 单因子方差分析 第2部分 双因子方差分析
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67
74
73
75
64
除草剂A 85
85
76
82
79
86
除草剂B 91
93
88
87
90
86
在DOE的语言中，该实验设计是单因子3水平实验
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单因子方差分析的案例 4-1.MPJ
打开一个空白Minitab表格，分别在C1、C2和C3列输入 上述数据（格式为数字格式）。保存文件名为4-1.MPJ。
H0：使用两种除草剂的桃树苗处理不影响其生长率 H1：至少有一种除草剂与未除草对照组不同并且影响
桃树苗的生长率
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单因子方差分析的案例
统计 > 方差分析 > 单因子（未堆叠存放）
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单因子方差分析的案例
无交互作用的双因子方差分析案例
从图上很难看 出因素A和B对 其结果的影响 程度
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无交互作用的双因子方差分析案例
？
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无交互作用的双因子方差分析案例
P值＜0.05，H1成立，即品牌对 销售量有显著影响 P值＞0.05，H0成立，即销售地 区对销售量没有显著影响
不同品牌的彩电在各地区的销售量数据
品牌
销售地区（因素B）
（因素A） B1
B2
B3
B4
B5
A1
365
350
343
340
323
A234536833330333
A3
358
323
353
343
308
A4
288
280
298
260
298
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无交互作用的双因子方差分析案例
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单因子方差分析的案例
先直观地判断出B除草剂 的效果是最好的
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单因子方差分析的案例
P值＞0.05，H0成立，即残差符 合正态分布 若P值≤0.05，则H1成立，说明 因子之间有交互作用，此时应 采用实验设计法来解决。
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单因子方差分析的案例
想要测试两种除草剂的性能，以确定在桃树周围 清除杂草是否有助于桃树树苗的生长，保留第三组未 施用除草剂的桃树当作对照组。随机挑选了18棵树苗 做试验，每组随机分配6棵树苗。在研究结束时, 每棵 树苗的生长高度均以厘米单位记录下来（ = 0.05 ）。
对照組 66
残差图可用TRIZ来创新确理论教定学研所究中选心 统计常州模工程型职业技的术学适院 用性
12
单因子方差分析的案例
？
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单因子方差分析的案例
P值＜0.05，拒绝H0，则H1成立 桃树苗生长高度的变异83.66%是可用不同除草剂处理来解释的
用B除草剂处理过的桃树苗长势最好